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Universidade Federal de Campina GrandeCentro de Ciências e Tecnologia
Unidade Acadêmica de Engenharia QuímicaPrograma de Pós-Graduação
Otimização Numérica de Processos
Problemas Multidimensionais com Restrição – Programação Linear
De volta ao Problema Simples
242 7.05.0 xxx
252 5.03.0 xxx
13 4.0 xx
Solvente pesado (x5), $42/bbl
Solvente médio (x4), $68/bbl
Solvente leve (x3), $53/bbl
Solvente (x2)
Nafta (x1), $42/bbl
400200 4 x
20001 x
21 25.125.1_ xxOpCusto
Como obter o maior lucro?
Generalidades
Um dos métodos mais utilizados em otimização
Uma ciência relativamente nova (1947)
George Dantzig
Função objetivo e restrições: lineares
Introdução
21)( xxxfMaximizar
x1
x2
f=1
f=2
f=3
•Cada reta tracejada representa uma curva de nível
•As retas são paralelas
•A 1a derivada de f nunca será zero
•Não existe máximo (ou mínimo) finito
Direção do aumento de f
Continuando com a Introdução
Com as restrições, a região viável fica limitada
O extremo sempre ocorrerá na intersecção das restrições
É a base da Programação Linear
1
2x
a
)(
2
1
21
x
Sujeito
xxxfMaximizar
x1
x2
f=1
f=2
f=3
12 x
21 x
Refinaria de Petróleo
Óleo 2 ($15/bbl)
Óleo 1 ($24/bbl) Gasolina ($36/bbl)
Querosene ($24/bbl)
Combustível ($21/bbl)
Residual ($10/bbl)
Refinaria
Composição em massa (%) Produção maxima bb/dia
Óleo 1 Óleo 2
Gasolina 80 44 24000
Querosene 5 10 2000
Combustível 10 36 6000
Resíduo 5 10
Custo de Processo ($/bbl) 0.50 1
Formulando o Problema
Definição das variáveis
resíduo de /
lcombustíve de /
querosene de /
gasolina de /
2 óleo de /
1 óleo de /
6
5
4
3
2
1
diabblx
diabblx
diabblx
diabblx
diabblx
diabblx
Continuando com a Formulação
Definiçao da função objetivo• Maximizar lucro
Despesa inclui a matéria-prima e custo com operação
2121
6543
15.01524
10212436
($/dia)
xxxxdespesa
xxxxreceita
despesareceitaf
Finalizando a Formulação
Restrições• Balanço de massa (rendimento)
• De mercado
621
521
421
321
10.005.0
36.010.0
10.005.0
44.08.0
xxx
xxx
xxx
xxx
6000
2000
24000
5
4
3
x
x
x
Manipulações Algébricas
Função objetivo: substituição das igualdades dentro da função objetivo inicial
Restrições: idem
600036.010.0
200010.005.0
2400044.08.0
21
21
21
xx
xx
xx
21 8.101.8 xxf
0
0
2
1
x
x
Solução Gráfica
Plotar as restrições no plano x1-x2
Determinar a região possível
Localizar o ponto onde a função é máxima• Dentro da região possível
• Em uma das intersecções das restrições
0 10 20 300
5
10
15
20
Restrição 1Restrição 2Retrição 3f = 180f = 243f = 256.5f = 286.7
Óleo 1, 1000 bblÓ
leo
2, 1
000
bbl
Determinando a Intersecção
Determinar cada ponto de intersecção
Calcular o valor de f em cada intersecção
25650012500 xe 15000
3 e 2 Re
2867007000 xe 26000
2 e 1 Re
18000016667 xe 0
0 xe 3 Re
2430000 xe 30000
0 xe 1 Re
21
21
21
1
21
2
fx
strições
fx
strições
fx
strição
fx
strição
0 10 20 300
5
10
15
20
Restrição 1Restrição 2Retrição 3
Óleo 1, 1000 bbl
Óle
o 2,
100
0 bb
l
No Mathcad
0 10 20 300
10
20
30
x/1000y/
1000
f x y( ) 8.1 x 10.8 y
M
0.8
0.05
0.10
0.44
0.10
0.36
b
24000
2000
6000
Mx
y
b
.8 x .44 y
5. 10-2 x .10 y
.10 x .36 y
24000
2000
6000
x 1000 y 20000
Given
Mx
y
b x 0 y 0
Maximize f x y( )2.621 10
4
6.897 103
Solução Degenerada I
Não existe solução única
0, x
124x
3056x
5.02)(Maximizar
21
21
21
21
x
x
xSujeito
xxxf
0 2 4 60
2
4
6
Restrição 1Restrição 2f = 2f = 4f = 6
x1
x2
Restrição 2 e f são linearmente dependentes
Solução Degenerada II
Ótimo sem restrição
0, x
3
03x
)(Minimizar
21
2
21
21
x
x
xSujeito
xxxf
0 2 4 60
2
4
6
Restrição 1Restrição 2f = -4f = -6
x1
x2
x1 não impede a diminuição de f
Solução Degenerada III
Ausência de região possível
0, x
02 x
2 x
)(Minimizar
21
21
21
21
x
x
xSujeito
xxxf
10 5 0 5 10
10
5
5
10
Restrição 1Restrição 2f = -2f = -6
x1
x2
Método Simplex
Antes, a solução gráfica
0, x
4x-
23x-
22x
)(Minimizar
21
21
21
21
21
x
x
x
xSujeito
xxxf
0 1 2 3 4 5 60
2
4
6
Restrição 1Restrição 2Restrição 3f = 2f = 0f = -3
x1
x2
O ótimo ocorre na intersecção das restrições 2 e 3
Passos 1 e 2 do Simplex
Converter o lado direito das restrições em números positivos
0,x
4x
23x
22x-
21
21
21
21
x
x
x
x
Converter todas as desigualdades das restrições em igualdades• Variáveis de folga: x3, x4 e x5
0,,,,x
4x
23x
22x-
54321
521
421
321
xxxx
xx
xx
xx
Passo 3 do Simplex
Temos agora n (5) variáveis e m (3) equações
• NF=n-m=2; O sistema não tem solução única
Solução básica (possível)• Fixar o valor de n-m variáveis (igual a zero); resolver
• Variável não básica (x1 e x2): igual a zero
• Variável básica (x3, x4 e x5): diferente de zero
00
44
223
222-
21
5215
4214
3213
fxxf
xxxx
xxxx
xxxx
0,,,,x
4x
23x
22x-
54321
521
421
321
xxxx
xx
xx
xx
Passo 4 do Simplex
A solução básica inicial não corresponde ao mínimo; necessário mudar a solução básica
Examinando f (lembrar que é uma minimização)• O aumento de x1 provoca diminuição (maior coeficiente positivo)
• O aumento de x2 provoca o aumento
Nova variável básica: x1
Nova variável não básica: x3, x4 ou x5
• Restrição 1: x1 pode aumentar indefinidamente
• Restrição 2: x1 pode aumentar até 2
• Restrição 3: x1 pode aumentar até 4
Nova variável não básica: x4Dica de como detectar a restrição com a nova variável não básica?
0
4
23
22-
21
215
214
213
xxf
xxx
xxx
xxx
Passo 5 do Simplex
Novas equações, em função das novas variáveis não básicas (x2 e x4)
• A partir da restrição 2, explicitar x1 e substituir nas outras equações
• Observe que o valor de f diminuiu para -2
2421
24215
24213
421
22
424
52622
32
xxxxf
xxxxx
xxxxx
xxx
22
24
23
652
24
245
241
243
xxf
xxx
xxx
xxx
Continuar …
Eliminação e Simplex
Usar eliminação (Gaussiana) no lugar da substituição algébrica
0
4
2
2
100011
010011
001031
000112
5
4
3
2
1
f
x
x
x
x
x
Pivô
Gauss: aumentar a matriz
Três 1as linhas: restrições
Última linha: função objetivo
Como escolher o pivô?
• Coluna: maior positivo de f
• Linha: menor quociente positivo
0100011
4010011
2001031
2000112
Eliminando …
2101020
2011040
2001031
6002150
5
1
3
54321
x
x
x
bfxxxxx
Transformar a coluna do pivô em [0 1 0 0]T: operação com matriz
Novo pivô: a32
Nova variável básica: x2
Nova variável não básica: x5
0100011
4010011
2001031
2000112
5
4
3
54321
x
x
x
bfxxxxx
Finalizando a Eliminação
Os coeficientes em f são negativos: processo terminado
35.05.0
5.025.025.0
5.375.025.0
5.825.175.0
54
542
541
543
xxf
xxx
xxx
xxx
315.05.0000
5.0025.025.0010
5.3075.025.0001
5.8025.175.0100
2
1
3
54321
x
x
x
bfxxxxx
3
5.0
5.3
5.8
2
1
3
f
x
x
x
Finalizando PL
Problema na forma padrão
• x é o vetor das variáveis
• c é o vetor de coeficientes de f
• A é a matriz de coeficientes das restrições
Solução básica impossível
• x1=x2=0
• X3=-5 (impossível)
• Procedimento das duas fases
0,0
a sujeito
minimizar
bx
bAx
xcf T
44
543543
a Sujeito
2 Minimizar
42121
32121
21
xxxxx
xxxxx
xxf
Exercícios
Mathcad Matlab (função linprogr)
• Problema 7.3 do livro do Himmelblau. Usar o Mathcad
• Problema 7.17 do livro do Himmelblau.
• Problema 7.23 do livro do Himmelblau. Usar o Matlab.