UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Modelagem da Histerese Magnética Jean Vianei Leite Curitiba, abril de 2010

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANAPrograma de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

Modelagem da Histerese Magnética

Modelagem da Histerese Magnética

Jean Vianei Leite

Curitiba , abril de 2010.

Jean Vianei Leite

Curitiba , abril de 2010.

Obtido a partir de considerações físicas;

Baseado em equações diferenciais;

Baixo esforço computacional e fácil implementação;

Conjunto de parâmetros relativamente baixo;

Pode ser diretamente empregado no MEF com formulação em potencial vetor magnético.

Não representa laços menores adequadamente

Modelo de Jiles-Atherton

Modelo de Preisach

• Modelo matemático de implementação complexa. • Maior esforço computacional se comparado ao modelo de Jiles-

Atherton.

• A caracterização dos materiais depende da variável imposta e é mais complexa.

• O uso da função de Everett possibilita o cálculo da magnetização total sem a necessidade de integração e derivação numérica simplificando a utilização do modelo.

• Dependendo da variável independente o método de interpolação da função de Everett também é outro para evitar instabilidade numérica.

• O modelo de Preisach representa adequadamente os laços menores.

Modelos do Tipo Play e Stop

• Modelos de histerese não baseados em equações diferenciais;

• Laços de histerese são construídos a partir da superposição de laços elementares (Histerons);

• Cada laço elementar tem a sua contribuição ponderada por uma função característica;

• A integral das contribuições de cada histeron modela o comportamento macroscópico do material.

Modelos do Tipo Play e Stop

• Modelos de histerese do tipo Play e Stop baseiam-se no mesmo princípio do modelo de Preisach (histerons) mas são mais simples em termos de:– Formalismo matemático;– Caracterização de materiais;– Implementação numérica.

• Estas características se estendem, conseqüentemente, a sua generalização vetorial.

Modelo Escalar do Tipo Play


• Modelos Play são empregados quando o campo magnético H é conhecido antes da indução;

• Esses modelos foram originalmente concebidos para a modelagem de sistemas termodinâmicos;

• Conceitos de energia livre e múltiplos estados metaestáveis são utilizados na concepção dos histerons elementares em termodinâmica e podem ser encontrados na literatura;

• Enfocaremos os modelos do ponto de vista operacional, a partir do estabelecimento do conceito de histeron e como as suas interações serão computadas para formar o laço de histerese magnética macroscópico.


• No modelo Play o comportamento do material será regido por um conjunto de partículas independentes, os histerons, os quais não são necessariamente associadas aos domínios magnéticos.

• Cada partícula possui uma magnetização mj e a energia associada a cada partícula depende somente de mj.


• A energia total de polarização M é expressa então como a soma ponderada das contribuições de cada partícula;

• De uma forma geral, para uma distribuição contínua de partículas,

• Para uma implementação numérica a integral é aproximada pela soma

• onde os coeficientes obedecem a condição de normalização

j jj

M mj 1j

j

M m k d k


• No caso unidimensional, o modelo apresentado pode ser comparado ao modelo escalar de Preisach, com a função de distribuição relacionada aos campos coercitivos locais.

• No modelo de Jiles-Atherton a magnetização não segue uma curva anisterética porque os domínios magnéticos são impedidos de deslocar-se devido os pinning sites.

• No modelo Play, variações na magnetização sofrem resistência, o que produz uma perda de energia proporcional a uma constante adimensional.

• As partículas diferem umas das outras por terem diferentes constantes de proporcionalidade, chamadas de kj.


• As características de histerese de uma partícula individual, no caso unidimensional, pode ser ilustrado como mostrado a seguir

Construção de uma partícula mj; no centro o elemento intermediário Hj; a direita a curva anisterética.


• Para o formalismo matemático do comportamento desta partícula é introduzida uma variável intermediária Hj para toda partícula j tal que H é relacionado a Hj através da equação

0

j j

j

j j

dH se H dH - H kdH

se H dH - H k

o histórico magnético do material é armazenado em Hj. A magnetização é então estabelecida como:

j an jm M H

onde Man é uma função anisterética a qual representaria a magnetização do material caso não houvesse histerese.


Caracterização dos Materiais:

Os parâmetros do modelo podem ser divididos entre aqueles necessários para modelar a curva anisterética e os necessários para representar os campos coercitivos kj e a sua função de distribuição j.

• Em relação à curva anisterética Man a expressão analítica pode ser usada

onde Ms e h0 são os parâmetros a serem ajustados do material

02an sM H M arctan H h


Caracterização dos Materiais:

A soma ponderada

representa a perda por histerese num ciclo completo do material.

A função de distribuição e os valores de kj podem ser ajustados de diferentes maneiras desde que a relação acima seja respeitada.

j jk

k k


Exemplo de emprego da metodologia

• construção de um laço de histerese para um material

hipotético modelado com cinco histerons

• para todas as partículas

• As constantes de proporcionalidade são:

0 2,

8 6 28 8 56 97 9 208 8k , , , ,


• Para uma forma de onde de campo senoidal

• construção da variável intermediária Hj

0

j j

j

j j

dH se H dH - H kdH

se H dH - H k


• Hj em função do tempo

•Aplicando a função anisterética obtém-se as mj

02an j S j jM H M arctan H h m


• Magnetização de cada partícula, em função do campo magnético (histerons)

Complementando o modelo, as magnetizações mj são ponderadas com 0 2.

e somadas para formar a magnetização total M. Neste modelo M possui o mesmo significado da indução magnética B.


• A magnetização ou B resultante é

• Laço de histerese resultante


• Laços menores

-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

H [A/m]

B [T]

Laço de histerese obtido do modelo Play. -250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

H [A/m]

B [T]

Laço de histerese obtido com Jiles-Atherton.

Modelo Escalar do Tipo PlayConsiderações sobre o modelo Play:

• Apresenta uma formulação simples com um formalismo matemático estabelecido em três equações.

• Se o número de partículas usado na modelagem do material for pequeno a velocidade computacional é alta. Na aproximação do caso contínuo o desempenho cai.

• Simulações mostram que no caso de laços estreitos a distribuição das partículas influencia significativamente a forma do laço, ou seja, para um mesmo valor de <k> a forma como os diferentes kj estarão distribuídos irá alterar o campo coercitivo e as magnetizações remanente e máxima.

• Para laços de histerese com campo coercitivo alto (> que 100 A/m ) o número de partículas e a sua distribuição têm pouca influência na forma do laço de histerese.

• O modelo Play consegue uma boa representação dos laços menores.

Modelo Escalar do Tipo Stop


• Modelo dual ao modelo Play;

• A variável independente é a indução B;

• Bom para aplicações como o MEF, com formulação em potencial vetor onde a indução é conhecida à priori.

• O campo magnético H pode ser obtido, similarmente ao modelo Play, como a superposição das contribuições de um número de pseudopartículas, chamados stop histerons, onde cada pseudopartícula possui o mecanismo de histerese.


• O operador histeron do tipo Stop


• Diversas formulações podem ser empregadas na construção dos operadores Stop.

• Uma possível metodologia para formalizar o operador é

é uma variável intermediaria

k é o fator de distribuição (constante positiva).

1

1

1

1

k k k

Sk k sek k kk

W se W <

WW

W

00Wk kB t B t S


• O fator de distribuição pode ser assumido de variadas maneiras. Uma distribuição linear:

01N kk

1 2k , ... N

0 e é um parâmetro do material

onde N é o número de histerons,

A distribuição pode ser assumida através de equações de distribuição estatísticas clássicas como Gauss ou Lorentz.


• Exemplo de cálculo

Curva de histerese medida para uma forma de onda PWM a dois níveis.


Curva calculada com o modelo de Jiles-Atherton

Curva calculada com o modelo Stop


Experimental

Jiles-Atherton Stop


• Similarmente ao modelo Play, o modelo Stop possui formalismo matemático simples, baseado em poucas equações.

• O desempenho computacional é alto com o uso de poucas partículas diminuindo com a aproximação do caso contínuo.

• Simulações demonstraram que o modelo Stop é fortemente influenciado pela função de distribuição dos histerons.

• Assim como o seu dual Play, o modelo Stop consegue uma boa representação dos laços menores que venham ocorrer junto ao laço principal de histerese, apresentando laços menores fechados em concordância com os observados em laços medidos.

• Os modelos baseados em histerons do tipo Play e Stop são uma alternativa ao modelo de Preisach.

Atividade

• Implementar modelo escalar Play

• Caracterizar material do arquivo Laço_BH.txt do site http://sites.google.com/site/histeresemodel/ para uso do modelo escalar Play

• Calcular laços BH com níveis de campo variando de 10 a 130 A/m.

• Calcular um laço contendo laços menores.

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