Universidade Federal de Pernambuco Centro de Tecnologia e ... · Catalogação na fonte Bibliotecária Valdicé a Alves , CRB -4 / 1260 B277m Barros, Wesley Michel de . Matrizes explícitas

Universidade Federal de PernambucoCentro de Tecnologia e GeociênciasDepartamento de Engenharia Civil

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil

Wesley Michel de Barros

MATRIZES EXPLÍCITAS EM ELEMENTOS FINITOS DEALTA ORDEM APLICADAS A PROBLEMAS DE

ELASTICIDADE 2D E 3D

Dissertação de mestrado

Recife2016


MATRIZES EXPLÍCITAS EM ELEMENTOS FINITOS DEALTA ORDEM APLICADAS A PROBLEMAS DE

ELASTICIDADE 2D E 3D

Dissertação de mestrado apresentada ao Mes-trado em Engenharia Civil da UFPE comoparte dos requisitos para a obtenção do graude MESTRE em Engenharia Civil.

Área de Concentração:Engenharia Estrutural

Orientador:Paulo Marcelo Vieira RibeiroDoutor em Estruturas e Construção Civil -UFPE

Recife2016

Catalogação na fonte

Bibliotecária Valdicéa Alves, CRB-4 / 1260

B277m Barros, Wesley Michel de.

Matrizes explícitas em elementos finitos de alta ordem aplicadas a

problemas de elasticidade 2d e 3d. Wesley Michel de Barros - 2016.

212folhas, Il., Tab.; e Simb.

Orientador: Prof. Dr. Paulo Marcelo Vieira Ribeiro.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Pernambuco. CTG.

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, 2016.

Inclui Referências, Anexos e Apêndices.

1. Engenharia Civil. 2. Elementos finitos. 3. Matrizes explicitas.

4. Elasticidade. 5. Alta ordem. 6. Estatística. I. Ribeiro, Paulo Marcelo Vieira.

(Orientador). II. Título.

Título.

UFPE

624 CDD (22. ed.) BCTG/2017-21

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

A comissão examinadora da Defesa de Dissertação de Mestrado

MATRIZES EXPLÍCITAS EM ELEMENTOS FINITOS DE ALTA ORDEM APLICADAS

A PROBLEMAS DE ELASTICIDADE 2D E 3D

defendida por


Considera o candidato APROVADO

Recife, 02 de dezembro de 2016

Banca Examinadora:

___________________________________________

Prof. Dr. Paulo Marcelo Vieira Ribeiro – UFPE

(orientador)

__________________________________________

Prof. Dr. Raúl Darío Durand Farfán – UnB

(examinador externo)

__________________________________________

Prof. Dr. Ézio da Rocha Araújo– UFPE

(examinador externo)

Agradecimentos

Ao professor Paulo Marcelo pelos sábios ensinamentos transmitidos, por sua orien-tação segura, e também pela sua paciência, compreensão e dedicação.

A todos os professores da UFPE e professores que fizeram parte de minha vidaacadêmica pelos ensinamentos transmitidos.

À minha família e, principalmente, à minha mãe que me deu apoio, amor e incentivoem todos os momentos decisivos de minha vida.

À minha querida esposa Leopoldina, agradeço pelo carinho e compreensão, portodos os minutos em que estive ausente me dedicando ao trabalho e aos estudos.

Aos amigos, que não deixaram faltar companhia nos momentos em que faltouânimo para estudar.

Aos meus colegas de mestrado que juntos compartilhamos valiosos conhecimentos.

A todos que colaboraram com a elaboração desse trabalho.

Resumo

MATRIZES EXPLÍCITAS EM ELEMENTOS FINITOS DE ALTA ORDEMAPLICADAS A PROBLEMAS DE ELASTICIDADE 2D E 3D

Neste trabalho é apresentada a formulação explícita para elementos triangulares e tetraé-dricos de ordem superior aplicados à solução de problemas envolvendo elasticidade 2D e3D com o Método dos Elementos Finitos. A precisão dos resultados de análises utilizandoo MEF está diretamente ligada a malha e exatidão do elementos. As técnicas de refinomais usuais são as versões adaptativas h, p, hp e r, em que a versão h mantém constantea ordem das funções de forma e eleva o número de elementos de forma a minimizar oerro. Por sua vez, a versão p mantém constante o número de elementos e eleva a ordemdo polinômio das funções de interpolação para uma melhor aproximação da solução. Aversão hp é uma combinação das duas versões anteriores e a versão r é obtida por meio damodificação da posição dos nós mantendo a topologia da malha.

Os elementos triangular e tetraédrico foram adotados para o presente estudo, pois possuema vantagem de adequar-se às mais diversas formas geométricas. Para formulação doselementos de ordem superior, a ordem dos polinômios de Lagrange é incrementada paraconstrução dos elementos triangulares T6(6 nós), T10(10 nós), T15(15nós) e T21(21 nós)e elementos tetraédricos TE10(10 nós), TE20(20 nós) e TE35(35 nós). A grande vantagemdos elementos de ordem superior é a maior precisão dos resultados a medida que a ordem dopolinômio aumenta. Portanto, são necessários menos elementos que a versão h-Adaptativapara solução do problema, reduzindo, assim, a necessidade de discretização adicional dodomínio.

As aplicações utilizando elementos finitos de ordem superior apresentam elevado custocomputacional, visto que as matrizes dos elementos são obtidas por meio de um grandenúmero de pontos de integração elevando assim o tempo de processamento. De modo asolucionar esse problema foram desenvolvidas matrizes de rigidez explícitas, eliminando asintegrações numéricas e maximizando a eficiência do processamento computacional.

Aplicações práticas em um código computacional para análise estática e modal de estruturasforam desenvolvidas com auxílio do software MATLAB, onde o usuário informa uma malhainicial com elementos triangulares de três nós (T3) ou tetraédricos de quatro nós (TE4) edefine a ordem do elemento a ser aplicado. Por sua vez, o programa se encarrega de geraros novos nós e conectividades de acordo com o grau do polinômio escolhido. Em seguida,o usuário define as propriedades físicas, condições de contorno e cargas aplicadas, paraposterior cálculo dos deslocamentos, tensões, frequências e modos de vibração. Exemplosde validação são apresentados e confirmam a eficiência em desempenho computacional dasrotinas propostas.

Nos resultados foi verificado que, para boa parte dos elementos, a estratégia utilizando ma-trizes explícitas mostrou-se mais eficiente que a integração numérica, com uma considerávelredução no tempo de processamento.

Palavras-chaves: Elementos Finitos. Matrizes Explícitas. Elasticidade. Alta Ordem.Estática. Dinâmica.

Abstract

EXPLICIT MATRICES FOR HIGH ORDER FINITE ELEMENTS APPLIEDTO 2D AND 3D ELASTICITY

This work presents the development of explicit finite element matrices for higher ordertriangular and tetrahedral elements applied to solution of 2D and 3D elasticity problems.The accuracy of analysis results using the Finite Element Method (FEM) depends on meshrefinement and element quality. The most usual refinement techniques are the adaptiveversions h, p, hp and r, in which the h version keeps the order of interpolation functionsconstant and raises the number of elements to minimize the error. Alternatively, the pversion maintains the number of elements constant and raises the order of the polynomialin the interpolation functions for a better approximation of the solution. The hp version isa combination of the two previous approaches and the r version is obtained by modifyingnode position while maintaining the mesh topology.

Triangular and tetrahedral elements were adopted for the present study, since they havethe advantage of adapting to the most diverse geometric forms. Lagrange polynomial orderis incremented to construct triangular elements T6 (6 nodes), T10 (10 nodes), T15 (15nodes) and T21 (21 nodes), and tetrahedral elements TE10 (10 nodes), TE20 (20 nodes)and TE35 (35 nodes). Higher order elements provide greater accuracy as the order of thepolynomial increases. Therefore, fewer elements are required to solve the problem whencompared to the h version, thus reducing the need for additional mesh refinement.

Applications using higher order finite elements often require great computational cost,since element matrices are obtained with a large set of numerical integration points, thusincreasing the processing time. To solve this problem explicit stiffness matrices have beendeveloped, avoiding numerical integrations and maximizing computational efficiency.

Practical applications in a computational code for static and modal analysis of structureswere developed using MATLAB software, with the user defining an initial mesh withtriangular elements of three nodes (T3) or tetrahedral element of four nodes (TE4), andfurther establishing the polynomial order to be applied. The computer code is responsiblefor generating additional nodes and connectivities according to the chosen degree of theinterpolation function. Next, the user defines the physical properties, boundary conditionsand applied loads, for later calculation of the displacements, stresses, frequencies andvibration modes. Test cases are presented for validation of the proposed routines.

Major conclusions reveal that for a broad set of elements the strategy using explicit finiteelement matrices was more efficient than the classical numerical integration procedure,with a considerable reduction in processing time.

Keywords: Finite Elements. Explicit Matrices. Elasticity. High Order. Static. Dynam-ics.

Sumário

Sumário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Lista de ilustrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Lista de tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 Revisão da Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.1 Elasticidade bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.2 Elasticidade tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4 Limitações do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5 Estrutura do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 FUNDAMENTOS DA TEORIA DA ELASTICIDADE . . . . 30

3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM ELASTICIDADE 39

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Formulação do Método dos Elementos Finitos . . . . . . . . . . . 39

4 FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 45

4.1 Elemento Bidimensional Triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.1 Formulação em coordenadas de área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.2 Formulação da matriz de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Elemento Tridimensional Tetraédrico . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.1 Formulação em coordenadas de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.2 Formulação da matriz de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 FORMULAÇÃO DO VETOR DE FORÇAS DE SUPERFÍCIE 71

5.1 Elemento Tridimensional Tetraédrico . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2 Elemento Bidimensional Triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6 FORMULAÇÃO FORÇA DE CORPO . . . . . . . . . . . . . . 76

6.1 Vetor de Força de Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.2 Matriz de Massa Consistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7 ASPECTOS COMPUTACIONAIS . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.1 Código para Formulação das Matrizes explícitas . . . . . . . . . 80

7.1.1 Matriz de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.1.2 Vetor força de superfície, força de corpo e matriz de massa . . . . . . . 84

7.2 Código para Refinamento-p de Malhas . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.3 Código para Análise Estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.4 Código para Análise Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8 APLICAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8.1 Tempo de Processamento - Matriz Explícita X Integral Numérica 96

8.2 Aplicação 01 - Viga em Balanço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.2.1 Tempo de processamento - Matriz explícita X Integral numérica . . . . 105

8.2.2 Análise de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.3 Aplicação 02 - Viga Biengastada com Furo . . . . . . . . . . . . . 1128.3.1 Tempo de processamento - Matriz explícita X Integral numérica . . . . 112


8.4 Aplicação 03 - Chapa Tracionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.5 Aplicação 04 - Pórtico Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.5.1 Tempo de processamento - Matriz explícita X Integral numérica . . . . 134


8.6 Aplicação 05 - Conjunto de Aduelas (Ponte) . . . . . . . . . . . . 1498.6.1 Tempo de processamento - Matriz explícita X Integral numérica . . . . 149


9 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

9.1 Sugestões para Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

APÊNDICES 167

APÊNDICE A – ELEMENTO TE10 . . . . . . . . . . . . . . . 168

APÊNDICE B – ANÁLISE MODAL . . . . . . . . . . . . . . . 173

APÊNDICE C – INTEGRAL NUMÉRICA (QUADRATURA

DE GAUSS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

ANEXOS 178

ANEXO A – CÓDIGO PARA CALCULO DOS DESLOCA-

MENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

A.1 Elemento Triangular T6 - Matriz Explícita . . . . . . . . . . . . . 179A.2 Elemento Triangular T6 - Integração Numérica . . . . . . . . . . 183

ANEXO B – CÓDIGO PARA FORMULAÇÃO DAS MATRI-

ZES EXPLÍCITAS EM MATLAB . . . . . . . . 188

B.1 Elemento Triangular T21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188B.1.1 Código - Matriz de rigidez (T21) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

B.1.2 Código - Matriz de massa consistente (T21) . . . . . . . . . . . . . . . . 193

B.1.3 Código - Força de corpo (T21) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

B.1.4 Código - Força de superfície (T21) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

B.2 Elemento Tetraédrico TE35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197B.2.1 Código - Matriz de rigidez (TE35) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

B.2.2 Código - Matriz de massa consistente (TE35) . . . . . . . . . . . . . . . 205

B.2.3 Código - Força de corpo (TE35) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

B.2.4 Código - Força de superfície (TE35) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Lista de ilustrações

Figura 1.1 – Refinamento Adaptativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Figura 1.2 – Elementos desenvolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Figura 1.3 – Refinamento p de Malha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Figura 2.1 – Equilíbrio de um elemento infinitesimal de um contínuo. . . . . . . . . 30Figura 2.2 – Equilíbrio de um elemento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Figura 2.3 – Deformações e deslocamentos de um corpo qualquer. . . . . . . . . . . 32Figura 2.4 – Corpo deformado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Figura 2.5 – Estado plano de tensões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Figura 2.6 – Estado plano de deformações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Figura 2.7 – Deformações e deslocamentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Figura 4.1 – Distância relativas das coordenadas de áreas. . . . . . . . . . . . . . . 45Figura 4.2 – Variação das funções de forma linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Figura 4.3 – Elemento Triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Figura 4.4 – Triângulo dividido em áreas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Figura 4.5 – Elementos T6, T10, T15 e T21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Figura 4.6 – Triângulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Figura 4.7 – Variação das funções de forma quadrática. . . . . . . . . . . . . . . . . 51Figura 4.8 – Distância relativas das Coordenadas de volume. . . . . . . . . . . . . . 56Figura 4.9 – Elemento Tetraédrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Figura 4.10–Tetraedro dividido em volumes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Figura 4.11–Elementos TE4, TE10, TE20 e TE35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Figura 4.12–Pirâmide de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Figura 5.1 – Forças de superfície atuando sobre o lado 124 do elemento tetraédrico. 71Figura 5.2 – Forças de superfície atuando sobre um elemento triangular. . . . . . . . 73Figura 7.1 – Fluxograma - Formulação da matriz de rigidez do elemento. . . . . . . 83Figura 7.2 – Fluxograma - Código para formulação do vetor de força de superfície,

vetor de força de corpo e matriz de massa consistente. . . . . . . . . . 85Figura 7.3 – Refinamento p de Malha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Figura 7.4 – Fluxograma - Refinamento-p de malhas triangulares e tetraédricas. . . 88Figura 7.5 – Deformada - Viga em Balanço. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Figura 7.6 – Tensões - Viga em Balanço (N/m2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Figura 7.7 – Fluxograma - Código para análise estática. . . . . . . . . . . . . . . . . 92Figura 7.8 – Modos de Vibração - Viga biengastada espacial (Rad/s). . . . . . . . . 94Figura 7.9 – Fluxograma - Código para análise modal. . . . . . . . . . . . . . . . . 95Figura 8.1 – T6 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento. . 97Figura 8.2 – T10 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento. 98

Figura 8.3 – T15 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento. 99Figura 8.4 – T21 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento. 99Figura 8.5 – TE10 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento.100Figura 8.6 – TE20 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento.101Figura 8.7 – TE35 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento.101Figura 8.8 – Viga em Balanço (Cotas em centímetros). . . . . . . . . . . . . . . . . 103Figura 8.9 – Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global . 107Figura 8.10–Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global e

solução dos deslocamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Figura 8.11–Perfil de dispersão dos termos não nulos (nz) ao longo da matriz de

rigidez global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Figura 8.12–Graus de Liberdade X Erro (deslocamento) . . . . . . . . . . . . . . . 110Figura 8.13–Graus de Liberdade X Erro (𝜎𝑥) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Figura 8.14–Graus de Liberdade X Erro (tensão cisalhamento) . . . . . . . . . . . . 111Figura 8.15–Viga Biengastada (Cotas em centímetros). . . . . . . . . . . . . . . . . 112Figura 8.16–Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global . 114Figura 8.17–Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global e


rigidez global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Figura 8.19–Malhas viga biengastada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Figura 8.20–Malha da viga biengastada com furo - ANSYS. . . . . . . . . . . . . . 117Figura 8.21–Convergência dos resultados no ponto A - ANSYS . . . . . . . . . . . . 118Figura 8.22–Graus de Liberdade X Diferença (𝜎𝑥) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Figura 8.23–Tempo de processamento X Diferença (𝜎𝑥) . . . . . . . . . . . . . . . . 120Figura 8.24–Convergência das frequências naturais - ANSYS . . . . . . . . . . . . . 121Figura 8.25–Modos de Vibração - Viga biengastada (Rad/s). . . . . . . . . . . . . . 123Figura 8.26–Graus de Liberdade X Diferença (Modo 1) . . . . . . . . . . . . . . . . 124Figura 8.27–Chapa Tracionada (cotas em centímetros). . . . . . . . . . . . . . . . . 125Figura 8.28–Chapa simétrica tracionada (cotas em centímetros). . . . . . . . . . . . 125Figura 8.29–Ábaco - Concentração de Tensões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Figura 8.30–Malhas chapa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Figura 8.31–Graus de Liberdade X Erro (𝜎𝑥) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Figura 8.32–Tensão na chapa com furo circular (N/m2) . . . . . . . . . . . . . . . . 130Figura 8.33–Tensão na chapa com furo quadrado (N/m2) . . . . . . . . . . . . . . . 131Figura 8.34–Tensões (𝜎𝑥) - Perfil A (N/m2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Figura 8.35–Tensões (𝜎𝑥) - Perfil B (N/m2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Figura 8.36–Tensões (𝜎𝑥) - Perfil C (N/m2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Figura 8.37–Fenômeno de Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Figura 8.38–Pórtico Espacial (Cotas em centímetros). . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Figura 8.39–Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global . 136Figura 8.40–Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global e


rigidez global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Figura 8.42–Malha do pórtico - ANSYS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Figura 8.43–Convergência dos resultados nos pontos A e B - ANSYS . . . . . . . . 138Figura 8.44–Malhas do pórtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Figura 8.45–Graus de Liberdade X Diferença (deslocamento) . . . . . . . . . . . . . 141Figura 8.46–Tempo de processamento X Diferença (deslocamento) . . . . . . . . . . 141Figura 8.47–Graus de Liberdade X Diferença (𝜎𝑦) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Figura 8.48–Tempo de processamento X Diferença (𝜎𝑦) . . . . . . . . . . . . . . . . 142Figura 8.49–Deformada pórtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Figura 8.50–Tensões pórtico (N/m2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Figura 8.51–Convergência das frequências naturais - ANSYS . . . . . . . . . . . . . 145Figura 8.52–Graus de Liberdade X Diferença (Modos de vibração) . . . . . . . . . . 147Figura 8.53–Tempo de processamento X Diferença (Modos de vibração) . . . . . . . 147Figura 8.54–Modos de Vibração - Pórtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Figura 8.55–Conjunto de Aduelas (Cotas em centímetros). . . . . . . . . . . . . . . 149Figura 8.56–Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global . 151Figura 8.57–Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global e


rigidez global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Figura 8.59–Malhas aduela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Figura 8.60–Malha aduela - ANSYS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Figura 8.61–Convergência dos resultados no ponto A - ANSYS . . . . . . . . . . . . 154Figura 8.62–Graus de Liberdade X Diferença (𝜎𝑥) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Figura 8.63–Tempo de processamento X Diferença (𝜎𝑥) . . . . . . . . . . . . . . . . 156Figura 8.64–Deformada conjunto de aduelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Figura 8.65–Tensões no conjunto de aduela (N/m2). . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Lista de tabelas

Tabela 4.1 – Coordenadas de Área - Elemento Triangular . . . . . . . . . . . . . . . 49Tabela 4.2 – Funções de Forma Bidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Tabela 4.3 – Coordenadas de Volume - Tetraedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Tabela 4.4 – Funções de Forma Tridimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Tabela 7.1 – Tempo de Processamento para Formulação das Matrizes Explícitas . . 81Tabela 8.1 – Resumo das Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Tabela 8.2 – Tempo (segundos) para montagem da matriz de rigidez de um elemento

T6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Tabela 8.3 – Tempo (segundos) para Montagem da matriz de rigidez de um elemento

T10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Tabela 8.4 – Tempo (segundos) para Montagem da matriz de rigidez de um elemento

T15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Tabela 8.5 – Tempo(segundos) para Montagem da matriz de rigidez de um elemento

T21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Tabela 8.6 – Tempo (segundos) para Montagem da matriz de rigidez de um elemento

TE10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Tabela 8.7 – Tempo (segundos) para Montagem da matriz de rigidez de um elemento

TE20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Tabela 8.8 – Tempo (segundos) para Montagem da matriz de rigidez de um elemento

TE35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Tabela 8.9 – Matriz explícita X Integral Numérica (T3, T6) . . . . . . . . . . . . . 105Tabela 8.10–Matriz explícita X Integral Numérica (T10, T15, T21) . . . . . . . . . 106Tabela 8.11–Análise de convergência - Viga em balanço . . . . . . . . . . . . . . . . 109Tabela 8.12–Matriz explícita X Integral Numérica (T3,T6,T10) . . . . . . . . . . . 113Tabela 8.13–Matriz explícita X Integral Numérica (T15,T21) . . . . . . . . . . . . . 114Tabela 8.14–Análise de convergência - Viga biengastada . . . . . . . . . . . . . . . 119Tabela 8.15–Análise modal de convergência - Viga biengastada . . . . . . . . . . . . 122Tabela 8.16–Análise de convergência - Chapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Tabela 8.17–Perfil de tensões - A, B e C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Tabela 8.18–Matriz explícita X Integral numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Tabela 8.19–Pórtico - Deslocamento vertical e tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Tabela 8.20–Análise modal de convergência - Pórtico . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Tabela 8.21–Matriz explícita X Integral numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Tabela 8.22–Aduela - Deslocamento vertical, tensão X, e tempo de processamento . 155Tabela 9.1 – Razão Média 2D (int. numérica / matriz explícita) . . . . . . . . . . . 160Tabela 9.2 – Razão Média 3D (int. numérica / matriz explícita) . . . . . . . . . . . 160

Tabela C.1 – Pontos de Integração e Pesos - Triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . 176Tabela C.2 – Pontos de Integração e Pesos - Tetraedro . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Lista de símbolos

𝜎𝑥 Tensão normal

𝜏𝑥𝑦 Tensão de cisalhamento

𝑢 Função deslocamento em x

𝑣 Função deslocamento em y

𝑤 Função deslocamento em z

𝐸 Modulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young

𝜀 Deformação

𝜈 Coeficiente de Poisson

𝛾 Distorção angular

𝐺 Módulo cisalhamento ou módulo de elasticidade transversal

�⃗� base vetorial em relação a x

�⃗� base vetorial em relação a y

�⃗� base vetorial em relação a k

𝑓1 base vetorial em relação a 𝜉1



�⃗� vetor de posição

𝑝 vetor de posição

�⃗� vetor de posição

𝑊𝑝 Função peso

𝑅𝑏 Resíduo

𝑓𝑏 Função aproximadora

𝐻 Função de forma

𝜉 Coordenadas de área

𝐴 Área

𝑉 Volume

𝑡 Espessura

𝜌 Densidade

𝐷 Matriz constitutiva do material

𝑑 Vetor deslocamentos

𝐾 Matriz de rigidez

𝑟 Vetor de força de superfície

𝑓 Vetor de força de corpo

𝑚 Matriz de massa consistente

𝑇3 Elemento triangular com 3 nós





𝑇𝐸4 Elemento Tetraédrico com 4 nós




20

1 INTRODUÇÃO

A busca por resultados com maior grau de exatidão e a constante evolução damatemática computacional, com ênfase na computação simbólica, permitiram o desenvolvi-mento de elementos finitos de ordem superior a um relativo baixo custo computacional parasua elaboração e aplicação. A elevação do grau de precisão e desempenho computacionaldos elementos finitos são temas de grande interesse por diversos pesquisadores ao longo dosanos, com o objetivo de possibilitar a solução de problemas complexos com maior exatidão,em especial os sistemas tridimensionais que requerem um maior número de variáveis.

O método dos elementos finitos consiste na discretização do sistema estrutural empequenos subdomínios chamados elementos finitos, que são conectados entre si por nóse cada elemento mantém as mesmas propriedades da estrutura completa. Uma grandevantagem do MEF é sua linguagem ser facilmente aplicada à sistemas computacionais.

Conforme Fish e Belytschko (2009), o MEF foi desenvolvido nos anos 1950 pelaindustria aeroespacial. Sua formulação foi tratada pioneiramente por Argyris e Kelsey em1955 (publicada em 1960). Em 1956, M.J. Turner, R.W. Clough, H.C.Martin e L.J. Topppublicaram um dos primeiros artigos onde foram apresentadas algumas das principaisideias do MEF como a formulação e montagem da matriz do elemento. Com a evolução eredução dos custos computacionais ao longo das décadas a aplicação do MEF a sistemascomputacionais ganhou enorme popularidade, e diversos programas computacionais foramdesenvolvidos, a exemplo do ANSYS e ABAQUS. Assim o MEF possibilitou uma reduçãosignificativa no tempo do ciclo de um projeto, levando a uma explosão da popularidadedo MEF com milhões de engenheiros e cientistas em todo o mundo aplicando-o nos maisdiversos campos.

A precisão dos resultados de análises estruturais utilizando o método dos elementosfinitos está diretamente ligada à malha e exatidão do elementos. As técnicas mais utilizadaspara refinar os resultados são p, h, hp e r. A versão p-adaptativa consiste no aumentodo grau do polinômio de modo a elevar a precisão do elemento mantendo a malha inicialmais simples, evitando a necessidade de discretização adicional do domínio. A versão h,por sua vez, aumenta o número de elementos mantendo o grau da função de interpolaçãoconstante. A versão hp é composta pela junção das duas versões anteriores e versão r éobtida por meio da modificação da posição dos nós mantendo a topologia da malha. AFigura 1.1 ilustra os referidos tipos de refinamento.

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 21

Malha Inicial

Refinamento - P Refinamento - HP Refinamento - H

Refinamento - R

Figura 1.1 – Refinamento Adaptativo.

O foco deste trabalho é o desenvolvimento de elementos finitos de ordem superioraplicados à teoria da elasticidade, a qual tem por objetivo a determinação do campo dedeslocamento e tensões atuantes em um sistema sob a ação de cargas externas. Porém,a medida que se eleva o grau das funções de interpolação surgem grandes custos compu-tacionais decorrentes tanto das integrações quanto do aumento da ordem das matrizesdo sistema. Segundo Lee e Loo (1997), quanto maior o número de graus de liberdade,maior será o custo computacional, devido à formação das matrizes globais e a solução dosistema linear. Diante disso, surgiram vários estudos visando contornar esse problemautilizando a integração numérica de Gauss e matrizes simbólicas explícitas em aplicaçõesbidimensionais e tridimensionais.

Os reduzidos recursos computacionais limitaram o desenvolvimento de elementosfinitos de ordem superior, mas o avanço da tecnologia vem facilitando cada vez mais aaplicação desses elementos. Outro fator que dificultou a aplicação dos elementos finitosde ordem superior foi a falta de programas computacionais para geração de malhas comelementos de maior ordem.

Segundo Novotny e Fancello (1996), a versão p-adaptativa é adequada a problemasem que a solução não possui pontos de singularidade. Nesse caso o erro decresce expo-nencialmente com o aumento da ordem polinomial dos elementos, sendo essa uma versãoeficiente. Porém, em regiões que apresentam singularidades, os resultados podem oscilar.Nesse caso, a região com singularidade deve ser adequadamente discretizada (refino h)antes de aplicar a versão p-adaptativa. A versão mais eficiente é a hp, pois permite ajunção das vantagens das versões p e h, por consequência obtém resultados mais eficientes.

Nesta dissertação, elementos finitos de alta ordem serão desenvolvidos e aplicados


a problemas de análise estática e modal tendo como objetivo determinar os deslocamentos,tensões, frequências e modos de vibração. Para análise bidimensional optou-se peloelemento triangular e para análise tridimensional será utilizado o elemento tetraédrico. Emambos os casos os elementos foram escolhidos por sua grande versatilidade de aplicação àsmais diversas formas geométricas.

Essa pesquisa faz parte das iniciativas do grupo de Matemática Aplicada e MétodosNuméricos em Engenharia da UFPE (MAMNE), que tem como objetivo a construção edivulgação do conhecimento no MEF.

1.1 Objetivos

Objetivo Global:

∙ Estudar o desempenho de elementos finitos de ordem superior e suas aplicações àproblemas de elasticidade bidimensional e tridimensional de modo a reduzir o custocomputacional e elevar a precisão dos resultados em análises estáticas e dinâmicas.

Objetivos Específicos:

∙ Desenvolver um código para refinamento-p de malhas triangulares e tetraédricaspartindo de malhas iniciais, com elementos, respectivamente, de três e quatro nós;

∙ Obter matrizes explícitas simbólicas para elementos de ordem superior planos eespaciais por meio de rotinas específicas;

∙ Avaliar o custo de processamento dos elementos de ordem superior utilizando matrizesexplícitas comparado ao método da integração numérica (Gauss);

∙ Desenvolver um código para análises estática e modal;

∙ Validar os códigos propostos com aplicações em problemas de elasticidade bidimensi-onal e tridimensional.

1.2 Metodologia

Com o objetivo de elevar a precisão dos resultados para elementos finitos planose espaciais foi realizada uma revisão bibliográfica acerca do tema. Em aplicações geraisduas técnicas são as mais praticadas, sendo elas a versão h-adaptativa, onde eleva-se onúmero de elementos mantendo a ordem do polinômio, e a versão p-adaptativa, onde amalha é mantida e eleva-se o grau do polinômio. A versão h-adaptativa é a técnica maisutilizada, por ser mais simples sua aplicação. Por sua vez, a versão p-adaptativa é pouco


utilizada, em parte pela pouca oferta de programas para refinamento-p de malhas e emparte pela complexidade da formulação de elementos de ordem superior.

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2

1º Ordem 2º Ordem 3º Ordem 4º Ordem 5º Ordem

T3 T6 T21T15T10

TE 4TE 4 TE 10 TE 20 TE 35

Figura 1.2 – Elementos desenvolvidos.

Os elementos de alta ordem demandam elevado custo computacional. De modoa avaliar o método de maior eficiência foram formulados códigos utilizando matrizessimbólicas explícitas e a integração numérica de Gauss. Onde foram avaliados o desempenhopara montagem da matriz de rigidez do elemento, montagem da matriz global e soluçãodo sistema linear de deslocamento.

Foram formulados códigos computacionais para análise estática e modal, comauxílio do MatLab, aplicados a elementos de ordem superior planos e espaciais conformeilustração da Figura 1.2. Também foi formulado um código para gerar malhas de ordemsuperior partindo de uma malha inicial que pode ser obtida manualmente ou com auxíliode programas comerciais a exemplo do software GID. Para elementos triangulares, ousuário fornece a malha com elementos de três nós e o código cria os nós adicionais paramalhas de 6, 10, 15 ou 21 nós, a Figura 1.3 ilustra esse processo. No caso dos elementostetraédricos o usuário fornece a malha inicial com elementos de 4 nós e o código, a critériodo usuário, fornece malhas para elementos com 10, 20 ou 35 nós. Ao final do processamento,é fornecido ao usuário dois aquivos .txt, sendo um com as coordenadas do elemento e ooutro com as conectividades, além de apresentar imagem da malha com a numeração dosnós e elementos.


Malha Inicial - T3Refinamento - T6

Refinamento - T10 Refinamento - T15

Refinamento - T21

Figura 1.3 – Refinamento p de Malha.

Em seguida, foram realizadas aplicações, sendo seus resultados foram validadoscom auxílio de softwares comerciais.

1.3 Revisão da Literatura

1.3.1 Elasticidade bidimensional

A busca por soluções com maior precisão é tema de grande interesse por diversospesquisadores. A evolução da matemática computacional e simbólica possibilitou aconstrução de elementos finitos de ordem superior de forma eficiente, porém diversasdúvidas surgiram quanto às suas aplicações. Diante disso, foram realizadas diversaspesquisas com objetivo de formular elementos finitos de ordem superior e avaliar suaeficiência computacional, sendo a síntese desses trabalhos apresentados a seguir.

Segundo Moser e Swoboda (1977) muitos programas utilizavam o elemento T3devido a facilidade de programação com sua formulação explícita, porém o elemento T3possui baixa taxa de convergência. A solução adotada foi a utilização do elemento T6 deforma explícita evitando a integração, reduzindo assim o tempo de processamento.

Segundo Subramaniant e Jeyachandra (1981) o método para obtenção de elementosde ordem superior explícito é difícil e pouco atraente. Sendo um modo de contornaresse problema a aplicação da expressão para integração de elementos triangulares, porcoordenadas de área. Outros pesquisadores como Rathod (1988), Sengupta e Dasgupta(1990) utilizaram a mesma solução e foi verificado que a forma explícita requer ummenor custo computacional se comparado à integração analítica ou numérica. Sengupta


e Dasgupta (1990) enfatizaram a vantagem da utilização das coordenadas de área naformulação das matrizes explícitas.

Segundo Babuska e Szabo (1982) a técnica de redução de erros mais eficiente éaquela para qual a curva erro versos custo de processamento é mais íngreme. Foi verificadona pesquisa que a versão p possui maior taxa de convergência que a versão h. Vale salientarque Barna Szabó, Ivo Babuška e Kent Myers desenvolveram o software StressCheck, umdos primeiros programas comerciais a utilizar a versão p do método dos elementos finitos.

Babu e Pinder (1984) avaliaram a eficiência da integração simbólica para elementosquadrilaterais e verificaram que este procedimento é mais eficiente que a integração deGauss. As fórmulas resultantes são precisas, computacionalmente eficientes e facilmentecodificadas.

Kikuchi (1989) realizou uma análise da precisão e tempo de processamento para oelemento quadrilateral isoparamétrico de 4 nós utilizando matriz explícita e integraçãonumérica. Seus estudos mostraram que para campos de tensões uniformes os resultadosobtidos com a integração numérica são iguais à integração simbólica para tempos deprocessamento semelhantes. Porém, para campos de tensões não uniformes tornam-senecessários mais pontos de integração para convergência, com isso eleva-se o tempo deprocessamento. Como consequência, a integração simbólica torna-se mais vantajosa,computacionalmente.

Dasgupta e Sengupta (1990) formularam elementos triangulares de placa explícitos.Para tal utilizaram coordenadas de área, que possibilitaram a obtenção das expressõesexplícitas para os coeficientes da matriz de rigidez e carga, evitando assim processosnuméricos demorados. As expressões são compactas e foram utilizadas confortavelmenteem computadores.

Para Lawrence et al. (1991) o elemento triangular, por possuir uma base polinomialcompleta, apresenta certa vantagem em relação ao quadrilateral, que utiliza polinômiosincompletos, facilitando a formulação p-adaptativa do elemento. Em seu estudo Lawrence(1991) mostrou que o refinamento-p converge com uma quantidade menor de graus deliberdade que o refinamento-h, portanto o refinamento-p apresenta uma taxa maior deconvergência.

Yang (1994) apresentou uma formulação simbólica onde a integração para formaçãoda matriz de rigidez, força de corpo e cargas externas são transformadas, a partir da teoriade Eisenberg e Malvern, em funções algébricas de modo a reduzir o custo computacionalcom a integração.

Griffiths (1994) apresentou a forma explícita para o elemento quadrilateral de 4 nóse avaliou custo computacional deste método comparado-o à integração numérica. Foramrealizadas várias repetições para formação da matriz do elemento, os resultados mostraram


que a forma explícita das matrizes possibilita uma maior eficiência computacional paraformação da matriz do elemento.

A pesquisa realizada por Saether (1996) mostrou que a utilização de matrizesexplícitas pode ser aplicada à análises não-lineares e de forma similar ao caso linear,produzindo uma grande redução no tempo de processamento, principalmente na montagemda matriz de rigidez global.

A pesquisa de Videla et al. (1996) endossa a conclusão dos trabalhos anterioresonde a integração explícita mostrou-se mais vantajosa do que a integração numérica.

Lee e Hobbs (1998) apresentaram um elemento quadrilateral híbrido que possui boaprecisão e reduzido custo computacional, sendo esse elemento uma opção a formulação deelementos de ordem superior e elementos de lados curvos que requerem um maior esforçoem sua formulação.

Zhou e Vecchio (2006), propuseram uma forma explícita do elemento quadrilateralde quatro nós a partir dos estudos de Griffths (1994) para modelar o comportamentonão-linear de estruturas de concreto armado. Foi verificado que o elemento retangular nãoé adequado em muitas aplicações, por exemplo, em topologias de malha não uniforme ouonde efeitos de geométricos não lineares resultam em regeneração de malha.

Lozada et al. (2006) mostraram em seus estudos que para elementos quadrilateraisde oito nós a utilização de matrizes simbólicas reduz o tempo de processamento emaproximadamente um terço em relação à integração numérica. Lozada et al. (2009)apresentaram novo estudo para o mesmo elemento onde foi obtido cerca de cinquenta porcento de ganho computacional utilizando a matriz simbólica, considerando a simetria etransformações de coordenadas.

Videla et al. (2007) realizaram um estudo comparativo entre matriz explícita eintegral numérica para o elemento quadrilateral com oito nós. Como resultado foi obtidouma redução de cinquenta por cento no custo computacional utilizando a matriz de rigidezexplícita. Verificaram que mesmo para elementos distorcidos a integração analítica garanteresultados precisos. Foi observado que os programas para operações analíticas nem sempresimplificam totalmente as fórmulas, sendo necessário uma simplificação manual adicional.

Griffiths et al. (2009) realizaram um estudo comparativo entre integral numéricae matriz explícita para elementos triangulares de 3, 6, 10 e 15 nós com o objetivo dedeterminar o método de maior eficiência computacional. A eficiência foi medida com aavaliação do tempo para formação da matriz do elemento em dez milhões de repetiçõescom código em linguagem FORTRAN. Os resultados mostraram que o método utilizandomatriz explícitas apresenta ampla vantagem em relação a integração numérica. Os mesmosautores verificaram que a matriz de rigidez além da simetria apresenta vários termos iguaisou nulos, de posse dessa informação foi possível reduzir as substituições simbólicas na


matriz e, consequentemente, elevou-se a eficiência do método.

Anyaegbunam e Ojiako (2011) formularam a matriz explícita para o elementotriangular com 15 nós, evitando dessa forma a integração numérica, consequentemente,reduzindo o custo computacional. Os autores concluíram que apesar da vantagem oelemento com 15 nós em relação aos elementos de ordem inferior, este é subutilizado emanálises de elementos finitos.

1.3.2 Elasticidade tridimensional

No caso dos elementos finitos tridimensionais a utilização de elementos de ordemsuperior apresenta grande ganho de precisão assim como no caso bidimensional. Porém, ocusto computacional a medida que eleva-se a ordem do polinômio é maior que no casoanterior, pois uma função de interpolação tridimensional apresenta mais termos que umafunção de mesma ordem bidimensional. Isso ocorre pois o elementos tridimensionaispossuem um grau de liberdade a mais, além de ser necessário número maior de nós paradiscretizar um elemento espacial que um elemento plano.

Rathod (1987.a) apresentou formulação explícita para elemento de seis lados(hexaedro) de ordem linear, quadrática e cubica, onde esses elementos possibilitam resolvermuitos sistemas estruturais com geometria complexa e com elevada precisão dos resultados.

Segundo Rathod (1987.b) a utilização de elementos de ordem superior vem crescendo,motivado pela procura de soluções mais precisas em problemas mecânicos. Porém aintegração numérica requer bastante tempo, o que torna a matriz explícita mais vantajosapois requer um menor custo computacional.

Lawrence e Nambiar (1989) mostraram em sua pesquisa que a aplicação de matrizessimbólicas (explícitas) apesar de demandar maior tempo em sua elaboração, produz umaredução do tempo de processamento significativa se comparado à integração numérica.

A integração numérica apresenta resultados ruins em algumas situações comoexpressões irracionais, sendo necessário em muitos casos o acréscimo de pontos de integração,por consequência, elevação do custo computacional. Yagawa et al. (1990) apresentaramum esquema para otimizar a integração numérica com o auxílio da computação simbólicade modo a utilizar o menor número de pontos de integração necessários à convergência dasolução.

Segundo Shiakolas, et al. (1992) o elemento tetraédrico não é muito utilizado devidoa dificuldade de visualizar e criar manualmente uma malha, além do elemento tetraédricolinear apresentar fraco desempenho. Porém, para elementos de ordem superior o elementotetraédrico torna-se mais vantajoso e em malhas arbitrárias o elemento tetraédrico torna-sefundamental.


Os estudos de Shiakolas et al. (1994) utilizando tetraedros e Seather (1995)utilizando hexaedros mostraram que a matriz explícita requer tempo de processamentomuito inferior se comparado à integração Gaussiana.

No passado foi demonstrado que a utilização de matrizes explícitas para tetraedrosreduz significativamente o tempo de processamento se comparado a integrações numéricaspara elementos de segunda e terceira ordens. Com o avanço da tecnologia computacional esimbólica dos softwares tem facilitado o desenvolvimento de elementos de ordem superior.Com isso McCaslin et al. (2012) usaram o elemento tetraédrico de quarta ordem com 35nós. E seus resultados mostraram que o ganho no custo computacional com a utilização dematrizes explícitas se comparados à integração numérica justificam o investimento extrana geração das expressões simbólicas.

Conforme Cerrolaza et al. (2012), para o caso dos elementos finitos tridimensionaisa quantidade de coeficientes para integração é muito elevada e complexa, tornando aotimização e redução do tempo de CPU ao integrar as matrizes de rigidez a maiorpreocupação dos pesquisadores. Em seu estudo os autores reduziram ao máximo o númerode integrações do elemento hexaédrico. Usaram a simetria da matriz do elemento ereduziram os termos na parte simétrica da matriz. Os resultados mostraram que a matrizde rigidez simbólica simplificada apresentou maior eficiência que a integração de Gauss.

1.4 Limitações do Trabalho

As principais limitações deste trabalho são:

∙ Os elementos triangulares e tetraédricos foram formulados para lados retos. Entre-tanto, comparação com resultados e desempenho para formulações com lados curvosseriam interessantes;

∙ As formulações são para materiais homogêneos e isotrópicos aplicados à elasticidadelinear, portanto não foram consideradas as não linearidades;

∙ Não foi desenvolvido um método de refinamento localizado;

∙ Um metódo de estimativa de erro não foi abordado;

∙ O código depende de uma malha prévia (inicial) de um pré-processador externo.


1.5 Estrutura do Trabalho

No segundo capítulo serão apresentados os fundamentos da teoria da elasticidadenecessários ao desenvolvimento do tema proposto por esse trabalho. Será desenvolvidaa equação governante para corpos sob ação de forças externas, a montagem da matrizconstitutiva para elasticidade 2D e 3D, e as principais relações cinemáticas.

O terceiro capítulo descreve a formulação geral dos elementos finitos tridimensionais(com posterior simplificação para o casos bidimensional) aplicando o método dos resíduosponderados de Galerkin. Será apresentada a expressão geral para as matrizes de rigidez,forças de superfície e forças de corpo.

No quarto capítulo será abordada a formulação da matriz de rigidez e obtençãodas funções de forma para elementos de ordem superior. Os elementos apresentados serãoo elemento triangular aplicando coordenadas de áreas e elementos tetraédricos aplicandocoordenadas de volume.

O quinto capítulo descreve a obtenção do vetor de força de superfície para elementostriangulares e tetraédricos de alta ordem.

No sexto capítulo surge a formulação do vetor de força de corpo e a formulaçãogeral da expressão para obtenção da matriz de massa consistente, necessária à análisemodal.

No sétimo capítulo serão abordados os principais aspectos computacionais doscódigos desenvolvidos durante esse trabalho, sendo eles:

∙ Código para criação da matriz de rigidez e massa explícita e vetores de força desuperfície e força de corpo;

∙ Código para refinamento-p de malhas, partindo de elementos triangulares com trêsnós ou elementos tetraédricos com quatro nós;

∙ Código para análise estática e modal.

No oitavo capítulo será apresentada a análise do custo computacional entre elemen-tos utilizando matrizes explícitas versos integração numérica. Também serão apresentadose discutidos problemas práticos envolvendo aplicações bidimensionais e tridimensionais.

Por fim, o nono capítulo apresentará as considerações finais do trabalho, bem comosugestões para trabalhos futuros.

30

2 FUNDAMENTOS DA TEORIA DA

ELASTICIDADE

A Figura 2.1 apresenta um esquema simplificado para o estado de tensões em umponto qualquer de um sólido:

Ƭxyσy

d

Ʊ

Ʊ

X

Y

Z

σz+ᵨσzᵨz

dz

σx+

ᵨσx

ᵨx dx

σx

σz

σy

ƬxzƬyz

Ƭyz

Ƭxy

Ƭxz

fxfz

fy

Figura 2.1 – Equilíbrio de um elemento infinitesimal de um contínuo.

Onde,

𝜎𝑥, 𝜎𝑦 e 𝜎𝑧 são as tensões normais em cada plano;

𝜏𝑥𝑦,𝜏𝑥𝑧 e 𝜏𝑦𝑧 são as tensões de cisalhamento;

e 𝑓𝑥, 𝑓𝑦 e 𝑓𝑧 são as forças de corpo.

Segundo Logan (2006) as forças de corpo podem surgir devido ao peso do corpo(forças gravitacionais), velocidade angular (força centrífuga), forças inerciais na dinâmicaou forças magnéticas.

Na Figura 2.2 são apresentadas as tensões atuantes em cada um dos três planos,de modo a facilitar a análise do equilibro do sólido.

Capítulo 2. FUNDAMENTOS DA TEORIA DA ELASTICIDADE 31

Ƭxy+

Ƭxy

ᵨƬxy

ᵨx dx

σy+

ᵨσy

ᵨy dy

σx+

ᵨσx

ᵨx dxσx

σy

fx

fy

X

Y

Ƭxy+ ᵨƬxy

ᵨy dy

(a) Plano x-y

Ƭyz+

Ƭyz

ᵨƬyz

ᵨy dy

σz+

ᵨσz

ᵨz dz

σy+

ᵨσy

ᵨy dyσy

σz

fy

fz

Y

Z

Ƭyz+ ᵨƬyz

ᵨz dz

(b) Plano y-z

Ƭxz+

Ƭxz

ᵨƬxz

ᵨx dx

σz+

ᵨσz

ᵨz dz

σx+

ᵨσx

ᵨx dxσx

σz

fx

fz

X

Z

Ƭxz+ ᵨƬxz

ᵨz dz

(c) Plano x-z

Figura 2.2 – Equilíbrio de um elemento.

Para o equilíbrio na direção 𝑥:

𝛴𝐹𝑥 = 0 (2.1)

(𝜎𝑥 + 𝜕𝜎𝑥

𝜕𝑥d𝑥)d𝑦d𝑧 − 𝜎𝑥d𝑦d𝑧 + (𝜏𝑥𝑦 + 𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑦d𝑦)d𝑥d𝑧 − 𝜏𝑥𝑦d𝑥d𝑧+

+ (𝜏𝑥𝑧 + 𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑧d𝑧)d𝑥d𝑦 − 𝜏𝑥𝑧d𝑥d𝑦 + 𝑓𝑥d𝑥d𝑦d𝑧 = 0

(2.2)

Simplificando os termos temos:𝜕𝜎𝑥

𝜕𝑥+ 𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑦+ 𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑧+ 𝑓𝑥 = 0 (2.3)

Por analogia temos para 𝛴𝐹𝑦 = 0:

𝜕𝜎𝑦

𝜕𝑦+ 𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑧+ 𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥+ 𝑓𝑦 = 0 (2.4)

Para 𝛴𝐹𝑧 = 0, temos:𝜕𝜎𝑧

𝜕𝑧+ 𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑥+ 𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦+ 𝑓𝑧 = 0 (2.5)


Portanto as equações governantes do problema são dados pelas expressões (2.3),(2.4) e (2.5).

Estando um corpo sob ação de esforços externos, a exemplo da Figura 2.1, estesofre mudanças em sua forma e dimensões, passando de uma configuração indeformadapara uma deformada (Figura 2.3). Um ponto A qualquer possui as coordenadas 𝑥, 𝑦 e 𝑧em sua posição inicial, após a ação dos esforços externos o ponto A passa para posição A*de coordenadas 𝑥+ 𝑢, 𝑦 + 𝑣 e 𝑧 +𝑤 ficando o campo de deslocamentos determinado pelasfunções:

𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑤 = 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧)

(2.6)

x

y

z

A

A*

Configuração deformada

Configuraçãoindeformada

Figura 2.3 – Deformações e deslocamentos de um corpo qualquer.

As principais propriedades, equações e relações constitutivas da elasticidade sãoitens de fundamental importância aos estudos das deformações e tensões nos materiaisque compõem os sólidos, diante disso vários autores, a exemplo de Villaça e Garcia (2000),detalham suas formulações.

A primeira etapa é determinar a matriz constitutiva do material. Partiremos da leide Hooke:

𝜎 = 𝐸𝜀 (2.7)

Onde,

𝜎 é a tensão longitudinal,

𝐸 é o modulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young, e

𝜀 é a deformação.


σx

δxx

y

z

dx

(a) deformações devido à tensão no eixo x

Ƭxy

Ƭxy

Ƭxy

Ƭxyx

y

z

(b) distorção angular

Figura 2.4 – Corpo deformado.

Considerando a Figura 2.4.a, com deformações apenas no eixo X, podemos observarque a peça sofreu um alongamento na direção da tensão, sendo também perceptível que omaterial sofreu um encurtamento lateral nas direções dos eixos Y e Z. Esse encurtamentolateral é representado pelo coeficiente de Poisson, 𝜈, sendo que este é determinado atravésde ensaios de laboratório. As seguintes expressões mostram esse encurtamento lateral:

𝜀𝑦 = −𝜈 𝜎𝑥

𝐸(2.8a)

𝜀𝑧 = −𝜈 𝜎𝑥

𝐸(2.8b)

O alongamento longitudinal é dado por:

𝜀𝑥 = 𝜎𝑥

𝐸(2.9)

De forma análoga podemos determinar as deformações longitudinais e encurtamen-tos para os demais eixos, e em seguida acumular a deformação em cada eixo, obtendo asexpressões a seguir:

𝜀𝑥 = 𝜎𝑥

𝐸− 𝜈

𝜎𝑦

𝐸− 𝜈

𝜎𝑧

𝐸(2.10a)

𝜀𝑦 = −𝜈 𝜎𝑥

𝐸+ 𝜎𝑦

𝐸− 𝜈

𝜎𝑧

𝐸(2.10b)

𝜀𝑧 = −𝜈 𝜎𝑥

𝐸− 𝜈

𝜎𝑦

𝐸+ 𝜎𝑧

𝐸(2.10c)

A seguir, temos de forma matricial o alongamento considerando as três dimensões:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝜀𝑥

𝜀𝑦

𝜀𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭= 1𝐸

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1 −𝜈 −𝜈

−𝜈 1 −𝜈

−𝜈 −𝜈 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝜎𝑥

𝜎𝑦

𝜎𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭(2.11)


Além das deformações longitudinais e encurtamentos laterais o material tambémpode sofrer uma distorção angular em decorrência das tensões de cisalhamento, conformemostrado na Figura 2.4.b. A expressão que apresenta essa distorção é a seguinte:

𝛾𝑥𝑦 = 𝜏𝑥𝑦

𝐺, 𝛾𝑦𝑧 = 𝜏𝑦𝑧

𝐺, 𝛾𝑧𝑥 = 𝜏𝑧𝑥

𝐺(2.12)

Onde,

𝛾 é a distorção angular,

𝜏 é a tensão de cisalhamento e

G é o módulo cisalhamento ou módulo de elasticidade transversal.

Sendo G dado por:

G = 𝐸

2(1 + 𝜈) (2.13)

Combinando a expressão(2.10) com a expressão(2.12), obtemos em forma matricialpara deformações:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝜀𝑥

𝜀𝑦

𝜀𝑧

𝛾𝑥𝑦

𝛾𝑦𝑧

𝛾𝑧𝑥

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

= 1𝐸

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 −𝜈 −𝜈 0 0 0

−𝜈 1 −𝜈 0 0 0

−𝜈 −𝜈 1 0 0 0

0 0 0 2(1 + 𝜈) 0 0

0 0 0 0 2(1 + 𝜈) 0

0 0 0 0 0 2(1 + 𝜈)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝜎𝑥

𝜎𝑦

𝜎𝑧

𝜏𝑥𝑦

𝜏𝑦𝑧

𝜏𝑧𝑥

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(2.14)

Resolvendo para tensões, obtemos:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝜎𝑥

𝜎𝑦

𝜎𝑧

𝜏𝑥𝑦

𝜏𝑦𝑧

𝜏𝑧𝑥

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

= 𝐸

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 − 𝜈 𝜈 𝜈 0 0 0

𝜈 1 − 𝜈 𝜈 0 0 0

𝜈 𝜈 1 − 𝜈 0 0 0

0 0 0 1−2𝜈2 0 0

0 0 0 0 1−2𝜈2 0

0 0 0 0 0 1−2𝜈2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝜀𝑥

𝜀𝑦

𝜀𝑧

𝛾𝑥𝑦

𝛾𝑦𝑧

𝛾𝑧𝑥

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(2.15)

De forma compacta a equação 2.15 é dada por:

{𝜎} = [𝐷]{𝜀} (2.16)


Onde, [D] é a matriz constitutiva do material.

Na elasticidade bidimensional pode-se trabalhar com estado plano de tensões ouestado plano de deformações. O estado plano de tensões é aplicado à estruturas comespessura muito inferior a largura e comprimento, e tensões nulas no eixo da espessura.Por sua vez, o estado plano de deformações é aplicado a problemas onde o comprimentonormal ao plano da seção é muito superior a seção transversal, apresentando deformaçõesapenas nos eixos da seção, sendo a deformação na direção do comprimento consideradanula.

Para o estado plano de tensões existem tensões em apenas duas direções,conforme ilustrado pela Figura 2.5.

Y

XZ

Figura 2.5 – Estado plano de tensões.

Logan (2006) define que para o estado plano de tensões a tensão normal e decisalhamento perpendiculares ao plano do elemento são nulas, portanto:

𝜎𝑧 = 𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 = 0 (2.17)

𝜎𝑥 ̸= 0, 𝜎𝑦𝑧 ̸= 0, 𝜏𝑥𝑦 ̸= 0 (2.18)

Substituindo as expressões acima na expressão(2.14) (matriz constitutiva) obtemospara deformações:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝜀𝑥

𝜀𝑦

𝛾𝑥𝑦

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭= 1𝐸

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1 −𝜈 0

−𝜈 1 0

0 0 2(1 + 𝜈)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝜎𝑥

𝜎𝑦

𝜏𝑥𝑦

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭(2.19)


Resolvendo para tensões, obtemos:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝜎𝑥

𝜎𝑦

𝜏𝑥𝑦

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭= 𝐸

1 − 𝜈2

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1 𝜈 0

𝜈 1 0

0 0 1−𝜈2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝜀𝑥

𝜀𝑦

𝛾𝑥𝑦

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭(2.20)

Para o estado plano de deformações existem deformações em apenas duasdireções e tensões ao longo de seu comprimento, conforme ilustrado pela Figura 2.6.

Y

X

Z

Figura 2.6 – Estado plano de deformações.

Logan (2006) define que para estado plano de deformações as deformações perpen-diculares ao eixo x-y são nulas, sendo essa premissa válida para corpos longos na direçãodo eixo z, portanto:

𝜀𝑧 = 𝛾𝑦𝑧 = 𝛾𝑧𝑥 = 0 (2.21)

𝜀𝑥 ̸= 0, 𝜀𝑦 ̸= 0, 𝛾𝑥𝑦 ̸= 0 (2.22)

Substituindo as expressões acima na expressão(2.15) (matriz constitutiva) obtemos paratensões:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝜎𝑥

𝜎𝑦

𝜏𝑥𝑦

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭= 𝐸

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1 − 𝜈 𝜈 0

𝜈 1 − 𝜈 0

0 0 1−2𝜈2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝜀𝑥

𝜀𝑦

𝛾𝑥𝑦

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭(2.23)

Resolvendo para deformações, obtemos:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝜀𝑥

𝜀𝑦

𝛾𝑥𝑦

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭= 1 + 𝜈

𝐸

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1 − 𝜈 −𝜈 0

−𝜈 1 − 𝜈 0

0 0 2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝜎𝑥

𝜎𝑦

𝜏𝑥𝑦

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭(2.24)


Relações Cinemáticas

Conforme Villaça e Garcia (2000) admite-se a hipótese de pequenas mudançasde configuração, para relação entre as componentes de deformação e de deslocamento.Por essa hipótese as deformações e rotações sofridas pelos segmentos elementares sãoconsideradas muito pequenas em presença da unidade. Como consequência, as relaçõesdeformação-deslocamento podem basear-se em projeções sobre os planos coordenados, dossegmentos elementares na configuração deformada que originalmente tinham a direção doseixos.

x

y

z

dx

dy

u+ ᵨuᵨxdx

v+

ᵨ v ᵨ xdx

ᵨ v ᵨ xdx

ᵨuᵨydy

u+ ᵨuᵨydy

ux

yv

v+

ᵨ v ᵨ ydy

ɸ

�

A

C

B

A* B*

C*

Figura 2.7 – Deformações e deslocamentos.Fonte: Villaça e Garcia, 2000.

Supondo que um corpo sofra deformações e deslocamentos conforme a Figura 2.7,obtemos as seguintes expressões, conforme apresentado por Villaça e Garcia (2000):

d𝑥+ u + 𝜕u𝜕𝑥

d𝑥 = u + 𝐴*𝐵* cos𝜑 (2.25a)

d𝑦 + v + 𝜕v𝜕𝑦

d𝑦 = v + 𝐴*𝐶* cos𝜓 (2.25b)

𝜑+ 𝜓 = 𝜋

2 − 𝐶*𝐴*𝐵* (2.25c)

sin𝜑 =𝜕v𝜕𝑥

d𝑥𝐴*𝐵* (2.25d)

sin𝜓 =𝜕u𝜕𝑦

d𝑦𝐴*𝐶* (2.25e)


Tendo em vista a hipótese dos pequenos deslocamentos e rotações são validas asseguintes aproximações:

𝐴*𝐵* = d𝑥(1 + 𝜀𝑥) (2.26a)

𝐴*𝐶* = d𝑦(1 + 𝜀𝑦) (2.26b)𝜋

2 − 𝐶*𝐴*𝐵* = 𝛾𝑥𝑦 (2.26c)

sin𝜑 ∼= 𝜑, cos𝜑 ∼= 1, sin𝜓 ∼= 𝜓, cos𝜓 ∼= 1 (2.26d)

Substituindo as expressões(2.26) nas expressões(2.25), obtemos:

d𝑥+ 𝜕u𝜕𝑥

d𝑥 = d𝑥(1 + 𝜀𝑥) (2.27a)

d𝑦 + 𝜕v𝜕𝑦

d𝑦 = d𝑦(1 + 𝜀𝑦) (2.27b)

𝜑+ 𝜓 = 𝛾𝑥𝑦 (2.27c)

𝜑 =𝜕v𝜕𝑥

d𝑥d𝑥(1 + 𝜀𝑥) (2.27d)

𝜓 =𝜕u𝜕𝑦

d𝑦d𝑦(1 + 𝜀𝑦) (2.27e)

Da expressão(2.27a) e (2.27b), obtemos:

𝜀𝑥 = 𝜕𝑢

𝜕𝑥, 𝜀𝑦 = 𝜕𝑣

𝜕𝑦(2.28)

Das expressões(2.27c), (2.27d) e (2.27e), e sendo 𝜀𝑥 e 𝜀𝑦 muito pequenos em presençada unidade, temos:

𝛾𝑥𝑦 = 𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝜕𝑣

𝜕𝑥(2.29)

Após projeção nos outros dois planos coordenados, obtemos as demais expressõespara deslocamento e rotação. Temos assim as relações deformação-deslocamento para ostrês planos:

𝜀𝑥 = 𝜕𝑢

𝜕𝑥, 𝜀𝑦 = 𝜕𝑣

𝜕𝑦, 𝜀𝑧 = 𝜕𝑤

𝜕𝑧


𝜕𝑦+ 𝜕𝑣

𝜕𝑥, 𝛾𝑥𝑧 = 𝜕𝑢

𝜕𝑧+ 𝜕𝑤

𝜕𝑥, 𝛾𝑦𝑧 = 𝜕𝑣

𝜕𝑧+ 𝜕𝑤

𝜕𝑦

(2.30)

39

3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

EM ELASTICIDADE

3.1 Introdução

O conceito principal do Método dos Elementos Finitos é encontrar a solução de umproblema complexo substituindo-o por um mais simples. Para solução de um problemaqualquer divide-se a região complexa em varias sub-regiões, onde sua solução individual éobtida de forma simples sem a necessidade de grandes simplificações do problema completo.

A importância do MEF torna-se evidente nas aplicações complexas, em domíniosirregulares e em especial nos problemas em três dimensões, ondes os cálculos analíticossão muito complicados e podem necessitar grandes simplificações. Nesse capitulo seráabordada a formulação do MEF aplicado a problemas de Elasticidade Bidimensional eTridimensional.

3.2 Formulação do Método dos Elementos Finitos

Segundo Kwon e Bang (1996) a solução do problema de elasticidade pode serresolvido através do Método dos Elementos Finitos, aplicaremos a forma fraca do métodopor resíduos ponderados de Galerkin. Este método é aplicado a partir da integração porpartes da expressão (3.1):∫︁

𝐴𝑊𝑝𝑅𝑏𝑑𝐴 (3.1)

com,

𝑊𝑝 = 𝜕𝑓𝑏

𝜕𝑏(3.2)

onde,

𝑅𝑏 é o resíduo;

𝑓𝑏 função aproximadora;

e 𝑊𝑝 é a função peso (derivada parcial da função aproximadora, em cada eixo, paracada grau de liberdade).

Sendo as expressões (2.3), (2.4) e (2.5) as equações governantes do problema e

Capítulo 3. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM ELASTICIDADE 40

aplicando o método de Galerkin, temos:

∫︁𝑉

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝑊1(𝜕𝜎𝑥

𝜕𝑥+ 𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑦+ 𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑧)

𝑊2(𝜕𝜎𝑦

𝜕𝑦+ 𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑧+ 𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥)

𝑊3(𝜕𝜎𝑧

𝜕𝑧+ 𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑥+ 𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦)

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭d𝑉 +

∫︁𝑉

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝑊1𝑓𝑥

𝑊2𝑓𝑦

𝑊3𝑓𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭d𝑉 = 0 (3.3)

Aplicando integração por partes no primeiro termo, obtemos:

∫︁∫︁∫︁⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝜕𝑊1

𝜕𝑥𝜎𝑥

𝜕𝑊2

𝜕𝑦𝜎𝑦

𝜕𝑊3

𝜕𝑧𝜎𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +

∫︁∫︁⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝑊1𝜎𝑥

𝑊2𝜏𝑥𝑦

𝑊3𝜏𝑥𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭𝑑𝑦𝑑𝑧+

∫︁∫︁∫︁⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝜕𝑊1

𝜕𝑦𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑊2

𝜕𝑧𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑊3

𝜕𝑥𝜏𝑥𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +

∫︁∫︁⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝑊1𝜏𝑥𝑦

𝑊2𝜎𝑦

𝑊3𝜏𝑦𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭𝑑𝑥𝑑𝑧+

∫︁∫︁∫︁⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝜕𝑊1

𝜕𝑧𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑊2

𝜕𝑥𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑊3

𝜕𝑦𝜏𝑦𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +

∫︁∫︁⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝑊1𝜏𝑥𝑧

𝑊2𝜏𝑦𝑧

𝑊3𝜎𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0

(3.4)

Simplificando os termos e adicionando o segundo termo da equação (3.3), ficamoscom:

∫︁𝑉

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝜕𝑊1

𝜕𝑥𝜎𝑥 + 𝜕𝑊1

𝜕𝑦𝜏𝑥𝑦 + 𝜕𝑊1

𝜕𝑧𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑊2

𝜕𝑦𝜎𝑦 + 𝜕𝑊2

𝜕𝑧𝜏𝑦𝑧 + 𝜕𝑊2

𝜕𝑥𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑊3

𝜕𝑧𝜎𝑧 + 𝜕𝑊3

𝜕𝑥𝜏𝑥𝑧 + 𝜕𝑊3

𝜕𝑦𝜏𝑦𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭𝑑𝑉 +

∫︁𝐴

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝑊1𝑞𝑥

𝑊2𝑞𝑦

𝑊3𝑞𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭𝑑𝐴+

∫︁𝑉

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝑊1𝑓𝑥

𝑊2𝑓𝑦

𝑊3𝑓𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭𝑑𝑉 = 0 (3.5)

A partir do primeiro termo da equação (3.5) é obtido a matriz de rigidez, o segundotermo as forças nodais equivalentes e o terceiro termo as forças de corpo.

Para determinação da matriz de rigidez tomamos o primeiro termo da expressão


(3.5), apresentado de outra forma:

∫︁𝑉

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝜕𝑊1

𝜕𝑥0 0 𝜕𝑊1

𝜕𝑦0 𝜕𝑊1

𝜕𝑧

0 𝜕𝑊2

𝜕𝑦0 𝜕𝑊2

𝜕𝑥

𝜕𝑊2

𝜕𝑧0

0 0 𝜕𝑊3

𝜕𝑧0 𝜕𝑊3

𝜕𝑦

𝜕𝑊3

𝜕𝑥

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝜎𝑥

𝜎𝑦

𝜎𝑧

𝜏𝑥𝑦

𝜏𝑦𝑧

𝜏𝑥𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

𝑑𝑉 (3.6)

Mas sabemos de (2.15) e (2.16) que:

{𝜎} = [𝐷]{𝜀} (3.7)

Substituindo em (3.6):

∫︁𝑉

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝜕𝑊1

𝜕𝑥0 0 𝜕𝑊1

𝜕𝑦0 𝜕𝑊1

𝜕𝑧

0 𝜕𝑊2

𝜕𝑦0 𝜕𝑊2

𝜕𝑥

𝜕𝑊2

𝜕𝑧0

0 0 𝜕𝑊3

𝜕𝑧0 𝜕𝑊3

𝜕𝑦

𝜕𝑊3

𝜕𝑥

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦[𝐷]

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝜀𝑥

𝜀𝑦

𝜀𝑧

𝛾𝑥𝑦

𝛾𝑦𝑧

𝛾𝑥𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

𝑑𝐴 (3.8)

De (2.30) sabe-se que:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝜀𝑥

𝜀𝑦

𝜀𝑧

𝛾𝑥𝑦

𝛾𝑦𝑧

𝛾𝑥𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝜕𝑢𝜕𝑥

𝜕𝑣𝜕𝑦

𝜕𝑤𝜕𝑧

𝜕𝑢𝜕𝑦

+ 𝜕𝑣𝜕𝑥

𝜕𝑣𝜕𝑧

+ 𝜕𝑤𝜕𝑦

𝜕𝑢𝜕𝑧

+ 𝜕𝑤𝜕𝑥

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(3.9)


Aplicando (3.9) em (3.8) resulta em:

∫︁𝑉

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝜕𝑊1

𝜕𝑥0 0 𝜕𝑊1

𝜕𝑦0 𝜕𝑊1

𝜕𝑧

0 𝜕𝑊2

𝜕𝑦0 𝜕𝑊2

𝜕𝑥

𝜕𝑊2

𝜕𝑧0

0 0 𝜕𝑊3

𝜕𝑧0 𝜕𝑊3

𝜕𝑦

𝜕𝑊3

𝜕𝑥

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦[𝐷]

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝜕𝑢𝜕𝑥

𝜕𝑣𝜕𝑦

𝜕𝑤𝜕𝑧

𝜕𝑢𝜕𝑦

+ 𝜕𝑣𝜕𝑥

𝜕𝑣𝜕𝑧

+ 𝜕𝑤𝜕𝑦

𝜕𝑢𝜕𝑧

+ 𝜕𝑤𝜕𝑥

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

𝑑𝑉 (3.10)

Sendo:

𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐻1(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑢1 +𝐻2(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑢2 + ...+𝐻𝑖(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑢𝑖 (3.11)

𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐻1(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑣1 +𝐻2(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑣2 + ...+𝐻𝑖(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑣𝑖 (3.12)

𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐻1(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑤1 +𝐻2(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑤2 + ...+𝐻𝑖(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑤𝑖 (3.13)

𝑊1(𝑖) = 𝜕𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜕𝑢𝑖

, 𝑊2(𝑖) = 𝜕𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜕𝑣𝑖

, 𝑊3(𝑖) = 𝜕𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜕𝑤𝑖

(3.14)

Onde,

𝑖 varia de 1 ao número de nós do elemento;

𝐻𝑖 são as funções de forma em cada nó do domínio;

𝑊1(𝑖) é a função peso aplicada a cada nó "𝑖"do domínio no eixo 𝑥;

e de forma análoga 𝑊2(𝑖) e 𝑊3(𝑖) são os pesos aplicados respectivamente às funçõesde forma nos eixos 𝑦 e 𝑧.

Substituindo (3.11), (3.12) e (3.13) em (3.9) e 𝑊1 = 𝑊2 = 𝑊3, temos de forma


genérica:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝜕𝑢𝜕𝑥

𝜕𝑣𝜕𝑦

𝜕𝑤𝜕𝑧

𝜕𝑢𝜕𝑦

+ 𝜕𝑣𝜕𝑥

𝜕𝑣𝜕𝑧

+ 𝜕𝑤𝜕𝑦

𝜕𝑢𝜕𝑧

+ 𝜕𝑤𝜕𝑥

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝜕𝐻1𝜕𝑥

0 0 𝜕𝐻2𝜕𝑥

0 0 · · · 𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑥0 0

0 𝜕𝐻1𝜕𝑦

0 0 𝜕𝐻2𝜕𝑦

0 · · · 0 𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑦0

0 0 𝜕𝐻1𝜕𝑧

0 0 𝜕𝐻2𝜕𝑧

· · · 0 0 𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑧

𝜕𝐻1𝜕𝑦

𝜕𝐻1𝜕𝑥

0 𝜕𝐻2𝜕𝑦

𝜕𝐻2𝜕𝑥

0 · · · 𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑦𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑥0

0 𝜕𝐻1𝜕𝑧

𝜕𝐻1𝜕𝑦

0 𝜕𝐻2𝜕𝑧

𝜕𝐻2𝜕𝑦

· · · 0 𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑧𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑦

𝜕𝐻1𝜕𝑧

0 𝜕𝐻1𝜕𝑥

𝜕𝐻2𝜕𝑧

0 𝜕𝐻2𝜕𝑥

· · · 𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑧0 𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑥

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑢1

𝑣1

𝑤1

𝑢2

𝑣2

𝑤2

...

...

...

𝑢𝑖

𝑣𝑖

𝑤𝑖

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(3.15)

A expressão(3.15) pode ser representada por:

{𝜀} = [𝐵] {𝑑} (3.16)

E aplicando (3.14) e (3.15) em (3.10) ficamos com a expressão compacta a seguir:

[𝐾]{𝑑} =∫︁

𝑉[𝐵]𝑇 [𝐷][𝐵]𝑑𝑉 {𝑑} (3.17)


onde,

[𝐵]𝑇 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝜕𝐻1

𝜕𝑥0 0 𝜕𝐻1

𝜕𝑦0 𝜕𝐻1

𝜕𝑧

0 𝜕𝐻1

𝜕𝑦0 𝜕𝐻1

𝜕𝑥

𝜕𝐻1

𝜕𝑧0

0 0 𝜕𝐻1

𝜕𝑧0 𝜕𝐻1

𝜕𝑦

𝜕𝐻1

𝜕𝑥𝜕𝐻2

𝜕𝑥0 0 𝜕𝐻2

𝜕𝑦0 𝜕𝐻2

𝜕𝑧

0 𝜕𝐻2

𝜕𝑦0 𝜕𝐻2

𝜕𝑥

𝜕𝐻2

𝜕𝑧0

0 0 𝜕𝐻2

𝜕𝑧0 𝜕𝐻2

𝜕𝑦

𝜕𝐻2

𝜕𝑥... ... ... ... ... ...

𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑥0 0 𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑦0 𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑧

0 𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑦0 𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑥

𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑧0

0 0 𝜕𝐻𝑖


𝜕𝑦

𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑥

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(3.18)

Dessa forma, temos a expressão para matriz de rigidez para elementos tridimensio-nais:

[𝐾] =∫︁

𝑉[𝐵]𝑇 [𝐷][𝐵]𝑑𝑉 (3.19)

Para o caso bidimensional a espessura da estrutura é constante, desse modo podemosreduzir as expressões tridimensionais (3.18) e (3.19) para expressões bidimensionais, sãoelas respectivamente:

[𝐵] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝜕𝐻1𝜕𝑥

0 𝜕𝐻2𝜕𝑥

0 · · · 𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑥0

0 𝜕𝐻1𝜕𝑦

0 𝜕𝐻2𝜕𝑦

· · · 0 𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑦

𝜕𝐻1𝜕𝑦

𝜕𝐻1𝜕𝑥

𝜕𝐻2𝜕𝑦

𝜕𝐻2𝜕𝑥

· · · 𝜕𝐻𝑖


𝜕𝑥

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (3.20)

[𝐾] = 𝑡∫︁

𝐴[𝐵]𝑇 [𝐷][𝐵]𝑑𝐴 (3.21)

Onde, 𝑡 é a espessura (constante) do elemento na direção normal ao plano.

A integração analítica das expressões (3.19) e (3.21) para elementos de ordemsuperior demanda elevado custo computacional, sendo as estratégias usuais para contornaresse problema a obtenção da matriz de rigidez de forma explícitas ou através da integraçãonumérica de Gauss. Com essas técnicas a integração analítica para cada elemento dosistema é evitada e por consequência o custo computacional é reduzido.

45

4 FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA

MATRIZ DE RIGIDEZ

4.1 Elemento Bidimensional Triangular

O tempo de processamento para códigos utilizando elementos finitos de ordemsuperior é bastante elevado devido às constantes de integrações para montagem das matrizesglobais. Os estudos desenvolvidos por Anyaegbunam e Ojiako (2011), Moser e Swoboda(1977), Subramaniant e Jeyachandra (1981) e Videla, et al. (1996), mostram que oproblema pode ser contornado a partir da formulação matrizes explícitas para os elementosde ordem superior, evitando assim a integração numérica durante o processamento dosdados.

4.1.1 Formulação em coordenadas de área

Cada nó possui dois graus de liberdade, sendo eles os deslocamentos no eixo X eEixo Y. Assan (2003), transforma as coordenadas cartesianas em coordenadas de áreapara em seguida deduzir as funções de forma por coordenadas de área.

Nesse sistema as coordenadas são relacionadas aos lados do elemento triangular evariam de 0 a 1. São definidas três coordenadas 𝜉1, 𝜉2 e 𝜉3 para a distância relativa entrecada lado do triângulo e seu nó oposto, conforme ilustrado pela Figura 4.1:

1

2

3

ξ3=0

ξ3=1/4

ξ3=1/2

ξ3=3/4

ξ3=1

ξ2=0ξ2=1/4

ξ2=1/2ξ2=3/4

ξ2=1

ξ1=0

ξ1=1/4

ξ1=1/2

ξ1=3/4

ξ1=1

1

2

3

1

2

3

Figura 4.1 – Distância relativas das coordenadas de áreas.

A Figura 4.2 apresenta a variação das funções de forma de primeiro grau 𝜉1, 𝜉2 e𝜉3:

Capítulo 4. FORMULAÇÃO EXPLÍCITA PARA MATRIZ DE RIGIDEZ 46

3

1

2

1

1

1 1

1

2

2

3

3

Figura 4.2 – Variação das funções de forma linear.Fonte: Assan, 2003.

Conforme apresentado por Assan(2003), a relação entre as coordenadas cartesianase as coordenadas de área, pode ser obtida a partir da análise da Figura 4.3, onde tomamosum ponto p de coordenada 𝑥 e 𝑦.

y

x

l31ξ1

l23ξ2

3(0,0)

P

h1

h2ξ2

h1ξ1

2(0,1)

1(1,0)

h2

x3 x

y3

y

(a) Coordenadas de área

y

x

P

rp

ql23ξ2f2

f2

f1l31ξ1f1

x3 x

y3

y

i

j

(b) Representação Vetorial

Figura 4.3 – Elemento Triangular.Fonte: Assan, 2003

Sendo,

�⃗� e �⃗� bases vetoriais em relação a 𝑥 e 𝑦,

𝑓1 e 𝑓2 bases vetoriais em relação a 𝜉1 e 𝜉2,

�⃗�, 𝑝, e �⃗� vetores de posição.

Da Figura 4.3(b), temos:

�⃗� = 𝑝+ �⃗� = 𝑥𝑖+ 𝑦�⃗� (4.1)

𝑝 = 𝑥3⃗𝑖+ 𝑦3�⃗� (4.2)


�⃗� = 𝑙13𝜉1𝑓1 + 𝑙23𝜉2𝑓2 (4.3)

Substituindo (4.2) e (4.3) em (4.1), temos:

�⃗� = 𝑥3⃗𝑖+ 𝑦3�⃗� + 𝑙13𝜉1𝑓1 + 𝑙23𝜉2𝑓2 (4.4)

Projetando os vetores 𝑙13𝑓1 e 𝑙23𝑓2 sobre os eixos cartesianos:

𝑙13𝑓1 = (𝑥1 − 𝑥3)⃗𝑖+ (𝑦1 − 𝑦3)⃗𝑗 (4.5)

𝑙23𝑓2 = (𝑥2 − 𝑥3)⃗𝑖+ (𝑦2 − 𝑦3)⃗𝑗 (4.6)

Substituindo (4.5), (4.6) e (4.1) em (4.4):

𝑥𝑖+ 𝑦�⃗� = 𝑥3⃗𝑖+ 𝑦3�⃗� + 𝜉1(𝑥1 − 𝑥3)⃗𝑖+ 𝜉2(𝑥2 − 𝑥3)⃗𝑖+ 𝜉1(𝑦1 − 𝑦3)⃗𝑗 + 𝜉2(𝑦2 − 𝑦3)⃗𝑗 (4.7)

Simplificando (4.7), ficamos em termos de 𝑥 e 𝑦:

𝑥 = 𝑥3 + 𝜉1(𝑥1 − 𝑥3) + 𝜉2(𝑥2 − 𝑥3) = 𝜉1𝑥1 + 𝜉2𝑥2 + (1 − 𝜉1 − 𝜉2)𝑥3 (4.8)

𝑦 = 𝑦3 + 𝜉1(𝑦1 − 𝑦3) + 𝜉2(𝑦2 − 𝑦3) = 𝜉1𝑦1 + 𝜉2𝑦2 + (1 − 𝜉1 − 𝜉2)𝑦3 (4.9)

Na abordagem com coordenadas de área um ponto no interior do elemento triangulardivide o domínio em três áreas (𝐴1, 𝐴2 e 𝐴3) conforme Figura 4.4, onde a altura de cadatriângulo interno é uma proporção da altura total.

PA1

A2

A3 l12

l23

l31

1(1,0,0)

2(0,1,0)

3(0,0,1)

ξ1=0

ξ3=0

ξ2=0

y

x

Figura 4.4 – Triângulo dividido em áreas.Fonte: Assan, 2003.


Da Figura 4.4 podemos extrair as seguintes conclusões:

𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 (4.10)

𝐴1 = 𝑙23(ℎ1𝜉1)2 = 𝜉1𝐴 (4.11a)

𝐴2 = 𝑙31(ℎ2𝜉2)2 = 𝜉2𝐴 (4.11b)

𝐴3 = 𝑙12(ℎ3𝜉3)2 = 𝜉3𝐴 (4.11c)

Substituindo (4.11) em (4.10) e dividindo por A (área do triângulo), resulta:

1 = 𝜉1 + 𝜉2 + 𝜉3 (4.12)

Partindo da expressão (4.12) podemos reescrever as expressões (4.8) e (4.9) daseguinte forma:

𝑥 = 𝜉1𝑥1 + 𝜉2𝑥2 + 𝜉3𝑥3 (4.13)

𝑦 = 𝜉1𝑦1 + 𝜉2𝑦2 + 𝜉3𝑦3 (4.14)

Da expressão (4.11) podemos obter o valor de 𝜉1, 𝜉2 e 𝜉3:

𝜉1 = 𝐴1

𝐴, 𝜉2 = 𝐴2

𝐴, 𝜉3 = 𝐴3

𝐴(4.15)

Sendo 𝐴, 𝐴1, 𝐴2 e 𝐴3 dados por:

𝐴 = 12 det

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1 𝑥1 𝑦1

1 𝑥2 𝑦2

1 𝑥3 𝑦3

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ , 𝐴1 = 12 det

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1 𝑥 𝑦

1 𝑥2 𝑦2

1 𝑥3 𝑦3

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (4.16a)

𝐴2 = 12 det

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1 𝑥1 𝑦1

1 𝑥 𝑦

1 𝑥3 𝑦3

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ , 𝐴3 = 12 det

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1 𝑥1 𝑦1

1 𝑥2 𝑦2

1 𝑥 𝑦

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (4.16b)

Aplicando 4.16 em 4.15 temos:

𝜉1 = 12𝐴 [𝑥(𝑦2 − 𝑦3) + 𝑦(𝑥3 − 𝑥2) + (𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2)] (4.17a)

𝜉2 = 12𝐴 [𝑥(𝑦3 − 𝑦1) + 𝑦(𝑥1 − 𝑥3) + (𝑥1𝑦3 − 𝑥3𝑦1)] (4.17b)

𝜉3 = 12𝐴 [𝑥(𝑦1 − 𝑦2) + 𝑦(𝑥2 − 𝑥1) + (𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1)] (4.17c)


Em seguida podemos determinar as coordenadas (𝜉1, 𝜉2, 𝜉3) para cada nó do elementoT6, T10, T15 e T21:

1

4

5

6

7

2

3 12 13 14 15

11

10

9

8

20 21 16

19 17

18

11211103

9

8

7

2

6

5

41315

14

1983

2

6 5

47 10

3 6 1

4

2

5

Figura 4.5 – Elementos T6, T10, T15 e T21.

Tabela 4.1 – Coordenadas de Área - Elemento Triangular

Nó T6 T10 T15 T21

𝜉1 𝜉2 𝜉3 𝜉1 𝜉2 𝜉3 𝜉1 𝜉2 𝜉3 𝜉1 𝜉2 𝜉3

01 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

02 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

03 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

04 1/2 1/2 0 2/3 1/3 0 3/4 1/4 0 4/5 1/5 0

05 0 1/2 1/2 1/3 2/3 0 1/2 1/2 0 3/5 2/5 0

06 1/2 0 1/2 0 2/3 1/3 1/4 3/4 0 2/5 3/5 0

07 0 1/3 2/3 0 3/4 1/4 1/5 4/5 0

08 1/3 0 2/3 0 1/2 1/2 0 4/5 1/5

09 2/3 0 1/3 0 1/4 3/4 0 3/5 2/5

10 1/3 1/3 1/3 1/4 0 3/4 0 2/5 3/5

11 1/2 0 1/2 0 1/5 4/5

12 3/4 0 1/4 1/5 0 4/5

13 1/2 1/4 1/4 2/5 0 3/5

14 1/4 1/2 1/4 3/5 0 2/5

15 1/4 1/4 1/2 4/5 0 1/5

16 3/5 1/5 1/5

17 2/5 2/5 1/5

18 1/5 3/5 1/5

19 1/5 2/5 2/5

20 1/5 1/5 3/5

21 2/5 1/5 2/5


Azevedo (2003) mostra que o polinômio completo que representa as funções deinterpolação pode ser obtido através do Triângulo de Pascal conforme a Figura 4.6.

1

𝜉1 𝜉2 T3

𝜉21 𝜉1𝜉2 𝜉2

2 T6

𝜉31 𝜉2

1𝜉2 𝜉1𝜉22 𝜉3

2 T10

𝜉41 𝜉3

1𝜉2 𝜉21𝜉

22 𝜉1𝜉

32 𝜉4

2 T15

𝜉51 𝜉4

1𝜉2 𝜉31𝜉

22 𝜉2

1𝜉32 𝜉1𝜉

42 𝜉5

2 T21

Figura 4.6 – Triângulo de Pascal

Substituindo as coordenadas de cada nó em seu respectivo polinômio completo,forma-se um sistema de equações com o qual será possível determinar as constantes dasfunções de interpolação. Tomemos como exemplo o elemento T6, sendo sua função deforma:

𝑢(𝜉1, 𝜉2, 𝜉3) = 𝑐1 + 𝑐2𝜉1 + 𝑐3𝜉2 + 𝑐4𝜉21 + 𝑐5𝜉1𝜉2 + 𝑐6𝜉

22 (4.18)

Onde 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, 𝑐4, 𝑐5 e 𝑐6 são constantes.

Substituindo as coordenadas de área na expressão (4.18) obtemos o sistema:

𝑢1(1, 0, 0) = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐4

𝑢2(0, 1, 0) = 𝑐1 + 𝑐3 + 𝑐6

𝑢3(0, 0, 1) = 𝑐1

𝑢4(12 ,

12 , 0) = 𝑐1 + 𝑐2

2 + 𝑐3

2 + 𝑐4

4 + 𝑐5

4 + 𝑐6

4𝑢5(0,

12 ,

12) = 𝑐1 + 𝑐3

2 + 𝑐6

4𝑢6(

12 , 0,

12) = 𝑐1 + 𝑐2

2 + 𝑐4

4

(4.19)

Em forma matricial:⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 1 0 1 0 0

1 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 0

1 12

12

14

14

14

1 0 12 0 0 1

4

1 12 0 1

4 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑐1

𝑐2

𝑐3

𝑐4

𝑐5

𝑐6

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑢1

𝑢2

𝑢3

𝑢4

𝑢5

𝑢6

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(4.20)


Resolvendo o sistema da expressão (4.20), obtemos os valores das constantes:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑐1

𝑐2

𝑐3

𝑐4

𝑐5

𝑐6

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑢3

4𝑢6 − 3𝑢3 − 𝑢1

4𝑢5 − 3𝑢3 − 𝑢2

2𝑢1 + 2𝑢3 − 4𝑢6

4𝑢3 + 4𝑢4 − 4𝑢5 − 4𝑢6

2𝑢2 + 2𝑢3 − 4𝑢5

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(4.21)

De posse do valor das constates, basta substituir na expressão (4.18):

𝑢 =(2𝑢1 + 2𝑢3 − 4𝑢6)𝜉21 + (4𝑢3 + 4𝑢4 − 4𝑢5 − 4𝑢6)𝜉1𝜉2 + (4𝑢6 − 3𝑢3 − 𝑢1)𝜉1

+ (2𝑢2 + 2𝑢3 − 4𝑢5)𝜉22 + (4𝑢5 − 3𝑢3 − 𝑢2)𝜉2 + 𝑢3

(4.22)

Organizando a expressão (4.22) em termos dos nós e considerando a expressão(4.12):

𝑢 = (2𝜉21 − 𝜉1)𝑢1 +(2𝜉2

2 − 𝜉2)𝑢2 +(2𝜉23 − 𝜉3)𝑢3 +(4𝜉1𝜉2)𝑢4 +(4𝜉2𝜉3)𝑢5 +(4𝜉1𝜉3)𝑢6 (4.23)

De forma geral a expressão (4.23) pode ser representada por:

𝑢 =6∑︁

𝑖=1𝐻𝑖𝑢𝑖 (4.24)

Da expressão (4.23) obtemos as funções de forma para cada nó do elemento T6:

𝐻1 = 𝜉1(2𝜉1 − 1), 𝐻4 = 4𝜉1𝜉2

𝐻2 = 𝜉2(2𝜉2 − 1), 𝐻5 = 4𝜉2𝜉3

𝐻3 = 𝜉3(2𝜉3 − 1), 𝐻6 = 4𝜉1𝜉3

(4.25)

As funções de forma apresentadas na expressão (4.25) são quadráticas e a Figura4.7 ilustra seu comportamento:

3

1

2

1

3

1

2

1

4

5

6

45

6

Figura 4.7 – Variação das funções de forma quadrática.Fonte: Assan, 2003.


De forma análoga podemos determinar as funções de forma para os demais elemen-tos:

Tabela 4.2 – Funções de Forma Bidimensionais

𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑇10 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑇15 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑇21

𝐻1 = 12 𝜉1(3𝜉1 − 1)(3𝜉1 − 2) 𝐻1 = 1

3 𝜉1(2𝜉1−1)(4𝜉1−1)(4𝜉1−3) 𝐻1 = 124 𝜉1(5𝜉1 − 1)(5𝜉1 − 2)(5𝜉1 −

3)(5𝜉1 − 4)

𝐻2 = 12 𝜉2(3𝜉2 − 1)(3𝜉2 − 2) 𝐻2 = 1

3 𝜉2(2𝜉2−1)(4𝜉2−1)(4𝜉2−3) 𝐻2 = 124 𝜉2(5𝜉2 − 1)(5𝜉2 − 2)(5𝜉2 −

3)(5𝜉2 − 4)

𝐻3 = 12 𝜉3(3𝜉3 − 1)(3𝜉3 − 2) 𝐻3 = 1

3 𝜉3(2𝜉3−1)(4𝜉3−1)(4𝜉3−3) 𝐻3 = 124 𝜉3(5𝜉3 − 1)(5𝜉3 − 2)(5𝜉3 −

3)(5𝜉3 − 4)

𝐻4 = 92 𝜉1𝜉2(3𝜉1 − 1) 𝐻4 = 16

3 𝜉1𝜉2(𝜉1 − 1)(4𝜉1 − 1) 𝐻4 = 2524 𝜉1𝜉2(5𝜉1 − 1)(5𝜉1 −

2)(5𝜉1 − 3)

𝐻5 = 92 𝜉1𝜉2(3𝜉2 − 1) 𝐻5 = 4𝜉1𝜉2(𝜉1 − 1)(4𝜉2 − 1) 𝐻5 = 25

12 𝜉1𝜉2(5𝜉1 − 1)(5𝜉1 −2)(5𝜉2 − 1)

𝐻6 = 92 𝜉2𝜉3(3𝜉2 − 1) 𝐻6 = 16

3 𝜉1𝜉2(𝜉2 − 1)(4𝜉2 − 1) 𝐻6 = 2512 𝜉1𝜉2(5𝜉2 − 1)(5𝜉2 −

2)(5𝜉1 − 1)

𝐻7 = 92 𝜉2𝜉3(3𝜉3 − 1) 𝐻7 = 16

3 𝜉2𝜉3(𝜉2 − 1)(4𝜉2 − 1) 𝐻7 = 2524 𝜉1𝜉2(5𝜉2 − 1)(5𝜉2 −

2)(5𝜉2 − 3)

𝐻8 = 92 𝜉1𝜉3(3𝜉3 − 1) 𝐻8 = 4𝜉2𝜉3(𝜉2 − 1)(4𝜉3 − 1) 𝐻8 = 25

24 𝜉2𝜉3(5𝜉2 − 1)(5𝜉2 −2)(5𝜉2 − 3)

𝐻9 = 92 𝜉1𝜉3(3𝜉1 − 1) 𝐻9 = 16

3 𝜉2𝜉3(𝜉3 − 1)(4𝜉3 − 1) 𝐻9 = 2512 𝜉2𝜉3(5𝜉2 − 1)(5𝜉2 −

2)(5𝜉3 − 1)

𝐻10 = 27𝜉1𝜉2𝜉3 𝐻10 = 163 𝜉3𝜉1(𝜉3 − 1)(4𝜉3 − 1) 𝐻10 = 25

12 𝜉2𝜉3(5𝜉3 − 1)(5𝜉3 −2)(5𝜉2 − 1)

𝐻11 = 4𝜉3𝜉1(𝜉3 − 1)(4𝜉1 − 1) 𝐻11 = 2524 𝜉2𝜉3(5𝜉3 − 1)(5𝜉3 −

2)(5𝜉3 − 3)

𝐻12 = 163 𝜉3𝜉1(𝜉1 − 1)(4𝜉1 − 1) 𝐻12 = 25

24 𝜉3𝜉1(5𝜉3 − 1)(5𝜉3 −2)(5𝜉3 − 3)

𝐻13 = 32𝜉1𝜉2𝜉3(4𝜉1 − 1) 𝐻13 = 2512 𝜉3𝜉1(5𝜉3 − 1)(5𝜉3 −

2)(5𝜉1 − 1)

𝐻14 = 32𝜉1𝜉2𝜉3(4𝜉2 − 1) 𝐻14 = 2512 𝜉3𝜉1(5𝜉1 − 1)(5𝜉1 −

2)(5𝜉3 − 1)

𝐻15 = 32𝜉1𝜉2𝜉3(4𝜉3 − 1) 𝐻15 = 2524 𝜉3𝜉1(5𝜉1 − 1)(5𝜉1 −

2)(5𝜉1 − 3)

𝐻16 = 1256 𝜉1𝜉2𝜉3(5𝜉1 − 1)(5𝜉1 − 2)

𝐻17 = 1254 𝜉1𝜉2𝜉3(5𝜉1 − 1)(5𝜉2 − 1)

𝐻18 = 1256 𝜉1𝜉2𝜉3(5𝜉2 − 1)(5𝜉2 − 2)

𝐻19 = 1254 𝜉1𝜉2𝜉3(5𝜉2 − 1)(5𝜉3 − 1)

𝐻20 = 1256 𝜉1𝜉2𝜉3(5𝜉3 − 1)(5𝜉3 − 2)

𝐻21 = 1254 𝜉1𝜉2𝜉3(5𝜉3 − 1)(5𝜉1 − 1)


4.1.2 Formulação da matriz de rigidez

De posse das funções de forma podemos determinar a matriz B apresentada naexpressão (3.20). Em termos de coordenadas de área resulta:

[𝐵] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝜕𝐻1𝜕𝑥

0 𝜕𝐻2𝜕𝑥

0 · · · 𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑥0

0 𝜕𝐻1𝜕𝑦

0 𝜕𝐻2𝜕𝑦

· · · 0 𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑦

𝜕𝐻1𝜕𝑦

𝜕𝐻1𝜕𝑥

𝜕𝐻2𝜕𝑦

𝜕𝐻2𝜕𝑥

· · · 𝜕𝐻𝑖


𝜕𝑥

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (4.26)

Com 𝑖 variando de 1 a 𝑛, onde 𝑛 é o número de nós do elemento.

Sendo:

𝜀𝑥 = 𝜕𝑢

𝜕𝑥=

3∑︁𝑗=1

𝜕𝑢

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝑥(4.27)

𝜀𝑦 = 𝜕𝑣

𝜕𝑦=

3∑︁𝑗=1

𝜕𝑣

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝑦(4.28)


𝜕𝑦+ 𝜕𝑣

𝜕𝑥=

3∑︁𝑗=1

𝜕𝑢

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝑦+ 𝜕𝑣

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝑥(4.29)

Onde:

𝜕𝜉𝑘

𝜕𝑦= 𝑥𝑙 − 𝑥𝑚

2𝐴 = 𝑎𝑘

2𝐴 (4.30)

𝜕𝜉𝑘

𝜕𝑥= 𝑦𝑙 − 𝑦𝑚

2𝐴 = 𝑏𝑘

2𝐴 (4.31)

Onde 𝑘,𝑙,𝑚=1,2,3.

As derivadas são parciais dadas por:

𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑥=

3∑︁𝑗=1

𝑏𝑗

2𝐴𝜕𝐻𝑖

𝜕𝜉𝑗

(4.32)

𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑦=

3∑︁𝑗=1

𝑎𝑗

2𝐴𝜕𝐻𝑖

𝜕𝜉𝑗

(4.33)


Tomemos o elemento T6 como exemplo para obtermos a matriz B, basta substituiras funções de forma (4.25) na expressão (4.26), resultando de forma transposta:

[𝐵]𝑇 = 12𝐴

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝑏1(4𝜉1 − 1) 0 𝑎1(4𝜉1 − 1)

0 𝑎1(4𝜉1 − 1) 𝑏1(4𝜉1 − 1)

𝑏2(4𝜉2 − 1) 0 𝑎2(4𝜉2 − 1)

0 𝑎2(4𝜉2 − 1) 𝑏2(4𝜉2 − 1)

𝑏3(4𝜉3 − 1) 0 𝑎3(4𝜉3 − 1)

0 𝑎3(4𝜉3 − 1) 𝑏3(4𝜉3 − 1)

4𝜉1𝑏2 + 4𝜉2𝑏1 0 4𝜉1𝑎2 + 4𝜉2𝑎1

0 4𝜉1𝑎2 + 4𝜉2𝑎1 4𝜉1𝑏2 + 4𝜉2𝑏1

4𝜉2𝑏3 + 4𝜉3𝑏2 0 4𝜉2𝑎3 + 4𝜉3𝑎2

0 4𝜉2𝑎3 + 4𝜉3𝑎2 4𝜉2𝑏3 + 4𝜉3𝑏2

4𝜉1𝑏3 + 4𝜉3𝑏1 0 4𝜉1𝑎3 + 4𝜉3𝑎1

0 4𝜉1𝑎3 + 4𝜉3𝑎1 4𝜉1𝑏3 + 4𝜉3𝑏1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(4.34)

De forma análoga pode se determinar a matriz B para os demais elementos.

Para obtermos a matriz de rigidez utilizamos a expressão (3.21) que pode serapresentada da seguinte forma:

[𝐾] = 𝑡∫︁

[𝐵]𝑇 [𝐷][𝐵]𝑑𝑥𝑑𝑦 (4.35)

Sendo 𝑡 a espessura do elemento plano.

Onde [𝐷] é a matriz de elasticidade bidimensional obtida a partir da teoria daelasticidade, podendo estar sob estado plano de deformação, expressão (2.23), ou sobestado plano de tensões, expressão (2.20).

A matriz [D] pode ser representada da seguinte forma:

[𝐷] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝐷1 𝐷2 0

𝐷2 𝐷1 0

0 0 𝐷3

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (4.36)

Onde,


Para estado plano de deformações:

𝐷1 = 𝐸(1 − 𝑣)(1 − 2𝑣)(1 + 𝑣)

𝐷2 = 𝐸𝑣

(1 − 2𝑣)(1 + 𝑣)

𝐷3 = 𝐸

2(1 + 𝑣)

(4.37)

Para estado plano de tensões:

𝐷1 = 𝐸

(1 − 𝑣2)

𝐷2 = 𝐸𝑣

(1 − 𝑣2)

𝐷3 = 𝐸

2(1 + 𝑣)

(4.38)

Segundo Assan (2003) a integral da expressão (4.35) requer muito tempo deprocessamento, um método para superar esse problema seria aplicar a expressão paraintegral de elementos triangulares em função das coordenadas de área:

𝛽∫︁∫︁

𝜉𝑙1𝜉

𝑚2 𝜉

𝑛3 𝑑𝐴 = 𝛽

𝑙!𝑚!𝑛!(𝑙 +𝑚+ 𝑛+ 2)!2𝐴 (4.39)

Onde 𝛽 são constantes.

Com a aplicação da expressão (4.39) obtemos a matriz de rigidez para elementostriangulares, assim como é evitada a aplicação de processos de integração analítica ounumérica. Tomemos o primeiro termo da matriz de rigidez como forma de exemplificar aaplicação da expressão (4.39):

𝐾𝑒(1, 1) = 𝑡(𝐷3𝑎21 +𝐷1𝑏2

1)4𝐴2

∫︁∫︁(16𝜉2

1 − 8𝜉1 + 1)𝑑𝐴 (4.40)

Aplicando a expressão (4.39) ao integrando da expressão (4.40) temos:

∫︁∫︁(16𝜉2

1 − 8𝜉1 + 1)𝑑𝐴 = 2𝐴(162!4! − 81!

3! + 0!2!) = 𝐴 (4.41)

Portanto resulta para o primeiro termo da matriz de rigidez:

𝐾𝑒(1, 1) = 𝑡(𝐷3𝑎21 +𝐷1𝑏2

1)4𝐴 (4.42)


4.2 Elemento Tridimensional Tetraédrico

O tempo de processamento para códigos utilizando elementos finitos tridimensionaisde ordem superior é mais elevado que o caso bidimensional, consequentemente a integraçõespara montagem das matrizes globais possuem maior custo computacional. Por exemplo oelemento bidimensional cúbico possui matriz na ordem de 20x20, por sua vez o elementocúbico tridimensional possui matriz na ordem de 60x60.

O problema pode ser contornado a partir da formulação matrizes explícitas, assimcomo no caso bidimensional, evitando a integração numérica durante o processamento dosdados. Segundo Tahan, et al. (1995) A utilização de matrizes explícitas é um métodoeficiente pois sua solução é "fechada", evitando possíveis distorções de resultados ao utilizara integração numérica.

4.2.1 Formulação em coordenadas de volume

Cada nó possui três graus de liberdade, sendo eles os deslocamentos no eixo X,Eixo Y e Eixo Z. Rao(2004) apresenta a formulação para transformar as coordenadascartesianas em coordenadas de volume para em seguida deduzir as funções de forma.

No sistema de coordenadas de volume são relacionadas a distancia entre um planodo elemento tetraédrico e o nó oposto, com variação de 0 a 1. São definidas quatrocoordenadas 𝜉1, 𝜉2, 𝜉3 e 𝜉4 para a referida distancia relativa entre cada lado do tetraedro eseu nó oposto, conforme ilustrado pela Figura 4.8:

1

2

3

4

ξ4=0

ξ4=1/2

ξ4=1

(a) Perspectiva Tetraedro

ξ4=0

ξ4=1/2

ξ4=1

1

4

3

(b) Vista Tetraedro

Figura 4.8 – Distância relativas das Coordenadas de volume.

A relação entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas de volume, pode serobtida a partir da análise da Figura 4.9, onde tomamos um ponto P de coordenada 𝑥, 𝑦 e𝑧.


y

xl13ξ1

l23ξ2h2ξ2

1(1,0,0,0)

2(0,1,0,0)

3(0,0,1,0)

4(0,0,0,1)

P

l43ξ4

h1ξ1

h4ξ4

z

(a) Coordenadas de volume

y

x3 x

y3

y

i

j

rp

l43ξ4f3

z

xz3

q

l13ξ1f1

l23ξ2f2

f1

f3f2

P

x

z

k

3

(b) Representação Vetorial

Figura 4.9 – Elemento Tetraédrico.

Sendo,

�⃗�, �⃗� e �⃗� bases vetoriais em relação a 𝑥 𝑦 e 𝑧,

𝑓1, 𝑓2 e 𝑓3 bases vetoriais em relação a 𝜉1, 𝜉2 e 𝜉4,

�⃗�, 𝑝, e �⃗� vetores de posição.

Da Figura 4.9, temos:

�⃗� = 𝑝+ �⃗� = 𝑥𝑖+ 𝑦�⃗� + 𝑧�⃗� (4.43)

𝑝 = 𝑥3⃗𝑖+ 𝑦3�⃗� + 𝑧3�⃗� (4.44)


�⃗� = 𝑙13𝜉1𝑓1 + 𝑙23𝜉2𝑓2 + 𝑙43𝜉4𝑓3 (4.45)

Substituindo (4.44) e (4.45) em (4.43), temos:

�⃗� = 𝑥3⃗𝑖+ 𝑦3�⃗� + 𝑧3�⃗� + 𝑙13𝜉1𝑓1 + 𝑙23𝜉2𝑓2 + 𝑙43𝜉4𝑓3 (4.46)

Projetando os vetores 𝑙13𝑓1, 𝑙23𝑓2 e 𝑙43𝑓3 sobre os eixos cartesianos:

𝑙13𝑓1 = (𝑥1 − 𝑥3)⃗𝑖+ (𝑦1 − 𝑦3)⃗𝑗 + (𝑧1 − 𝑧3)�⃗� (4.47)

𝑙23𝑓2 = (𝑥2 − 𝑥3)⃗𝑖+ (𝑦2 − 𝑦3)⃗𝑗 + (𝑧2 − 𝑧3)�⃗� (4.48)

𝑙43𝑓3 = (𝑥4 − 𝑥3)⃗𝑖+ (𝑦4 − 𝑦3)⃗𝑗 + (𝑧4 − 𝑧3)�⃗� (4.49)

Substituindo (4.47), (4.48), (4.49) e (4.43) em (4.46):

𝑥𝑖+ 𝑦�⃗� + 𝑦�⃗� =𝑥3⃗𝑖+ 𝜉1(𝑥1 − 𝑥3)⃗𝑖+ 𝜉2(𝑥2 − 𝑥3)⃗𝑖+ 𝜉4(𝑥4 − 𝑥3)⃗𝑖+

𝑦3�⃗� + 𝜉1(𝑦1 − 𝑦3)⃗𝑗 + 𝜉2(𝑦2 − 𝑦3)⃗𝑗 + 𝜉4(𝑦4 − 𝑦3)⃗𝑗+

𝑧3�⃗� + 𝜉1(𝑧1 − 𝑧3)�⃗� + 𝜉2(𝑧2 − 𝑧3)�⃗� + 𝜉4(𝑧4 − 𝑧3)�⃗�

(4.50)

Simplificando (4.50), ficamos em termos de 𝑥 e 𝑦:

𝑥 =𝑥3 + 𝜉1(𝑥1 − 𝑥3) + 𝜉2(𝑥2 − 𝑥3) + 𝜉4(𝑥4 − 𝑥3)

𝑥 =𝜉1𝑥1 + 𝜉2𝑥2 + (1 − 𝜉1 − 𝜉2 − 𝜉4)𝑥3 + 𝜉4𝑥4(4.51)

𝑦 =𝑦3 + 𝜉1(𝑦1 − 𝑦3) + 𝜉2(𝑦2 − 𝑦3) + 𝜉4(𝑦4 − 𝑦3)

𝑦 =𝜉1𝑦1 + 𝜉2𝑦2 + (1 − 𝜉1 − 𝜉2 − 𝜉4)𝑦3 + 𝜉4𝑦4(4.52)

𝑧 =𝑧3 + 𝜉1(𝑧1 − 𝑧3) + 𝜉2(𝑧2 − 𝑧3) + 𝜉4(𝑧4 − 𝑧3)

𝑧 =𝜉1𝑧1 + 𝜉2𝑧2 + (1 − 𝜉1 − 𝜉2 − 𝜉4)𝑧3 + 𝜉4𝑧4(4.53)

Nas coordenadas de volume tomamos um ponto no interior do elemento tetraédricoe dividindo-o assim em quatro volumes (𝑉1, 𝑉2, 𝑉3 e 𝑉4) conforme Figura 4.10, onde aaltura de cada Tetraedro interno é uma proporção da altura total.


V3

y

x

1(1,0,0,0)

2(0,1,0,0)

3(0,0,1,0)

4(0,0,0,1)

P

z

V4V2

V1

Figura 4.10 – Tetraedro dividido em volumes.

Da Figura 4.10 podemos extrair as seguintes conclusões:

𝐴 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 + 𝑉4 (4.54)

𝑉1 = 16𝐴234(ℎ1𝜉1) = 𝜉1𝑉 (4.55a)

𝑉2 = 16𝐴134(ℎ2𝜉2) = 𝜉2𝑉 (4.55b)

𝑉3 = 16𝐴124(ℎ3𝜉3) = 𝜉3𝑉 (4.55c)

𝑉4 = 16𝐴123(ℎ4𝜉4) = 𝜉4𝑉 (4.55d)

Substituindo (4.55) em (4.54) e dividindo por V (Volume do tetraedro), resulta:

1 = 𝜉1 + 𝜉2 + 𝜉3 + 𝜉4 (4.56)

Partindo da expressão (4.56) podemos reescrever as expressões (4.51), (4.52) e(4.53) da seguinte forma:

𝑥 = 𝜉1𝑥1 + 𝜉2𝑥2 + 𝜉3𝑥3 + 𝜉4𝑥4 (4.57)

𝑦 = 𝜉1𝑦1 + 𝜉2𝑦2 + 𝜉3𝑦3 + 𝜉4𝑦4 (4.58)

𝑧 = 𝜉1𝑧1 + 𝜉2𝑧2 + 𝜉3𝑧3 + 𝜉4𝑧4 (4.59)


Rao (2004), demonstra o método para determinar os valores de 𝜉1, 𝜉2, 𝜉3 e 𝜉4. Paratal tomamos as expressões (4.56), (4.57), (4.58) e (4.59) em forma matricial:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1

𝑥

𝑦

𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 1 1 1

𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4

𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦4

𝑧1 𝑧2 𝑧3 𝑧4

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝜉1

𝜉2

𝜉3

𝜉4

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭(4.60)

A relação inversa da expressão (4.60) é dada por:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝜉1

𝜉2

𝜉3

𝜉4

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭= 1

6𝑉

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑑1

𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑑2

𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑑3

𝑎4 𝑏4 𝑐4 𝑑4

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1

𝑥

𝑦

𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭(4.61)


Onde,

𝑉 = 16 det

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 𝑥1 𝑦1 𝑧1

1 𝑥2 𝑦2 𝑧2

1 𝑥3 𝑦3 𝑧3

1 𝑥4 𝑦4 𝑧4

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦= Volume do tetraedro (4.62a)

𝑎1 = det

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝑥2 𝑦2 𝑧2

𝑥3 𝑦3 𝑧3

𝑥4 𝑦4 𝑧4

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (4.62b)

𝑏1 = det

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1 𝑦2 𝑧2

1 𝑦3 𝑧3

1 𝑦4 𝑧4

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (4.62c)

𝑐1 = det

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝑥2 1 𝑧2

𝑥3 1 𝑧3

𝑥4 1 𝑧4

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (4.62d)

𝑑1 = det

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝑥2 𝑦2 1

𝑥3 𝑦3 1

𝑥4 𝑦4 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (4.62e)

Conforme Rao (2004) as demais constantes são obtidos através de uma permutaçãocíclica de subscritos 1, 2, 3 e 4.

Em seguida podemos determinar as coordenadas (𝜉1, 𝜉2, 𝜉3, 𝜉4) para cada nó doelemento TE4, TE10, TE20 e TE35:

1

2

3

4

1

2

3

4

5

9

10

7

8

6

1

2

3

4

5

6

7

8

910

11

17

13

14

16

15

18

12

20

19

1

2

3

4

5

6

78

9

16

14

131211

10

19

18

17

15

20

21

22

23

24

25

26

27

28

2930

31

32

33

34

35

Figura 4.11 – Elementos TE4, TE10, TE20 e TE35.


Tabela 4.3 – Coordenadas de Volume - Tetraedro

Nó TE4 TE10 TE20 TE35

𝜉1 𝜉2 𝑣𝜉3 𝜉4 𝜉1 𝜉2 𝜉3 𝜉4 𝜉1 𝜉2 𝜉3 𝜉4 𝜉1 𝜉2 𝜉3 𝜉4

01 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

02 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

03 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

04 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

05 1/2 1/2 0 0 2/3 1/3 0 0 3/4 1/4 0 0

06 0 1/2 1/2 0 1/3 2/3 0 0 1/2 1/2 0 0

07 1/2 0 1/2 0 0 2/3 1/3 0 1/4 3/4 0 0

08 1/2 0 0 1/2 0 1/3 2/3 0 3/4 1/4 0

09 0 1/2 0 1/2 1/3 0 2/3 0 0 1/2 1/2 0

10 0 0 1/2 1/2 2/3 0 1/3 0 0 1/4 3/4 0

11 2/3 0 0 1/3 1/4 0 3/4 0

12 1/3 0 0 2/3 1/2 0 1/2 0

13 0 2/3 0 1/3 3/4 0 1/4 0

14 0 1/3 0 2/3 3/4 0 0 1/4

15 0 0 2/3 1/3 1/2 0 0 1/2

16 0 0 1/3 2/3 1/4 0 0 3/4

17 1/3 1/3 0 1/3 0 3/4 0 1/4

18 0 1/3 1/3 1/3 0 1/2 0 1/2

19 1/3 0 1/3 1/3 0 1/4 0 3/4

20 1/3 1/3 1/3 0 0 0 3/4 1/4

21 0 0 1/2 1/2

22 0 0 1/4 3/4

23 1/2 1/4 0 1/4

24 1/4 1/2 0 1/4

25 1/4 1/4 0 1/2

26 0 1/2 1/4 1/4

27 0 1/4 1/2 1/4

28 0 1/4 1/4 1/2

29 1/4 0 1/2 1/4

30 1/2 0 1/4 1/4

31 1/4 0 1/4 1/2

32 1/2 1/4 1/4 0

33 1/4 1/2 1/4 0

34 1/4 1/4 1/2 0

35 1/4 1/4 1/4 1/4


Segundo Azevedo (2003) o polinômio completo que representa as funções de inter-polação pode ser obtido através da Pirâmide de Pascal conforme a Figura 4.12.

1

TE4 𝜉1 𝜉2 𝜉3

TE10 𝜉21 𝜉2

2 𝜉23 𝜉1𝜉2 𝜉2𝜉3 𝜉1𝜉3

TE20 𝜉31 𝜉3

2 𝜉33 𝜉1𝜉

22 𝜉2𝜉

21 𝜉2𝜉

23 𝜉3𝜉

22 𝜉1𝜉

23 𝜉3𝜉

21 𝜉1𝜉2𝜉3

TE35 𝜉41 𝜉4

2 𝜉43 𝜉1𝜉

32 𝜉2𝜉

31 𝜉2𝜉

33 𝜉3𝜉

32 𝜉1𝜉

33 𝜉3𝜉

31 𝜉2

1𝜉22 𝜉2

2𝜉23 𝜉2

1𝜉23

𝜉1𝜉2𝜉23 𝜉1𝜉3𝜉

22 𝜉2𝜉3𝜉

21

Figura 4.12 – Pirâmide de Pascal

Em seguida, substituímos as coordenadas de cada nó em seu respectivo polinômiocompleto, formando um sistema de equações com o qual será possível determinar asconstantes das funções de interpolação. Tomemos como exemplo o elemento T10, sendosua função de forma:

𝑢(𝜉1, 𝜉2, 𝜉3, 𝜉4) = 𝑐1 +𝑐2𝜉1 +𝑐3𝜉2 +𝑐4𝜉3 +𝑐5𝜉21 +𝑐6𝜉

22 +𝑐7𝜉

23 +𝑐8𝜉1𝜉2 +𝑐9𝜉2𝜉3 +𝑐10𝜉1𝜉3 (4.63)

Onde 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, 𝑐4, 𝑐5, 𝑐6, 𝑐7, 𝑐8, 𝑐9 e 𝑐10 são constantes.

Substituindo as coordenadas de área na expressão (4.63) obtemos o sistema:

𝑢1(1, 0, 0, 0) = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐5

𝑢2(0, 1, 0, 0) = 𝑐1 + 𝑐3 + 𝑐6

𝑢3(0, 0, 1, 0) = 𝑐1 + 𝑐4 + 𝑐7

𝑢4(0, 0, 0, 1) = 𝑐1

𝑢5(12 ,

12 , 0, 0) = 𝑐1 + 𝑐2

2 + 𝑐3

2 + 𝑐5

4 + 𝑐6

4 + 𝑐8

4𝑢6(0,

12 ,

12 , 0) = 𝑐1 + 𝑐3

2 + 𝑐4

2 + 𝑐6

4 + 𝑐7

4 + 𝑐9

4𝑢7(

12 , 0,

12 , 0) = 𝑐1 + 𝑐2

2 + 𝑐4

2 + 𝑐5

4 + 𝑐7

4 + 𝑐10

4𝑢8(

12 , 0, 0,

12) = 𝑐1 + 𝑐2

2 + 𝑐5

4𝑢9(0,

12 , 0,

12) = 𝑐1 + 𝑐3

2 + 𝑐6

4𝑢10(0, 0,

12 ,

12) = 𝑐1 + 𝑐4

2 + 𝑐7

4

(4.64)


Em forma matricial:⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 1 0 0 1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 1 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1/2 1/2 0 1/4 1/4 0 1/4 0 0

1 0 1/2 1/2 0 1/4 1/4 0 1/4 0

1 1/2 0 1/2 1/4 0 1/4 0 0 1/4

1 1/2 0 0 1/4 0 0 0 0 0

1 0 1/2 0 0 1/4 0 0 0 0

1 0 0 1/2 0 0 1/4 0 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑐1

𝑐2

𝑐3

𝑐4

𝑐5

𝑐6

𝑐7

𝑐8

𝑐9

𝑐10

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑢1

𝑢2

𝑢3

𝑢4

𝑢5

𝑢6

𝑢7

𝑢8

𝑢9

𝑢10

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(4.65)

Resolvendo o sistema da expressão (4.65), obtemos os valores das constantes:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑐1

𝑐2

𝑐3

𝑐4

𝑐5

𝑐6

𝑐7

𝑐8

𝑐9

𝑐10

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑢4

4𝑢8 − 3𝑢4 − 𝑢1

4𝑢9 − 3𝑢4 − 𝑢2

4𝑢10 − 3𝑢4 − 𝑢3

2𝑢1 + 2𝑢4 − 4𝑢8

2𝑢2 + 2𝑢4 − 4𝑢9

2𝑢3 + 2𝑢4 − 4𝑢10

4𝑢4 + 4𝑢5 − 4𝑢8 − 4𝑢9

4𝑢4 + 4𝑢6 − 4𝑢9 − 4𝑢10

4𝑢4 + 4𝑢7 − 4𝑢8 − 4𝑢10

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(4.66)

De posse do valor das constates, basta substituir na expressão (4.63):

𝑢 =𝑢4 + (4𝑢8 − 3𝑢4 − 𝑢1)𝜉1 + (4𝑢9 − 3𝑢4 − 𝑢2)𝜉2 + (4𝑢10 − 3𝑢4 − 𝑢3)𝜉3+

(2𝑢1 + 2𝑢4 − 4𝑢8)𝜉21 + (2𝑢2 + 2𝑢4 − 4𝑢9)𝜉2

2 + (2𝑢3 + 2𝑢4 − 4𝑢10)𝜉23+

(4𝑢4 + 4𝑢5 − 4𝑢8 − 4𝑢9)𝜉1𝜉2 + (4𝑢4 + 4𝑢6 − 4𝑢9 − 4𝑢10)𝜉2𝜉3 + (4𝑢4 + 4𝑢7 − 4𝑢8 − 4𝑢10)𝜉1𝜉3

(4.67)


Organizando a expressão (4.67) em termos dos nós e considerando a expressão(4.56):

𝑢 =(2𝜉21 − 𝜉1)𝑢1 + (2𝜉2

2 − 𝜉2)𝑢2 + (2𝜉23 − 𝜉3)𝑢3 + (2𝜉2

4 − 𝜉4)𝑢4 + (4𝜉1𝜉2)𝑢5+

(4𝜉2𝜉3)𝑢6 + (4𝜉1𝜉3)𝑢7 + (4𝜉1𝜉4)𝑢8 + (4𝜉2𝜉4)𝑢9 + (4𝜉3𝜉4)𝑢10(4.68)

De forma geral a expressão (4.68) pode ser representada por:

𝑢 =10∑︁

𝑖=1𝑢𝑖𝐻𝑖 (4.69)

Da expressão (4.68) obtemos as funções de forma para cada nó do elemento TE10:

𝐻1 = 𝜉1(2𝜉1 − 1)

𝐻2 = 𝜉2(2𝜉2 − 1)

𝐻3 = 𝜉3(2𝜉3 − 1)

𝐻4 = 𝜉4(2𝜉4 − 1)

𝐻5 = 4𝜉1𝜉2

𝐻6 = 4𝜉2𝜉3

𝐻7 = 4𝜉1𝜉3

𝐻8 = 4𝜉1𝜉4

𝐻9 = 4𝜉2𝜉4

𝐻10 = 4𝜉3𝜉4

(4.70)

De forma análoga podemos determinar as funções de forma para os demais elemen-tos:


Tabela 4.4 – Funções de Forma Tridimensionais

Elemento TE4 Elemento TE20 Elemento TE35

𝐻1 = 𝜉1 𝐻1 = 12 (𝜉1(3𝜉1 − 1)(3𝜉1 − 2)) 𝐻1 = 1

3 (𝜉1(2𝜉1 − 1)(4𝜉1 − 1)(4𝜉1 − 3))

𝐻2 = 𝜉2 𝐻2 = 12 (𝜉2(3𝜉2 − 1)(3𝜉2 − 2)) 𝐻2 = 1

3 (𝜉2(2𝜉2 − 1)(4𝜉2 − 1)(4𝜉2 − 3))

𝐻3 = 𝜉3 𝐻3 = 12 (𝜉3(3𝜉3 − 1)(3𝜉3 − 2)) 𝐻3 = 1

3 (𝜉3(2𝜉3 − 1)(4𝜉3 − 1)(4𝜉3 − 3))

𝐻4 = 𝜉4 𝐻4 = 12 (𝜉4(3𝜉4 − 1)(3𝜉4 − 2)) 𝐻4 = 1

3 (𝜉4(2𝜉4 − 1)(4𝜉4 − 1)(4𝜉4 − 3))

𝐻5 = 92 (𝜉1𝜉2(3𝜉1 − 1)) 𝐻5 = 1

3 (16𝜉1𝜉2(2𝜉1 − 1)(4𝜉1 − 1))

𝐻6 = 92 (𝜉1𝜉2(3𝜉2 − 1)) 𝐻6 = 4𝜉1𝜉2(4𝜉1 − 1)(4𝜉2 − 1)

𝐻7 = 92 (𝜉2𝜉3(3𝜉2 − 1)) 𝐻7 = 1

3 (16𝜉1𝜉2(2𝜉2 − 1)(4𝜉2 − 1))

𝐻8 = 92 (𝜉2𝜉3(3𝜉3 − 1)) 𝐻8 = 1

3 (16𝜉2𝜉3(2𝜉2 − 1)(4𝜉2 − 1))

𝐻9 = 92 (𝜉1𝜉3(3𝜉3 − 1)) 𝐻9 = 4𝜉2𝜉3(4𝜉2 − 1)(4𝜉3 − 1)

𝐻10 = 92 (𝜉1𝜉3(3𝜉1 − 1)) 𝐻10 = 1

3 (16𝜉2𝜉3(2𝜉3 − 1)(4𝜉3 − 1))

𝐻11 = 92 (𝜉1𝜉4(3𝜉1 − 1)) 𝐻11 = 1

3 (16𝜉1𝜉3(2𝜉3 − 1)(4𝜉3 − 1))

𝐻12 = 92 (𝜉1𝜉4(3𝜉4 − 1)) 𝐻12 = 4𝜉1𝜉3(4𝜉1 − 1)(4𝜉3 − 1)

𝐻13 = 92 (𝜉2𝜉4(3𝜉2 − 1)) 𝐻13 = 1

3 (16𝜉1𝜉3(2𝜉1 − 1)(4𝜉1 − 1))

𝐻14 = 92 (𝜉2𝜉4(3𝜉4 − 1)) 𝐻14 = 1

3 (16𝜉1𝜉4(2𝜉1 − 1)(4𝜉1 − 1))

𝐻15 = 92 (𝜉3𝜉4(3𝜉3 − 1)) 𝐻15 = 4𝜉1𝜉4(4𝜉1 − 1)(4𝜉4 − 1)

𝐻16 = 92 (𝜉3𝜉4(3𝜉4 − 1)) 𝐻16 = 1

3 (16𝜉1𝜉4(2𝜉4 − 1)(4𝜉4 − 1))

𝐻17 = 27𝜉1𝜉2𝜉4 𝐻17 = 13 (16𝜉2𝜉4(2𝜉2 − 1)(4𝜉2 − 1))

𝐻18 = 27𝜉2𝜉3𝜉4 𝐻18 = 4𝜉2𝜉4(4𝜉2 − 1)(4𝜉4 − 1)

𝐻19 = 27𝜉1𝜉3𝜉4 𝐻19 = 13 (16𝜉2𝜉4(2𝜉4 − 1)(4𝜉4 − 1))

𝐻20 = 27𝜉1𝜉2𝜉3 𝐻20 = 13 (16𝜉3𝜉4(2𝜉3 − 1)(4𝜉3 − 1))

𝐻21 = 4𝜉3𝜉4(4𝜉3 − 1)(4𝜉4 − 1)

𝐻22 = 13 (16𝜉3𝜉4(2𝜉4 − 1)(4𝜉4 − 1))

𝐻23 = 32𝜉1𝜉2𝜉4(4𝜉1 − 1)

𝐻24 = 32𝜉1𝜉2𝜉4(4𝜉2 − 1)

𝐻25 = 32𝜉1𝜉2𝜉4(4𝜉4 − 1)

𝐻26 = 32𝜉2𝜉3𝜉4(4𝜉2 − 1)

𝐻27 = 32𝜉2𝜉3𝜉4(4𝜉3 − 1)

𝐻28 = 32𝜉2𝜉3𝜉4(4𝜉4 − 1)

𝐻29 = 32𝜉1𝜉3𝜉4(4𝜉3 − 1)

𝐻30 = 32𝜉1𝜉3𝜉4(4𝜉1 − 1)

𝐻31 = 32𝜉1𝜉3𝜉4(4𝜉4 − 1)

𝐻32 = 32𝜉1𝜉2𝜉3(4𝜉1 − 1)

𝐻33 = 32𝜉1𝜉2𝜉3(4𝜉2 − 1)

𝐻34 = 32𝜉1𝜉2𝜉3(4𝜉3 − 1)

𝐻35 = 256𝜉1𝜉2𝜉3𝜉4


4.2.2 Formulação da matriz de rigidez

De posse das funções de forma podemos determinar a matriz B apresentada naexpressão (3.18). Em termos de coordenadas de volume resulta:

[𝐵] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝜕𝐻1𝜕𝑥

0 0 𝜕𝐻2𝜕𝑥

0 0 · · · 𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑥0 0

0 𝜕𝐻1𝜕𝑦

0 0 𝜕𝐻2𝜕𝑦

0 · · · 0 𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑦0

0 0 𝜕𝐻1𝜕𝑧

0 0 𝜕𝐻2𝜕𝑧

· · · 0 0 𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑧

𝜕𝐻1𝜕𝑦

𝜕𝐻1𝜕𝑥

0 𝜕𝐻2𝜕𝑦

𝜕𝐻2𝜕𝑥

0 · · · 𝜕𝐻𝑖


𝜕𝑥0

0 𝜕𝐻1𝜕𝑧

𝜕𝐻1𝜕𝑦

0 𝜕𝐻2𝜕𝑧

𝜕𝐻2𝜕𝑦

· · · 0 𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑧𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑦

𝜕𝐻1𝜕𝑧

0 𝜕𝐻1𝜕𝑥

𝜕𝐻2𝜕𝑧

0 𝜕𝐻2𝜕𝑥

· · · 𝜕𝐻𝑖


𝜕𝑥

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(4.71)

Com 𝑖 variando de 1 a 𝑛, onde 𝑛 é o número de nós do elemento.

Sendo:

𝜀𝑥 = 𝜕𝑢

𝜕𝑥=

4∑︁𝑗=1

𝜕𝑢

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝑥(4.72)

𝜀𝑦 = 𝜕𝑣

𝜕𝑦=

4∑︁𝑗=1

𝜕𝑣

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝑦(4.73)

𝜀𝑧 = 𝜕𝑤

𝜕𝑧=

4∑︁𝑗=1

𝜕𝑤

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝑧(4.74)


𝜕𝑦+ 𝜕𝑣

𝜕𝑥=

4∑︁𝑗=1

𝜕𝑢

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝑦+ 𝜕𝑣

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝑥(4.75)

𝛾𝑦𝑧 = 𝜕𝑣

𝜕𝑧+ 𝜕𝑤

𝜕𝑦=

4∑︁𝑗=1

𝜕𝑣

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝑧+ 𝜕𝑤

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝑦(4.76)

𝛾𝑥𝑧 = 𝜕𝑢

𝜕𝑧+ 𝜕𝑤

𝜕𝑥=

4∑︁𝑗=1

𝜕𝑢

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝑧+ 𝜕𝑤

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝜉𝑗

𝜕𝑥(4.77)


Onde:

𝜕𝜉𝑘

𝜕𝑥= 𝑏𝑘

6𝑉 (4.78)

𝜕𝜉𝑘

𝜕𝑦= 𝑐𝑘

6𝑉 (4.79)

𝜕𝜉𝑘

𝜕𝑧= 𝑑𝑘

6𝑉 (4.80)

Onde 𝑘 varia de 1 a 4.

As derivadas são parciais dadas por:

𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑥=

4∑︁𝑗=1

𝑏𝑗

6𝑉𝜕𝐻𝑖

𝜕𝜉𝑗

(4.81)

𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑦=

4∑︁𝑗=1

𝑐𝑗

6𝑉𝜕𝐻𝑖

𝜕𝜉𝑗

(4.82)

𝜕𝐻𝑖

𝜕𝑧=

4∑︁𝑗=1

𝑑𝑗

6𝑉𝜕𝐻𝑖

𝜕𝜉𝑗

(4.83)

Tomemos o elemento TE10 como exemplo. Para obtermos a matriz B, bastasubstituir as funções de forma (4.70) na expressão (4.71), resultando de forma transposta:


[𝐵]𝑇 = 16𝑉

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝑏1(4𝜉1 − 1) 0 0 𝑐1(4𝜉1 − 1) 0 𝑑1(4𝜉1 − 1)

0 𝑐1(4𝜉1 − 1) 0 𝑏1(4𝜉1 − 1) 𝑑1(4𝜉1 − 1) 0

0 0 𝑑1(4𝜉1 − 1) 0 𝑐1(4𝜉1 − 1) 𝑏1(4𝜉1 − 1)

𝑏2(4𝜉2 − 1) 0 0 𝑐2(4𝜉2 − 1) 0 𝑑2(4𝜉2 − 1)

0 𝑐2(4𝜉2 − 1) 0 𝑏2(4𝜉2 − 1) 𝑑2(4𝜉2 − 1) 0

0 0 𝑑2(4𝜉2 − 1) 0 𝑐2(4𝜉2 − 1) 𝑏2(4𝜉2 − 1)

𝑏3(4𝜉3 − 1) 0 0 𝑐3(4𝜉3 − 1) 0 𝑑3(4𝜉3 − 1)

0 𝑐3(4𝜉3 − 1) 0 𝑏3(4𝜉3 − 1) 𝑑3(4𝜉3 − 1) 0

0 0 𝑑3(4𝜉3 − 1) 0 𝑐3(4𝜉3 − 1) 𝑏3(4𝜉3 − 1)

𝑏3(4𝜉4 − 1) 0 0 𝑐4(4𝜉4 − 1) 0 𝑑4(4𝜉4 − 1)

0 𝑐4(4𝜉4 − 1) 0 𝑏3(4𝜉4 − 1) 𝑑4(4𝜉4 − 1) 0

0 0 𝑑4(4𝜉4 − 1) 0 𝑐4(4𝜉4 − 1) 𝑏3(4𝜉4 − 1)

4𝜉1𝑏2 + 4𝜉2𝑏1 0 0 4𝜉1𝑐2 + 4𝜉2𝑐1 0 4𝜉1𝑑2 + 4𝜉2𝑑1

0 4𝜉1𝑐2 + 4𝜉2𝑐1 0 4𝜉1𝑏2 + 4𝜉2𝑏1 4𝜉1𝑑2 + 4𝜉2𝑑1 0

0 0 4𝜉1𝑑2 + 4𝜉2𝑑1 0 4𝜉1𝑐2 + 4𝜉2𝑐1 4𝜉1𝑏2 + 4𝜉2𝑏1

4𝜉2𝑏3 + 4𝜉3𝑏2 0 0 4𝜉2𝑐3 + 4𝜉3𝑐2 0 4𝜉2𝑑3 + 4𝜉3𝑑2

0 4𝜉2𝑐3 + 4𝜉3𝑐2 0 4𝜉2𝑏3 + 4𝜉3𝑏2 4𝜉2𝑑3 + 4𝜉3𝑑2 0

0 0 4𝜉2𝑑3 + 4𝜉3𝑑2 0 4𝜉2𝑐3 + 4𝜉3𝑐2 4𝜉2𝑏3 + 4𝜉3𝑏2

4𝜉1𝑏3 + 4𝜉3𝑏1 0 0 4𝜉1𝑐3 + 4𝜉3𝑐1 0 4𝜉1𝑑3 + 4𝜉3𝑑1

0 4𝜉1𝑐3 + 4𝜉3𝑐1 0 4𝜉1𝑏3 + 4𝜉3𝑏1 4𝜉1𝑑3 + 4𝜉3𝑑1 0

0 0 4𝜉1𝑑3 + 4𝜉3𝑑1 0 4𝜉1𝑐3 + 4𝜉3𝑐1 4𝜉1𝑏3 + 4𝜉3𝑏1

4𝜉1𝑏3 + 4𝜉4𝑏1 0 0 4𝜉1𝑐4 + 4𝜉4𝑐1 0 4𝜉1𝑑4 + 4𝜉4𝑑1

0 4𝜉1𝑐4 + 4𝜉4𝑐1 0 4𝜉1𝑏3 + 4𝜉4𝑏1 4𝜉1𝑑4 + 4𝜉4𝑑1 0

0 0 4𝜉1𝑑4 + 4𝜉4𝑑1 0 4𝜉1𝑐4 + 4𝜉4𝑐1 4𝜉1𝑏3 + 4𝜉4𝑏1

4𝜉2𝑏3 + 4𝜉4𝑏2 0 0 4𝜉2𝑐4 + 4𝜉4𝑐2 0 4𝜉2𝑑4 + 4𝜉4𝑑2

0 4𝜉2𝑐4 + 4𝜉4𝑐2 0 4𝜉2𝑏3 + 4𝜉4𝑏2 4𝜉2𝑑4 + 4𝜉4𝑑2 0

0 0 4𝜉2𝑑4 + 4𝜉4𝑑2 0 4𝜉2𝑐4 + 4𝜉4𝑐2 4𝜉2𝑏3 + 4𝜉4𝑏2

4𝜉3𝑏3 + 4𝜉4𝑏3 0 0 4𝜉3𝑐4 + 4𝜉4𝑐3 0 4𝜉3𝑑4 + 4𝜉4𝑑3

0 4𝜉3𝑐4 + 4𝜉4𝑐3 0 4𝜉3𝑏3 + 4𝜉4𝑏3 4𝜉3𝑑4 + 4𝜉4𝑑3 0

0 0 4𝜉3𝑑4 + 4𝜉4𝑑3 0 4𝜉3𝑐4 + 4𝜉4𝑐3 4𝜉3𝑏3 + 4𝜉4𝑏3

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(4.84)


De forma análoga pode se determinar a matriz B para os demais elementos.

Para o obtermos a matriz de rigidez utilizamos a expressão (3.19):

[𝐾] =∫︁

[𝐵]𝑇 [𝐷][𝐵]𝑑𝑉 (4.85)

Onde [𝐷] é a matriz de constitutiva tridimensional obtida a partir da teoria daelasticidade.

A integral da expressão (4.85) requer muito tempo de processamento, Segundo Rao(2004) um método para superar esse problema surge com a expressão a seguir:

𝛽∫︁∫︁

𝜉𝑘1𝜉

𝑙2𝜉

𝑚3 𝜉

𝑛4 𝑑𝑉 = 𝛽

𝑘!𝑙!𝑚!𝑛!(𝑘 + 𝑙 +𝑚+ 𝑛+ 3)!6𝑉 (4.86)

Onde 𝛽 são constantes.

Com a aplicação da expressão (4.86) obtemos de forma simplificada a matriz derigidez para elementos tetraédricos, assim como é evitada a aplicação de processos deintegração analítica ou numérica.Tomemos o primeiro termo da matriz de rigidez comoforma de exemplificar a aplicação da expressão (4.86):

𝐾𝑒(1, 1) = 𝐸[2𝑏21(1 − 𝑣) + (𝑐2

1 + 𝑑21)(1 − 2𝑣)]

72𝑉 2(1 + 𝑣)(1 − 2𝑣)

∫︁∫︁∫︁(16𝜉2

1 − 8𝜉1 + 1)𝑑𝑉 (4.87)

Aplicando a expressão (4.86) ao integrando da expressão (4.87) temos:

∫︁∫︁∫︁(16𝜉2

1 − 8𝜉1 + 1)𝑑𝑉 = 6𝑉 (162!5! − 81!

4! + 0!3!) = 3𝑉

5 (4.88)

Portanto resulta para o primeiro termo da matriz de rigidez:

𝐾𝑒(1, 1) = 𝐸[2𝑏21(1 − 𝑣) + (𝑐2

1 + 𝑑21)(1 − 2𝑣)]

120𝑉 (1 + 𝑣)(1 − 2𝑣) (4.89)

71

5 FORMULAÇÃO DO VETOR DE FOR-

ÇAS DE SUPERFÍCIE

5.1 Elemento Tridimensional Tetraédrico

As forças de superfície são formada pelas componentes 𝑞𝑥, 𝑞𝑦 e 𝑞𝑧 sobre cada ladodo elemento, conforme exemplificado pela Figura 5.1:

y

x

1

2

3

4

z

qx

y

x

z

qy qz

y

x

z1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

Figura 5.1 – Forças de superfície atuando sobre o lado 124 do elemento tetraédrico.

Para formulação do vetor de forças de superfície ou vetor de cargas nodais equiva-lentes tomemos o segundo termo da expressão (3.5):

∫︁𝑟

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝑤1𝑞𝑥

𝑤2𝑞𝑦

𝑤3𝑞𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭𝑑𝑟 (5.1)

Aplicando a expressão (3.14) em (5.1), resulta:

∫︁𝐴

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝐻𝑖 0 0

0 𝐻𝑖 0

0 0 𝐻𝑖

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝑞𝑥𝑖

𝑞𝑦𝑖

𝑞𝑧𝑖

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭𝑑𝐴 (5.2)

Onde 𝑖 varia de 1 ao número de nós do elemento.

Segundo Rao(2004) as componentes 𝑞𝑥, 𝑞𝑦 e 𝑞𝑧 variam de acordo com os desloca-mentos, portanto a função que a representa é a mesma dos deslocamentos, resultando em:

Capítulo 5. FORMULAÇÃO DO VETOR DE FORÇAS DE SUPERFÍCIE 72

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝑞𝑥

𝑞𝑦

𝑞𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝐻1 0 0 𝐻2 0 0 · · · 𝐻𝑖 0 0

0 𝐻1 0 0 𝐻2 0 · · · 0 𝐻𝑖 0

0 0 𝐻1 0 0 𝐻2 · · · 0 0 𝐻𝑖

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑞𝑥1

𝑞𝑦1

𝑞𝑧1

𝑞𝑥2

𝑞𝑦2

𝑞𝑧2

...

...

𝑞𝑥𝑖

𝑞𝑦𝑖

𝑞𝑧𝑖

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(5.3)


Aplicando (5.3) em (5.2) resulta de forma compacta em:∫︁𝐴𝐻𝑇𝐻𝑞𝑑𝐴 (5.4)

Para a face 124, temos:

𝑟124 =∫︁

𝐴124𝐻𝑇𝐻𝑞𝑑𝐴124 (5.5)

Vale lembrar que a face 124, a coordenada 𝜉3 é nula.

De forma análoga obtemos para as demais faces:

𝑟234 =∫︁

𝐴234𝐻𝑇𝐻𝑞𝑑𝐴234 (5.6)

𝑟143 =∫︁

𝐴143𝐻𝑇𝐻𝑞𝑑𝐴143 (5.7)

𝑟123 =∫︁

𝐴123𝐻𝑇𝐻𝑞𝑑𝐴123 (5.8)

Como forma de exemplificar o ANEXO (A), apresenta a formulação dos vetores deforça de superfície para o elemento TE10.


5.2 Elemento Bidimensional Triangular

No caso bidimensional as forças de superfície são formada pelas componentes𝑞𝑥 e𝑞𝑦 sobre cada lado do elemento, conforme exemplificado pela Figura 5.2:

qx1

2

3

y

x

1

qx3

qy3 qy1

2

3

y

x1

qx2

qx1

qy1qy2

2

3

y

x

1

qx2

qx3

qy2qy3

Figura 5.2 – Forças de superfície atuando sobre um elemento triangular.

Como para elementos bidimensionais a espessura é constante a expressão (5.4)pode ser reduzida para:∫︁

𝑟𝐻𝑇𝐻𝑞𝑑𝑟 (5.9)

Para o lado 31, o comprimento infinitesimal 𝑑𝑟 vale:

𝑑𝑟 = 𝑙31𝑑𝜉1 (5.10)

Aplicando (5.10) em (5.9), resulta:

𝑟31 =∫︁ 1

0𝑙31𝐻

𝑇𝐻𝑞𝑑𝜉1 (5.11)

Vale lembrar que no lado 31, a coordenada 𝜉2 é nula.

De forma análoga obtemos para os demais lados:

𝑟12 =∫︁ 1

0𝑙12𝐻

𝑇𝐻𝑞𝑑𝜉2 (5.12)

𝑟23 =∫︁ 1

0𝑙23𝐻

𝑇𝐻𝑞𝑑𝜉3 (5.13)


Como forma de exemplificar, tomemos o elemento T6. Aplicando as funções deforma da expressão (4.25), temos respectivamente a matriz 𝜑𝑇 e o vetor 𝑞𝑇 :

[𝐻]𝑇 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝜉1(2𝜉1 − 1) 0

0 𝜉1(2𝜉1 − 1)

𝜉2(2𝜉2 − 1) 0

0 𝜉2(2𝜉2 − 1)

𝜉3(2𝜉3 − 1) 0

0 𝜉3(2𝜉3 − 1)

4𝜉1𝜉2 0

0 4𝜉1𝜉2

4𝜉2𝜉3 0

0 4𝜉2𝜉3

4𝜉1𝜉3 0

0 4𝜉1𝜉3

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

, {𝑞} =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑞𝑥1

𝑞𝑦1

𝑞𝑥2

𝑞𝑦2

𝑞𝑥3

𝑞𝑦3

𝑞𝑥4

𝑞𝑦4

𝑞𝑥5

𝑞𝑦5

𝑞𝑥6

𝑞𝑦6

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(5.14)

Aplicando a expressão (5.14) em (5.11), (5.12) e (5.13) obtemos os vetores de cargaequivalente para cada lado do elemento, são eles:

𝑟31 = 𝑙31

15

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2𝑞𝑥1 − 12 𝑞𝑥3 + 𝑞𝑥6

2𝑞𝑦1 −12

𝑞𝑦3 + 𝑞𝑦6

0

0

−12

𝑞𝑥1 + 2𝑞𝑥3 + 𝑞𝑥6

− 12 𝑞𝑦1 + 2𝑞𝑦3 + 𝑞𝑦6

0

0

0

0

𝑞𝑥1 + 𝑞𝑥3 + 8𝑞𝑥6

𝑞𝑦1 + 𝑞𝑦3 + 8𝑞𝑦6

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

, 𝑟23 = 𝑙23

15

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0

0

2𝑞𝑥2 − 12 𝑞𝑥3 + 𝑞𝑥5

2𝑞𝑦2 − 12 𝑞𝑦3 + 𝑞𝑦5

− 12 𝑞𝑥2 + 2𝑞𝑥3 + 𝑞𝑥5

− 12 𝑞𝑦2 + 2𝑞𝑦3 + 𝑞𝑦5

0

0

𝑞𝑥2 + 𝑞𝑥3 + 8𝑞𝑥5

𝑞𝑦2 + 𝑞𝑦3 + 8𝑞𝑦5

0

0

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(5.15)


𝑟12 = 𝑙12

15

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2𝑞𝑥1 − 12 𝑞𝑥2 + 𝑞𝑥4

2𝑞𝑦1 − 12 𝑞𝑦2 + 𝑞𝑦4

− 12 𝑞𝑥1 + 2𝑞𝑥2 + 𝑞𝑥4

− 12 𝑞𝑦1 + 2𝑞𝑦2 + 𝑞𝑦4

0

0

𝑞𝑥1 + 𝑞𝑥2 + 8𝑞𝑥4

𝑞𝑦1 + 𝑞𝑦2 + 8𝑞𝑦4

0

0

0

0

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(5.16)

De forma análoga é possível determinar os vetores de carga equivalente para oselementos de ordem superior.

76

6 FORMULAÇÃO FORÇA DE CORPO

6.1 Vetor de Força de Corpo

Segundo Logan (2006) as forças de corpo podem surgir por causa do peso real docorpo (forças gravitacionais), velocidade angular (força centrífuga), forças inerciais nadinâmica ou forças magnéticas. Para formulação do vetor de força de corpo tomemos oterceiro termo da expressão (3.5):

∫︁𝑉

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝑤1𝑓𝑥

𝑤2𝑓𝑦

𝑤3𝑓𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭𝑑𝑉 (6.1)

Aplicando a expressão (3.14) em (6.1), resulta:

𝑓 =∫︁

𝑉

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝐻1 0 0

0 𝐻1 0

0 0 𝐻1

𝐻2 0 0

0 𝐻2 0

0 0 𝐻2

... ... ...

𝐻𝑖 0 0

0 𝐻𝑖 0

0 0 𝐻𝑖

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝑓𝑥

𝑓𝑦

𝑓𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭𝑑𝑉 (6.2)


De forma compacta a expressão (6.2) pode ser representada por:

𝑓 =∫︁

𝑉𝐻𝑇𝑓𝑒𝑑𝑉 (6.3)

Para integração da expressão (6.3), assim com da integração da matriz de rigidez,podemos utilizar a expressão (4.86) para integrais de elementos tetraédricos:

𝛽∫︁∫︁

𝜉𝑘1𝜉

𝑙2𝜉

𝑚3 𝜉


𝑘!𝑙!𝑚!𝑛!(𝑘 + 𝑙 +𝑚+ 𝑛+ 3)!6𝑉 (6.4)

Capítulo 6. FORMULAÇÃO FORÇA DE CORPO 77

Para o caso bidimensional a espessura do elemento é constante podem assim aexpressão (6.3) ser reduzida para:

𝑓 = 𝑡∫︁

𝐴𝐻𝑇𝑓𝑒𝑑𝐴 (6.5)

Para integração da expressão (6.5), assim com da integração da matriz de rigidez,podemos utilizar a expressão (4.39) para integrais de elementos triangulares:

𝛽∫︁∫︁

𝜉𝑙1𝜉

𝑚2 𝜉


𝑙!𝑚!𝑛!(𝑙 +𝑚+ 𝑛+ 2)!2𝐴 (6.6)

Tomemos o elemento T6 para determinação do vetor de Força de Corpo, comoforma de exemplificar a determinação do referido vetor. Aplicando as funções de forma daexpressão (4.25), temos a matriz 𝜑𝑇 :

[𝐻]𝑇 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝜉1(2𝜉1 − 1) 0

0 𝜉1(2𝜉1 − 1)

𝜉2(2𝜉2 − 1) 0

0 𝜉2(2𝜉2 − 1)

𝜉3(2𝜉3 − 1) 0

0 𝜉3(2𝜉3 − 1)

4𝜉1𝜉2 0

0 4𝜉1𝜉2

4𝜉2𝜉3 0

0 4𝜉2𝜉3

4𝜉1𝜉3 0

0 4𝜉1𝜉3

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(6.7)

Aplicando (6.7) em (6.5) e integrado com auxilio da expressão (6.6), obtemos ovetor de força de corpo:

{𝑓}𝑇 = 𝐴𝑡

3

{︃0 0 0 0 0 0 𝑓𝑥 𝑓𝑦 𝑓𝑥 𝑓𝑦 𝑓𝑥 𝑓𝑦

}︃(6.8)

De forma análoga é possível determinar o vetor de forças de corpo para elementosde ordem superior. o ANEXO (A) apresenta o vetor de força de corpo para o elementoTE10.


6.2 Matriz de Massa Consistente

Segundo Logan(2006), existem varias métodos para determinar a matriz de massaconsistente, sendo a aplicação do principio de D’Alembert o mais simples, onde a força decorpo efetiva é dada pela expressão:

{𝑓𝑒} = −𝜌{�̈�} (6.9)

onde, 𝜌 é a densidade do elemento e �̈� é a aceleração, o sinal negativo é divido aforça de corpo produzir força no direção oposto a aceleração.

Tomando a expressão (6.5) de forma geral:

{𝑓} =∫︁

𝑉[𝐻]𝑇 {𝑓𝑒}𝑑𝑉 (6.10)

Substituindo 𝑓 da expressão (6.10) por 𝑓 𝑒 (expressão (6.9)), resulta:

{𝑓} = −∫︁

𝑉𝜌[𝐻]𝑇 {�̈�}𝑑𝑉 (6.11)

A expressão (4.24) pode ser reescrita desta forma:

{𝑢} = [𝐻]{𝑑} (6.12)

Onde 𝑑 são os deslocamentos nodais.

A derivada segunda da expressão (6.12) resulta:

{ü} = [𝐻]{𝑑} (6.13)

Onde, 𝑑 é a aceleração nodal.

Substituindo (6.13) em (6.11), temos:

{𝑓} = −∫︁

𝑉𝜌[𝐻]𝑇 [𝐻]𝑑𝑉 {𝑑} = [𝑚]{𝑑} (6.14)

Portanto a matriz de massa consistente é dada por:

[𝑚] =∫︁

𝑉𝜌[𝐻]𝑇 [𝐻]𝑑𝑉 (6.15)

Para elementos planos a matriz de massa consistente é a seguinte:

[𝑚] = 𝑡∫︁

𝐴𝜌[𝐻]𝑇 [𝐻]𝑑𝐴 (6.16)

Onde 𝑡 é a espessura do elemento.


A integral da expressão (6.16) pode ser obtida com o auxilio da expressão paraintegrais de elementos triangulares (4.39):

𝛽∫︁∫︁

𝜉𝑙1𝜉

𝑚2 𝜉


𝑙!𝑚!𝑛!(𝑙 +𝑚+ 𝑛+ 2)!2𝐴 (6.17)

Por sua vez integral da expressão (6.15) pode ser obtida com o auxilio da expressãopara integrais de elementos tetraédricos (4.86):

𝛽∫︁∫︁

𝜉𝑘1𝜉

𝑙2𝜉

𝑚3 𝜉


𝑘!𝑙!𝑚!𝑛!(𝑘 + 𝑙 +𝑚+ 𝑛+ 3)!6𝑉 (6.18)

De modo a exemplificar será determinado a matriz de massa consistente para oelemento T6. Aplicando a matriz [𝜑]𝑇 (expressão 6.7) na expressão (6.16) resulta a matrizsimétrica de massa consistente para elemento T6:

[𝑚] = 𝜌𝐴𝑡

180

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

6 0 −1 0 −1 0 0 0 −4 0 0 0

6 0 −1 0 −1 0 0 0 −4 0 0

6 0 −1 0 0 0 0 0 −4 0

6 0 −1 0 0 0 0 0 −4

6 0 −4 0 0 0 0 0

6 0 −4 0 0 0 0

32 0 16 0 16 0

32 0 16 0 16

32 0 16 0

32 0 16

32 0

32

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

(6.19)

De forma análoga a matriz de massa consistente pode ser obtida para elementos deordem superior.

80

7 ASPECTOS COMPUTACIONAIS

Neste capítulo serão apresentadas as principais rotinas desenvolvidas neste trabalho.Inicialmente, será apresentado o código para formulação explícita da matriz de rigidez emassa e vetores de força de corpo e superfície. Em seguida, será descrito o código pararefinamento-p de malha e por fim os códigos para análise estática e modal. A linguagemdo Matlab foi utilizada para elaboração dos códigos.

7.1 Código para Formulação das Matrizes explícitas

Segundo Nagabhushana, et al. (1992) a forma simbólica (explícita) das matrizes derigidez, força equivalente, matriz de massa, entre outras, demanda muito tempo com suasformulações, principalmente para elementos de ordem superior, tempo esse que poderiaser gasto com outros estudos. A solução para esse problema seria a utilização de softwaressimples e específicos para as mais diversas aplicações da engenharia.

Segundo Yew, et al. (1995) muitos pesquisadores preferem utilizar a integraçãonumérica, pois sua aplicação é simples e devido a integração analítica, necessária aformulação da matriz explícita, ser de difícil aplicação. A solução fechada da matriz explícitapossui a vantagem em relação a integração numérica que pode apresentar distorções dosresultados em algumas aplicações.

Diante dessa necessidade, será apresentado um código para formulação das matrizesexplícitas de rigidez, forças de superfície, forças de corpo e matriz de massa consistente.Nesse código o usuário define a ordem do polinômio do elemento e o código gera a matrizsimbólica desejada para elementos triangulares (2D) ou tetraédricos (3D), previamentecadastrados. Além disso, o usuário tem a liberdade de modificar a função de interpolaçãoe condições de contorno para determinação das matrizes explícitas não cadastradas nocódigo. Os códigos para formulação das matrizes e vetores explícitos estão disponibilizadosno anexo (B).

A Tabela 7.1 apresenta o tempo de processamento para formulação da partesimétrica da matriz simbólica para cada elemento.

Capítulo 7. ASPECTOS COMPUTACIONAIS 81

Tabela 7.1 – Tempo de Processamento para Formulação das Matrizes Explícitas

Tipo ElementoMatriz Vetor

Ordem No

Índices

da Matriz

Tempo de

Processamento (min)Ordem No

Índices

do Vetor

Tempo de

Processamento (min)

Rigidez Massa

Consistente

Força

de Superficie

Força

de Corpo

2D

T6 12x12 144 0,68 0,19 12x1 12 0,04 0,03

T10 20x20 400 5,68 0,57 20x1 20 0,09 0,10

T15 30x30 900 30,14 2,87 30x1 30 0,25 0,16

T21 42x42 1.764 125,65 7,82 42x1 42 0,58 0,32

3D

TE4 12x12 144 0,53 0,10 12x1 12 0,22 0,03

TE10 30x30 900 10,86 0,78 30x1 30 1,44 0,12

TE20 60x60 3.600 117,59 5,09 60x1 60 8,70 0,27

TE35 105x105 11.025 635,68 22,19 105x1 105 36,81 0,96

7.1.1 Matriz de rigidez

Algumas estratégias foram adotadas para reduzir o tempo de processamento ecompactar a matriz de rigidez resultante. Como a matriz de rigidez é simétrica, o códigorealiza a integração simbólica apenas para o triângulo superior da matriz, rebatendoas expressões obtidas para o triângulo inferior. De forma a compactar as expressõesresultantes o código realiza a simplificação das expressões obtidas após a integração. Amatriz de rigidez para elementos bidimensionais possui vários termos iguais além de suaparte simétrica. Griffiths et al. (2009) indica que a quantidade de substituições de valorespode ser reduzida, por consequência, reduzindo o custo computacional para montagem damatriz do elemento.

O processamento para formulação da matriz explícita tem inicio com a escolha dotipo de elemento a ter sua matriz de rigidez formulada, onde estão pré-configurados oselementos bidimensionais T6, T10, T15 e T21 e os elementos tridimensionais TE4, TE10,TE20 e TE35, assim como seus respectivos polinômios característicos. O código permite aousuário modificar a ordem da função de aproximação do elemento, assim como a posiçãodos nós.

Em seguida é iniciada a formulação das funções de forma, onde o código substituio valor das coordenadas de cada nó formando um sistema de equações (semelhante aexpressão 4.20). A solução do sistema é dada pelas constantes do polinômio característico.De posse do polinômio completo, as funções de forma são determinadas para cada nó doelemento.

Em cada nó a função de forma vale 1, e nos demais nós vale zero, conforme mostradona Figura 4.7. Diante disso, o código substitui as coordenadas de cada nó em todas asfunções de forma de modo a avaliar se as funções estão corretas. O resultado esperado


é que para cada nó apenas a função correspondente ao ponto apresente valor unitário enos demais valor nulo. O resultado é apresentado em forma matricial onde cada linharepresenta um nó, e cada coluna uma função de forma. Por exemplo, para o elemento T15a matriz com resultado será 15(nós)x15(funções de forma), onde o elemento de índice (3,4)representa as coordenadas do nó 4 substituídos na função de forma do nó 3. As funções deinterpolação estarão corretas se a matriz de substituições apresentar a diagonal principalcom todos os valores unitários e os demais termos nulos.

A próxima etapa é a formulação da matriz B. De posse das funções interpoladoraso código aplica a expressão (3.20) para elementos bidimensionais ou a expressão (3.18)para elementos tridimensionais. Após o processamento a matriz B é fornecida ao usuário.

Por fim, inicia-se a formulação da matriz explícita do elemento. Primeiramente,é realizado o produto do integrando da expressão (3.19) para formulação da matriz derigidez. Em seguida, é realizado um laço onde é aplicada para cada termo deste produtoa expressão (4.39) para elementos bidimensionais ou a expressão (4.86) para elementostridimensionais. Após o término do laço a matriz de rigidez explícita é fornecida ao usuário.A seguir é apresentado um fluxograma do código para formulação da matriz de rigidezexplícita.


FLUXOGRAMAFLUXOGRAMA

FORMULAÇÃO MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTOFORMULAÇÃO MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO

Proc

essa

men

to d

e D

ados

Proc

essa

men

to d

e D

ados

Inicio

DEFINIR ELEMENTO PLANO OU ESPACIAL

DEFINIR TIPO ELEMENTO – T6, T10,

T15 OU T21

DEFINIR TIPO ELEMENTO – TE4, TE10,

TE20 OU TE35

MODIFICAR POLINÔMIO CARACTERÍSTICO E/OU

POSIÇÃO NÓS

DEFINIR POLINÔMIO

CARACTERÍSTICO E/OU POSIÇÃO

DOS NÓS

FORMULAÇÃO DAS FUNÇÕES DE FORMA

DADOS DE SAÍDA – FUNÇÕES DE

FORMA

AVALIAÇÃO DAS FUNÇÕES DE FORMA

DADOS DE SAÍDA – MATRIZ DE

AVALIAÇÃO DAS FUNÇÕES DE

FORMA

FORMULAÇÃO DAS MATRIZ B

DADOS DE SAÍDA – MATRIZ B

DETERMINA O EXPOENTE DAS VARIAVEIS DE COORDENADA DE ÁREA OU COORDENADAS

DE VOLUME

APLICA A EXPRESSÃO PARA INTEGRAÇÃO DE

ELEMENTOS TRIANGULARES OU

TETRAÉDRICOS

INICIO LOOP

DADOS DE SAÍDA – MATRIZ DE RIGIDEZ

FIM

PRODUTO [B][D][BT]

PLANO ESPACIAL

SIM

NÃO

CONFIRMAR FUNÇÕES DE FORMA

SIM

NÃO

Figura 7.1 – Fluxograma - Formulação da matriz de rigidez do elemento.


7.1.2 Vetor força de superfície, força de corpo e matriz de massa

O código para formulação do vetor de força de superfície, vetor de força de corpo ematriz de massa consistente tem inicio com a escolha do tipo de elemento a ser formuladoque pode ser o elemento triangular (T6, T10, T15, T21) ou tetraédrico (TE4, TE10, TE20,TE35). Após a escolha do tipo de elemento as funções de forma devem ser fornecidas pelousuário. Estas podem ser obtidas a partir dos resultados do código para formulação damatriz de rigidez.

Vetor Força de Superfície

Para o caso dos elementos triangulares a força de superfície é linear distribuída aolongo de cada aresta do elemento. De posse das funções interpoladoras o código montaa matriz H e realiza a integração para cada uma das três arestas do elemento de acordocom as expressões (5.11), (5.12) e (5.13). No caso dos elementos tetraédricos a força édistribuída ao longo de cada face do tetraedro, portanto é uma força distribuída por área.Após fornecidas as funções interpoladoras o código monta a matriz 𝐻 e realiza o produtoda expressão (5.4) para em seguida executar a integração para cada uma das quatro facesdo elemento. Como a superfície do tetraedro é triangular a expressão (4.39) pode seraplicada para facilitar a integração. Após a conclusão do processamento os vetores deforça de superfície são fornecidos ao usuário.

Vetor Força de Corpo

De posse das funções de forma o código monta a matriz 𝐻 e realiza o produto dointegrando da expressão (6.3). Em seguida, é iniciado o laço para integração do elemento.Para o caso do elemento triangular a massa do corpo é distribuída ao longo da área,logo a expressão (6.6) pode ser aplicada para facilitar a integração. No caso do elementotetraédrico a massa é distribuída ao longo de todo volume do elemento, diante disso ocódigo aplica a expressão (6.4) para integração do elemento. Ao final do processamento éfornecido o vetor de força de corpo.

Matriz de Massa Consistente

Após a montagem da matriz 𝐻 o código realiza o produto do integrando daexpressão (6.15), em seguida é iniciado o laço para integração do elemento. Para elementostriangulares é aplicada a expressão (6.17) para elementos tetraédricos a expressão (6.18).Durante o laço, para cada elemento da matriz o código determina os expoente das variáveispara coordenadas de área no caso de elementos triangulares e variáveis para coordenadasde volume no casos de elementos tetraédricos. Após o término do processamento do laçode integração a matriz de massa constante é fornecida como dado de saída.

A seguir, é apresentado um fluxograma da sequência de funcionamento do códigopara formulação do vetor de força de superfície, vetor força de corpo e matriz de massaconsistente.


FLUXOGRAMAFLUXOGRAMA

FORMULAÇÃO MATRIZ DE MASSA CONSISTENTE / FORÇA DE CORPO / FORÇA DE SUPERFÍCIEFORMULAÇÃO MATRIZ DE MASSA CONSISTENTE / FORÇA DE CORPO / FORÇA DE SUPERFÍCIE

Proc

essa

men

to d

e D

ados

Proc

essa

men

to d

e D

ados

Inicio



T15 OU T21

DEFINIR TIPO ELEMENTO – TE4, TE10,

TE20 OU TE35

DADOS DE SAÍDA – MATRIZ DE MASSA

CONSISENTE

FIM

MATRIZ DE MASSA MONTAGEM DA

MATRIZ [Ф] E PRODUTO ρ [ФT][Ф]

PLANO ESPACIAL

ENTRADA DE DADOS: FUNÇÕES

DE FORMA

DADOS DE SAÍDA – VETORES DE FORÇA

DE CORPO

VETOR FORÇA DE CORPO

MONTAGEM DA MATRIZ [Ф] E

PRODUTO [ФT]{FE}

VETOR FORÇA DE SUPERFÍCIE

MONTAGEM DA MATRIZ [Ф] E

PRODUTO [ФT][Ф][q]

DADOS DE SAÍDA – VETORES DE FORÇA

DE SUPERFÍCIE

ELEMENTO TRIANGULAR:

INTEGRAÇÃO PARA CADA ARESTA DO

TRIÂNGULO

ELEMENTO TETRAÉDRICO:


ELEMENTOS TRIANGULARES






ELEMENTOS TETRAÉDRICO






ELEMENTOS TETRAÉDRICO

FIMFIM

Figura 7.2 – Fluxograma - Código para formulação do vetor de força de superfície, vetorde força de corpo e matriz de massa consistente.


7.2 Código para Refinamento-p de Malhas

O código para refinamento-p de malhas, permite a criação de malhas para elementostriangulares e tetraédricos de ordem superior. Para elementos triangulares o usuário fornecea malha com elementos de três nós e o código cria os nós adicionais para malhas de 6,10, 15 ou 21 nós, a Figura 7.3 ilustra esse processo. No caso dos elementos tetraédricos ousuário fornece a malha inicial com elementos de 4 nós e o código, a critério do usuário,fornece malhas para elementos com 10, 20 ou 35 nós. Ao final do processamento é fornecidoao usuário dois aquivos .txt, sendo um com as coordenadas do elemento e o outro comas conectividades, além de apresentar imagem da malha com a numeração dos nós eelementos.

Malha Inicial - T3 Refinamento - T6

Refinamento - T10

Refinamento - T15

Refinamento - T21

Figura 7.3 – Refinamento p de Malha.

A grande vantagem é a facilidade de manipulação do código, pois basta o usuáriofornecer a malha inicial e escolher o grau de refinamento da malha. Além disso, o programapermite que o usuário modifique o posicionamento e quantidade de nós do elemento.

O código tem início com o usuário definindo qual tipo de elemento (triangularou tetraédrico) e a ordem deste elemento (número de nós). Em seguida, o usuário devefornecer a malha inicial com elementos triangulares de 3 nós ou tetraédricos de 4 nós.


Na sequência, o código inicia o laço para formação da nova malha. Inicialmente,são criadas as coordenadas dos nós adicionais para cada elemento com auxílio da expressão(7.1) para elementos triangulares e a expressão (7.2) para elementos tetraédricos. Emseguida é avaliado se essas coordenadas estão vinculadas a algum nó, em caso positivo anumeração é mantida, em caso negativo uma numeração é atribuída a esse nó. Por fim,esse nó é vinculado ao elemento.

𝑥 = 𝜉1𝑥1 + 𝜉2𝑥2 + 𝜉3𝑥3

𝑦 = 𝜉1𝑦1 + 𝜉2𝑦2 + 𝜉3𝑦3(7.1)

𝑥 = 𝜉1𝑥1 + 𝜉2𝑥2 + 𝜉3𝑥3 + 𝜉4𝑥4

𝑦 = 𝜉1𝑦1 + 𝜉2𝑦2 + 𝜉3𝑦3 + 𝜉4𝑦4

𝑧 = 𝜉1𝑧1 + 𝜉2𝑧2 + 𝜉3𝑧3 + 𝜉4𝑧4

(7.2)

Ao final do processamento da malha, o código cria a imagem com a numeração dosnós e elementos, além de criar dois arquivos de saída no formato .txt, onde o primeirocontém as coordenadas da malha e o segundo arquivo as conectividades do elemento.

A seguir, é apresentado um fluxograma do código para criar malhas para elementosde ordem superior.


FLUXOGRAMA

REFINAMENTO-P DE MALHAS TRIANGULARES E TETRAÉDRICAS

Proc

essa

men

to d

e D

ados

Inicio



T15 OU T21

DEFINIR TIPO ELEMENTO – TE10,

TE20 OU TE35

CRIAÇÃO DAS COORDENADAS DOS NÓS ADICIONAIS

INICIO LOOP

DADOS DE SAÍDA – IMAGEM DA MALHA COM

NUMERAÇÃO DOS NÓS E ELEMENTOS

FIM

PLANO ESPACIAL

ENTRADA DE DADOS: COORDENADAS E

CONECTIVIDADES PARA ELEMENTOS TRIANGULARES (3 NÓS) OU TETRAÉDRICOS

(4 NÓS)

MANTÉM NUMERAÇÃO

AVALIAÇÃO SE AS COORDENADAS DO NÓ ADICIONAL ESTÁ VINCULADA A ALGUM NÓ

NOVA NUMERAÇÃO É ATRIBUIDA

NÓ ADICIONAL É VINCULADO AO

ELEMENTO

PROCESSAMENTO DE IMAGENS DA MALHA COM NUMERAÇÃO DOS NÓS

E ELEMENTOS.

CRIAÇÃO DE ARQUIVOS .TXT, COM COORDENADAS E CONECTIVIDADES

DADOS DE SAÍDA – ARQUIVOS .TXT, COM

COORDENADAS E CONECTIVIDADES

NEGATIVOPOSITIVO

Figura 7.4 – Fluxograma - Refinamento-p de malhas triangulares e tetraédricas.


7.3 Código para Análise Estática

O código para análise estática em conjunto com o código para refinamento-p demalhas (Item 7.2) permitem ao usuário, partindo de uma malha inicial simples, obtero campo de deslocamentos e tensões para um sistema estrutural, onde a precisão dosresultados é majorada a medida que eleva-se a ordem do elemento, sem a necessidade denova discretização.

Durante o desenvolvimento do código para análise estática percebeu-se que amontagem da matriz do elemento, montagem da matriz de rigidez e solução do sistemalinear para determinação dos deslocamentos consomem muito tempo de processamento.Além disso a memória é totalmente consumida para sistemas com grandes quantidadesde graus de liberdade, diante disso algumas estratégias foram adotadas para melhorar odesempenho do código.

Conforme citado no tópico (7.1.1), o tempo para montagem da matriz do elementofoi reduzido a partir da separação dos termos iguais da matriz de rigidez, de modo arealizar a substituição dos valores apenas uma vez para os termos iguais em uma mesmamatriz.

O tempo para montagem da matriz de rigidez global foi reduzido através davetorização da matriz do elemento e da matriz global. A primeira etapa dessa estratégia évetorizar previamente a matriz do elemento, com isso a matriz do elemento é diretamentesubstituída em um vetor global de rigidez, evitando assim a locação termo a termo namatriz global.

A estratégia que possibilitou a redução do consumo de memória e redução do tempode processamento para solução do sistema linear foi a utilização de matrizes esparsas. Essafunção permite que apenas os valores diferentes de zero fiquem armazenados, com isso oconsumo de memória foi amplamente reduzido. Portanto, após a formação do "vetor globalde rigidez"o código transforma esse em uma matriz esparsa, para em seguida resolver osistema linear.

O código para análise estática tem início com o módulo para refinamento-p demalhas (Item 7.2), onde o usuário define o tipo de elemento podendo ser plano (elementotriangular: T6, T10, T15 ou T21) ou espacial (elemento tetraédrico: TE10, TE20 ouTE35) e fornece como entrada de dados a malha inicial conforme mostrado no item 7.2,após o processamento da malha, inicia-se de fato o código para análise estática.

Inicialmente o usuário define as restrições, carregamentos da estrutura e proprieda-des físicas da estrutura, como densidade do material, módulo de elasticidade, coeficientede Poisson. Para o caso dos elementos planos também deve ser definido se a estruturaestá sob estado plano de tensões ou estado plano de deformações, além da espessura doelemento.


Concluída essa etapa, é iniciado o processamento dos dados com a montagem damatriz de rigidez global, vetor de força de corpo global e vetor de força de superfície global.Em seguida, são eliminadas as linhas e colunas com restrições das matrizes e vetoresglobais para então serem determinados os deslocamentos e tensões da estrutura.

Como parte dos resultados, é fornecido ao usuário a imagem da estrutura deformadae a imagem das tensões atuantes na estrutura, conforme exemplo a seguir:

Figura 7.5 – Deformada - Viga em Balanço.


Figura 7.6 – Tensões - Viga em Balanço (N/m2).

A seguir é apresentado um fluxograma do código para análise estática.


FLUXOGRAMA

Código para Análise Estática

Proc

essa

men

to d

e D

ados

Inicio



T15 OU T21


TE20 OU TE35

DADOS DE SAÍDA – IMAGEM DAS DEFORMAÇÕES E

TENSÕES DA ESTRTURA

FIM

PLANO ESPACIAL



(4 NÓS)

PROCESSAMENTO DE IMAGENS DA ESTRUTURA DEFORMADA

PROCESSAMENTO DE IMAGENS DAS TENSÕES ATUANTES NA

ESTRUTURA

VALORES, POR NÓ, DOS DESLOCAMENTOS E TENSÕES

DA ESTRUTURA.

PROCESSAMENTO DE DADOS - CÓDIGO REFINAMENTO-P DE

MALHAS

ENTRADA DE DADOS: RESTRIÇÕES, ESFORÇOS

EXTERNOS E PROPRIEDADES FÍSICAS

PROCESSAMENTO MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL

PROCESSAMENTO VETOR FORÇAR DE CORPO GLOBAL

PROCESSAMENTO VETOR FORÇAR DE SUPERFÍCIE

GLOBAL

ELEMIMINAÇÃO DAS LINHAS E COLUNAS COM RESTRIÇÕES

DAS MATRIZES GLOBAIS

Figura 7.7 – Fluxograma - Código para análise estática.


7.4 Código para Análise Modal

O código para análise modal trabalha em conjunto com o código para refinamento-pde malhas (Item 7.2) permitindo ao usuário obter os modos de vibração para um sistemaestrutural, onde a precisão dos resultados é majorada a medida que eleva-se a ordem doelemento.

Semelhante ao código para análise estática, o código para análise modal tem iníciocom o módulo para refinamento-p de malhas (Item 7.2), onde o usuário define o tipode elemento podendo ser plano (elemento triangular: T6, T10, T15 ou T21) ou espacial(elemento tetraédrico: TE10, TE20 ou TE35) e fornece como entrada de dados a malhainicial conforme mostrado no item 7.2, após o processamento da malha, inicia-se de fato ocódigo para análise modal.

Inicialmente, o usuário define as restrições e propriedades físicas da estrutura, comodensidade do material, módulo de elasticidade, coeficiente de Poisson. Em seguida, sãodefinidos quais modos de vibração terão a imagem processada.

Concluída essa etapa, é iniciado o processamento dos dados com a montagem damatriz de rigidez e matriz de massa. Em seguida, são eliminadas as linhas e colunas comrestrições, e resolvido o problema de autovalores e autovetores com a equação 7.3 (detalhesno anexo B) obtendo, deste modo, as frequências e modos de vibração.

‖[𝐾] − 𝜔2[𝑚]‖ = 0 (7.3)

A solução de todos autovalores e autovetores demandam elevado custo computacio-nal, em especial nas análises tridimensionais. Diante disso, o código foi modificado pararesolver apenas a quantidade de modos de vibração definidos pelo usuário.

Ao final do processamento, imagem dos modos de vibração são criadas e fornecidasconforme exemplo a seguir:


(a) Modo 1

(b) Modo 2

(c) Modo 3

Figura 7.8 – Modos de Vibração - Viga biengastada espacial (Rad/s).


A seguir é apresentado um fluxograma do código para análise modal.

FLUXOGRAMA

Código para Análise Modal

Proc

essa

men

to d

e D

ados

Inicio



T15 OU T21


TE20 OU TE35

DADOS DE SAÍDA – IMAGEM DOS MODOS DE VIBRAÇÃO

FIM

PLANO ESPACIAL



(4 NÓS)

PROCESSAMENTO DAS IMAGENS DOS MODOS DE VIBRAÇÃO

FREQUÊNCIAS DA ESTRUTURA.

PROCESSAMENTO DE DADOS - CÓDIGO REFINAMENTO-P DE

MALHAS

ENTRADA DE DADOS: RESTRIÇÕES, PROPRIEDADES

FÍSICAS E MODOS DE VIBRAÇÃO (PLOT IMAGEM)

PROCESSAMENTO MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL

PROCESSAMENTO MATRIZ DE MASSA CONSISTENTE GLOBAL

ELEMIMINAÇÃO DAS LINHAS E COLUNAS COM RESTRIÇÕES DAS

MATRIZES GLOBAIS

CÁLCULO AUTOVALORES E AUTOVETORES: FREQUÊNCIAS E

MODOS DE VIBRAÇÃO

Figura 7.9 – Fluxograma - Código para análise modal.

96

8 APLICAÇÕES

Neste capítulo, com o objetivo de validar o código desenvolvido, serão realizadas trêsaplicações em elasticidade bidimensional e duas tridimensionais. A Tabela 8.1 apresenta oresumo das aplicações:

Tabela 8.1 – Resumo das Aplicações

Resumo das Análises Bidimensionais

Aplicação Análise Elementos

Viga em Balanço Estática

T3, T6, T10, T15 e T21Viga Biengastada com furo Estática e Modal

Chapa Tracionada Estática

Resumo das Análises Tridimensionais

Aplicação Análise Elementos

Pórtico Espacial Estática e Modal TE4, TE10, TE20 e TE35Conjunto de Aduelas (ponte) Estática

8.1 Tempo de Processamento - Matriz Explícita X Integral Nu-

mérica

Os métodos aplicados à solução de problemas envolvendo elementos finitos deordem superior são matrizes explícitas e integração de Gauss. Este tópico será destinado àavaliação da eficiência em termos de tempo de processamento para elementos bidimensionaisde ordem superior utilizando matrizes explícitas e integração numérica.

A primeira avaliação será quanto ao tempo de montagem da matriz de rigidezde um elemento. Será utilizado o método aplicado por Griffiths (1994) e Griffiths et al.(2009). Nesse método são realizadas repetições para montagem de um elemento. Comoresultado temos a razão entre o tempo de processamento para um mesmo tipo de elementoutilizado matriz explícita e integral numérica.

A avaliação do tempo de processamento foi realizada em duas linguagens deprogramação: MATLAB e PYTHON, de modo a avaliar a influência da linguagem nosresultados. O resultados serão apresentados nas tabelas e gráficos a seguir, onde é possívelverificar que para todos os elementos, com exceção do elemento TE 10, que a montagemda matriz de rigidez explícita requer menor tempo de processamento que a integração

Capítulo 8. APLICAÇÕES 97

numérica. É visível que a linguagem influencia no desempenho, nesse caso específico oMATLAB requer um menor custo de processamento que o PYTHON.

Os pontos de integração e pesos para cada tipo de elemento pode ser consultadono anexo C.

Montagem Matriz de Rigidez do Elemento T6

Tabela 8.2 – Tempo (segundos) para montagem da matriz de rigidez de um elemento T6

Repetições MATLAB PYTHON

Int.

Numérica

Matriz

explícitaRazão Int.

Numérica

Matriz

explícitaRazão

1.000 0,17 0,01 12,62 0,17 0,05 3,60

10.000 1,68 0,12 14,08 1,74 0,57 3,07

100.000 17,43 1,19 14,70 18,75 5,88 3,19

1.000.000 189,92 12,60 15,07 195,12 61,66 3,16

10.000.000 1.871,13 124,73 15,00 2.413,50 775,13 3,11

Figura 8.1 – T6 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento.



Tabela 8.3 – Tempo (segundos) para Montagem da matriz de rigidez de um elemento T10


Int.

Numérica

Matriz


Numérica

Matriz

explícitaRazão

1.000 0,21 0,05 3,87 1,13 0,13 8,66

10.000 1,61 0,37 4,30 12,50 1,43 8,74

100.000 15,94 3,63 4,38 128,32 16,32 7,86

1.000.000 159,01 37,52 4,24 1.792,79 201,02 8,92

10.000.000 1.583,82 374,96 4,22 15.653,34 1.770,86 8,84



Tabela 8.4 – Tempo (segundos) para Montagem da matriz de rigidez de um elemento T15


Int.

Numérica

Matriz


Numérica

Matriz

explícitaRazão

1.000 0,55 0,20 2,78 3,45 0,42 8,31

10.000 4,32 1,41 3,06 37,67 5,50 6,85

100.000 40,94 13,99 2,93 433,51 56,04 7,74

1.000.000 442,28 139,99 3,16 4.221,98 508,43 8,30

10.000.000 4.129,65 1.397,14 2,96 42.721,76 5.728,04 7,46




Para o elemento T21 apenas o tempo de processamento utilizando matriz explícitafoi computado, pois não foram identificados os pesos e pontos de integração adequados aoelemento.

Tabela 8.5 – Tempo(segundos) para Montagem da matriz de rigidez de um elemento T21

Repetições MATRIZ EXPLÍCITA

MATLAB PYTHON

1.000 0,63 1,17

10.000 4,38 12,20

100.000 42,75 129,10

1.000.000 430,52 1.253,60

10.000.000 4.280,58 12.994,42



Montagem Matriz de Rigidez do Elemento TE10

Tabela 8.6 – Tempo (segundos) para Montagem da matriz de rigidez de um elementoTE10


Int.

Numérica

Matriz


Numérica

Matriz

explícitaRazão

1.000 0,74 0,76 0,96 0,85 1,24 0,68

10.000 7,70 7,91 0,97 8,22 12,99 0,63

100.000 74,16 74,56 0,99 81,45 150,10 0,54

1.000.000 746,64 757,58 0,99 824,25 1.692,86 0,49

Figura 8.5 – TE10 - Repetições para montagem da matriz de rigidez de um elemento.




Int.

Numérica

Matriz


Numérica

Matriz

explícitaRazão

1.000 6,04 3,44 1,75 10,83 8,78 1,23

10.000 61,68 30,99 1,99 133,13 91,45 1,46

100.000 612,62 303,12 2,02 1.092,84 914,89 1,19

1.000.000 6.013,04 3.081,73 1,95 12.785,43 10.595,34 1,21






Int.

Numérica

Matriz


Numérica

Matriz

explícitaRazão

1.000 21,56 10,77 2,00 39,09 40,19 0,97

10.000 209,74 91,50 2,29 369,13 419,55 0,88

100.000 2.078,58 945,30 2,20 3.534,62 4.338,05 0,81

1.000.000 22.645,32 10.710,87 2,11 37.783,21 44.309,14 0,85


A análise dos gráficos número de repetições X Tempo de processamento paramontagem da matriz do elemento revela que a técnica utilizando a matriz de rigidez explícita


possui grande vantagem em relação a integração numérica. O tempo de processamento doelemento T6 é aproximadamente quatorze vezes menor com a matriz de rigidez explícitase comparado à integração numérica. O elementos T10 e T15 são, respectivamente, emtorno de quatro e três vezes mais eficientes que a integração numérica.

Para o caso tridimensional a vantagem da matriz explícita em relação a integraçãonumérica é um pouco menor que o caso bidimensional. O elemento TE10 mostrou-semais eficiente aplicando a integração numérica, pois possui apenas quatro pontos deintegração. Os elementos TE20 e TE35 apresentaram considerável eficiência utilizandomatriz explícita. Outro fator importante é que a linguagem influencia tanto no tempoabsoluto de processamento quanto na relação entre integração numérica e matriz explícita.


8.2 Aplicação 01 - Viga em Balanço

A montagem da matriz de rigidez de um elemento é bem mais eficiente aplicando aestratégia explícita. Neste tópico será verificado se essa eficiência é refletida na montagemda matriz de rigidez global do sistema e solução dos deslocamentos.

A avaliação do tempo de processamento será função do número de nós dos elementospara malhas com valores entre 2.000 e 200.000 graus de liberdade. Será avaliado o tempopara montagem da matriz de rigidez global e o tempo acumulado para solução dosdeslocamentos. Em seguida, será verificada a convergência da flecha no ponto A, a tensãonormal 𝜎𝑥 em B e a tensão de cisalhamento 𝜏𝑥𝑦 em C para cada elemento em função doerro, conforme expressão (8.1).

𝑒 = 𝑉 − 𝑉 𝑟

𝑉 𝑟, (8.1)

onde,

𝑒 é o erro relativo ou diferença,

𝑉 valor analisado e

𝑉 𝑟 valor de referência.

Será considerado inicialmente um exemplo simples para essa análise. O problemaconsiste em uma viga em balanço com seção transversal de cinquenta centímetros de largurapor dois metros de altura, com comprimento de dez metros. Essa viga está sob a ação deuma carga distribuída q=5kN/m. A referida estrutura possui módulo de elasticidade de200GPa e coeficiente de Poisson de 0,30. A Figura 8.8 ilustra a estrutura em análise.

y

x

500

100

50

A 100

cc

B

C

500

q

Figura 8.8 – Viga em Balanço (Cotas em centímetros).

A solução exata para flecha, levando em consideração o efeito do cisalhamento, édada pela expressão 8.2, obtida de acordo com o procedimento proposto por Tirmoshenkoe Gere (1982):

𝐹𝑚𝑎𝑥 = 𝑃𝐿3

3𝐸𝐼 + 𝑐1𝑃𝐿

𝐺𝐴(8.2)


com,

𝑐1 = 12 + 11𝑣10(1 + 𝑣) (8.3)

e

𝐺 = 𝐸

2(1 + 𝑣) (8.4)

onde,

𝑃 é a carga resultante vertical,

𝐿 é o comprimento da viga,

𝐸 é o modulo de elasticidade,

𝐼 é o momento de inércia da seção da viga,

𝐴 é a área da seção da viga,

𝑣 o coeficiente de Poisson.

Aplicado a expressão 8.2 ao problema em análise temos a flecha máxima no pontoA igual à 5, 153𝑥10−5𝑚.

A solução exata para tensão normal 𝜎𝑥 em B é dada pela expressão 8.5:

𝜎𝑥 = −𝑃𝑥

𝐼𝑦 (8.5)

onde,


𝑥 e 𝑦 são as coordenadas do ponto em análise,

𝐼 é o momento de inércia da seção da viga.

Aplicado a expressão 8.5 ao problema em análise temos a tensão de tração no pontoB igual à 150𝑘𝑁/𝑚2.

A solução exata para tensão de cisalhamento 𝜏𝑥𝑦 em C é dada pela expressão 8.6:

𝜏𝑥𝑦 = − 𝑃

2𝐼 (𝑐2 − 𝑦2) (8.6)

onde,


𝑦 é a coordenada do ponto em análise,

𝑐 é a metade da altura da viga,

𝐼 é o momento de inércia da seção da viga.

Aplicado a expressão 8.6 ao problema em análise temos a tensão de cisalhamentono ponto C igual à 15𝑘𝑁/𝑚2.


8.2.1 Tempo de processamento - Matriz explícita X Integral numérica

As Tabelas 8.9 e 8.10 apresentam os valores do tempo de processamento paramontagem da matriz global e solução do sistema de deslocamentos (inclui tempo paramontagem da matriz de rigidez global) utilizando estratégia com matrizes explícitas eintegração numérica.

Tabela 8.9 – Matriz explícita X Integral Numérica (T3, T6)

Tipo

Elemento

Num.

Elementos

Graus de

Liberdade

Tempo Processamento cumulativo (segundos)

Matriz Global Solução Deslocamentos

Matriz

explícita

Int.

NuméricaRazão Matriz

explícita

Int.

NuméricaRazão

T3

1.910 2.068 0,16 0,00 0,18 0,00

19.812 20.314 1,76 0,00 1,97 0,00

39.464 40.172 3,53 0,00 3,92 0,00

60.298 61.174 5,03 0,00 5,73 0,00

79.598 80.600 6,66 0,00 7,50 0,00

98.986 100.104 8,69 0,00 10,07 0,00

119.938 121.172 10,14 0,00 11,81 0,00

139.026 140.350 11,84 0,00 13,86 0,00

158.996 160.412 13,41 0,00 15,14 0,00

179.724 181.226 15,45 0,00 17,86 0,00

199.494 201.078 17,42 0,00 20,37 0,00

T6

490 2.122 0,07 0,49 7,17 0,08 0,51 6,25

4.806 19.722 0,53 1,46 2,78 0,68 1,98 2,90

9.548 38.890 1,27 2,79 2,20 1,61 3,20 1,99

14.504 58.878 1,62 4,36 2,69 2,19 5,02 2,29

19.154 77.602 2,20 5,47 2,48 2,99 6,44 2,16

23.838 96.450 2,75 7,16 2,60 3,85 8,50 2,20

28.658 115.838 3,38 8,50 2,51 4,68 10,05 2,15

33.694 136.082 3,94 9,94 2,52 5,61 11,79 2,10

38.334 154.726 4,50 11,38 2,53 6,63 13,54 2,04

42.836 172.818 4,91 12,94 2,63 7,47 16,03 2,15

47.476 191.458 5,41 14,45 2,67 7,88 17,34 2,20


Tabela 8.10 – Matriz explícita X Integral Numérica (T10, T15, T21)

Tipo

Elemento

Num.

Elementos

Graus de

Liberdade



Matriz

explícita

Int.


explícita

Int.

NuméricaRazão

T10

216 2.102 0,06 0,13 2,10 0,08 0,15 1,93

2.108 19.466 0,42 0,84 2,00 0,60 1,06 1,76

4.114 37.712 0,77 1,35 1,75 1,16 1,77 1,53

6.292 57.482 1,15 2,06 1,79 1,89 2,74 1,45

8.340 76.034 1,58 2,97 1,88 2,56 3,89 1,52

10.716 97.556 2,00 3,57 1,79 3,15 4,76 1,51

12.328 112.136 2,31 4,21 1,82 3,67 5,68 1,55

14.504 131.828 2,75 4,87 1,77 4,48 6,57 1,47

16.252 147.632 3,07 6,14 2,00 5,26 8,40 1,60

18.334 166.448 3,51 6,52 1,86 6,23 9,19 1,47

20.640 187.298 4,21 7,27 1,73 6,91 9,84 1,42

T15

130 2.242 0,13 0,26 1,90 0,15 0,28 1,80

1.258 20.642 0,59 1,29 2,20 0,81 1,53 1,89

2.760 44.914 1,23 2,47 2,01 1,76 3,02 1,71

3.772 61.226 1,66 2,92 1,76 2,40 3,72 1,55

4.642 75.250 2,28 3,67 1,61 3,22 4,70 1,46

5.872 95.050 2,58 4,67 1,81 4,00 6,06 1,51

7.042 113.874 3,14 5,40 1,72 4,70 6,93 1,48

8.340 134.738 3,74 6,82 1,82 5,66 8,72 1,54

9.348 150.946 4,45 7,70 1,73 6,76 9,93 1,47

10.716 172.938 4,84 8,35 1,72 7,23 10,83 1,50

11.890 191.786 5,51 9,48 1,72 8,53 12,44 1,46

T21

82 2.222 0,29 0,00 0,31 0,00

828 21.222 0,97 0,00 1,23 0,00

1.544 39.312 1,86 0,00 2,38 0,00

2.464 62.492 2,75 0,00 3,61 0,00

3.136 79.402 3,20 0,00 4,38 0,00

4.114 103.992 4,17 0,00 5,78 0,00

4.558 115.152 4,97 0,00 6,72 0,00

5.628 142.032 5,54 0,00 7,67 0,00

6.508 164.142 6,56 0,00 9,25 0,00

7.042 177.552 6,90 0,00 9,62 0,00

7.844 197.682 7,81 0,00 10,85 0,00


(a) Graus de liberdade x Tempo de proces-samento

(b) Razão - int. numérica x Mat. explícita

Figura 8.9 – Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global



Figura 8.10 – Tempo de processamento para montagem da matriz de rigidez global esolução dos deslocamentos

Os gráficos das Figuras 8.9 e 8.10 apresentam o tempo de processamento paramontagem da matriz de rigidez global e solução dos deslocamentos para os elementos emsua forma explícita e numérica e a variação da razão entre integração numérica e matrizesexplícitas. A análise das figuras revela que o tempo de processamento é menor para aestratégia utilizando matrizes explícitas. O elemento que possui maior eficiência que suaversão numérica é o elemento T6 e o elemento de maior velocidade de processamento é oT10.


(a) Elemento T3 com 121.172 grausde liberdade

(b) Elemento T6 com 115.838 grausde liberdade

(c) Elemento T10 com 112.136 grausde liberdade

(d) Elemento T15 com 113.874 grausde liberdade

(e) Elemento T21 com 115.152 grausde liberdade

Figura 8.11 – Perfil de dispersão dos termos não nulos (nz) ao longo da matriz de rigidezglobal

A figura 8.11 apresenta o perfil de dispersão dos termos não nulos ao longo da matrizde rigidez global para cada elemento. E pode-se verificar que o elemento T3 concentraos termos não nulos ao longo da diagonal principal da matriz de rigidez, os elementosde ordem superior, por sua vez, apresentam uma maior dispersão dos termos não nulos,apesar disso os elementos de ordem superior possuem melhor desempenho em termos detempo de processamento que o elemento T3 como é possível verificar nos gráficos 8.9a e8.10a.


8.2.2 Análise de convergência

A Tabela 8.11 apresenta os valores da flecha no ponto A, tensão 𝜎𝑥 no ponto Be tensão 𝜏𝑥𝑦 no ponto C, e o tempo de processamento para montagem da matriz global,solução do sistema de deslocamentos (inclui tempo para montagem da matriz de rigidezglobal) e cálculo das tensões (inclui tempo para montagem da matriz de rigidez global esolução do sistema de deslocamentos) utilizando a estratégia com matrizes explícitas.

Tabela 8.11 – Análise de convergência - Viga em balanço

Elemento Graus

Liber-

dade

Deslocamento (m) Tensões (N/m2) Tempo de Processamento

cumulativo (segundos)

Tipo Núm. Flecha Erro(%) 𝜎𝑥 Erro(%) 𝜏𝑥𝑦 Erro(%)Matriz

global

Solução

desloca-

mentos

Cálculo

tensões

T3

02 08 -2,494E-06 9,52E+01 2.357,32 9,84E+01 -10.000,00 3,33E+01 0,0107 0,0255 0,6312

06 16 -8,997E-06 8,25E+01 5.344,41 9,64E+01 -16.688,33 1,13E+01 0,0116 0,0262 0,6342

10 24 -1,253E-05 7,57E+01 9.876,63 9,34E+01 -9.137,07 3,91E+01 0,0127 0,0285 0,6631

14 32 -1,417E-05 7,25E+01 12.121,29 9,19E+01 -9.495,45 3,67E+01 0,0126 0,0275 0,6541

32 54 -2,578E-05 5,00E+01 50.318,54 6,65E+01 -9.373,98 3,75E+01 0,0150 0,0304 0,6510

36 60 -2,700E-05 4,76E+01 52.818,51 6,48E+01 -9.510,92 3,66E+01 0,0148 0,0301 0,6457

72 104 -3,540E-05 3,13E+01 81.959,95 4,54E+01 -10.392,08 3,07E+01 0,0185 0,0352 0,6495

84 120 -3,672E-05 2,87E+01 84.965,75 4,34E+01 -10.537,04 2,98E+01 0,0221 0,0388 0,6618

150 208 -3,956E-05 2,32E+01 91.277,79 3,91E+01 -10.835,02 2,78E+01 0,0264 0,0449 0,6682

250 312 -4,509E-05 1,25E+01 115.981,49 2,27E+01 -13.068,68 1,29E+01 0,0369 0,0576 0,6989

348 420 -4,671E-05 9,35E+00 123.063,28 1,80E+01 -13.972,65 6,85E+00 0,0463 0,0695 0,7155

T6

02 18 -3,982E-05 2,27E+01 154.341,93 2,89E+00 -2.427,96 8,38E+01 0,0147 0,0373 0,6565

06 42 -4,969E-05 3,58E+00 149.277,08 4,82E-01 -8.891,19 4,07E+01 0,0147 0,0370 0,6556

10 66 -5,042E-05 2,15E+00 149.080,80 6,13E-01 -11.061,51 2,63E+01 0,0163 0,0397 0,6597

14 90 -5,065E-05 1,71E+00 149.208,32 5,28E-01 -11.131,81 2,58E+01 0,0163 0,0381 0,6548

32 170 -5,110E-05 8,38E-01 153.274,71 2,18E+00 -17.369,81 1,58E+01 0,0194 0,0427 0,6553

36 190 -5,113E-05 7,75E-01 149.695,69 2,03E-01 -16.727,58 1,15E+01 0,0196 0,0416 0,6655

72 350 -5,123E-05 5,75E-01 151.460,12 9,73E-01 -15.110,71 7,38E-01 0,0235 0,0460 0,6746

84 406 -5,125E-05 5,37E-01 151.238,16 8,25E-01 -14.956,82 2,88E-01 0,0258 0,0494 0,6620

T10

02 32 -5,008E-05 2,81E+00 142.329,33 5,11E+00 -16.512,79 1,01E+01 0,0276 0,0624 0,6826

06 80 -5,104E-05 9,43E-01 149.971,50 1,90E-02 -14.859,44 9,37E-01 0,0302 0,0644 0,6891

10 128 -5,118E-05 6,72E-01 150.030,35 2,02E-02 -15.003,26 2,18E-02 0,0303 0,0637 0,6901

14 176 -5,124E-05 5,67E-01 150.002,52 1,68E-03 -14.999,83 1,16E-03 0,0310 0,0640 0,6875

32 350 -5,128E-05 4,82E-01 149.999,81 1,24E-04 -15.000,03 2,07E-04 0,0346 0,0692 0,7051

36 392 -5,129E-05 4,66E-01 149.999,99 3,47E-06 -15.000,00 2,68E-05 0,0353 0,0685 0,7004

72 740 -5,132E-05 4,14E-01 150.000,00 5,45E-07 -15.000,00 2,67E-07 0,0406 0,0758 0,7180

T15

02 50 -5,073E-05 1,55E+00 149.761,60 1,59E-01 -12.386,36 1,74E+01 0,0889 0,1243 0,7431

06 130 -5,123E-05 5,91E-01 150.082,96 5,53E-02 -14.888,38 7,44E-01 0,0934 0,1294 0,7476

10 210 -5,128E-05 4,79E-01 149.997,81 1,46E-03 -15.001,65 1,10E-02 0,0932 0,1284 0,7561

14 290 -5,130E-05 4,43E-01 150.000,02 1,26E-05 -14.999,97 1,77E-04 0,0970 0,1311 0,7614

32 594 -5,132E-05 4,07E-01 150.000,01 4,97E-06 -15.000,00 7,82E-06 0,1011 0,1372 0,7691

T21

02 72 -5,101E-05 1,01E+00 152.382,85 1,59E+00 -15.726,61 4,84E+00 0,2255 0,2680 0,8991

06 192 -5,129E-05 4,63E-01 150.183,54 1,22E-01 -14.944,18 3,72E-01 0,2265 0,2714 0,9521

10 312 -5,132E-05 4,12E-01 150.000,13 8,86E-05 -14.999,89 7,53E-04 0,2323 0,2769 0,9803

14 432 -5,133E-05 3,95E-01 150.000,02 1,17E-05 -15.000,00 1,12E-05 0,2341 0,2783 1,0166

Solução Exata -5,153E-05 150.000,00 -15.000,00


Gráficos de convergência dos deslocamento

Detalhe 1

(a) Convergência deslocamento (b) Detalhe 1

Figura 8.12 – Graus de Liberdade X Erro (deslocamento)

Gráficos de convergência das tensões normais 𝜎𝑥

Detalhe 1

(a) Convergência tensão 𝜎𝑥 (b) Detalhe 1

Figura 8.13 – Graus de Liberdade X Erro (𝜎𝑥)


Gráficos de convergência das tensões de cisalhamento

Figura 8.14 – Graus de Liberdade X Erro (tensão cisalhamento)

Os gráficos 8.12 ao 8.14, contêm as curvas de convergência do deslocamento etensões normais e de cisalhamento da estrutura, sendo a convergência em função dos grausde liberdade. A análise dos gráficos revela que o incremento da ordem dos elementospermite uma convergência com um menor número de graus de liberdade. Os elementosT10, T15 e T21 convergiram mais rápido com erros próximos a 0% com aproximadamente200 graus de liberdade


8.3 Aplicação 02 - Viga Biengastada com Furo

A estrutura em análise consiste em uma viga biengastada com seção transversalde cinquenta centímetros de largura por dois metros de altura, com comprimento de dezmetros e um furo com diâmetro de um metro no meio do vão. Essa viga está sob a ação deuma carga distribuída q=10kN/m e possui peso próprio de 25KN/m3. A referida estruturapossui módulo de elasticidade de 200GPa e coeficiente de Poisson de 0,30. A Figura 8.15ilustra a estrutura em análise.

yq

x1000

100

50

50 A

50

Figura 8.15 – Viga Biengastada (Cotas em centímetros).


Neste tópico será verificada a eficiência na montagem da matriz de rigidez globaldo sistema e solução dos deslocamentos. A avaliação do tempo de processamento seráfunção do número de graus de liberdade. Será avaliado o tempo para montagem da matrizde rigidez global e o tempo acumulado para solução dos deslocamentos.

A Tabela 8.12 contém os valores do tempo de processamento para montagemda matriz global e solução do sistema de deslocamentos (inclui tempo para montagemda matriz de rigidez global) utilizando estratégia com matrizes explícitas e integraçãonumérica.


Tabela 8.12 – Matriz explícita X Integral Numérica (T3,T6,T10)

Elemento Graus de

Liberdade

Tempo de Processamento cumulativo (segundos)

Matriz Global Solução deslocamentos

Tipo Número Matriz

Explícita

Int.


Explícita

Int.

NuméricaRazão

T3

12 24 0,01 0,00 0,03 0,00

19 36 0,01 0,00 0,03 0,00

86 128 0,02 0,00 0,04 0,00

172 232 0,03 0,00 0,05 0,00

504 604 0,06 0,00 0,09 0,00

722 842 0,08 0,00 0,12 0,00

1088 1238 0,14 0,00 0,22 0,00

1990 2190 0,22 0,00 0,31 0,00

4444 4746 0,54 0,00 0,75 0,00

12312 12816 1,65 0,00 2,52 0,00

17806 18410 2,44 0,00 3,89 0,00

T6

12 72 0,02 0,02 1,43 0,04 0,05 1,09

19 110 0,02 0,03 1,59 0,04 0,05 1,33

86 428 0,02 0,04 1,74 0,05 0,07 1,43

172 808 0,04 0,07 1,85 0,06 0,09 1,49

504 2216 0,08 0,17 2,12 0,12 0,21 1,79

722 3128 0,11 0,24 2,20 0,16 0,30 1,80

1088 4652 0,16 0,35 2,24 0,23 0,42 1,88

1990 8360 0,28 0,64 2,27 0,39 0,76 1,94

4444 18380 0,66 1,50 2,28 0,95 1,81 1,90

T10

12 144 0,03 0,06 1,91 0,07 0,10 1,45

19 222 0,03 0,06 2,01 0,07 0,10 1,50

86 900 0,04 0,08 1,93 0,08 0,12 1,54

172 1728 0,06 0,11 1,87 0,11 0,16 1,52

504 4836 0,13 0,23 1,86 0,20 0,32 1,56

722 6858 0,17 0,30 1,74 0,28 0,40 1,45

1088 10242 0,25 0,54 2,18 0,40 0,72 1,80

1990 18510 0,45 0,77 1,71 0,72 1,04 1,45


Tabela 8.13 – Matriz explícita X Integral Numérica (T15,T21)

Elemento Graus de

Liberdade


Matriz Global Solução deslocamentos

Tipo Número Matriz

Explícita

Int.


Explícita

Int.

NuméricaRazão

T15

12 240 0,10 0,17 1,75 0,13 0,21 1,54

19 372 0,10 0,21 2,08 0,14 0,25 1,80

54 1000 0,11 0,21 1,93 0,15 0,26 1,70

86 1544 0,12 0,22 1,74 0,17 0,26 1,55

172 2992 0,16 0,33 2,05 0,22 0,40 1,79

504 8464 0,32 0,55 1,73 0,45 0,68 1,52

722 12032 0,42 0,69 1,64 0,60 0,69 1,15

1088 18008 0,59 0,96 1,62 0,85 1,21 1,42

T21

12 360 0,23 0,00 0,28 0,00

19 560 0,27 0,00 0,32 0,00

54 1520 0,28 0,00 0,33 0,00

86 2360 0,30 0,00 0,36 0,00

172 4600 0,37 0,00 0,47 0,00

504 13100 0,67 0,00 0,88 0,00

722 18650 0,89 0,00 1,20 0,00








Os gráficos das Figuras 8.16 e 8.17 apresentam o tempo de processamento paramontagem da matriz de rigidez global e solução dos deslocamentos para os elementos emsua forma explícita e numérica e a variação da razão entre integração numérica e matrizesexplícitas. A análise da figura revela que o a estratégia utilizando matrizes explícitas émais eficiente que a integração numérica. O elemento que possui maior eficiência que suaversão numérica é o elemento T6 e o elemento de maior velocidade de processamento é oT10.

A figura 8.18 apresenta o perfil de dispersão dos termos não nulos ao longo damatriz de rigidez global para cada elemento. Assim como na aplicação 01 o elemento T3concentra os termos não nulos ao longo da diagonal principal da matriz de rigidez. Oselementos de ordem superior, por sua vez, apresentam uma maior dispersão dos termosnão nulos, apesar disso os elementos de ordem superior possuem melhor desempenho emtermos de tempo de processamento que o elemento T3 como é possível verificar nos gráficos8.16a e 8.17a.


(a) Elemento T3 com 18.410 graus deliberdade

(b) Elemento T6 com 18.380 graus deliberdade

(c) Elemento T10 com 18.510 grausde liberdade

(d) Elemento T15 com 18.008 graus deliberdade

(e) Elemento T21 com 18.008 grausde liberdade




Os resultados dos deslocamentos e tensões para a aplicação foram validados comauxílio do software ANSYS, onde foi criada uma malha com 4.356 elementos plane183(elemento triangular com 06 nós) com os resultados convergindo de acordo com a figura8.21. A Tabela 8.14 apresenta os resultados para flecha e tensões no meio do vão da faceinferior da viga (ponto A). A Figura 8.19 demonstra algumas das malhas utilizadas naaplicação e a Figura 8.20 exibi a malha do ANSYS. A Figura 8.22 contém o gráfico deconvergência das tensões em função dos graus de liberdade e a Figura 8.23 a convergênciaem função do tempo.

Malha triangular - 172 elementos


Figura 8.19 – Malhas viga biengastada.

Figura 8.20 – Malha da viga biengastada com furo - ANSYS.


(a) Convergência do deslocamento

(b) Convergência da tensão 𝜎𝑥

Figura 8.21 – Convergência dos resultados no ponto A - ANSYS


Tabela 8.14 – Análise de convergência - Viga biengastada

Elemento Graus

de Liberdade

Deslocamento (m) Tempo Processamento cumulativo (s) Tensão (kN/m2)

Tipo Número Eixo

Y

diferença(%) Matriz

Global

Cálculo

deslocamentos

Cálculo

tensões

Tensão

X

diferença(%)

T3

12 24 -7,02E-06 6,29E+01 0,02 0,21 0,87 337,90 1,35E+01

19 36 -9,78E-06 4,83E+01 0,02 0,04 0,67 138,74 6,45E+01

86 128 -1,50E-05 2,05E+01 0,03 0,05 0,69 316,50 1,90E+01

172 232 -1,68E-05 1,12E+01 0,04 0,09 0,73 367,24 5,96E+00

504 604 -1,81E-05 4,26E+00 0,09 0,12 0,84 379,58 2,80E+00

722 842 -1,83E-05 3,31E+00 0,13 0,17 0,91 368,60 5,61E+00

1088 1238 -1,85E-05 2,15E+00 0,18 0,23 1,01 375,22 3,92E+00

1990 2190 -1,87E-05 1,22E+00 0,31 0,39 1,30 378,70 3,03E+00

4444 4746 -1,88E-05 5,47E-01 0,68 0,90 2,17 381,60 2,29E+00

12312 12816 -1,89E-05 2,19E-01 2,08 2,96 5,81 388,56 5,02E-01

17806 18410 -1,89E-05 1,52E-01 3,07 4,67 8,93 388,57 5,00E-01

T6

12 72 -1,32E-05 3,02E+01 0,03 0,05 0,70 -14,38 1,04E+02

19 110 -1,78E-05 5,98E+00 0,03 0,05 0,71 438,15 1,22E+01

86 428 -1,88E-05 6,73E-01 0,04 0,06 0,72 405,96 3,95E+00

172 808 -1,88E-05 3,07E-01 0,05 0,08 0,76 397,72 1,84E+00

504 2216 -1,89E-05 1,30E-01 0,11 0,15 0,93 395,22 1,20E+00

722 3128 -1,89E-05 9,63E-02 0,15 0,20 1,09 393,61 7,92E-01

1088 4652 -1,89E-05 6,38E-02 0,22 0,29 1,27 392,11 4,07E-01

1990 8360 -1,89E-05 3,85E-02 0,37 0,49 1,89 391,87 3,44E-01

4444 18380 -1,89E-05 9,31E-03 0,86 1,15 4,31 391,49 2,48E-01

T10

12 144 -1,72E-05 9,21E+00 0,04 0,09 0,74 -55,39 1,14E+02

19 222 -1,93E-05 1,90E+00 0,05 0,08 0,75 429,81 1,01E+01

86 900 -1,89E-05 1,80E-01 0,06 0,10 0,79 392,83 5,92E-01

172 1728 -1,89E-05 5,94E-02 0,08 0,13 0,88 391,50 2,52E-01

504 4836 -1,89E-05 1,89E-02 0,17 0,25 1,23 389,33 3,04E-01

722 6858 -1,89E-05 1,14E-02 0,23 0,33 1,53 391,38 2,21E-01

1088 10242 -1,89E-05 1,03E-02 0,33 0,48 2,09 391,25 1,88E-01

1990 18510 -1,89E-05 1,08E-02 0,59 0,86 3,92 390,31 -5,45E-02

T15

12 240 -1,90E-05 7,43E-01 0,14 0,18 0,86 -74,67 1,19E+02

19 372 -1,94E-05 2,76E+00 0,16 0,20 0,88 429,61 1,00E+01

54 1000 -1,90E-05 7,61E-01 0,19 0,24 0,98 407,58 4,37E+00

86 1544 -1,90E-05 3,52E-01 0,18 0,23 0,95 391,04 1,34E-01

172 2992 -1,89E-05 1,58E-01 0,23 0,29 1,20 391,88 3,49E-01

504 8464 -1,89E-05 6,24E-02 0,41 0,54 1,90 390,81 7,42E-02

722 12032 -1,89E-05 4,65E-02 0,52 0,70 2,51 390,80 7,11E-02

1088 18008 -1,89E-05 3,51E-02 0,74 1,03 3,91 390,52 -7,18E-04

T21

12 360 -1,81E-05 3,99E+00 0,37 0,41 1,18 752,75 9,28E+01

19 560 -1,95E-05 3,04E+00 0,38 0,43 1,23 437,57 1,20E+01

54 1520 -1,91E-05 8,79E-01 0,42 0,47 1,59 414,17 6,06E+00

86 2360 -1,90E-05 4,22E-01 0,45 0,52 1,97 392,22 4,34E-01

172 4600 -1,89E-05 1,97E-01 0,55 0,65 2,85 392,51 5,09E-01

504 13100 -1,89E-05 7,99E-02 0,92 1,16 6,78 391,02 1,29E-01

722 18650 -1,89E-05 6,01E-02 1,14 1,47 9,72 390,74 5,51E-02

ANSYS 4356 17968 -1,89E-05 390,52


Figura 8.22 – Graus de Liberdade X Diferença (𝜎𝑥)

Figura 8.23 – Tempo de processamento X Diferença (𝜎𝑥)

A análise dos gráficos das Figuras 8.22 e 8.23 aponta que os elementos de ordemsuperior convergem mais rápido, sendo a velocidade de convergência dos elementos T6,T10 e T15 muito próximas. O elemento T21 apresentou uma pequena diferença, porémapenas com aproximadamente um segundo e meio o elemento T21 chegou a um erro deapenas 0,5%.


Análise Modal

Após a análise estática foi realizada a análise modal onde foram obtidos os trêsprimeiros modos de vibração dessa aplicação, conforme Tabela 8.15, sendo estes validadosa partir dos resultados obtidos com auxílio do software ANSYS, onde foi criada umamalha com 4.356 elementos plane183 (elemento triangular com 06 nós) com os resultadosconvergindo de acordo com a figura 8.24. A Figura 8.25 apresenta a imagem dos trêsprimeiros modos para estrutura com 86 elementos - T21.

(a) Modo 1 (b) Modo 2

(c) Modo 3

Figura 8.24 – Convergência das frequências naturais - ANSYS


Tabela 8.15 – Análise modal de convergência - Viga biengastada

Elemento Graus de

Liberdade

Modo 1 Modo 2 Modo 3 Tempo processamento

cumulativo (s)

Tipo Número Frequência

(Rad/s)

Diferença

(%)

Frequência

(Rad/s)

Diferença

(%)

Frequência

(Rad/s)

Diferença

(%)

Matriz

Global

Cálculo

Modos

T3

12 24 1.630,13 6,68E+01 3.206,92 6,28E+01 5.408,35 4,62E+01 0,02 0,10

19 36 1.373,94 4,06E+01 2.902,98 4,73E+01 5.085,48 3,75E+01 0,02 0,10

23 42 1.341,92 3,73E+01 2.804,28 4,23E+01 4.761,13 2,87E+01 0,02 0,10

54 88 1.156,12 1,83E+01 2.423,10 2,30E+01 4.199,90 1,36E+01 0,02 0,10

86 128 1.104,34 1,30E+01 2.329,97 1,82E+01 4.076,55 1,02E+01 0,03 0,11

172 232 1.042,86 6,73E+00 2.184,30 1,09E+01 3.919,63 5,98E+00 0,04 0,12

504 604 1.000,51 2,40E+00 2.062,50 4,67E+00 3.794,83 2,60E+00 0,08 0,19

722 842 995,33 1,87E+00 2.039,99 3,53E+00 3.769,77 1,93E+00 0,09 0,18

1088 1238 988,62 1,18E+00 2.017,86 2,41E+00 3.744,51 1,24E+00 0,13 0,22

1990 2190 983,61 6,66E-01 1.998,54 1,43E+00 3.724,81 7,10E-01 0,28 0,39

4444 4746 980,13 3,10E-01 1.985,13 7,47E-01 3.710,85 3,33E-01 0,86 1,07

12312 12816 978,32 1,25E-01 1.975,99 2,83E-01 3.703,24 1,27E-01 1,46 1,84

17806 18410 977,96 8,78E-02 1.974,42 2,03E-01 3.701,76 8,72E-02 2,05 3,01

T6

12 72 1.261,26 2,91E+01 2.594,79 3,17E+01 4.787,22 2,94E+01 0,02 0,11

19 110 1.001,34 2,48E+00 2.242,77 1,38E+01 3.933,57 6,35E+00 0,03 0,11

23 130 991,86 1,51E+00 2.209,37 1,21E+01 3.870,69 4,65E+00 0,03 0,12

86 428 979,40 2,36E-01 2.022,97 2,67E+00 3.723,62 6,78E-01 0,04 0,12

172 808 978,13 1,06E-01 1.992,53 1,12E+00 3.707,60 2,45E-01 0,05 0,14

504 2216 977,58 4,92E-02 1.978,08 3,90E-01 3.701,29 7,44E-02 0,10 0,22

722 3128 977,45 3,62E-02 1.975,45 2,56E-01 3.700,28 4,72E-02 0,13 0,26

T10

12 144 1.025,73 4,98E+00 2.219,03 1,26E+01 4.226,82 1,43E+01 0,04 0,13

19 222 959,86 1,76E+00 2.109,72 7,07E+00 3.689,23 2,52E-01 0,04 0,15

86 900 974,71 2,45E-01 1.997,76 1,39E+00 3.695,12 9,23E-02 0,07 0,17

172 1728 976,20 9,22E-02 1.983,13 6,46E-01 3.697,31 3,30E-02 0,08 0,19

504 4836 976,81 3,00E-02 1.975,07 2,37E-01 3.698,04 1,34E-02 0,22 0,39

T15

12 240 1.016,36 4,02E+00 2.131,03 8,15E+00 3.846,00 3,99E+00 0,17 0,22

19 372 955,62 2,20E+00 2.088,87 6,01E+00 3.652,56 1,24E+00 0,14 0,23

54 1000 971,55 5,68E-01 2.008,67 1,94E+00 3.686,25 3,32E-01 0,17 0,26

86 1544 973,86 3,31E-01 1.994,41 1,22E+00 3.691,40 1,93E-01 0,19 0,31

172 2992 975,72 1,41E-01 1.981,72 5,74E-01 3.695,50 8,20E-02 0,25 0,42

T21

12 360 1.011,87 3,56E+00 2.127,82 7,99E+00 3.812,18 3,07E+00 0,37 0,46

19 560 954,35 2,33E+00 2.083,11 5,72E+00 3.643,16 1,50E+00 0,39 0,48

54 1520 971,04 6,20E-01 2.006,55 1,83E+00 3.684,10 3,90E-01 0,55 0,69

86 2360 973,53 3,65E-01 1.993,26 1,16E+00 3.690,23 2,24E-01 0,47 0,60

172 4600 975,54 1,60E-01 1.981,20 5,48E-01 3.694,90 9,83E-02 0,66 0,86

ANSYS 4356 17968 977,10 1.970,41 3.698,53


(a) Modo 1

(b) Modo 2

(c) Modo 3

Figura 8.25 – Modos de Vibração - Viga biengastada (Rad/s).


Figura 8.26 – Graus de Liberdade X Diferença (Modo 1)

A análise do gráfico 8.26 demonstra que as frequências naturais convergem rapida-mente para os elementos de ordem superior a um baixo custo computacional. Para essaaplicação o elemento com melhor desempenho foi o T6 que apresentou erro próximo a 0%com o menor número de graus de liberdade.


8.4 Aplicação 03 - Chapa Tracionada

A terceira aplicação consiste em uma chapa tracionada com um furo no centro. Achapa possui dimensões de três metros e meio de largura por um metro de altura, espessurade um milímetro, e furo com vinte centímetros de diâmetro. A chapa está sob a ação deuma carga distribuída q=10kN/m, possui módulo de elasticidade de 200GPa e coeficientede Poisson de 0. A Figura 8.27 ilustra a estrutura em análise.

y

q

x

350

20

0.1

40

40

AB

Figura 8.27 – Chapa Tracionada (cotas em centímetros).

Para o caso da placa tracionada, surge o efeito da concentração de tensões próximoao furo (ponto A), onde surgem tensões muito acima da tensão média da chapa. No pontoB a tensão é nula. Como a chapa é simétrica podemos simplificar o problema conformeilustrado na Figura 8.28.

yq

x

175

10

40

Figura 8.28 – Chapa simétrica tracionada (cotas em centímetros).

Diante da importância da determinação da tensão máxima para o dimensionamentoadequado da estrutura surgiram estudos para determinar seu valor. Pilkey (1997) apresentaa forma analítica para solução do problema através do ábaco da Figura 8.29.


Figura 8.29 – Ábaco - Concentração de Tensões.Fonte: Pilkey, 1997.

Para determinação da tensão máxima é necessário obter o coeficiente 𝐾𝑡𝑛 fornecidopela Figura (8.29). O dado de entrada para o ábaco é a razão entre o diâmetro do furoe a menor dimensão da chapa. Em seguida, basta aplicar a expressão (8.7) que está emfunção da tensão crítica localizada na região furada, ou seja na área "líquida"da chapa.

𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝐾𝑡𝑛𝜎𝑐 (8.7)


Onde,

𝜎𝑚𝑎𝑥 é a tensão máxima e

𝜎𝑐 é a tensão na seção crítica.

Aplicando a expressão (8.7) ao problema em análise temos:

𝑑

𝐻= 0, 20𝑚

1, 00𝑚 = 0, 2

𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝐾𝑡𝑛𝜎𝑐 = 2, 52 10𝑘𝑁0, 80𝑚𝑋0, 001𝑚 = 31.488𝐾𝑁/𝑚2

(8.8)

Outra forma de obter a tensão máxima é aplicando a expressão (8.9) com a curva𝐾𝑡𝑔, pertencente ao mesmo ábaco, porém para esse caso é aplicada a tensão média dachapa, ou seja a tensão na área "bruta"da chapa.

𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝐾𝑡𝑔𝜎𝑚𝑒𝑑 (8.9)

Onde,

𝜎𝑚𝑎𝑥 é a tensão máxima e

𝜎𝑚𝑒𝑑 é a tensão média da seção.

Aplicando a expressão (8.9) ao problema em análise temos:

𝑑

𝐻= 0, 20𝑚

1, 00𝑚 = 0, 2

𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝐾𝑡𝑔𝜎𝑐 = 3, 15 10𝑘𝑁1, 00𝑚𝑋0, 001𝑚 = 31.488𝐾𝑁/𝑚2

(8.10)

Portanto, o valor teórico para tensão máxima é de 31.488𝐾𝑁/𝑚2 de acordo comas expressões (8.8) e (8.10).

A Tabela 8.16 apresenta os resultados para as tensões nos pontos A e B da chapa,e a Figura 8.31 apresenta o gráfico de convergência das tensões em função dos graus deliberdade. A Figura 8.30 apresenta algumas das malhas utilizadas na aplicação. Não foirealizado um refinamento p localizado no ponto de concentração de tensões, pois durantea pesquisa não foi possível o desenvolvimento de uma técnica adequada para o refinolocalizado.





Figura 8.30 – Malhas chapa.


Tabela 8.16 – Análise de convergência - Chapa

Elemento Graus de

Liberdade

Tensões (N/m2)

Tipo Número Tensão em A Erro (%) Tensão em B

T3

246 294 17.297.563,93 4,51E+01 5.924.126,74

984 1.078 22.986.158,64 2,70E+01 1.643.377,47

3936 4.122 26.948.466,18 1,44E+01 103.828,19

15744 16.114 29.180.301,48 7,33E+00 -166.325,90

62976 63.714 30.352.523,75 3,61E+00 -137.718,11

251904 253.378 30.944.926,37 1,72E+00 -81.475,68

1163264 1.166.466 31.250.164,01 7,55E-01 -64.969,46

T6

246 1.078 26.177.354,75 1,69E+01 -2.314.447,28

984 4.122 29.695.096,20 5,69E+00 -1.120.195,90

3936 16.114 30.965.137,35 1,66E+00 -335.034,20

15744 63.714 31.366.857,84 3,85E-01 -89.279,60

62976 253.378 31.483.150,49 1,54E-02 -22.884,94

251904 1.010.562 31.514.682,99 8,47E-02 -5.779,21

T10

246 2.354 33.192.413,47 5,41E+00 -1.508.380,23

984 9.134 34.160.245,65 8,49E+00 -512.619,60

3936 35.978 33.383.814,48 6,02E+00 -150.674,86

15744 142.802 32.595.186,85 3,52E+00 -48.555,26

62976 125.952 32.095.366,96 1,93E+00 -17.766,85

251904 2.271.554 31.819.139,99 1,05E+00 -7.278,33

T15

246 4.122 39.373.569,16 2,50E+01 -1.608.393,17

984 16.114 37.780.156,68 2,00E+01 -686.929,97

3936 63.714 35.297.953,96 1,21E+01 -314.752,72

15744 253.378 33.578.051,12 6,64E+00 -148.618,14

62976 1.010.562 32.593.827,92 3,51E+00 -71.693,57

251904 4.036.354 32.070.290,47 1,85E+00 -35.127,12

T21

246 6.382 44.998.415,01 4,29E+01 -1.850.507,54

984 25.062 40.935.907,58 3,00E+01 -691.633,36

3936 99.322 36.904.565,51 1,72E+01 -238.373,94

15744 395.442 34.377.217,65 9,18E+00 -89.956,89

62976 1.578.082 32.990.674,59 4,77E+00 -37.828,61

Solução exata 31.488.000,00


Figura 8.31 – Graus de Liberdade X Erro (𝜎𝑥)

A análise do gráfico 8.31 revela que a convergência em pontos de concentração detensões torna-se mais lenta a medida que eleva-se o grau do polinômio. A Tabela 8.17apresenta o perfil de tensões para a chapa com furo circular (figura 8.32) e para chapacom iguais dimensões, porém com furo quadrado de 10 cm de lado (figura 8.33).

Perfil A

Figura 8.32 – Tensão na chapa com furo circular (N/m2)


Perfil B Perfil C

Figura 8.33 – Tensão na chapa com furo quadrado (N/m2)

Tabela 8.17 – Perfil de tensões - A, B e C

Perfil Elemento Graus de

Liberdade

Tensão (N/m2) em cada coordenada Y

Tipo Núm. 10 cm 15 cm 20 cm 25 cm 30 cm 35 cm 40 cm 45 cm 50 cm

A

T3 15744 16114 2,92E+07 1,58E+07 1,26E+07 1,15E+07 1,11E+07 1,08E+07 1,05E+07 1,01E+07 9,52E+06

T6 15744 63714 3,14E+07 1,57E+07 1,26E+07 1,16E+07 1,11E+07 1,07E+07 1,04E+07 1,00E+07 9,43E+06

T10 15744 142802 3,26E+07 1,58E+07 1,26E+07 1,16E+07 1,11E+07 1,07E+07 1,04E+07 1,00E+07 9,43E+06

T15 15744 253378 3,36E+07 1,58E+07 1,26E+07 1,16E+07 1,11E+07 1,07E+07 1,04E+07 1,00E+07 9,43E+06

T21 15744 395442 3,44E+07 1,58E+07 1,26E+07 1,16E+07 1,11E+07 1,07E+07 1,04E+07 1,00E+07 9,43E+06

B

T3 15488 15858 1,80E+07 1,60E+07 1,36E+07 1,23E+07 1,16E+07 1,12E+07 1,08E+07 1,04E+07 9,80E+06

T6 15488 62690 1,79E+07 1,60E+07 1,37E+07 1,24E+07 1,17E+07 1,12E+07 1,08E+07 1,04E+07 9,74E+06

T10 15488 140498 1,78E+07 1,60E+07 1,38E+07 1,24E+07 1,17E+07 1,12E+07 1,08E+07 1,04E+07 9,74E+06

T15 15488 249282 1,78E+07 1,60E+07 1,38E+07 1,24E+07 1,17E+07 1,12E+07 1,08E+07 1,04E+07 9,75E+06

T21 15488 389042 1,78E+07 1,60E+07 1,38E+07 1,24E+07 1,17E+07 1,12E+07 1,08E+07 1,04E+07 9,75E+06

C

T3 15488 15858 1,96E+07 1,42E+07 1,29E+07 1,22E+07 1,16E+07 1,13E+07 1,09E+07 1,06E+07 1,02E+07

T6 15488 62690 2,80E+07 1,42E+07 1,29E+07 1,22E+07 1,16E+07 1,13E+07 1,09E+07 1,06E+07 1,02E+07

T10 15488 140498 3,59E+07 1,42E+07 1,29E+07 1,22E+07 1,16E+07 1,13E+07 1,09E+07 1,06E+07 1,02E+07

T15 15488 249282 4,34E+07 1,42E+07 1,29E+07 1,22E+07 1,16E+07 1,13E+07 1,09E+07 1,06E+07 1,02E+07

T21 15488 389042 5,05E+07 1,42E+07 1,29E+07 1,22E+07 1,16E+07 1,13E+07 1,09E+07 1,06E+07 1,02E+07


Figura 8.34 – Tensões (𝜎𝑥) - Perfil A (N/m2)

Figura 8.35 – Tensões (𝜎𝑥) - Perfil B (N/m2)


Figura 8.36 – Tensões (𝜎𝑥) - Perfil C (N/m2)

A análise dos perfis de tensões 8.34, 8.35 e 8.36 permitem concluir que apenasnos pontos de concentração de tensões a convergência é lenta para elementos de ordemsuperior. Esse comportamento pode ser explicado pelo Fenômeno de Runge. ConformeRoth (2005), em regiões de contorno à medida que o grau p aumenta, ocorrem grandesoscilações nessa região, ou seja, por esse fenômeno, polinômios de ordem superior nãorepresentam adequadamente uma função arbitrária em regiões singulares. A figura 8.37ilustra o Fenômeno de Runge, onde a função p de ordem superior não consegue representara função f (arbitrária) em uma determinada região.

Figura 8.37 – Fenômeno de Runge


8.5 Aplicação 04 - Pórtico Espacial

A estrutura em análise consiste em um pórtico espacial simétrico com vigas deseção transversal de um metro de largura por dois metros de altura e pilares com seçãoquadrada de um metro.O pórtico está sob a ação de uma carga distribuída q=10kN/m2 epossui peso próprio de 25KN/m3. A estrutura possui módulo de elasticidade de 200GPa ecoeficiente de Poisson de 0,30. A Figura 8.38 ilustra a estrutura em análise.

x

y

z

100

500

950

700

100A

BC

Figura 8.38 – Pórtico Espacial (Cotas em centímetros).


A montagem da matriz de rigidez de um elemento é bem mais eficiente aplicandoa estratégia explícita aos elementos TE20 e TE35. Neste tópico será verificado se essaeficiência é refletida na montagem da matriz global do sistema e solução dos deslocamentos.

A avaliação do tempo de processamento será em função do número de nós doelementos para malhas com graus de liberdade variando entre aproximadamente 500 e84.000 graus de liberdade. Será avaliado o tempo para montagem da matriz de rigidezglobal e o tempo acumulado para solução dos deslocamentos.



Tabela 8.18 – Matriz explícita X Integral numérica

Elemento Graus de

Liberdade



Tipo Número Matriz

explícita

Int.


explícita

Int.

NuméricaRazão

TE4

237 447 0,08 0,13

624 948 0,16 0,22

1123 1245 0,39 0,48

1575 1593 0,42 0,52

2162 2112 0,81 0,94

20212 14724 6,28 8,49

48177 32085 23,26 35,91

68973 44436 54,27 85,04

97057 61500 108,74 188,19

150980 92874 242,57 437,18

TE10

237 2028 0,30 0,18 0,60 0,37 0,26 0,69

624 4659 0,55 0,36 0,65 0,68 0,49 0,72

2162 12261 1,61 1,14 0,71 1,97 1,49 0,76

5154 27957 3,89 3,10 0,80 4,90 4,24 0,87

9044 45684 7,59 6,07 0,80 9,76 8,22 0,84

12561 61500 11,71 10,60 0,91 15,77 15,43 0,98

20212 98028 22,33 18,78 0,84 31,47 28,09 0,89

TE20

237 5457 1,88 2,87 1,52 2,08 3,26 1,57

624 13008 3,63 5,00 1,38 4,03 5,41 1,34

1123 20103 6,02 8,97 1,49 6,76 9,76 1,44

1575 27003 8,21 12,35 1,50 9,57 13,52 1,41

2494 42099 12,91 19,70 1,53 14,74 21,43 1,45

3559 60585 18,30 29,02 1,59 21,71 31,94 1,47

5154 85548 26,24 42,72 1,63 30,89 48,34 1,56

TE35

237 11445 7,00 8,34 1,19 7,45 8,77 1,18

624 27867 13,21 18,66 1,41 14,32 20,00 1,40

1123 44457 23,69 31,47 1,33 26,08 34,12 1,31

1575 60273 30,62 42,72 1,40 33,60 46,35 1,38

2201 83865 42,54 71,36 1,68 47,58 78,43 1,65








Os gráficos das Figuras 8.39 e 8.40 apresentam o tempo de processamento paramontagem da matriz de rigidez global e solução dos deslocamentos para os elementos emsua forma explícita e numérica e a variação da razão entre integração numérica e matrizesexplícitas. A análise dos gráficos indica que os elementos TE20 e TE35 requerem ummenor custo computacional em sua forma explícita, diferentemente do elemento TE10em que a integração numérica é um pouco mais eficiente. O elemento que possui maior


eficiência em relação a integração numérica e velocidade de processamento é o elementoTE10.

(a) Elemento TE4 com 92.874 grausde liberdade

(b) Elemento TE10 com 98.028 grausde liberdade

(c) Elemento TE20 com 85.548 grausde liberdade

(d) Elemento TE35 com 83.865 grausde liberdade


A figura 8.41 apresenta o perfil de dispersão dos termos não nulos ao longo damatriz de rigidez global para cada elemento. E pode-se verificar que o elemento TE4concentra os termos não nulos ao longo da diagonal principal da matriz de rigidez, oselementos de ordem superior, por sua vez, apresentam uma maior dispersão dos termosnão nulos, apesar disso os elementos de ordem superior possuem melhor desempenho emtermos de tempo de processamento que o elemento TE4 como é possível verificar nosgráficos 8.39a e 8.40a.



A Tabela 8.19 apresenta o deslocamento vertical na ponto A (eixo Z) e as tensõesde compressão nos pontos B e C (respectivamente os eixos X e Y) conforme a Figura 8.38.Os resultados foram validados com auxílio do software ANSYS, onde foi criada uma malhacom 31.794 elementos solid187 (tetraedro com 10 nós) com os resultados convergindo deacordo com a figura 8.43. A Figura 8.44 apresenta algumas das malhas utilizadas pararesolução da estrutura e a Figura 8.42 exibi a malha do ANSYS.

Figura 8.42 – Malha do pórtico - ANSYS.

(a) Convergência do deslocamento (b) Convergência da tensão 𝜎𝑦

Figura 8.43 – Convergência dos resultados nos pontos A e B - ANSYS


Figura 8.44 – Malhas do pórtico.


Tabela 8.19 – Pórtico - Deslocamento vertical e tensões

Elemento Graus de

Liberdade

Deslocamento (m) Tensão (N/m2)

Tipo Número Eixo

Z

Diferença

(%)

Tensão

X

Diferença

(%)

Tensão

Y

Diferença

(%)

TE4

237 447 -1,32E-04 6,93E+01 -2,50E+05 8,33E+01 -2,44E+05 8,37E+01

624 948 -2,18E-04 4,94E+01 -6,44E+05 5,70E+01 -6,80E+05 5,46E+01

1123 1245 -2,18E-04 4,93E+01 -7,01E+05 5,32E+01 -6,27E+05 5,82E+01

1575 1593 -2,64E-04 3,87E+01 -7,50E+05 5,00E+01 -7,51E+05 4,99E+01

2162 2112 -2,84E-04 3,40E+01 -8,39E+05 4,40E+01 -7,94E+05 4,70E+01

20212 14724 -3,82E-04 1,12E+01 -1,24E+06 1,72E+01 -1,20E+06 1,96E+01

48177 32085 -3,97E-04 7,52E+00 -1,24E+06 1,73E+01 -1,29E+06 1,38E+01

68973 44436 -4,03E-04 6,21E+00 -1,35E+06 1,01E+01 -1,35E+06 9,99E+00

97057 61500 -4,07E-04 5,30E+00 -1,35E+06 9,93E+00 -1,31E+06 1,26E+01

150980 92874 -4,12E-04 4,23E+00 -1,34E+06 1,03E+01 -1,39E+06 6,96E+00

TE10

237 2028 -3,87E-04 9,84E+00 -1,59E+06 6,33E+00 -1,60E+06 6,73E+00

624 4659 -4,07E-04 5,16E+00 -1,44E+06 3,68E+00 -1,44E+06 4,07E+00

2162 12261 -4,18E-04 2,80E+00 -1,48E+06 1,50E+00 -1,48E+06 9,89E-01

5154 27957 -4,22E-04 1,72E+00 -1,48E+06 1,05E+00 -1,49E+06 5,84E-01

9044 45684 -4,24E-04 1,35E+00 -1,49E+06 2,40E-01 -1,50E+06 1,74E-01

12561 61500 -4,24E-04 1,21E+00 -1,49E+06 5,55E-01 -1,49E+06 6,89E-01

20212 98028 -4,26E-04 9,27E-01 -1,50E+06 1,29E-01 -1,49E+06 2,07E-01

TE20

237 5457 -4,15E-04 3,43E+00 -1,58E+06 5,39E+00 -1,44E+06 4,07E+00

624 13008 -4,22E-04 1,84E+00 -1,49E+06 7,30E-01 -1,48E+06 9,91E-01

1123 20103 -4,23E-04 1,61E+00 -1,49E+06 6,82E-01 -1,49E+06 7,27E-01

1575 27003 -4,25E-04 1,08E+00 -1,49E+06 2,68E-01 -1,49E+06 2,54E-01

2494 42099 -4,26E-04 9,33E-01 -1,50E+06 1,31E-01 -1,50E+06 1,61E-01

3559 60585 -4,26E-04 8,21E-01 -1,49E+06 2,29E-01 -1,50E+06 1,57E-01

5154 85548 -4,27E-04 6,59E-01 -1,50E+06 5,00E-02 -1,50E+06 2,36E-02

TE35

237 11445 -4,22E-04 1,73E+00 -1,48E+06 9,17E-01 -1,48E+06 8,87E-01

624 27867 -4,26E-04 9,66E-01 -1,50E+06 1,15E-01 -1,49E+06 2,52E-01

1123 44457 -4,26E-04 8,14E-01 -1,50E+06 9,91E-02 -1,50E+06 1,68E-01

1575 60273 -4,27E-04 5,27E-01 -1,50E+06 1,26E-01 -1,50E+06 9,68E-02

2201 83865 -4,28E-04 4,55E-01 -1,50E+06 1,51E-01 -1,50E+06 1,56E-01

2317 88245 -4,28E-04 4,72E-01 -1,50E+06 1,51E-01 -1,50E+06 1,10E-01

ANSYS 99308 298592 -4,30E-04 -1,50E+06 -1,50E+06


Gráficos de convergência dos deslocamento

Detalhe 1


Figura 8.45 – Graus de Liberdade X Diferença (deslocamento)

Detalhe 1


Figura 8.46 – Tempo de processamento X Diferença (deslocamento)


Gráficos de convergência das tensões 𝜎𝑦

Detalhe 1

(a) Convergência tensão 𝜎𝑦 (b) Detalhe 1

Figura 8.47 – Graus de Liberdade X Diferença (𝜎𝑦)

Detalhe 1

(a) Convergência tensão 𝜎𝑦 (b) Detalhe 1

Figura 8.48 – Tempo de processamento X Diferença (𝜎𝑦)


O gráfico 8.45, apresenta o gráfico das curvas de convergência do deslocamentovertical da estrutura do ponto A em função dos graus de liberdade e o gráfico 8.46 apresentaa convergência da solução em função do tempo de processamento. Onde é possível verificarque os elementos TE20 e TE35 convergem com maior velocidade para um mesmo númerode graus de liberdade em relação aos demais elementos, com o elemento TE35 levandoligeira vantagem.

Os gráficos 8.47 e 8.48 apresentam a convergência da tensão 𝜎𝑦 no ponto C. Aanálise em conjunto desses gráficos permitem concluir que para elemento de maior ordema solução converge mais rápido. semelhante ao cálculo dos deslocamentos os elementosque apresentaram maior eficiência para essa aplicação foram o TE20 e TE35.

As figuras a seguir apresentam a deformada e as tensões atuantes na estrutura:

Figura 8.49 – Deformada pórtico.


Figura 8.50 – Tensões pórtico (N/m2).


Análise Modal

Em seguida, foi realizada a análise modal onde foram obtidos os três primeirosmodos de vibração para o pórtico, conforme Tabela 8.20, sendo estes validados a partirdos resultados obtidos com auxílio do software ANSYS, onde foi criada uma malha com31.794 elementos solid187 (tetraedro com 10 nós) com os resultados convergindo de acordocom a figura 8.51. O tempo para o cálculo dos modos de vibração inclui o tempo paramontagem da matriz de rigidez global.

(a) Modo 1 (b) Modo 2

(c) Modo 3

Figura 8.51 – Convergência das frequências naturais - ANSYS


Tabela 8.20 – Análise modal de convergência - Pórtico

Elemento Graus de

Liberdade

Modo 1 Modo 2 Modo 3 Tempo processamento


Tipo Número Frequência

(Rad/s)

Diferença

(%)

Frequência

(Rad/s)

Diferença

(%)

Frequência

(Rad/s)

Diferença

(%)

Matriz

Global

Cálculo

Modos

TE4

237 447 221,34 9,85E+01 218,97 9,63E+01 333,24 1,50E+02 0,28 0,41

624 948 190,10 7,04E+01 194,31 7,42E+01 262,91 9,75E+01 0,60 0,73

1123 1245 191,10 7,13E+01 192,56 7,26E+01 263,77 9,82E+01 1,22 1,35

1575 1593 172,27 5,45E+01 172,10 5,43E+01 226,41 7,01E+01 1,48 1,62

2162 2112 165,23 4,81E+01 165,38 4,83E+01 217,46 6,34E+01 2,21 2,41

20212 14724 123,33 1,06E+01 123,66 1,09E+01 150,12 1,28E+01 20,91 21,98

48177 32085 118,52 6,26E+00 118,45 6,20E+00 142,80 7,29E+00 51,58 53,60

68973 44436 117,37 5,23E+00 117,43 5,28E+00 140,97 5,91E+00 75,21 78,28

97057 61500 116,14 4,13E+00 116,24 4,22E+00 139,38 4,72E+00 99,92 105,11

150980 92874 115,07 3,18E+00 115,04 3,14E+00 137,76 3,50E+00 113,04 122,43

TE10

237 2028 117,94 5,74E+00 118,06 5,84E+00 139,78 5,02E+00 0,48 0,64

624 4659 115,78 3,81E+00 115,95 3,95E+00 137,27 3,13E+00 0,69 0,90

2162 12261 113,44 1,71E+00 113,43 1,70E+00 135,00 1,43E+00 1,74 2,29

5154 27957 112,42 7,93E-01 112,39 7,62E-01 133,82 5,42E-01 4,24 5,78

9044 45684 112,06 4,70E-01 112,01 4,25E-01 133,50 2,95E-01 9,80 12,89

12561 61500 111,92 3,44E-01 111,91 3,29E-01 133,40 2,21E-01 10,77 15,33

20212 98028 111,71 1,55E-01 111,74 1,78E-01 133,24 1,02E-01 17,27 27,55

TE20

237 5457 113,11 1,41E+00 113,18 1,47E+00 134,89 1,34E+00 2,21 2,49

624 13008 112,42 8,00E-01 112,33 7,06E-01 133,76 4,96E-01 3,98 4,61

1123 20103 112,34 7,21E-01 112,20 5,91E-01 133,56 3,46E-01 6,56 7,76

1575 27003 111,82 2,55E-01 111,84 2,66E-01 133,35 1,82E-01 8,89 10,72

2494 42099 111,64 9,93E-02 111,65 9,91E-02 133,18 5,50E-02 14,98 18,25

3559 60585 111,67 1,25E-01 111,66 1,08E-01 133,16 4,44E-02 19,54 25,29

5154 85548 111,55 1,68E-02 111,54 4,66E-03 133,11 7,90E-03 32,90 41,88

TE35

237 11445 111,97 3,92E-01 112,04 4,46E-01 133,42 2,38E-01 8,77 9,50

624 27867 111,73 1,75E-01 111,67 1,18E-01 133,18 5,57E-02 15,47 17,38

1123 44457 111,70 1,52E-01 111,61 6,73E-02 133,15 3,73E-02 25,58 29,59

1575 60273 111,44 8,74E-02 111,44 8,54E-02 133,06 3,01E-02 40,21 46,24

2201 83865 111,38 1,33E-01 111,39 1,34E-01 133,03 5,64E-02 46,23 56,15

ANSYS 31794 111,53 111,54 133,10

A análise das Figuras 8.52 e 8.53 revela que, semelhante ao caso estático, oselementos TE20 e TE35 possuem maior eficiência que os demais elementos para montagemdas matrizes de massa e rigidez globais e solução dos modos de vibração, sendo que oelemento TE35 possui pequena vantagem em relação ao TE20, pois convergem com ummenor número de grau de liberdade.


Detalhe 1

(a) Convergência Modo 1 (b) Detalhe 1

Figura 8.52 – Graus de Liberdade X Diferença (Modos de vibração)

Detalhe 1

(a) Convergência Modo 1 (b) Detalhe 1

Figura 8.53 – Tempo de processamento X Diferença (Modos de vibração)

A Figura 8.54 apresenta a imagem dos três primeiros modos de vibração daestrutura.


Figura 8.54 – Modos de Vibração - Pórtico


8.6 Aplicação 05 - Conjunto de Aduelas (Ponte)

A aplicação consiste em um tabuleiro de ponte medindo vinte e seis metros delargura por cinquenta metros de comprimento. A altura da Aduela é de sete metros esessenta centímetros e sua base inferior mede quatorze metros e noventa centímetros delargura. A espessura das peças é de sessenta centímetros. A estrutura esta engastadaem suas faces longitudinais e o o tabuleiro está sob a ação de uma carga distribuídaq=10kN/m2. A estrutura possui módulo de elasticidade de 200GPa, coeficiente de Poissonde 0,30 e peso próprio de 25KN/m3. A Figura 8.55 ilustra a estrutura em análise.

x

y

z

2600

5000

760

1490

A

Figura 8.55 – Conjunto de Aduelas (Cotas em centímetros).


Neste tópico será verificado a eficiência na montagem da matriz global do sistemae solução dos deslocamentos. A avaliação do tempo de processamento será em função donúmero de graus de liberdade. Será avaliado o tempo para montagem da matriz de rigidezglobal e o tempo acumulado para solução dos deslocamentos.



Tabela 8.21 – Matriz explícita X Integral numérica

Elemento Graus de

Liberdade



Tipo Número Matriz

Explícita

Int.


Explícita

Int.

NuméricaRazão

TE4

34356 34614 14,27 0,00 20,53 0,00

57013 54780 36,57 0,00 57,43 0,00

136443 106620 202,66 0,00 365,20 0,00

192201 141987 369,21 0,00 684,99 0,00

227388 167073 504,87 0,00 948,76 0,00

286393 208668 789,86 0,00 1.507,73 0,00

TE10

5042 30819 3,78 3,00 0,79 5,49 4,51 0,82

9543 58122 9,51 6,41 0,67 13,49 10,53 0,78

15346 92958 14,99 11,83 0,79 23,45 20,43 0,87

20045 121263 22,43 17,97 0,80 36,47 31,39 0,86

29058 174996 44,30 36,24 0,82 72,35 64,09 0,89

34356 206709 51,41 44,20 0,86 92,79 84,54 0,91

TE20

1320 24114 6,59 10,45 1,58 7,49 11,43 1,53

2039 37437 10,04 15,64 1,56 11,86 17,59 1,48

3059 56094 14,79 23,14 1,56 18,81 26,83 1,43

5042 91869 24,28 40,00 1,65 32,09 48,54 1,51

6101 111309 29,54 50,52 1,71 40,57 63,55 1,57

8132 147984 40,51 64,19 1,58 56,86 81,52 1,43

11952 216612 61,32 100,31 1,64 99,64 167,10 1,68

TE35

1320 53310 24,47 34,91 1,43 27,50 38,42 1,40

2039 82740 35,73 56,68 1,59 42,55 63,83 1,50

3059 124050 52,66 85,14 1,62 66,28 98,59 1,49

4112 165984 71,09 122,48 1,72 92,36 143,91 1,56

5042 203514 87,30 153,23 1,76 131,78 203,08 1,54

6101 246522 112,71 181,31 1,61 314,72 398,22 1,27








Os gráficos das Figuras 8.56 e 8.57 apresentam o tempo de processamento paramontagem da matriz de rigidez global e solução dos deslocamentos para os elementos emsua forma explícita e numérica e a variação da razão entre integração numérica e matrizesexplícitas. Semelhante a aplicação 4, a análise das figuras indicam que os elementos TE20 eTE35 requerem um menor custo computacional em sua forma explícita, diferentemente doelemento TE10 em que a integração numérica é um pouco mais eficiente e o elemento que


possui maior eficiência em relação a integração numérica e velocidade de processamento éo elemento TE20.

(a) Elemento TE4 com 106.620 grausde liberdade

(b) Elemento TE10 com 121.263 grausde liberdade

(c) Elemento TE20 com 111.309 grausde liberdade

(d) Elemento TE35 com 124.050 grausde liberdade


A figura 8.58 apresenta o perfil de dispersão dos termos não nulos ao longo damatriz de rigidez global para cada elemento. Para essa aplicação o elemento TE4 possui omenor desempenho, com todos os termos não nulos concentrados ao longo da diagonalprincipal da matriz de rigidez global. O elemento TE10 também apresentou a concentraçãodos termos não nulos ao longo da diagonal principal da matriz de rigidez e seu desempenhoem termos de tempo de processamento foi semelhante ao desempenho apresentado pelomesmo elemento na aplicação 04.



A Tabela 8.22 apresenta o deslocamento vertical (eixo Y) a tensão de compressão(eixos X) no meio do vão da face superior do tabuleiro (ponto A). A Tabela também contémo tempo de processamento para montagem da matriz global, solução do deslocamento ecálculo das tensões de forma cumulativa. O tempo para o cálculo das tensões inclui otempo para montagem da matriz global e solução do sistema de equações.

Os resultados foram validados com auxílio do software ANSYS, onde foi criadauma malha com 79.125 elementos solid187 (tetraedro com 10 nós) com os resultadosconvergindo de acordo com a figura 8.61. A Figura 8.59 apresenta algumas das malhasutilizadas na aplicação e a Figura 8.60 exibe a malha do ANSYS.

Figura 8.59 – Malhas aduela.


Figura 8.60 – Malha aduela - ANSYS.

(a) Convergência do deslocamento (b) Convergência da tensão 𝜎𝑥

Figura 8.61 – Convergência dos resultados no ponto A - ANSYS


Tabela 8.22 – Aduela - Deslocamento vertical, tensão X, e tempo de processamento

Elemento Graus de

Liberdade

Deslocamento (m) Tensão (N/m2) Tempo processamento


Tipo Número Eixo

Y

Diferença

(%)

Eixo

X

Diferença

(%)

Matriz

Global

Solução

Deslocamentos

Cálculo

Tensões

TE4

34356 34614 -7,66E-03 6,00E+01 -5,48E+06 8,60E+01 14,27 20,53 28,98

57013 54780 -7,73E-03 5,97E+01 -4,82E+06 8,77E+01 36,57 57,43 75,32

136443 106620 -1,03E-02 4,61E+01 -1,50E+07 6,17E+01 202,66 365,20 410,72

192201 141987 -1,19E-02 3,78E+01 -1,55E+07 6,03E+01 369,21 684,99 766,78

227388 167073 -1,23E-02 3,57E+01 -1,82E+07 5,35E+01 504,87 948,76 1.060,45

286393 208668 -1,30E-02 3,23E+01 -1,87E+07 5,22E+01 789,86 1.507,73 1.673,42

TE10

5042 30819 -1,77E-02 7,81E+00 -3,58E+07 8,54E+00 3,78 5,49 8,69

9543 58122 -1,86E-02 2,85E+00 -3,80E+07 2,94E+00 9,51 13,49 20,92

15346 92958 -1,89E-02 1,59E+00 -3,84E+07 1,91E+00 14,99 23,45 37,84

20045 121263 -1,90E-02 1,01E+00 -3,85E+07 1,64E+00 22,43 36,47 65,56

29058 174996 -1,90E-02 9,34E-01 -3,86E+07 1,47E+00 44,30 72,35 152,45

34356 206709 -1,91E-02 4,65E-01 -3,87E+07 1,15E+00 51,41 92,79 201,57

TE20

1320 24114 -1,20E-02 3,77E+01 -1,89E+07 5,17E+01 6,59 7,49 22,90

2039 37437 -1,83E-02 4,42E+00 -3,67E+07 6,25E+00 10,04 11,86 35,48

3059 56094 -1,87E-02 2,70E+00 -3,82E+07 2,43E+00 14,79 18,81 54,59

5042 91869 -1,90E-02 1,19E+00 -3,85E+07 1,63E+00 24,28 32,09 94,16

6101 111309 -1,91E-02 4,03E-01 -3,87E+07 1,04E+00 29,54 40,57 120,70

8132 147984 -1,91E-02 1,79E-01 -3,88E+07 9,75E-01 40,51 56,86 183,44

11952 216612 -1,92E-02 -3,13E-01 -3,89E+07 6,46E-01 61,32 99,64 359,22

TE35

1320 53310 -1,67E-02 1,30E+01 -3,23E+07 1,76E+01 24,47 27,50 96,17

2039 82740 -1,90E-02 1,01E+00 -3,85E+07 1,57E+00 35,73 42,55 152,64

3059 124050 -1,91E-02 3,92E-01 -3,87E+07 1,11E+00 52,66 66,28 240,53

4112 165984 -1,93E-02 4,69E-01 -3,89E+07 5,23E-01 71,09 92,36 348,70

5042 203514 -1,92E-02 2,60E-01 -3,89E+07 6,42E-01 87,30 131,78 496,26

ANSYS 79125 426402 -1,92E-02 -3,91E+07


Figura 8.62 – Graus de Liberdade X Diferença (𝜎𝑥)

Figura 8.63 – Tempo de processamento X Diferença (𝜎𝑥)


A Figura 8.62, apresenta o gráfico das curvas de convergência da tensão de com-pressão 𝜎𝑥, no ponto A, em função dos graus de liberdade. Onde é possível concluir queos elementos TE10, TE20 e TE35 convergem com velocidades muito próximas. Apenas oprimeiro ponto da cuva do elemento TE35 foi destoante dos demais, devido a sua malhainicial com poucos elementos não permitir uma adequada distribuição dos nós no elemento.

A convergência da solução em função do tempo de processamento é apresentadapelo gráfico da Figura 8.63, onde é possível verificar que o elemento TE10, TE20 e TE35converge com velocidades próximas. Semelhante ao caso anterior apenas o primeiro pontoda curva do elemento TE35 difere dos demais.

As figuras 8.64 e 8.65 apresentam a deformada e as tensões atuantes na estrutura:

Figura 8.64 – Deformada conjunto de aduelas.


Figura 8.65 – Tensões no conjunto de aduela (N/m2).

159

9 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Os resultados obtidos com a análise das aplicações permitem concluir que oselementos de alta ordem possuem elevado grau de precisão a um baixo custo computacional.A análise do gráfico tempo de processamento X diferença/erro relativo demostra que nocaso bidimensional os elementos T10, T15 e T21 convergem praticamente com o mesmotempo de processamento, com maior eficiência em relação aos elementos T6 e T3. Ou seja,quanto ao tempos de convergência os elementos T10, T15 e T21 são equivalentes.

Uma análise em conjunto dos gráficos tempo de processamento X Erro relativo eGraus de liberdade X erro permite concluir que para malhas com elevado número de grausde liberdade o elemento T21 possui o melhor desempenho, pois apesar do seu tempo deconvergência praticamente coincidir com os elementos T10 e T15, o elemento T21 possuimaior precisão.

Porém, para aplicações em regiões com concentração de tensões os resultadospodem oscilar, como foi o caso da chapa tracionada, onde os elementos de maior ordemapresentam uma convergência mais lenta. Esse comportamento pode ser explicado peloFenômeno de Runge, onde à medida que o grau da função de interpolação aumenta, grandesoscilações ocorrem em regiões críticas.

Para o caso tridimensional, a análise dos gráficos tempo de processamento X Errorelativo e Graus de liberdade X erro indica que os elementos de ordem superior são muitomais eficientes que o elemento de primeira ordem TE4. O elemento que convergiu commenos graus de liberdade e menor tempo de processamento foi o elemento TE35.

Quanto a análise comparativa entre matrizes explícitas e a integração numéricatomando como referência o tempo de processamento para montagem de um elemento, éevidente pelos resultados obtidos nos gráficos número de repetições X Tempo de processa-mento, que a matriz de rigidez explícita possui grande vantagem em relação a integraçãonumérica. A velocidade de processamento do elemento T6 é aproximadamente quatorzevezes maior que a integração numérica. O elementos T10 e T15 são aproximadamentequatro e três vezes mais eficientes que a integração numérica. Para o caso tridimensionala vantagem da matriz explícita em relação a integração numérica é um pouco menor que ocaso bidimensional. O elemento TE10 mostrou-se mais eficiente aplicando a integraçãonumérica, porém os elementos TE20 e TE35 apresentaram considerável eficiência utilizandomatriz explícita.

Outro fator importante é que o programa de interpretação de linguagem influenciatanto no tempo absoluto de processamento quanto na relação entre integração numérica e

Capítulo 9. CONSIDERAÇÕES FINAIS 160

matriz explícita. Por exemplo, para o elemento T6 interpretado no Matlab a razão entre otempo de processamento aplicando a integração numérica em relação a matriz explícita foide aproximadamente quatorze, mas sua versão no Python obteve uma razão de três.

Para montagem da matriz de rigidez global e solução do sistema de deslocamentosa razão entre o tempo de processamento aplicando a integração numérica em relação amatriz explícita teve seu valor reduzido, grande parte devido à influência das rotinas paramontagem da matriz global e solução do sistema sobre o tempo total de processamento.Pois como o tempo para montagem da matriz do elemento é muito reduzido este temsua participação diminuída. Apesar desses fatores, os elementos com matrizes explícitasapresentam vantagem considerável em relação a integração numérica tanto no tempo paramontagem da matriz global quanto para solução do sistema

As tabelas 9.1 e 9.2 apresentam um resumo com os valores médios da razão entreo tempo de processamento aplicando a integração numérica e a matriz explícita paraelementos 2D e 3D. É possível verificar que a razão para o elemento T6 varia entre 1,97 e2,98 para montagem da matriz global, ou seja, a eficiência do elemento T6 pode chegar até198% em relação a integração numérica, os elementos T10 e T15 são aproximadamente 85%mais eficientes na montagem da matriz de rigidez global. Para o caso tridimensional oselementos TE20 e TE35 possuem, respectivamente, eficiência média de aproximadamente55% e 50% para montagem da matriz de rigidez global. Apenas o elemento TE10 apresentoumaior eficiência aplicando a integração numérica, onde esse foi aproximadamente 25%mais eficiente que a estrategia utilizando matrizes explícitas.

Tabela 9.1 – Razão Média 2D (int. numérica / matriz explícita)

AplicaçãoMatriz de rigidez

global

Solução dos

Deslocamentos

T6 T10 T15 T6 T10 T15

01 2,98 1,86 1,82 2,58 1,56 1,58

02 1,97 1,90 1,82 1,63 1,54 1,56

Tabela 9.2 – Razão Média 3D (int. numérica / matriz explícita)

AplicaçãoMatriz de rigidez

global

Solução dos

Deslocamentos

TE10 TE20 TE35 TE10 TE20 TE35

04 0,76 1,52 1,40 0,82 1,47 1,38

05 0,79 1,61 1,62 0,86 1,52 1,46


A vantagem da utilização da matriz explícita é visível no momento da geraçãodas matrizes globais do sistema, onde a integração é eliminada, sendo necessária apenasuma substituição de valores na geração matriz de rigidez de cada elemento. No casoda integração numérica, a integração também é eliminada sendo necessária apenas asubstituição dos valores nos pontos de integração para cada elemento, porém à medidaque se eleva o grau do polinômio crescem os pontos de integração, ou seja, o número desubstituições é maior e, por consequência, o tempo de processamento.

Diante do exposto, pode-se concluir que o método utilizando matrizes explícitaspara elementos de ordem superior, apresenta ótima precisão assim como baixo custocomputacional se comparado à integração numérica.


9.1 Sugestões para Trabalhos Futuros

Os seguintes estudos são sugeridos para um entendimento e aplicações mais abran-gente dos elementos finitos de alta ordem:

∙ Elementos finitos de alta ordem com lados curvos;

∙ Formulações para refinamentos localizados em pontos de concentração de tensões;

∙ Estudo de elemento de transição entre elementos de alta ordem;

∙ Estratégias para refinamento hp;

∙ Elementos para solução de problemas com material heterogêneo;

∙ Desempenho dos elementos de alta ordem em análises não lineares;

∙ Elementos hierárquicos com formulação p.

163

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Apêndices

168

APÊNDICE A – ELEMENTO TE10

VETOR DE FORÇAS DE SUPERFÍCIE PARA O ELEMENTO TE10

Tomemos o elemento TE10. Aplicando as funções de forma da expressão (4.70),temos respectivamente a matriz 𝐻𝑇 e o vetor 𝑞𝑇 :

[𝐻]𝑇 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝜉1(2𝜉1 − 1) 0 0

0 𝜉1(2𝜉1 − 1) 0

0 0 𝜉1(2𝜉1 − 1)

𝜉2(2𝜉2 − 1) 0 0

0 𝜉2(2𝜉2 − 1) 0

0 0 𝜉2(2𝜉2 − 1)

𝜉3(2𝜉3 − 1) 0 0

0 𝜉3(2𝜉3 − 1) 0

0 0 𝜉3(2𝜉3 − 1)

𝜉4(2𝜉4 − 1) 0 0

0 𝜉4(2𝜉4 − 1)

0 0 𝜉4(2𝜉4 − 1)

4𝜉1𝜉2 0 0

0 4𝜉1𝜉2 0

0 0 4𝜉1𝜉2

4𝜉2𝜉3 0 0

0 4𝜉2𝜉3 0

0 0 4𝜉2𝜉3

4𝜉1𝜉3 0 0

0 4𝜉1𝜉3 0

0 0 4𝜉1𝜉3

4𝜉1𝜉4 0 0

0 4𝜉1𝜉4 0

0 0 4𝜉1𝜉4

4𝜉2𝜉4 0 0

0 4𝜉2𝜉4 0

0 0 4𝜉2𝜉4

4𝜉3𝜉4 0 0

0 4𝜉3𝜉4 0

0 0 4𝜉3𝜉4

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

, {𝑞} =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑞𝑥1

𝑞𝑦1

𝑞𝑧1

𝑞𝑥2

𝑞𝑦2

𝑞𝑧2

𝑞𝑥3

𝑞𝑦3

𝑞𝑧3

𝑞𝑥4

𝑞𝑦4

𝑞𝑧4

𝑞𝑥5

𝑞𝑦5

𝑞𝑧5

𝑞𝑥6

𝑞𝑦6

𝑞𝑧6

𝑞𝑥7

𝑞𝑦7

𝑞𝑧7

𝑞𝑥8

𝑞𝑦8

𝑞𝑧8

𝑞𝑥9

𝑞𝑦9

𝑞𝑧9

𝑞𝑥10

𝑞𝑦10

𝑞𝑧10

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(A.1)

APÊNDICE A. ELEMENTO TE10 169

Aplicando a expressão (A.1) em (5.5), (5.6), (5.7) e (5.8) obtemos os vetores decarga equivalente para cada lado do elemento, são eles:

𝑟124 = 𝐴124

180

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

6𝑞𝑥1 − 𝑞𝑥2 − 𝑞𝑥4 − 4𝑞𝑥9

6𝑞𝑦1 − 𝑞𝑦2 − 𝑞𝑦4 − 4𝑞𝑦9

6𝑞𝑧1 − 𝑞𝑧2 − 𝑞𝑧4 − 4𝑞𝑧9

6𝑞𝑥2 − 𝑞𝑥1 − 𝑞𝑥4 − 4𝑞𝑥8

6𝑞𝑦2 − 𝑞𝑦1 − 𝑞𝑦4 − 4𝑞𝑦8

6𝑞𝑧2 − 𝑞𝑧1 − 𝑞𝑧4 − 4𝑞𝑧8

0

0

0

6𝑞𝑥4 − 𝑞𝑥2 − 𝑞𝑥1 − 4𝑞𝑥5

6𝑞𝑦4 − 𝑞𝑦2 − 𝑞𝑦1 − 4𝑞𝑦5

6𝑞𝑧4 − 𝑞𝑧2 − 𝑞𝑧1 − 4𝑞𝑧5

32𝑞𝑥5 − 4𝑞𝑥4 + 16𝑞𝑥8 + 16𝑞𝑥9

32𝑞𝑦5 − 4𝑞𝑦4 + 16𝑞𝑦8 + 16𝑞𝑦9

32𝑞𝑧5 − 4𝑞𝑧4 + 16𝑞𝑧8 + 16𝑞𝑧9

0

0

0

0

0

0

16𝑞𝑥5 − 4𝑞𝑥2 + 32𝑞𝑥8 + 16𝑞𝑥9

16𝑞𝑦5 − 4𝑞𝑦2 + 32𝑞𝑦8 + 16𝑞𝑦9

16𝑞𝑧5 − 4𝑞𝑧2 + 32𝑞𝑧8 + 16𝑞𝑧9

16𝑞𝑥5 − 4𝑞𝑥1 + 16𝑞𝑥8 + 32𝑞𝑥9

16𝑞𝑦5 − 4𝑞𝑦1 + 16𝑞𝑦8 + 32𝑞𝑦9

16𝑞𝑧5 − 4𝑞𝑧1 + 16𝑞𝑧8 + 32𝑞𝑧9

0

0

0

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

, 𝑟234 = 𝐴234

180

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0

0

0

6𝑞𝑥2 − 𝑞𝑥3 − 𝑞𝑥4 − 4𝑞𝑥10

6𝑞𝑦2 − 𝑞𝑦3 − 𝑞𝑦4 − 4𝑞𝑦10

6𝑞𝑧2 − 𝑞𝑧3 − 𝑞𝑧4 − 4𝑞𝑧10

6𝑞𝑥3 − 𝑞𝑥2 − 𝑞𝑥4 − 4𝑞𝑥9

6𝑞𝑦3 − 𝑞𝑦2 − 𝑞𝑦4 − 4𝑞𝑦9

6𝑞𝑧3 − 𝑞𝑧2 − 𝑞𝑧4 − 4𝑞𝑧9

6𝑞𝑥4 − 𝑞𝑥3 − 𝑞𝑥2 − 4𝑞𝑥6

6𝑞𝑦4 − 𝑞𝑦3 − 𝑞𝑦2 − 4𝑞𝑦6

6𝑞𝑧4 − 𝑞𝑧3 − 𝑞𝑧2 − 4𝑞𝑧6

0

0

0

32𝑞𝑥6 − 4𝑞𝑥4 + 16𝑞𝑥9 + 16𝑞𝑥10

32𝑞𝑦6 − 4𝑞𝑦4 + 16𝑞𝑦9 + 16𝑞𝑦10

32𝑞𝑧6 − 4𝑞𝑧4 + 16𝑞𝑧9 + 16𝑞𝑧10

0

0

0

0

0

0

16𝑞𝑥6 − 4𝑞𝑥3 + 32𝑞𝑥9 + 16𝑞𝑥10

16𝑞𝑦6 − 4𝑞𝑦3 + 32𝑞𝑦9 + 16𝑞𝑦10

16𝑞𝑧6 − 4𝑞𝑧3 + 32𝑞𝑧9 + 16𝑞𝑧10

16𝑞𝑥6 − 4𝑞𝑥2 + 16𝑞𝑥9 + 32𝑞𝑥10

16𝑞𝑦6 − 4𝑞𝑦2 + 16𝑞𝑦9 + 32𝑞𝑦10

16𝑞𝑧6 − 4𝑞𝑧2 + 16𝑞𝑧9 + 32𝑞𝑧10

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(A.2)


𝑟143 = 𝐴143

180

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

6𝑞𝑥1 − 𝑞𝑥3 − 𝑞𝑥4 − 4𝑞𝑥10

6𝑞𝑦1 − 𝑞𝑦3 − 𝑞𝑦4 − 4𝑞𝑦10

6𝑞𝑧1 − 𝑞𝑧3 − 𝑞𝑧4 − 4𝑞𝑧10

0

0

0

6𝑞𝑥3 − 𝑞𝑥1 − 𝑞𝑥4 − 4𝑞𝑥8

6𝑞𝑦3 − 𝑞𝑦1 − 𝑞𝑦4 − 4𝑞𝑦8

6𝑞𝑧3 − 𝑞𝑧1 − 𝑞𝑧4 − 4𝑞𝑧8

6𝑞𝑥4 − 𝑞𝑥3 − 𝑞𝑥1 − 4𝑞𝑥7

6𝑞𝑦4 − 𝑞𝑦3 − 𝑞𝑦1 − 4𝑞𝑦7

6𝑞𝑧4 − 𝑞𝑧3 − 𝑞𝑧1 − 4𝑞𝑧7

0

0

0

0

0

0

32𝑞𝑥7 − 4𝑞𝑥4 + 16𝑞𝑥8 + 16𝑞𝑥10

32𝑞𝑦7 − 4𝑞𝑦4 + 16𝑞𝑦8 + 16𝑞𝑦10

32𝑞𝑧7 − 4𝑞𝑧4 + 16𝑞𝑧8 + 16𝑞𝑧10

16𝑞𝑥7 − 4𝑞𝑥3 + 32𝑞𝑥8 + 16𝑞𝑥10

16𝑞𝑦7 − 4𝑞𝑦3 + 32𝑞𝑦8 + 16𝑞𝑦10

16𝑞𝑧7 − 4𝑞𝑧3 + 32𝑞𝑧8 + 16𝑞𝑧10

0

0

0

16𝑞𝑥7 − 4𝑞𝑥1 + 16𝑞𝑥8 + 32𝑞𝑥10

16𝑞𝑦7 − 4𝑞𝑦1 + 16𝑞𝑦8 + 32𝑞𝑦10

16𝑞𝑧7 − 4𝑞𝑧1 + 16𝑞𝑧8 + 32𝑞𝑧10

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

, 𝑟123 = 𝐴123

180

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

6𝑞𝑥1 − 𝑞𝑥2 − 𝑞𝑥3 − 4𝑞𝑥6

6𝑞𝑦1 − 𝑞𝑦2 − 𝑞𝑦3 − 4𝑞𝑦6

6𝑞𝑧1 − 𝑞𝑧2 − 𝑞𝑧3 − 4𝑞𝑧6

6𝑞𝑥2 − 𝑞𝑥1 − 𝑞𝑥3 − 4𝑞𝑥7

6𝑞𝑦2 − 𝑞𝑦1 − 𝑞𝑦3 − 4𝑞𝑦7

6𝑞𝑧2 − 𝑞𝑧1 − 𝑞𝑧3 − 4𝑞𝑧7

6𝑞𝑥3 − 𝑞𝑥2 − 𝑞𝑥1 − 4𝑞𝑥5

6𝑞𝑦3 − 𝑞𝑦2 − 𝑞𝑦1 − 4𝑞𝑦5

6𝑞𝑧3 − 𝑞𝑧2 − 𝑞𝑧1 − 4𝑞𝑧5

0

0

0

32𝑞𝑥5 − 4𝑞𝑥3 + 16𝑞𝑥6 + 16𝑞𝑥7

32𝑞𝑦5 − 4𝑞𝑦3 + 16𝑞𝑦6 + 16𝑞𝑦7

32𝑞𝑧5 − 4𝑞𝑧3 + 16𝑞𝑧6 + 16𝑞𝑧7

16𝑞𝑥5 − 4𝑞𝑥1 + 32𝑞𝑥6 + 16𝑞𝑥7

16𝑞𝑦5 − 4𝑞𝑦1 + 32𝑞𝑦6 + 16𝑞𝑦7

16𝑞𝑧5 − 4𝑞𝑧1 + 32𝑞𝑧6 + 16𝑞𝑧7

16𝑞𝑥5 − 4𝑞𝑥2 + 16𝑞𝑥6 + 32𝑞𝑥7

16𝑞𝑦5 − 4𝑞𝑦2 + 16𝑞𝑦6 + 32𝑞𝑦7

16𝑞𝑧5 − 4𝑞𝑧2 + 16𝑞𝑧6 + 32𝑞𝑧7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(A.3)

De forma análoga é possível determinar os vetores de carga equivalente para oselementos de ordem superior.


VETOR DE FORÇA DE CORPO PARA O ELEMENTO TE10

Como forma de exemplificar tomemos o elemento TE10 para determinação do vetorde Força de Corpo. Aplicando a matriz 𝐻𝑇 (expressão A.1), na expressão (A.4):

𝑓 =∫︁

𝑉𝐻𝑇𝑓𝑒𝑑𝑉 (A.4)

Onde,

{𝑓𝑒} =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝑓𝑥

𝑓𝑦

𝑓𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭(A.5)

E integrado com auxilio da expressão: (A.6):

𝛽∫︁∫︁

𝜉𝑘1𝜉

𝑙2𝜉

𝑚3 𝜉


𝑘!𝑙!𝑚!𝑛!(𝑘 + 𝑙 +𝑚+ 𝑛+ 3)!6𝑉 (A.6)


Obtemos o vetor de força de corpo para elementos tetraédricos:

{𝑓}𝑇 = 𝑉

20

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−𝑓𝑥

−𝑓𝑦

−𝑓𝑧

−𝑓𝑥

−𝑓𝑦

−𝑓𝑧

−𝑓𝑥

−𝑓𝑦

−𝑓𝑧

−𝑓𝑥

−𝑓𝑦

−𝑓𝑧

4𝑓𝑥

4𝑓𝑦

4𝑓𝑧

4𝑓𝑥

4𝑓𝑦

4𝑓𝑧

4𝑓𝑥

4𝑓𝑦

4𝑓𝑧

4𝑓𝑥

4𝑓𝑦

4𝑓𝑧

4𝑓𝑥

4𝑓𝑦

4𝑓𝑧

4𝑓𝑥

4𝑓𝑦

4𝑓𝑧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(A.7)

De forma análoga é possível determinar o vetor de forças de corpo para elementosde ordem superior.

173

APÊNDICE B – ANÁLISE MODAL

Frequência e Modo de Vibração

O MEF também pode ser aplicado na determinação das ações dinâmicas de umaestrutura. Em uma análise dinâmica é necessário determinar as frequências e modos devibração da estrutura.

Clough e Penzien (2003), demonstraram a formulação da expressão para determi-nação das frequências e modos de vibração. Partindo da equação do movimento livre nãoamortecido dada por:

𝑚 ¨𝑣(𝑡) +𝐾𝑣(𝑡) = 0 (B.1)

Onde,

𝑚 é a massa do sistema,

𝐾 a rigidez,

𝑣 o deslocamento e

𝑣 a aceleração.

A solução geral da Equação diferencial ordinária (B.1) é dada por:

𝑣(𝑡) = 𝑎1 cos𝜔𝑡+ 𝑎2 sin𝜔𝑡 (B.2)

Com as anotação:

𝑎1 =𝑎 sin𝜑

𝑎2 =𝑎 cos𝜑

𝑎 =√︁𝑎2

1 + 𝑎22

𝜑 = arctan 𝑎1

𝑎2

(B.3)

Substituindo as anotações (B.3) na expressão (B.2), resulta:

𝑣(𝑡) = 𝑎 sin𝜑 cos𝜔𝑡+ 𝑎 cos𝜑 sin𝜔𝑡 (B.4)

Simplificando (B.4):

𝑣(𝑡) = 𝑎 sin(𝜔𝑡+ 𝜑) (B.5)

A derivada segunda da expressão (B.5):

¨𝑣(𝑡) = −𝜔2𝑎 sin(𝜔𝑡+ 𝜑) (B.6)

APÊNDICE B. ANÁLISE MODAL 174

Substituindo (B.5) e (B.6) em (B.1), resulta:

−𝑚𝜔2𝑎 sin(𝜔𝑡+ 𝜑) +𝐾𝑎 sin(𝜔𝑡+ 𝜑) = 0 (B.7)

Simplificando (B.7) temos a expressão:

(𝐾 −𝑚𝜔2)𝑎 = 0 (B.8)

Conforme Clough e Penzien (2003), a solução não trivial da expressão (B.8) forneceas frequências e modos de vibração. Sendo a expressão (B.9) um problema de autovalores:

‖[𝐾] − 𝜔2[𝑚]‖ = 0 (B.9)

175

APÊNDICE C – INTEGRAL NUMÉRICA

(QUADRATURA DE GAUSS)

Devido ao alto custo computacional muito se utiliza a integral numérica (qua-dratura de Gauss) para solução de elementos finitos planos espaciais de ordem superior.Soriano(2009) mostra a expressão para integral numérica, assim como disponibiliza ospontos de integração e seus respectivos pesos.

A integração numérica para elementos finitos triangulares é empregado conforme aexpressão (C.1):

𝐼 = 2𝐴𝑛∑︁

𝑖=1𝑤𝑖𝑓𝑖(𝜉1, 𝜉2) (C.1)

Onde,

𝑛 são os pontos de integração,

e 𝜉3 = 1 − 𝜉1 − 𝜉2.

Os pontos de integração e pesos são aplicados de acordo com a Tabela C.1.

A integração numérica para elementos finitos tetraédricos é empregado conforme aexpressão (C.2):

𝐼 = 6𝑉𝑛∑︁

𝑖=1𝑤𝑖𝑓𝑖(𝜉1, 𝜉2, 𝜉3) (C.2)

Onde,

𝑛 são os pontos de integração,

e 𝜉4 = 1 − 𝜉1 − 𝜉2 − 𝜉3

Os pontos de integração e pesos são aplicados de acordo com a Tabela C.2.

APÊNDICE C. INTEGRAL NUMÉRICA (QUADRATURA DE GAUSS) 176

Tabela C.1 – Pontos de Integração e Pesos - Triângulo

n Elemento 𝜉1 𝜉2 𝑤𝑖

1 T3 1/3 1/3 1/2

3 T61/2 1/2 1/6

1/2 0 1/6

0 1/2 1/6

7 T10

1/3 1/3 0,112500000000000

0,059715871798770 0,470142064105115 0,066197076394253

0,470142064105115 0,059715871798770 0,066197076394253

0,470142064105115 0,470142064105115 0,066197076394253

0,797426985353087 0,101286507323456 0,062969590272413

0,101286507323456 0,797426985353087 0,062969590272413

0,101286507323456 0,101286507323456 0,062969590272413

12 T15

0,873821971016996 0,063089014491502 0,025422453185103

0,063089014491502 0,873821971016996 0,025422453185103

0,063089014491502 0,063089014491502 0,025422453185103

0,501426509658179 0,249286745170910 0,058393137863189

0,249286745170910 0,501426509658179 0,058393137863189

0,249286745170910 0,249286745170910 0,058393137863189

0,636502499121399 0,310352451033785 0,041425537809187

0,310352451033785 0,053145049844816 0,041425537809187

0,053145049844816 0,636502499121399 0,041425537809187

0,636502499121399 0,053145049844816 0,041425537809187

0,310352451033785 0,636502499121399 0,041425537809187

0,053145049844816 0,310352451033785 0,041425537809187

APÊNDICE C. INTEGRAL NUMÉRICA (QUADRATURA DE GAUSS) 177

Tabela C.2 – Pontos de Integração e Pesos - Tetraedro

n Elemento 𝜉1 𝜉2 𝜉3 𝑤𝑖

1 TE4 1/4 1/4 1/4 1/6

4 TE10

0,585410196624969 0,138196601125011 0,138196601125011 1/24

0,138196601125011 0,585410196624969 0,138196601125011 1/24

0,138196601125011 0,138196601125011 0,585410196624969 1/24

0,138196601125011 0,138196601125011 0,138196601125011 1/24

12 TE20

0,094847264914513 0,094847264914513 0,241276996823274 0,013888888888888

0,094847264914513 0,094847264914513 0,569028473347700 0,013888888888888

0,094847264914513 0,241276996823274 0,094847264914513 0,013888888888888

0,094847264914513 0,241276996823274 0,569028473347700 0,013888888888888

0,094847264914513 0,569028473347700 0,094847264914513 0,013888888888888

0,094847264914513 0,569028473347700 0,241276996823274 0,013888888888888

0,241276996823274 0,094847264914513 0,094847264914513 0,013888888888888

0,241276996823274 0,094847264914513 0,569028473347700 0,013888888888888

0,241276996823274 0,569028473347700 0,094847264914513 0,013888888888888

0,569028473347700 0,094847264914513 0,094847264914513 0,013888888888888

0,569028473347700 0,094847264914513 0,241276996823274 0,013888888888888

0,569028473347700 0,241276996823274 0,094847264914513 0,013888888888888

14 TE35

0,454496295874350 0,454496295874350 0,045503704125650 0,007091003462847

0,454496295874350 0,045503704125650 0,454496295874350 0,007091003462847

0,454496295874350 0,045503704125650 0,045503704125650 0,007091003462847

0,045503704125650 0,454496295874350 0,454496295874350 0,007091003462847

0,045503704125650 0,454496295874350 0,045503704125650 0,007091003462847

0,045503704125650 0,045503704125650 0,454496295874350 0,007091003462847

0,310885919263301 0,310885919263301 0,310885919263301 0,018781320953003

0,067342242210098 0,310885919263301 0,310885919263301 0,018781320953003

0,310885919263301 0,067342242210098 0,310885919263301 0,018781320953003

0,310885919263301 0,310885919263301 0,067342242210098 0,018781320953003

0,092735250310891 0,092735250310891 0,092735250310891 0,012248840519394

0,721794249067326 0,092735250310891 0,092735250310891 0,012248840519394

0,092735250310891 0,721794249067326 0,092735250310891 0,012248840519394

0,092735250310891 0,092735250310891 0,721794249067326 0,012248840519394

Anexos

179

ANEXO A – CÓDIGO PARA CALCULO

DOS DESLOCAMENTOS

A.1 Elemento Triangular T6 - Matriz Explícita

% CODIGO PARA ANALISE ESTATICA% MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL E SOLUCAO DOS DESLOCAMENTOS% MATRIZ EXPLICITA BIDIMENSIONAL T6

c l cc l e a r a l lformat LONGGt i c

%<<<< ETAPA 01 // parametros do problema >>>E=200*10^9; % modulo de e l a s t i c i d a d e (N/m2)v =0.3 ; % C o e f i c i e n t e de Poissone =0.5 ; % Espessura (m)PlanoTesaoDeformacao =1; % " 1 " p/ plano tensao " 2 " p/ plano deformacoes

%coordenadas% no x y zAA=[1 0 2 02 2 2 03 0 0 04 2 0 05 4 2 06 4 0 07 6 2 08 6 0 09 8 2 010 8 0 011 10 2 012 10 0 013 2 1 014 1 1 015 1 0 016 1 2 017 0 1 018 4 1 019 3 1 020 3 0 021 3 2 022 6 1 023 5 1 024 5 0 025 5 2 026 8 1 027 7 1 028 7 0 029 7 2 030 10 1 0

ANEXO A. CÓDIGO PARA CALCULO DOS DESLOCAMENTOS 180

31 9 1 032 9 0 033 9 2 0 ] ;

%c o n e c t i v i d a d e%elemento no1 no2 no3 no4 no5 no6BB=[ 1 4 2 3 13 14 152 2 1 3 16 17 143 6 5 4 18 19 204 5 2 4 21 13 195 8 7 6 22 23 246 7 5 6 25 18 237 10 9 8 26 27 288 9 7 8 29 22 279 12 11 10 30 31 3210 11 9 10 33 26 3 1 ] ;

ResU=[1 3 1 7 ] ; % r e s t r i c a o t r a n s l a c a o UResV=ResU ; % r e s t r i c a o t r a n s l a c a o V

%carga a p l i cad a% no x yFF=[11 0 −1666.6712 0 −1666.6730 0 −6666.67 ] ;

e l im =[2*ResU−1 ,2*ResV ] ; % i n d i c e s com r e s t r i c a o

%Plano de t e n s o e s ou deformacoesi f PlanoTesaoDeformacao==1 % Plano de t e n s o e sD1=−E/( v^2 − 1 ) ;D2=−(E*v )/ ( v^2 − 1 ) ;D3=(E*( v/2 − 1/2) )/ ( v^2 − 1 ) ;endi f PlanoTesaoDeformacao==2 % Plano de deformacoesD1=(E*( v − 1 ) ) / ( ( 2 * v − 1)* ( v + 1 ) ) ;D2=−(E*v ) / ( ( 2 * v − 1)* ( v + 1 ) ) ;D3=(E*( v − 1/2) )/ ( (2* v − 1)* ( v + 1 ) ) ;end

Nno=s i z e (AA, 1 ) ; % numero de nosne l=s i z e (BB, 1 ) ; % numero de e lementosng l=2*Nno ; % numero de graus de l i b e r d a d eNNF=s i z e (FF , 1 ) ; %numero de nos com carga a p l i ca danne=6; %numero de nos do elemento

nieR=(2*nne ) ^ 2 ; % numero i n d i c e s − matriz de r i g i d e z do elementosnieFC=2*nne ; % numero i n d i c e s − vetor de carga do elementoa l l_rowRig idez = z e r o s ( nel , nieR ) ; % v e r t o r a u x i l i a r dos i n d i c e s das l i n h a s da matr iz g l o b a la l l _ c o l R i g i d e z = z e r o s ( nel , nieR ) ; % v e r t o r a u x i l i a r dos i n d i c e s das co lunas da matr iz g l o b a lall_Ke = z e r o s ( nel , nieR ) ; % v e r t o r a u x i l i a r dos dos termos da matr iz g l o b a l

t i cf o r i =1: ne l

n3=BB( i , 4 ) ; %vetor no 3n2=BB( i , 3 ) ; %vetor no 2n1=BB( i , 2 ) ; %vetor no 1

y3=AA( n3 , 3 ) ; % vetor coordenada y3


y2=AA( n2 , 3 ) ; % vetor coordenada y2y1=AA( n1 , 3 ) ; % vetor coordenada y1

x3=AA( n3 , 2 ) ; % vetor coordenada x3x2=AA( n2 , 2 ) ; % vetor coordenada x2x1=AA( n1 , 2 ) ; % vetor coordenada x1

a1=x3−x2 ;a2=x1−x3 ;a3=x2−x1 ;b1=y2−y3 ;b2=y3−y1 ;b3=y1−y2 ;

% area do elementoA=[1 x1 y1 ; 1 x2 y2 ; 1 x3 y3 ] ;A=(1/2)* det (A) ;

% termos da matr iz de r i g i d e z do elementoct1 =3*(D3*a1^2+D1*b1 ^ 2 ) ;ct2=3*a1*b1 *(D2+D3 ) ;ct3=−D3*a1*a2−D1*b1*b2 ;ct4=−D2*a2*b1−D3*a1*b2 ;ct5=−D3*a1*a3−D1*b1*b3 ;ct6=−D2*a3*b1−D3*a1*b3 ;ct7 =4*(D3*a1*a2+D1*b1*b2 ) ;ct8 =4*(D2*a2*b1+D3*a1*b2 ) ;ct9 =4*(D3*a1*a3+D1*b1*b3 ) ;ct10 =4*(D2*a3*b1+D3*a1*b3 ) ;ct11 =3*(D1*a1^2+D3*b1 ^ 2 ) ;ct12=−D2*a1*b2−D3*a2*b1 ;ct13=−D1*a1*a2−D3*b1*b2 ;ct14=−D2*a1*b3−D3*a3*b1 ;ct15=−D1*a1*a3−D3*b1*b3 ;ct16 =4*(D2*a1*b2+D3*a2*b1 ) ;ct17 =4*(D1*a1*a2+D3*b1*b2 ) ;ct18 =4*(D2*a1*b3+D3*a3*b1 ) ;ct19 =4*(D1*a1*a3+D3*b1*b3 ) ;ct20 =3*(D3*a2^2+D1*b2 ^ 2 ) ;ct21=3*a2*b2 *(D2+D3 ) ;ct22=−D3*a2*a3−D1*b2*b3 ;ct23=−D2*a3*b2−D3*a2*b3 ;ct24 =4*(D3*a2*a3+D1*b2*b3 ) ;ct25 =4*(D2*a3*b2+D3*a2*b3 ) ;ct26 =3*(D1*a2^2+D3*b2 ^ 2 ) ;ct27=−D2*a2*b3−D3*a3*b2 ;ct28=−D1*a2*a3−D3*b2*b3 ;ct29 =4*(D2*a2*b3+D3*a3*b2 ) ;ct30 =4*(D1*a2*a3+D3*b2*b3 ) ;ct31 =3*(D3*a3^2+D1*b3 ^ 2 ) ;ct32=3*a3*b3 *(D2+D3 ) ;ct33 =3*(D1*a3^2+D3*b3 ^ 2 ) ;ct34 =8*(D3*( a1^2−a3*a2)+D1*( b1^2−b3*b2 ) ) ;ct35 =(4*a1 *(2* b1+b2)+4*a2 *( b1+2*b2 ) ) * (D2+D3 ) ;ct36=D3*(4* a1 *( a2+2*a3)−4*a2*a1)+D1*(4* b1 *( b2+2*b3)−4*b2*b1 ) ;ct37=D2*(−4*a2*b3+4*a3 *(2* b1+b2))+D3*(4* a1 *( b2+2*b3)−4*a2*b1 ) ;ct38 =8*(D3*a2*a3+D1*b2*b3 ) ;ct39=D2*(−4*a1*b3+4*a3 *( b1+2*b2))+D3*(−4*a3*b1+4*b3 *( a1+2*a2 ) ) ;ct40 =8*(D1*( a1^2−a3*a2)+D3*( b1^2−b3*b2 ) ) ;ct41 =8*(D1*a1*a3+D3*b1*b3 ) ;


ct42 =8*(D1*a2*a3+D3*b2*b3 ) ;ct42a =8*(D1*a2*a3+D3*b2*b3 ) ;ct43 =8*(D3*a1*a2+D1*b1*b2 ) ;ct44=D2*(4* a1 *(2* b2+b3)−4*a3*b1)+D3*(4* b1 *(2* a2+a3)−4*a1*b3 ) ;ct45 =8*(D1*a1*a2+D3*b1*b2 ) ;

% matr iz de r i g i d e z e x p l i c i t a do elemento − v e t o r i z a d aKe=(e /(12*A) ) * [ ct1 , ct2 , ct3 , ct4 , ct5 , ct6 , ct7 , ct8 , 0 , 0 , ct9 , ct10 , . . .ct2 , ct11 , ct12 , ct13 , ct14 , ct15 , ct16 , ct17 , 0 , 0 , ct18 , ct19 , . . .ct3 , ct12 , ct20 , ct21 , ct22 , ct23 , ct7 , ct16 , ct24 , ct25 , 0 , 0 , . . .ct4 , ct13 , ct21 , ct26 , ct27 , ct28 , ct8 , ct17 , ct29 , ct30 , 0 , 0 , . . .ct5 , ct14 , ct22 , ct27 , ct31 , ct32 , 0 , 0 , ct24 , ct29 , ct9 , ct18 , . . .ct6 , ct15 , ct23 , ct28 , ct32 , ct33 , 0 , 0 , ct25 , ct30 , ct10 , ct19 , . . .ct7 , ct16 , ct7 , ct8 , 0 , 0 , ct34 , ct35 , ct36 , ct37 , ct38 , ct39 , . . .ct8 , ct17 , ct16 , ct17 , 0 , 0 , ct35 , ct40 , ct37 , ct41 , ct39 , ct42 , . . .0 , 0 , ct24 , ct29 , ct24 , ct25 , ct36 , ct37 , ct34 , ct35 , ct43 , ct44 , . . .0 , 0 , ct25 , ct30 , ct29 , ct30 , ct37 , ct41 , ct35 , ct40 , ct44 , ct45 , . . .ct9 , ct18 , 0 , 0 , ct9 , ct10 , ct38 , ct39 , ct43 , ct44 , ct34 , ct35 , . . .ct10 , ct19 , 0 , 0 , ct18 , ct19 , ct39 , ct42 , ct44 , ct45 , ct35 , ct40 ] ;

f o r j =1:nne % i n d i c e s g l o b a l da matr iz de r i g i d e zmel (1 ,2* j −1)=BB( i , j +1)*2−1; mel (1 ,2* j )=BB( i , j +1)*2 ; % i n d i c e s g l o b a i s

end

rowRigidez1=kron ( ones (1 ,2* nne ) , mel );% i n d i c e l i n h a matr iz r i g i d e z l o c a lc o l R i g i d e z 1=kron ( mel , ones (1 ,2* nne ));% i n d i c e co lunas matr iz r i g i d e z l o c a l

a l l_rowRig idez ( i , : ) = rowRigidez1 ; % i n d i c e l i n h a matr iz r i g i d e z g l o b a la l l _ c o l R i g i d e z ( i , : ) =c o l R i g i d e z 1 ; % i n d i c e co lunas matr iz r i g i d e z g l o b a lall_Ke ( i , : ) = Ke ; % v a l o r e s matr iz r i g i d e z g l o b a l

end

KG = spar s e ( al l_rowRigidez , a l l _ c o l R i g i d e z , all_Ke , ngl , ng l );% matr iz de r i g i d e z g l o b a l e spar sa

d i sp(’>>> Tempo de processamento para montagem da matr iz de r i g i d e z g loba l ’ )d i sp ( ’ ’ )tocd i sp ( ’ ’ )

FG=z e r o s (Nno * 2 , 1 ) ; % matr iz a u x i l i a r f o r c a s nodais g l o b a lf o r i =1:NNFF=z e r o s (Nno * 2 , 1 ) ; % vetor de f o r c a expandido , a u x i l i a r ( i n i c i a l m e n t e com z e r o s )Fe=FF; % matr iz f o r c a s nodais elemento

% transforma a pos i cao l o c a l ( no elemento ) para a pos i cao correspondente no vetor g l o b a lm1=FF( i ,1)*2 −1;m2=FF( i , 1 ) * 2 ;

% vetor de carga do elemento expandido em i n d i c e s g l o b a i sF(m1,1)=Fe ( i , 2 ) ; % pr ime i ra l i n h a da matr iz expandidaF(m2,1)=Fe ( i , 3 ) ; % segunda l i n h a da matr iz expandida

FG=FG+F ; % acumula a matr iz expandida (F) na matr iz de f o r c a s nodais g l o b a l (FG)endFG=spar s e (FG) ; %Vetor de f o r c a s g l o b a i s e spar so

KG( elim , : ) = [ ] ; % e l imina l i n h a s com r e s t r i c a o da matr iz de r i g i d e z


KG( : , e l im ) = [ ] ; % e l imina co lunas com r e s t r i c a o da matr iz de r i g i d e z

FG( elim , : ) = [ ] ; % e l im ina l i n h a s da matr iz de f o r c a s nodaiss o l =(KG)\(FG) ; % so lucao do s i s tema das equacoes / des locamentos

d i sp(’>>> Tempo de processamento cumulativo para c a l c u l o dos deslocamentos ’ )d i sp ( ’ ’ )tocd i sp ( ’ ’ )

pos =1: ng l ; % p o s i c o e s dos graus de l i b e r d a d epos ( e l im ) = [ ] ; % p o s i c o e s remanescentesDG=z e r o s ( ngl , 1 ) ; % matr iz a u x i l i a r de r e s u l t a d o s dos des locametosDG( pos ,1)= s o l ; % i n c l u i v a l o r e s dos des locamentos das p o s i c o e s l i v r e sm1=1:2:2*Nno ; % i n d i c e s xm2=2:2:2*Nno ; % i n d i c e s ymn=1:1:Nno ; % todos os nos do s o l i d oDGX(: ,1 )=DG(m1, 1 ) ; % des locamentos em xDGY(: ,1 )=DG(m2, 1 ) ; % des locamentos em y

di sp(’>>> so lucao do vetor de des locamentos em metros ’ )d i sp(’>>> No x y ’ )DG=[mn’ ,DGX,DGY] % matr iz de r e s u l t a d o s dos des locametos

A.2 Elemento Triangular T6 - Integração Numérica

% CODIGO PARA ANALISE ESTATICA% MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL E SOLUCAO DOS DESLOCAMENTOS% INTEGRACAO NUMERICA BIDIMENSIONAL T6

c l cc l e a r a l lformat LONGGt i c

%<<<< ETAPA 01 // parametros do problema >>>E=200*10^9; % modulo de e l a s t i c i d a d e (N/m2)v =0.3 ; % C o e f i c i e n t e de Poissone =0.5 ; % Espessura (m)PlanoTesaoDeformacao =1; % " 1 " p/ plano tensao " 2 " p/ plano deformacoes

%coordenadas% no x y zAA=[1 0 2 02 2 2 03 0 0 04 2 0 05 4 2 06 4 0 07 6 2 08 6 0 09 8 2 010 8 0 011 10 2 012 10 0 013 2 1 014 1 1 015 1 0 0


16 1 2 017 0 1 018 4 1 019 3 1 020 3 0 021 3 2 022 6 1 023 5 1 024 5 0 025 5 2 026 8 1 027 7 1 028 7 0 029 7 2 030 10 1 031 9 1 032 9 0 033 9 2 0 ] ;

%c o n e c t i v i d a d e%elemento no1 no2 no3 no4 no5 no6BB=[ 1 4 2 3 13 14 152 2 1 3 16 17 143 6 5 4 18 19 204 5 2 4 21 13 195 8 7 6 22 23 246 7 5 6 25 18 237 10 9 8 26 27 288 9 7 8 29 22 279 12 11 10 30 31 3210 11 9 10 33 26 3 1 ] ;

ResU=[1 3 1 7 ] ; % r e s t r i c a o t r a n s l a c a o UResV=ResU ; % r e s t r i c a o t r a n s l a c a o V

%carga a p l i cad a% no x yFF=[11 0 −1666.6712 0 −1666.6730 0 −6666.67 ] ;

e l im =[2*ResU−1 ,2*ResV ] ; % i n d i c e s com r e s t r i c a o

%Plano de t e n s o e s ou deformacoesi f PlanoTesaoDeformacao==1 % Plano de t e n s o e sD1=−E/( v^2 − 1 ) ;D2=−(E*v )/ ( v^2 − 1 ) ;D3=(E*( v/2 − 1/2) )/ ( v^2 − 1 ) ;endi f PlanoTesaoDeformacao==2 % Plano de deformacoesD1=(E*( v − 1 ) ) / ( ( 2 * v − 1)* ( v + 1 ) ) ;D2=−(E*v ) / ( ( 2 * v − 1)* ( v + 1 ) ) ;D3=(E*( v − 1/2) )/ ( (2* v − 1)* ( v + 1 ) ) ;end

Nno=s i z e (AA, 1 ) ; % numero de nosne l=s i z e (BB, 1 ) ; % numero de e lementosng l=2*Nno ; % numero de graus de l i b e r d a d eNNF=s i z e (FF , 1 ) ; %numero de nos com carga a p l i ca danne=6; %numero de nos do elemento


nieR=(2*nne ) ^ 2 ; % numero i n d i c e s − matriz de r i g i d e z do elementosnieFC=2*nne ; % numero i n d i c e s − vetor de carga do elementoa l l_rowRig idez = z e r o s ( nel , nieR ) ; % v e r t o r a u x i l i a r dos i n d i c e s das l i n h a s da matr iz g l o b a la l l _ c o l R i g i d e z = z e r o s ( nel , nieR ) ; % v e r t o r a u x i l i a r dos i n d i c e s das co lunas da matr iz g l o b a lall_Ke = z e r o s ( nel , nieR ) ; % v e r t o r a u x i l i a r dos dos termos da matr iz g l o b a l

t i cf o r i =1: ne l

n3=BB( i , 4 ) ; %vetor no 3n2=BB( i , 3 ) ; %vetor no 2n1=BB( i , 2 ) ; %vetor no 1

y3=AA( n3 , 3 ) ; % vetor coordenada y3y2=AA( n2 , 3 ) ; % vetor coordenada y2y1=AA( n1 , 3 ) ; % vetor coordenada y1

x3=AA( n3 , 2 ) ; % vetor coordenada x3x2=AA( n2 , 2 ) ; % vetor coordenada x2x1=AA( n1 , 2 ) ; % vetor coordenada x1

a1=x3−x2 ;a2=x1−x3 ;a3=x2−x1 ;b1=y2−y3 ;b2=y3−y1 ;b3=y1−y2 ;

% area do elementoA=[1 x1 y1 ; 1 x2 y2 ; 1 x3 y3 ] ;A=(1/2)* det (A) ;

%Pontos de i n t e g r a c a o de gaussCL=[1/2 1/21/2 00 1 / 2 ] ;

%Matriz c o n s t i t u t i v a do e l ement lD=[D1 D2 0D2 D1 00 0 D3 ] ;

%Ponto 01 de i n t e g r a c a oL1=CL( 1 , 1 ) ; L2=CL( 1 , 2 ) ; L3=1−L1−L2 ;B=[( b1 *(4*L1 − 1) )/ (2*A) , 0 , ( b2 *(4*L2 − 1) )/ (2*A) , 0 , ( b3 *(4*L3 − 1) )/ (2*A) , 0 , . . .(4*L1*b2 + 4*L2*b1 )/(2*A) , 0 , (4*L2*b3 + 4*L3*b2 )/(2*A) , 0 , (4*L1*b3 + 4*L3*b1 )/(2*A) , 0 ;0 , ( a1 *(4*L1 − 1) )/ (2*A) , 0 , ( a2 *(4*L2 − 1) )/ (2*A) , 0 , ( a3 *(4*L3 − 1) )/ (2*A ) , . . .

0 , (4*L1*a2 + 4*L2*a1 )/(2*A) , 0 , (4*L2*a3 + 4*L3*a2 )/(2*A) , 0 , (4*L1*a3 + 4*L3*a1 )/(2*A) ;( a1 *(4*L1 − 1) )/ (2*A) , ( b1 *(4*L1 − 1) )/ (2*A) , ( a2 *(4*L2 − 1) )/ (2*A ) , . . .( b2 *(4*L2 − 1) )/ (2*A) , ( a3 *(4*L3 − 1) )/ (2*A) , ( b3 *(4*L3 − 1) )/ (2*A ) , . . .(4*L1*a2 + 4*L2*a1 )/(2*A) , (4*L1*b2 + 4*L2*b1 )/(2*A) , (4*L2*a3 + 4*L3*a2 )/(2*A ) , . . .

(4*L2*b3 + 4*L3*b2 )/(2*A) , (4*L1*a3 + 4*L3*a1 )/(2*A) , (4*L1*b3 + 4*L3*b1 )/(2*A ) ] ;P1=e*B. ’ *D*B;

%Ponto 02 de i n t e g r a c a oL1=CL( 2 , 1 ) ; L2=CL( 2 , 2 ) ; L3=1−L1−L2 ;B=[( b1 *(4*L1 − 1) )/ (2*A) , 0 , ( b2 *(4*L2 − 1) )/ (2*A) , 0 , ( b3 *(4*L3 − 1) )/ (2*A) , 0 , . . .(4*L1*b2 + 4*L2*b1 )/(2*A) , 0 , (4*L2*b3 + 4*L3*b2 )/(2*A) , 0 , (4*L1*b3 + 4*L3*b1 )/(2*A) , 0 ;0 , ( a1 *(4*L1 − 1) )/ (2*A) , 0 , ( a2 *(4*L2 − 1) )/ (2*A) , 0 , ( a3 *(4*L3 − 1) )/ (2*A ) , . . .


0 , (4*L1*a2 + 4*L2*a1 )/(2*A) , 0 , (4*L2*a3 + 4*L3*a2 )/(2*A) , 0 , (4*L1*a3 + 4*L3*a1 )/(2*A) ;( a1 *(4*L1 − 1) )/ (2*A) , ( b1 *(4*L1 − 1) )/ (2*A) , ( a2 *(4*L2 − 1) )/ (2*A ) , . . .( b2 *(4*L2 − 1) )/ (2*A) , ( a3 *(4*L3 − 1) )/ (2*A) , ( b3 *(4*L3 − 1) )/ (2*A ) , . . .(4*L1*a2 + 4*L2*a1 )/(2*A) , (4*L1*b2 + 4*L2*b1 )/(2*A) , (4*L2*a3 + 4*L3*a2 )/(2*A ) , . . .(4*L2*b3 + 4*L3*b2 )/(2*A) , (4*L1*a3 + 4*L3*a1 )/(2*A) , (4*L1*b3 + 4*L3*b1 )/(2*A ) ] ;P2=e*B. ’ *D*B;

%Ponto 03 de i n t e g r a c a oL1=CL( 3 , 1 ) ; L2=CL( 3 , 2 ) ; L3=1−L1−L2 ;B=[( b1 *(4*L1 − 1) )/ (2*A) , 0 , ( b2 *(4*L2 − 1) )/ (2*A) , 0 , ( b3 *(4*L3 − 1) )/ (2*A) , 0 , . . .(4*L1*b2 + 4*L2*b1 )/(2*A) , 0 , (4*L2*b3 + 4*L3*b2 )/(2*A) , 0 , (4*L1*b3 + 4*L3*b1 )/(2*A) , 0 ;0 , ( a1 *(4*L1 − 1) )/ (2*A) , 0 , ( a2 *(4*L2 − 1) )/ (2*A) , 0 , ( a3 *(4*L3 − 1) )/ (2*A ) , . . .0 , (4*L1*a2 + 4*L2*a1 )/(2*A) , 0 , (4*L2*a3 + 4*L3*a2 )/(2*A) , 0 , (4*L1*a3 + 4*L3*a1 )/(2*A) ;( a1 *(4*L1 − 1) )/ (2*A) , ( b1 *(4*L1 − 1) )/ (2*A) , ( a2 *(4*L2 − 1) )/ (2*A ) , . . .( b2 *(4*L2 − 1) )/ (2*A) , ( a3 *(4*L3 − 1) )/ (2*A) , ( b3 *(4*L3 − 1) )/ (2*A ) , . . .(4*L1*a2 + 4*L2*a1 )/(2*A) , (4*L1*b2 + 4*L2*b1 )/(2*A) , (4*L2*a3 + 4*L3*a2 )/(2*A ) , . . .(4*L2*b3 + 4*L3*b2 )/(2*A) , (4*L1*a3 + 4*L3*a1 )/(2*A) , (4*L1*b3 + 4*L3*b1 )/(2*A ) ] ;P3=e*B. ’ *D*B;

W1=1/6;%Peso de i n t e g r a c a o de GaussKe2=W1*(P1+P2+P3 ) ;Ke=2*A*Ke2 ; %Matriz de r i g i d e z de Gauss

% matr iz de r i g i d e z do elemento − v e t o r i z a d aKe=[Ke ( 1 , : ) , Ke ( 2 , : ) , Ke ( 3 , : ) , Ke ( 4 , : ) , Ke ( 5 , : ) , Ke ( 6 , : ) , Ke ( 7 , : ) , Ke ( 8 , : ) , Ke ( 9 , : ) , Ke ( 1 0 , : ) , Ke ( 1 1 , : ) , Ke ( 1 2 , : ) ] ;

f o r j =1:nne % i n d i c e s g l o b a l da matr iz de r i g i d e zmel (1 ,2* j −1)=BB( i , j +1)*2−1; mel (1 ,2* j )=BB( i , j +1)*2 ; % i n d i c e s g l o b a i s

end

rowRigidez1=kron ( ones (1 ,2* nne ) , mel );% i n d i c e l i n h a matr iz r i g i d e z l o c a lc o l R i g i d e z 1=kron ( mel , ones (1 ,2* nne ));% i n d i c e co lunas matr iz r i g i d e z l o c a l

a l l_rowRig idez ( i , : ) = rowRigidez1 ; % i n d i c e l i n h a matr iz r i g i d e z g l o b a la l l _ c o l R i g i d e z ( i , : ) =c o l R i g i d e z 1 ; % i n d i c e co lunas matr iz r i g i d e z g l o b a lall_Ke ( i , : ) = Ke ; % v a l o r e s matr iz r i g i d e z g l o b a l

end

KG = spar s e ( al l_rowRigidez , a l l _ c o l R i g i d e z , all_Ke , ngl , ng l ) ; % matr iz de r i g i d e z g l o b a l e spar sad i sp(’>>> Tempo de processamento para montagem da matr iz de r i g i d e z g loba l ’ )d i sp ( ’ ’ )tocd i sp ( ’ ’ )

FG=z e r o s (Nno * 2 , 1 ) ; % matr iz a u x i l i a r f o r c a s nodais g l o b a lf o r i =1:NNFF=z e r o s (Nno * 2 , 1 ) ; % vetor de f o r c a expandido , a u x i l i a r ( i n i c i a l m e n t e com z e r o s )Fe=FF; % matr iz f o r c a s nodais elemento

% transforma a pos i cao l o c a l ( no elemento ) para a pos i cao correspondente no vetor g l o b a lm1=FF( i ,1)*2 −1;m2=FF( i , 1 ) * 2 ;

% vetor de carga do elemento expandido em i n d i c e s g l o b a i sF(m1,1)=Fe ( i , 2 ) ; % pr ime i ra l i n h a da matr iz expandidaF(m2,1)=Fe ( i , 3 ) ; % segunda l i n h a da matr iz expandida

FG=FG+F ; % acumula a matr iz expandida (F) na matr iz de f o r c a s nodais g l o b a l (FG)


endFG=spar s e (FG);% Vetor de f o r c a s g l o b a i s e spar so

KG( elim , : ) = [ ] ; % e l imina l i n h a s com r e s t r i c a o da matr iz de r i g i d e zKG( : , e l im ) = [ ] ; % e l imina co lunas com r e s t r i c a o da matr iz de r i g i d e z

FG( elim , : ) = [ ] ; % e l im ina l i n h a s da matr iz de f o r c a s nodaiss o l =(KG)\(FG) ; % so lucao do s i s tema das equacoes / des locamentos

d i sp(’>>> Tempo de processamento cumulativo para c a l c u l o dos deslocamentos ’ )d i sp ( ’ ’ )tocd i sp ( ’ ’ )

pos =1: ng l ; % p o s i c o e s dos graus de l i b e r d a d epos ( e l im ) = [ ] ; % p o s i c o e s remanescentesDG=z e r o s ( ngl , 1 ) ; % matr iz a u x i l i a r de r e s u l t a d o s dos des locametosDG( pos ,1)= s o l ; % i n c l u i v a l o r e s dos des locamentos das p o s i c o e s l i v r e sm1=1:2:2*Nno ; % i n d i c e s xm2=2:2:2*Nno ; % i n d i c e s ymn=1:1:Nno ; % todos os nos do s o l i d oDGX(: ,1 )=DG(m1, 1 ) ; % des locamentos em xDGY(: ,1 )=DG(m2, 1 ) ; % des locamentos em y

di sp(’>>> so lucao do vetor de des locamentos em metros ’ )d i sp(’>>> No x y ’ )DG=[mn’ ,DGX,DGY] % matr iz de r e s u l t a d o s dos des locametos

188

ANEXO B – CÓDIGO PARA

FORMULAÇÃO DAS MATRIZES

EXPLÍCITAS EM MATLAB

B.1 Elemento Triangular T21

B.1.1 Código - Matriz de rigidez (T21)

c l e a r a l lt i csyms L1 L2 L3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 A E v e D1 D2 D3syms c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9 c10 c11syms c12 c13 c14 c15 c16 c17 c18 c19 c20 c21syms x y u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10 u11 u12syms u13 u14 u15 u16 u17 u18 u19 u20 u21

% FUNCAO DE INTERPOLACAOu=c1+c2 *L1+c3 *L2+c4 *L1^2+c5 *L1*L2+c6 *L2^2+c7 *L1^3+c8 *L2*L1 ^ 2 + . . .c9 *L1*L2^2+c10 *L2^3+c11 *L1^4+c12 *L2*L1^3+c13 *(L1^2)*L2 ^ 2 + . . .c14 *L1*L2^3+c15 *L2^4+c16 *L1^5+c17 *L2*L1^4+c18 *(L1^3)*L2 ^ 2 + . . .c19 *(L1^2)*L2^3+c20 *L1*L2^4+c21 *L2 ^5 ;% DETERMINACAO DAS FUNCOES DE FORMA[ L]= equationsToMatrix ( [ u ] , [ c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , c7 , c8 , c9 , c10 , . . .c11 , c12 , c13 , c14 , c15 , c16 , c17 , c18 , c19 , c20 , c21 ] ) ;% COORDENADAS DE AREA PARA CADA NOeq1=u1==subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 1 , 0 , 0 ] ) ;eq2=u2==subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 0 , 1 , 0 ] ) ;eq3=u3==subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 0 , 0 , 1 ] ) ;eq4=u4==subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 4 / 5 , 1 / 5 , 0 ] ) ;eq5=u5==subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 3 / 5 , 2 / 5 , 0 ] ) ;eq6=u6==subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 2 / 5 , 3 / 5 , 0 ] ) ;eq7=u7==subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 1 / 5 , 4 / 5 , 0 ] ) ;eq8=u8==subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 0 , 4 / 5 , 1 / 5 ] ) ;eq9=u9==subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 0 , 3 / 5 , 2 / 5 ] ) ;eq10=u10==subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 0 , 2 / 5 , 3 / 5 ] ) ;eq11=u11==subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 0 , 1 / 5 , 4 / 5 ] ) ;eq12=u12==subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 1 / 5 , 0 , 4 / 5 ] ) ;eq13=u13==subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 2 / 5 , 0 , 3 / 5 ] ) ;eq14=u14==subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 3 / 5 , 0 , 2 / 5 ] ) ;eq15=u15==subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 4 / 5 , 0 , 1 / 5 ] ) ;eq16=u16==subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 3 / 5 , 1 / 5 , 1 / 5 ] ) ;eq17=u17==subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 2 / 5 , 2 / 5 , 1 / 5 ] ) ;eq18=u18==subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 1 / 5 , 3 / 5 , 1 / 5 ] ) ;eq19=u19==subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 1 / 5 , 2 / 5 , 2 / 5 ] ) ;eq20=u20==subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 1 / 5 , 1 / 5 , 3 / 5 ] ) ;eq21=u21==subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 2 / 5 , 1 / 5 , 2 / 5 ] ) ;

[C,B]= equationsToMatrix ( [ eq1 , eq2 , eq3 , eq4 , eq5 , eq6 , eq7 , eq8 , eq9 , . . .eq10 , eq11 , eq12 , eq13 , eq14 , eq15 , eq16 , eq17 , eq18 , eq19 , eq20 , eq21 ] , . . .[ c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , c7 , c8 , c9 , c10 , c11 , c12 , c13 , c14 , c15 , c16 , c17 , . .

ANEXO B. CÓDIGO PARA FORMULAÇÃO DAS MATRIZES EXPLÍCITAS EM MATLAB 189

c18 , c19 , c20 , c21 ] ) ;s o l=eva l (C\B) ;U112=L* s o l ;

d i sp(’>>> Funcoes de Forma ’ ) ;U1=subs (U112 , [ u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 , u12 , u13 , u14 , u15 , . . .u16 , u17 , u18 , u19 , u20 , u21 ] , [ 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ) ;U1=f a c t o r (U1 ) ;U1=prod (U1)

U2=subs (U112 , [ u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 , u12 , u13 , u14 , u15 , . . .u16 , u17 , u18 , u19 , u20 , u21 ] , [ 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ) ;U2=f a c t o r (U2 ) ;U2=prod (U2)

U3=subs (U112 , [ u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 , u12 , u13 , u14 , u15 , . . .u16 , u17 , u18 , u19 , u20 , u21 ] , [ 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ) ;U3=f a c t o r (U3 ) ;U3=prod (U3 ) ;U3=(L3*(5*L3 − 1)* (5* L3 − 2)* (5* L3 − 3)* (5* L3 − 4))/24





U8=subs (U112 , [ u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 , u12 , u13 , u14 , u15 , . . .u16 , u17 , u18 , u19 , u20 , u21 ] , [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ) ;U8=f a c t o r (U8 ) ;U8=prod (U8 ) ;U8=(25*L2*L3*(5*L2 − 1)* (5* L2 − 2)* (5* L2 − 3))/24



U11=subs (U112 , [ u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 , u12 , u13 , u14 , u15 , . . .


u16 , u17 , u18 , u19 , u20 , u21 ] , [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ) ;U11=f a c t o r (U11 ) ;U11=prod (U11 ) ;U11=(25*L3*L2*(5*L3 − 1)* (5* L3 − 2)* (5* L3 − 3))/24





U16=subs (U112 , [ u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 , u12 , u13 , u14 , u15 , . . .u16 , u17 , u18 , u19 , u20 , u21 ] , [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ) ;U16=f a c t o r (U16 ) ;U16=prod (U16 ) ;U16=(125*L1*L2*L3*(5*L1 − 1)* (5* L1 − 2))/6





U21=subs (U112 , [ u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 , u12 , u13 , u14 , u15 , . . .


u16 , u17 , u18 , u19 , u20 , u21 ] , [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 ] ) ;U21=f a c t o r (U21 ) ;U21=prod (U21 ) ;U21=(125*L1*L2*L3*(5*L1 − 1)* (5* L3 − 1))/4

U=[U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12 U13 U14 U15 U16 U17 . . .U18 U19 U20 U21 ] ;

% TESTE DAS FUNCOES DE FORMAnum=s i z e (U, 2 ) ;f o r i =1:numu=U(1 , i ) ;eq1=subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 1 , 0 , 0 ] ) ;eq2=subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 0 , 1 , 0 ] ) ;eq3=subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 0 , 0 , 1 ] ) ;eq4=subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 4 / 5 , 1 / 5 , 0 ] ) ;eq5=subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 3 / 5 , 2 / 5 , 0 ] ) ;eq6=subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 2 / 5 , 3 / 5 , 0 ] ) ;eq7=subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 1 / 5 , 4 / 5 , 0 ] ) ;eq8=subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 0 , 4 / 5 , 1 / 5 ] ) ;eq9=subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 0 , 3 / 5 , 2 / 5 ] ) ;eq10=subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 0 , 2 / 5 , 3 / 5 ] ) ;eq11=subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 0 , 1 / 5 , 4 / 5 ] ) ;eq12=subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 1 / 5 , 0 , 4 / 5 ] ) ;eq13=subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 2 / 5 , 0 , 3 / 5 ] ) ;eq14=subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 3 / 5 , 0 , 2 / 5 ] ) ;eq15=subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 4 / 5 , 0 , 1 / 5 ] ) ;eq16=subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 3 / 5 , 1 / 5 , 1 / 5 ] ) ;eq17=subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 2 / 5 , 2 / 5 , 1 / 5 ] ) ;eq18=subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 1 / 5 , 3 / 5 , 1 / 5 ] ) ;eq19=subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 1 / 5 , 2 / 5 , 2 / 5 ] ) ;eq20=subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 1 / 5 , 1 / 5 , 3 / 5 ] ) ;eq21=subs (u , [ L1 , L2 , L3 ] , [ 2 / 5 , 1 / 5 , 2 / 5 ] ) ;

UG( i ,1)= eq1 ;UG( i ,2)= eq2 ;UG( i ,3)= eq3 ;UG( i ,4)= eq4 ;UG( i ,5)= eq5 ;UG( i ,6)= eq6 ;UG( i ,7)= eq7 ;UG( i ,8)= eq8 ;UG( i ,9)= eq9 ;UG( i ,10)= eq10 ;UG( i ,11)= eq11 ;UG( i ,12)= eq12 ;UG( i ,13)= eq13 ;UG( i ,14)= eq14 ;UG( i ,15)= eq15 ;UG( i ,16)= eq16 ;UG( i ,17)= eq17 ;UG( i ,18)= eq18 ;UG( i ,19)= eq19 ;UG( i ,20)= eq20 ;UG( i ,21)= eq21 ;endd i sp ( ’ Teste Funcoes de Forma ( Valor esperado : Matriz Ident idade ) ’ ) ;UG

%MONTAGEM DA MATRIZ Bf o r i =1:numUU=expand (U(1 , i ) ) ;Be1=b1* d i f f (UU, L1 ,1)+ b2* d i f f (UU, L2 ,1)+ b3* d i f f (UU, L3 , 1 ) ;Be2=a1* d i f f (UU, L1 ,1)+ a2* d i f f (UU, L2 ,1)+ a3* d i f f (UU, L3 , 1 ) ;m1=2* i −1;m2=2* i ;BG(1 ,m1)=Be1 ;BG(2 ,m2)=Be2 ;BG(3 ,m1)=Be2 ; BG(3 ,m2)=Be1 ;endd i sp(’>>> Matriz B ’ ) ;B=(1/(2*A))*BGBT=B . ’ ;

d i sp(’>>> Matriz Co n s t i t u t iv a E l a s t i c i d a d e ’ ) ;D=[D1 D2 0 ; D2 D1 0 ; 0 0 D3 ]


% MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ EXPLICITAK=expand ( e*BT*D*B) ;num=s i z e (K, 1 ) ;pp=0;f o r z=pp :num

% vetor com termos i s o l a d o s do produto [B ] ’ [D ] [ B]m1=z +1;pp=pp+1;f o r j=pp :numm2=j ;f=c h i l d r e n (K(m1,m2 ) ) ;

% numero de p o s i c o e s do vetor fn=s i z e ( f , 2 ) ;%% PARTE 1 − COEFICIENTES E TERMOS DO PRODUTO% loop que recupera os c o e f i c i e n t e s ( cons tante s ) do vetor fc l e a r g h p f1 f2 f 3 k l m s o lf o r i =1:ng ( i )= c o e f f s ( f ( i ) , [ L1 , L2 , L3 ] ) ;end% loop que recupera os termos L1 L2 L3 do vetor ff o r i =1:nh( i )= f ( i )/ g ( i ) ;end%% PARTE 2 − INTEGRAL PRATICA DOS TERMOS L1 L2 L3% i n t e g r a l p r a t i c af o r i =1:n

% potenc ia de L1f1=subs (h( i ) , [ L1 L2 L3 ] , [ 2 1 1 ] ) ;r e s =[1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 1 6 3 8 4 ] ;k=f i n d ( r e s==f1 ) −1;

% potenc ia de L2f2=subs (h( i ) , [ L1 L2 L3 ] , [ 1 2 1 ] ) ;r e s =[1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 1 6 3 8 4 ] ;l=f i n d ( r e s==f2 ) −1;

% potenc ia de L3f3=subs (h( i ) , [ L1 L2 L3 ] , [ 1 1 2 ] ) ;r e s =[1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 1 6 3 8 4 ] ;m=f i n d ( r e s==f3 ) −1;

h( i )=2*A*( f a c t o r i a l ( k )* f a c t o r i a l ( l )* f a c t o r i a l (m))/ f a c t o r i a l (2+k+l+m) ;end%% PARTE 3 − CONSTANTES APLICADAS AO RESULTADO DA INTEGRAL% recuperacao da cons tante sf o r i =1:np( i )=h( i )* g ( i ) ;end%recupera o r e s u l t a d o apos a i n t e g r a c a o ( soma termos i n d i v i d u a i s )s o l=sum(p ) ;s o l=s i m p l i f y ( s o l ) ;s o l=c o l l e c t ( so l , [ D1 D2 D3 ] ) ;Kee (m1,m2)= s o l ;Kee (m2,m1)= s o l ;endenddi sp(’>>> Matriz Rigidez ’ ) ;Kee=simple ( Kee )d i sp(’>>> Tempo de prorcessamento ’ ) ;toc


B.1.2 Código - Matriz de massa consistente (T21)

c l e a r a l lsyms L1 L2 L3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 A E v e beta ds t

t i c%FUNCOES DE FORMAU1=(L1*(5*L1 − 1)* (5* L1 − 2)* (5* L1 − 3)* (5* L1 − 4 ) ) / 2 4 ;U2=(L2*(5*L2 − 1)* (5* L2 − 2)* (5* L2 − 3)* (5* L2 − 4 ) ) / 2 4 ;U3=(L3*(5*L3 − 1)* (5* L3 − 2)* (5* L3 − 3)* (5* L3 − 4 ) ) / 2 4 ;U4=(25*L1*L2*(5*L1 − 1)* (5* L1 − 2)* (5* L1 − 3 ) ) / 2 4 ;U5=(25*L1*L2*(5*L1 − 1)* (5* L1 − 2)* (5* L2 − 1 ) ) / 1 2 ;U6=(25*L1*L2*(5*L1 − 1)* (5* L2 − 1)* (5* L2 − 2 ) ) / 1 2 ;U7=(25*L1*L2*(5*L2 − 1)* (5* L2 − 2)* (5* L2 − 3 ) ) / 2 4 ;U8=(25*L2*L3*(5*L2 − 1)* (5* L2 − 2)* (5* L2 − 3 ) ) / 2 4 ;U9=(25*L2*L3*(5*L2 − 1)* (5* L2 − 2)* (5* L3 − 1 ) ) / 1 2 ;U10=(25*L2*L3*(5*L2 − 1)* (5* L3 − 1)* (5* L3 − 2 ) ) / 1 2 ;U11=(25*L2*L3*(5*L3 − 1)* (5* L3 − 2)* (5* L3 − 3 ) ) / 2 4 ;U12=(25*L1*L3*(5*L3 − 1)* (5* L3 − 2)* (5* L3 − 3 ) ) / 2 4 ;U13=(25*L1*L3*(5*L1 − 1)* (5* L3 − 1)* (5* L3 − 2 ) ) / 1 2 ;U14=(25*L1*L3*(5*L1 − 1)* (5* L1 − 2)* (5* L3 − 1 ) ) / 1 2 ;U15=(25*L1*L3*(5*L1 − 1)* (5* L1 − 2)* (5* L1 − 3 ) ) / 2 4 ;U16=(125*L1*L2*L3*(5*L1 − 1)* (5* L1 − 2 ) ) / 6 ;U17=(125*L1*L2*L3*(5*L1 − 1)* (5* L2 − 1 ) ) / 4 ;U18=(125*L1*L2*L3*(5*L2 − 1)* (5* L2 − 2 ) ) / 6 ;U19=(125*L1*L2*L3*(5*L2 − 1)* (5* L3 − 1 ) ) / 4 ;U20=(125*L1*L2*L3*(5*L3 − 1)* (5* L3 − 2 ) ) / 6 ;U21=(125*L1*L2*L3*(5*L1 − 1)* (5* L3 − 1 ) ) / 4 ;

% MATRIZ HB=[U1 0 U2 0 U3 0 U4 0 U5 0 U6 0 U7 0 U8 0 U9 0 U10 0 U11 0 . . .

U12 0 U13 0 U14 0 U15 0 U16 0 U17 0 U18 0 U19 0 U20 0 U21 00 U1 0 U2 0 U3 0 U4 0 U5 0 U6 0 U7 0 U8 0 U9 0 U10 0 U11 . . .

0 U12 0 U13 0 U14 0 U15 0 U16 0 U17 0 U18 0 U19 0 U20 0 U21 ] ;BT=B . ’ ;

% MONTAGEM DA MATRIZ DE MASSA EXPLICITAK=expand (BT*B* ds *e ) ;num=s i z e (K, 1 ) ;pp=0;f o r z=pp :num

% vetor com termos i s o l a d o s do produto [B ] ’ [D ] [ B]m1=z +1;pp=pp+1;f o r j=pp :numm2=j ;j j j j =K(m1,m2 ) ;f=c h i l d r e n (K(m1,m2)+1);

% numero de p o s i c o e s do vetor fn=s i z e ( f , 2 ) ;f ( : , n ) = [ ] ;n=s i z e ( f , 2 ) ;%% PARTE 1 − COEFICIENTES E TERMOS DO PRODUTO% loop que recupera os c o e f i c i e n t e s ( cons tante s ) do vetor fi f j j j j ==0Kee (m1,m2)=0;e l s ec l e a r g h p f1 f2 f 3 k l m s o lf o r i =1:ng ( i )= c o e f f s ( f ( i ) , [ L1 , L2 , L3 ] ) ;


end% loop que recupera os termos L1 L2 L3 do vetor ff o r i =1:nh( i )= f ( i )/ g ( i ) ;end%% PARTE 2 − INTEGRAL PRATICA DOS TERMOS L1 L2 L3% i n t e g r a l p r a t i c af o r i =1:n

% potenc ia de L1f1=subs (h( i ) , [ L1 L2 L3 ] , [ 2 1 1 ] ) ;r e s =[1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 1 6 3 8 4 ] ;k=f i n d ( r e s==f1 ) −1;

% potenc ia de L2f2=subs (h( i ) , [ L1 L2 L3 ] , [ 1 2 1 ] ) ;r e s =[1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 1 6 3 8 4 ] ;l=f i n d ( r e s==f2 ) −1;

% potenc ia de L3f3=subs (h( i ) , [ L1 L2 L3 ] , [ 1 1 2 ] ) ;r e s =[1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 1 6 3 8 4 ] ;m=f i n d ( r e s==f3 ) −1;

h( i )=2*A*( f a c t o r i a l ( k )* f a c t o r i a l ( l )* f a c t o r i a l (m))/ f a c t o r i a l (2+k+l+m) ;end%% PARTE 3 − CONSTANTES APLICADAS AO RESULTADO DA INTEGRAL% recuperacao da cons tante sf o r i =1:np( i )=h( i )* g ( i ) ;end% recupera o r e s u l t a d o apos a i n t e g r a c a o ( soma termos i n d i v i d u a i s )s o l=sum(p ) ;s o l=s i m p l i f y ( s o l ) ;Kee (m1,m2)= s o l ;Kee (m2,m1)= s o l ;endendenddi sp(’>>> Matriz Massa ’ ) ;Keed i sp(’>>> Tempo de processamento ’ ) ;toc

B.1.3 Código - Força de corpo (T21)

c l e a r a l lsyms L1 L2 L3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 A E v e beta dsx dsy et i c

% FUNCOES DE FORMAU1=(L1*(5*L1 − 1)* (5* L1 − 2)* (5* L1 − 3)* (5* L1 − 4 ) ) / 2 4 ;U2=(L2*(5*L2 − 1)* (5* L2 − 2)* (5* L2 − 3)* (5* L2 − 4 ) ) / 2 4 ;U3=(L3*(5*L3 − 1)* (5* L3 − 2)* (5* L3 − 3)* (5* L3 − 4 ) ) / 2 4 ;U4=(25*L1*L2*(5*L1 − 1)* (5* L1 − 2)* (5* L1 − 3 ) ) / 2 4 ;U5=(25*L1*L2*(5*L1 − 1)* (5* L1 − 2)* (5* L2 − 1 ) ) / 1 2 ;U6=(25*L1*L2*(5*L1 − 1)* (5* L2 − 1)* (5* L2 − 2 ) ) / 1 2 ;U7=(25*L1*L2*(5*L2 − 1)* (5* L2 − 2)* (5* L2 − 3 ) ) / 2 4 ;U8=(25*L2*L3*(5*L2 − 1)* (5* L2 − 2)* (5* L2 − 3 ) ) / 2 4 ;U9=(25*L2*L3*(5*L2 − 1)* (5* L2 − 2)* (5* L3 − 1 ) ) / 1 2 ;U10=(25*L2*L3*(5*L2 − 1)* (5* L3 − 1)* (5* L3 − 2 ) ) / 1 2 ;


U11=(25*L2*L3*(5*L3 − 1)* (5* L3 − 2)* (5* L3 − 3 ) ) / 2 4 ;U12=(25*L1*L3*(5*L3 − 1)* (5* L3 − 2)* (5* L3 − 3 ) ) / 2 4 ;U13=(25*L1*L3*(5*L1 − 1)* (5* L3 − 1)* (5* L3 − 2 ) ) / 1 2 ;U14=(25*L1*L3*(5*L1 − 1)* (5* L1 − 2)* (5* L3 − 1 ) ) / 1 2 ;U15=(25*L1*L3*(5*L1 − 1)* (5* L1 − 2)* (5* L1 − 3 ) ) / 2 4 ;U16=(125*L1*L2*L3*(5*L1 − 1)* (5* L1 − 2 ) ) / 6 ;U17=(125*L1*L2*L3*(5*L1 − 1)* (5* L2 − 1 ) ) / 4 ;U18=(125*L1*L2*L3*(5*L2 − 1)* (5* L2 − 2 ) ) / 6 ;U19=(125*L1*L2*L3*(5*L2 − 1)* (5* L3 − 1 ) ) / 4 ;U20=(125*L1*L2*L3*(5*L3 − 1)* (5* L3 − 2 ) ) / 6 ;U21=(125*L1*L2*L3*(5*L1 − 1)* (5* L3 − 1 ) ) / 4 ;

% MATRIZ HB=[U1 0 U2 0 U3 0 U4 0 U5 0 U6 0 U7 0 U8 0 U9 0 U10 0 U11 0 . . .


0 U12 0 U13 0 U14 0 U15 0 U16 0 U17 0 U18 0 U19 0 U20 0 U21 ] ;BT=B . ’ ;Ds = [ 1 ; 1 ] ;K=expand (BT*Ds ) ;num=s i z e (K, 1 ) ;f o r i =1:num/2m1=2* i −1;m2=2* i ;Dsf (m1,m1)=dsx ;Dsf (m2,m2)=dsy ;endf o r z =1:numm1=z ;f=c h i l d r e n (K(m1, 1 ) + 1 ) ;n=s i z e ( f , 2 ) ;f ( : , n ) = [ ] ;

% numero de p o s i c o e s do vetor fn=s i z e ( f , 2 ) ;%% PARTE 1 − COEFICIENTES E TERMOS DO PRODUTO% loop que recupera os c o e f i c i e n t e s ( cons tante s ) do vetor fc l e a r g h pf o r i =1:ng ( i )= c o e f f s ( f ( i ) , [ L1 , L2 , L3 ] ) ;end% loop que recupera os termos L1 L2 L3 do vetor ff o r i =1:nh( i )= f ( i )/ g ( i ) ;end%% PARTE 2 − INTEGRAL PRATICA DOS TERMOS L1 L2 L3% i n t e g r a l p r a t i c af o r i =1:n

% potenc ia de L1f1=subs (h( i ) , [ L1 L2 L3 ] , [ 2 1 1 ] ) ;r e s =[1 2 4 8 16 32 6 4 ] ;k=f i n d ( r e s==f1 ) −1;

% potenc ia de L2f1=subs (h( i ) , [ L1 L2 L3 ] , [ 1 2 1 ] ) ;r e s =[1 2 4 8 16 32 6 4 ] ;l=f i n d ( r e s==f1 ) −1;

% potenc ia de L3f1=subs (h( i ) , [ L1 L2 L3 ] , [ 1 1 2 ] ) ;r e s =[1 2 4 8 16 32 6 4 ] ;


m=f i n d ( r e s==f1 ) −1;

h( i )=2*A*( f a c t o r i a l ( k )* f a c t o r i a l ( l )* f a c t o r i a l (m))/ f a c t o r i a l (2+k+l+m) ;end%% PARTE 3 − CONSTANTES APLICADAS AO RESULTADO DA INTEGRAL% recuperacao da cons tante sf o r i =1:np( i )=h( i )* g ( i ) ;end%recupera o r e s u l t a d o apos a i n t e g r a c a o ( soma termos i n d i v i d u a i s )s o l=sum(p ) ;s o l=s i m p l i f y ( s o l ) ;Kee (m1,1)= s o l ;endd i sp(’>>> Vetor de Forca de Corpo ’ ) ;Kee=e* Dsf *Keed i sp(’>>> Tempo de processamento ’ ) ;toc

B.1.4 Código - Força de superfície (T21)

c l cc l e a r a l lsyms L1 L2 L3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 A E v e betasyms qx1 qy1 qx2 qy2 qx3 qy3 qx4 qy4 qx5 qy5 qx6 qy6 qx7 qy7syms qx8 qy8 qx9 qy9 qx10 qy10 qx11 qy11 qx12 qy12 qx13 qy13syms qx14 qy14 qx15 qy15 qx16 qy16 qx17 qy17 qx18 qy18 qx19syms qy19 qx20 qy20 qx21 qy21 L12 L23 L31

t i c% FUNCOES DE FORMAU1=(L1*(5*L1 − 1)* (5* L1 − 2)* (5* L1 − 3)* (5* L1 − 4 ) ) / 2 4 ;U2=(L2*(5*L2 − 1)* (5* L2 − 2)* (5* L2 − 3)* (5* L2 − 4 ) ) / 2 4 ;U3=(L3*(5*L3 − 1)* (5* L3 − 2)* (5* L3 − 3)* (5* L3 − 4 ) ) / 2 4 ;U4=(25*L1*L2*(5*L1 − 1)* (5* L1 − 2)* (5* L1 − 3 ) ) / 2 4 ;U5=(25*L1*L2*(5*L1 − 1)* (5* L1 − 2)* (5* L2 − 1 ) ) / 1 2 ;U6=(25*L1*L2*(5*L1 − 1)* (5* L2 − 1)* (5* L2 − 2 ) ) / 1 2 ;U7=(25*L1*L2*(5*L2 − 1)* (5* L2 − 2)* (5* L2 − 3 ) ) / 2 4 ;U8=(25*L2*L3*(5*L2 − 1)* (5* L2 − 2)* (5* L2 − 3 ) ) / 2 4 ;U9=(25*L2*L3*(5*L2 − 1)* (5* L2 − 2)* (5* L3 − 1 ) ) / 1 2 ;U10=(25*L2*L3*(5*L2 − 1)* (5* L3 − 1)* (5* L3 − 2 ) ) / 1 2 ;U11=(25*L2*L3*(5*L3 − 1)* (5* L3 − 2)* (5* L3 − 3 ) ) / 2 4 ;U12=(25*L1*L3*(5*L3 − 1)* (5* L3 − 2)* (5* L3 − 3 ) ) / 2 4 ;U13=(25*L1*L3*(5*L1 − 1)* (5* L3 − 1)* (5* L3 − 2 ) ) / 1 2 ;U14=(25*L1*L3*(5*L1 − 1)* (5* L1 − 2)* (5* L3 − 1 ) ) / 1 2 ;U15=(25*L1*L3*(5*L1 − 1)* (5* L1 − 2)* (5* L1 − 3 ) ) / 2 4 ;U16=(125*L1*L2*L3*(5*L1 − 1)* (5* L1 − 2 ) ) / 6 ;U17=(125*L1*L2*L3*(5*L1 − 1)* (5* L2 − 1 ) ) / 4 ;U18=(125*L1*L2*L3*(5*L2 − 1)* (5* L2 − 2 ) ) / 6 ;U19=(125*L1*L2*L3*(5*L2 − 1)* (5* L3 − 1 ) ) / 4 ;U20=(125*L1*L2*L3*(5*L3 − 1)* (5* L3 − 2 ) ) / 6 ;U21=(125*L1*L2*L3*(5*L1 − 1)* (5* L3 − 1 ) ) / 4 ;

% MATRIZ HBG=[U1 0 U2 0 U3 0 U4 0 U5 0 U6 0 U7 0 U8 0 U9 0 U10 0 U11 0 . . .


0 U12 0 U13 0 U14 0 U15 0 U16 0 U17 0 U18 0 U19 0 U20 0 U21 ] ;


di sp(’>>> Vetor de Forca de S u p e r f i c i e − Lado 1 2 ’ ) ;c l e a r L1 L2 L3syms L1 L2 L3L3=0;L2=1−L3−L1 ;q=[qx1 ; qy1 ; qx2 ; qy2 ; qx3 ; qy3 ; qx4 ; qy4 ; qx5 ; qy5 ; qx6 ; qy6 ; qx7 ; qy7 ; qx8 ; qy8 ;qx9 ; qy9 ; qx10 ; qy10 ; qx11 ; qy11 ; qx12 ; qy12 ; qx13 ; qy13 ; qx14 ; qy14 ; qx15 ; qy15 ;qx16 ; qy16 ; qx17 ; qy17 ; qx18 ; qy18 ; qx19 ; qy19 ; qx20 ; qy20 ; qx21 ; qy21 ] ;R12=L12*BG. ’ *BG*q ;R12=eva l (R12 ) ;R12=i n t (R12 , L1 , 0 , 1 )

d i sp(’>>> Vetor de Forca de S u p e r f i c i e − Lado 2 3 ’ ) ;c l e a r L1 L2 L3syms L1 L2 L3L1=0;L3=1−L2−L1 ;q=[qx1 ; qy1 ; qx2 ; qy2 ; qx3 ; qy3 ; qx4 ; qy4 ; qx5 ; qy5 ; qx6 ; qy6 ; qx7 ; qy7 ; qx8 ; qy8 ;qx9 ; qy9 ; qx10 ; qy10 ; qx11 ; qy11 ; qx12 ; qy12 ; qx13 ; qy13 ; qx14 ; qy14 ; qx15 ; qy15 ;qx16 ; qy16 ; qx17 ; qy17 ; qx18 ; qy18 ; qx19 ; qy19 ; qx20 ; qy20 ; qx21 ; qy21 ] ;R23=L23*BG. ’ *BG*q ;R23=eva l (R23 ) ;R23=i n t (R23 , L2 , 0 , 1 )

d i sp(’>>> Vetor de Forca de S u p e r f i c i e − Lado 3 1 ’ ) ;c l e a r L1 L2 L3syms L1 L2 L3L2=0;L1=1−L3−L2 ;q=[qx1 ; qy1 ; qx2 ; qy2 ; qx3 ; qy3 ; qx4 ; qy4 ; qx5 ; qy5 ; qx6 ; qy6 ; qx7 ; qy7 ; qx8 ; qy8 ;qx9 ; qy9 ; qx10 ; qy10 ; qx11 ; qy11 ; qx12 ; qy12 ; qx13 ; qy13 ; qx14 ; qy14 ; qx15 ; qy15 ;qx16 ; qy16 ; qx17 ; qy17 ; qx18 ; qy18 ; qx19 ; qy19 ; qx20 ; qy20 ; qx21 ; qy21 ] ;R31=L31*BG. ’ *BG*q ;R31=eva l (R31 ) ;R31=i n t (R31 , L3 , 0 , 1 )d i sp(’>>> Tempo de processamento ’ ) ;toc

B.2 Elemento Tetraédrico TE35

B.2.1 Código - Matriz de rigidez (TE35)

c l e a r a l lsyms C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16 C17syms C18 C19 C20 C21 C22 C23 C24 C25 C26 C27 C28 C29 C30 C31syms C32 C33 C34 C35syms L1 L2 L3 L4 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10 u11 u12 u13 u14syms u15 u16 u17 u18 u19 u20 u21 u22 u23 u24 u25 u26 u27 u28 u29syms u30 u31 u32 u33 u34 u35syms b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4 d1 d2 d3 d4 E v VV D1 D2 D3 et i c

%FUNCAO DE INTERPOLACAOu=C1+C2*L1+C3*L2+C4*L3+C5*L1^2+C6*L2^2+C7*L3^2+C8*L1*L2+C9*L3*L2 + . . .C10*L1*L3+C11*L1^3+C12*L2^3+C13*L3^3+C14*L2*L1^2+C15*L1*L2 ^ 2 + . . .C16*L3*L1^2+C17*L1*L3^2+C18*L2*L3^2+C19*L3*L2^2+C20*L1*L2*L3 + . . .C21*L1^4+C22*L2^4+C23*L3^4+C24*L1*L2^3+C25*L2*L1^3+C26*L1*L3 ^ 3 + . . .C27*L3*L1^3+C28*L3*L2^3+C29*L2*L3^3+C30*(L1^2)*L2 ^ 2 + . . .C31*(L3^2)*L2^2+C32*(L1^2)*L3^2+C33*L1*L2*L3 ^ 2 + . . .


C34*L1*L3*L2^2+C35*L2*L3*L1 ^2 ;% DETERMINACAO DAS FUNCOES DE FORMA[ L]= equationsToMatrix ( [ u ] , [ C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 , C7 , C8 , C9 , C10 , C11 , C12 , . . .C13 , C14 , C15 , C16 , C17 , C18 , C19 , C20 , C21 , C22 , C23 , C24 , C25 , C26 , C27 , C28 , . . .C29 , C30 , C31 , C32 , C33 , C34 , C35 ] ) ;% COORDENADAS DE VOLUME PARA CADA NOeq1=u1==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 , 0 , 0 , 0 ] ) ;eq2=u2==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 1 , 0 , 0 ] ) ;eq3=u3==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 0 , 1 , 0 ] ) ;eq4=u4==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 0 , 0 , 1 ] ) ;eq5=u5==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 3 / 4 , 1 / 4 , 0 , 0 ] ) ;eq6=u6==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 2 , 1 / 2 , 0 , 0 ] ) ;eq7=u7==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 4 , 3 / 4 , 0 , 0 ] ) ;eq8=u8==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 3 / 4 , 1 / 4 , 0 ] ) ;eq9=u9==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 1 / 2 , 1 / 2 , 0 ] ) ;eq10=u10==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 1 / 4 , 3 / 4 , 0 ] ) ;eq11=u11==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 4 , 0 , 3 / 4 , 0 ] ) ;eq12=u12==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 2 , 0 , 1 / 2 , 0 ] ) ;eq13=u13==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 3 / 4 , 0 , 1 / 4 , 0 ] ) ;eq14=u14==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 3 / 4 , 0 , 0 , 1 / 4 ] ) ;eq15=u15==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 2 , 0 , 0 , 1 / 2 ] ) ;eq16=u16==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 4 , 0 , 0 , 3 / 4 ] ) ;eq17=u17==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 3 / 4 , 0 , 1 / 4 ] ) ;eq18=u18==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 1 / 2 , 0 , 1 / 2 ] ) ;eq19=u19==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 1 / 4 , 0 , 3 / 4 ] ) ;eq20=u20==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 0 , 3 / 4 , 1 / 4 ] ) ;eq21=u21==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 0 , 1 / 2 , 1 / 2 ] ) ;eq22=u22==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 0 , 1 / 4 , 3 / 4 ] ) ;eq23=u23==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 2 , 1 / 4 , 0 , 1 / 4 ] ) ;eq24=u24==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 4 , 1 / 2 , 0 , 1 / 4 ] ) ;eq25=u25==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 4 , 1 / 4 , 0 , 1 / 2 ] ) ;eq26=u26==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 1 / 2 , 1 / 4 , 1 / 4 ] ) ;eq27=u27==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 1 / 4 , 1 / 2 , 1 / 4 ] ) ;eq28=u28==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 1 / 4 , 1 / 4 , 1 / 2 ] ) ;eq29=u29==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 4 , 0 , 1 / 2 , 1 / 4 ] ) ;eq30=u30==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 2 , 0 , 1 / 4 , 1 / 4 ] ) ;eq31=u31==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 4 , 0 , 1 / 4 , 1 / 2 ] ) ;eq32=u32==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 2 , 1 / 4 , 1 / 4 , 0 ] ) ;eq33=u33==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 4 , 1 / 2 , 1 / 4 , 0 ] ) ;eq34=u34==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 4 , 1 / 4 , 1 / 2 , 0 ] ) ;eq35=u35==subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 4 , 1 / 4 , 1 / 4 , 1 / 4 ] ) ;[C,B]= equationsToMatrix ( [ eq1 , eq2 , eq3 , eq4 , eq5 , eq6 , eq7 , eq8 , eq9 , . . .eq10 , eq11 , eq12 , eq13 , eq14 , eq15 , eq16 , eq17 , eq18 , eq19 , eq20 , eq21 , . . .eq22 , eq23 , eq24 , eq25 , eq26 , eq27 , eq28 , eq29 , eq30 , eq31 , eq32 , eq33 , . . .eq34 , eq35 ] , [ C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 , C7 , C8 , C9 , C10 , C11 , C12 , C13 , C14 , C15 , . . .C16 , C17 , C18 , C19 , C20 , C21 , C22 , C23 , C24 , C25 , C26 , C27 , C28 , C29 , C30 , C31 , . . .C32 , C33 , C34 , C35 ] ) ;s o l=eva l (C\B) ;UU=L* s o l ;

d i sp(’>>> Funcoes de Forma ’ ) ;U1=subs (UU, [ u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 , u12 , u13 , u14 , u15 , . . .u16 , u17 , u18 , u19 , u20 , u21 , u22 , u23 , u24 , u25 , u26 , u27 , u28 , u29 , u30 , u31 , . . .u32 , u33 , u34 , u35 ] , [ 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , . . .0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ) ;U1=f a c t o r (U1 ) ;U1=prod (U1)

U2=subs (UU, [ u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 , u12 , u13 , u14 , u15 , . . .u16 , u17 , u18 , u19 , u20 , u21 , u22 , u23 , u24 , u25 , u26 , u27 , u28 , u29 , u30 , u31 , . . .


u32 , u33 , u34 , u35 ] , [ 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , . . .0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ) ;U2=f a c t o r (U2 ) ;U2=prod (U2)

U3=subs (UU, [ u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 , u12 , u13 , u14 , u15 , . .u16 , u17 , u18 , u19 , u20 , u21 , u22 , u23 , u24 , u25 , u26 , u27 , u28 , u29 , u30 , u31 , . . .u32 , u33 , u34 , u35 ] , [ 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , . . .0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ) ;U3=f a c t o r (U3 ) ;U3=prod (U3)

U4=subs (UU, [ u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 , u12 , u13 , u14 , u15 , . . .u16 , u17 , u18 , u19 , u20 , u21 , u22 , u23 , u24 , u25 , u26 , u27 , u28 , u29 , u30 , u31 , . . .u32 , u33 , u34 , u35 ] , [ 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , . . .0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ) ;U4=f a c t o r (U4 ) ;U4=prod (U4 ) ;U4=(L4*(2*L4 − 1)* (4* L4 − 1)* (4* L4 − 3))/3

U5=subs (UU, [ u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 , u12 , u13 , u14 , u15 , . . .u16 , u17 , u18 , u19 , u20 , u21 , u22 , u23 , u24 , u25 , u26 , u27 , u28 , u29 , u30 , u31 , . . .u32 , u33 , u34 , u35 ] , [ 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , . . .0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ) ;U5=f a c t o r (U5 ) ;U5=prod (U5)





U10=subs (UU, [ u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 , u12 , u13 , u14 , u15 , . . .u16 , u17 , u18 , u19 , u20 , u21 , u22 , u23 , u24 , u25 , u26 , u27 , u28 , u29 , u30 , u31 , . . .u32 , u33 , u34 , u35 ] , [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , . . .0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ) ;U10=f a c t o r (U10 ) ;


U10=prod (U10)




U14=subs (UU, [ u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 , u12 , u13 , u14 , u15 , . . .u16 , u17 , u18 , u19 , u20 , u21 , u22 , u23 , u24 , u25 , u26 , u27 , u28 , u29 , u30 , u31 , . . .u32 , u33 , u34 , u35 ] , [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , . . .0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ) ;U14=f a c t o r (U14 ) ;U14=prod (U14 ) ;U14=(16*L1*L4*(2*L1 − 1)* (4* L1 − 1))/3

U15=subs (UU, [ u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 , u12 , u13 , u14 , u15 , . . .u16 , u17 , u18 , u19 , u20 , u21 , u22 , u23 , u24 , u25 , u26 , u27 , u28 , u29 , u30 , u31 , . . .u32 , u33 , u34 , u35 ] , [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , . . .0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ) ;U15=f a c t o r (U15 ) ;U15=prod (U15 ) ;U15=4*L1*L4*(4*L1 − 1)* (4* L4 − 1)

U16=subs (UU, [ u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 , u12 , u13 , u14 , u15 , . . .u16 , u17 , u18 , u19 , u20 , u21 , u22 , u23 , u24 , u25 , u26 , u27 , u28 , u29 , u30 , u31 , . . .u32 , u33 , u34 , u35 ] , [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , . . .0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ) ;U16=f a c t o r (U16 ) ;U16=prod (U16 ) ;U16=(16*L1*L4*(2*L4−1)*(4*L4−1))/3


U18=subs (UU, [ u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 , u12 , u13 , u14 , u15 , . . .u16 , u17 , u18 , u19 , u20 , u21 , u22 , u23 , u24 , u25 , u26 , u27 , u28 , u29 , u30 , u31 , . . .u32 , u33 , u34 , u35 ] , [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , . . .0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ) ;U18=f a c t o r (U18 ) ;


U18=prod (U18 ) ;U18=4*L2*L4*(4*L2 − 1)* (4* L4 − 1)



U21=subs (UU, [ u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 , u12 , u13 , u14 , u15 , . . .u16 , u17 , u18 , u19 , u20 , u21 , u22 , u23 , u24 , u25 , u26 , u27 , u28 , u29 , u30 , u31 , . . .u32 , u33 , u34 , u35 ] , [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , . . .0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ) ;U21=f a c t o r (U21 ) ;U21=prod (U21 ) ;U21=4*L3*L4*(4*L3 − 1)* (4* L4 − 1)


U23=subs (UU, [ u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 , u12 , u13 , u14 , u15 , . . .u16 , u17 , u18 , u19 , u20 , u21 , u22 , u23 , u24 , u25 , u26 , u27 , u28 , u29 , u30 , u31 , . . .u32 , u33 , u34 , u35 ] , [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , . . .1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ) ;U23=f a c t o r (U23 ) ;U23=prod (U23 ) ;U23=32*L1*L2*L4*(4*L1 − 1)



U26=subs (UU, [ u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 , u12 , u13 , u14 , u15 , . . .


u16 , u17 , u18 , u19 , u20 , u21 , u22 , u23 , u24 , u25 , u26 , u27 , u28 , u29 , u30 , u31 , . . .u32 , u33 , u34 , u35 ] , [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , . . .0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] ) ;U26=f a c t o r (U26 ) ;U26=prod (U26 ) ;U26=32*L2*L3*L4*(4*L2 − 1)










U35=subs (UU, [ u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 , u12 , u13 , u14 , u15 , . . .u16 , u17 , u18 , u19 , u20 , u21 , u22 , u23 , u24 , u25 , u26 , u27 , u28 , u29 , u30 , u31 , . . .u32 , u33 , u34 , u35 ] , [ 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , . . .0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 ] ) ;U35=f a c t o r (U35 ) ;U35=prod (U35 ) ;U35=256*L1*L2*L3*L4

U=[U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12 U13 U14 U15 U16 U17 . . .U18 U19 U20 U21 U22 U23 U24 U25 U26 U27 U28 U29 U30 U31 U32 . . .

U33 U34 U35 ] ;

% TESTE DAS FUNCOES DE FORMAnum=s i z e (U, 2 ) ;f o r i =1:numu=U(1 , i ) ;eq1=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 , 0 , 0 , 0 ] ) ;eq2=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 1 , 0 , 0 ] ) ;eq3=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 0 , 1 , 0 ] ) ;eq4=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 0 , 0 , 1 ] ) ;eq5=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 3 / 4 , 1 / 4 , 0 , 0 ] ) ;eq6=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 2 , 1 / 2 , 0 , 0 ] ) ;eq7=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 4 , 3 / 4 , 0 , 0 ] ) ;eq8=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 3 / 4 , 1 / 4 , 0 ] ) ;eq9=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 1 / 2 , 1 / 2 , 0 ] ) ;eq10=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 1 / 4 , 3 / 4 , 0 ] ) ;eq11=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 4 , 0 , 3 / 4 , 0 ] ) ;eq12=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 2 , 0 , 1 / 2 , 0 ] ) ;eq13=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 3 / 4 , 0 , 1 / 4 , 0 ] ) ;eq14=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 3 / 4 , 0 , 0 , 1 / 4 ] ) ;eq15=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 2 , 0 , 0 , 1 / 2 ] ) ;eq16=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 4 , 0 , 0 , 3 / 4 ] ) ;eq17=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 3 / 4 , 0 , 1 / 4 ] ) ;eq18=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 1 / 2 , 0 , 1 / 2 ] ) ;eq19=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 1 / 4 , 0 , 3 / 4 ] ) ;eq20=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 0 , 3 / 4 , 1 / 4 ] ) ;eq21=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 0 , 1 / 2 , 1 / 2 ] ) ;eq22=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 0 , 1 / 4 , 3 / 4 ] ) ;eq23=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 2 , 1 / 4 , 0 , 1 / 4 ] ) ;eq24=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 4 , 1 / 2 , 0 , 1 / 4 ] ) ;eq25=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 4 , 1 / 4 , 0 , 1 / 2 ] ) ;eq26=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 1 / 2 , 1 / 4 , 1 / 4 ] ) ;eq27=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 1 / 4 , 1 / 2 , 1 / 4 ] ) ;eq28=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 0 , 1 / 4 , 1 / 4 , 1 / 2 ] ) ;eq29=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 4 , 0 , 1 / 2 , 1 / 4 ] ) ;eq30=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 2 , 0 , 1 / 4 , 1 / 4 ] ) ;eq31=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 4 , 0 , 1 / 4 , 1 / 2 ] ) ;eq32=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 2 , 1 / 4 , 1 / 4 , 0 ] ) ;eq33=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 4 , 1 / 2 , 1 / 4 , 0 ] ) ;eq34=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 4 , 1 / 4 , 1 / 2 , 0 ] ) ;eq35=subs (u , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] , [ 1 / 4 , 1 / 4 , 1 / 4 , 1 / 4 ] ) ;


UG( i ,1)= eq1 ;UG( i ,2)= eq2 ;UG( i ,3)= eq3 ;UG( i ,4)= eq4 ;UG( i ,5)= eq5 ;UG( i ,6)= eq6 ;UG( i ,7)= eq7 ;UG( i ,8)= eq8 ;UG( i ,9)= eq9 ;UG( i ,10)= eq10 ;UG( i ,11)= eq11 ;UG( i ,12)= eq12 ;UG( i ,13)= eq13 ;UG( i ,14)= eq14 ;UG( i ,15)= eq15 ;UG( i ,16)= eq16 ;UG( i ,17)= eq17 ;UG( i ,18)= eq18 ;UG( i ,19)= eq19 ;UG( i ,20)= eq20 ;UG( i ,21)= eq21 ;UG( i ,22)= eq22 ;UG( i ,23)= eq23 ;UG( i ,24)= eq24 ;UG( i ,25)= eq25 ;UG( i ,26)= eq26 ;UG( i ,27)= eq27 ;UG( i ,28)= eq28 ;UG( i ,29)= eq29 ;UG( i ,30)= eq30 ;UG( i ,31)= eq31 ;UG( i ,32)= eq32 ;UG( i ,33)= eq33 ;UG( i ,34)= eq34 ;UG( i ,35)= eq35 ;endd i sp ( ’ Teste Funcoes de Forma ( Valor esperado : Matriz Ident idade ) ’ ) ;UG%MONTAGEM DA MATRIZ Bnum=s i z e (U, 2 ) ;f o r i =1:numUU=U(1 , i ) ;Be1=b1* d i f f (UU, L1 ,1)+ b2* d i f f (UU, L2 ,1)+ b3* d i f f (UU, L3 ,1)+ b4* d i f f (UU, L4 , 1 ) ;Be2=c1 * d i f f (UU, L1 ,1)+ c2 * d i f f (UU, L2 ,1)+ c3 * d i f f (UU, L3 ,1)+ c4 * d i f f (UU, L4 , 1 ) ;Be3=d1* d i f f (UU, L1 ,1)+ d2* d i f f (UU, L2 ,1)+ d3* d i f f (UU, L3 ,1)+ d4* d i f f (UU, L4 , 1 ) ;m1=3* i −2;m2=3* i −1;m3=3* i ;

BG(1 ,m1)=Be1 ;BG(2 ,m2)=Be2 ;BG(3 ,m3)=Be3 ;BG(4 ,m1)=Be2 ;BG(4 ,m2)=Be1 ;BG(5 ,m2)=Be3 ;BG(5 ,m3)=Be2 ;BG(6 ,m1)=Be3 ;BG(6 ,m3)=Be1 ;endd i sp(’>>> Matriz B ’ ) ;B=(1/(6*VV))*BGBT=B . ’ ;

d i sp(’>>> Matriz Co n s t i t u t iv a E l a s t i c i d a d e ’ ) ;D=[D1 D2 D2 0 0 0D2 D1 D2 0 0 0D2 D2 D1 0 0 00 0 0 D3 0 00 0 0 0 D3 00 0 0 0 0 D3 ]

% MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ EXPLICITAK=expand ( e*BT*D*B) ;num=s i z e (K, 1 ) ;pp=0;f o r z=pp :num

% vetor com termos i s o l a d o s do produto [B ] ’ [D ] [ B]m1=z +1;pp=pp+1;f o r j=pp :numm2=j ;f=c h i l d r e n (K(m1,m2)+1);

% numero de p o s i c o e s do vetor fnn=s i z e ( f , 2 ) ;f ( : , nn ) = [ ] ;nn=s i z e ( f , 2 ) ;%% PARTE 1 − COEFICIENTES E TERMOS DO PRODUTO% loop que recupera os c o e f i c i e n t e s ( cons tante s ) do vetor fc l e a r g h pf o r i =1:nng ( i )= c o e f f s ( f ( i ) , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] ) ;end% loop que recupera os termos L1 L2 L3 do vetor f


f o r i =1:nnh( i )= f ( i )/ g ( i ) ;end%% PARTE 2 − INTEGRAL PRATICA DOS TERMOS L1 L2 L3% i n t e g r a l p r a t i c af o r i =1:nn

% potenc ia de L1f1=subs (h( i ) , [ L1 L2 L3 L4 ] , [ 2 1 1 1 ] ) ;r e s =[1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 1 6 3 8 4 ] ;k=f i n d ( r e s==f1 ) −1;

% potenc ia de L2f1=subs (h( i ) , [ L1 L2 L3 L4 ] , [ 1 2 1 1 ] ) ;r e s =[1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 1 6 3 8 4 ] ;l=f i n d ( r e s==f1 ) −1;

% potenc ia de L3f1=subs (h( i ) , [ L1 L2 L3 L4 ] , [ 1 1 2 1 ] ) ;r e s =[1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 1 6 3 8 4 ] ;m=f i n d ( r e s==f1 ) −1;

% potenc ia de L4f1=subs (h( i ) , [ L1 L2 L3 L4 ] , [ 1 1 1 2 ] ) ;r e s =[1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 1 6 3 8 4 ] ;n=f i n d ( r e s==f1 ) −1;

h( i )=6*VV*( f a c t o r i a l ( k )* f a c t o r i a l ( l )* f a c t o r i a l (m) * . . .f a c t o r i a l (n ) )/ f a c t o r i a l (3+k+l+m+n ) ;end%% PARTE 3 − CONSTANTES APLICADAS AO RESULTADO DA INTEGRAL% recuperacao da cons tante sf o r i =1:nnp( i )=h( i )* g ( i ) ;end%recupera o r e s u l t a d o apos a i n t e g r a c a o ( soma termos i n d i v i d u a i s )s o l=sum(p ) ;s o l=s i m p l i f y ( s o l ) ;s o l=c o l l e c t ( so l , [ D1 D2 D3 ] ) ;Kee (m1,m2)= s o l ;Kee (m2,m1)= s o l ;endenddi sp(’>>> Matriz Rigidez ’ ) ;Kee=simple ( Kee )d i sp(’>>> Tempo de processamento ’ ) ;toc

B.2.2 Código - Matriz de massa consistente (TE35)

c l e a r a l lsyms L1 L2 L3 L4 b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4 d1 d2 d3 d4 E v VVsyms D1 D2 D3 ds et i c

%FUNCOES DE FORMAU1=(L1*(2*L1 − 1)* (4* L1 − 1)* (4* L1 − 3 ) ) / 3 ;U2=(L2*(2*L2 − 1)* (4* L2 − 1)* (4* L2 − 3 ) ) / 3 ;U3=(L3*(2*L3 − 1)* (4* L3 − 1)* (4* L3 − 3 ) ) / 3 ;U4=(L4*(2*L4 − 1)* (4* L4 − 1)* (4* L4 − 3 ) ) / 3 ;U5=(16*L1*L2*(2*L1 − 1)* (4* L1 − 1 ) ) / 3 ;


U6=4*L1*L2*(4*L1 − 1)* (4* L2 − 1 ) ;U7=(16*L1*L2*(2*L2 − 1)* (4* L2 − 1 ) ) / 3 ;U8=(16*L2*L3*(2*L2 − 1)* (4* L2 − 1 ) ) / 3 ;U9=4*L2*L3*(4*L2 − 1)* (4* L3 − 1 ) ;U10=(16*L2*L3*(2*L3 − 1)* (4* L3 − 1 ) ) / 3 ;U11=(16*L1*L3*(2*L3 − 1)* (4* L3 − 1 ) ) / 3 ;U12=4*L1*L3*(4*L1 − 1)* (4* L3 − 1 ) ;U13=(16*L1*L3*(2*L1 − 1)* (4* L1 − 1 ) ) / 3 ;U14=(16*L1*L4*(2*L1 − 1)* (4* L1 − 1 ) ) / 3 ;U15=4*L1*L4*(4*L1 − 1)* (4* L4 − 1 ) ;U16=(16*L1*L4*(2*L4 − 1)* (4* L4 − 1 ) ) / 3 ;U17=(16*L2*L4*(2*L2 − 1)* (4* L2 − 1 ) ) / 3 ;U18=4*L2*L4*(4*L2 − 1)* (4* L4 − 1 ) ;U19=(16*L2*L4*(2*L4 − 1)* (4* L4 − 1 ) ) / 3 ;U20=(16*L3*L4*(2*L3 − 1)* (4* L3 − 1 ) ) / 3 ;U21=4*L3*L4*(4*L3 − 1)* (4* L4 − 1 ) ;U22=(16*L3*L4*(2*L4 − 1)* (4* L4 − 1 ) ) / 3 ;U23=32*L1*L2*L4*(4*L1 − 1 ) ;U24=32*L1*L2*L4*(4*L2 − 1 ) ;U25=32*L1*L2*L4*(4*L4 − 1 ) ;U26=32*L2*L3*L4*(4*L2 − 1 ) ;U27=32*L2*L3*L4*(4*L3 − 1 ) ;U28=32*L2*L3*L4*(4*L4 − 1 ) ;U29=32*L1*L3*L4*(4*L3 − 1 ) ;U30=32*L1*L3*L4*(4*L1 − 1 ) ;U31=32*L1*L3*L4*(4*L4 − 1 ) ;U32=32*L1*L2*L3*(4*L1 − 1 ) ;U33=32*L1*L2*L3*(4*L2 − 1 ) ;U34=32*L1*L2*L3*(4*L3 − 1 ) ;U35=256*L1*L2*L3*L4 ;U=[U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12 U13 U14 U15 U16 U17 . . .

U18 U19 U20 U21 U22 U23 U24 U25 U26 U27 U28 U29 U30 U31 U32 . . .U33 U34 U35 ] ;

% MATRIZ Hnum=s i z e (U, 2 ) ;f o r i =1:numUU=U(1 , i ) ;m1=3* i −2;m2=3* i −1;m3=3* i ;

BG(1 ,m1)=UU;BG(2 ,m2)=UU;BG(3 ,m3)=UU;endB=BG;BT=B . ’ ;

% MONTAGEM DA MATRIZ DE MASSA EXPLICITAK=expand (BT*B* ds *e ) ;num=s i z e (K, 1 ) ;pp=0;f o r z=pp :num

% vetor com termos i s o l a d o s do produto [B ] ’ [D ] [ B]m1=z +1;pp=pp+1;f o r j=pp :numm2=j ;j j j j =s i m p l i f y (K(m1,m2 ) ) ;


f=c h i l d r e n (K(m1,m2)+1);% numero de p o s i c o e s do vetor fnn=s i z e ( f , 2 ) ;f ( : , nn ) = [ ] ;nn=s i z e ( f , 2 ) ;i f j j j j ==0Kee (m1,m2)=0;e l s e

%% PARTE 1 − COEFICIENTES E TERMOS DO PRODUTO% loop que recupera os c o e f i c i e n t e s ( cons tante s ) do vetor fc l e a r g h pf o r i =1:nng ( i )= c o e f f s ( f ( i ) , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] ) ;end% loop que recupera os termos L1 L2 L3 do vetor ff o r i =1:nnh( i )= f ( i )/ g ( i ) ;end%% PARTE 2 − INTEGRAL PRATICA DOS TERMOS L1 L2 L3% i n t e g r a l p r a t i c af o r i =1:nn





h( i )=6*VV*( f a c t o r i a l ( k )* f a c t o r i a l ( l )* f a c t o r i a l (m) * . . .f a c t o r i a l (n ) )/ f a c t o r i a l (3+k+l+m+n ) ;end%% PARTE 3 − CONSTANTES APLICADAS AO RESULTADO DA INTEGRAL% recuperacao da cons tante sf o r i =1:nnp( i )=h( i )* g ( i ) ;end%recupera o r e s u l t a d o apos a i n t e g r a c a o ( soma termos i n d i v i d u a i s )s o l=sum(p ) ;s o l=s i m p l i f y ( s o l ) ;Kee (m1,m2)= s o l ;Kee (m2,m1)= s o l ;endendenddi sp(’>>> Matriz Massa ’ ) ;Keed i sp(’>>> Tempo de processamento ’ ) ;


toc

B.2.3 Código - Força de corpo (TE35)

c l cc l e a r a l lsyms L1 L2 L3 L4 a1 a2 a3 b1 b2 b3 A E v e gg VV dsx dsy dsz gg

t i cU1=(L1*(2*L1 − 1)* (4* L1 − 1)* (4* L1 − 3 ) ) / 3 ;U2=(L2*(2*L2 − 1)* (4* L2 − 1)* (4* L2 − 3 ) ) / 3 ;U3=(L3*(2*L3 − 1)* (4* L3 − 1)* (4* L3 − 3 ) ) / 3 ;U4=(L4*(2*L4 − 1)* (4* L4 − 1)* (4* L4 − 3 ) ) / 3 ;U5=(16*L1*L2*(2*L1 − 1)* (4* L1 − 1 ) ) / 3 ;U6=4*L1*L2*(4*L1 − 1)* (4* L2 − 1 ) ;U7=(16*L1*L2*(2*L2 − 1)* (4* L2 − 1 ) ) / 3 ;U8=(16*L2*L3*(2*L2 − 1)* (4* L2 − 1 ) ) / 3 ;U9=4*L2*L3*(4*L2 − 1)* (4* L3 − 1 ) ;U10=(16*L2*L3*(2*L3 − 1)* (4* L3 − 1 ) ) / 3 ;U11=(16*L1*L3*(2*L3 − 1)* (4* L3 − 1 ) ) / 3 ;U12=4*L1*L3*(4*L1 − 1)* (4* L3 − 1 ) ;U13=(16*L1*L3*(2*L1 − 1)* (4* L1 − 1 ) ) / 3 ;U14=(16*L1*L4*(2*L1 − 1)* (4* L1 − 1 ) ) / 3 ;U15=4*L1*L4*(4*L1 − 1)* (4* L4 − 1 ) ;U16=(16*L1*L4*(2*L4 − 1)* (4* L4 − 1 ) ) / 3 ;U17=(16*L2*L4*(2*L2 − 1)* (4* L2 − 1 ) ) / 3 ;U18=4*L2*L4*(4*L2 − 1)* (4* L4 − 1 ) ;U19=(16*L2*L4*(2*L4 − 1)* (4* L4 − 1 ) ) / 3 ;U20=(16*L3*L4*(2*L3 − 1)* (4* L3 − 1 ) ) / 3 ;U21=4*L3*L4*(4*L3 − 1)* (4* L4 − 1 ) ;U22=(16*L3*L4*(2*L4 − 1)* (4* L4 − 1 ) ) / 3 ;U23=32*L1*L2*L4*(4*L1 − 1 ) ;U24=32*L1*L2*L4*(4*L2 − 1 ) ;U25=32*L1*L2*L4*(4*L4 − 1 ) ;U26=32*L2*L3*L4*(4*L2 − 1 ) ;U27=32*L2*L3*L4*(4*L3 − 1 ) ;U28=32*L2*L3*L4*(4*L4 − 1 ) ;U29=32*L1*L3*L4*(4*L3 − 1 ) ;U30=32*L1*L3*L4*(4*L1 − 1 ) ;U31=32*L1*L3*L4*(4*L4 − 1 ) ;U32=32*L1*L2*L3*(4*L1 − 1 ) ;U33=32*L1*L2*L3*(4*L2 − 1 ) ;U34=32*L1*L2*L3*(4*L3 − 1 ) ;U35=256*L1*L2*L3*L4 ;

% MATRIZ HB=[U1 0 0 U2 0 0 U3 0 0 U4 0 0 U5 0 0 U6 0 0 U7 0 0 . . .U8 0 0 U9 0 0 U10 0 0 U11 0 0 U12 0 0 U13 0 0 U14 0 0 . . .U15 0 0 U16 0 0 U17 0 0 U18 0 0 U19 0 0 U20 0 0 U21 0 0 . . .U22 0 0 U23 0 0 U24 0 0 U25 0 0 U26 0 0 U27 0 0 U28 0 0 . . .U29 0 0 U30 0 0 U31 0 0 U32 0 0 U33 0 0 U34 0 0 U35 0 00 U1 0 0 U2 0 0 U3 0 0 U4 0 0 U5 0 0 U6 0 0 U7 0 . . .0 U8 0 0 U9 0 0 U10 0 0 U11 0 0 U12 0 0 U13 0 0 U14 0 . . .0 U15 0 0 U16 0 0 U17 0 0 U18 0 0 U19 0 0 U20 0 0 U21 0 . . .0 U22 0 0 U23 0 0 U24 0 0 U25 0 0 U26 0 0 U27 0 0 U28 0 . . .0 U29 0 0 U30 0 0 U31 0 0 U32 0 0 U33 0 0 U34 0 0 U35 00 0 U1 0 0 U2 0 0 U3 0 0 U4 0 0 U5 0 0 U6 0 0 U7 . . .0 0 U8 0 0 U9 0 0 U10 0 0 U11 0 0 U12 0 0 U13 0 0 U14 . . .0 0 U15 0 0 U16 0 0 U17 0 0 U18 0 0 U19 0 0 U20 0 0 U21 . . .


0 0 U22 0 0 U23 0 0 U24 0 0 U25 0 0 U26 0 0 U27 0 0 U28 . . .0 0 U29 0 0 U30 0 0 U31 0 0 U32 0 0 U33 0 0 U34 0 0 U35 ] ;

BT=B . ’ ;Ds = [ 1 ; 1 ; 1 ] ;K=expand (BT*Ds ) ;num=s i z e (K, 1 ) ;f o r i =1:num/3m1=3* i −2;m2=3* i −1;m3=3* i ;Dsf (m1,m1)=dsx ;Dsf (m2,m2)=dsy ;Dsf (m3,m3)=dsz ;endf o r z =1:numm1=z ;j j j j =K(m1, 1 ) ;i f j j j j ==0Kee (m1,1)= gg ;e l s ef=c h i l d r e n (K(m1, 1 ) + 1 ) ;nn=s i z e ( f , 2 ) ;f ( : , nn ) = [ ] ;

% numero de p o s i c o e s do vetor fnn=s i z e ( f , 2 ) ;%% PARTE 1 − COEFICIENTES E TERMOS DO PRODUTO% loop que recupera os c o e f i c i e n t e s ( cons tante s ) do vetor fc l e a r g h pf o r i =1:nng ( i )= c o e f f s ( f ( i ) , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] ) ;end% loop que recupera os termos L1 L2 L3 do vetor ff o r i =1:nnh( i )= f ( i )/ g ( i ) ;end%% PARTE 2 − INTEGRAL PRATICA DOS TERMOS L1 L2 L3% i n t e g r a l p r a t i c af o r i =1:nn





h( i )=6*VV*( f a c t o r i a l ( k )* f a c t o r i a l ( l )* f a c t o r i a l (m) * . . .


f a c t o r i a l (n ) )/ f a c t o r i a l (3+k+l+m+n ) ;end%% PARTE 3 − CONSTANTES APLICADAS AO RESULTADO DA INTEGRAL% recuperacao da cons tante sf o r i =1:nnp( i )=h( i )* g ( i ) ;end%recupera o r e s u l t a d o apos a i n t e g r a c a o ( soma termos i n d i v i d u a i s )s o l=sum(p ) ;s o l=s i m p l i f y ( s o l ) ;Kee (m1,1)= s o l ;endenddi sp(’>>> Vetor de Forca de Corpo ’ ) ;gg=0;Kee=eva l ( Dsf *Kee )d i sp(’>>> Tempo de processamento ’ ) ;toc

B.2.4 Código - Força de superfície (TE35)

c l cc l e a r a l lsyms L1 L2 L3 L4 a1 a2 a3 b1 b2 b3 A E v e beta ggsyms qx1 qy1 qz1 qx2 qy2 qz2 qx3 qy3 qz3 qx4 qy4 qz4 qx5 qy5 qz5syms qx6 qy6 qz6 qx7 qy7 qz7 qx8 qy8 qz8 qx9 qy9 qz9 qx10 qy10 qz10syms qx11 qy11 qz11 qx12 qy12 qz12 qx13 qy13 qz13 qx14 qy14 qz14syms qx15 qy15 qz15 qx16 qy16 qz16 qx17 qy17 qz17 qx18 qy18 qz18syms qx19 qy19 qz19 qx20 qy20 qz20 qx21 qy21 qz21 qx22 qy22 qz22syms qx23 qy23 qz23 qx24 qy24 qz24 qx25 qy25 qz25 qx26 qy26 qz26syms qx27 qy27 qz27 qx28 qy28 qz28 qx29 qy29 qz29 qx30 qy30 qz30syms qx31 qy31 qz31 qx32 qy32 qz32 qx33 qy33 qz33 qx34 qy34 qz34syms qx35 qy35 qz35

t i cd i sp(’>>> Escolha a f a c e do t e t r a e d r o a s e r ca lcu lada ’ ) ;d i sp ( ’ ’ ) ;f a c e=input ( ’ D i g i t e " 1 " p/ face123 , " 2 " p/ face124 , " 3 " p/ face234 , " 4 " p/ face134 : ’ ) ;

i f f a c e==1 %f a c e S123L4=0;endi f f a c e==2 %f a c e S124L3=0;endi f f a c e==3 %f a c e S234L1=0;endi f f a c e==4 %f a c e S134L2=0;end

U1=(L1*(2*L1 − 1)* (4* L1 − 1)* (4* L1 − 3 ) ) / 3 ;U2=(L2*(2*L2 − 1)* (4* L2 − 1)* (4* L2 − 3 ) ) / 3 ;U3=(L3*(2*L3 − 1)* (4* L3 − 1)* (4* L3 − 3 ) ) / 3 ;U4=(L4*(2*L4 − 1)* (4* L4 − 1)* (4* L4 − 3 ) ) / 3 ;U5=(16*L1*L2*(2*L1 − 1)* (4* L1 − 1 ) ) / 3 ;U6=4*L1*L2*(4*L1 − 1)* (4* L2 − 1 ) ;U7=(16*L1*L2*(2*L2 − 1)* (4* L2 − 1 ) ) / 3 ;


U8=(16*L2*L3*(2*L2 − 1)* (4* L2 − 1 ) ) / 3 ;U9=4*L2*L3*(4*L2 − 1)* (4* L3 − 1 ) ;U10=(16*L2*L3*(2*L3 − 1)* (4* L3 − 1 ) ) / 3 ;U11=(16*L1*L3*(2*L3 − 1)* (4* L3 − 1 ) ) / 3 ;U12=4*L1*L3*(4*L1 − 1)* (4* L3 − 1 ) ;U13=(16*L1*L3*(2*L1 − 1)* (4* L1 − 1 ) ) / 3 ;U14=(16*L1*L4*(2*L1 − 1)* (4* L1 − 1 ) ) / 3 ;U15=4*L1*L4*(4*L1 − 1)* (4* L4 − 1 ) ;U16=(16*L1*L4*(2*L4 − 1)* (4* L4 − 1 ) ) / 3 ;U17=(16*L2*L4*(2*L2 − 1)* (4* L2 − 1 ) ) / 3 ;U18=4*L2*L4*(4*L2 − 1)* (4* L4 − 1 ) ;U19=(16*L2*L4*(2*L4 − 1)* (4* L4 − 1 ) ) / 3 ;U20=(16*L3*L4*(2*L3 − 1)* (4* L3 − 1 ) ) / 3 ;U21=4*L3*L4*(4*L3 − 1)* (4* L4 − 1 ) ;U22=(16*L3*L4*(2*L4 − 1)* (4* L4 − 1 ) ) / 3 ;U23=32*L1*L2*L4*(4*L1 − 1 ) ;U24=32*L1*L2*L4*(4*L2 − 1 ) ;U25=32*L1*L2*L4*(4*L4 − 1 ) ;U26=32*L2*L3*L4*(4*L2 − 1 ) ;U27=32*L2*L3*L4*(4*L3 − 1 ) ;U28=32*L2*L3*L4*(4*L4 − 1 ) ;U29=32*L1*L3*L4*(4*L3 − 1 ) ;U30=32*L1*L3*L4*(4*L1 − 1 ) ;U31=32*L1*L3*L4*(4*L4 − 1 ) ;U32=32*L1*L2*L3*(4*L1 − 1 ) ;U33=32*L1*L2*L3*(4*L2 − 1 ) ;U34=32*L1*L2*L3*(4*L3 − 1 ) ;U35=256*L1*L2*L3*L4 ;

% MATRIZ Hsyms L1 L2 L3 L4B=[U1 0 0 U2 0 0 U3 0 0 U4 0 0 U5 0 0 U6 0 0 U7 0 0 . . .U8 0 0 U9 0 0 U10 0 0 U11 0 0 U12 0 0 U13 0 0 U14 0 0 . . .U15 0 0 U16 0 0 U17 0 0 U18 0 0 U19 0 0 U20 0 0 U21 0 0 . . .U22 0 0 U23 0 0 U24 0 0 U25 0 0 U26 0 0 U27 0 0 . . .U28 0 0 U29 0 0 U30 0 0 U31 0 0 U32 0 0 U33 0 0 . . .U34 0 0 U35 0 00 U1 0 0 U2 0 0 U3 0 0 U4 0 0 U5 0 0 U6 0 0 U7 0 . . .0 U8 0 0 U9 0 0 U10 0 0 U11 0 0 U12 0 0 U13 0 0 U14 0 . . .0 U15 0 0 U16 0 0 U17 0 0 U18 0 0 U19 0 0 U20 0 0 U21 0 . . .0 U22 0 0 U23 0 0 U24 0 0 U25 0 0 U26 0 0 U27 0 . . .0 U28 0 0 U29 0 0 U30 0 0 U31 0 0 U32 0 0 U33 0 . . .0 U34 0 0 U35 00 0 U1 0 0 U2 0 0 U3 0 0 U4 0 0 U5 0 0 U6 0 0 U7 . . .0 0 U8 0 0 U9 0 0 U10 0 0 U11 0 0 U12 0 0 U13 0 0 U14 . . .0 0 U15 0 0 U16 0 0 U17 0 0 U18 0 0 U19 0 0 U20 0 0 U21 . . .0 0 U22 0 0 U23 0 0 U24 0 0 U25 0 0 U26 0 0 U27 . . .0 0 U28 0 0 U29 0 0 U30 0 0 U31 0 0 U32 0 0 U33 . . .0 0 U34 0 0 U35 ] ;

BT=B . ’ ;q=[qx1 ; qy1 ; qz1 ; qx2 ; qy2 ; qz2 ; qx3 ; qy3 ; qz3 ; qx4 ; qy4 ; qz4 ; qx5 ; qy5 ; qz5 ;qx6 ; qy6 ; qz6 ; qx7 ; qy7 ; qz7 ; qx8 ; qy8 ; qz8 ; qx9 ; qy9 ; qz9 ; qx10 ; qy10 ; qz10 ;qx11 ; qy11 ; qz11 ; qx12 ; qy12 ; qz12 ; qx13 ; qy13 ; qz13 ; qx14 ; qy14 ; qz14 ; qx15 ;qy15 ; qz15 ; qx16 ; qy16 ; qz16 ; qx17 ; qy17 ; qz17 ; qx18 ; qy18 ; qz18 ; qx19 ; qy19 ;qz19 ; qx20 ; qy20 ; qz20 ; qx21 ; qy21 ; qz21 ; qx22 ; qy22 ; qz22 ; qx23 ; qy23 ; qz23 ;qx24 ; qy24 ; qz24 ; qx25 ; qy25 ; qz25 ; qx26 ; qy26 ; qz26 ; qx27 ; qy27 ; qz27 ; qx28 ;qy28 ; qz28 ; qx29 ; qy29 ; qz29 ; qx30 ; qy30 ; qz30 ; qx31 ; qy31 ; qz31 ; qx32 ; qy32 ;qz32 ; qx33 ; qy33 ; qz33 ; qx34 ; qy34 ; qz34 ; qx35 ; qy35 ; qz35 ] ;K=expand (BT*B*q ) ;


num=s i z e (K, 1 ) ;f o r z =1:numm1=z ;j j j j =K(m1, 1 ) ;i f j j j j ==0Kee (m1,1)= gg ;e l s ef=c h i l d r e n (K(m1, 1 ) + 1 ) ;nn=s i z e ( f , 2 ) ;f ( : , nn ) = [ ] ;

% numero de p o s i c o e s do vetor fnn=s i z e ( f , 2 ) ;%% PARTE 1 − COEFICIENTES E TERMOS DO PRODUTO% loop que recupera os c o e f i c i e n t e s ( cons tante s ) do vetor fc l e a r g h pf o r i =1:nng ( i )= c o e f f s ( f ( i ) , [ L1 , L2 , L3 , L4 ] ) ;end% loop que recupera os termos L1 L2 L3 do vetor ff o r i =1:nnh( i )= f ( i )/ g ( i ) ;end%% PARTE 2 − INTEGRAL PRATICA DOS TERMOS L1 L2 L3% i n t e g r a l p r a t i c af o r i =1:nn





h1 ( i )=2*A*( f a c t o r i a l ( k )* f a c t o r i a l ( l )* f a c t o r i a l (m) * . . .f a c t o r i a l (n ) )/ f a c t o r i a l (2+k+l+m+n ) ;end%% PARTE 3 − CONSTANTES APLICADAS AO RESULTADO DA INTEGRAL% recuperacao da cons tante sf o r i =1:nnp( i )=h1 ( i )* g ( i ) ;end% recupera o r e s u l t a d o apos a i n t e g r a c a o ( soma termos i n d i v i d u a i s )s o l=sum(p ) ;s o l=s i m p l i f y ( s o l ) ;Kee (m1,1)= s o l ;endendgg=0;


di sp(’>>> Vetor de Forca de S u p e r f i c i e ’ ) ;Kee=eva l ( Kee )d i sp(’>>> Tempo de processamento ’ ) ;toc

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