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Universidade Estadual de CampinasFaculdade de Engenharia MecânicaDepartamento de Projeto Mecânico
Gradiente Topológico via Análise deSensibilidade à Mudança de Forma
na Otimização Topológica
Divisão da Apresentação
Divisão da Apresentação
Motivação Problema Elíptico de Valor no Contorno Definição do Gradiente Topológico Análise de Sensibilidade à Mudança de Forma Cálculo do Gradiente Topológico via ASMF Gradiente Topológico na Elasticidade Aplicação Conclusão
Motivação
Automação dos Projetos
OTIMIZAÇÃODE
FORMA
PARAMETRIZAÇÃODA
GEOMETRIA
FORMA
ÓTIMA
OTIMIZAÇÃOEM RELAÇÃO
AOS PARÂMETROS
OTIMIZAÇÃOTOPOLÓGICA
NENHUMA OU QUASE NENHUMA SUPOSIÇÃO SOBRE
A MORFOLOGIA INICIAL
Motivação
Contribuições
Contribuições no campo da Otimização Topológica:
1. Caracterizando a topologia por uma densidade de material a ser determinada;
2. Caracterizando a morfologia de um componente por meio de um parâmetro geométrico .
Motivação
Gradiente Topológico
• Proposta de obter a topologia ótima através do cálculo do GT.
• O GT é uma função definida no domínio que fornece a sensibilidade de uma função custo ao se criar um furo no domínio.
• Cálculo do GT via Análise de Sensibilidade à Mudança de Forma.
PEVC
Problema Elíptico de Valor no Contorno
n
b
f
•domínio aberto e limitado N, cujo contorno =N D (N D= 0)
é suficientemente regular. •domínio está submetido a excitações f L2 (N), b L2 e com restrições
na variável primal u no contorno D.
ND
PEVC
Forma Variacional
O problema pode ser escrito na forma variacional:
Espaço das funções:
)(),( wlwua
} sobre 0 | )({ Dn wHwV
} sobre | )({ Dn guHuU
PEVC
Elementos Finitos
Maneira geral e sistemática de construir famílias de subespaçosUhp U:
Forma final obtida em PEVC:
)(),( hphphp wlvua . VVw hphp
FuK hp
ASMF
Análise de Sensibilidade à Mudança de Forma
Perturbação no domínio:
Novo domínio e contorno:
Relação entre domínios (pequena perturbação):
.:),( NxxxxX
}0),,(,{ 00 e xxXxx|x N
}0),,(,{ 00 e | xxXxxx N
)(xvxx
ASMF
Função Custo
Sensibilidade da função custo:
Definição da função custo:
Derivada da função custo:
)()(lim)( 0
00
d
d
)(),(lim|),(
00uuu
dd
),(),(:)(
udu
ASMF
Método Lagrangeano
Problema de minimização:
Uma vez que a equação de estado é satisfeita:
)(),(),(),,( plpuaupuL
ddp
pL
ddu
uLL
dd
ddL ,,
ASMF
Cálculo das Derivadas
Em uma direção:
Na outra direção:
Então:
0)(),,(,
plpua
ddp
pL
0 :simetria a devido
),(,),(,,
upau
upuau
uddu
uL
),,(),,( puL
dpudL
ASMF
Cálculo do Lagrangeano
Utilizando-se da solução da eq. de estado e da adjunta:
Para uma vasta classe de problemas:
)(),(),(),,(),(
plpuaupuLu
dd
vdnudd .|),( 0
dxgvdnvnudd
Tnn )(.|),( 0
GT via ASMF
Cálculo do GT via ASMF
Função custo definida nos domínios:
Considerando a transformação entre os domínios:
0
0
nvxx n
|||||| nn vnv
GT via ASMF
Forma Final do GT
O gradiente pode ser expresso da seguinte forma:
Considerando uma expansão no furo:
dxG
fvsingu
dd
vfxG T
n
nT )(
)()(lim|),(
||)(1lim)( '00'0
^
Bdxgf
xGB
TT
)(
)(1lim)( '0
^
gT
GT na Elasticidade
Formulação
Equilíbrio:
Equação Constitutiva:
sobre sobre sobre
em
Bnfn
gubdiv
N
D
0
0
sobre
sobre
sobre em
BnugradC
fnugradC
ubugradCdiv
s
Ns
D
s
0)(
)(
00)(
GT na Elasticidade
Na Forma Variacional
Problema elíptico de valor contorno:
Descrevendo os operadores:
)(),( wlwua } sobre 0 | )({ Dn wHwV
} sobre | )({ Dn guHuU
wdfwdbwl
dwgradugradCwua ss
..)(
),(
GT na Elasticidade
Cálculo do GT
Expressão para o cálculo da sensibilidade da função custo:
Função custo (energia interna):
)(),(),(),,(),(
plpuaupuLu
dd
),(21:),(
uuau
GT na Elasticidade
Cálculo do GT
Derivada do Lagrangeano:
Considerando
vdnudd .|),( 0
nvv n
B
n Bndnvudd .|),( 0
ubugradugradCnugradnugradCnn sss . . 21) .() (.
GT na Elasticidade
Cálculo do GT
Como
Da forma
Bnugrad s em 0) (C
B
ssn
Bn BdubugradugradCvBndnvu
dd . .
21.|),( 0
ubugradugradCgBdxgvu
dd ss
TB
Tn . . 21- (x) se- tem,)(|),( 0
GT na Elasticidade
Cálculo do GT
Adotando )()( )()( ' BmeasfBmeasf
^. .
21)(
)(1lim)(
03
^
x
ss
BTDT ubugradugradCBdxg
BmeasxG
Aplicação
Algoritmo
Seja a seqüência1 Fornecer domínio inicial e a restrição;2 Enquanto a função objetivo não for cumprida:
– encontrar as soluções direta e adjunta;– calcular o gradiente topológico;– criar furos;– definir novo domínio– incrementar K;
3 Neste ponto, espera-se estar com a topologia ótima.
)(
)(
measd: a Sujeito
:Minimize
}()(|{1 measmeas KKK
Aplicação
Exemplo
Definição do problema.
Malha Resultado
Chegou-se a forma ótima de um projeto já consagrado.
Conclusão
Conclusões
• Metodologia apresentada conduz a uma formulação bastante geral para obtenção do Gradiente Topológico;
• A formulação pode ser aplicada em casos de Condições de Dirichlet no furo (caso onde o gradiente topológico contém singularidades);
• Extensão da metodologia a outros problemas de Engenharia (Sólidos - não linearidades, Fluidos, Eletromagnetismo) é possível.