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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
FERNANDA BARRETO DE ALMEIDA ROCHA MARIZ
MODELOS DINÂMICOS DE ANÁLISE ENVOLTÓRIA DE DADOS: REVISÃO DA
LITERATURA E COMPARAÇÃO DAS MODELAGENS
NATAL-RN
2015
FERNANDA BARRETO DE ALMEIDA ROCHA MARIZ
MODELOS DINÂMICOS DE ANÁLISE ENVOLTÓRIA DE DADOS: REVISÃO DA
LITERATURA E COMPARAÇÃO DAS MODELAGENS
Dissertação de mestrado apresentada à Pós-
Graduação em Engenharia de Produção da
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
para a obtenção do título de Mestre em
Engenharia de Produção.
Área de Concentração: Engenharia de Produção
Subárea: Pesquisa Operacional e Logística
Orientador: Prof. Dr. Daniel Aloise
NATAL-RN
2015
Reitora da Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Profª. Drª. Ângela Maria Paiva Cruz
Diretor do Centro de Tecnologia
Prof. Dr. José Daniel Diniz Melo
Coordenador do Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção
Prof. Dr. Mário Orestes Aguirre González
Orientação
Prof. Dr. Daniel Aloise
UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede.
Catalogação da Publicação na Fonte
Mariz, Fernanda Barreto de Almeida Rocha.
Modelos dinâmicos de análise envoltória de dados: revisão da literatura
e comparação das modelagens / Fernanda Barreto de Almeida Rocha Mariz
. – Natal, 2015.
97 f. : il.
Orientador: Prof. Dr. Daniel Aloise.
Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia da
Produção.
1. Análise envoltória de dados – Dissertação. 2. Modelos estruturantes –
Dissertação. 3. Dynamic DEA – Dissertação. 4. Survey – Disseração. I.
Aloise, Daniel. II. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. III.
Título.
RN/UF/BCZM CDU 658.3
FOLHA DE APROVAÇÃO
Candidata: Engenheira FERNANDA BARRETO DE ALMEIDA ROCHA MARIZ.
Dissertação defendida e julgada em 20/02/2015 perante a Comissão Julgadora:
_______________________________________________________
Prof. Dr. DANIEL ALOISE Orientador
(Centro de Tecnologia/UFRN)
_______________________________________________________
Profₐ. Drₐ. MARIANA RODRIGUES DE ALMEIDA Membro Interno
(Centro de Tecnologia/UFRN)
_______________________________________________________
Prof. Dr. ENZO BARBERIO MARIANO Membro
Externo
(Faculdade de Engenharia de Bauru/UNESP)
_____________________________________________________
Prof. Dr. Prof. Dr. Mário Orestes Aguirre González
Coordenador do Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção
AGRADECIMENTOS
Ao meu Deus, acima de todas as coisas, que me permite viver e ultrapassar minhas
limitações dias após dia. DEle recebi forças para mais uma caminhada acadêmica e com Ele dei
cada pequeno passo em rumo aos grandes sonhos. Reconheço que tudo que tem tenho, sou e o
que vier a ser é por meio do amor dEle.
Ao meu orientador Prof. Daniel Aloise minha sincera admiração pelo excelente docente
que me auxiliou e incentivou desde a graduação. Sua orientação foi essencial para a conclusão
deste trabalho, sempre apontando novas alternativas e nos ensinando com muita competência e
simplicidade, o que só aumenta a minha estima e gratidão em tê-lo conosco nesse projeto.
A professora e amiga Mariana Rodrigues de Almeida, que faz parte dos meus preciosos
presentes dados por Deus, idealizadora dessa pesquisa. Sem dúvidas sua companhia me inspira e
me faz ser uma pesquisadora melhor. O meu “muito obrigada” por me ajudar incondicionalmente
na construção desse trabalho, contribuir com a minha formação, compreender as crises de uma
mestranda e me estimular a superar os mais diversos desafios.
Sou grata a Deus pelo privilégio de ter esta grande dupla de orientadores.
A minha família, em especial na pessoa dos meus pais, não tenho palavras para agradecer
o exemplo, o auxílio e as cobranças que recebo todos os dias. São os meus guias, os tutores diários,
o meu porto seguro e os meus amigos com quem me permito dividir todos os pesares e alegrias.
Vocês fazem toda a diferença em minha vida e eu os amo muito.
Ao meu esposo, Lawrence, por me auxiliar através de incentivos e das mais divertidas
cobranças. Obrigada por ser minha fonte de calmaria nos momentos de ansiedade, sempre
compreender as minhas várias ausências e dar o suporte necessário para a realização deste
trabalho. É maravilhoso viver tudo o que Deus tem planejado para mim junto com você. Te amo.
Aos meus amigos do Programa de Pós-graduação em Engenharia de Produção, Marianna
Campos, Roseane Rodrigues, Samira Yusef, Luis Filipe Azevedo e Bruna Carvalho por
compartilharem diversos momentos de desespero, devaneios e de boas gargalhadas. A companhia
de vocês faz essa caminhada mais produtiva, enriquecedora e alegre.
Aos professores Claúdia Aparecida, Larissa Elaine e Mário González que são grandes
exemplos de docência e também contribuíram para minha formação.
Aos meus colegas de trabalho pela compreensão com tantas vezes em que me escutaram
falando dessa dissertação e por me auxiliarem, na medida em que possível, a conciliá-la com a
rotina de trabalho.
“Confie no Senhor de todo o seu coração e não
se apoie na sua própria inteligência. Lembre-se
de Deus em tudo o que fizer, e ele lhe mostrará
o caminho certo.” Provérbios 3:5-6
MARIZ, Fernanda Barreto de Almeida Rocha. Modelos dinâmicos de Análise
Envoltória de Dados: revisão da literatura e comparação das modelagens. 2015. 107 fls.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2015.
RESUMO
A presente pesquisa apresenta a evolução e o desenvolvimento da literatura da modelagem
dinâmica da Análise Envoltória de Dados (DEA) por meio da proposição de taxonomias,
identificação das relações entre os modelos, mapeamento das áreas de aplicação e comparação da
estrutura das modelagens. Ao delinear o estado da arte dos modelos dinâmicos DEA (Dynamic
DEA - DDEA), analisou-se a bibliografia desde os trabalhos precursores até as publicações mais
recentes, contemplando o período de 1996 a 2015, com uma amostra de 48 artigos. A pesquisa
demonstrou que cerca de 80% dos trabalhos de DDEA apresentam aplicações, deste modo, os
avanços da literatura foram motivados pela necessidade de modelos mais próximos da realidade
com avaliações mais precisas da eficiência. Dentre os resultados, destaca-se a identificação de
três modelos DDEA estruturantes, que ao longo desses anos colaboraram com o desenvolvimento
de diversas modelagens dinâmicas. Após a sistematização da literatura, observam-se os recentes
ganhos computacionais dos modelos e diferentes vertentes de estruturação da modelagem, isso
permitiu a proposição de seis classes de modelos DDEA. A estruturação das classes também
possibilitou a criação de um fluxograma de orientação com o objetivo de indicar a classe mais
favorável a se adotar em determinadas situações de análise dinâmica da eficiência, bem como
contribuir com gestores e pesquisadores da área por meio do refinamento da literatura.
Palavras-chaves: Análise Envoltória de Dados. Modelos estruturantes. Dynamic DEA. Survey.
ABSTRACT
This current research presents the evolution and development of dynamic modeling literature in
Data Envelopment Analysis (DEA) through proposition of taxonomies, identifying the relations
between models, mapping the areas of application and comparing the structure of models. In
outlining the state of art in Dynamic DEA (DDEA), the literature was analyzed since the pioneer’s
papers until the latest publications, covering the period from 1996 to 2015, with a scope of 48
articles. The research showed that about 80% of DDEA papers presented were case studies, thus
the need of models closer to reality and more accurate efficiency assessments motivated the
literature advances. Among the results, stands out three structuring DDEA models, which over
the years contributed to the development of several dynamic modeling. After the survey of the
literature, recent computational gains of models and various features of the modeling structure
are observed; this allowed the proposition of six classes of DDEA models. The structure of the
classes also supported the creation of a flowchart in order to indicate the most favorable class to
adopt in certain situations of dynamic efficiency analysis and contribute to managers and
researchers through the literature refinement.
Keywords: Data Envelopment Analysis. Structural models. Dynamic DEA. Survey.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 - Crescimento das publicações de DDEA ao longo dos anos 3
Figura 1.2 - Etapas metodológicas para desenvolvimento da pesquisa 5
Figura 1.3 - Detalhamento dos capítulos e da estrutura do trabalho 9
Figura 2.1- Representação de uma DMU 10
Figura 2.2 - Diferenças entre produtividade e eficiência (COELLI et al, 2005) 10
Figura 2.3 - Fronteiras no modelo CRS e VRS 17
Figura 2.4 - DMU com folga na fronteira 19
Figura 2.5 - Comparação do desempenho de uma DMU em três períodos de forma
estática 20
Figura 2.6- Comparação do desempenho de uma DMU em três períodos de forma
dinâmica 22
Figura 3.1 - Participação dos tipos de pesquisa teórica, prática e teórica e prática na
amostra de estudos DDEA 27
Figura 3.2 - Detalhamento dos tipos de pesquisa DDEA por ano 28
Figura 3.3 - Fases da literatura de modelos dinâmicos DEA 29
Figura 3.4 - Mapeamento da evolução da literatura de DDEA 30
Figura 3.5 - Distribuição dos setores de aplicação das pesquisas com DDEA 32
Figura 4.1 - Estrutura do modelo de Färe e Grosskopf (1996) com inputs intermediários
e estocáveis 35
Figura 4.2 - Modelo dinâmico de Nemoto e Goto (1999) 38
Figura 4.3 - Estrutura do modelo dinâmico de Tone e Tsutsui (2010) com a
consideração das condições iniciais 42
Figura 4.4 - Estrutura do modelo dinâmico de Tone e Tsutsui (2010) com a
consideração de compartilhamento de recursos entre carry-overs e inputs/outputs 43
Figura 5.1 - Critérios para avaliação e classificação dos modelos 48
Figura 5.2 - Classificação das abordagens na estruturação bibliográfica do DDEA 49
Figura 5.3 - Relação dos modelos da classe de benchmarking dos intermediários com
os estudos estruturantes 52
Figura 5.4 - Relação dos modelos da classe de restrições agregadas com os estudos
estruturantes 54
Figura 5.7- Relação dos modelos da classe de otimização dos inputs variáveis e
intermediários com os estudos estruturantes 60
Figura 5.8- Estrutura do modelo dinâmico de Chen e Dalen (2010) 61
Figura 5.9 - Relação do modelo da classe de efeitos defasados de produção com os
estudos estruturantes 63
Figura 5.10 - Estrutura do modelo dinâmico de Skevas et al (2012) 64
Figura 5.11 - Relação dos modelos da subclasse de função distância direcional com os
estudos sucessores 65
Figura 5.12 - Relação dos modelos da subclasse de folgas não radiais com os estudos
estruturantes 66
Figura 5.13 - Estrutura do modelo DNDEA de Tone e Tsutsui (2014) 67
Figura 5.14 - Relação do modelo da subclasse DNDEA com os estudos estruturantes 73
Figura 5.15 - Relação do modelo da subclasse dinâmica fuzzy com os estudos
estruturantes 74
Figura 5.16 - Fluxograma de orientação para escolha da classe de modelos DDEA a se
adotar 81
LISTA DE QUADROS
Quadro 2.1 - Sistematização de definições do modelo dinâmico DEA 21
Quadro 2.2 - Definição dos elementos intertemporais 23
Quadro 2.3 - Sistematização dos elementos que atribuem a interdependência temporal
aos modelos 24
Quadro 3.1 - Sistematização das características de amostra e referências para os
modelos das pesquisas de DDEA 26
Quadro 4.1 - Sistematização das principais características dos modelos estruturantes 45
Quadro 5.1 - Resumo da taxonomia proposta para o DDEA 78
LISTA DE TABELAS
Tabela 1.1 - Demonstrativo do processo de delineamento da amostra 6
Tabela 3.1 - Setores de aplicações dos modelos dinâmicos DEA 31
Tabela 4.1- Sistematização dos indicadores conexões e citações para avaliação dos
trabalhos DDEA 33
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
BCC – Banker, Charnes e Cooper (1984)
CCR – Charnes, Cooper e Rhodes (1978)
CRS – Constant Returns to Scale
DDEA – Dynamic Data Envelopment Analysis
DEA – Data Envelopment Analysis
DEA-WA - Window Analysis Data Envelopment Analysis
DMNDEA – Dynamic Multi-activity Network Data Envelopment Analysis
DMU – Decision Making Unit
DNDEA – Dynamic Network Data Envelopment Analysis
DN-RAM –Dynamic Network Range Adjusted Measure Model
DSBM – Dynamic Slacks-Based Measure Model
EWL – Expected Work Load
FDH – Free Disposal Hull
FG – Färe e Grosskopf (1996)
NDEA – Network Data Envelopment Analysis
NG – Nemoto e Goto (1999)
NG2003 – Nemoto e Goto (2003)
PL – Programação Linear
PVAR – Painel Vectors Autoregressive
RAM – Range Adjusted Measure Model
RDMNDEA – Russell Directional Measure Network Data Envelopment Analysis
RTS - Returns to Scale
SBM – Slacks-Based Measure Model
sDMU - Sub-unidade Tomadora de Decisão
SK – Skevas et al (2012)
Sub-DMU – Sub-unidade Tomadora de Decisão
TT – Tone e Tsutsui (2010)
TT2014 – Tone e Tsutsui (2014)
VRS - Variable Returns to Scale
WA – Window Analysis
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO 1
1.1 Apresentação 1
1.2 Justificativa e delineamento da pesquisa 2
1.3 Objetivos 4
1.4 Método de pesquisa 5
1.5 Estrutura do trabalho 8
CAPÍTULO 2 - ANÁLISE ENVOLTÓRIA DE DADOS – MODELOS
CLÁSSICOS E INTRODUÇÃO AOS MODELOS DINÂMICOS
10
2.1 Conceitos iniciais para análise do desempenho com Análise Envoltória de
Dados
10
2.2 Análise Envoltória de Dados 12
2.2.1 Modelos clássicos de DEA 13
2.2.2 Conceitos iniciais da modelagem dinâmica de DEA 21
CAPÍTULO 3 - EVOLUÇÃO DA LITERATURA DOS MODELOS
DINÂMICOS DEA
25
3.1 Evolução da literatura DDEA 25
3.2 Aplicações de DDEA 31
CAPÍTULO 4 - MODELOS DINÂMICOS ESTRUTURANTES 33
4.1 Modelo de Färe e Grosskopf (1996) 35
4.2 Modelo de Nemoto e Goto (1999) 37
4.3 Modelo de Tone e Tsutsui (2010) 40
4.4 Sistematização dos modelos estruturantes 44
CAPÍTULO 5 - CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS DINÂMICOS DEA 47
5.1 Critérios de classificação das abordagens DDEA 47
5.2 Benchmarking do intermediário 49
5.2.1 Detalhamento dos trabalhos pertencentes a classe Benchmarking do
intermediário
51
5.3 Restrições agregadas 52
5.3.1 Detalhamento dos trabalhos pertencentes a classe de restrições
agregadas
53
5.4 Otimização dos inputs variáveis e intermediários 55
5.4.1 Detalhamento dos trabalhos pertencentes a classe de Otimização dos
inputs variáveis e intermediários
57
5.5 Efeitos defasados 60
5.6 Modelos híbridos 63
5.6.1 Função distância direcional 63
5.6.2 Folgas não radiais 65
5.6.3 Dynamic Network DEA 66
5.6.3.1 Detalhamento dos trabalhos pertencentes a classe DNDEA 71
5.6.4 Dinâmica fuzzy 73
5.6.5 DEA Malmquist dinâmico 74
5.7 Sistematização da classificação dos modelos DDEA 76
CAPÍTULO 6 - CONSIDERAÇÕES FINAIS 82
REFERÊNCIAS 86
APÊNDICE A - Legenda completa dos parâmetros e variáveis dos modelos
DDEA
94
1
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1 Apresentação
Mensurar a eficiência se tornou um importante indicador para controle e planejamento do
desempenho de unidades produtivas. A disseminação de métodos quantitativos, para
avaliar esta medida e auxiliar a tomada de decisão gerencial, foi motivada especialmente
a partir do desenvolvimento da Análise Envoltória de Dados (Data Envelopment
Analysis- DEA) (CHARNES et al, 1978).
A técnica DEA mensura a eficiência de uma série de unidades tomadoras de decisão
(Decision Making Unit – DMU) por meio de modelos de programação linear. Com os
resultados é estabelecida uma fronteira formada pelo conjunto de DMUs eficientes
(melhores práticas). Os níveis de eficiência são, de modo geral, medidos com base na
distância das unidades para a fronteira eficiente (LIU et al, 2013a).
Desde que foi primeiramente introduzida por Charnes et al (1978), pesquisadores e
demais decisores reconheceram a DEA como uma excelente metodologia para
modelagem de processos e avaliação do desempenho. A popularização dos modelos DEA
motivou-se pela exigência de poucas pressuposições e a possibilidade da análise de
diversas situações com múltiplos elementos de entrada e saída com o resultado de um
índice único (COOPER et al, 2011).
Ao longo de mais de três décadas de estudos, a modelagem DEA evoluiu
consideravelmente em busca de melhorias computacionais para incluir novos critérios de
análise e representar a complexidade dos sistemas atuais (EMROUZNEJAD et al, 2008;
COOK e SEIFORD, 2009; AVKIRAN e PARKER, 2010; KAO, 2014). Isto também
permitiu uma grande quantidade de aplicações reais em vários setores e estimulou ainda
mais o interesse de acadêmicos e profissionais na realização de pesquisas (LIU et al,
2013a; 2013b).
A literatura cresceu em números de publicações e em diversidade de modelagens, de
forma que existem vários modelos como: retornos constantes (CHARNES et al, 1978);
retornos variáveis (BANKER et al, 1984); aditivo (CHARNES et al, 1985a); Range
Adjusted Measure Model – RAM (COOPER et al, 1999); Slacks Based Model –SBM
(TONE, 2001); redes (Network DEA – NDEA), dinâmico (Dynamic DEA – DDEA)
(FÄRE e GROSSKOPF, 1996); Supply Chain Model (ZHU, 2014); Free Disposal Hull –
FDH (GREEN e COOK, 2004), entre outros.
A medição intertemporal da eficiência é uma temática discutida e analisada por modelos
DEA há alguns anos. A avaliação em janela (Window Analysis - WA) foi a primeira
abordagem com esse propósito, introduzida por Charnes et al (1985b). O índice
Malmquist também foi inserido na Análise Envoltória de Dados por Färe et al (1994) para
avaliar a mudança de tecnologia e os ganhos de produtividade ao longo do tempo
(COOPER et al, 2006; COOK e SEIFORD, 2009).
Segundo Bogetoft et al (2009), a DEA WA e DEA Malmquist podem ser considerados
modelos estáticos comparativos, já que quantificam as variações nas medidas de
desempenho obtidas de modo independente, sem assumir a dependência intertemporal
2
entre os inputs e outputs em isolados instantes do tempo. Para esses modelos, cada
período tem a sua própria tecnologia e os inputs podem ser ajustados a ao nível ideal
instantaneamente (BOGETOFT et al, 2009; TONE e TSUTSUI, 2010; FALLAH-FINI et
al, 2014).
A presença de aspectos particulares que geram interdependência temporal no
funcionamento de empresas e processos, como: atrasos de produção, estoques, capital
(lucro ou prejuízo), investimentos, entre outros fatores; faz com que DEA Malmquist e
DEA WA sejam insuficientes para caracterizar a natureza dinâmica das unidades
(FALLAH-FINI et al, 2014).
O modelo dinâmico DEA é resultado desta busca em aperfeiçoar a modelagem DEA para
situações em que se deseja a mensuração da eficiência de DMUs ao longo de períodos de
tempo. A principal particularidade da estrutura do DDEA e o que a difere dos demais
modelos de análise intertemporal é a consideração de elementos de transição entre
observações subsequentes das atividades. Isso estabelece a interdependência entre os
períodos (TONE e TSUTSUI, 2010).
Introduzida inicialmente por Färe e Grosskopf (1996), a modelagem dinâmica DEA
contempla quase 20 anos de desenvolvimento com diversas abordagens e aplicações para
medição da eficiência dinâmica em problemáticas reais por meio da contribuição de
vários autores ao redor do mundo. O primeiro panorama do estado da arte dos modelos
dinâmicos foi realizado por Fallah-Fini et al (2014), cujo principal objetivo foi discutir
as similaridades e diferenças de abordagens dinâmicas que focam na medição do
desempenho das empresas e nos aspectos dos processos produtivos.
O estudo de Fallah-Fini et al (2014) se diferencia dessa pesquisa por contemplar modelos
dinâmicos arquitetados por técnicas além do escopo DEA. Enquanto que, a presente
pesquisa delineia seu escopo ao analisar exclusivamente modelos dinâmicos DEA em
diferentes composições, sobretudo com a presença de elementos intermediários. Nesse
sentido, esse trabalho objetiva sistematizar o desenvolvimento e a evolução da literatura
de modelos dinâmicos no âmbito da Análise Envoltória de Dados no período
compreendido de 1996 a 2015.
A partir disso, observa-se que o estudo em tela contribui por meio dos seguintes aspectos:
(a) elabora um primeiro mapa evolutivo da literatura DDEA; (b) identifica os principais
modelos; (c) propõe uma classificação das modelagens DDEA; (d) constrói um
fluxograma com o objetivo de indicar a classe de modelos mais apropriada para
determinadas situações de análise da eficiência dinâmica; (e) expõe as áreas em que já
possuem aplicações da modelagem; e, (f) compara a estrutura dos modelos dinâmicos
DEA.
1.2 Justificativa e delineamento da pesquisa
A literatura internacional mostra que a mensuração da eficiência dinâmica DEA apresenta
resultados mais precisos quando comparados aos obtidos com os modelos que ignoram
os elementos de transição (modelos estáticos). A modelagem dinâmica permite sem
subestimações ou viés de análise uma melhor discriminação, em especial, no caso das
DMUs com baixa eficiência (NEMOTO e GOTO, 2003; VON GEYMUELLER, 2009;
CHEN, 2009; CHEN e DALEN, 2010; KAO, 2013; LU et al, 2014).
A superioridade do modelo dinâmico, no que diz respeito à discriminação dos resultados
da eficiência em avaliações com dados em painel, estimulou o desenvolvimento de
3
trabalhos em diversas áreas, como: energia elétrica (NEMOTO e GOTO, 2003; VON
GEYMUELLER, 2009; TONE e TSUTSUI, 2010; 2014); agricultura (JAENICKE, 2000;
SKEVAS et al, 2012; FÄRE e GROSSKOPF, 1996); telecomunicações (MORENO et al¸
2013; WANG et al, 2014); saúde (AVKIRAN e MCCRYSTAL, 2014; KAWAGUCHI
et al, 2014); mercado de capitais (ALPEROVYCH et al, 2013); bancos (WANKE et al,
2015), etc.
Nos últimos anos, esta área de modelos se mostrou consideravelmente ativa no
desenvolvimento de trabalhos (LIU et al, 2013b). A Figura 1.1 sistematiza o quantitativo
anual de pesquisas com modelos dinâmicos DEA publicadas em periódicos internacionais
indexados na bases de dados Scopus. Observa-se que semelhante ao comportamento
identificado por Kao (2014) na revisão da literatura dos modelos de redes DEA, até 2008
apenas um ou dois trabalhos de DDEA eram publicados anualmente.
Recentemente, houve um grande crescimento no número de pesquisas com DDEA,
especialmente nos últimos anos (2012-2015). Se o ano de 2015 for desconsiderado, tendo
em vista a grande possibilidade do aumento de publicações ao longo do ano, verifica-se
que em três anos (2012-2014) mais da metade das pesquisas com DDEA foram
desenvolvidas (Ver Figura 1.1).
Figura 1.1 - Crescimento das publicações de DDEA ao longo dos anos
No Brasil, no entanto, a literatura de DEA dinâmico tem apresentado pouca amplitude,
porém recentemente surgem pesquisas para atender essa lacuna na literatura brasileira. A
primeira contribuição publicada na bibliografia nacional é Costa et al (2012), resultante
da tese de doutorado de Costa (2010), cujo objeto de pesquisa foi analisar a eficiência
produtiva das universidades públicas brasileiras. Posteriormente, Barbosa (2012)
desenvolveu um escore do desempenho econômico-financeiro dos operadores de águas e
esgotos com base na estrutura regulatória do setor.
Já nesse ano Wanke et al (2015) avaliaram o desempenho de bancos brasileiros no
período de 1996 a 2011. Este trabalho foi publicado em um periódico internacional de
grande visibilidade e está indexado em bases de dados, o que sinaliza a qualidade das
pesquisas que estão sendo iniciadas nessa área no Brasil.
4
O estudo da modelagem dinâmica DEA se mostra uma matéria contemporânea e com
indicativos de crescimento e desenvolvimento ao longo dos próximos anos, além disso,
está associado a tendências futuras de pesquisa. Em especial, a análise dinâmica de
sistemas em redes (Dynamic Network DEA) é indicada como novo campo de expansão
dos estudos em DEA após as contribuições de Tone e Tsutsui (2014) (LIU et al, 2013a;
KAO, 2014).
Torna-se notória a importância do aprofundamento sobre a modelagem DDEA a fim de
compreender a evolução da literatura e as particularidades dos modelos desenvolvidos.
Desde que foi primeiramente introduzida, a modelagem dinâmica DEA está expandindo
não apenas em termos quantitativo de publicações e aplicações, mas principalmente na
diversidade dos modelos (FALLAH-FINI et al, 2014).
São diferentes correntes de pesquisa especialmente motivadas pela diversidade de
modelos DEA tradicionais existentes, que são agregados ao DEA dinâmico para
aprimorar as análises com a avaliação intertemporal (EMROUZNEJAD e
THANASSOULIS, 2010; JAFARIAN-MOGHADDAM e GHOSEIRI, 2012). Há alguns
trabalhos voltados para a área economia (NEMOTO e GOTO, 1999; SILVA e
STEFANOU, 2003), enquanto outros estão relacionados com a análise de produtiva de
processos (FÄRE e GROSSKOPF, 1996; TONE e TSUTSUI, 2014). Isso implica em
modelagens com diferentes características e variáveis peculiares, que sobretudo
contribuem para a complexidade da literatura e dos modelos.
Apesar do DDEA possuir quase duas décadas desde o primeiro modelo apresentado,
observa-se a oportunidade de contribuir com a literatura, tendo em vista o
desenvolvimento e disseminação recente dos estudos, a diversidade de modelos e o
crescente número de aplicações. É importante também registrar que todas as pesquisas
brasileiras realizadas até esse momento são aplicações do modelo dinâmico introduzido
por Tone e Tsutsui (2010) (Dynamic Slacks Based Model – DSBM), assim, verifica-se
que ainda não existem trabalhos teóricos nacionais na área que permitam o conhecimento
mais detalhado acerca das modelagens, nem tampouco o desenvolvimento de novos
modelos.
Espera-se, portanto, que esta pesquisa permita uma ampla compreensão dos modelos
dinâmicos de DEA, principalmente para os novos pesquisadores da área, e colabore para
o crescimento e amadurecimento da modelagem dinâmica DEA. Para direcionar o estudo,
buscou-se responder alguns questionamentos: Houve evolução dos modelos dinâmicos
DEA? Quais os modelos mais referenciados na literatura? Existem diferenças entre os
modelos dinâmicos DEA? Quais as áreas/setores econômicos avaliados e quais os
modelos aplicados?
1.3 Objetivos
A presente pesquisa tem como objetivo geral demonstrar o desenvolvimento e a evolução
da literatura de modelagem dinâmica da Análise Envoltória de Dados, por meio da
proposição de taxonomias e identificação de relações entre os modelos. Portanto, em
consonância com a avaliação pretendida, o trabalho possui os seguintes objetivos
específicos:
a) Delinear a evolução da literatura DDEA e identificar as fases do seu
desenvolvimento;
5
b) Identificar os modelos dinâmicos DEA balizadores para construção de outros
trabalhos e modelagens;
c) Mapear as áreas de aplicações da modelagem dinâmica;
d) Diferenciar e caracterizar as abordagens dos modelos DDEA na literatura;
e) Propor uma ferramenta de apoio a decisão indique o conjunto de modelos
dinâmicos DEA mais adequado determinadas situações de avaliação do desempenho;
f) Comparar a estrutura das modelagens DDEA mais representativas de cada classe
de modelos.
1.4 Método de pesquisa
Este trabalho está norteado por uma revisão da literatura de modelos dinâmicos DEA
acompanhada pela comparação dos modelos mais representativos, portanto, a pesquisa
estrutura-se por meio de três etapas metodológicas: (1) delineamento da amostra; (2)
sistematização dos estudos; (3) comparação da modelagem (Figura 1.2).
Figura 1.2 – Etapas metodológicas para desenvolvimento da pesquisa
A primeira etapa, delineamento da amostra, objetivou a seleção dos estudos. A amostra é
composta por 48 trabalhos, dentre os quais 47 são artigos publicados em revistas
indexadas em bases de dados internacionais e também 1 (um) livro (FÄRE e
GROSSKOPF, 1996). O conjunto de estudos organizados referem-se ao período de 1996
a 2015, o que retrata aproximadamente 20 anos de desenvolvimento da literatura.
Considera-se uma amostra bem representativa e comparável com as revisões realizadas
recentemente dos modelos de redes DEA e dos modelos dinâmicos não-paramétricos,
respectivamente por Kao (2014) e Fallah-fini et al (2014).
O processo de construção da fundamentação teórica desta revisão teve início com uma
pesquisa dos trabalhos na base de dados Scopus, por meio da busca com as seguintes
combinações de palavras-chaves:
6
a) “dynamic DEA”;
b) “dynamic” e “data envelopment analysis”;
c) “dynamic network DEA”;
d) “dynamic network data envelopment analysis”.
Com o resultado da busca com os termos elencados, realizou-se um filtro para verificar
possíveis trabalhos repetidos. Após a exclusão dos artigos em duplicidade, deu-se início
a análise dos trabalhos encontrados por meio de uma leitura seletiva. No primeiro
momento, observou-se as informações contidas no título e resumo. Mediante a análise
foram excluídos os estudos com as seguintes características:
a) Publicações em anais de congressos;
b) Artigos com outros tipos de modelos dinâmicos DEA que não se enquadram no
escopo de análise (Malmquist, Window Analysis, etc.);
c) Artigos com modelos DEA, mas que utilizam o termo dinâmico em relação a
outros aspectos como dinâmica do mercado, dinâmica na cadeia de suprimentos,
análises com regressões, etc;
d) Download indisponível pelo acesso Capes (Coordenação de Aperfeiçoamento de
Pessoal de Nível Superior);
e) Revisões da literatura como Fallah-fini (2014) e Kao (2014);
Concluída a pré-seleção dos estudos, a segunda fase da leitura seletiva contemplou três
elementos: (1) referências bibliográficas; (2) método ou descrição do modelo matemático;
(3) referencial teórico, a fim de identificar informações que remetessem aos trabalhos
DDEA mais citados, ou ainda, aos modelos iniciais. Ao verificar tais aspectos dos
estudos, foi possível identificar quais trabalhos se enquadravam no escopo adotado na
pesquisa: estudos com modelos dinâmicos de Análise Envoltória de Dados que
considerem elementos de transição entre os períodos.
Os trabalhos selecionados foram avaliados na íntegra, observando, especialmente, a
estrutura da modelagem utilizada. Esta análise também desencadeou a identificação de
outras pesquisas relacionadas com o escopo, que não haviam sido contempladas na
combinação de palavras-chaves utilizada, mas que pertenciam as referências
bibliográficas dos trabalhos selecionados. Nesse sentido, oito estudos sobre DDEA foram
obtidos nas referências e selecionados conforme os mesmos quesitos observados na
leitura seletiva dos trabalhos encontrados nas bases de dados. A Tabela 1.1 apresenta o
quantitativo de trabalhos obtidos em cada sub-etapa do delineamento da amostra.
Tabela 1.1 - Demonstrativo do processo de delineamento da amostra
Resultados das sub-etapas do delineamento da amostra Quantitativo
Trabalhos identificados com as palavras-chaves 355
Trabalhos após a exclusão das repetições 319
Trabalhos selecionados após leitura seletiva 40
Amostra final de trabalhos 48
Após a definição da amostra de pesquisa, a segunda etapa de construção da revisão da
literatura remete a sistematização dos trabalhos com o objetivo de organizar os estudos
levantados, conforme os seguintes aspectos:
7
a) Tipo de estudo: Como indicado por Liu et al (2013b), no âmbito da Análise
Envoltória de Dados, observam-se três tipos de trabalhos (“teórico”, “prático” e
“teórico e prático”). O estudo teórico caracteriza-se por um desenvolvimento
puramente metodológico que discorre sobre as relações matemáticas e a estrutura
dos modelos. Embora não trate de dados empíricos, em alguns casos, utiliza dados
simulados para testar a teoria. O segundo tipo está focado principalmente na
aplicação, portanto, utiliza uma abordagem já desenvolvida para tratar de um
problema real. A terceira categoria de estudo alia a teoria com dados empíricos.
O que ocorre quando uma inovação metodológica é proposta e, em seguida,
validada com um conjunto de dados empíricos. Segundo Liu et al (2013b), nos
artigos teóricos e práticos pode haver uma forte ênfase na aplicação ou apenas a
adoção de um conjunto de dados empíricos anteriores para testar o modelo.
b) Referências: Em cada um dos trabalhos sistematizados na amostra identificou-se
as pesquisas que serviram de fundamentação metodológica, a fim de classificá-las
como referências do modelo. Durante a avaliação dos artigos, observou-se quais
estudos eram citados por auxiliarem a definição de elementos da modelagem
(variáveis, parâmetros, restrições, tecnologias da produção, etc.), ou ainda,
mencionados por permitirem o aprimoramento de modelos dinâmicos existentes
e a construção de novos modelos DDEA. No caso dos trabalhos práticos,
observou-se quais os modelos dinâmicos eram citados na aplicação para avaliação
do desempenho. As informações das referências dos modelos permitiram o
mapeamento da evolução da literatura de DDEA, pois foi possível identificar o
relacionamento entre os estudos. Após o mapeamento, também foi possível
identificar as modelagens DDEA que reiteradas vezes serviram de referência para
o desenvolvimento de outras modelagens DDEA. Estes modelos foram
classificados como estruturantes.
c) Setor de aplicação: Os trabalhos com aplicação de DDEA em situações reais
(teórico e prático ou apenas prático) foram também categorizados de acordo com
os setores de produção e serviços avaliados, a fim de identificar no capítulo 3 os
segmentos com maior concentração de estudos e eventuais lacunas nas pesquisas.
d) Classe do modelo: Como parte dos objetivos desta revisão sistemática
compreende-se a construção das taxonomias. Após a identificação dos modelos
estruturantes, os demais trabalhos da amostra foram classificados quanto a
abordagem da modelagem desenvolvida ou utilizada para o estudo. Para tanto,
considerou-se as características do intermediário, função objetivo e restrições
como critérios de avaliação e classificação dos modelos. Além das modelagens
estruturantes, delimitou-se cinco classes de modelos (benchmarking do
intermediário, efeitos defasados, restrições agregadas, otimização de inputs e
intermediários e modelos híbridos), denominadas conforme as características
mais representativas detalhadas no capítulo 5.
Após análise e compreensão dos trabalhos selecionados nesta pesquisa, foi possível
avançar na etapa de comparação da estrutura das modelagens DDEA. Para cada classe
DDEA, identificou-se um modelo dinâmico representativo que permitisse evidenciar as
principais características da classe para discussão. Fez-se necessária, então, a
padronização dos termos que compõem os modelos para tornar as suas restrições
comparáveis. Os elementos comuns a todos os modelos formaram uma legenda básica.
Buscou-se, posteriormente, identificar os parâmetros e as variáveis utilizadas em cada
modelagem. Observa-se que, os termos classificados como parâmetros são aqueles cujos
valores são conhecidos e informados a priori pelo decisor, enquanto que as variáveis terão
8
os valores determinados como resultado do processo de otimização após rodar o modelo
matemático.
A identificação dos parâmetros e variáveis foi seguida pela representação dos inputs,
outputs e elementos de transição a fim de demonstrar o comportamento destes termos nas
diferentes abordagens de DDEA. Como parte da comparação das modelagens, discutiu-
se as semelhanças e diferenças entre restrições, variáveis, parâmetros e/ou funções
objetivo dos modelos mais representativos das classes de DDEA ao longo dos capítulos
4 e 5.
Essas informações permitiram observar as situações mais favoráveis para cada classe, em
virtude das características dos elementos de transição, verificação dos dados disponíveis
ao decisor e o objetivo da avaliação. Nesse sentido, propôs-se um fluxograma de apoio a
tomada de decisão que objetiva indicar ao decisor/pesquisador a classe de modelos DDEA
mais apropriada para a análise pretendida, de modo que, a revisão das modelagens seja
focalizada por meio de um refinamento da literatura.
1.5 Estrutura do trabalho
Esta dissertação é composta por seis capítulos conforme representação na Figura 1.3. O
presente capítulo (Introdução) contextualiza o tema e a problemática abordada, ao passo
que apresenta a justificativa da pesquisa, expõe os objetivos e o método utilizado para o
desenvolvimento do trabalho.
O capítulo 2 (Análise Envoltória de Dados – modelos clássicos e introdução aos modelos
dinâmicos) sistematiza os principais elementos relacionados com mensuração da
eficiência com DEA e apresenta os modelos clássicos de Charnes et al (1978) e Banker
et al (1984). Além disso, expõe os principais conceitos e discute as diferenças entre a
estrutura das modelagens estáticas e dinâmicas DEA.
O capítulo 3 (Evolução da literatura de modelos dinâmicos DEA) organiza os trabalhos
publicados com modelos dinâmicos DEA e avalia as contribuições teóricas, práticas e
associadas. Com base nesse mapeamento, o capítulo apresenta a relação entres as
pesquisas, identifica três fases da literatura DDEA e sistematiza as aplicações dos
modelos em problemáticas reais de estudo.
O capítulo 4 (Modelos dinâmicos estruturantes) introduz os três modelos estruturantes da
literatura DDEA com base no relacionamento dos trabalhos desenvolvidos no âmbito
DDEA. As características e peculiaridades das modelagens estruturantes são, então,
detalhadas e comparadas.
O capítulo 5 (Classificação dos modelos dinâmicos DEA) propõe uma taxonomia de
modelos DDEA mediante a estrutura e as características das modelagens. As classes são
detalhadas e relacionadas com os modelos pertencentes a classe de estruturantes. Por fim,
são comparados os modelos mais representativos de cada abordagem.
O capítulo 6 (Considerações finais) conclui esta pesquisa e evidencia os principais
resultados do trabalho em consonância com os objetivos traçados. Também são
apresentadas as limitações e sugestões de pesquisas futuras.
9
Figura 1.3 - Detalhamento dos capítulos e da estrutura do trabalho
10
CAPÍTULO 2
ANÁLISE ENVOLTÓRIA DE DADOS – MODELOS CLÁSSICOS E INTRODUÇÃO AOS MODELOS DINÂMICOS
A análise do desempenho por meio da medição da eficiência é uma atividade fundamental
em diversos tipos de organizações, pois permite a definição de metas com o uso de
benchmarks e estimula a melhoria contínua dos processos de trabalho (ZHU, 2014). Este
capítulo expõe os principais pontos relacionados com a análise da eficiência por meio da
técnica não paramétrica de Análise Envoltória de Dados (DEA).
Ao longo do capítulo são apresentados conceitos iniciais como unidades tomadoras de
decisão, produtividade e eficiência. Compreendidos esses termos e a relação desses com
DEA, apresentam-se os modelos clássicos que difundiram a técnica e, posteriormente, os
modelos dinâmicos DEA.
2.1 Conceitos iniciais para análise do desempenho com Análise Envoltória de Dados
As unidades tomadoras de decisão (Decision Making Units- DMUs) ou unidades
produtivas são todo tipo de sistema produtivo que realiza a transformação de um conjunto
de entradas (inputs) em saídas (outputs) (Ver Figura 2.1). A DMU pode representar
qualquer tipo de organização ou unidade autônoma, por isso tem uma definição bem
flexível e genérica (COOPER et al¸2011).
Figura 2.1- Representação de uma DMU
Para analisar o desempenho das DMUs, é importante que essas formem um conjunto
comparável. As unidades realizam tarefas similares, contudo normalmente aplicam
diferentes quantidades de insumos e produzem diferentes quantias de produtos, o que
ocasiona valores de eficiência distintos.
A avaliação de desempenho para um grupo de DMUs com a Análise Envoltória de Dados
observa as variáveis de input e output que impliquem nas relações de produtividade. As
saídas representam os “sucessos”, enquanto as entradas representam os recursos
aplicados.
A produtividade está relacionada com a forma de utilização dos recursos para realizar a
produção, de modo que, sugere o melhor aproveitamento das entradas sem desperdícios.
Esta medida é determinada pelas razões dos outputs por inputs. Dada à complexidade
sistêmica, o cálculo da produtividade inclui mais de uma entrada e saída, como se pode
observar na Equação 2.1. As constantes representadas por “a” e “b” na fórmula da
11
produtividade são os coeficientes de escala dos outputs e dos inputs, respectivamente
(COOPER et al, 2007).
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 𝑂𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡𝑠
𝐼𝑛𝑝𝑢𝑡𝑠=
𝑎1𝑦1 + 𝑎2𝑦2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑦𝑛
𝑏1𝑥1 + 𝑏2𝑥2 + ⋯+ 𝑏𝑛𝑥𝑛
(Equação 2.1)
O conceito de eficiência advém da definição de produtividade. Apesar da relação entre as
medidas, deve haver distinção entre esses indicadores para não acarretar a imposição de
metas irreais, ou ainda, estimular o uso excessivo de recursos (GOMES et al, 2005).
Para esclarecer estes conceitos, pode-se estabelecer algumas considerações acerca da
Figura 2.2 (COELLI et al, 2005). A Figura 2.2 apresenta a fronteira de produção
(destacada em vermelho “0F”) de um processo simples com apenas uma entrada (x) e
uma saída (y). A área entre a curva e o eixo “x” representa todas as possibilidades de
produção do conjunto de inputs e outputs, enquanto que a fronteira representa o máximo
que pode ser atingido em termos de produtos para um dado nível de insumos. Assim, uma
empresa será tecnicamente eficiente se operar no nível estabelecido sobre a fronteira. Na
representação da Figura 2.2, as empresas “C” e “B” são eficientes, porém a unidade “A”
pode ser considerada ineficiente.
A diferença entre eficiência e produtividade pode ser compreendida com base nas linhas
(destacadas em verde, azul e laranja). Estas linhas representam a razão entre as
quantidades de produtos e entradas para cada empresa. Quanto maior a inclinação da reta
melhor a produtividade. Nesse caso, se a DMU “A” fosse movida para o ponto “B”, além
de ser considerada eficiente, obteria maior produtividade (COELLI et al, 2005).
Apesar de as unidades “B” e “C” serem eficientes, dentre as três empresas, a unidade “C”
possui maior produtividade. Isto se justifica porque a reta radial que passa pelo ponto “C”
é tangente à fronteira de produção, logo, este ponto além de eficiente é considerado de
escala ótima (escala econômica ótima) e qualquer outro ponto na fronteira resultará em
produtividade inferior. Conclui-se que, uma DMU pode ser eficiente, mas ainda está apta
a aumentar os níveis de produtividade quando explora as economias de escala
aumentando sua capacidade pelo aumento na produção de outputs com a mesma
quantidade de inputs (COELLI et al, 2005).
Figura 2.2 - Diferenças entre produtividade e eficiência (COELLI et al, 2005)
12
A eficiência de uma DMU é a razão entre sua própria produtividade e a produtividade de
referência (a DMU com maior valor de eficiência). Observa-se, então, que eficiência é
um conceito relativo, pois compara o que foi produzido por uma unidade dado os recursos
disponíveis (desempenho observado), em relação ao que poderia ter sido produzido
mediante os mesmos recursos (melhor desempenho do conjunto analisado). As DMUs
eficientes possuem um escore de eficiência igual a um, enquanto que as ineficientes
apresentam pontuação entre zero e um.
Em especial, nesta pesquisa, prioriza-se uma medição diferenciada da eficiência com base
na análise dinâmica das atividades. Quando muitos períodos com inter-relações são
avaliados, a eficiência global deve ser mensurada de forma dinâmica para considerar os
recursos mantidos entre períodos consecutivos (KAO, 2013). O ponto-chave da eficiência
dinâmica está em avaliar a variação de um fator ou variável durante o tempo (FØRSUND,
2010).
2.2 Análise Envoltória de Dados
Análise Envoltória de Dados (Data Envelopment Analysis - DEA) foi inicialmente
desenvolvida por Charnes, Cooper e Rhodes (1978) no artigo “Measuring the efficiency
of decision making units”. Esta se constitui de modelos de programação matemática que
permitem o diagnóstico e controle gerencial por meio da medição da eficiência de DMUs
semelhantes (JAIN et al, 2011).
A técnica DEA serve para calcular a eficiência de unidades com vários inputs e outputs e
se baseia no conceito da eficiência técnica Por se tratar de uma abordagem não-
paramétrica, não exige a construção de uma função produção. Contudo, obtém suas
inferências por meio do desenvolvimento de uma fronteira de eficiência ou pela
comparação das unidades tomadoras de decisão (PETRONI e BEVILACQUA, 2002;
COOK e SEIFORD, 2009).
A fronteira de eficiência construída pela DEA delimita pontos, indicando os limites para
que uma unidade produtiva hipotética seja tecnicamente eficiente. Logo, esta ferramenta
permite a mensuração dos níveis de eficiência e a identificação de melhores práticas ou
os benchmarks de máxima eficiência. As unidades consideradas eficientes compõem a
fronteira e as ineficientes se localizam abaixo da mesma (BORENSTEIN et al, 2004;
COOK e SEIFORD, 2009).
Desde o advento da DEA, é expressivo o desenvolvimento teórico e de aplicações em
diversas situações práticas de mensuração da eficiência de unidades produtivas. Uma das
razões é que a DEA não faz exigência de informações de preço ou pesos (coeficientes de
escala) para as variáveis de entradas e saídas, tornando-a mais flexível (SEGUNPTA,
1999; SUEYOSHI e SEKITANI, 2005; ÖNÜT e SONER, 2007; CHEN e DALEN,
2010).
Análise Envoltória de Dados, embora se baseie em uma medida relativa, é uma técnica
muito útil, pois de acordo com o objetivo do estudo permite: (a) calcular
quantitativamente a eficiência de cada DMU; (b) identificar as fontes e quantidades de
ineficiência das DMUs, em qualquer dimensão de entrada e saída e; (c) subsidiar o
planejamento de metas para as diversas dimensões que maximizem a eficiência de cada
DMU. As DMUs que não operam de forma eficiente podem ser ajustadas em termos de
entradas e saídas, para incremento da eficiência (BORENSTEIN et al, 2004).
13
2.2.1 Modelos clássicos de DEA
Na literatura da Análise Envoltória de Dados, há dois modelos clássicos: (1) o CCR
desenvolvido por Charnes, Cooper e Rhodes (1978) e (2) o BCC elaborado por Banker,
Charnes e Cooper (1984), que foram os estudos pioneiros da técnica. A principal
diferença entre esses modelos refere-se ao retorno de escala das atividades.
O modelo CCR assume retornos constantes de escala, pois variações (acréscimo ou
redução) na quantidade de inputs produzem variações proporcionais nos níveis de
outputs. Como essa é a característica principal do modelo, o CCR também é comumente
chamado de modelo de retornos constantes ou CRS (Constant Returns to Scale).
Para apresentação do modelo proposto por Charnes et al (1978), considere um conjunto
de “n” DMUs a ser avaliado. Cada DMU “j” consume quantidades diferentes de “m”
tipos de input para produzir “s” tipos de outputs. Dessa forma, uma 𝐷𝑀𝑈𝑗 utiliza a
quantidade 𝑥𝑖𝑗 do input “i” (i = 1, ..., m) e produz a quantidade 𝑦𝑟𝑗 do output “r” (r = 1,
..., s). A modelagem CRR mensura a eficiência de uma DMU em análise “k” (𝐸𝑘 ) com
base no seguinte modelo fracionário:
𝑚𝑎𝑥 𝐸𝑘 = ∑ 𝑢𝑟𝑦𝑟𝑘
𝑠𝑟=1
∑ 𝑣𝑖𝑥𝑖𝑘𝑚𝑖=1
Sujeito a:
∑ 𝑢𝑟𝑦𝑟𝑗𝑠𝑟=1
∑ 𝑣𝑖𝑥𝑖𝑗𝑚𝑖=1
≤ 1; 𝑗 = 1, . . . , 𝑛 (R. 1)
𝑢𝑟 , 𝑣𝑖 ≥ 0; 𝑟 = 1, . . . , 𝑠; 𝑖 = 1,… ,𝑚 (R. 2)
(CCR.1)
A função objetivo do modelo fracionário é dada pela maximização da razão dos outputs
e inputs utilizados pela DMU analisada ponderados pelas respectivas variáveis de
intensidade (pesos 𝑢𝑟 e 𝑣𝑖). O resultado da função objetivo representa a eficiência para
a DMU em análise.
Com a otimização de CCR.1, encontra-se os valores mais favoráveis dos pesos dos inputs
(𝑣𝑖) e outputs (𝑢𝑟) para a DMU, desde que esses pesos aplicados às outras DMUs não
gerem uma razão superior a 1 (R.1). Esses elementos revelam a importância relativa de
cada input e output na avaliação, caso seja atribuído o valor zero para algum peso, isso
implica que o elemento de input ou output foi desconsiderado da avaliação.
Como se pode observar na modelagem fracionária, 𝑥𝑖𝑗 e 𝑦𝑟𝑗 são parâmetros, ou seja,
valores constantes de entrada do modelo. No caso problema apresentado, 𝑥𝑖𝑗 e 𝑦𝑟𝑗 são
valores positivos, pois se referem às quantidades de inputs e outputs das DMUs. Enquanto
isso, 𝑢𝑟 e 𝑣𝑖 podem ser denominadas variáveis de decisão, pois resultam da otimização.
A restrição R.2 é denominada restrição de não-negatividade e condiciona os valores dos
pesos a serem positivos. Já R.1 é chamada de restrição funcional (ou estrutural).
Para transformação do problema fraccionário CCR.1 em um modelo de programação
linear (PL), pode-se igualar o denominador da função objetivo a um (∑ 𝑣𝑖𝑥𝑖𝑗𝑚𝑖=1 = 1).
Isso ocorre por que a razão do problema CCR.1 tem soluções múltiplas, entretanto, busca-
14
se nessa transformação a solução mais representativa (COOPER et al, 2011). O modelo
CCR pode ser apresentado na formulação de PL:
𝑚𝑎𝑥 𝐸𝑘 = ∑𝑢𝑟𝑦𝑟𝑘
𝑠
𝑟=1
Sujeito a:
∑𝑣𝑖𝑥𝑖𝑘
𝑚
𝑖=1
= 1 (R. 1)
∑𝑢𝑟𝑦𝑟𝑗
𝑠
𝑟=1
− ∑𝑣𝑖𝑥𝑖𝑗
𝑚
𝑖=1
≤ 0; 𝑗 = 1, . . . , 𝑛 (R. 2)
𝑢𝑟 , 𝑣𝑖 ≥ 0; 𝑟 = 1, . . . , 𝑠; 𝑖 = 1,… ,𝑚 (R. 3)
(CCR.2)
Observa-se que a função objetivo busca a maximização do somatório dos outputs da
DMU analisada ponderado pelos pesos otimizados pelo modelo. A primeira restrição
condiciona o somatório de inputs da DMU em análise k a ser igual a um. Enquanto que a
restrição R.2 impede que haja maior saída na DMU (quantidade produzida de outputs) do
que insumos (quantidade de inputs). A quantidade de modelos a se resolver é igual à
quantidade de DMUs analisadas, o que ocorre de modo geral em qualquer tipo de
modelagem DEA.
O modelo (CCR.2) exposto representa o modelo clássico CCR primal na orientação ao
input. Os modelos DEA podem ser formulados em duas orientações: ao input ou ao
output. O modelo orientado ao input visa minimizar entradas mantendo determinado nível
de saída. O modelo orientado ao output busca maximizar as saídas sem exigir mais do
que o valor observado de entrada (ÖNÜT e SONER, 2007).
Na formulação primal, nos modelos orientados ao input, utiliza-se a função de maximizar
as saídas (mantendo o valor de entradas), ao passo que, na modelagem orientada ao output
apresenta a função objetivo de minimizar as entradas (considerando a quantidades de
produtos). A modelagem orientada ao output na formulação primal do modelo CCR pode
ser descrita do seguinte modo:
𝑚𝑖𝑛 𝐸𝑘 = ∑𝑣𝑖𝑥𝑖𝑘
𝑚
𝑖=1
Sujeito a:
∑𝑢𝑟𝑦𝑟𝑘
𝑠
𝑟=1
= 1 (R. 1)
∑𝑢𝑟𝑦𝑟𝑗
𝑠
𝑟=1
− ∑𝑣𝑖𝑥𝑖𝑗
𝑚
𝑖=1
≤ 0; 𝑗 = 1, . . . , 𝑛 (R. 2)
𝑢𝑟 , 𝑣𝑖 ≥ 0; 𝑟 = 1, . . . , 𝑠; 𝑖 = 1,… ,𝑚 (R. 3)
(CCR.3)
15
Todo problema de programação linear possui um problema correspondente associado
chamado dual. Mediante a teoria da dualidade, o modelo original (formulação primal)
apresenta o seguinte relacionamento com a modelagem dual:
a) Os coeficientes na função objetivo do problema primal são os números que estão
no lado direito das restrições funcionais (termos independentes) do problema dual;
b) O lado direito das restrições funcionais (termos independentes) no problema
primal fornece os coeficientes na função objetivo do problema dual;
c) Os coeficientes de uma variável nas restrições funcionais do problema primal são
os coeficientes em uma restrição funcional do problema dual. Logo, cada variável
da formulação primal corresponde a uma restrição na forma dual, enquanto que
cada restrição do modelo dual corresponde a uma variável do problema primal;
d) Se o problema primal tiver como função objetivo a maximização (minimização),
o modelo dual terá a função de minimização (maximização).
e) Se o problema primal tiver soluções viáveis e uma função objetivo limitada
(possui apenas uma solução ótima), então o mesmo acontecerá para o problema
dual.
O modelo dual também é chamado de modelo do envelope (ou forma de envelopamento),
enquanto o primal é denominado modelo dos multiplicadores. A forma de envelopamento
possui um número menor de restrições que o modelo primal e, por isso, é geralmente
utilizada para solucionar os problemas (COELLI et al., 2005). A formulação dual do
modelo CCR.2 (orientação ao input), pode ser descrita a seguir na modelagem CCR.4.
Pelo teorema da dualidade os CCR.2 e CCR.4 possuem o mesmo valor para a função
objetivo.
𝑚𝑖𝑛 𝜃
Sujeito a:
∑𝑥𝑖𝑗𝜆𝑗
𝑛
𝑗=1
≤ 𝜃𝑥𝑖𝑘; 𝑖 = 1,… ,𝑚 (R. 1)
∑𝑦𝑟𝑗𝜆𝑗
𝑛
𝑗=1
≥ 𝑦𝑟𝑘; 𝑟 = 1, . . . , 𝑠 (R. 2)
𝜆𝑗 ≥ 0; ∀𝑗 (R. 3)
(CCR.4)
A função objetivo de CCR.4 apresenta a medida de eficiência (θ), cujo valor que deve ser
multiplicado por todos os inputs para se obter valores que aloquem a DMU na fronteira
eficiente. Como o modelo é orientado ao input, a projeção da fronteira é dada pela redução
das entradas. A R.1 garante que o decréscimo em cada um dos inputs não ultrapasse a
fronteira de eficiência determinada pelas unidades eficientes do conjunto. Já R.2
considera que a diminuição dos níveis de inputs não pode afetar os níveis de outputs atuais
da DMU. (BORENSTEIN et al, 2004).
Diferentemente do modelo primal em que se obtém os valores das variáveis de
intensidade para cada input e output, no modelo de envelope otimiza-se 𝜆𝑗 que é a
16
variável dual relacionada com as DMUs. Essa variável fornece uma análise até então não
obtida com o a abordagem primal do problema. O peso 𝜆𝑗 indica as possíveis unidades
eficientes que funcionam como benchmarks, ou seja, um indicativo das melhores práticas
para a DMU analisada.
Logo, se 𝜆𝑗 = 0 a unidade “j” não serve de referência para a DMU em questão, mas se
𝜆𝑗 > 0 isso significa que a DMU “j” é um benchmark para a unidade ineficiente
analisada. Quanto maior o valor de 𝜆𝑗 mais representativa é a DMU “j” dentro do
conjunto de referência das melhores práticas para a DMU ineficiente.
A modelagem dual CCR na orientação ao output é detalhada no modelo CCR.5. Verifica-
se que 𝜆𝑗 permanece como variável de decisão do modelo e ao invés do elemento 𝜃 nas
restrições, a modelagem output orientada otimiza o inverso da eficiência (𝜂). Como 𝜂 ≥1, para se obter o valor da eficiência da DMU ( 0 ≤ 𝜃 ≤ 1) é necessário realizar a razão
𝜃 =1
𝜂 .
𝑚𝑎𝑥 𝜂
Sujeito a:
∑𝑥𝑖𝑗𝜆𝑗
𝑛
𝑗=1
≤ 𝑥𝑖𝑘; 𝑖 = 1,… ,𝑚 (R. 1)
∑𝑦𝑟𝑗𝜆𝑗
𝑛
𝑗=1
≥ 𝑦𝑟𝑘𝜂; 𝑟 = 1, . . . , 𝑠 (R. 2)
𝜆𝑗 ≥ 0; ∀𝑗 (R. 3)
(CCR.5)
A função objetivo de CCR.5 busca a maximização das saídas, mantendo os mesmo níveis
de entrada da DMU analisada. Nesse contexto, 𝜂 representa o valor pelo qual todos os
produtos devem ser multiplicados para a DMU “k” pertencer à fronteira eficiente,
mantendo-se constantes os recursos de entrada.
A restrição R.1 considera que o acréscimo dos níveis de outputs não pode afetar os níveis
de inputs atuais da DMU. Enquanto que R.2 garante que o aumento em cada um dos
outputs não ultrapasse a fronteira de eficiência determinada pelas unidades eficientes do
conjunto.
No modelo dual CCR, as duas orientações fornecem o mesmo score da eficiência para as
DMUs. No entanto, os benchmarks (𝜆𝑗) são diferentes, uma vez que as melhores práticas
são identificadas com base em critérios distintos de otimização.
Como apresentado anteriormente, o modelo CCR considera retornos constantes de escala,
ou seja, um incremento na quantidade de inputs implica em um aumento proporcional nos
outputs. No modelo BBC essa proporcionalidade não é satisfeita, ao invés disso, a
modelagem proposta por Banker et al (1984) considera retornos variáveis de escala e
também é denominado de VRS (Variable Returns to Scale).
O modelo BCC permite DMUs que apresentem três comportamentos distintos: retornos
crescentes, decrescentes e constantes. Em comparação com o CCR, ao se relaxar a
17
hipótese de retornos constantes, um maior número de DMUs pode ser considerado
eficiente no modelo VRS, pois ao assumir retornos variáveis as DMUs não eficientes no
modelo CRS poderão ser consideradas eficientes. Vale frisar que as DMUs eficientes no
CCR também serão eficientes no modelo de retornos variáveis (BANKER et al, 2004).
A Figura 2.3 exemplifica a projeção de uma fronteira resultante do modelo CRS e VRS
demarcadas por DMUs. A fronteira do CCR apresenta a proporcionalidade dos inputs e
outputs e é linear, enquanto que a fronteira de produção do CCR é côncava e linear em
trechos. Observa-se que os trechos “AB”, “BC” e “CD” indicam respectivamente as
regiões de retornos crescentes constantes e decrescentes (ÖNÜT e SONER, 2007).
Figura 2.3 - Fronteiras no modelo CRS e VRS
A convexidade apresentada na fronteira BBC é introduzida na modelagem dual por meio
da adição de uma restrição, sendo assim, válida para as duas orientações do modelo: ∑ 𝜆𝑗
𝑛𝑗=1 = 1. Essa restrição é também chamada de restrição de convexidade, as demais
restrições e as funções objetivo são semelhantes às apresentas em CCR.4 e CCR.5
(COOK e SEIFORD, 2009; ZHU, 2014).
Já na modelagem primal do BCC são adicionadas duas variáveis (�̈�; �̈�) que representam
os fatores de escala, ou seja, indicam o tipo de retorno da DMU em análise. No caso da
orientação ao input é adicionado �̈�, enquanto que na orientação ao output acrescenta-se
�̈� . Conforme os resultados destas variáveis no modelo, pode-se obter as seguintes
interpretações sobre os retornos:
a) �̈� ≥ 0 𝑜𝑢 �̈� ≤ 0: DMU analisada apresenta retornos crescentes de escala;
b) �̈� ≤ 0 𝑜𝑢 �̈� ≥ 0: DMU analisada apresenta retornos decrescentes de escala;
c) �̈� = 0 𝑜𝑢 �̈� = 0: DMU analisada apresenta retornos constantes de escala;
Os modelos BBC primais são detalhados a seguir: orientado ao input (BCC.1) e orientado
ao output (BCC.2). Verifica-se a alteração da função objetivo e das restrições R.2 em
comparação com o CCR primal.
𝑚𝑎𝑥 𝐸𝑘 = ∑𝑢𝑟𝑦𝑟𝑘 + �̈�
𝑠
𝑟=1
Sujeito a:
18
∑𝑣𝑖𝑥𝑖𝑘
𝑚
𝑖=1
= 1 (R. 1)
∑𝑢𝑟𝑦𝑟𝑗
𝑠
𝑟=1
− ∑𝑣𝑖𝑥𝑖𝑗
𝑚
𝑖=1
+ �̈� ≤ 0; 𝑗 = 1, . . . , 𝑛 (R. 2)
𝑢𝑟 , 𝑣𝑖 ≥ 0; 𝑟 = 1, . . . , 𝑠; 𝑖 = 1,… ,𝑚 (R. 3)
(BCC.1)
𝑚𝑖𝑛 𝐸𝑘 = ∑𝑣𝑖𝑥𝑖𝑘 + �̈�
𝑚
𝑖=1
Sujeito a:
∑𝑢𝑟𝑦𝑟𝑘
𝑠
𝑟=1
= 1 (R. 1)
∑𝑢𝑟𝑦𝑟𝑗
𝑠
𝑟=1
− ∑𝑣𝑖𝑥𝑖𝑗 + �̈�
𝑚
𝑖=1
≤ 0; 𝑗 = 1, . . . , 𝑛 (R. 2)
𝑢𝑟 , 𝑣𝑖 ≥ 0; 𝑟 = 1, . . . , 𝑠; 𝑖 = 1,… ,𝑚 (R. 3)
(BCC.2)
Ao incorporar folgas referentes a cada restrição nos modelos BCC e CCR (tanto primal
como dual), essas transformam as inequações em igualdades e servem para compensar
possíveis distorções na fronteira de eficiência (MARIANO, 2008). Quando as folgas
apresentam valores maiores que zero indicam que ainda é possível ser reduzida a
quantidade de inputs (ou acrescida de outputs) para tornar a DMU eficiente. As Equações
2.2-3 mostram as restrições do modelo CCR dual com orientação ao input (CCR.4)
alteradas com a incorporação das folgas do input (𝑠𝑖−) e do output ( 𝑠𝑟
+):
∑ 𝑥𝑖𝑗𝜆𝑗 + 𝑠𝑖
−𝑛𝑗=1 = 𝜃𝑥𝑖𝑘; 𝑖 = 1,… ,𝑚 (Equação 2.2)
∑ 𝑦𝑟𝑗𝜆𝑗 − 𝑠𝑟+𝑛
𝑗=1 = 𝑦𝑟𝑘; 𝑟 = 1, . . . , 𝑠 (Equação 2.3)
Nas modelagens em que há inclusão de folgas, a DMU é considerada eficiente somente
quando todas as folgas forem iguais a zero. Em alguns casos, ocorre da DMU possuir
eficiência igual a um (𝜃 = 1), mas apresentar folgas diferentes de zero. As DMUs com
esse comportamento são chamadas de fracamente eficiente (weakly efficiency), pois
apesar de estarem na fronteira, ainda apresentam possibilidades de redução dos inputs ou
aumento dos outputs em comparação com outras DMUs denominadas fortemente
eficientes.
A Figura 2.4 apresenta uma fronteira de eficiência referente a uma análise com retornos
variáveis. As DMUs A, B, C, D e E são eficientes. É possível, contudo, observar que a
DMU E apesar de estar na fronteira, poderia reduzir a quantidade de inputs, mantendo
constante a quantidade de outputs. A DMU D apresenta melhor desempenho, pois
produziu a mesma quantidade de outputs com uma menor quantidade de inputs. A
quantidade que poderia ser reduzida representa justamente a folga (𝑠𝑖−) da DMU E.
19
Figura 2.4- DMU com folga na fronteira
Para as demais DMUs eficientes, qualquer redução de inputs as excluiria da fronteira e
da região eficiente. Logo, essas DMUs são chamadas de ótimos Pareto e a região da
fronteira limitada pelas DMUs A, B, C e D é denominada fronteira Pareto eficiente ou
fronteira fortemente eficiente (MELLO et al, 2005).
A DMU F exposta na Figura 2.4 pode ser considerada ineficiente, enquanto a DMU B e
D indicam duas possibilidades de projeção da DMU F na fronteira eficiente. No caso das
abordagens radiais, como os modelos CCR e BCC apresentados, as metas para as DMUs
ineficientes são calculadas em apenas uma direção (orientação): ao eixo do input (na
direção da DMU B) ou ao eixo do output (na direção da DMU D).
Ao considerar uma DMU com dois ou mais inputs, o modelo radial irá buscar a máxima
taxa de redução destes inputs na mesma proporção. Assim, os índices de eficiência radiais
dos modelos clássicos consideram a redução ou o aumento equiproporcional de inputs ou
dos outputs, que podem ser obtidos pela redução proporcional dos inputs, mantendo os
outputs fixos ou o incremento proporcional dos outputs, permanecendo os inputs fixos.
Sem permitir alterações simultâneas.
Nas abordagens denominadas não radiais, qualquer direção no quadrante B-F-D é
permitida, pois variações não proporcionais de inputs e outputs, assim como, alterações
simultâneas das entradas e saídas são admitidas para a medida de eficiência. Nesse
sentido, as folgas não radiais vão além da correção de distorções da fronteira como
mostrado na abordagem radial. As folgas não radiais representam a diferença entre os
níveis inputs (outputs) de uma DMU e estes mesmo níveis da projeção da DMU na
fronteira (MARIANO, 2008; COOK e SEIFORD, 2009).
A compreensão dos modelos clássicos é importante em virtude da contribuição que
possuem na literatura, já que são as metodologias mais citadas no âmbito de DEA (LIU
et al¸ 2013b). Contudo, há algumas limitações, bem como, armadilhas destes modelos
que precisam ser consideradas em sua aplicação (DYSON et al, 2001; JAFARIAN-
MOGHADDAM e GHOSEIRI, 2012; TONE e TSUTSUI, 2014).
Uma das principais limitações que será abordada no decorrer desse trabalho está
relacionada com a avaliação temporal da eficiência. Os modelos clássicos ignoram os
efeitos que o consumo de inputs e as decisões gerenciais de um determinado período
possuem sob o nível de outputs nos períodos seguintes. Isto pressupõe que a capacidade
de produção da DMU é imediatamente ajustada e não existem impactos de médio e longo
prazo decorrentes das decisões. Por isso, os modelos tradicionais são considerados
20
estáticos e a análise da DMU é tratada como uma “caixa preta” (EMROUZNEJAD e
THANASSOULIS, 2005; FALLAH-FINI et al, 2014).
A Figura 2.5 representa a estrutura em um sistema tradicional de avaliação e apresenta
um conjunto de “n” DMUs, cada DMU𝑗 (j = 1,..., n) utiliza “m” inputs 𝑥𝑖𝑗𝑡 ∈ ℝ+
𝑚 (i =
1,…, m) que produzem “s” outputs 𝑦𝑟𝑗𝑡 ∈ ℝ+
𝑠 (r = 1,..., s) durante “p” períodos de tempo
(t = 1,..., p). Observa-se que cada período é analisado isoladamente com suas entradas e
saídas, não apresentando nenhuma relação da DMUj com os períodos “t-1”, “t” e “t+1”.
Figura 2.5 - Comparação do desempenho de uma DMU em três períodos de forma estática
A fim de superar as restrições, introduzir novos paradigmas e aproximar a análise da
eficiência das características dos sistemas reais, observa-se a evolução de uma grande
gama de modelagens na literatura DEA. Na vertente metodológica, Cook et al (2013)
expõem o desenvolvimento de: (1) vários modelos para medição de eficiência; (2)
abordagens para incorporar a estrutura das DMUs na análise; (3) modelos para examinar
o status das variáveis e; (4) modelos para avaliar a variação ou a incerteza dos dados.
Dentre os modelos que surgiram em decorrência das lacunas dos trabalhos clássicos,
pode-se listar: aditivo (CHARNES et al, 1985a); avaliação em janela (Window analysis)
(CHARNES et al, 1985b); DEA fuzzy (SENGUPTA, 1992); super-eficiência
(ANDERSEN e PETERSEN, 1993); DEA FDH (Free Disposal Hull model) (GREEN e
COOK, 2004); DEA Malmquist (FÄRE et al, 1994); DEA RAM (Range Adjusted
Measure) (COOPER et al, 1999); modelo baseado em folgas (Slacks-based Measures -
SBM) (TONE, 2001); de redes (Network DEA - NDEA) (FÄRE e GROSSKOPF, 2000);
e, o modelo dinâmico (Dynamic DEA – DDEA) (FÄRE e GROSSKOPF, 1996) que será
tratado com mais detalhes nesta pesquisa.
Recentemente, as pesquisas combinam os resultados de vários modelos e métodos a fim
de obter propriedades que não estão disponíveis a partir do uso destes separadamente. Isto
propicia a capacidade de lidar com grandes problemas de forma mais econômica e com
menor tempo computacional (COOPER et al, 2007). Este é o caso dos modelos DNDEA
(Dynamic Network DEA) (TONE e TSUTSUI, 2014), DEA Malmquist dinâmico
(EMROUZNEJAD e THANASSOULIS, 2010), SBM dinâmico (DSBM) (TONE e
TSUTSUI, 2010) e Fuzzy dinâmico (SOLEIMANI-DAMANEH, 2013b), que associaram
a variável temporal para obter maior discriminação dos resultados.
2.2.2 Conceitos iniciais da modelagem dinâmica de DEA
21
Em avaliações da eficiência de DMUs sujeitas à interdependência temporal, busca-se a
otimização do desempenho com base nas decisões de alocação dos recursos e da produção
das unidades ao longo do tempo. Nessas situações, deve-se considerar a estrutura da
modelagem dinâmica para análise, pois o DDEA apresenta elementos específicos nas
restrições do modelo para tratar essa dependência entre os períodos. O Quadro 2.1
apresenta a definição dos modelos dinâmicos de DEA por diferentes autores.
Quadro 2.1 - Sistematização de definições do modelo dinâmico DEA
Trabalhos Definição de modelos dinâmicos
Sueyoshi e
Sekitani
(2005, p. 536)
O DEA dinâmico é um modelo que pode mensurar a interdependência entre períodos
consecutivos.
De Mateo et al
(2006, p.241)
DEA dinâmico é um modelo de Análise Envoltória de Dados que envolve a
otimização ao longo de dois ou mais períodos. As variações de inputs período a
período incorrem em custos de ajuste (custo decorrente de mudanças na quantidade
de determinado input).
Førsund
(2010, p. 131)
A definição padrão dos modelos dinâmicos, de maneira econômica, é a mudança de
uma variável em função do nível desta variável, usando período contínuo. Ou ainda,
o nível da variável de um período é uma função do nível da variável de um ou mais
períodos, usando períodos discretos. O ponto-chave na economia é o interesse em
estudar o desenvolvimento de uma variável ao longo do tempo, condicionada à
alguma propriedade dentro do sistema no qual a variável é definida para satisfazê-la
(por exemplo, o valor presente líquido maximizado).
Tone e
Tsutsui (2010,
p. 145)
O modelo dinâmico DEA incorpora atividades de transição (carry-overs) entre os
períodos e permite a mensuração da eficiência de um período específico baseado na
otimização de longo prazo durante todo o período de análise.
Kao (2013, p.
325)
O termo DEA dinâmico significa utilizar modelos de Análise Envoltória de Dados
para descrever as inter-relações entre períodos usando métodos de solução
associados para calcular a eficiência relativa de uma série de vários períodos e
DMUs.
Fallah-Fini et
al (2014, p.
52)
Modelos dinâmicos são aqueles que consideram uma interdependência temporal
entre diferentes períodos. Esta interdependência é atribuída a cinco fatores
associados com aspectos dinâmicos da produção, que podem ou não aparecer de
forma associada. São estes: (i) atrasos na produção; (ii) estoques; (iii) capital ou
aspectos quase-fixos genéricos; (iv) custos de ajuste; e, (v) desenvolvimento
incremental e modelos de aprendizagem.
Com essa comparação inicial dos conceitos apresentados, observa-se o objetivo de
otimizar e considerar a dependência da eficiência entre os períodos, decorrente dos fluxos
que correlacionam as DMUs. Além disso, os modelos dinâmicos podem ser
caracterizados com diferentes enfoques. Esta pesquisa tratará do termo modelo dinâmico
sempre relacionado à Análise Envoltória de Dados, conforme a definição de Sueyoshi e
Sekitani (2005), De Mateo et al (2006), Tone e Tsutsui (2010), Kao (2013) e Fallah-fini
(2014).
A Figura 2.6 apresenta a estrutura dinâmica de avaliação do desempenho para três
períodos de tempo (t-1; t; t+1). Os inputs intermediários 𝑧𝑓𝑗𝑡 , que não foram observados
na estrutura anterior (Figura 2.5), representam as variáveis responsáveis pela relação
temporal das unidades de decisão. Cada DMUj possui “g” inputs intermediários 𝑧𝑓𝑗𝑡 ∈
22
ℝ+𝑔
(f=1,...,g) remanescentes do período “t” e empregados como entradas no período
subsequente “t+1”.
Para cada período, a produção do modelo dinâmico consiste em saídas finais e inputs
intermediários (𝑦𝑟𝑗𝑡−1 + 𝑧𝑓𝑗
𝑡−1; 𝑦𝑟𝑗𝑡 + 𝑧𝑓𝑗
𝑡 ; 𝑦𝑟𝑗𝑡+1 + 𝑧𝑓𝑗
𝑡+1), assim como, as entradas são
compostas por inputs e inputs intermediários (𝑥𝑖𝑗𝑡−1 + 𝑧𝑓𝑗
0 ; 𝑥𝑖𝑗𝑡 + 𝑧𝑓𝑗
𝑡−1; 𝑥𝑖𝑗𝑡+1 + 𝑧𝑓𝑗
𝑡 ).
Por causa do papel simultâneo de entradas e saídas que o 𝑧𝑓𝑗𝑡 executa, há claramente um
trade-off entre produzir resultados finais hoje (t) ou amanhã (t+1) (FÄRE e
GROSSKOPF, 1996; SUEYOSHI e SEKITANI, 2005).
Figura 2.6- Comparação do desempenho de uma DMU em três períodos de forma dinâmica
A eficiência dinâmica pode ser mensurada para um período de tempo específico ou
global, considerando todo o sistema e períodos envolvidos. Para uma DMU analisada
“k”, a eficiência do sistema (global) considera o desempenho da DMU desde o primeiro
ao último período analisado (t = 1, ..., p) (Equação 2.4).
𝐸𝑘𝑆 =
∑ ∑ 𝑢𝑟∗𝑦𝑟𝑘
𝑡𝑝𝑡=1
𝑆𝑟=1 + ∑ 𝑤𝑓
∗𝑔𝑓=1 𝑧𝑓𝑘
𝑝
∑ ∑ 𝑣𝑖∗𝑥𝑖𝑘
𝑡𝑝𝑡=1
𝑚𝑖=1 + ∑ 𝑤𝑓
∗𝑔𝑓=1 × 𝑧𝑓𝑘
0
(Equação 2.4)
De modo que, 𝑧𝑓𝑘𝑝
representa o intermediário produzido pela DMU no último período.
Enquanto que, 𝑧𝑓𝑘0 é uma das entradas do período inicial e representa o input
intermediário produzido no período anterior ao período inicial de análise, como mostrado
na Figura 2.6. Cada elemento (input, output e intermediário) é acompanhado pela
respectiva variável de intensidade (𝑣𝑖∗; 𝑢𝑟
∗; 𝑤𝑓∗) no valor ótimo obtido como o resultado
do modelo dinâmico primal. Já a Equação 2.5 ilustra a eficiência dinâmica do período t
para a DMU analisada “k”.
𝐸𝑘𝑡 =
∑ 𝑢𝑟∗𝑆
𝑟=1 × 𝑦𝑟𝑘𝑡 + ∑ 𝑤𝑓
∗𝑔𝑓=1 × 𝑧𝑓𝑘
𝑡
∑ 𝑣𝑖∗𝑚
𝑖=1 × 𝑥𝑖𝑘𝑡 + ∑ 𝑤𝑓
∗𝑔𝑓=1 × 𝑧𝑓𝑘
𝑡−1
(Equação 2.5)
23
As Equações 2.4-5 representam as medidas de eficiência segundo a modelagem
apresentada por Kao (2013), considerando o resultado do modelo primal. Contudo, como
será detalhado nos capítulos 4 e 5, existem outras fórmulas conforme com as
particularidades dos modelos dinâmicos.
O elemento responsável pela dependência intertemporal na modelagem dinâmica (𝑧𝑓𝑘𝑡 )
possui diferentes denominações, de acordo com os diversos autores na literatura, como:
inputs/outputs intermediários (FÄRE e GROSSKOPF, 1996); inputs estocáveis (FÄRE e
GROSSKOPF, 1996); inputs quase-fixos (NEMOTO e GOTO, 1999); custos de ajuste
(DE MATEO et al, 2006); efeitos defasados de produção (CHEN e DALEN, 2010);
carry-overs (TONE e TSUTSUI, 2010; 2014).
Cada denominação está associada a um conceito em virtude dos diferentes fatores
motivadores da interdependência nas avaliações e das funções que os elementos
intertemporais podem possuir em uma empresa (Quadro 2.2). Contudo, ao longo deste
trabalho, os termos serão utilizados indistintamente.
Quadro 2.2- Definição dos elementos intertemporais
Elemento intertemporal Definição
Inputs/Outputs
intermediários
(Intermediate
inputs/outputs)
Os intermediários são elementos produzidos em um período e
empregados como inputs no período seguinte FÄRE e GROSSKOPF,
1996, p.7).
Inputs estocáveis (Storable
inputs)
Inputs estocáveis são inputs de um período t que podem ser usados em
um período t+1 (FÄRE e GROSSKOPF, 1996, p.166).
Inputs quase-fixos (quasi-
fixed inputs)
Inputs quase-fixos são inputs que não podem ser ajustados para os níveis
ótimos instantaneamente ou no curto-prazo por restrições técnicas ou
administrativas.
Custos de ajustes
(Adjustment costs)
Custos de ajustes são custos gerados pela alteração das quantidades de
determinados inputs pela DMU. Os custos de ajustes são específicos para
cada input e cada DMU (DE MATEO et al, 2006, p. 214).
Efeitos defasados de
produção (Lagged
productive effects)
Efeitos defasados de produção ocorrem quando os inputs contribuem
para a produção do período corrente como também para períodos futuros
(CHEN e DALEN, 2010, p. 749).
Elementos de transição
(Carry-overs)
Carry-overs são atividades entre dois períodos consecutivos ou relações
que conectam as atividades (TONE e TSUTSUI, 2010, p. 145).
A dependência intertemporal pode ser identificada em diversas situações reais. Tone e
Tsutsui (2014) listam alguns setores em que se pode encontrá-la: (1) instituições
financeiras, quando considera-se a inadimplência (ou um prejuízo) e lucro obtido como
elementos de transição; (2) instituições médicas, o número de leitos e vínculos com
hospital; (3) setor de energia elétrica, a capacidade de geração, o comprimento da linha
de transmissão etc. Ou ainda, ao se fazer uso de promoções, pois há uma defasagem entre
o esforço de vendas por meio da promoção e o momento de apuração das vendas reais
(EMROUZNEJAD e THANASSOULIS, 2005).
Com base em uma revisão bibliográfica, Fallah-Fini et al (2014) observaram que a
“dinâmica” contemplada nos modelos é função das informações, estrutura física, e
características organizacionais dos sistemas de produção. Esses autores elencaram cinco
24
elementos cuja presença isolada ou concomitante estabelece a interdependência nos
sistemas (Quadro 2.3).
Quadro 2.3 - Sistematização dos elementos que atribuem a interdependência temporal aos modelos
Fatores de
interdependência
temporal
Conceito por Fallah-Fini et al (2014)
Desenvolvimento
incremental e
modelos de
aprendizagem
As empresas tendem a aprender e a ajustar sua produção uma vez que obtém
as informações necessárias sobre as fontes de ineficiência técnica. Funciona
como um estoque de conhecimento, como um output intermediário.
Custos de ajuste
Custos de ajustes causam a redução da produção ou da utilização de recursos
devido a novos investimentos. Por exemplo, a instalação de um novo
maquinário implica em atrasos na produção, treinamento, etc. Por isso,
quanto maior o investimento em inputs quase-fixos, maior a perda nos níveis
de produção.
Atrasos da produção
A produção pode ocasionar atrasos entre a utilização das entradas e a
fabricação das saídas. O que faz com que o uso eficiente dos inputs reflita
em uma produção distribuída das saídas nos períodos seguintes.
Estoques
As empresas podem produzir estoques para ajudar a nivelar o uso da
capacidade e suprir os momentos em que a demanda é superior que a
capacidade produtiva.
Capital ou fatores
quase-fixos genéricos
O capital investido em qualquer momento no tempo é uma função desta
mesma variável em um ou mais períodos anteriores. A decisão sobre um
investimento em tecnologia é um problema de otimização intertemporal, no
qual uma decisão ótima requer informações sobre preços futuros ou
esperados, demanda e outros fatores.
Os elementos de transição observados no DDEA podem ainda ser categorizados em
quatro tipos (TONE e TSUTSUI, 2010):
a) Desejável: Este elemento de transição é bom, por isso, pode ser tratado como
output e o seu valor não deve ser menor do que o observado, a exemplo disso,
pode-se citar os lucros acumulados.
b) Indesejável: Um elemento ruim ou não desejável é tratado como insumo e o seu
valor não deve ser maior do que o observado. A inadimplência é um exemplo de
input intermediário indesejável.
c) Discricionário: Este carry-over é livre, então, pode ter o seu valor aumentado ou
reduzido do observado. Sua presença afeta a eficiência indiretamente.
d) Não-discricionário: Representa um intermediário que está sob controle da DMU
e o seu valor é fixado ao observado. Sua presença também afeta a eficiência
indiretamente através da sua continuidade entre os períodos.
Ressalta-se que não são todas as modelagens dinâmicas estruturadas para discriminar os
tipos de intermediário. A maioria dos modelos não faz esse detalhamento, como será
discutido nos próximos capítulos.
25
CAPÍTULO 3
EVOLUÇÃO DA LITERATURA DOS MODELOS DINÂMICOS DEA
Na literatura da Análise Envoltória de Dados, os modelos dinâmicos são primeiramente
apresentados por Färe e Grosskopf (1996) ao introduzir aspectos dinâmicos de produção
na DEA e ao formalizar as conexões entre as atividades por meio de intermediários. Após
essa pesquisa, diversos autores desenvolvem modelagens, fundamentando-se em modelos
dinâmicos existentes, como também em adaptações dos modelos estáticos tradicionais.
Nesse sentido, este capítulo tem por objetivo analisar a evolução da literatura da
modelagem dinâmica em contribuições teóricas e práticas.
3.1 Evolução da literatura DDEA
A primeira revisão do estado da arte dos modelos dinâmicos foi realizado por Fallah-Fini
et al (2014) a fim de expor similaridades e diferenças de abordagens dinâmicas não
paramétricas. O presente estudo, entretanto, delineia seu escopo ao considerar
exclusivamente modelos dinâmicos DEA em diferentes composições, sobretudo com a
presença de elementos intermediários.
Ao analisar a evolução dos modelos dinâmicos de DEA na literatura, verifica-se que não
há uma sistematização dos trabalhos publicados, como elaborado por Kao (2014) para os
modelos NDEA (Network DEA). Portanto, este capítulo fornece um esboço dos principais
avanços metodológicos, o mapeamento dos modelos e das aplicações realizadas do
DDEA, bem como a relação entre as modelagens desenvolvidas.
Com base na sistematização bibliográfica de DDEA, foi possível avaliar a introdução de
diferentes modelos DEA, bem como, outras técnicas a fim de obter maior precisão dos
resultados, como lógica fuzzy, programação multi-objetivo, etc. Observa-se que
inicialmente os estudos começaram a partir de adaptações de modelagens DEA já
consolidadas na literatura (modelos clássicos, de redes, aditivos, etc.), mas que ainda
abordavam a eficiência em um contexto estático. Posteriormente, se tornou mais comum
a reformulação de modelos dinâmicos anteriormente desenvolvidos com o intuito de
aprimorar e elaborar novas modelagens dinâmicas.
Após sistematizações, a amostra de artigos desta pesquisa é composta por 48 trabalhos
publicados no período de 1996 a 2015 em revistas internacionais indexadas em bases de
dados. O Quadro 3.1 apresenta informações sobre os trabalhos de DEA dinâmico
pertencentes a amostra.
Na segunda coluna do Quadro 3.1, observam-se as principais referências metodológicas
para cada modelo DDEA. Os trabalhos considerados como referência foram indicados na
pesquisa como importantes para a modelagem, pois permitiram: (a) a fundamentação
básica ao auxiliarem na determinação de variáveis, inserção de restrições, definição da
tecnologia de produção, etc.; (b) o aprimoramento de modelagens anteriores, ao permitir
ainda a ampliação com o desenvolvimento de um novo modelo; (c) a aplicação do modelo
em uma nova situação real.
26
Quadro 3.1 - Sistematização das características de amostra e referências para os modelos das pesquisas de DDEA
Autor Referências para o modelo Tipo (*)
Färe e Grosskopf (1996) Färe (1988) T/P
Sengupta (1999) Sueyoshi (1992) e Sengupta (1994) T/P
Nemoto e Goto (1999) - T
Jaenicke (2000) Färe e Grosskopf (1996) e Banker (1993; 1996) P
Nemoto e Goto (2003) Nemoto e Goto (1999); Färe e Grosskopf (1996) T/P
Silva e Stefanou (2003) Varian (1984) T/P
Sueyoshi e Sekitani (2005) Nemoto e Goto (1999); Sueyoshi (1999); Banker et al(1984) T
De Mateo et al (2006) Charnes et al (1978); Färe et al (1985) T/P
Silva e Stefanou (2007) Silva e Stefanou (2003) T/P
Bogetoft et al (2009) Färe e Grosskopf (1996; 1997) P
Von Geymueller (2009) Nemoto e Goto (1999) T/P
Chen (2009) - T
Tone e Tsutsui (2010) Pastor et al (1999); Tone (2001); Tone e Tsutsui (2009) T/P Emrouznejad e Thanassoulis
(2010) Emrouznejad (2003); Emrouznejad e Thanassoulis (2005) T/P
Chen e Dalen (2010) Färe e Grosskopf (1996); Binder et al (2005) T/P Althin et al (2010) Färe e Grosskopf (1996) P
Jafarian-Moghaddam e
Ghoseiri (2011) Nemoto e Goto (1999; 2003) T
Avkiran e Goto (2011) Cooper et al (1999); Nemoto e Goto (2003) T/P
Reshadi (2012) Färe e Grosskopf (1996); Nemoto e Goto (1999) T
Reshadi e Espahi (2012) Nemoto e Goto (1999; 2003) T
Skevas et al (2012) Färe et al (2007); Chung et al (1997) T/P
Jafarian-Moghaddam e
Ghoseiri (2012) Nemoto e Goto (1999; 2003) T
Chen (2012) Luenberger (1992); Fukuyama e Weber (2009) T/P
Kao (2013) Kao (2009) T/P
Moreno et al (2013) Tone e Tsutsui (2010) P
Soleimani-damaneh (2013a) Sueyoshi e Sekitani (2005); Banker e Thrall (1992) T
Soleimani-damaneh (2013b) Soleimani-damaneh (2009); Sueyoshi e Sekitani (2005);
Kao e Liu (2000) e Lertworasirikul et al (2003) T
Soleimani-damaneh (2013c) Nemoto e Goto (1999); Sueyoshi e Sekitani (2005);
Kerstens e Vanden Eeckaut (1999) T
Alperovych et al (2013) Tone e Tsutsui (2010) P
Wu et al (2013) Tone e Tsutsui (2010) P
Shafiee et al (2013) Tone e Tsutsui (2010) P
Avkiran e McCrystal (2014) Avkiran e McCrystal (2013); Tone e Tsutsui (2014) P
Tone e Tsutsui (2014) Tone e Tsutsui (2009; 2010) T/P
Kawaguchi et al (2014) Tone e Tsutsui (2014) P
Lu et al (2014) Tone e Tsutsui (2010) P
Hung et al (2014) Tone e Tsutsui (2010) P
Kapelko et al (2014) Silva e Stefanou (2003; 2007); Silva e Lansink (2013) T/P Skevas e Lansink (2014) Skevas et al (2012) e Murty et al (2012) T/P
Díaz - Hernández et al (2014) Nemoto e Goto (2003) P
Wang et al (2014) Tone e Tsutsui (2010) P
Lin e Yang (2014) Tone e Tsutsui (2010) P
Škrinjarić (2014) Tone e Tsutsui (2010) P
Kweh et al (2014a) Tone e Tsutsui (2010) P
Kweh et al (2014b) Tone e Tsutsui (2010) P
Andersson et al (2014) Chung et al (1997); Althin et al (2010) T/P
Wanke et al (2015) Tone e Tsutsui (2010) P
Fukuyama e Weber (in press) Färe e Grosskopf (1996); Färe et al (2012); Akther et al
(2013); Fukuyama e Weber (2012, 2013) T/P
Avkiran (in press) Tone e Tsutsui (2014) P
(*) Legenda: T – Teórico; P – Prático; T/P – Teórico e Prático.
27
A terceira coluna apresenta a tipologia dos estudos: teórico e/ou prático. Segundo os
procedimentos metodológicos de Liu et al (2013b): (a) teóricos são aqueles que
introduzem um novo modelo ou metodologia sem exemplificação, ou validado apenas
por uma série numérica; (b) teórico e prático representa os estudos que tratam de novas
modelagens ou apresentam novas considerações a estrutura dos modelos e aplicam dados
reais para contextualização do problema e, por fim, (c) trabalhos práticos são aqueles cujo
escopo está focado na aplicação de um modelo já apresentado na literatura em uma nova
situação real (Quadro 3.1).
O panorama das pesquisas de modelagem dinâmica DEA está relacionado com
problemáticas reais de avaliação do desempenho: 44% dos trabalhos apresentados no
Quadro 3.1 unem teoria e prática; enquanto que 39% realizam aplicações de modelos
anteriormente desenvolvidos. As pesquisas básicas que geram apenas conhecimento sem
o intuito imediato de aplicação totalizam 17% da amostra, como apresenta a Figura 3.1.
Figura 3.1 - Participação dos tipos de pesquisa teórica, prática e teórica e prática na amostra de estudos DDEA
Com o detalhamento da amostra ao longo dos anos (1996-2015), observa-se que na
primeira década a quantidade de pesquisas desenvolvidas era muito pequena e não
ultrapassava dois trabalhos anualmente. Os estudos teóricos foram publicados no início
da literatura como parte do desenvolvimento e consolidação da modelagem (Ver Figura
3.2).
Em quantidade um pouco maior, os trabalhos com as duas vertentes em conjunto (teórica
e prática) também estiveram presentes no decorrer de vários anos analisados. Até mesmo
a pesquisa inicial de Färe e Grosskopf (1996) traz diversas contribuições teóricas e a
demonstração de uma avaliação da eficiência aplicada. Isso apenas fortalece o argumento
de que o desenvolvimento da modelagem dinâmica foi estimulado pela necessidade de
avaliações de problemáticas reais.
Entre os anos de 2012-2013, verificou-se um aumento no número de pesquisas que
buscaram apresentar novas modelagens ao mesclar DEA com outras técnicas, bem como,
aprimorar modelos DDEA anteriores, o que implicou no crescimento de estudos teóricos.
No ano passado, no entanto, não houve estudos estritamente teóricos, pois as proposições
acompanharam novamente uma situação real, como pode ser exemplificado com o
trabalho de Tone e Tsutsui (2014).
28
Constatou-se, ultimamente, um crescimento expressivo de publicações no âmbito DDEA,
em especial, com o desenvolvimento de estudos focados em aplicações, o que não era
destaque anteriormente. Os estudos de caso podem, então, ser indicados como a tendência
dos trabalhos atuais, haja vista as diversas modelagens que já foram desenvolvidas ao
longo dos últimos anos e os aperfeiçoamentos realizados. A Figura 3.2 detalha este
quantitativo das tipologias de pesquisa por ano.
Figura 3.2 - Detalhamento dos tipos de pesquisa DDEA por ano
O avanço nas pesquisas de modelos dinâmicos exposto na Figura 3.2 e no Quadro 3.1
podem ser interpretados pela construção de três fases sequenciais da literatura. Essas
etapas são: (1) o desenvolvimento de modelos; (2) aperfeiçoamento da modelagem; e, (3)
aplicações dos modelos.
A primeira fase trata do período em que os estudos convergiram para desenvolver os
modelos dinâmicos inicias (SENGUPTA, 1999; FÄRE e GROSSKOPF, 1996;
NEMOTO e GOTO, 1999), em virtude das lacunas identificadas em modelos clássicos
(CHARNES et al, 1978; BANKER et al¸1984). Nesta fase da literatura DDEA, verificou-
se o avanço quantitativo e qualitativo referente aos trabalhos da tipologia teórica e prática
e teórica.
Os modelos aplicados na fase inicial ainda não estavam suficientemente adaptados para
extrair os resultados de ineficiência dos diversos processos. Logo, a segunda fase incluiu
melhorias com a complementação de outras técnicas e modelos DEA mais avançados
(DEA Malmquist, SBM, DEA RAM, etc.) a fim de construir medidas mais robustas de
análises. Há um aumento na publicação de trabalhos teóricos acompanhada também de
trabalhos teóricos e práticos (CHEN e DALEN, 2010; TONE e TSUTSUI, 2010;
EMROUZNEJAD e THANASSOULIS, 2010).
A terceira fase retrata um período com aplicações dos modelos desenvolvidos e
aprimorados para mensurar a eficiência dinâmica em estudos de caso, permitindo uma
maior disseminação da modelagem em diversos seguimentos de mercado (DÍAS-
HERNÁNDEZ et al, 2014; KAWAGUCHI et al, 2014; WANKE et al, 2015).
29
A Figura 3.3 sistematiza as três fases identificadas da literatura. Os períodos demarcados
para cada fase não são restritivos, mas assumem certas variações já que apenas indicam
uma estimativa conforme as características dos trabalhos. A primeira fase, em especial,
apresenta duração maior que as demais, pois representa um período inicial de
desenvolvimento com poucas publicações por ano.
Figura 3.3 - Fases da literatura de modelos dinâmicos DEA
Mediante o indicativo de novos trabalhos teórico e práticos sendo desenvolvidos no
último ano e o potencial de expansão de pesquisas já indicado por alguns autores (KAO,
2014; LIU et al, 2013a), acredita-se que a fase de aperfeiçoamento irá novamente ser
vivenciada nos próximos anos. Mantendo-se, ainda assim, um crescimento no número de
aplicações tendo em vista a disseminação dos modelos, o amadurecimento da literatura e,
sobretudo, o desenvolvimento de softwares que contemplam o DDEA.
A Figura 3.4 traz a representação da evolução da literatura dos modelos dinâmicos DEA
discutida. As modelagens DDEA são representadas em retângulos e os estudos com
outros modelos DEA, assim como, temas complementares ao DEA estão em círculos
numerados e detalhados conforme legenda. As cores dos trabalhos DDEA variam de
acordo com a classificação dos modelos que será detalhada nos capítulos 4 e 5.
O relacionamento entre os trabalhos por meio das ligações (setas ou conexões) na Figura
3.4 está de acordo com as referências identificadas na segunda coluna do Quadro 3.1. As
conexões sugerem relação de dependência entre os modelos e podem indicar: (a)
contribuições teóricas para o desenvolvimento/aprimoramento de novas modelagens, ou;
(b) utilização do modelo para uma nova aplicação.
As ligações entre as pesquisas foram construídas com base em observações empíricas
durante a leitura dos trabalhos, o que permitiu a identificação dos principais estudos
balizadores (referências para o modelo). É possível observar na Figura 3.4 o
encadeamento de até três trabalhos dinâmicos. Esse é o caso de Tone e Tsutsui (2010)
que embasou o desenvolvimento do modelo dinâmico com abordagem de redes de Tone
e Tsutsui (2014). O modelo DNDEA foi aplicado por Kwaguchi et al (2014), como
também fundamentou o desenvolvimento de outro modelo por Avkiran e McCrystal
(2014).
30
Figura 3.4 - Mapeamento da evolução da literatura de DDEA
Legenda: (1) Färe (1988); (2) Sueyoshi (1992); (3) Sengupta (1994); (4) Banker (1993); (5) Banker (1996); (6) Varian (1984); (7) Sueyoshi (1999); (8) Banker et al (1984); (9) Charnes et al
(1978); (10) Färe et al (1985); (11) Färe e Grosskopf (1997); (12) Pastor et al (1999); (13) Tone (2001); (14) Tone e Tsutsui (2009); (15) Emrouznejad (2003); (16) Emrouznejad e Thanassoulis
(2005); (17) Binder et al (2005); (18) Cooper et al (1999); (19) Färe et al (2007); (20) Chung et al (1997); (21) Luenberger (1992); (22) Fukuyama e Weber (2009); (23) Kao (2009); (24) Banker
e Thrall (1992); (25) Soleimani-damaneh (2009); (26) Kao e Liu (2000); (27) Lertworasirikul et al (2003); (28) Kerstens e Vanden Eeckaut (1999); (29) Avkiran e McCrystal (2013); (30) Tone e
Tsutsui (2009); (31) Silva e Lansink (2013); (32) Murty et al (2012); (33) Avkiran e Morita (2010); (34) Färe et al (2012); (35) Akther et al (2013); (36) Fukuyama e Weber (2012); (37) Fukuyama
e Weber (2013).
31
3.2 Aplicações de DDEA
Há diversas potencialidades pelas quais a Análise Envoltória de Dados pode ser
amplamente aplicada na gestão das empresas. Após a década de 90, a técnica passou por
um rápido crescimento do número de aplicações estimulado pela disponibilidade de
softwares para a utilização dos modelos (LIU et al, 2013b).
De um modo geral, segundo Liu et al (2013b), os segmentos com maior quantitativo de
estudos reais para avaliação da eficiência com a Análise Envoltória de Dados são: (1)
bancos; (2) saúde; (3) agricultura e fazendas; (4) transportes e (5) educação.
As pesquisas com contribuições práticas e associadas organizadas no Quadro 3.1 foram
sistematizadas com o objetivo de averiguar se a literatura de DDEA desenvolveu-se com
a mesma tendência de utilização dos demais modelos DEA para resolução de problemas
em ambientes reais. A Tabela 3.1 elenca os trabalhos da amostra com aplicações e detalha
as áreas até então contempladas com avaliações dinâmicas da eficiência.
Tabela 3.1 - Setores de aplicações dos modelos dinâmicos DEA
Ambiente/Setor das
aplicações
Quantidade
de estudos Trabalhos
Agropecuária 8
Färe e Grosskopf (1996); Jaenicke (2000); Silva e
Stefanou (2003; 2007); Chen (2012); Skevas et al (2012);
Kao (2013); Skevas e Lansink (2014).
Finanças 7
Avkiran e Goto (2011); Alperovych et al (2013); Shafiee
et al (2013); Škrinjarić (2014); Wanke et al (2015);
Avkiran (in press); Fukuyama e Weber (in press).
Serviços 7
De Mateo et al (2006); Althin et al (2010); Wu et al
(2013); Lu et al (2014); Kweh et al (2014a); Kweh et al
(2014b); Andersson et al (2014).
Energia elétrica 5 Nemoto e Goto (2003); Von Geymueller (2009); Tone e
Tsutsui (2010; 2014); Lin e Yang (2014).
Manufatura 4 Bogetoft et al (2009); Emrouznejad e Thanassoulis
(2010); Chen e Dalen (2010); Hung et al (2014).
Transportes 4 Sengupta (1999); Jafarian-Moghaddam e Ghoseiri (2011;
2012); Díaz - Hernández et al (2014).
Saúde 2 Kawaguchi et al (2014); Avkiran e McCrystal (2014).
Telecomunicações 2 Moreno et al (2013); Wang et al (2014).
Construção civil 1 Kapelko et al (2014)
Total 40
Verifica-se que o maior número de casos aplicados do DDEA está relacionado com a
avaliação do desempenho do setor da agropecuária (20% das aplicações). Em segundo
lugar com 18% dos trabalhos, destacam-se as análises em bancos, mercados de ações e
investimentos (representadas pelo segmento finanças) e em serviços, que agrupam as
análises em hotéis, seguradoras, etc. (Ver Figura 3.5). Os resultados apontam que mais
de 80% do total de trabalhos com DDEA identificados nessa pesquisa apresentaram
alguma abordagem prática.
32
Figura 3.5 - Distribuição dos setores de aplicação das pesquisas com DDEA
Em contraposição, o comportamento da literatura DDEA com a DEA clássica, observa-
se que alguns dos setores mais representativos são comuns a ambas modelagens, no
entanto, no DDEA ainda não existem muitos trabalhos aplicados a saúde e educação. De
modo geral, as pesquisas estão distribuídas em diversas áreas, o que pode estar
relacionado com a expansão recente em publicações como mostrado na Figura 3.2.
Observa-se a grande oportunidade de aplicar os modelos que estão sendo desenvolvidos
a fim de resolver problemas reais e enriquecer a literatura de DEA. As aplicações também
permitem a comparação dos resultados gerados entre as diferentes abordagens propostas,
expondo as vantagens e desvantagens dos modelos (KAO, 2014).
33
CAPÍTULO 4
MODELOS DINÂMICOS ESTRUTURANTES
A sistematização dos trabalhos publicados com modelos dinâmicos DEA ao longo do
período de 1996 a 2015 apresenta o desenvolvimento de diversas pesquisas, conforme
demonstrado no capítulo 3. Alguns dos estudos expostos, contudo, se estabelecem como
marcos teóricos da bibliografia DDEA, pois impulsionaram a evolução da literatura e
proporcionaram fundamentação para outras pesquisas na área. O presente capítulo,
portanto, objetiva elucidar as modelagens dinâmicas de maior impacto na literatura, como
também, discutir similaridades e diferenças na formulação desses modelos.
Com base no mapeamento e na evolução dos modelos DDEA, buscou-se identificar os
trabalhos com maior influência para construtos teóricos e aplicados na literatura. Um
importante fator considerado neste delineamento foi o encadeamento de um modelo com
as outras pesquisas publicadas. Portanto, se avaliou quantas vezes cada estudo DDEA
serviu de referência para os demais, por meio do número de conexões que apresenta com
as modelagens dinâmicas conforme a segunda coluna do Quadro 3.1 e as evoluções
demonstradas pelas setas da Figura 3.4.
O número de citações dos trabalhos na base Scopus pôde também ser analisado em
comparação com as conexões identificadas. Esse quantitativo está relacionado com a
importância das pesquisas para a literatura. A Tabela 4.1 apresenta a sistematização
desses dois indicadores.
Tabela 4.1- Sistematização dos indicadores conexões e citações para avaliação dos trabalhos DDEA
Trabalho Quantidade de
conexões
Citações na base
Scopus
Tone e Tsutsui (2010) 15 69
Nemoto e Goto (1999) 8 43
Färe e Grosskopf (1996) 7 222
Nemoto e Goto (2003) 3 57
Sueyoshi e Sekitani (2005) 3 42
Silva e Stefanou (2003) 2 12
Tone e Tsutsui (2014) 3 16
Silva e Stefanou (2007) 1 14
Althin et al (2010) 1 1
Skevas et al (2012) 1 11
Observa-se na avaliação das conexões, que o modelo de Tone e Tsutsui (2010) em
conjunto com Nemoto e Goto (1999) e o precursor Färe e Grosskopf (1996) são os mais
utilizados na literatura DDEA. Em termos gerais, o resultado do levantamento das
citações se mostra semelhante ao mapeamento da evolução ao destacar Färe e Grosskopf
(1996) com a maior quantidade de citações, seguido por Tone e Tsutsui (2010) e
divergindo apenas em relação a Nemoto e Goto (2003). Vale ressaltar, entretanto, que
Nemoto e Goto (2003) é um trabalho resultante de aprimoramentos na modelagem de
Nemoto e Goto (1999).
34
O impacto dos trabalhos na avaliações das citações é considerado por meio de publicações
em diversas áreas de estudo, que podem não se limitar a modelagem dinâmica, ou ainda,
a Análise Envoltória de Dados. O trabalho mais citado, Färe e Grosskopf (1996), é
constantemente mencionado com um dos estudos precursores da modelagem dinâmica,
contudo, também é lembrado por analisar conceitos importantes do DEA Malmquist e
introduzir a visão por processos dos modelos de redes.
Nesse sentido, a análise das citações corrobora com a avaliação das referência destacando
os trabalhos mais disseminados na literatura. Entretanto, conforme o escopo da avaliação
pretendida, as conexões estabelecidas entre os estudos no mapa da evolução indicam os
trabalhos de maior relevância especificamente no desenvolvimento da literatura DDEA.
Desse modo, Färe e Grosskopf (1996), Tone e Tsutsui (2010) e Nemoto e Goto (1999)
podem ser indicados como os principais direcionadores para o desenvolvimento teórico
e de aplicações de modelagens no âmbito do DDEA.
Destacam-se tais estudos como os modelos estruturantes da literatura de DDEA. Essas
modelagens foram inovadoras, pois introduziram novas abordagens de DEA dinâmico
fundamentadas em modelos clássicos e outros trabalhos da literatura DEA, ao passo que
suas proposições proporcionaram o desenvolvimento de várias pesquisas.
A compreensão dos trabalhos de Färe e Grosskopf (1996), Nemoto e Goto (1999) e Tone
e Tsutsui (2010) é importante para o entendimento geral da avaliação da eficiência
dinâmica DEA e a diferenciação desta para a eficiência estática. Assim, ao longo desse
capítulo será apresentado cada um dos modelos estruturantes DEA e também discutidas
algumas semelhanças e diferenças na estrutura destas modelagens.
Buscou-se, então, a padronização dos termos utilizados nos modelos DDEA a fim de
permitir melhor sistematização dos trabalhos e a comparação das modelagens. A
descrição completa de todos os termos adotados nos modelos dinâmicos explanados nesta
pesquisa é detalhada no Apêndice – A.
Inicialmente, contudo, pode-se apresentar uma legenda básica que expõe os elementos
mais comuns e presentes em todos os modelos DDEA. As demais variáveis e parâmetros
particulares de cada estrutura serão detalhadas ao longo das discussões.
Legenda básica para estudo dos modelos dinâmicos DEA
𝑥𝑖𝑗𝑡 : input i da j-ésima DMU no período t; 𝑧𝑓𝑗
𝑡 : input intermediário f da j-ésima DMU no
período t;
𝑥𝑖𝑘𝑡 : input i da DMU analisada k no período t; 𝑧𝑓𝑘
𝑡 : input intermediário f da DMU analisada k no
período t;
𝑦𝑟𝑗𝑡 : output r da j-ésima DMU no período t; 𝑦𝑟𝑘
𝑡 : output r da DMU analisada k no período t
f: input intermediário em análise m: número de inputs
j: DMU qualquer da amostra g: número de inputs intermediários
k: DMU em análise i: input variável em análise
n: número de DMUs s: número de outputs
p: número de períodos r: output em análise
t: período em análise
35
4.1 Modelo de Färe e Grosskopf (1996)
Färe e Grosskopf (1996) agregaram importantes contribuições ao desenvolvimento do
DDEA ao aplicar a visão de redes alinhada com a análise de atividades produtivas. Estes
autores introduziram os aspectos dinâmicos do ambiente produtivo na modelagem DEA
tradicional por meio de proposições e a consideração de que a decisão de um período
influencia as saídas em outro período.
O modelo de Färe e Grosskopf (1996) (FG) possui como tecnologia de produção dinâmica
uma sequência de tecnologias estáticas que são interligadas por inputs/outputs
intermediários entre os períodos de análise. Os autores apresentaram ainda outra vertente
da modelagem com a possibilidade de inserir inputs estocáveis. A pesquisa de Färe e
Grosskopf (1996) também serviu como precursora de diversos estudos de network DEA.
Esse trabalho é apropriado à descrição dos processos de produção entre períodos de
análise (NEMOTO e GOTO, 1999; SENGUPTA, 1999).
A Figura 4.1 apresenta a estrutura dinâmica de FG para determinada DMU com
intermediários (𝑍𝑓𝑡) e a consideração de inputs estocáveis (𝑠𝑥
𝑡) que podem ser reservados
para utilização em momento posterior. Nesse caso, além da entrada de inputs e saída de
outputs em cada período t, o sistema permite a dedução (reserva) de estoques do período
(𝑠𝑥𝑡) para uso no futuro, como também a utilização de estoques de períodos anteriores
(𝑠𝑥𝑡−1).
Figura 4.1 - Estrutura do modelo de Färe e Grosskopf (1996) com inputs intermediários e estocáveis
Caso sejam considerados apenas os intermediários, a estrutura do modelo de Färe e
Grosskopf (1996) é semelhante a Figura 2.5. Além da possibilidade de considerar um
elemento estocável, o modelo dinâmico de FG mostra-se bastante flexível as condições
específicas dos problemas a serem analisados.
Färe e Grosskopf (1996) descrevem uma “tecnologia de produção básica”, desse modo,
os autores definem um conjunto de possibilidades que expressam as relações viáveis entre
inputs e outputs. No contexto dinâmico, Färe e Grosskopf (1996) estabelecem um
conjunto de possibilidades de produção para três períodos de análise, conforme os
recursos de input e o intermediário inicial: 𝑃(𝑥𝑡−1, 𝑥𝑡 , 𝑥𝑡+1, 𝑧0).
Mediante a definição da tecnologia básica, a modelagem de Färe e Grosskopf (1996)
permite diferentes formas de otimização como: maximização da receita, maximização do
lucro, minimização dos custos, medida de distância do output ou do input, entre outras.
36
Para cada situação de análise pretendida, deve-se ajustar a função objetivo, assim como,
alterar as variáveis que serão otimizadas e os parâmetros informados.
A seguir observa-se a tecnologia de referência ou a estrutura básica do modelo dinâmico
FG para a avaliação de três períodos (t-1, t, t+1), sem a consideração de inputs estocáveis
e assumindo retornos constantes de escala:
𝑃(𝑥𝑡−1, 𝑥𝑡 , 𝑥𝑡+1, 𝑧0) = {(𝑦𝑡−1, 𝑦𝑡 , (𝑦𝑡+1 + 𝑧𝑡+1)):
𝑦𝑟𝑡−1 + 𝑧𝑟
𝑡−1 ≤ ∑ 𝜆𝑗𝑡−1(𝑦𝑟𝑗
𝑡−1 + 𝑧𝑟𝑗𝑡−1)𝑛
𝑗=1 , 𝑟 = 1,… , 𝑠 (FG.1)
∑ 𝜆𝑗𝑡−1𝑛
𝑗=1 𝑥𝑖𝑗𝑡−1 ≤ 𝑥𝑖
𝑡−1, 𝑖 = 1,… ,𝑚 (FG.2)
∑ 𝜆𝑗𝑡−1𝑧𝑟𝑗
0𝑛𝑗=1 ≤ 𝑧𝑟
0, 𝑟 = 1,… , 𝑠 (FG.3)
𝜆𝑗𝑡−1 ≥ 0, 𝑗 = 1,… , 𝑛 (FG.4)
𝑦𝑟𝑡 + 𝑧𝑟
𝑡 ≤ ∑ 𝜆𝑗𝑡(𝑦𝑟𝑗
𝑡 + 𝑧𝑟𝑗𝑡 )𝑛
𝑗=1 , 𝑟 = 1,… , 𝑠 (FG.5)
∑ 𝜆𝑗𝑡𝑛
𝑗=1 𝑥𝑖𝑗𝑡 ≤ 𝑥𝑖
𝑡 , 𝑖 = 1,… ,𝑚 (FG.6)
∑ 𝜆𝑗𝑡𝑧𝑟𝑗
𝑡−1𝑛𝑗=1 ≤ 𝑧𝑟
𝑡−1, 𝑟 = 1,… , 𝑠 (FG.7)
𝜆𝑗𝑡 ≥ 0, 𝑗 = 1,… , 𝑛 (FG.8)
𝑦𝑟𝑡+1 + 𝑧𝑟
𝑡+1 ≤ ∑ 𝜆𝑗𝑡+1(𝑦𝑟𝑗
𝑡+1 + 𝑧𝑟𝑗𝑡+1)𝑛
𝑗=1 , 𝑟 = 1,… , 𝑠 (FG.9)
∑ 𝜆𝑗𝑡+1𝑛
𝑗=1 𝑥𝑖𝑗𝑡+1 ≤ 𝑥𝑖
𝑡+1, 𝑖 = 1,… ,𝑚 (FG.10)
∑ 𝜆𝑗𝑡+1𝑧𝑟𝑗
𝑡𝑛𝑗=1 ≤ 𝑧𝑟
𝑡 , 𝑟 = 1,… , 𝑠 (FG.11)
𝜆𝑗𝑡+1 ≥ 0, 𝑗 = 1,… , 𝑛 } (FG.12) (FG)
Legenda do modelo Färe e Grosskopf (1996):
Possíveis variáveis:
𝑥𝑖𝑡: input i no período t; 𝑦𝑟
𝑡: output r no período t;
𝑧𝑟𝑡: input intermediário r no período t; 𝜆𝑗
𝑡: variável de intensidade da DMU j no período t;
Parâmetros:
𝑥𝑖𝑗𝑡 ; 𝑦𝑟𝑗
𝑡 ;
𝑧𝑟𝑗𝑡 :input intermediário r da DMU j no período t
Como pode-se verificar, o modelo de FG apresenta um conjunto de restrições que são
replicadas a cada período t (t=1,...,p), de modo que: FG. 1-4 referem-se ao primeiro
período de análise (t=1); FG. 5-8 contemplam os períodos intermediários (t=2,..., p-1); e,
por fim, FG. 9-12 são delineadas para o último momento da avaliação dinâmica (t=p).
Observa-se, então, que o modelo de FG consiste na sequência de infinitas tecnologias
estáticas em que a interação entre os períodos de tempo se desenvolve através dos
37
inputs/outputs intermediários (FÄRE e GROSSKOPF, 1996). Cada tecnologia 𝑃𝑡 utiliza
inputs exógenos 𝑥𝑡 e inputs intermediários 𝑧𝑡−1 para produção de output finais 𝑦𝑡 e
intermediários 𝑧𝑡.
A legenda do modelo FG mostra as possíveis variáveis que serão utilizadas conforme a
forma de otimização escolhida. Althin et al (2010), por exemplo, utilizaram o modelo de
Färe e Grosskopf (1996), contudo o seu objetivo estava na otimização do input
intermediário. Fundamentados na estrutura da tecnologia básica proposta, os autores
realizaram algumas alterações para que apenas o intermediário “𝑧𝑟𝑡 ” e a variável de
intensidade da DMU “𝜆𝑗𝑡” fossem otimizados, como será detalhado no próximo tópico.
Particularmente, na modelagem descrita de FG, verifica-se que o intermediário apresenta
o mesmo índice referente aos tipos de outputs “r” (𝑧𝑟𝑡; 𝑦𝑟
𝑡). Entende-se que a abordagem
básica de Färe e Grosskopf (1996) está direcionada para o tratamento da interdependência
temporal com produtos intermediários, obviamente estes têm a dupla característica de
inputs e outputs dos processos. O elemento de transição, então, possui a mesma natureza
dos outputs, funcionando como uma quantidade de produto acabado que será utilizada
apenas no período seguinte.
Caso o intermediário e o output final sejam de naturezas distintas, podem-se alterar as
restrições FG. 1,5 e 9, desmembrando o somatório em duas restrições isoladas para cada
um dos elementos (𝑧𝑟𝑡; 𝑦𝑟
𝑡) e seus respectivos tipos como descrito a seguir:
𝑦𝑟𝑡−1 ≤ ∑ 𝜆𝑗
𝑡−1𝑦𝑟𝑗𝑡−1𝑛
𝑗=1 , 𝑟 = 1,… , 𝑠 (Equação 4.1)
𝑧𝑓𝑡−1 ≤ ∑ 𝜆𝑗
𝑡−1𝑧𝑓𝑗𝑡−1𝑛
𝑗=1 , 𝑓 = 1,… , 𝑔 (Equação 4.2)
É importante observar que a tecnologia básica de FG também trata os inputs,
intermediários e outputs como parâmetros ( 𝑥𝑖𝑗𝑡 ; 𝑧𝑟𝑗
𝑡 ; 𝑦𝑟𝑗𝑡 ). Isso sugere que devem ser
informados por meio de dados históricos pelo decisor os valores para cada período, tipo
e DMU. Dependendo do foco de otimização, esses dados podem ser comparados com os
valores ótimos encontrados pelo modelo (os elementos que não possuem o índice da
DMU analisada k ou das demais j).
4.2 Modelo de Nemoto e Goto (1999)
Outro estruturante da literatura de DDEA é o trabalho de Nemoto e Goto (1999) que
objetiva a minimização de custos. O modelo mensura a ineficiência dinâmica dos inputs,
inputs quase-fixos (elementos intermediários) e dos investimentos em quase-fixos.
Segundo Nemoto e Goto (1999), esse trabalho se diferencia de Färe e Grosskopf (1996)
que não expõem as condições ótimas de ajustes dos investimentos, obtida com a
otimização das variáveis de input e input quase-fixo.
Dada a abordagem em investimentos e custos de ajustes, Nemoto e Goto (1999) (NG)
apresentam diversas particularidades divergentes da estrutura de Färe e Grosskopf (1996)
e Tone e Tsutsui (2010). NG buscam minimizar os custos de uma empresa, por isso, na
função objetivo empregam um fator de desconto constante (γ) para cada período “t”, que
multiplica o somatório do input variável com o input quase-fixo. A seguir, observa-se
com detalhes a modelagem de Nemoto e Goto (1999):
38
𝑚𝑖𝑛{𝑥𝑡,𝜆𝑡,𝑘𝑡}𝑡=1𝑝 ∑𝛾𝑡
𝑝
𝑡=1
(𝑣𝑖𝑘𝑡 𝑥𝑖
𝑡 + 𝑤𝑓𝑘𝑡 𝑧𝑓
𝑡−1)
𝑆𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎:
𝑥𝑖𝑡 − ∑ 𝑥𝑖𝑗
𝑡𝑛𝑗=1 𝜏𝑡 ≥ 0 𝑖 = 1,… ,𝑚; 𝑡 = 1, 2,… , 𝑝 (NG.1)
𝑧�̅�0 − ∑ 𝑧𝑓𝑗
0𝑛𝑗=1 𝜏1 ≥ 0 𝑓 = 1,… , 𝑔; (NG. 2)
𝑧𝑓𝑡−1 − ∑ 𝑧𝑓𝑗
𝑡−1𝑛𝑗=1 𝜏𝑡 ≥ 0 𝑓 = 1,… , 𝑔; 𝑡 = 2, 3, . . . , 𝑝 (NG.3)
∑ 𝑧𝑓𝑗𝑡𝑛
𝑗=1 𝜏𝑡 − 𝑧𝑓𝑡 ≥ 0 𝑓 = 1,… , 𝑔; 𝑡 = 1, 2, . . . , 𝑝 − 1 (NG.4)
∑ 𝑦𝑟𝑗𝑡𝑛
𝑗=1 𝜏𝑡 − 𝑦𝑟𝑘𝑡 ≥ 0 𝑟 = 1,… , 𝑠; 𝑡 = 1, 2, . . . , 𝑝 (NG.5)
𝜏𝑡 ≥ 0 (NG.6)
𝑥𝑖𝑡 ≥ 0, 𝑧𝑓
𝑡 ≥ 0 𝑡 = 1, 2, . . . , 𝑝 (NG)
Legenda do modelo de Nemoto e Goto (1999):
Variáveis
𝑥𝑖𝑡: input i no período t; 𝜏𝑡: variável de intensidade do período t;
𝑧𝑓𝑡: input intermediário f no período t;
Parâmetros
𝑥𝑖𝑗𝑡 ; 𝑦𝑟𝑗
𝑡 ; 𝑦𝑟𝑘𝑡 ; 𝑧𝑓𝑗
𝑡 ;
𝑧�̅�0: input intermediário f estabelecido para as DMUs no período inicial 0;
𝑤𝑓𝑘𝑡 : peso dos inputs intermediários f no período t para a DMU analisada k;
𝑣𝑖𝑘𝑡 : peso dos inputs i no período t para a DMU analisada k;
𝛾𝑡: fator constante de desconto;
Como se pode observar na restrição NG.4, Nemoto e Goto (1999) não consideram a
existência de um input intermediário no último período de análise. A representação desta
particularidade e demais características da estrutura desse modelo é apresentada na Figura
4.2. No período “t+1” (o último período analisado na Figura 4.2) há apenas a produção
de outputs e o consumo do quase-fixo antecedente e dos inputs variáveis.
Figura 4.2 - Modelo dinâmico de Nemoto e Goto (1999)
39
O elemento intermediário inicial (𝑧�̅�0) descrito no modelo e na Figura 4.2 representa um
vetor das condições iniciais de 𝑧𝑓0 informado no processo de avaliação. Segundo Nemoto
e Goto (1999), os valores iniciais dos quase-fixos obedecem a relação para todas as DMUs
(Equação 4.3):
�̅�𝑓0 = 𝑍𝑓
0
(Equação 4.3)
Em contraposição a modelagem estruturante de Tone e Tsustui (2010), no modelo de NG,
o quase-fixo de um período qualquer t (𝑧𝑓𝑡) e o input variável (𝑥𝑖
𝑡) estão relacionados ao
caminho ótimo de ajuste “optimal paths” e são obtidos como resposta do modelo de
otimização. Ao mesmo tempo, o pesquisador informa os valores anteriores dessas
variáveis para cada DMU e período (𝑥𝑖𝑗𝑡 ; 𝑧𝑓𝑗
𝑡 ). Enquanto isso, 𝑧�̅�0 é dado de forma exógena
e as demandas dos produtos 𝑦𝑟𝑗𝑡 também são conhecidas, de modo que, são apenas
parâmetros para o modelo de NG.
Observa-se ainda que o peso (𝜏𝑡) está relacionado somente com o período de avaliação,
sendo o mesmo para todas as DMUs. Já os demais modelos estruturantes, Färe e
Grosskopf (1996) e Tone e Tsutsui (2010), vinculam a variável de intensidade também a
DMU ( 𝜆𝑗𝑡).
As medidas de ineficiência do modelo NG são calculadas com base na diferença entre os
parâmetros e os valores otimizados (*), como apresentado nas Equações 4.4-5:
𝐼𝑥𝑘𝑡 = 𝛾𝑡 × ∑𝑣𝑖𝑘
𝑡
𝑚
𝑖=1
(𝑥𝑖𝑘𝑡 − 𝑥𝑖
𝑡∗)
(Ineficiência do input - Equação 4.4)
𝐼𝑧𝑘𝑡 = 𝛾𝑡 × ∑ 𝑤𝑓𝑘
𝑡
𝑔
𝑓=1
(𝑧𝑓𝑘𝑡 − 𝑧𝑓
𝑡∗)
(Ineficiência do input quase-fixo - Equação 4.5)
A ineficiência total mensurada por Nemoto e Goto (1999) avalia a variação do que seria
o uso ótimo de inputs e investimentos. A medida é dada pelo somatório das ineficiências
do input e do quase-fixo (Eq. 4.4-5) com a ineficiência dos investimentos em quase-fixos.
Esse último valor exige não apenas o resultado da otimização do modelo exposto, mas
ainda a variável de intensidade ótima do modelo dual (𝜗𝑡∗) associada ao input quase-fixo
do período t (Ver Equação 4.6 e 4.7).
𝐼ℎ𝑘𝑡 = (𝜗𝑡∗ × ∑ 𝑧𝑓𝑘
𝑡𝑔𝑓=1 − 𝜗𝑡−1∗ × ∑ 𝑧𝑓𝑘
𝑡−1𝑔𝑓=1 ) − (𝜗𝑡∗ × ∑ 𝑧𝑓
𝑡∗𝑔𝑓=1 − 𝜗𝑡∗ × ∑ 𝑧𝑓
𝑡−1∗𝑔𝑓=1 )
(Ineficiência dos investimentos em input quase-fixo - Equação 4.6)
𝐼𝑘𝑡 = 𝐼𝑥𝑘
𝑡 + 𝐼𝑧𝑘𝑡 + 𝐼ℎ𝑘
𝑡
(Ineficiência total do período t – Equação 4.7)
40
Conclui-se que o modelo de Nemoto e Goto (1999) mensura apenas a ineficiência total
de um período t, sem fazer referência a uma medida dinâmica global resultante de todos
os períodos. Um resultado positivo da ineficiência total indica excesso no uso de inputs
ou investimentos, enquanto que um resultado negativo indica insuficientes inputs ou
investimentos.
4.3 Modelo de Tone e Tsutsui (2010)
A versão dinâmica do modelo baseado em folgas (Slacks-Based Measure - SBM) foi
desenvolvida por Tone e Tsutsui (2010). O modelo Dynamic Slacks-Based Measure
(DSBM) é não radial e, por isso, pode lidar com inputs/outputs individualmente e permite
mudanças não proporcionais nos níveis de input/output (TONE e TSUTSUI, 2010).
Quanto à orientação foram apresentadas três possibilidades: (1) input, (2) output e, (3)
sem orientação. Quanto aos elementos dinâmicos (carry-overs) os autores introduziram
na literatura a classificação: (1) desejável, (2) indesejável, (3) livre e (4) fixo.
Com abordagem distinta das modelagens anteriores, Tone e Tsutsui (2010) possuem uma
estrutura não radial e levam em consideração as folgas não radiais para a determinação
da eficiência. A seguir, descreve-se o modelo de Tone e Tsutsui (2010) (TT) orientado ao
output e assumindo retornos variáveis:
1
𝐸𝑡= 𝑚𝑎𝑥
1
𝑝∑𝜏𝑡 [1 +
1
𝑠 + 𝑔𝑔𝑜𝑜𝑑(∑
𝑢𝑟𝑠𝑟𝑡+
𝑦𝑟𝑘𝑡 + ∑
𝑠𝑓𝑡𝑔𝑜𝑜𝑑
𝑧𝑓𝑘𝑔𝑜𝑜𝑑𝑡 + ∑
𝑠𝑓𝑡𝑓𝑟𝑒𝑒
𝑧𝑓𝑘𝑓𝑟𝑒𝑒𝑡
𝑛𝑓𝑟𝑒𝑒
𝑓=1
𝑔𝑔𝑜𝑜𝑑
𝑓=1
𝑠
𝑟=1
)]
𝑝
𝑡=1
𝑆𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎:
∑ 𝑧𝑓𝑗𝛼𝑡𝑛
𝑗=1 𝜆𝑗𝑡 = ∑ 𝑧𝑓𝑗𝛼
𝑡𝑛𝑗=1 𝜆𝑗
𝑡+1 (∀𝑓; 𝑡 = 1,… , 𝑝 − 1) (TT.1)
𝑥𝑖𝑘𝑡 = ∑ 𝑥𝑖𝑗
𝑡 𝜆𝑗𝑡 + 𝑠𝑖𝑡
−𝑛𝑗=1 𝑖 = 1,… . ,𝑚; 𝑡 = 1,… , 𝑝 (TT.2)
𝑥 𝑖𝑓𝑖𝑥𝑘𝑡 = ∑ 𝑥 𝑖𝑓𝑖𝑥𝑗
𝑡 𝜆𝑗𝑡𝑛
𝑗=1 𝑖𝑓𝑖𝑥 = 1,… . ,𝑚𝑓𝑖𝑥; 𝑡 = 1,… , 𝑝 (TT.3)
𝑦𝑟𝑘𝑡 = ∑ 𝑦𝑟𝑗
𝑡 𝜆𝑗𝑡 − 𝑠𝑟𝑡
+𝑛𝑗=1 𝑟 = 1,… . , 𝑠; 𝑡 = 1,… , 𝑝 (TT.4)
𝑦𝑟𝑓𝑖𝑥𝑘𝑡 = ∑ 𝑦𝑟𝑓𝑖𝑥𝑗
𝑡 𝜆𝑗𝑡𝑛
𝑗=1 𝑟𝑓𝑖𝑥 = 1,… . , 𝑠𝑓𝑖𝑥; 𝑡 = 1,… , 𝑝 (TT.5)
𝑧𝑓𝑘𝑔𝑜𝑜𝑑𝑡 = ∑ 𝑧𝑓𝑗𝑔𝑜𝑜𝑑
𝑡 𝜆𝑗𝑡𝑛
𝑗=1 − 𝑠𝑓𝑡𝑔𝑜𝑜𝑑
𝑓 = 1,… . , 𝑔𝑔𝑜𝑜𝑑; 𝑡 = 1,… , 𝑝 (TT.6)
𝑧𝑓𝑘𝑏𝑎𝑑𝑡 = ∑ 𝑧𝑓𝑗𝑏𝑎𝑑
𝑡 𝜆𝑗𝑡𝑛
𝑗=1 + 𝑠𝑓𝑡𝑏𝑎𝑑 𝑓 = 1,… . , 𝑔𝑏𝑎𝑑; 𝑡 = 1,… , 𝑝 (TT.7)
𝑧𝑓𝑘𝑓𝑟𝑒𝑒𝑡 = ∑ 𝑧𝑓𝑗𝑓𝑟𝑒𝑒
𝑡 𝜆𝑗𝑡𝑛
𝑗=1 + 𝑠𝑓𝑡𝑓𝑟𝑒𝑒
𝑓 = 1,… . , 𝑔𝑓𝑟𝑒𝑒𝑒; 𝑡 = 1,… , 𝑝 (TT.8)
𝑧𝑓𝑘𝑓𝑖𝑥𝑡 = ∑ 𝑧𝑓𝑗𝑓𝑖𝑥
𝑡 𝜆𝑗𝑡𝑛
𝑗=1 𝑓 = 1,… . , 𝑔𝑓𝑖𝑥; 𝑡 = 1,… , 𝑝 (TT.9)
∑ 𝜆𝑗𝑡𝑛
𝑗=1 = 1 𝑡 = 1,… , 𝑝 (TT.10)
𝜆𝑗𝑡 ≥ 0; 𝑠𝑖𝑡
− ≥ 0; 𝑠𝑟𝑡+ ≥ 0; 𝑠𝑓𝑡
𝑔𝑜𝑜𝑑≥ 0; 𝑠𝑓𝑡
𝑏𝑎𝑑 ≥ 0; 𝑠𝑓𝑡𝑓𝑟𝑒𝑒
é 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 (∀𝑓; ∀𝑡)
∑ 𝑢𝑟𝑠𝑟=1 = 𝑠 ; ∑ 𝜏𝑡𝑝
𝑡=1 = 𝑝 (TT)
Legenda do modelo de Tone e Tsutsui (2010):
41
Variáveis:
𝑠𝑖𝑡− : variável de folga de excesso do input i 𝑠𝑓𝑡
𝑓𝑟𝑒𝑒: variável de folga de desvio do
intermediário f
𝑠𝑟𝑡+ : variável de folga de escassez do output r 𝑠𝑓𝑡
𝑏𝑎𝑑 : variável de folga de excesso do
intermediário indesejável f
𝑠𝑓𝑡𝑔𝑜𝑜𝑑
: variável de folga de escassez do
intermediário desejável f
𝜆𝑗𝑡: variável de intensidade da DMU j no período
t;
Parâmetros:
𝑔𝑔𝑜𝑜𝑑: número de inputs intermediários
desejáveis
𝑦𝑟𝑗𝑡 : output variável r da j-ésima DMU no período
t;
𝑔𝑓𝑟𝑒𝑒: número de inputs intermediários livres 𝑧𝑓𝑗𝛼𝑡 : input intermediário genérico (bom, ruim,
fixo ou livre) f da j-ésima DMU no período t;
𝑔𝑏𝑎𝑑: número de inputs intermediários
indesejáveis 𝑧𝑓𝑗𝑔𝑜𝑜𝑑
𝑡 : input intermediário desejável f da j-
ésima DMU no período t;
𝑔𝑓𝑖𝑥: número de inputs intermediários fixos 𝑧𝑓𝑘𝑔𝑜𝑜𝑑𝑡 : input intermediário desejável f da DMU
em análise k no período t;
𝑚𝑓𝑖𝑥: número de inputs fixos 𝑧𝑓𝑘𝑏𝑎𝑑 𝑡 : input intermediário indesejável f da DMU
em análise k no período t;
𝑠𝑓𝑖𝑥: número de outputs fixos 𝑧𝑓𝑗𝑏𝑎𝑑 𝑡 : input intermediário indesejável f da j-
ésima DMU no período t;
𝑥𝑖𝑓𝑖𝑥𝑗𝑡 : input fixo 𝑖 da j-ésima DMU no período t; 𝑧𝑓𝑘𝑓𝑟𝑒𝑒
𝑡 : input intermediário livre f da DMU em
análise k no período t;
𝑥𝑖𝑓𝑖𝑥𝑘𝑡 : input fixo i da DMU em análise no período
t;
𝑧𝑓𝑗𝑓𝑟𝑒𝑒 𝑡 : input intermediário livre f da j-ésima
DMU no período t;
𝑦𝑟𝑓𝑖𝑥𝑗𝑡 : output fixo r da j-ésima DMU no período
t;
𝑧𝑓𝑘𝑓𝑖𝑥 𝑡 : input intermediário fixo f da DMU em
análise k no período t;
𝑦𝑟𝑓𝑖𝑥𝑘𝑡 : output fixo r da DMU em análise k no
período t;
𝑧𝑓𝑗𝑓𝑖𝑥 𝑡 : input intermediário fixo f da j-ésima
DMU no período t;
𝑥𝑖𝑘𝑡 : input variável i da DMU em análise k no
período t;
𝑢𝑟 : peso para o output r
𝑥𝑖𝑗𝑡 : input variável i da j- ésima DMU no período
t;
𝜏𝑡 :peso para o período t
𝑦𝑟𝑘𝑡 : output variável r da DMU em análise k no
período t;
Verifica- se que o modelo TT estrutura a continuidade dos carry-overs e transição entre
os períodos por meio de uma única restrição (TT.1), que relaciona o intermediário do
período “t” representado por 𝑍𝑓𝑗𝛼𝑡 ("𝛼" denota qualquer uma das quatro classificações
good, bad, free ou fix) com os pesos do período atual e seguinte simultaneamente, 𝜆𝑗 𝑡 e
𝜆𝑗 𝑡+1. Em contraposição, a modelagem de Färe e Grosskopf (1996) trabalha com duas
restrições: uma que considera o elemento de transição como output (FG.1, 3, 9) e outra
para analisar o comportamento do intermediário como input (FG.5, 4, 11).
Além das quatro classes de carry-overs, os autores Tone e Tsutsui (2010) estabelecem
dois tipos de inputs e outputs: variáveis e fixos. As entradas e saídas fixas não possuem
folgas radiais. Dadas as diversas possibilidades de comportamento das variáveis e
parâmetros, a modelagem TT apresenta uma restrição para cada comportamento no
período “t”. Para consideração de carry-overs livres na função objetivo, é preciso
observar as formas de incorporação das folgas livres expostas por Tone e Tsutsui (2010,
p. 149-150).
O modelo de FG, assim como, o trabalho estruturante de Nemoto e Goto (1999) não
observam a previsão de parâmetros fixos e tampouco as diversas possibilidades para os
42
intermediários. Pode-se, então, apontar isso como uma vantagem do modelo de Tone e
Tsutsui (2010) que com restrições específicas permitem análises diferenciadas pelas
características dos elementos.
A modelagem de Tone e Tsutsui (2010) por ser baseada em folgas apresenta uma
quantidade de variáveis a se otimizar proporcional ao total de elementos que são
considerados para as DMUs (𝑥𝑖𝑗𝑡 , 𝑧𝑓𝑗𝛼
𝑡 , 𝑦𝑟𝑗𝑡 ). Os outros modelos estruturantes não
possuem essa relação, além disso, é importante observar que para TT não há otimização
de inputs, outputs ou intermediários como ocorre nas diferentes possibilidade de Färe e
Grosskopf (1996) e no modelo de Nemoto e Goto (1999).
A Figura 4.3 mostra a estrutura de Tone e Tsutsui (2010) para determinada DMU
conforme o modelo TT descrito com o detalhamento dos elementos, adicionando a
possibilidade de considerar as condições iniciais do carry-overs decorrentes do período
anterior ao primeiro momento de análise (𝑧𝑓𝑘𝛼0 ). Esta condição já é apresentada na
estrutura Färe e Grosskopf (1996) na restrição FG.3.
Figura 4.3 - Estrutura do modelo dinâmico de Tone e Tsutsui (2010) com a consideração das condições iniciais
Neste caso, ao analisar a utilização do carry-over inicial 𝑧𝑓𝛼0 (t=0) como entrada do
primeiro período, deve-se acrescentar as seguintes restrições (TT.11-14) de condições
iniciais ao modelo de Tone e Tsutsui (2010):
𝑧𝑓𝑘𝑔𝑜𝑜𝑑0 = ∑ 𝑧𝑓𝑗𝑔𝑜𝑜𝑑
0 𝜆𝑗1 𝑛
𝑗=1 𝑓 = 1,… . , 𝑔𝑔𝑜𝑜𝑑 (TT.11)
𝑧𝑓𝑘𝑏𝑎𝑑0 = ∑ 𝑧𝑓𝑗𝑏𝑎𝑑
0 𝜆𝑗1
𝑛
𝑗=1 𝑓 = 1,… . , 𝑔𝑏𝑎𝑑 (TT.12)
𝑧𝑓𝑘𝑓𝑟𝑒𝑒0 = ∑ 𝑧𝑓𝑗𝑓𝑟𝑒𝑒
0 𝜆𝑗1
𝑛
𝑗=1+ 𝑠𝑓0
𝑓𝑟𝑒𝑒 𝑠𝑓0
𝑓𝑟𝑒𝑒é 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 𝑒𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙; 𝑓 = 1,… . , 𝑔𝑓𝑟𝑒𝑒 (TT.13)
𝑧𝑓𝑘𝑓𝑖𝑥0 = ∑ 𝑧𝑓𝑗𝑓𝑖𝑥
0 𝜆𝑗1
𝑛
𝑗=1 𝑓 = 1,… . , 𝑔𝑓𝑖𝑥 (TT.14)
43
A segunda possível extensão da modelagem de Tone e Tsutsui (2010) diz respeito ao
compartilhamento de produtos como, por exemplo, em situações que o lucro do período
transformado é em saídas 𝑦𝑟𝑡 e input intermediário 𝑧𝛼
𝑡 . Este artifício foi representado
como link desejável na Figura 4.4, mas segundo os autores pode ser utilizado para as
demais classes de carry-overs (indesejável, livre, etc.).
Figura 4.4 - Estrutura do modelo dinâmico de Tone e Tsutsui (2010) com a consideração de compartilhamento de
recursos entre carry-overs e inputs/outputs
Para a extensão de compartilhamento faz-se necessário relaxar as restrições (TT. 4 e TT.6)
pela inclusão da restrição descrita (Equação 4.8), bem como a alteração da função
objetivo (Equação 4.9). As Equações 4.8-9 apresentam tais elementos para o caso em que
o compartilhamento é realizado entre os outputs e o intermediário desejável.
𝑦𝑟𝑘𝑡 + 𝑧𝑓𝑘𝑔𝑜𝑜𝑑
𝑡 = ∑ (𝑦𝑟𝑗𝑡 + 𝑧𝑓𝑗𝑔𝑜𝑜𝑑
𝑡 )𝜆𝑗𝑡 − (𝑠𝑟𝑡
+ + 𝑠𝑓𝑡𝑔𝑜𝑜𝑑
) 𝑛𝑗=1 (Equação 4.8)
1
𝐸= 𝑚𝑎𝑥
1
𝑝∑ 𝜏𝑡 [1 +
1
𝑠(∑
𝑢𝑟(𝑠𝑟𝑡+ )
𝑦𝑟𝑘(𝑡)
𝑠𝑟=1 + ∑
𝑠𝑓𝑡𝑔𝑜𝑜𝑑
𝑍𝑓𝑘𝑔𝑜𝑜𝑑𝑡
𝑛𝑔𝑜𝑜𝑑
𝑓=1)]
𝑝𝑡=1 (Equação 4.9)
O trabalho de Tone e Tsutsui (2010) é um dos poucos que apresenta o cálculo da eficiência
global e dos períodos simultaneamente, posteriormente Kao (2013) também contribuiu
ao desenvolver medidas resultantes de um modelo radial com restrições agregadas.
Ambos os estudos, Kao (2013) e Tone e Tsutsui (2010), afirmam que as eficiências dos
períodos podem assumir múltiplas soluções ótimas. Logo, ao contrário da eficiência
dinâmica global, as eficiências dos períodos não são comparáveis entre DMUs (KAO,
2013). Observa-se, portanto, as medidas de eficiência do período (Equação 4.10) e global
(Equação 4.11) na orientação ao output decorrente dos valores ótimos (*) do modelo TT:
𝐸𝑡 =1
1 +1𝑠(∑
𝑢𝑟(𝑠𝑟𝑡+∗)
𝑦𝑟𝑘(𝑡)
𝑠𝑟=1 + ∑
𝑠𝑓𝑡𝑔𝑜𝑜𝑑∗
𝑍𝑓𝑘𝑔𝑜𝑜𝑑𝑡
𝑛𝑔𝑜𝑜𝑑
𝑓=1)
(Eficiência do período – Equação 4.10)
44
1
𝐸𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙=
1
𝑝∑
𝜏𝑡
𝐸𝑡∗
𝑝
𝑡=1
(Eficiência global – Equação 4.11)
4.4 Sistematização dos modelos estruturantes
Como apresentado nos tópicos anteriores, os três modelos identificados como
estruturantes possuem características e abordagens distintas para a avaliação da eficiência
dinâmica. O Quadro 4.1 apresenta a sistematização dos principais pontos a serem
discutidos: variáveis, número de restrições, pesos, medidas de eficiência global e dos
períodos e características do tratamento dado pela modelagem aos elementos
intermediários.
Primeiramente, quanto as variáveis a serem otimizadas nas modelagens, observa-se que
FG ao elaborar uma tecnologia de produção básica permitiu a utilização de diversas
formas de otimização do modelo. Em virtude disso, a modelagem introduzida por FG se
mostra bastante flexível para avaliação da eficiência em diversos contextos e dependendo
da otimização pretendida é possível caracterizar como variável de decisão de qualquer
um dos elementos do modelo (inputs, outputs ou intermediários).
O modelo de NG, no entanto, foi desenvolvido com o foco de minimização de custos e
apresenta como variáveis do modelo os inputs (quase-fixos e variáveis), enquanto que
Tone e Tsutsui (2010), por se tratar de uma abordagem não radial, busca igualar as folgas
dos elementos a zero a fim de que a DMU seja considerada eficiente. Em Tone e Tsutsui
(2010) e Färe e Grosskopf (1996) as variáveis de intensidade para a DMU j no período t
são otimizadas (𝜆𝑗𝑡). Particularmente, Nemoto e Goto (1999) modelam com pesos apenas
relacionados com os períodos t (𝜏𝑡).
Em termos de quantidade de restrições, TT apresenta o maior número que ainda pode ser
acrescido por mais quatro restrições caso haja consideração das condições iniciais dos
carry-overs (𝑧𝑓0 ), enquanto que o modelo mais enxuto é NG. Já FG apresenta uma
quantidade intermediaria de restrições que é proporcional ao número de períodos
analisados.
Apenas Tone e Tsutsui (2010) indicam claramente medidas de eficiência global e dos
períodos com o resultado do modelo, além disso, estas fórmulas variam de acordo com a
orientação da modelagem (ao input, output ou não orientado). Nemoto e Goto (1999)
trabalham com o foco da ineficiência e apresentam apenas medida para o período de
análise. Já Färe e Grosskopf (1996) não explicitam as medidas de eficiência, de forma
que esta estaria associada com a forma de otimização utilizada.
45
Quadro 4.1 - Sistematização das principais características dos modelos estruturantes
Modelo Variáveis Número de
restrições Pesos
Eficiência
global Eficiência dos períodos Particularidades do intermediário
Fä
re e
Gro
sso
ko
pf
(199
6)
Depende do foco de
otimização
escolhido, podendo
variar entre
elementos como:
𝑥𝑖𝑡; 𝑧𝑟
𝑡; 𝑦𝑟𝑡; 𝜆𝑗
𝑡
Proporcional a
quantidade de
períodos
analisados,
sendo no
mínimo 8
restrições.
Relacionado
com a DMU e
com o período
t.
Não apresenta uma medida única. É decorrente do foco de
otimização.
Não diferencia o intermediário
quanto ao tipo. Pode ser tratado
como parâmetro ou como variável.
Funciona como uma parcela do
output que permanece para o período
seguinte. Considera as condições
iniciais e finais do intermediário.
To
ne
e T
suts
ui
(201
0)
Variável de
intensidade (𝜆𝑗𝑡) e as
diversas folgas não
radiais
(𝑠𝑖𝑡−; 𝑠𝑟𝑡
+ ; 𝑠𝑓𝑡𝑔𝑜𝑜𝑑
;
𝑠𝑓𝑡𝑓𝑟𝑒𝑒
; 𝑠𝑓𝑡𝑏𝑎𝑑).
10
Relacionado
com a DMU e
com o período
t.
1
𝐸𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙
=1
𝑝∑
𝜏𝑡
𝐸𝑡∗
𝑝
𝑡=1
(para a
orientação
ao output)
𝐸𝑡 =1
1 +1𝑠 (∑
𝑢𝑟(𝑠𝑟𝑡+∗)
𝑦𝑟𝑘(𝑡)
𝑠𝑟=1 + ∑
𝑠𝑓𝑡𝑔𝑜𝑜𝑑∗
𝑍𝑓𝑘𝑔𝑜𝑜𝑑𝑡
𝑛𝑔𝑜𝑜𝑑
𝑓=1)
(para a orientação ao output)
Apresenta diversas possibilidades de
comportamento (bom, ruim, livre ou
fixo). São parâmetros do modelo.
Permite que haja o
compartilhamento do intermediário
com o output (quando ambos são da
mesma natureza). Considera as
condições finais do intermediário e
pode incluir restrições também para
as condições iniciais.
Nem
oto
e G
oto
(1999)
Variável de
intensidade para o
período (𝜏𝑡), inputs
variáveis e quase-
fixos (𝑥𝑖𝑡; 𝑧𝑓
𝑡).
6
Relacionado
apenas com o
período t.
Não
apresenta.
Apresenta a medida de ineficiência total do
período (𝐼𝑘𝑡) com base na ineficiência do input
(𝐼𝑥𝑘𝑡 ), quase-fixo (𝐼𝑧𝑘
𝑡 ) e dos investimentos
quase-fixos (𝐼ℎ𝑘𝑡 ):
𝐼𝑘𝑡 = 𝐼𝑥𝑘
𝑡 + 𝐼𝑧𝑘𝑡 + 𝐼ℎ𝑘
𝑡 .
Não diferencia tipos de
comportamento. Apresenta o
intermediário como elemento de
pouca variação ao longo de tempo
(quase-fixo). É simultaneamente
parâmetro e variável do modelo. Não
considera as condições finais do
intermediário e utiliza um valor fixo
inicial �̅�𝑓0 dado para todas DMUs.
46
No que diz respeito aos elementos geradores de interdependência temporal, observa-se
que tanto NG como FG apresentam um intermediário genérico, sem detalhar
possibilidades de comportamento como apresentado por TT (desejável, indesejável, livre
e fixo). Quanto às condições iniciais ( 𝑧𝑓0 ) dos intermediários, todos os modelos
consideram uma determinada quantidade de intermediário que funciona como entrada do
primeiro período analisado. Em especial, NG demanda que o decisor fixe um parâmetro
inicial comum a todas as DMUs. Já as condições finais (𝑧𝑓𝑝) não são computadas no
modelo de NG, de modo que, no último período não há consideração do intermediário
entre as saídas da DMU, o que difere de TT e FG, pois consideram a existência de 𝑧𝑓𝑝.
Como discutido anteriormente, na modelagem de Färe e Grosskopf (1996), o
intermediário se caracteriza como uma parcela do output que permanece para o período
seguinte (produto acabado em estoque, por exemplo). Na abordagem de Nemoto e Goto
(1999), já se observa uma natureza distinta de dependência intertemporal, a qual é gerada
por um input que possui pouca variação ao longo do tempo e que não pode deixar de ser
considerado na avaliação da eficiência. Para Tone e Tsutsui (2010), o intermediário é um
elemento de transição genérico que relaciona as atividades no tempo.
Ao compreender estas diferenças, observa-se também que na modelagem TT o
intermediário é um parâmetro, enquanto que em NG o quase-fixo possui as duas
características (parâmetro e variável) a fim de identificar a ineficiência. Por fim, para FG
o intermediário pode apresentar ambos comportamentos dependendo da forma
otimização pretendida.
47
CAPÍTULO 5
CLASSIFICAÇÃO DE MODELOS DINÂMICOS DEA
Os modelos dinâmicos DEA foram desenvolvidos a fim de observar as relações entre
períodos de análise e evitar medidas de eficiência distorcidas (KAO, 2013). Após o
desenvolvimento do trabalho de Färe e Grosskof (1996), dezenas de modelos foram
publicados com a consideração de intermediários para representar a interdependência entre
períodos de análise em diversos contextos.
Como sistematizado na evolução da literatura DDEA, os trabalhos surgiram com base em
diferentes correntes de pesquisa. Isso proporcionou uma variedade de modelagens e
variáveis utilizadas para avaliação da eficiência. Para minimizar tal complexidade, este
capítulo objetiva sugerir uma classificação dos modelos DDEA e identificar semelhanças e
diferenças na estrutura dos modelos DDEA. Por meio das classes apresentadas, pretende-se
auxiliar os pesquisadores que desejam trabalhar com DDEA na compreensão da diversidade
de modelos existentes, assim como, auxiliar o processo de escolha da modelagem a se
utilizar.
5.1 Critérios de classificação das abordagens DDEA
A literatura DEA possui diversas modelagens para avaliar a eficiência de unidades
tomadoras de decisão (COOK e SEIFORD, 2009). No âmbito dos modelos dinâmicos
também se observa diferentes direcionamentos. Os autores Fallah-Fini et al (2014)
classificaram a modelagem dinâmica não-paramétrica com base no tratamento de cinco
fatores: (a) atrasos de produção, (b) estoques, (c) capital, (d) custos de ajuste e (e) melhoria
incremental e modelos de aprendizagem. Neste caso, considera-se que o elemento de
transição define as características da análise e do modelo (FALLAH-FINI et al, 2014).
Em outra perspectiva, os trabalhos precursores dos modelos podem influenciar na
configuração das modelagens sucessoras, pois particularidades metodológicas utilizadas são
muitas vezes mantidas evidenciando características similares nos estudos. A partir desse
contexto, surge a proposição de classificação com base na estrutura dos modelos, em
especial, no que diz respeito a: (a) características do intermediário; (b) função objetivo; (c)
restrições.
Quanto aos intermediários, verificou-se como os modelos tratavam o elemento, se era um
parâmetro ou variável e também qual o comportamento deste ao longo do tempo. De modo
que, algumas modelagens o consideravam como um elemento de transição entre dois
períodos de tempo (t e t+1), enquanto outros avaliavam o intermediário como elemento de
dependência temporal entre vários períodos (t; t+1; t+2; t+3, etc.).
No que diz respeito à função objetivo, buscou-se semelhanças entre os modelos quanto a
forma de otimização adotada. Identificou-se que as modelagens não radiais, por exemplo,
apresentavam as folgas como variável na função objetivo, enquanto que outas modelagens
mensuravam a eficiência (ou ineficiência) com base em um vetor de direção, etc.
Por fim, analisou-se também a estrutura das restrições, a fim de verificar como eram
formuladas, se havia uma restrição para cada variável e parâmetro do modelo ou se estavam
48
relacionadas com a DMU ou sub-DMU, etc. A Figura 5.1 sistematiza os critérios adotados
para avaliação e classificação dos modelos.
Figura 5.1 - Critérios para avaliação e classificação dos modelos
Com base nesses critérios, propõem-se seis classes de modelos: (a) estruturantes; (b)
benchmarking do intermediário; (c) restrições agregadas; (d) otimização dos inputs variáveis
e intermediários; (e) efeitos defasados; (f) híbridos, que contempla as subclasses DNDEA,
DEA Malmquist dinâmico, folgas não radiais, distância direcional e dinâmica fuzzy. Essa
estrutura visa complementar o estudo iniciado por Fallah-Fini et al (2014), visto que foi
possível verificar formatações não avaliadas, como os modelos característicos das classes:
dinâmica fuzzy, DEA Malmquist dinâmico, folgas não radias e restrições agregadas.
A Figura 5.2 sistematiza a taxonomia proposta com as seis abordagens de modelos.
Empregou-se cores diferentes a fim de representar as classes na Figura 5.2, que são as
mesmas adotadas na Figura 3.4. Observa-se que os modelos estruturantes (discutidos no
capítulo 4) também compõem uma das classes propostas nesta pesquisa e possuem
fundamental importância para a proposta de taxonomia, pois se relacionam com as outras
abordagens. O relacionamento entre as classes (conexões) foi estabelecido com base no
exposto no mapeamento da literatura (Figura 3.4), de modo que, a conexão entre as classe
se dá pelas referências dos modelos.
Há, contudo, trabalhos pertencentes às classes, mas que não apresentam relacionamento com
os estruturantes, a classificação dos mesmos se originou pela similaridade com as outros
modelos em conformidade com as características das classes. Isso pode ser exemplificado
com a classe de restrições agregadas que é composta por três modelos: Reshadi (2012),
Reshadi e Espahi (2012) e Kao (2013).
Verifica-se que o trabalho de Reshadi (2012) se fundamentou nos estruturantes Färe e
Grosskopf (1996) e Nemoto e Goto (1999). Já Reshadi e Espahi (2012) tomaram como base
Nemoto e Goto (1999; 2003), esse último pertence à classe de otimização dos inputs. No
entanto, o modelo de Kao (2013) não está fundamentado em modelos dinâmicos anteriores,
pois desenvolve uma modelagem a partir dos modelos de redes apresentado por Kao (2009).
Ainda assim, pelo encadeamento de Reshadi (2012) e Reshadi e Espahi (2012), a classe de
49
restrições agregadas está conectada com estas duas classes: estruturantes e otimização dos
inputs.
Figura 5.2 - Classificação das abordagens na estruturação bibliográfica do DDEA
Conhecidas as principais características dos modelos estruturantes, pode-se realizar a análise
das demais classes DDEA. O modelo considerado mais representativo da classe é detalhado
a fim de facilitar a compreensão das estruturas e permitir a comparação das modelagens. A
legenda básica apresentada no capítulo 4 também é válida para os modelos discutidos. Os
tópicos a seguir descrevem as classes dos modelos e expõem todos os trabalhos que as
compõem.
5.2 Benchmarking do intermediário
Com base no modelo dinâmico de análise de atividades de Färe e Grosskopf (1996), esta
classe se preocupa com a comparação dos valores dos inputs intermediários com quantidades
ótimas, além da maximização do somatório das eficiências dos períodos. Nesse sentido, são
fornecidos como parâmetro dos modelos os valores de inputs, outputs e intermediários,
enquanto que a modelagem determina as informações dos pesos 𝜆𝑗𝑡 , a eficiência e o
intermediário ótimo no período t comum a todas DMUs (𝑍𝑓𝑡).
Dessa forma, simultaneamente é realizada a otimização e avaliação dos inputs intermediários
observados (ALTHIN et al, 2010). A denominação da classe advém, então, da análise
semelhante a uma avaliação de benchmarking, onde o valor ótimo do intermediário
encontrado serve de benchamrk para sugestões de melhoria dos valores observados.
Os modelos que compõem a referida classe utilizam a tecnologia básica dinâmica de FG
com o foco de otimização da eficiência dada pela distância do output. No entanto, adaptada
ao contexto dinâmico com o objetivo de maximização da eficiência dos períodos e com a
consideração dos intermediários para a comparação entre o valor ótimo e o observado.
50
O modelo de Althin et al (2010) é detalhado a seguir a fim de expor as características da
classe. Esta modelagem é muito semelhante ao modelo básico FG com apenas algumas
alterações para se ajustar a forma de otimização pretendida. A modelagem é orientada ao
output e, por isso, otimiza o valor inverso da eficiência (𝜂). Como a eficiência é um valor
entre 0 e 1 e 𝜂 ≥ 1, logo, o valor da eficiência é obtido pela razão 𝜃 = 1𝜂⁄ . Ou ainda, DMUs
com resultado da função objetivo de Althin et al (2010) igual a um podem ser consideradas
eficientes, enquanto que unidades com valores maiores que um seriam consideradas
ineficientes.
𝑚𝑎𝑥 𝜂𝑡−1 + 𝜂𝑡 + 𝜂𝑡+1
𝑆𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎:
𝜂𝑡−1𝑦𝑟𝑘𝑡−1 ≤ ∑ 𝜆𝑗
𝑡−1𝑛𝑗=1 𝑦𝑟𝑗
𝑡−1, 𝑟 = 1,… , 𝑠 (A.1)
𝑧𝑓𝑡−1 ≤ ∑ 𝜆𝑗
𝑡−1𝑛𝑗=1 𝑧𝑓𝑗
𝑡−1, 𝑓 = 1,… , 𝑔 (A.2)
𝑧𝑓𝑘𝑡−2 ≥ ∑ 𝜆𝑗
𝑡−1𝑛𝑗=1 𝑧𝑓𝑗
𝑡−2, 𝑓 = 1,… , 𝑔 (A.3)
𝑥𝑖𝑘𝑡−1 ≥ ∑ 𝜆𝑗
𝑡−1𝑛𝑗=1 𝑥𝑖𝑗
𝑡−1, 𝑖 = 1,… ,𝑚 (A.4)
𝜆𝑗𝑡−1 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 (A.5)
𝜂𝑡𝑦𝑟𝑘𝑡 ≤ ∑ 𝜆𝑗
𝑡𝑛𝑗=1 𝑦𝑟𝑗
𝑡 , 𝑟 = 1,… , 𝑠 (A.6)
𝑧𝑓𝑡 ≤ ∑ 𝜆𝑗
𝑡𝑛𝑗=1 𝑧𝑓𝑗
𝑡 , 𝑓 = 1,… , 𝑔 (A.7)
𝑧𝑓𝑡−1 ≥ ∑ 𝜆𝑗
𝑡𝑛𝑗=1 𝑧𝑓𝑗
𝑡−1, 𝑓 = 1,… , 𝑔 (A.8)
𝑥𝑖𝑘𝑡 ≥ ∑ 𝜆𝑗
𝑡𝑛𝑗=1 𝑥𝑖𝑗
𝑡 , 𝑖 = 1,… ,𝑚 (A.9)
𝜆𝑗𝑡 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 (A.10)
𝜂𝑡+1𝑦𝑟𝑘𝑡+1 ≤ ∑ 𝜆𝑗
𝑡+1𝑛𝑗=1 𝑦𝑟𝑗
𝑡+1, 𝑟 = 1,… , 𝑠 (A.11)
𝑧𝑓𝑡+1 ≤ ∑ 𝜆𝑗
𝑡+1𝑛𝑗=1 𝑧𝑓𝑗
𝑡+1, 𝑓 = 1,… , 𝑔 (A.12)
𝑧𝑓𝑡 ≥ ∑ 𝜆𝑗
𝑡+1𝑛𝑗=1 𝑧𝑓𝑗
𝑡 , 𝑓 = 1,… , 𝑔 (A.13)
𝑥𝑖𝑘𝑡+1 ≥ ∑ 𝜆𝑗
𝑡+1𝑛𝑗=1 𝑥𝑖𝑗
𝑡+1, 𝑖 = 1,… ,𝑚 (A.14)
𝜆𝑗𝑡+1 ≥ 0, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 (A.15) (A)
Legenda do modelo Althin et al (2010)
Variáveis:
𝜂𝑡: Inverso da eficiência da DMU em análise no
período t; 𝜆𝑗
𝑡: variável de intensidade da DMU j no período t;
𝑧𝑓𝑡: input intermediário f no período t;
Parâmetros:
51
𝑥𝑖𝑗𝑡 ; 𝑦𝑟𝑗
𝑡 ; 𝑧𝑓𝑗𝑡 ; 𝑥𝑖𝑘
𝑡 ; 𝑧𝑓𝑘𝑡 ; 𝑦𝑟𝑘
𝑡
Como é possível verificar na modelagem de Althin et al (2010), devido à otimização baseada
na distância do output da fronteira, é adicionada a variável do inverso da eficiência (𝜂𝑡) em
produto com o output do modelo (A.1, 6, 11). Althin et al (2010) também realizam o
desmembramento do somatório das restrições FG.1, 5 e 9 que representam o total das saídas
por período. O procedimento é semelhante ao apresentado nas Equações 4.1 e 4.2 e
justificou-se devido à natureza da aplicação do modelo de Althin et al (2010) com
intermediários e outputs finais das DMUs distintos.
Observa-se, ainda em comparação com FG, que os inputs e outputs finais são parâmetros
conhecidos do modelo, enquanto que apenas o intermediário ótimo, a variável de intensidade
da DMU no período t e a medida de eficiência do período são otimizadas. Isso confirma o
foco da modelagem de Althin et al (2010) e demais modelos desta classe em comparar o
intermediário ótimo com o real. Ao final de uma análise aplicada, Althin et al (2010)
concluíram que os níveis reais de intermediário, de modo geral, estão acima dos níveis
ótimos, portanto se mais intermediários pudessem ser transformados em outputs finais
haveria um aumento da eficiência das DMUs analisadas.
5.2.1 Detalhamento dos trabalhos pertencentes a classe benchmarking do
intermediário
O modelo DDEA de Färe e Grosskopf (1996) foi aplicado por Althin et al (2010) para medir
a eficiência de serviços de agências de emprego suecas. Dado o contexto do setor, os clientes
foram tratados como carry-overs na modelagem e, assim, os autores representaram os
serviços finais e intermediários oferecidos pelos escritórios. Como particularidade desta
aplicação, para a avaliação do desempenho calculou-se separadamente a medida de carga
esperada de trabalho do escritório (Expected Work Load - EWL), que representa a
quantidade média de dias que uma agência em determinado ano levou para transformar um
registro de desemprego em saída final. Este índice foi incorporado diretamente no modelo
DDEA como uma entrada (ALTHIN et al, 2010).
Outro tipo de aplicação relacionada com essa classe é discutida por Bogetoft et al (2009),
que se basearam no modelos dinâmico e também o de redes de Färe e Grosskopf (1996;
1997). Bogetoft et al (2009) avaliaram o impacto do capital público sobre a tecnologia e a
produtividade do setor manufatureiro americano. Para analisar os efeitos intertemporais das
decisões de consumo versus economia (reserva), os investimentos público e privado foram
considerados como intermediários do DDEA.
Como parte da modelagem, Bogetoft et al (2009) adicionaram restrições para tratar da
depreciação do estoque de capital entre períodos subsequentes. Além disso, a modelagem
objetivou a realocação entre investimento público e privado, mantendo o investimento total
em níveis observados, o que auxiliou a comparação entre o quantitativo ideal do
intermediário e os níveis já registrados historicamente.
Em outra perspectiva aplicada do modelo DDEA de Färe e Grosskopf (1996), Jaenicke
(2000) estudou o papel do solo e efeitos das rotações sob plantações. Nesse contexto, o autor
considerou o solo como saída intermediária do modelo devido aos efeitos causados pela
qualidade da matéria orgânica na produção agrícola. Além disso, Jaenicke (2000) realizou
uma comparação com um modelo estático e utilizou as hipóteses discutidas por Banker
(1993; 1996) para avaliar a importância de incluir a variável intermediária.
52
Como sistematiza a Figura 5.3, todos os trabalhos da classe de benchmarking dos
intermediários são sucessores das contribuições de Färe e Grosskopf (1996), de modo que,
Althin et al (2010) e Jaenicke (2000) utilizaram esse modelo estruturante para fins de
aplicação. Já Bogetoft et al (2009) aplicaram Färe e Grosskopf (1996) e realizaram algumas
adaptações para o caso estudado ao incluir a taxa de depreciação nas restrições dos
intermediários.
Figura 5.3 - Relação dos modelos da classe de benchmarking dos intermediários com os estudos estruturantes
5.3 Restrições agregadas
Muitos trabalhos constroem o modelo de análise de atividades dinâmico com restrições
específicas para cada elemento constituinte da avaliação, como Färe e Grosskopf (1996),
Nemoto e Goto (1999), Tone e Tsutsui (2010), entre outros. Entretanto, as modelagens
pertencentes a esta categoria apresentam as restrições de forma agregada: subtraindo do
somatório de todas as entradas (inputs variáveis e intermediários do período anterior “t-1”),
o somatório das saídas (outputs finais e intermediários do período “t”). Esta característica
marcante deu origem ao nome da classe apresentada, que é composta por modelos com
número de restrições reduzido.
Além disso, observa-se que esses modelos tratam o intermediário como parâmetro e possuem
outra característica em comum referente à formulação da função objetivo. A função é
decorrente da razão dos outputs pelos inputs (𝜃 =∑ ∑ 𝑢𝑟𝑦𝑟
𝑡 𝑠𝑟=1
𝑝𝑡=1
∑ ∑ 𝑣𝑖𝑥𝑖𝑡 𝑚
𝑖=1𝑝𝑡=1
). No caso do DDEA,
consideram-se os intermediários também na razão do conjunto de entradas e saídas.
A classe de restrições agregadas é composta por Reshadi (2012), Reshadi e Espahi (2012) e
Kao (2013), tais modelos diferem bastante dos modelos estruturantes e da classe de
benchmarking intermediário, especialmente devido a estruturação das restrições. Kao (2013)
construiu um modelo baseado na modelagem de redes, como pode-se observar na versão
primal orientada ao output com retornos constantes:
𝑚𝑖𝑛 ∑∑𝑣𝑖𝑥𝑖𝑘𝑡
𝑝
𝑡=1
+ ∑ 𝑤𝑓𝑧𝑓𝑘0
𝑔
𝑓=1
𝑚
𝑖=1
𝑆𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎:
∑ ∑ 𝑢𝑟𝑦𝑟𝑘𝑡𝑝
𝑡=1 + ∑ 𝑤𝑓𝑧𝑓𝑘𝑝
= 1𝑔𝑓=1
𝑠𝑟=1 (K.1)
(∑ ∑ 𝑣𝑖𝑥𝑖𝑗𝑡𝑝
𝑡=1 +𝑚𝑖=1 ∑ 𝑤𝑓𝑧𝑓𝑗
0𝑔𝑓=1 ) − (∑ ∑ 𝑢𝑟𝑦𝑟𝑗
𝑡𝑝𝑡=1 +𝑠
𝑟=1 ∑ 𝑤𝑓𝑧𝑓𝑗𝑝𝑔
𝑓=1 ) ≥ 0, 𝑗 = 1,… , 𝑛 (K.2)
(∑ 𝑣𝑖𝑥𝑖𝑗𝑡 +𝑚
𝑖=1 ∑ 𝑤𝑓𝑧𝑓𝑗𝑡−1𝑔
𝑓=1 ) − (∑ 𝑢𝑟𝑦𝑟𝑗𝑡 +𝑠
𝑟=1 ∑ 𝑤𝑓𝑧𝑓𝑗𝑡𝑔
𝑓=1 ) ≥ 0, 𝑗 = 1,… , 𝑛; 𝑡 = 1,… , 𝑝; 𝑖 =
1,… ,𝑚; 𝑓 = 1,… , 𝑔 (K.3)
53
𝑢𝑟 , 𝑣𝑖 , 𝑤𝑓 ≥ 𝜀 (K)
Legenda do modelo de Kao (2013):
Variáveis:
𝑣𝑖: peso do input i; 𝑤𝑓: peso do intermediário f;
𝑢𝑟: peso do output r;
Parâmetros:
𝑥𝑖𝑗𝑡 ; 𝑦𝑟𝑗
𝑡 ; 𝑥𝑖𝑘 ; 𝑧𝑓𝑘
𝑡 ; 𝑦𝑟𝑘; 𝑧𝑓𝑗𝑡 .
É possível notar que Kao (2013) trabalha com menos parâmetros do que modelos como FG,
TT e NG, pois busca apenas a otimização da eficiência e da variável de intensidade. Nesse
caso, o decisor deve informar os valores de todas as quantidades de inputs, outputs e
intermediários observados para avaliar a eficiência das DMUs conforme comportamento
desempenhado anteriormente. Ao realizar o comparativo de alguns aspectos de Althin et al
(2010) com Kao (2013), verifica-se que:
a) Althin et al (2010) otimizam 𝑧𝑓𝑡 , enquanto que Kao (2013) não faz essa análise
tratando o intermediário apenas como parâmetros;
b) Kao (2013) otimiza os pesos (𝑢𝑟 , 𝑣𝑖 , 𝑤𝑓) para determinar a eficiência global da DMU
e dos períodos, enquanto que Althin et al (2010) otimizam o somatório das
eficiências dinâmicas apenas dos períodos;
Verifica-se, portanto, que os trabalhos anteriormente apresentados tratam os intermediários
detalhadamente (período a período), enquanto Kao (2013) apresenta uma visão agregada em
uma única restrição (K.3). Kao (2013) pondera ainda que a soma das restrições associadas
aos períodos (K.3) é igual a restrição associada ao sistema (K.2). A segunda restrição,
portanto, estaria redundante e poderia ser eliminada, resultando em um modelo composto
por apenas duas restrições funcionais. O autor ressalta a pequena quantidade de restrições
como um fator positivo, permitindo um modelo menos rigoroso e com bom poder
discriminatório.
Outro ponto importante a ser comentado, são as fórmulas para o cálculo da eficiência global
e dos períodos com base nos pesos ótimos encontrados no modelo primal de Kao (2013)
(Ver Equação 2.2 e 2.3). Como discutido anteriormente, Kao (2013) e Tone e Tsutsui (2010)
são uns dos poucos modelos que apresentam fórmulas isoladas para o cálculo da eficiência
por período e global, sendo que o primeiro apresenta uma abordagem radial, enquanto que
o segundo apresenta uma abordagem não radial. Ambos afirmam a possibilidade de
múltiplas soluções ótimas e, portanto, a impossibilidade de comparação das eficiências dos
períodos entre DMUs.
5.3.1 Detalhamento dos trabalhos pertencentes a classe de restrições
agregadas
Para validação do modelo proposto, Kao (2013) realizou uma comparação com Färe e
Grosskopf (1996; 2000), ambos foram desenvolvidos a partir da modelagem de redes. Kao
(2013) mostrou menor quantidade de restrições no modelo, menores valores de eficiência e
relacionou tais características a um maior poder discriminatório na avaliação da eficiência
de parques florestais em Taiwan.
54
Em outra vertente de estudos dinâmicos, Reshadi e Espahi (2012) consideraram diferentes
hipóteses acerca de investimentos a fim de propor um modelo dinâmico DEA.
Diferentemente dos demais, Reshadi e Espahi (2012) trataram os intermediários com
percentuais de consumo de investimentos no período e distinguiram os outputs como
externos (aqueles comercializados no período) e outputs internos que são enviados para o
período seguinte. A medição da eficiência dinâmica da DMU foi introduzida por meio da
razão das saídas pelas entradas (RESHADI e ESPAHI, 2012).
De forma semelhante, Reshadi (2012) desenvolveu o conceito da eficiência na estrutura
dinâmica com base na transformação do clássico Charnes et al (1978), mediante a razão de
produtividade já mencionada. O modelo de Reshadi (2012) possui apenas duas restrições
agregadas e, segundo o autor se diferencia de Reshadi e Espahi (2012) especialmente na
modelagem do consumo do intermediário e do output.
A modelagem proposta por Reshadi (2012) apresentou restrições e função objetivo
semelhantes à estruturada por Kao (2013), divergindo apenas em dois aspectos: (1) Reshadi
(2012) divide o somatório das saídas pela quantidade de períodos analisados na função
objetivo; (2) Reshadi (2012) trata o intermediário como apresentado por Nemoto e Goto
(1999), ou seja, não considera a saída de um intermediário no último período, enquanto Kao
(2013) considera que todos os períodos tem um intermediário como entrada e saída.
Observa-se também que esta classe possui relações com dois trabalhos estruturantes: Färe e
Grosskopf (1996) e Nemoto e Goto (1999) (Figura 5.4). Reshadi e Espahi (2012) tomaram
como fundamentação básica Nemoto e Goto (1999; 2003) ao utilizar a conceituação de
quase-fixo como elemento de transição entre os períodos. Com isso, os autores ampliaram
as possibilidades de interdependência diferenciando-as por tipos conforme o período de
consumo (t ou t+1).
Reshadi (2012) também se baseou em Nemoto e Goto (1999) para definição das variáveis e
os parâmetros básicos da modelagem dinâmica. As proposições da estrutura básica do
DDEA de Färe e Grosskopf (1996) fundamentaram o trabalho de Reshadi (2012) para
realizar as transformações do modelo CCR e desenvolver uma modelagem dinâmica. Por
fim, Kao (2013) não indicou estudos de DDEA como balizadores de suas proposições, mas
fundamentou-se no modelo de redes Kao (2009).
Figura 5.4 - Relação dos modelos da classe de restrições agregadas com os estudos estruturantes
5.4 Otimização dos inputs variáveis e intermediários
55
Os modelos focados em custos de ajuste e no comportamento de investimentos são aqueles
que abordam os efeitos temporais dos custos gerados pela utilização de inputs, investimentos
e demais decisões econômicas que acarretam uma perda temporária de produtividade da
DMU. Dentro desta problemática se observa a marcante característica de tratar o input
intermediário (investimento em capital ou quase-fixo semelhante) e o input como variáveis
de decisão a serem otimizadas pela modelagem dinâmica para determinado período t, o que
motivou a denominação dada a presente classe.
Os valores ótimos encontrados são, então, utilizados para o cálculo da ineficiência das
DMUs. Alinhados a este contexto de minimização dos custos e otimização dos inputs, os
seguintes modelos dinâmicos foram classificados com esta abordagem: Sengupta (1999),
Silva e Stefanou (2003; 2007), Sueyoshi e Sekitani (2005), De Mateo et al (2006),
Soleimani-damaneh (2003a; 2013c) e Díaz-Hernández et al (2014). Além de Nemoto e Goto
(2003) que terá a estrutura da modelagem detalhada.
Nemoto e Goto (2003) mensuraram a eficiência quando uma empresa emprega inputs quase-
fixos que não podem ser instantaneamente ajustados para o seu nível ótimo. Os autores
apresentaram um esquema de avaliação da eficiência dinâmica de insumos quase-fixos e de
seus processos de ajuste e compararam as ineficiências no modelo estático e dinâmico em
uma aplicação no setor de energia elétrica do Japão.
Para tanto, Nemoto e Goto (2003) realizaram algumas alterações no modelo estruturante de
minimização de custos NG. As alterações contemplaram a exclusão da segunda restrição
(NG. 2) dos intermediários no período t=0 e a incorporação do período t=1 na restrição (NG.
3), a previsão de retornos variáveis de escala, além da consideração da tecnologia básica de
produção de Färe e Grosskopf (1996). A seguir, apresenta-se a descrição do modelo de
Nemoto e Goto (2003):
𝑚𝑖𝑛{𝑥𝑡,𝜆𝑡,𝑘𝑡}𝑡=1𝑝 ∑𝛾𝑡
𝑝
𝑡=1
(𝑣𝑖𝑘𝑡 𝑥𝑖
𝑡 + 𝑤𝑓𝑘𝑡 𝑧𝑓
𝑡−1)
𝑆𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎:
∑ 𝑥𝑖𝑗𝑡𝑛
𝑗=1 𝜏𝑡 ≤ 𝑥𝑖𝑡 𝑖 = 1,… ,𝑚; 𝑡 = 1, 2, … , 𝑝 (NG2003.1)
∑ 𝑧𝑓𝑗𝑡−1𝑛
𝑗=1 𝜏𝑡 ≤ 𝑧𝑓𝑡−1 𝑓 = 1,… , 𝑔; 𝑡 = 1,2, . . . , 𝑝 (NG2003.2)
∑ 𝑧𝑓𝑗𝑡𝑛
𝑗=1 𝜏𝑡 ≥ 𝑧𝑓𝑡 𝑓 = 1,… , 𝑔; 𝑡 = 1, 2, . . . , 𝑝 − 1 (NG2003.4)
∑ 𝑦𝑟𝑗𝑡𝑛
𝑗=1 𝜏𝑡 ≥ 𝑦𝑟𝑘𝑡 𝑟 = 1,… , 𝑠; 𝑡 = 1, 2, . . . , 𝑝 (NG2003.5)
𝑒𝜏𝑡 = 1 (NG2003.6)
𝜏𝑡 ≥ 0 (NG2003.7)
𝑥𝑖𝑡 ≥ 0, 𝑧𝑓
𝑡 ≥ 0 𝑡 = 1, 2, . . . , 𝑝 (NG2003)
Legenda do modelo de Nemoto e Goto (2003):
Variáveis
56
𝑥𝑖𝑡: input i no período t; 𝜏𝑡: variável de intensidade do período t;
𝑧𝑓𝑡: input intermediário f no período t;
Parâmetros
𝑧𝑓𝑗𝑡 , 𝑥𝑖𝑗
𝑡 , 𝑦𝑟𝑗𝑡 , 𝑦𝑟𝑘
𝑡 ;
𝑤𝑓𝑘𝑡 : peso dos inputs intermediários f no período t para a DMU analisada k;
𝑣𝑖𝑘𝑡 : peso dos inputs i no período t para a DMU analisada k;
𝑧�̅�0: input intermediário f estabelecido como parâmetro para as DMUs no período inicial 0;
Verifica-se na modelagem NG2003, conforme característica da classe, que os inputs e os
intermediários são variáveis (𝑥𝑖𝑡; 𝑧𝑓
𝑡 ) e parâmetros do modelo (𝑥𝑖𝑗𝑡 ; 𝑧𝑓𝑗
𝑡 ). Apresentam-se,
então, importantes diferenças entre a classe de benchmarking e a de otimização.
A primeira classe busca valores ótimos apenas do intermediário, enquanto que a segunda
otimiza também os inputs exógenos com fins de comparação. A segunda diferença está
centrada na forma de otimização do modelo, a classe de benchmarking busca a maximização
da eficiência com base na distância do output, enquanto que a de otimização dos inputs,
como pode ser observado em NG2003, foca na minimização de custos.
Ao se comparar o modelo de Nemoto e Goto (2003) com a modelagem básica de Färe e
Grosskopf (1996), observa-se que o peso 𝜏𝑡 em Nemoto e Goto (2003) está relacionado
somente com o período de avaliação, enquanto que Färe e Grosskopf (1996) especificam
também para cada DMU analisada 𝜆𝑗𝑡. Excetuando esta divergência do índice temporal nas
variáveis de intensidade, a restrição NG 2003.1 que trata dos inputs equivale a FG. 2, 6, 10.
As restrições referentes ao intermediário quando se comporta como input também são
equivalentes (NG 2003. 2 e FG. 3, 7, 11).
Particularmente, as restrições do output final e do intermediário (quando funciona como
output) podem até se assemelhar ao exposto por FG nas condições da Equação 4.1 e 4.2, no
entanto, como o foco de otimização de NG2003 está na minimização de custos, o modelo
trata o output como parâmetro. Isso seria uma alteração a se realizar também na tecnologia
básica de FG, caso a forma de otimização fosse também a de reduzir custos.
O estudo de Nemoto e Goto (2003) esclareceu algumas lacunas de NG, de modo que,
realizou maior detalhamento acerca das medidas de eficiência. Segundo Nemoto e Goto
(2003), a eficiência global de uma DMU é dada pelo somatório da eficiência técnica estática,
eficiência alocativa estática e a eficiência dinâmica.
A medida da eficiência dinâmica, particularmente, pode ser calculada pela razão entre os
custos intertemporais eficientes com os quase-fixos a níveis observados. O numerador é o
resultado da função objetivo do modelo NG2003, enquanto que o denominador é resultado
da mesma modelagem alterada com a exclusão da restrição 𝑧𝑓𝑡 ≥ 0, de modo que, não há a
otimização do input intermediário e considera-se a informação apenas dos níveis observados.
As medidas de ineficiência do período apresentadas por Nemoto e Goto (2003) são
semelhantes às calculadas em Nemoto e Goto (1999) nas Equações 4.4-6, contudo,
normalizados pelo custo descontado atual da DMU (C) que não considera inputs quase-fixos
no modelo (Equações 5.1-3). A medida de ineficiência total do período para a DMU é a
mesma que NG (Eq. 4.7).
57
𝐼𝑥𝑘𝑡 =
𝛾𝑡×∑ 𝑣𝑖𝑘𝑡𝑚
𝑖=1 (𝑥𝑖𝑘𝑡 −𝑥𝑖
𝑡∗)
𝐶 (Ineficiência do input - Equação 5.1)
𝐼𝑧𝑘𝑡 =
𝛾𝑡 × ∑ 𝑤𝑓𝑘𝑡𝑔
𝑓=1 (𝑧𝑓𝑘𝑡 − 𝑧𝑓
𝑡∗)
𝐶
(Ineficiência do input quase-fixo - Equação 5.2)
𝐼ℎ𝑘𝑡 =
{(𝜗𝑘𝑡∗ × ∑ 𝑧𝑓𝑘
𝑡𝑔𝑓=1 − 𝜗𝑘
𝑡−1∗ × ∑ 𝑧𝑓𝑘𝑡−1𝑔
𝑓=1 ) − (𝜗𝑘𝑡∗ × ∑ 𝑧𝑓
𝑡∗𝑔𝑓=1 − 𝜗𝑘
𝑡∗ × ∑ 𝑧𝑓𝑡−1∗𝑔
𝑓=1 )}𝐶
⁄
(Ineficiência dos investimentos em input quase-fixo - Equação 5.3)
5.4.1 Detalhamento dos trabalhos pertencentes a classe de Otimização dos
inputs variáveis e intermediários
Entre os primeiros trabalhos dinâmicos publicados, pode-se ressaltar Sengupta (1999) que
também representa a classe de otimização dos inputs variáveis e intermediários. Sengupta
(1999) observou cenários possíveis de otimizar com DEA os custos de input em um
determinado período do tempo. Esse autor propôs dois modelos para eficiência global. A
primeira modelagem não apresenta um input/output intermediário entre os períodos, tendo
em vista que o foco está apenas na variação do desempenho dos inputs ao longo de um
horizonte de tempo.
A segunda proposta, no entanto, contempla as variáveis de entrada capital e investimentos a
serem otimizadas, o que permitiu sua classificação como DDEA de acordo com os critérios
definidos nesse trabalho. O segundo modelo de Sengupta (1999) distingue os inputs entre
correntes e de capital com o objetivo de minimizar o fluxo descontado do custo total. Essa
abordagem foi estendida para também tratar dos investimentos em capital e os custos de
investimento
Outro tipo de contribuição relacionada com a classe de otimização é apresentada na pesquisa
de Silva e Stefanou (2003). O trabalho considerou que o capital funcionava como um fator
quase-fixo a ser gerenciado, cuja rápida expansão ou contração no capital social estava
acompanhada de custos de ajustes. Os autores Silva e Stefanou (2003) desenvolveram um
modelo DDEA que contemplou esta problemática na tecnologia de produção e no conjunto
de possibilidades de produção. Como resultado, Silva e Stefanou (2003) construíram uma
metodologia pré-teste para ser aplicada antes de recorrer a metodologias paramétricas.
Posteriormente, Silva e Stefanou (2007) desenvolveram um modelo dinâmico para verificar
a eficiência técnica, alocativa e econômica no contexto do curto e do longo prazo, por meio
de medidas hiperbólicas e fundamentados em Silva e Stefanou (2003). Com essas
considerações, foi possível estabelecer os limites derivados em medidas de eficiência no
contexto de ajustes de custo da tecnologia e minimização de custos intertemporal, bem como
aplicar o modelo na indústria de laticínios na Pensilvânia.
O primeiro trabalho a incorporar o conceito de retornos de escala (Returns To Scale – RTS)
no DEA dinâmico foi desenvolvido por Sueyoshi e Sekitani (2005). Para isso, esses autores
tomaram como base o modelo dinâmico de Nemoto e Goto (1999) realizando algumas
alterações na modelagem:
a) Introdução de 𝑒𝜏𝑡 = 1 (𝑒 representa um vetor com todos os elementos iguais a 1)
para restringir os retornos variáveis;
b) Inclusão de preços para as variáveis de inputs (𝑣𝑗𝑡) e quase-fixos (𝑤𝑗
𝑡) para cada
DMU “j” e período “t”, pois NG (1999) assumiam que todas as DMUs usavam os
mesmos pesos no período “t” ( 𝑣𝑖𝑗1 = ⋯ = 𝑣𝑖𝑗
𝑡 ) e ( 𝑤𝑓𝑗1 = ⋯ = 𝑤𝑓𝑗
𝑡 ).
58
c) Retirada do fator de ajuste “γ” anteriormente utilizado na função objetivo de NG
(1999), devido a inclusão dos pesos;
d) Adição do termo 𝑧�̅�𝑘0 na função objetivo dos modelos dual e primal para manter a
igualdade entre o resultado na otimização.
Sueyoshi e Sekitani (2005) mostraram que a condição da Eq. 4.3 não estava apropriada para
garantir a relação entre os modelos dual e primal de NG na otimização. Nesse sentido,
Sueyoshi e Sekitani (2005) afirmaram que para obter a solução ótima com o modelo
dinâmico, as seguintes proposições devem ser satisfeitas nos períodos t = 1, 2, ... , p:
a) 𝑧�̅�𝑘0 ≥ 𝑧𝑓𝑘
0 ;
b) 𝑧𝑓𝑘𝑡 ≥ 0;
c) 𝑥𝑖𝑘𝑡 ≥ 0;
d) 𝑣𝑖𝑘𝑡 ≥ 0.
Com as variáveis duais e os valores ótimos do modelo primal, Sueyoshi e Sekitani (2005)
desenvolveram um modelo específico para a medição dos retornos. A estimativa do retorno
em escala é resultado de três modelos de programação linear para cada unidade. O resultado
do retorno pode ser classificado como crescente, decrescente e constante, de acordo com
Sueyoshi (1999).
Para superar a deficiência do tempo computacional necessário de Sueyoshi e Sekitani (2005),
Soleimani-damaneh (2013a) forneceu um método capaz de determinar o RTS usando a
forma dual do modelo de retornos constantes, sem buscar soluções ótimas alternativas. Essa
proposta contemplou a redução do número de restrições e a elaboração de um algoritmo. O
trabalho de Soleimani-damaneh (2013a) estende o conceito estático de Banker e Thrall
(1992) para determinar os retornos de escala no DEA dinâmico e introduz o conceito de
eficiência global dinâmica da DMU.
Soleimani-damaneh (2013c) contrapôs os modelos anteriores da classe de otimização ao
desdobrar as considerações de um modelo dinâmico de minimização de custos convexos
para o desenvolvimento de um algoritmo de enumeração recursivo para hipóteses de
convexidade violada. As primeiras inferências da proposição incluíram os conceitos do
modelo Free Disposal Hull (FDH) que são desenvolvidos sob a consideração de livre
descarte. O modelo FDH objetiva assegurar a determinação das medidas de eficiência das
DMUs baseado apenas nos dados reais observados, abandonando o pressuposto de
convexidade, o que permite que muitas unidades analisadas pertençam a fronteira de
eficiência.
Ao observar uma lacuna na aplicação dos modelos de DEA nas empresas, De Mateo et al
(2006) apresentaram um DDEA com a função gerencial ex ante para apoiar as decisões de
investimentos, ao invés de buscar apenas explicar ex post as variações de produtividade em
séries históricas. O objetivo da modelagem dinâmica de De Mateo et al (2006) é maximizar
o valor presente dos ganhos da DMU, subtraindo os custos dos inputs e os custos de ajuste
(que representam os custos gerados pela variação nas quantidades de input).
Nesse sentido, o foco de otimização do modelo de De Mateo et al (2006) está justamente
nos custos de ajuste e no peso (𝜆𝑘𝑡 ) referente a DMU k e ao período t, tendo em vista que o
modelo busca orientar que decisões devem ser tomadas pelo gestor quanto a quantidade a
ser adotada para as entradas a fim de manter a mesma produção da DMU. Para tal
contribuição, esses autores fundamentaram-se em Charnes et al (1978) e Färe et al (1985).
Ao identificar características na infraestrutura de portos sujeitas aos efeitos das decisões ao
longo do tempo, Díaz-Hernández et al (2014) aplicaram o modelo de Nemoto e Goto (2003)
59
para avaliação da eficiência dinâmica. O objetivo principal deste estudo estava em
determinar a eficiência do fornecimento e utilização de portos. Os autores mostraram que o
estudo da ineficiência dos portos espanhóis auxiliaria na composição dos preços, a fim de
evitar que a ineficiência dos investimentos seja transferida para os usuários como custos e
haja perdas de competitividade das unidades.
Como exposto anteriormente, a classe de otimização dos inputs variáveis e intermediários
está fundamentada nos estruturantes Nemoto e Goto (1999) e Färe e Grosskopf (1996). É
possível observar também o encadeamento das modelagens dinâmicas em três níveis, visto
que os trabalhos que utilizaram os modelos estruturantes foram posteriormente aprimorados.
Nesse sentido, observam-se os seguintes relacionamentos:
a) Nemoto e Goto (2003) realizaram a combinação da tecnologia básica dinâmica de
Färe e Grosskopf (1996) com o modelo de minimização de custos de Nemoto e Goto
(1999), para ampliar as considerações sobre a composição das medidas de eficiência
e realizar a primeira aplicação da abordagem de Nemoto e Goto (1999).
b) Díaz- Hernández et al (2014) utilizaram o modelo de Nemoto e Goto (2003) para
uma aplicação.
c) Sueyoshi e Sekitani (2005) propuseram uma nova modelagem DDEA com a
discussão sobre os tipos de retornos de escala, tomando como base, especialmente, o
modelo estruturante de Nemoto e Goto (1999). Afirma-se, então, que esta
modelagem foi aprimorada e ampliada por Sueyoshi e Sekitani (2005).
d) Como fundamentação básica para definição do comportamento do intermediário
inicial, Soleimani-damaneh (2013c) observaram o modelo de Nemoto e Goto (1999)
e para consideração da tecnologia de produção com retornos variáveis consideraram
o trabalho de Sueyoshi e Sekitani (2005).
e) Com o objetivo de aprimoramento do modelo de Sueyoshi e Sekitani (2005),
Soleimani-damaneh (2013a) estabeleceram as suas proposições com base neste
DDEA anterior e ao longo do desenvolvimento do algoritmo remeteram por diversas
vezes as contribuições a teoremas da modelagem de Sueyoshi e Sekitani (2005).
Em contrapartida, a Figura 5.7 apresenta que Sengupta (1999), Silva e Stefanou (2003) e De
Mateo et al (2006) não consideraram estudos DDEA anteriores. Já a ramificação do
embasamento de Silva e Stefanou (2007) é destacada pelo aprimoramento e ampliação do
modelo DDEA de Silva e Stefanou (2003).
60
Figura 5.7- Relação dos modelos da classe de otimização dos inputs variáveis e intermediários com os estudos
estruturantes
5.5 Efeitos defasados
Os modelos dinâmicos DEA tratam dos efeitos intertemporais gerados pela consideração de
inputs/outputs intermediários na avaliação do desempenho de DMUs. Em especial, esta
classe de modelos busca estender esse conceito a fim de contemplar particularidades dos
processos produtivos e é representada unicamente pelo trabalho de Chen e Dalen (2010).
Esta modelagem DDEA analisa os efeitos defasados de produção, que ocorrem quando um
input (𝑥𝑖𝑡) contribui tanto para a produção atual (𝑦𝑟
𝑡) como transformação futura de outputs
(𝑦𝑟𝑡+1; 𝑦𝑟
𝑡+2; 𝑦𝑟𝑡+3, etc). Assim, o intermediário de um período não funciona apenas como
entrada do período subsequente, mas impacta nos processos de transformação de inputs em
outputs em outros períodos de análise.
O modelo de Chen e Dalen (2010) contempla os elementos dinâmicos característicos do
DDEA por meio de efeitos defasados de produção sobre outputs. Para determinado input “i”
pertencente a uma DMU “k” no período de tempo “t”, os autores estabelecem uma matriz
de efeitos defasados que apresenta o grau de aumento para cada output “s” correspondente
ao impacto dinâmico do input na produção do output em uma janela de tempo (t=0, ..., p):
𝐷𝑖𝑘𝑡 =
[ 𝐷𝑖𝑘
𝑡 (1,0) 𝐷𝑖𝑘𝑡 (1,1) . . . 𝐷𝑖𝑘
𝑡 (1, 𝑝)
𝐷𝑖𝑘𝑡 (2,0) 𝐷𝑖𝑘
𝑡 (2,1) . . . 𝐷𝑖𝑘𝑡 (2, 𝑝)
⋮ ⋮ ⋮𝐷𝑖𝑘
𝑡 (𝑠, 0) 𝐷𝑖𝑘𝑡 (𝑠, 1) . . . 𝐷𝑖𝑘
𝑡 (𝑠, 𝑝)]
(Equação 5.4)
𝐷 = [𝐷𝑖𝑘𝑡 ]𝑖=1
𝑚 (Equação 5.5)
Logo, considerando o input 𝑥𝑖𝑘𝑡 , o valor de 𝐷𝑖𝑘
𝑡 (𝑠, 𝑝) corresponde ao impacto dinâmico que
determinado input “i” desencadeia na produção do output “s” no período “p”. Segundo Chen
e Dalen (2010), o efeito dinâmico produtivo funciona como uma fonte de variação dos
61
outputs, assim quanto maior o valor de 𝐷𝑖𝑘𝑡 , maior a intensidade do efeito dinâmico do input
sobre o output. Observa-se que estes valores devem ser não negativos (𝐷𝑖𝑘𝑡 ≥ 0).
Para simplificação, pode-se ponderar que os parâmetros dinâmicos para determinado período
de início “t” são invariantes para as unidades produtivas e o input “i” (CHEN e DALEN,
2010):
𝐷𝑖𝑘𝑡 = 𝐷𝑖𝑗
𝑡 = 𝐷𝑖
(Equação 5.6)
Segundo Chen e Dalen (2010), os efeitos gerados pelo consumo de inputs podem ser
classificados em:
a) Efeitos contemporâneos: o consumo de matéria-prima 𝑥𝑖𝑡 resulta na produção de
produtos finais no mesmo período em que são aplicados 𝑦𝑟𝑡. Representados pela seta
preta que sai DMU (Figura 5.8) e detalhados na primeira coluna da matriz (Equação
5.4).
b) Efeitos defasados: correspondem aos impactos do consumo de inputs em um período
𝑥𝑖𝑡 para produção de saídas em períodos futuros 𝑦𝑟
𝑡+1, 𝑦𝑟𝑡+2, etc. Estes efeitos são
ignorados pela modelagem estática DEA. Os efeitos defasados de produção estão
representados pelas áreas em tons de laranja na Figura 5.8 e são detalhados na
segunda coluna em diante da matriz (Equação 5.4).
Figura 5.8- Estrutura do modelo dinâmico de Chen e Dalen (2010)
O detalhamento da modelagem de Chen e Dalen (2010) pode ser analisado a seguir,
assumindo retornos constantes de escala:
Max𝜂𝑡
𝑆𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎:
∑ 𝜆𝑗𝑛𝑗=1 𝑥𝑖𝑗
𝑡 ≤ 𝑥𝑖𝑘𝑡 𝑖 = 1,… ,𝑚 (CD. 1)
∑ 𝜆𝑗𝑛𝑗=1 �̃�𝑟𝑗
𝑡 ≥ 𝜂𝑡�̃�𝑟𝑘𝑡 𝑟 = 1,… 𝑠 (CD. 2)
𝜆𝑗 ≥ 0 𝑗 = 1,… . , 𝑛 (CD.3)
�̃�𝑟𝑗𝑡 = 𝜌𝑝 ([𝑦𝑟𝑗
𝑡 ]𝑡=0
𝑝, 𝐷) 𝑗 = 1,… . , 𝑛 (CD.4) (CD)
62
Legenda do modelo de Chen e Dalen (2010):
Variáveis:
𝜂𝑡: Inverso da eficiência da DMU observada no
período t
𝜆𝑗:variável de intensidade da DMU j;
Parâmetros:
𝑥𝑖𝑗𝑡 , 𝑥𝑖𝑘
𝑡 ;
�̃�𝑟𝑗𝑡 : 𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 r da j-ésima DMU no período t ajustado pelos efeitos defasados;
�̃�𝑟𝑘𝑡 : output r da DMU analisada k no período t ajustado pelos efeitos defasados;
𝜌𝑝: função de efeitos defasados sobre os outputs no período de t=0, ..., p;
D: parâmetros dinâmicos de defasagem.
O modelo formulado por Chen e Dalen (2010) orientado ao output busca a eficiência
dinâmica de uma unidade no período “t”, contrapondo-se a modelos como o de Kao (2013)
que apresentam a otimização da eficiência global. O peso também é uma das variáveis do
modelo e está relacionado unicamente com a DMU, divergindo das outras modelagens
apresentadas anteriormente.
A restrição básica para o input (CD.1) é apresentada como nos demais trabalhos DDEA,
excetuando a particularidade do peso. Já os outputs 𝑦𝑟𝑡 (parâmetros informados pelo decisor)
são ajustados com a contrapartida dinâmica (�̃�𝑟𝑘𝑡 ) (CD.2), por meio da função 𝜌𝑝 de outputs
produzidos nos períodos (t=0, ..., p) (CD.4).
Para determinação dos parâmetros de defasagem, os autores permitem diversas
possibilidades, tanto quanto a simplificação da Equação 5.6. No entanto, é possível também
o emprego de técnicas de estimação. Chen e Dalen (2010), na aplicação do modelo,
utilizaram o Vetor Painel Auto Regressivo (Painel Vector Autoregressive –PVAR). Caso os
parâmetros de defasagem (D) sejam dados conhecidos, o modelo de Chen e Dalen (2010)
pode ser resolvido com programação linear.
A principal característica do modelo de Chen e Dalen (2010) que o diferencia das demais
classes de modelagens DDEA está em tratar a interdependência temporal de forma mais
abrangente. A proposta de avaliação dos efeitos defasados não limita o intermediário apenas
como um elemento que relaciona dos períodos subsequentes, mas como um efeito (ou uma
parcela) do input que influência o desempenho das saídas em diversos períodos (�̃�𝑟𝑗𝑡 ).
Para proposição dessa abordagem de DDEA, Chen e Dalen (2010) adaptaram o modelo de
Charnes et al (1978) e utilizaram alguns axiomas de produção para os parâmetros de
defasagem conforme o modelo estruturante de Färe e Grosskopf (1996). A condição de
“strong output disposability” também foi incorporada com base nas contribuições do
trabalho estruturante, esta garante que para qualquer aumento de input (proporcional ou não)
não haverá redução de outputs (Ver Figura 5.9).
63
Figura 5.9 - Relação do modelo da classe de efeitos defasados de produção com os estudos estruturantes
5.6 Modelos híbridos
A última classe de DDEA proposta nesta pesquisa é de modelagens híbridas. Estes trabalhos
possuem como característica principal o aprimoramento de modelos consolidados na
literatura DEA, permitindo melhorias no desenvolvimento de modelagens dinâmicas com
características mais avançadas. Nesse sentido, quatro vertentes principais foram
identificadas:
a) Função distância direcional: modelagem dinâmica fundamentada na mensuração da
eficiência com DEA e a otimização por meio da função distância direcional;
b) Folgas não radias: modelos dinâmicos baseado em modelos aditivos, SBM (Slack-
Based Measure) e RAM (Range Adjusted Measure);
c) DNDEA: modelos dinâmicos com a estrutura de redes oriunda do modelo network
DEA;
d) Dinâmica fuzzy: modelagem dinâmica desenvolvida com os conceitos da lógica fuzzy
baseados em modelos DEA fuzzy;
e) DEA Malmquist dinâmico: inserção do modelo dinâmico nas medidas do modelo
DEA Malmquist.
O modelo representativo a ser detalhado nesta classe, conforme realizado nas classes
anteriores, é o trabalho de Tone e Tsutsui (2014) que expõe a estrutura da subclasse DNDEA.
Segundo Kao (2014), a modelagem dinâmica estruturada por Tone e Tsutsui (2014) pode ser
considerada uma das principais tendências para futuras pesquisas e um tema desafiador a ser
explorado na área.
5.6.1 Função distância direcional
Os modelos dinâmicos DEA desta subclasse consideram a função distância direcional para
medir a ineficiência dos elementos de input, output e intermediários na avaliação
intertemporal de DMUs. A função distância direcional permite a expansão simultânea das
saídas desejáveis e a redução de entradas ou saídas indesejáveis com base em um vetor de
direção dado. O uso desta função é uma importante ferramenta para modelar situações
produtivas que apresentam elementos indesejáveis (CHUNG et al, 1997; SKEVAS et al,
2012).
Esta subclasse contempla os trabalhos de Skevas et al (2012), Kapelko et al (2014), Skevas
e Lansink (2014) e Andersson et al (2014). Na aplicação de Skevas et al (2012), por
exemplo, observa-se a particularidade de tratar um mesmo elemento (pesticidas) com efeitos
como intermediários indesejáveis e ainda como saída (output indesejável) do período. A
Figura 5.10 apresenta o comportamento do modelo aplicado:
64
Figura 5.10 -Estrutura do modelo dinâmico de Skevas et al (2012)
A função distância direcional foi utilizada por Skevas et al (2012) para apresentar a
influência dos efeitos ocasionados pelo uso de pesticidas em fazendas holandesas. Para a
construção do trabalho de Skevas et al (2012), foram observadas as contribuições do modelo
de redes de Färe et al (2007) e a função da distância direcional de Chung et al (1997) para
tratar os outputs indesejáveis.
O estudo de Skevas et al (2012), no entanto, não mensura a composição do crescimento da
produtividade do uso de agrotóxicos e seus impactos, por isso, Skevas e Lansink (2014)
desenvolveram um modelo com o objetivo de investigar a contribuição da redução de
pesticidas e outros insumos na variação da eficiência. A tecnologia de produção apresentada
por Skevas e Lansink (2014) é semelhante para a abordagem de Murty et al (2012), que
avalia o desempenho de empresas que produzem as duas saídas intencionais e não
intencionais (como por exemplo, poluição), e também é relacionada com o trabalho anterior
de Skevas et al (2012).
Com outra fundamentação teórica, a pesquisa de Kapelko et al (2014) se propôs a avaliar o
desempenho do setor de construção espanhol antes e depois do início da crise econômica. O
trabalho fundamentou-se nos estudos de Silva e Stefanou (2003; 2007) e Silva e Oude
Landsink (2013) para estimar o custo da ineficiência dinâmica e sua decomposição em
ineficiência técnica, de escala e alocativa. Esta proposta foi o primeiro trabalho prático com
escopo dinâmico neste setor.
Segundo Kapelko et al (2014), por empregarem a equação de Hamilton-Jacobi-Bellman
algumas características foram evidenciadas, em contraste com outros modelos DDEA: Färe
e Grosskopf (1996), Nemoto e Goto (2003) e Chen e Dalen (2010). A abordagem
desenvolvida por Kapelko et al (2014) requer dados de um período de tempo menor que as
demais para formatar um painel. Além disso, o trabalho de distância direcional seria mais
apropriado para a escolha das variáveis do período por observar o impacto nos fluxos de
lucro ou custos no futuro e se assemelhar aos processos decisórios de curto prazo das
empresas (KAPELKO et al, 2014).
Com o objetivo de avaliar a ineficiência de agências de emprego suecas, Andersson et al
(2014) fundamentou-se em Chung et al (1997) para construção de um modelo DEA com
função direcional. Para adaptar a modelagem ao contexto dinâmico, Andersson et al (2014)
baseou-se em Althin et al (2010) na consideração de outputs intermediários que funcionam
65
como restrições no modelo e representam as ações das agências para aumentar as chances
de empregabilidade dos desempregados.
A Figura 5.11 mostra que no contexto da função direcional não há trabalhos estruturantes
relacionados com as modelagens. Outros modelos dinâmicos da classe de otimização dos
inputs (Silva e Stefanou, 2003; 2007), Althin et al (2010) da classe de benchmarking do
intermediário e trabalhos DEA de outras naturezas permitiram o desenvolvimento dos
modelos.
Figura 5.11 - Relação dos modelos da subclasse de função distância direcional com os estudos sucessores
5.6.2 Folgas não radiais
Os modelos desta subclasse apresentam a incorporação de folgas (slacks) não radiais nas
restrições para discriminar entre DMUs eficientes e ineficientes. Como discutido
anteriormente, as folgas não radias representam a diferença entre os níveis de inputs ou
outputs de uma DMU e a sua projeção na fronteira (MARIANO, 2008).
Nesta avaliação do desempenho, a unidade tomadora de decisão só pode ser considerada
eficiente se e somente se todas as folgas forem iguais a zero (TONE, 2001). Além disso, os
modelos não radiais permitem mudanças não proporcionais nos níveis de inputs e outputs e
a alteração simultânea dos inputs e outputs (TONE e TSUTSUI, 2010).
Na modelagem dinâmica, Von Geymueller (2009) tratou dos ganhos de eficiência técnicos,
por meio da concepção de um modelo aditivo. A modelagem aditiva combina ambas
orientações (input e output) para avaliação do problema, o que também é chamado de modelo
não orientado. Além disso, como as demais abordagens não radiais, a eficiência de uma
DMU é medida com a maximização de todas as folgas, que devem ser iguais a zero para
classificar a unidade como eficiente.
Von Geymueller (2009) fundamentou-se no conceito dos inputs quase-fixos de Nemoto e
Goto (1999) e eliminou a exigência de informações sobre os pesos das variáveis de inputs e
outputs. Segundo Von Geymueller (2009), isso limitava as aplicações práticas do modelo de
Nemoto e Goto (1999) pela dificuldade de encontrar os pesos corretos na indústria.
Após o desenvolvimento do modelo DSBM por Tone e Tsutsui (2010), diversos autores se
fundamentaram neste estudo não radial para realizar aplicações e estudos mostrando a
superioridade da modelagem dinâmica: (a) na indústria de hotéis para avaliação de
benchmarking (WU et al, 2013); (b) em empresas de telecomunicação (MORENO et al,
2013; WANG et al, 2014); (c) em operações de pós-transação de empresas alavancadas
financeiras (ALPEROVYCH et al, 2013); (d) bancos (SHAFIEE et al, 2013; WANKE et al,
66
2015); (e) com empresas seguradoras para avaliar a influência de capital intelectual para a
eficiência (LU et al, 2014; KWEH et al, 2014a, 2014b); (f) indústrias de semicondutores
(HUNG et al, 2014); (g) análise de portfólio de ações (ŠKRINJARIĆ, 2014); (h) setor de
energia chinês (LIN e YANG, 2014).
Enquanto isso, Avkiran e Goto (2011) investigaram o desempenho financeiro de bancos
japoneses por meio de outra abordagem dinâmica não radial. Os autores estenderam o
modelo RAM (Range-Adjusted Measure) proposto inicialmente por Cooper et al (1999) para
uma análise multi-período. O uso do DEA-RAM permitiu ao estudo capturar os benefícios
da redução não radial em insumos e aumento não radial em saídas.
Conforme apresentado na Figura 5.12, a maior parte dos modelos da subclasse de folgas não
radiais está relacionada com o trabalho estruturante de Tone e Tsutsui (2010) por meio de
aplicações do modelo DSBM. Em outra vertente, Von Geymueller (2009) se fundamentou
no estudo de Nemoto e Goto (1999) para a concepção dos elementos do modelo (input,
output e quase-fixo).
Figura 5.12 - Relação dos modelos da subclasse de folgas não radiais com os estudos estruturantes
Em contraposição aos demais modelos da classe, Avkiran e Goto (2011) não se basearam
nos modelos estruturantes, mas na abordagem DDEA de otimização dos inputs desenvolvida
por Nemoto e Goto (2003) para incorporação do comportamento intertemporal da variável
intermediária na abordagem DEA-RAM.
5.6.3 Dynamic Network DEA
Os modelos DNDEA permitem de maneira associada compreender os sub-processos
organizacionais, alinhado ao aspecto temporal das unidades observadas. Isto é possível por
meio da combinação da modelagem dinâmica e o modelo network DEA. Este último observa
os links entre as unidades tomadoras de decisão e permite abrir a “caixa preta”, que seria
67
considerar as subdivisões das DMUs e suas ligações (TONE e TSUTSUI, 2014). Portanto,
os modelos desta subclasse mensuram a eficiência dinâmica não apenas de DMUs, como
também das divisões que as compõem (sub-DMUs).
A abordagem é representada pelos seguintes trabalhos: Chen (2009), Chen (2012), Avkiran
e McCrystal (2014), Kawaguchi et al (2014), Avkiran (in press), Fukuyama e Weber (in
press) e Tone e Tsutsui (2014) que será detalhado para discussões acerca da estrutura da
modelagem.
Tone e Tsutsui (2014) introduziram o modelo DNDEA em que cada período é tratado
conforme a abordagem de Slacks-Based Measure. A estrutura do modelo é apresentada na
Figura 5.13. Observa-se que, diferentemente das estruturas de dinâmicas “tradicionais”, na
avaliação com redes a DMU é composta por divisões (sub-DMUs) que podem representar,
por exemplo, processos de uma companhia de energia elétrica, departamentos administrativo
e de produção de uma empresa, setores de um hospital, etc.
No modelo de Tone e Tsutsui (2014), cada sub-DMU (ilustradas por “A” e “B” na Figura
5.13) possui carry-overs bons, ruins, livres e/ou fixos (representados genericamente por 𝛼
em 𝑧𝑓𝐴𝛼 𝑡 𝑒 𝑧𝑓𝐵𝛼
𝑡 ) que relacionam uma subunidade de determinada DMU em diferentes
períodos. Tone e Tsutsui (2010) também apresentava carry-overs, contudo estes elementos
interligavam as DMUs no nível mais macro de análise.
Nesta abordagem, outro elemento é inserido na avaliação, as divisões de uma DMU em
determinado período de tempo “t” são interligadas por links (𝐿(𝐴𝐵)𝑙𝛼𝑡−1 , 𝐿(𝐴𝐵)𝑙𝛼
𝑡 , 𝐿(𝐴𝐵)𝑙𝛼𝑡+1 ). Os
links podem assumir o comportamento discricionário, fixo, ou ainda, como input da divisão
seguinte (cujo excesso dado pela folga é considerado ineficiência do input) e como output
da divisão precedente (cuja escassez apontada pela folga é considerada ineficiência do
output). Todas as categorias de link são representadas de forma genérica por 𝛼 na Figura
5.13.
Figura 5.13 - Estrutura do modelo DNDEA de Tone e Tsutsui (2014)
Verifica-se que neste contexto os inputs e outputs também são analisados ao nível dos
subsistemas e não mais das DMUs como visto nos modelos anteriores. Assim, as “caixas”
das unidades tomadoras de decisão são realmente abertas e destrinchadas por uma avaliação
mais aprofundada dos fatores envolvidos.
68
A modelagem de Tone e Tsutsui (2014) é também não radial e mensura sua eficiência com
folgas. Esta se caracteriza por um detalhamento significativo das possibilidades dos
elementos envolvidos e, por se tratar também de uma análise desagregada, possui várias
restrições, variáveis e parâmetros. A seguir é apresentado o modelo não orientado
(orientação ao input e output conjuntamente) adotando retornos variáveis de escala. Caso a
orientação ao input ou output fosse pretendida, as funções corresponderiam respectivamente
ao numerador ou denominador da função não orientada.
𝜃𝑘
= 𝑚𝑖𝑛
∑ 𝜏𝑡 [∑ 𝑤𝑑𝑏𝑑=1 [1 −
1𝑚𝑑 + 𝑙𝑖𝑛𝑘𝑖𝑛𝑑 + 𝑔𝑑𝑏𝑎𝑑
(∑𝑠𝑖𝑑𝑘𝑡
−
𝑥𝑖𝑑𝑘𝑡 + ∑
𝑠𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑖𝑛
𝑡
𝐿𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑖𝑛𝑡
𝑙𝑖𝑛𝑘𝑖𝑛𝑑 𝑑𝑑′
𝑙=1+ ∑
𝑠𝑓𝑑𝑘𝑡𝑏𝑎𝑑
𝑧𝑓𝑑𝑘𝑏𝑎𝑑𝑡
𝑔𝑑𝑏𝑎𝑑𝑓𝑑=1
𝑚𝑑𝑖=1 )]]
𝑝𝑡=1
∑ 𝜏𝑡 [∑ 𝑤𝑑𝑏𝑑=1 [1 +
1𝑠𝑑 + 𝑙𝑖𝑛𝑘𝑜𝑢𝑡𝑑 + 𝑔𝑑𝑔𝑜𝑜𝑑
(∑𝑠𝑟𝑑𝑘𝑡
+
𝑦𝑟𝑑𝑘𝑡 + ∑
𝑠𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑜𝑢𝑡𝑡
𝐿𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑜𝑢𝑡𝑡
𝑙𝑖𝑛𝑘𝑜𝑢𝑡𝑑 𝑑𝑑′
𝑙=1+ ∑
𝑠𝑓𝑑𝑘𝑡𝑔𝑜𝑜𝑑
𝑧𝑓𝑑𝑘𝑔𝑜𝑜𝑑𝑡
𝑔𝑑𝑔𝑜𝑜𝑑
𝑓𝑑=1
𝑠𝑑𝑟=1 )]]
𝑝𝑡=1
𝑆𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎:
∑ 𝑥𝑖𝑑𝑘𝑡𝑚𝑑
𝑖=1 = ∑ ∑ 𝑥𝑖𝑑𝑗𝑡𝑚𝑑
𝑖=1 𝜆𝑑𝑗𝑡 + ∑ 𝑠𝑖𝑑𝑘𝑡
−𝑚𝑑𝑖=1
𝑛𝑗=1 𝑑 = 1,… . , 𝑏; 𝑡 = 1,… , 𝑝 (TT2014.1)
∑ 𝑦𝑟𝑑𝑘𝑡𝑠𝑑
𝑟=1 = ∑ ∑ 𝑦𝑟𝑑𝑗𝑡𝑠𝑑
𝑟=1 𝜆𝑑𝑗𝑡 − ∑ 𝑠𝑟𝑑𝑘𝑡
+𝑠𝑑𝑟=1
𝑛𝑗=1 𝑑 = 1,… . , 𝑏; 𝑡 = 1,… , 𝑝 (TT2014.2)
∑ 𝐿𝑗(𝑑𝑑′)𝑙𝛼
𝑡 𝜆𝑑′𝑗𝑡𝑛
𝑗=1 = ∑ 𝐿𝑗(𝑑𝑑′)𝑙𝛼
𝑡 𝜆𝑑𝑗𝑡𝑛
𝑗=1 (∀𝑑; ∀(𝑑𝑑′)𝑙𝛼; ∀𝑡) (TT2014.3)
𝐿𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑓𝑟𝑒𝑒
𝑡 = ∑ 𝐿𝑗(𝑑𝑑′)𝑙𝑓𝑟𝑒𝑒𝑡 𝜆𝑑𝑗
𝑡 + 𝑠𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑓𝑟𝑒𝑒
𝑡𝑛𝑗=1 (𝑑𝑑′)𝑙 = 1,… , 𝑙𝑖𝑛𝑘𝑓𝑟𝑒𝑒𝑑; 𝑡 = 1,… , 𝑝 (TT2014.4)
𝐿𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑓𝑖𝑥
𝑡 = ∑ 𝐿𝑗(𝑑𝑑′)𝑙𝑓𝑖𝑥𝑡 𝜆𝑑𝑗
𝑡𝑛𝑗=1 (𝑑𝑑′)𝑙 = 1,… , 𝑙𝑖𝑛𝑘𝑓𝑖𝑥𝑑; 𝑡 = 1,… , 𝑝 (TT2014.5)
𝐿𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑓𝑖𝑥
𝑡 = ∑ 𝐿𝑗(𝑑𝑑′)𝑙𝑓𝑖𝑥𝑡 𝜆𝑑′𝑗
𝑡𝑛𝑗=1 (𝑑𝑑′)𝑙 = 1,… , 𝑙𝑖𝑛𝑘𝑓𝑖𝑥𝑑; 𝑡 = 1,… , 𝑝 (TT2014.6)
𝐿𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑖𝑛
𝑡 = ∑ 𝐿𝑗(𝑑𝑑′)𝑙𝑖𝑛𝑡 𝜆𝑑𝑗
𝑡 + 𝑠𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑖𝑛
𝑡𝑛𝑗=1 ( 𝑑𝑑′)𝑙 = 1,… , 𝑙𝑖𝑛𝑘𝑖𝑛𝑑 (TT2014.7)
𝐿𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑜𝑢𝑡
𝑡 = ∑ 𝐿𝑗(𝑑𝑑′)𝑙𝑜𝑢𝑡𝑡 𝜆𝑑𝑗
𝑡 − 𝑠𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑜𝑢𝑡
𝑡𝑛𝑗=1 ( 𝑑𝑑′)𝑙 = 1,… , 𝑙𝑖𝑛𝑘𝑜𝑢𝑡𝑑 (TT2014.8)
∑ 𝑧𝑓𝑑𝑗𝛼𝑡𝑛
𝑗=1 𝜆𝑑𝑗𝑡 = ∑ 𝑧𝑓𝑑𝑗𝛼
𝑡𝑛𝑗=1 𝜆𝑑𝑗
𝑡+1 (∀𝑑; ∀𝑓𝑑; 𝑡 = 1,… , 𝑝 − 1) (TT2014.9)
𝑧𝑓𝑑𝑘𝑔𝑜𝑜𝑑𝑡 = ∑ 𝑧𝑓𝑑𝑗𝑔𝑜𝑜𝑑
𝑡 𝜆𝑑𝑗𝑡𝑛
𝑗=1 − 𝑠𝑓𝑑𝑘𝑡𝑔𝑜𝑜𝑑
(𝑓𝑑 = 1,… . , 𝑔𝑑𝑔𝑜𝑜𝑑; ∀𝑑; ∀𝑡) (TT2014.10)
𝑧𝑓𝑑𝑘𝑏𝑎𝑑𝑡 = ∑ 𝑧𝑓𝑑𝑗𝑏𝑎𝑑
𝑡 𝜆𝑑𝑗𝑡𝑛
𝑗=1 + 𝑠𝑓𝑑𝑘𝑡𝑏𝑎𝑑 (𝑓𝑑 = 1,… . , 𝑔𝑑𝑏𝑎𝑑; ∀𝑑; ∀𝑡) (TT2014.11)
𝑧𝑓𝑑𝑘𝑓𝑟𝑒𝑒𝑡 = ∑ 𝑧𝑓𝑑𝑗𝑓𝑟𝑒𝑒
𝑡 𝜆𝑑𝑗𝑡𝑛
𝑗=1 + 𝑠𝑓𝑑𝑘𝑡𝑓𝑟𝑒𝑒
(𝑓𝑑 = 1,… . , 𝑔𝑑𝑓𝑟𝑒𝑒; ∀𝑑; ∀𝑡) (TT2014.12)
𝑧𝑓𝑑𝑘𝑓𝑖𝑥𝑡 = ∑ 𝑧𝑓𝑑𝑗𝑓𝑖𝑥
𝑡 𝜆𝑑𝑗𝑡𝑛
𝑗=1 (𝑓𝑑 = 1,… . , 𝑔𝑑𝑓𝑖𝑥; ∀𝑑; ∀𝑡) (TT2014.13)
∑ 𝜆𝑑𝑗𝑡
𝑛
𝑗=1= 1 𝑑 = 1,… . , 𝑏; 𝑡 = 1,… , 𝑝 (TT2014.14)
𝜆𝑑𝑗𝑡 ≥ 0; (TT2014.15)
𝑠𝑖𝑑𝑘𝑡− ≥ 0; 𝑠𝑟𝑑𝑘𝑡
+ ≥ 0; (TT2014.16)
69
𝑠𝑓𝑑𝑘𝑡𝑔𝑜𝑜𝑑
≥ 0; 𝑠𝑓𝑑𝑘𝑡𝑏𝑎𝑑 ≥ 0; 𝑠𝑓𝑑𝑘𝑡
𝑓𝑟𝑒𝑒 é 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 (∀𝑓𝑑; ∀𝑡) (TT2014.17)
𝑠𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑖𝑛
𝑡 ≥ 0; 𝑠𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑜𝑢𝑡
𝑡 ≥ 0; 𝑠𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑓𝑟𝑒𝑒
𝑡 é 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 𝑒𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 (TT2014.18)
∑ 𝑤𝑑𝑏𝑑=1 = 1; 𝑤𝑑 ≥ 0 (∀𝑑) (TT2014.19)
∑ 𝜏𝑡 = 1𝑝𝑡=1 ; 𝜏𝑡 ≥ 0 (∀𝑡) (TT2014.20) (TT2014)
Legenda do modelo de Tone e Tsutsui (2014):
Variáveis:
𝑠𝑖𝑑𝑘𝑡− : variável de folga de excesso do input i
pertencente a divisão d da DMU analisada k no
período t;
𝑠𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑖𝑛
𝑡 : variável de folga de excesso do link que
funciona como input (𝑑𝑑′)𝑙 referente a DMU
analisada k no período t
𝑠𝑟𝑑𝑘𝑡+ : variável de folga de escassez do output r
pertencente a divisão d da DMU analisada k no
período t;
𝑠𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑜𝑢𝑡
𝑡 : variável de folga de escassez do link
que funciona como output (𝑑𝑑′)𝑙 referente a
DMU analisada k no período t
𝑠𝑓𝑑𝑘𝑡𝑔𝑜𝑜𝑑
: variável de folga de escassez do
intermediário desejável f referente a divisão d da
DMU analisada k no período t;
𝑠𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑓𝑟𝑒𝑒
𝑡 : variável de folga de desvio do link
livre (𝑑𝑑′)𝑙 referente a DMU analisada, no
período t
𝑠𝑓𝑑𝑘𝑡𝑓𝑟𝑒𝑒
: variável de folga de desvio do intermediário
livre f referente a divisão d da DMU analisada k
no período t;
𝜆𝑑𝑗𝑡 : peso d divisão d da j-ésima DMU no
período t;
𝑠𝑓𝑑𝑘𝑡𝑏𝑎𝑑 : variável de folga de excesso de
intermediário indesejável f referente a divisão d da
DMU analisada k no período t
Parâmetros:
d: divisão em análise; 𝐿𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑜𝑢𝑡
𝑡 : link como output entre a divisão d e d’
da DMU em análise no período t; b: quantidade de divisões da DMU; 𝐿𝑗(𝑑𝑑′)𝑙𝑜𝑢𝑡
𝑡 : link como output entre a divisão d e d’
da j-ésima DMU no período t; 𝑥𝑖𝑑𝑘
𝑡 : input i da DMU em análise k e da divisão d
no período t;
𝑙𝑖𝑛𝑘𝑜𝑢𝑡𝑑 : número de links como outputs;
pertencentes à divisão d;
𝑦𝑟𝑑𝑘𝑡 : output r da DMU em análise k e da divisão
d no período t
𝑓𝑑: índice referente ao intermediário f da divisão
d;
𝑚𝑑: número de inputs pertencentes da divisão d; 𝑧𝑑𝑓𝑗𝛼𝑡 : intermediário genérico (bom, ruim, fixo ou
livre) 𝑑𝑓 da j-ésima DMU no período t;
𝑠𝑑: número de outputs pertencentes da divisão d; 𝑧𝑓𝑑𝑗𝑔𝑜𝑜𝑑𝑡 : intermediário desejável 𝑓𝑑 da j-ésima
DMU no período t;
𝑥𝑖𝑑𝑗𝑡 : input i da j-ésima DMU e da divisão d no
período t;
𝑧𝑓𝑑𝑘𝑔𝑜𝑜𝑑𝑡 : intermediário desejável 𝑓𝑑 da DMU em
análise k no período t;
𝑦𝑟𝑑𝑗𝑡 : output r da j-ésima DMU e da divisão d no
período t
𝑔𝑑𝑔𝑜𝑜𝑑 : número de inputs intermediários
desejáveis da divisão d;
(𝑑𝑑′)𝑙: índice referente ao link em análise entre
as divisões d e d’; 𝑧𝑓𝑑𝑘𝑏𝑎𝑑
𝑡 : intermediário indesejável 𝑓𝑑 da DMU
em análise k no período t;
𝐿𝑗(𝑑𝑑′)𝑙𝛼
𝑡 : link genérico (livre, fixo, como input ou
output) entre a divisão d e d’ da j-ésima DMU no
período t;
𝑧𝑓𝑑𝑗𝑏𝑎𝑑 𝑡 : intermediário indesejável𝑓𝑑 da j-ésima
DMU no período t;
𝐿𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑓𝑟𝑒𝑒
𝑡 : link livre entre a divisão d e d’ da
DMU em análise no período t;
𝑔𝑑𝑏𝑎𝑑: número de inputs intermediários
indesejáveis da divisão d;
𝐿𝑗(𝑑𝑑′)𝑙𝑓𝑟𝑒𝑒𝑡 : link livre entre a divisão d e d’ da j-
ésima DMU no período t;
𝑧𝑓𝑑𝑘𝑓𝑟𝑒𝑒 𝑡 : intermediário livre 𝑓𝑑 da DMU em
análise k no período t;
70
𝑙𝑖𝑛𝑘𝑓𝑟𝑒𝑒𝑑: número de links livres pertencentes à
divisão d; 𝑧𝑓𝑑𝑗𝑓𝑟𝑒𝑒
𝑡 : intermediário livre 𝑓𝑑 da j-ésima DMU
no período t;
𝐿𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑓𝑖𝑥
𝑡 : link fixo entre a divisão d e d’ da
DMU em análise k no período t;
𝑔𝑑𝑓𝑟𝑒𝑒: número de inputs intermediários livres da
divisão d;
𝐿𝑗(𝑑𝑑′)𝑙𝑓𝑖𝑥𝑡 : link fixo entre a divisão d e d’ da j-
ésima DMU no período t;
𝑧𝑓𝑑𝑘𝑓𝑖𝑥 𝑡 : intermediário fixo 𝑓𝑑 da DMU em análise
k no período t;
𝑙𝑖𝑛𝑘𝑓𝑖𝑥𝑑: número de links fixos pertencentes à
divisão d; 𝑧𝑓𝑑𝑗𝑓𝑖𝑥
𝑡 : intermediário fixo𝑓𝑑 da j-ésima DMU no
período t;
𝐿𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑖𝑛
𝑡 : link como input entre a divisão d e d’ da
DMU em análise k no período t
𝑔𝑑𝑓𝑖𝑥: número de inputs intermediários fixos da
divisão d;
𝐿𝑗(𝑑𝑑′)𝑙𝑖𝑛𝑡 : link como input entre a divisão d e d’ da
j-ésima DMU no período t;
𝑤𝑑 : peso (variável de intensidade) referente a
divisão d;
𝑙𝑖𝑛𝑘𝑖𝑛𝑑 : número de links como inputs;
pertencentes à divisão d;
𝜏𝑡 : peso (variável de intensidade) referente ao
período t
Em termos da modelagem matemática, Tone e Tsutsui (2014) estão intimamente
relacionados com o estruturante Tone e Tsutsui (2010). Para avaliação do desempenho
dinâmica das sub-DMUs, pode-se inicialmente observar as seguintes adaptações no modelo
de Tone e Tsutsui (2010) (TT):
a) Inclusão de restrições para as quatro categorias de links (livre, fixo, como input e
como output);
b) Exclusão das restrições de inputs e outputs fixos (TT. 3, 5);
c) Alteração dos índices nas restrições de carry-overs, inputs e outputs para relacioná-
los com as sub-DMUs ao invés das DMUs como feito em TT;
d) Inclusão das folgas dos links como variáveis de otimização do modelo;
e) Alteração da variável de intensidade “𝜆𝑗𝑡” para ponderar ao nível das divisões das
DMUs “ 𝜆𝑑𝑗𝑡 ”, diferentemente de Tone e Tsutsui (2010) e outras modelagens
apresentadas;
f) Alteração da função objetivo para considerar as informações quanto aos links e
demais elementos referentes as sub-DMUs para a medição da eficiência de forma
desagregada.
O modelo TT2014 apresenta pesos referentes as sub-DMUs e aos períodos de tempo, que
funcionam como dados exógenos informados pelo decisor. Segundo Tone e Tsutsui (2014),
os pesos das divisões indicam a importância de cada sub-DMU quanto a fatores como mão-
de-obra, custos, etc. Já os pesos dos períodos refletem, por exemplo, taxas de desconto. Em
Tone e Tsutsui (2010), também se considera a ponderação para os períodos analisados, no
entanto, ao invés das divisões são os output ou inputs, que dependendo do foco de otimização
recebem variáveis de intensidade.
Semelhante ao modelo de TT, Tone e Tsutsui (2014) apresentam uma restrição adicional
para incluir na modelagem básica as condições iniciais dos intermediários caso devam ser
consideradas. A restrição descrita na Equação 5.7 pode ser adaptada para cada um dos
comportamentos do carry-over.
𝑧𝑑𝑓𝑘𝛼0 = ∑ 𝑧𝑑𝑓𝑗𝛼
0 𝜆𝑑𝑗1𝑛
𝑗=1 (∀𝑑𝑓) (Equação 5.7)
A continuidade entre os períodos é mantida pela relação entre os intermediários, para isso,
Tone e Tsutsui acrescentam a restrição TT2014.9 que se assemelha a TT.1 sendo que em
71
nível de divisões. No caso dos links também é adicionada uma restrição (TT2014.3) que por
meio da variável de intensidade pondera simultaneamente os links entre as divisões que eles
conectam, contribuindo como inputs e outputs dos sub-processos.
Pelo nível de detalhamento que abrange o modelo, Tone e Tsutsui (2014) oferecem medidas
de medição da eficiência dinâmica: global, dos períodos, das divisões e do período para a
divisão. É importante ressaltar que apenas a eficiência global possui um único resultado, as
demais eficiências podem possuir múltiplas soluções devido a variação nos resultados das
folgas. Nesse sentido, os autores apresentam alguns mecanismos para lidar com esta
limitação, em especial, com a eficiência do período em Tone e Tsutsui (2014, p. 128-129).
O próprio resultado do modelo (TT2014) já é a eficiência dinâmica global e com os
resultados ótimos obtidos podem-se aplicar as seguintes fórmulas das eficiências:
𝐸𝑡 =
∑ 𝑤𝑑𝑏𝑑=1 [1 −
1𝑚𝑑 + 𝑙𝑖𝑛𝑘𝑖𝑛𝑑 + 𝑔𝑑𝑏𝑎𝑑
(∑𝑠𝑖𝑑𝑘𝑡
−
𝑥𝑖𝑑𝑘𝑡 + ∑
𝑠𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑖𝑛
𝑡
𝐿𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑖𝑛𝑡
𝑙𝑖𝑛𝑘𝑖𝑛𝑑 𝑑𝑑′
𝑙=1+ ∑
𝑠𝑓𝑑𝑘𝑡𝑏𝑎𝑑
𝑧𝑓𝑑𝑘𝑏𝑎𝑑𝑡
𝑔𝑑𝑏𝑎𝑑𝑓=1
𝑚𝑑𝑖=1 )]
∑ 𝑤𝑑𝑏𝑑=1 [1 +
1𝑠𝑑 + 𝑙𝑖𝑛𝑘𝑜𝑢𝑡𝑑 + 𝑔𝑑𝑔𝑜𝑜𝑑
(∑𝑠𝑟𝑑𝑘𝑡
+
𝑦𝑟𝑑𝑘𝑡 + ∑
𝑠𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑜𝑢𝑡𝑡
𝐿𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑜𝑢𝑡𝑡
𝑙𝑖𝑛𝑘𝑜𝑢𝑡𝑑 𝑑𝑑′
𝑙=1+ ∑
𝑠𝑓𝑑𝑘𝑡𝑔𝑜𝑜𝑑
𝑧𝑓𝑑𝑘𝑔𝑜𝑜𝑑𝑡
𝑔𝑑𝑔𝑜𝑜𝑑
𝑓=1
𝑠𝑑𝑟=1 )]
Eficiência do período – Eq. 5.8
𝐸𝑑 =
∑ 𝜏𝑡𝑝𝑡=1 [1 −
1𝑚𝑑 + 𝑙𝑖𝑛𝑘𝑖𝑛𝑑 + 𝑔𝑑𝑏𝑎𝑑
(∑𝑠𝑖𝑑𝑘𝑡
−
𝑥𝑖𝑑𝑘𝑡 + ∑
𝑠𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑖𝑛
𝑡
𝐿𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑖𝑛𝑡
𝑙𝑖𝑛𝑘𝑖𝑛𝑑 𝑑𝑑′
𝑙=1+ ∑
𝑠𝑓𝑑𝑘𝑡𝑏𝑎𝑑
𝑧𝑓𝑑𝑘𝑏𝑎𝑑𝑡
𝑔𝑑𝑏𝑎𝑑𝑓=1
𝑚𝑑𝑖=1 )]
∑ 𝜏𝑡𝑝𝑡=1 [1 +
1𝑠𝑑 + 𝑙𝑖𝑛𝑘𝑜𝑢𝑡𝑑 + 𝑔𝑑𝑔𝑜𝑜𝑑
(∑𝑠𝑟𝑑𝑘𝑡
+
𝑦𝑟𝑑𝑘𝑡 + ∑
𝑠𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑜𝑢𝑡𝑡
𝐿𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑜𝑢𝑡𝑡
𝑙𝑖𝑛𝑘𝑜𝑢𝑡𝑑 𝑑𝑑′
𝑙=1+ ∑
𝑠𝑓𝑑𝑘𝑡𝑔𝑜𝑜𝑑
𝑧𝑓𝑑𝑘𝑔𝑜𝑜𝑑𝑡
𝑔𝑑𝑔𝑜𝑜𝑑
𝑓=1
𝑠𝑑𝑟=1 )]
(Eficiência da divisão – Equação 5.9)
𝐸𝑑𝑡 =
1 −1
𝑚𝑑 + 𝑙𝑖𝑛𝑘𝑖𝑛𝑑 + 𝑔𝑑𝑏𝑎𝑑(∑
𝑠𝑖𝑑𝑘𝑡−
𝑥𝑖𝑑𝑘𝑡 + ∑
𝑠𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑖𝑛
𝑡
𝐿𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑖𝑛𝑡
𝑙𝑖𝑛𝑘𝑖𝑛𝑑 𝑑𝑑′
𝑙=1+ ∑
𝑠𝑓𝑑𝑘𝑡𝑏𝑎𝑑
𝑧𝑓𝑑𝑘𝑏𝑎𝑑𝑡
𝑔𝑑𝑏𝑎𝑑𝑓=1
𝑚𝑑𝑖=1 )
1 +1
𝑠𝑑 + 𝑙𝑖𝑛𝑘𝑜𝑢𝑡𝑑 + 𝑔𝑑𝑔𝑜𝑜𝑑(∑
𝑠𝑟𝑑𝑘𝑡+
𝑦𝑟𝑑𝑘𝑡 + ∑
𝑠𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑜𝑢𝑡𝑡
𝐿𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑜𝑢𝑡𝑡
𝑙𝑖𝑛𝑘𝑜𝑢𝑡𝑑 𝑑𝑑′
𝑙=1+ ∑
𝑠𝑓𝑑𝑘𝑡𝑔𝑜𝑜𝑑
𝑧𝑓𝑑𝑘𝑔𝑜𝑜𝑑𝑡
𝑔𝑑𝑔𝑜𝑜𝑑
𝑓=1
𝑠𝑑𝑟=1 )
(Eficiência do período t para a divisão d – Equação 5.10)
Tone e Tsutsui (2014) compararam o modelo desenvolvido com a modelagem dinâmica com
folgas DSBM (TONE e TSUTSUI, 2010). Os resultados mais precisos foram obtidos pelo
modelo combinado DNDEA devido à estrutura desagregada em que são tratadas as variáveis
de inputs/outputs.
5.6.3.1 Detalhamento dos trabalhos pertencentes a classe DNDEA
O primeiro modelo que propôs a medição da eficiência considerando os efeitos dinâmicos
de um ambiente produtivo com estrutura de redes foi introduzido por Chen (2009). Os efeitos
dinâmicos avaliados na pesquisa de Chen (2009) referem-se às saídas intermediárias de uma
sub-unidade tomadora de decisão (sub-DMU ou SDMU), que podem afetar o nível de
72
produção da SDMU em um período futuro. A modelagem permite o estoque dos
intermediários ou ainda elementos intermediários perecíveis ao longo do tempo. Chen
(2009) apresenta medidas de eficiência dinâmica para as unidades e os sub-processos.
Para medir a eficiência de fazendas de porcos em Taiwan, Chen (2012) elaborou o modelo
DMNDEA (Dynamic Multi-activity Network DEA) por meio da combinação dos conceitos
DNDEA, modelos de várias atividades e a consideração de folgas. Chen (2012) recomendou
a utilização em situações que as DMUs são divididas em diferentes componentes e
compartilham recursos, como também, quando alguns componentes sofrem dependência
intertemporal. Outra versão do modelo também foi desenvolvida (Russell Directional
Measure Network DEA -RDMNDEA), desta vez considerando a medida direcional de
Russel (Russell Directional Measure) (FUKUYAMA e WEBER, 2009) a fim de avaliar a
eficiência global.
Em outro contexto de aplicação, Avkiran e McCrystal (2014) desenvolveram um modelo
denominado DN-RAM (Dynamic Network Range Adjusted Measure) para avaliação
intertemporal em serviços de assistência a idosos. O DN-RAM é ponderado por pesos,
admite retornos variáveis de escala e se baseia no modelo RAM (Range Adjusted Measure)
que é não radial e semelhante ao modelo aditivo (COOK e SEIFORD, 2009).
Na aplicação, Avkiran e McCrystal (2014) consideram duas sessões por DMU, que estão
relacionadas com o nível de tratamento necessário aos pacientes. Cada sub-DMU apresenta
inputs, outputs, intermediários e ainda um link entre elas. Ao final, os autores ressaltaram
que a medida proposta apresenta superior desempenho frente a abordagem SBM (Slacks-
Based Measure) de Avkiran e McCrystal (2013).
A primeira aplicação do DNDEA no âmbito da saúde foi feita por Kawaguchi et al (2014),
com foco em hospitais com base no modelo de Tone e Tsutsui (2014). Por tal motivo, o
trabalho identifica algumas limitações no estudo empírico realizado, em termos de mudanças
decorrentes de variáveis externas e outras variáveis difíceis de serem avaliados como a
gravidade dos pacientes e a qualidade dos serviços médicos.
O estudo de Avkiran (in press) fundamenta-se em Tone e Tsutsui (2014) para analisar o
desempenho de bancos na China com o DNDEA. O trabalho destaca também a discussão
quanto a robustez dos resultados, comparando as alterações na eficiência com a avaliação
nas modelagens SBM, Network Slacks-BAsed Measure Model (NSBM) e DSBM.
Também no contexto de bancos, mas com abordagem radial, Fukuyama e Weber (in press)
desenvolveram um modelo DNDEA na estrutura básica de redes em dois estágios para
aplicação no segmento japonês. Fukuyama e Weber (in press) estenderam os conceitos da
modelagem dinâmica de Färe e Grosskopf (1996), conjuntamente com Färe et al (2012), a
abordagem de redes de Akther et al (2013) e Fukuyama e Weber (2012, 2013).
Como resume a Figura 5.14, portanto, Tone e Tsutsui (2010) e Färe e Grosskopf (1996) são
os trabalhos estruturantes diretamente referenciados como balizadores das proposições dos
modelos classificados como DNDEA. O modelo DSBM fundamentou Tone e Tsutsui (2014)
para caracterização do comportamento e tipos de carry-overs e links entre sub-DMUs,
enquanto Färe e Grosskopf (1996) sustentou o desenvolvimento de um novo modelo por
Fukuyama e Weber (in press).
Posteriormente, a modelagem DNDEA de Tone e Tsutsui (2014) desencadeou mais dois
trabalhos: (a) Avkiran e McCrystal (2014) que formularam uma modelagem em redes com
estrutura semelhante e observaram os tipos de carry-overs apresentados pelos autores; (b)
Kawaguchi et al (2014) com uma aplicação. Chen (2009) e Chen (2012), contudo, não se
basearam em modelagens dinâmicas anteriores (Figura 5.14).
73
Figura 5.14 - Relação do modelo da subclasse DNDEA com os estudos estruturantes
5.6.4 Dinâmica fuzzy
A inclusão da lógica fuzzy nos modelos dinâmicos de DEA permite auxiliar o decisor com a
inserção do nível de incerteza na análise da eficiência. Um conjunto fuzzy é um conjunto em
que as fronteiras não são precisas, onde há incerteza. Esses conjuntos são definidos por uma
condição que defina se um elemento pertence ou não ao conjunto (função grau de
pertinência). Os graus de pertinência mais comuns em conjuntos fuzzys são expressos por
números no intervalo [0,1], assim, um conjunto fuzzy expressa transições graduais, de modo
que, um elemento pode pertencer (valor 1) ou não pertencer (valor igual a 0) ao conjunto
com um certo grau de pertinência (JAFARIAN-MOGHADDAM e GHOSEIRI, 2011).
Para considerar um conjunto nebuloso de inputs e outputs (fuzzy), Jafarian-Moghaddam e
Ghoseiri (2011) elaboraram um modelo multi-objetivo fuzzy de DEA dinâmico. A
modelagem além de considerar incerteza apresenta uma função objetivo que abrange
diversas funções, logo, o resultado da otimização é válido para todas as DMUs em análise.
De semelhante modo, Jafarian-Moghaddam e Ghoseiri (2012) propuseram um modelo
multi-objetivo, dinâmico fuzzy e, ainda, adicionaram a condição de valores ausentes, o que
caracterizou uma abordagem única na literatura de DDEA. Em ambos os trabalhos, Jafarian-
Moghaddam e Ghoseiri (2011; 2012) ressaltam o menor número de rodadas para execução
do modelo e, consequentemente, economias no tempo para preparação do modelo, quando
comparado aos modelos fuzzy clássicos.
Especialmente, na pesquisa com valores ausentes, é ressaltado o ganho das medidas de
eficiência serem expressas em funções, ao invés de números. Jafarian-Moghaddam e
Ghoseiri (2012) afirmam que isso permite aos decisores modelar suas preferências com base
nos dados de entrada e saídas sob a forma de termos linguísticos para definir o nível de
desejado para números fuzzy.
Com o cunho estritamente teórico, Soleimani-damaneh (2013b) demonstra a construção de
um modelo DDEA fuzzy e de teoremas para ser aplicado associado com as modelagens
clássicas. Esse autor referencia Sueyoshi e Sekitani (2005) e, ainda, alguns estudos de lógica
fuzzy em DEA: Kao e Liu (2000) e Lertworasirikul et al (2003) como pilares de sua
construção do DDEA fuzzy.
A Figura 5.15 sistematiza o relacionamento da subclasse de DDEA fuzzy com os trabalhos
estruturantes. Observa-se a relação de fundamentação de Jafarian-Moghaddam e Ghorseiri
(2011; 2012) ao considerarem a definição e o comportamento apresentado por Nemoto e
74
Goto (1999) para o input quase-fixo (intermediário). Já Soleimani-damaneh (2013b)
tomaram como ponto de partida o modelo de Sueyoshi e Sekitani (2005), bem com as
considerações de Soleimani-damaneh (2009) para de forma estender a modelagem dinâmica
ao contexto fuzzy.
Figura 5.15 - Relação do modelo da subclasse dinâmica fuzzy com os estudos estruturantes
5.6.5 DEA Malmquist dinâmico
O DEA Malmquist incorpora o índice Malmquist na Análise Envoltória de Dados para
mensurar a mudança tecnológica e de eficiência de uma DMU entre dois períodos a partir
da combinação dos inputs e os outputs da DMU nos períodos t e t+1. Para avaliação do
desempenho, o DEA Malmquist requer que sejam rodados quatro modelos clássicos com os
seguintes objetivos:
a) Calcular a distância da DMU no período t relativa à fronteira do período t
(𝐷𝑡(𝑥𝑡; 𝑦𝑡));
b) Calcular a distância da DMU no período t+1 relativa à fronteira do período t
(Dt(xt+1; yt+1));
c) Calcular a distância da DMU no período t relativa à fronteira do período t+1
(Dt+1(xt; yt));
d) Calcular a distância da DMU no período t+1 relativa à fronteira do período t+1
(Dt+1(xt+1; yt+1)).
O índice DEA Malmquist é calculado com as informações obtidas para cada combinação
desses dois períodos, como expresso na Equação 5.11 (EMROUZNEJAD e
THANASSOULIS, 2010):
𝑀𝑡+1(𝑥𝑡 , 𝑦𝑡 , 𝑥𝑡+1, 𝑦𝑡+1) =𝐷𝑡+1(𝑥𝑡+1,𝑦𝑡+1)
𝐷𝑡(𝑥𝑡,𝑦𝑡)[
𝐷𝑡(𝑥𝑡+1,𝑦𝑡+1)
𝐷𝑡+1(𝑥𝑡+1,𝑦𝑡+1)×
𝐷𝑡(𝑥𝑡,𝑦𝑡)
𝐷𝑡+1(𝑥𝑡,𝑦𝑡)]1
2⁄
(Equação 5.11)
Como fator de produtividade, o índice é composto pelo produto da variação do progresso
técnico da DMU (∆𝑇𝐸𝐶𝐻) medida pelo deslocamento da fronteira no período t+1 e no
período t e a variação da eficiência nestes períodos (∆𝐸𝐹𝐹), conforme o detalhamento nas
Equações 5.12-13.
∆𝐸𝐹𝐹 =𝐷𝑡+1(𝑥𝑡+1, 𝑦𝑡+1)
𝐷𝑡(𝑥𝑡 , 𝑦𝑡)
75
(Equação 5.12)
∆𝑇𝐸𝐶𝐻 = [𝐷𝑡(𝑥𝑡+1, 𝑦𝑡+1)
𝐷𝑡+1(𝑥𝑡+1, 𝑦𝑡+1)×
𝐷𝑡(𝑥𝑡 , 𝑦𝑡)
𝐷𝑡+1(𝑥𝑡 , 𝑦𝑡)]
12⁄
(Equação 5.13)
Emrouznejad e Thanassoulis (2010) mostraram que a estrutura do modelo DEA Malmquist
mensura a eficiência de cada um dos períodos separadamente, ignorando investimentos
passado (𝑧0) e/ou futuro (𝑧𝑝), bem como inputs intermediários (𝑧𝑡). Para retratar com mais
precisão os efeitos temporais, Emrouznejad e Thanassoulis (2010) realizaram a integração
do índice de produtividade Malmquist com o modelo dinâmico, fundamentando-se em
trabalhos anteriores (EMROUZNEJAD, 2003; EMROUZNEJAD e THANASSOULIS,
2005).
Nesta proposta de integração, as quatro etapas realizadas com modelos clássicos foram
substituídas por um modelo dinâmico e ao invés de considerar cada período isoladamente,
trabalhou-se com janelas (𝑊𝑡), que representam um intervalo de observações delimitado
pelos períodos de 1 a t. Portanto, diferentemente da medida DEA Malmquist tradicional,
passou-se a contemplar também os elementos intermediários por meio da modelagem.
De modo equivalente ao exposto no modelo DEA Malmquist, para realizar as análises
cruzadas necessárias, a modelagem DEA Malmquist dinâmica segue o mesmo raciocínio.
Emrouznejad e Thanassoulis (2010), ao invés de considerar cada período isoladamente,
trabalharam com janelas (𝑊𝑡), que representam um intervalo de observações delimitado
pelos períodos t= 1 a p do modelo apresentado.
Para calcular, por exemplo, 𝐷𝑊𝑡(𝑥𝑊𝑡+1; 𝑦𝑊𝑡+1), os autores Emrouznejad e Thanassoulis
(2010) resolveram o modelo DDEA utilizando o conjunto de input e outputs da DMU em
análise pertencentes a janela Wt+1, comparando ao conjunto de referência das DMUs nos
períodos contemplados em Wt. As fórmulas da variação da eficiência, mudança tecnológica
e do DEA Malmquist dinâmico também são equivalentes, como se pode observar nas
Equações 5.14-16.
∆𝐸𝐹𝐹(𝑊𝑡 ,𝑊𝑡+1) =𝐷𝑊𝑡+1(𝑥𝑊𝑡+1, 𝑦𝑊𝑡+1)
𝐷𝑊𝑡(𝑥𝑊𝑡 , 𝑦𝑊𝑡)
(Equação 5.14)
∆𝑇𝐸𝐶𝐻(𝑊𝑡,𝑊𝑡+1) = [𝐷𝑊𝑡(𝑥𝑊𝑡+1, 𝑦𝑊𝑡+1)
𝐷𝑊𝑡+1(𝑥𝑊𝑡+1, 𝑦𝑊𝑡+1)×
𝐷𝑊𝑡(𝑥𝑊𝑡 , 𝑦𝑊𝑡)
𝐷𝑊𝑡+1(𝑥𝑊𝑡 , 𝑦𝑊𝑡)]
12⁄
(Equação 5.15)
𝑀𝑡+1(𝑥𝑡 , 𝑦𝑡 , 𝑥𝑡+1, 𝑦𝑡+1) = ∆𝐸𝐹𝐹(𝑊𝑡 ,𝑊𝑡+1) × ∆𝑇𝐸𝐶𝐻(𝑊𝑡 ,𝑊𝑡+1)
(Equação 5.16)
No contexto do DEA Malmquist dinâmico, o trabalho de Emrouznejado e Thanassoulis
(2010) ainda é o único estudo com esta abordagem. Além disso, observa-se que este não
possui relacionamento com os trabalhos estruturantes.
76
5.7 Sistematização da classificação dos modelos DDEA
Com a apresentação das modelagens mais representativas para discutir as características das
classes propostas, também foi possível estabelecer um comparativo de alguns dos principais
pontos entre os modelos: Nemoto e Goto (2003); Althin et al (2010); Chen e Dalen (2010);
Kao (2013); Tone e Tsutsui (2014). Assim como discutido com a classe de modelos
estruturantes, pode-se avaliar as particularidades das modelagens no que diz respeito a:
variáveis de decisão, quantidade de restrições, pesos, medidas de eficiência e características
do intermediário
a) Variáveis de decisão: Observa-se que alguns modelos otimizam a eficiência do
período (ALTHIN et al, 2010; CHEN e DALEN, 2010). O elemento intermediário é
uma variável de decisão dos modelos de benchmarking (ALTHIN et al, 2010) e de
otimização dos inputs (NEMOTO e GOTO, 2003). Já os inputs são otimizados
apenas pela última classe (NEMOTO e GOTO, 2003). As folgas não radiais são
variáveis da modelagem de Tone e Tsutsui (2010; 2014), contudo, na abordagem de
DNDEA essas folgas estão também relacionadas com as divisões das DMUs. Por
fim, Kao (2013) busca a otimização dos pesos do input, output e intermediário para
mensurar a eficiência dinâmica global.
b) Quantidade de restrições: O número de restrições por modelo é bem variável entre
as modelagens, desse modo, pode-se indicar que o modelo de Tone e Tsutsui (2014),
juntamente com Althin et al (2010) são os que possuem maior número. A medida
que, os modelos com menor quantidade de restrições são Chen e Dalen (2010) e Kao
(2013).
c) Medidas de eficiência: Quanto às medidas de eficiência do sistema e do período,
observa-se que apenas Kao (2013) e Tone e Tsutsui (2014) apresentam estas duas
medidas. Isso corrobora com o afirmado por Kao (2013), quando destacou que
somente o seu modelo e o de Tone e Tsutsui (2010) calculavam as duas eficiências
simultaneamente. Contudo, como o estudo de Tone e Tsutsui (2014) é um
aprimoramento do trabalho anterior de Tone e Tsutsui (2010), observa-se a mesma
estrutura para o cálculo da eficiência (global e por períodos). Além disso, é possível
destacar que o modelo representante da classe DNDEA apresenta uma terceira
medida, que se refere à eficiência dinâmica da sub-DMU. A ineficiência dos períodos
é observada por Nemoto e Goto (2003).
d) Características do intermediário: No que diz respeito ao tratamento dado aos
elementos intermediários, a maior parte das modelagens não diferenciam os tipos de
intermediários (NEMOTO e GOTO, 2003; ALTHIN et al, 2010; CHEN e DALEN,
2010; KAO, 2013). Tone e Tsutsui (2014) ampliam essas possibilidades com a
consideração de carry-overs fixos e livres. O intermediário é um parâmetro nos
modelos de Kao (2013) e Tone e Tsutsui (2014). Para Nemoto e Goto (2003) e Althin
et al (2010), no entanto, o elemento é informado mas ao mesmo tempo otimizado
para comparação dos valores. Especialmente no caso de Chen e Dalen (2010), que
trata dos efeitos defasados, os intermediários (efeitos defasados) normalmente são
parâmetros, mas o trabalho expõe métodos adicionais para valoração dos mesmos.
As condições iniciais e finais (𝑧𝑓0 e 𝑧𝑓
𝑝) dos intermediários são consideradas por todos
os modelos, exceto Nemoto e Goto (2003) se diferencia ao seguir as características
de Nemoto e Goto (1999) com um parâmetro fixo para todas as DMUs e sem
observar o intermediário do último período.
Observa-se, então, que cada taxonomia possui indicações para aplicação mediante as
peculiaridades discutidas neste capítulo. A classe de benchmarking do intermediário,
77
portanto, é indicada para situações que objetivam avaliar a possibilidade de realocação dos
intermediários, em virtude do tratamento simultâneo deste elemento como variável e
parâmetro do modelo.
Os modelos da classe de restrições agregadas, em contrapartida, são adequados para análises
da eficiência dinâmica com base em dados conhecidos dos inputs, outputs e intermediários.
Em outra vertente, a classe de efeitos defasados pode ser sugerida para casos que buscam
avaliar os impactos do intermediário sobre o desempenho da produção da DMU em diversos
períodos subsequentes.
Com uma abordagem econômica, os modelos classificados na classe “otimização de inputs
variáveis e intermediários” são apropriados para avaliações que consideram o impacto das
decisões sobre os inputs e intermediários na ineficiência dos investimentos. Já a classe de
modelos híbridos apresenta diversas abordagens e, por isso, cada subclasse também possui
recomendações específicas.
A subclasse de folgas não radiais possibilita variações não proporcionais de inputs e outputs,
assim, se mostra adequada para avaliações que desejam a maximização do output
concomitante à redução dos inputs. Enquanto isso, os modelos que adotam a função distância
direcional são indicados para avaliações que apresentam elementos indesejáveis, pois
buscam a maximização das saídas desejáveis e a redução das medidas de inputs e/ou outputs
indesejáveis simultaneamente. No caso da subclasse DEA Malmquist dinâmico, sugere-se a
utilização em situações que além da avaliação da eficiência dinâmica objetive também a
análise dos ganhos de produtividade e mudanças de tecnologia.
Quando a avaliação intertemporal de unidades produtivas busca a eficiência das divisões de
que compõem as DMUs, os modelos da classe DNDEA são os mais apropriados, por
permitirem a análise da eficiência dinâmica desagregada por sub-processos. Por fim, quando
os elementos considerados na situação de análise contemplarem conjuntos de incerteza,
indica-se a observação dos modelos pertencentes a subclasse dinâmica fuzzy. O Quadro 5.1
contribui, portanto, com a sistematização das classes propostas nessa pesquisa.
78
Quadro 5.1 - Resumo da taxonomia proposta para o DDEA
Classe/Subclasse Características principais Indicações Modelos pertencentes à classe Estruturantes
relacionados
Benchmarking do
intermediário
Realizam comparações entre o intermediário
que foi adotado pelas DMUs e o seu valor
ótimo; possuem função que objetiva a
maximização da eficiência com base na
distância do output.
Indicados para decisões que
objetivam a medição da eficiência e
avaliação da realocação dos
intermediários.
Jaenicke (2000); Bogetoft et al (2009);
Althin et al (2010).
Färe e Grosskopf
(1996).
Restrições
agregadas
Apresentam restrições agregadas, tratam os
intermediários como parâmetros e possuem
abordagem radial.
Adequados para situações em que o
decisor já conhece os valores de
input, output e intermediário e
deseja medir o desempenho
dinâmico de períodos anteriores.
Reshadi (2012); Reshadi e Espahi
(2012); Kao (2013).
Färe e Grosskopf
(1996); Nemoto e
Goto (1999).
Efeitos defasados
Consideram que os inputs são transformados
para a produção de outputs no período atual,
assim como, influenciam a produção em
diversos outros períodos futuros dado um
grau estimado de defasagem.
Adequado para análises que
desejem avaliar o efeito do
intermediário não apenas na
eficiência dinâmica global, mas no
nível de produção em diversos
períodos subsequentes.
Chen e Dalen (2010). Färe e Grosskopf
(1996).
Otimização de
inputs variáveis e
intermediários
Apresentam objetivo de minimização dos
custos de ajustes gerados por investimentos
em variáveis não-discricionárias, por isso,
comparam os valores ótimos dos inputs e
intermediários com os informados.
Sugeridos para análises econômicas
que desejam comparar o impacto
dos inputs e os intermediários na
ineficiência das decisões de
investimentos.
Sengupta (1999); Silva e Stefanou
(2003; 2007); Nemoto e Goto (2003);
Sueyoshi e Sekitani (2005); De Mateo
et al (2006); Soleimani-damaneh
(2013a; 2013c); Díaz-Hernández et al
(2014).
Färe e Grosskopf
(1996); Nemoto e
Goto (1999).
Híbridos – Função
distância direcional
Utilizam a medida da função distância
direcional para o cálculo da eficiência.
Apropriados para avaliações que
apresentam outputs indesejáveis.
Em especial, análises que objetivam
a simultânea expansão das saídas
desejáveis e redução das entradas
e/ou saídas indesejáveis.
Skevas et al (2012); Skevas e Lansink
(2014); Kapelko et al (2014);
Andersson et al (2014)..
Híbridos –Folgas
não radiais
Apresentam abordagem não radial de
medição da eficiência, com folgas para cada
elemento de input, output e intermediário.
Indicados para avaliações que
desejam variações não
proporcionais de inputs e outputs ou
a redução do input e maximização
do output simultaneamente.
Von Geymueller (2009); Moreno et al
(2013); Alperovych et al (2013);
Shafiee et al (2013); Wu et al (2014);
Lu et al (2014); Hung et al (2014);
Wang et al (2014); Lin e Yang (2014);
Nemoto e Goto
(1999); Tone e
Tsutsui (2010).
79
Škrinjarić (2014); Kweh et al (2014a,
2014b); Wanke et al (2015).
Híbridos – DEA
Malmquist
dinâmico
Estrutura-se conforme o DEA Malmquist a
fim de mensurar a mudança de tecnologia e
de eficiência dinâmica simultaneamente de
uma DMU.
Recomendado para avaliações da
eficiência e dos impactos dos
investimentos em inputs quase-fixos
na mudança de tecnologia entre dois
períodos com o índice Malmquist.
Emrouznejad e Thanassoulis (2010).
Híbridos - DNDEA
Apresentam sub-divisões
(processos/departamentos) nas DMUs que
possuem inputs, outputs, intermediários e
ainda links entre as sub-DMUs.
Apropriados para situações em que
se fazem necessária a análise
intertemporal ao nível de sub-
processos.
Chen (2009); Avkiran e Goto (2011);
Chen (2012); Avkiran e McCrystal
(2014); Tone e Tsutsui (2014);
Kawaguchi et al (2014); Avkiran (in
press); Fukuyama e Weber (in press).
Färe e Grosskopf
(1996); Tone e
Tsutsui (2010).
Híbridos –
Dinâmica fuzzy
Incluem a lógica fuzzy no modelo DDEA
para retratar níveis de incerteza das medidas
expressos por meio de funções ao invés de
valores determinísticos.
Recomendados para avaliações que
contemplam conjuntos de incerteza
fuzzy.
Jafarian-Moghaddam e Ghoseiri
(2011; 2012); Soleimani-damaneh
(2013b);
Nemoto e Goto
(1999)
80
Outro importante resultado da classificação dos modelos e do detalhamento das
particularidades de cada conjunto de modelagens é o fluxograma de orientação ao processo
de escolha do DDEA. O fluxograma proposto objetiva auxiliar o decisor/pesquisador, ao
indicar uma classe de DDEA mais apropriada para a avaliação dinâmica que se deseja
realizar. A ferramenta, então, contribui para uma busca focalizada dos modelos a se verificar
antes de desenvolver uma aplicação.
A Figura 5.16 apresenta o fluxograma composto por sequencias pontos de decisão, referentes
a perguntas sobre os dados que serão analisados e as características da modelagem DDEA
pretendida, conforme detalhamento:
a) P.1: Haverá a consideração de um elemento de transição decorrente da
interdependência temporal entre os períodos analisados?
b) P.2: O elemento de transição será analisado a nível de departamentos ou sub-
processos da DMU?
c) P.3: Irá trabalhar com conjuntos de incerteza fuzzy para representar elementos do
modelo?
d) P.4: Deseja avaliar mudanças de tecnologia entre dois períodos decorrente de
investimentos em intermediários conjuntamente com a eficiência dinâmica?
e) P.5: Deseja avaliar o desempenho de elementos indesejáveis por meio da função
distância direcional?
f) P.6: O elemento de transição será tratado como uma variável de otimização?
g) P.7: O elemento de transição de um período t afeta nos níveis de produção de
diversos períodos seguintes (t+1, t+2, ..., t+n)?
h) P.8: Deseja também a otimização dos inputs variáveis para compor o cálculo da
ineficiência e a sua comparação com os valores anteriormente observados?
i) P.9: A análise será radial?
j) A – Processo de escolha de outro modelo intertemporal como DEA Window Analysis,
DEA Malmquist, etc.
81
Figura 5.16 - Fluxograma de orientação para escolha da classe de modelos DDEA a se adotar
Legenda: P.1: Haverá a consideração de um elemento de transição decorrente da interdependência temporal entre os períodos analisados? P.2: O elemento de transição será
analisado ao nível de departamentos ou sub-processos da DMU? P.3: Irá trabalhar com conjuntos de incerteza fuzzy para representar elementos do modelo? P.4: Deseja avaliar
mudanças de tecnologia entre dois períodos decorrente de investimentos em intermediários conjuntamente com a eficiência dinâmica? P.5: Deseja avaliar o desempenho de
elementos indesejáveis por meio da função distância direcional? P.6: O elemento de transição será tratado como uma variável de otimização? P.7: O elemento de transição de
um período t afeta nos níveis de produção de diversos períodos seguintes (t+1, t+2, ..., t+n)? P.8: Deseja também a otimização dos inputs variáveis para compor o cálculo da
ineficiência e a sua comparação com os valores anteriormente observados? P.9: A análise será radial? A – Processo de escolha de outro modelo intertemporal como DEA
Window Analysis, DEA Malmquist, etc.
82
CAPÍTULO 6
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O presente estudo objetivou demonstrar o desenvolvimento e a evolução da literatura dos
modelos dinâmicos DEA, por meio da proposição de taxonomias e identificação de
relações entre as modelagens. A proposta foi motivada pelo pequeno número de pesquisas
realizadas no Brasil sobre essa temática, em especial, a inexistência de trabalhos que
discutissem a estrutura das diversas modelagens dinâmicas. No âmbito internacional, em
contraposição, são continuamente sinalizadas as vantagens da modelagem DDEA em
comparação aos modelos DEA clássicos.
Ao longo desta pesquisa foi possível mapear a evolução da literatura de modelos
dinâmicos no âmbito da Análise Envoltória de Dados, por meio da estruturação de artigos
publicados sobre o tema em revistas indexadas na base de dados internacional Scopus. A
amostra totalizou 48 trabalhos publicados no período de 1996 a 2015.
As primeiras pesquisas identificadas sobre a modelagem DDEA foram: Färe e Grosskopf
(1996), Sengupta (1996) e Nemoto e Goto (1999). Anteriormente, muito já havia sido
publicado e investigado sobre avaliações intertemporais do desempenho, contudo, estes
modelos DDEA primeiramente inseriram os elementos de transição entre suas variáveis
para representar a dependência da DMU entre períodos de tempo.
Após tais desenvolvimentos, diversos estudos foram realizados com modelagem
dinâmica. A sistematização desta pesquisa demonstrou um aumento na quantidade de
trabalhos com DDEA nos últimos anos e um forte indicativo de crescimento nas
publicações. A temática também foi apontada como tendência entre os campos de
pesquisa DEA e com potencial para maior aprofundamento e desenvolvimento de
estudos, em especial, na abordagem DNDEA (AVKIRAN e PARKER, 2010; LIU et al,
2013a; KAO, 2014).
Os trabalhos identificados na literatura foram classificados conforme critérios de Liu et
al (2013b) em abordagens: teórica, teórica e prática e apenas prática. De modo geral, o
mapeamento da literatura indicou que os trabalhos de DDEA são motivados pela
necessidade de avaliação da eficiência dinâmica dos sistemas atuais, mediante a busca de
medidas mais discriminantes e acuradas para análise temporal. Desta forma, mais de 80%
dos estudos possuem abordagem teórica e prática ou apenas prática, de modo que versam
a aplicação de modelos com dados reais de algum setor de mercado. Ao analisar as áreas
abordadas até o momento, verifica-se que o setor agropecuário, seguido por finanças e
serviços possuem maior quantidade de estudos aplicados.
Com o mapeamento dos trabalhos e a análise das tipologias de pesquisa identificaram-se
três fases da evolução da literatura: (1) desenvolvimento; (2) aperfeiçoamento; (3)
aplicação. A fase de desenvolvimento caracterizou a introdução dos modelos dinâmicos
na Análise Envoltória de Dados motivada pelas limitações das modelagens na avaliação
do desempenho intertemporal. A etapa de aperfeiçoamento contemplou o período de
aprimoramento dos modelos iniciais DDEA, a inserção de conceitos relacionados a outras
técnicas e o desenvolvimento de novos modelos que combinam modelagens DEA mais
robustas para avaliar sistemas mais complexos.
83
A terceira fase caracteriza o período atual da literatura e emblema a disseminação dos
modelos por meio das diversas aplicações de modelagens já estabelecidas. Destaca-se,
em especial, a existência do software DEA Solver Pro, que contempla os modelos DDEA
de Tone e Tsutsui (2010; 2014), como um dos fatores motivadores do recente aumento
do número de trabalhos práticos.
Com base no comportamento da literatura, pode-se prenunciar que a fase de
aperfeiçoamento dos modelos dinâmicos deverá se repetir nos próximos anos dando
continuidade a inclusão e o avanço de abordagens DEA diversas. Assim como foi
observada a complementação de modelagens nos casos: DDEA e DEA Malmquist;
DDEA, DEA fuzzy e programação multi-objetivo; DDEA e NDEA, etc. Vislumbra-se a
tendência de continuidade desses avanços com o desenvolvimento de pesquisas para
modelos ainda mais adaptados as situações reais.
A sistematização dos trabalhos dinâmicos, por meio da observação das conexões entre os
estudos, permitiu identificar os modelos estruturantes da literatura DDEA: Färe e
Grosskopf (1996), Nemoto e Goto (1999) e Tone e Tsutsui (2010). Esses trabalhos
fundamentaram a construção e o aprimoramento de outros modelos dinâmicos e também
foram aplicados para avaliação do desempenho. A compreensão dessas modelagens é de
grande importância para o início de qualquer estudo com DDEA, ainda mais por se tratar
de abordagens com características distintas.
Após a identificação dos modelos estruturantes foi possível diferenciar e classificar as
abordagens dos modelos DDEA. Para tanto, observou-se inicialmente o relacionamento
dos trabalhos com as modelagens estruturantes em termos de fundamentações e
aplicações, a fim de identificar particularidades decorrentes dos estudos precursores na
formulação do modelo.
A classificação adotou como critério a estrutura da modelagem no que diz respeito a:
função objetivo, restrições e comportamento do elemento intermediário. Com base nesses
fatores, além dos modelos estruturantes, se propôs as seguintes classes: (a) benchmarking
do intermediário; (b) efeitos defasados; (c) otimização de inputs; (d) restrições agregadas;
(e) híbridos.
A classe de benchmarking do intermediário apresenta modelos fundamentados nas
contribuições de Färe e Grosskopf (1996), que buscam a maximização da eficiência com
base na distância do output. Tais modelagens tratam o intermediário simultaneamente
como parâmetro e variável do modelo, a fim de comparar o desempenho ótimo com o
observado e sugerir melhorias de ajustes para as DMUs.
A classe de efeitos defasados também está relacionada com o modelo de Färe e Grosskopf
(1996). Esta abordagem possui particularidades na modelagem do intermediário, pois
trabalha com uma matriz de efeitos defasados de produção. Os efeitos indicam o impacto
de determinado input na produção de output do período em análise e nos períodos
subsequentes.
A taxonomia denominada otimização de inputs variáveis e intermediários está
fundamentada no trabalho estruturante de Nemoto e Goto (1999). Os modelos que
compõem esta classe utilizam a função objetivo com o foco de minimização de custos e
apresentam os inputs (variáveis e intermediários) como parâmetro e variável do modelo,
a fim de calcular as medidas de ineficiência.
Os estudos pertencentes a classe de restrições agregadas possuem encadeamento com as
modelagens estruturantes de Färe e Grosskopf (1996) e Nemoto e Goto (1999). A função
objetivo destes modelos é formulada com base no modelo fracionário CCR com a razão
84
dos outputs pelos inputs. A característica principal da classe está em apresentar poucas
restrições, que agregam diferentes elementos do modelo como o somatório de todas as
entradas da DMU menos o somatório de todas as saídas da DMU. Além disso, consideram
o intermediário apenas como parâmetro da modelagem.
A classe de modelos híbridos possui fundamentação de todos os modelos estruturantes.
Esta é composta por modelagens, distribuídas em cinco subclasses, que unem
particularidades de modelos DEA já consolidados com a modelagem dinâmica.
Observam-se as seguintes subclasses: (a) função distância direcional, caracteriza-se por
adotar a otimização por meio de um vetor direção para os elementos do modelo e buscar
a máxima contração e expansão nessa direção, conjuntamente com a modelagem
dinâmica; (b) folgas não radiais, que relaciona os modelos não radiais ao DDEA e utiliza
folgas não radiais para o cálculo da eficiência dinâmica; (c) DNDEA, que combina a
estrutura de redes e inclui sub-DMUS e links entre estas divisões na modelagem DDEA;
(d) dinâmica fuzzy, que permite a inserção de conjuntos não determinísticos e funções de
grau de pertinência para representar incerteza decorrente do modelo DEA fuzzy na
estrutura DDEA; e, (e) DEA Malmquist dinâmico, que insere o modelo dinâmico na
formulação do DEA Malmquist para calcular variações da eficiência e mudanças de
tecnologia com a consideração de elementos intermediários.
Conforme discutido, o trabalho de Fallah-fini et al (2014) apresentou cinco fatores que
relacionam a dinâmica em ambientes produtivos e, por meio destes, classificou os
modelos DDEA. Apesar da semelhança entre os trabalhos, a classificação apresentada
nesta pesquisa buscou contribuir com a literatura ao restringir o escopo com apenas
modelagens de Análise Envoltória de Dados.
A classificação elaborada avalia a estrutura da formulação das modelagens e o
encadeamento dos modelos ao longo da evolução da literatura, a fim de verificar
peculiaridades resultantes da fundamentação dos trabalhos. Nesse sentido, mesmo com a
amostra e o crivo de seleção dos modelos distintos, a pesquisa de Fallah-fini et al (2014)
e o presente estudo se complementam e colaboram com a literatura e a compreensão da
complexidade dos modelos DDEA.
Assim como observado por Fallah-fini et al (2014), é possível identificar dentre as
taxonomias discutidas diferentes níveis de utilização das abordagens. O maior
quantitativo de trabalhos desenvolvidos se concentra na classe de modelos híbridos,
especialmente, na subclasse folgas não radiais com treze estudos, seguida pela classe de
otimização dos inputs variáveis e intermediários representada por nove pesquisas.
No caso da revisão de Fallah-fini et al (2014), a maioria dos modelos dinâmicos
relacionam-se com os fatores de custos de ajustes e capital. Paralelamente, na
classificação proposta nesta pesquisa, tais fatores dinâmicos estão relacionados com a
classe de otimização. As modelagens sistematizadas com folgas não radiais, contudo, não
são contempladas na revisão de Fallah-fini et al (2014).
Em contrapartida, a classe de efeitos defasados e a subclasse híbrida DEA Malmquist
dinâmico possuem apenas um estudo cada, o que indica uma lacuna na literatura a ser
explorada. Fallah-fini et al (2014) relacionam o estudo representativo de efeitos defasados
(CHEN e DALEN, 2010) com o fator de atrasos de produção, enquanto que a modelagem
DEA Malmquist dinâmico não é considerada na revisão. Para o estudo de Fallah-fini et
al (2014), os modelos referentes a questões dinâmicas associadas com estoques são os
que receberam menor atenção nos últimos anos e dentre os trabalhos sistematizados pelos
autores está a modelagem estruturante de Färe e Grosskopf (1996).
85
Com a identificação das classes de modelos DDEA, foi possível estabelecer comparações
entre a estrutura das modelagens, tendo em vista que cada categoria foi introduzida com
um modelo representativo. Nesse sentido, observaram-se semelhanças e diferenças de
fatores como: a consideração das condições iniciais e finais do intermediário, os tipos de
elementos de transição, as variáveis, os parâmetros, quantidade de restrições e as medidas
de eficiência global e do período.
Como resultado da taxonomia proposta, foi possível construir um fluxograma a fim de
sugerir por meio de questões-chaves a classe de modelos mais indicada para o
pesquisador/decisor que deseja trabalhar com DDEA. O que pode auxiliá-lo na escolha
da modelagem apropriada com o refinamento de um conjunto mais reduzido de trabalhos
ao invés de toda a literatura DDEA.
Diante do exposto, considera-se que a presente pesquisa cumpriu o objetivo pretendido e
se mostrou relevante para a compreensão inicial dos modelos dinâmicos DEA. Desta
forma, espera-se que esta revisão contribua para o desenvolvimento de novos estudos no
Brasil e estimule a avaliação da eficiência dinâmica em diversos segmentos de mercado.
Em especial, observa-se uma crescente aplicação dessa modelagem nos outros países em
setores ainda não avaliados no Brasil como: agropecuária, serviços e energia elétrica.
Como limitação deste trabalho e proposição de pesquisas futuras, destaca-se a
possibilidade de rodar os diferentes modelos, prioritariamente os estruturantes e em
seguida as demais classes, a fim de compará-los mediante uma composição padrão de
dados. Isso permitiria observar o impacto da formulação das modelagens (funções
objetivo, restrições e variáveis) no resultado das medidas de eficiência, bem como
complementaria a análise já iniciada quanto à classe de modelos mais favorável para
determinadas situações de pesquisa ao sinalizar eventuais lacunas nos modelos.
86
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94
APÊNDICE A - Legenda completa dos parâmetros e variáveis dos modelos DDEA
(𝑑𝑑′)𝑙: índice referente ao link em análise entre as divisões d e d’;
�̃�𝑟𝑗𝑡 : 𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 r da j-ésima DMU no período t ajustado pelos efeitos defasados
�̃�𝑟𝑘𝑡 : output r da DMU analisada k no período t ajustado pelos efeitos defasados
𝑧�̅�0: input intermediário f estabelecido para as DMUs no período inicial 0;
𝐿𝑗(𝑑𝑑′)𝑙𝑓𝑖𝑥𝑡 : link fixo entre a divisão d e d’ da j-ésima DMU no período t;
𝐿𝑗(𝑑𝑑′)𝑙𝑓𝑟𝑒𝑒𝑡 : link livre entre a divisão d e d’ da j-ésima DMU no período t;
𝐿𝑗(𝑑𝑑′)𝑙𝑖𝑛𝑡 : link “como input” entre a divisão d e d’ da j-ésima DMU no período t;
𝐿𝑗(𝑑𝑑′)𝑙𝑜𝑢𝑡𝑡 : link “como output” entre a divisão d e d’ da j-ésima DMU no período t;
𝐿𝑗(𝑑𝑑′)𝑙𝛼
𝑡 : link genérico (livre, fixo, como input ou output) entre a divisão d e d’ da j-ésima DMU no
período t;
𝐿𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑓𝑖𝑥
𝑡 : link fixo entre a divisão d e d’ da DMU em análise k no período t;
𝐿𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑓𝑟𝑒𝑒
𝑡 : link livre entre a divisão d e d’ da DMU em análise k no período t;
𝐿𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑖𝑛
𝑡 : link como input entre a divisão d e d’ da DMU em análise k no período t
𝐿𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑜𝑢𝑡
𝑡 : link como output entre a divisão d e d’ da DMU em análise k no período t;
𝑓𝑑: índice referente ao intermediário f da divisão d;
𝑔𝑏𝑎𝑑: número de inputs intermediários indesejáveis;
𝑔𝑑𝑏𝑎𝑑: número de inputs intermediários indesejáveis da divisão d;
𝑔𝑑𝑓𝑖𝑥: número de inputs intermediários fixos da divisão d;
𝑔𝑑𝑓𝑟𝑒𝑒: número de inputs intermediários livres da divisão d;
𝑔𝑑𝑔𝑜𝑜𝑑: número de inputs intermediários desejáveis da divisão d;
𝑔𝑓𝑖𝑥: número de inputs intermediários fixos;
𝑔𝑓𝑟𝑒𝑒: número de inputs intermediários livres;
𝑔𝑔𝑜𝑜𝑑: número de inputs intermediários desejáveis;
𝑙𝑖𝑛𝑘𝑓𝑖𝑥𝑑: número de links fixos pertencentes à divisão d;
𝑙𝑖𝑛𝑘𝑓𝑟𝑒𝑒𝑑: número de links livres pertencentes à divisão d;
𝑙𝑖𝑛𝑘𝑖𝑛𝑑: número de links “como inputs” pertencentes à divisão d;
𝑙𝑖𝑛𝑘𝑜𝑢𝑡𝑑: número de links “como outputs” pertencentes à divisão d;
𝑚𝑑: número de inputs pertencentes da divisão d;
𝑚𝑓𝑖𝑥: número de inputs fixos
𝑚𝑓𝑖𝑥: número de inputs fixos
𝑠𝑓𝑑𝑘𝑡𝑏𝑎𝑑 : variável de folga de excesso de intermediário indesejável referente a divisão d da DMU analisada
k no período t;
𝑠𝑓𝑑𝑘𝑡𝑓𝑟𝑒𝑒
: variável de folga de desvio do intermediário livre f referente a divisão d da DMU analisada k no
período t;
95
𝑠𝑓𝑑𝑘𝑡𝑔𝑜𝑜𝑑
: variável de folga de escassez do intermediário desejável f referente a divisão d da DMU
analisada k no período t;
𝑠𝑑: número de outputs pertencentes da divisão d;
𝑠𝑓𝑖𝑥: número de outputs fixos;
𝑠𝑓𝑡𝑏𝑎𝑑 : variável de folga de excesso de intermediário indesejável no período t;
𝑠𝑓𝑡𝑓𝑟𝑒𝑒
: variável de folga de desvio do intermediário no período t;
𝑠𝑓𝑡𝑔𝑜𝑜𝑑
: variável de folga de escassez de intermediário desejável no período t;
𝑠𝑖𝑑𝑘𝑡− : variável de folga de excesso do input i pertencente a divisão d da DMU analisada k no período
t;
𝑠𝑖𝑡− : variável de folga de excesso de input i no período t;
𝑠𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑓𝑟𝑒𝑒
𝑡 : variável de folga de desvio do link livre (𝑑𝑑′)𝑙 referente a DMU analisada k no período
t;
𝑠𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑖𝑛
𝑡 : variável de folga de excesso do link que funciona “como input” (𝑑𝑑′)𝑙 referente a DMU
analisada k no período t;
𝑠𝑘(𝑑𝑑′)𝑙𝑜𝑢𝑡
𝑡 : variável de folga de escassez do link que funciona “como output” (𝑑𝑑′)𝑙 referente a DMU
analisada k no período t;
𝑠𝑟𝑑𝑘𝑡+ : variável de folga de escassez do output r pertencente a divisão d da DMU analisada k no período
t;
𝑠𝑟𝑡+ : variável de folga de escassez de output r no período t;
𝑢𝑟: peso para o output r;
𝑣𝑖𝑘𝑡 : peso dos inputs i no período t para a DMU analisada k;
𝑤𝑑: peso (variável de intensidade) referente a divisão d;
𝑤𝑓𝑘𝑡 : peso dos inputs intermediários f no período t para a DMU analisada k;
𝑥𝑖𝑑𝑗𝑡 : input i da j-ésima DMU e da divisão d no período t;
𝑥𝑖𝑑𝑘𝑡 : input i da DMU em análise k e da divisão d no período t;
𝑥𝑖𝑓𝑖𝑥𝑗𝑡 : input fixo 𝑖 da j-ésima DMU no período t;
𝑥𝑖𝑓𝑖𝑥𝑘𝑡 : input fixo i da DMU em análise k no período t;
𝑥𝑖𝑗𝑓𝑖𝑥𝑡 : input fixo i da DMU j no período t.
𝑥𝑖𝑗𝑡 : input i da j-ésima DMU no período t;
𝑥𝑖𝑘𝑓𝑖𝑥𝑡 : input fixo i da DMU analisada k no período t;
𝑥𝑖𝑘𝑡 : input variável i da DMU em análise k no período t;
𝑥𝑖𝑡: input i no período t;
𝑦𝑟𝑑𝑗𝑡 : output r da j-ésima DMU e da divisão d no período t;
𝑦𝑟𝑑𝑘𝑡 : output r da DMU em análise k e da divisão d no período t;
𝑦𝑟𝑓𝑖𝑥𝑗𝑡 : output fixo r da j-ésima DMU no período t;
𝑦𝑟𝑓𝑖𝑥𝑘𝑡 : output fixo r da DMU em análise k no período t;
𝑦𝑟𝑗𝑡 : output r da j-ésima DMU no período t;
𝑦𝑟𝑘𝑡 : output r da DMU analisada k no período t
96
𝑦𝑟𝑡: output r no período t;
𝑧𝑓𝑑𝑗𝑏𝑎𝑑 𝑡 : intermediário indesejável 𝑓𝑑 da j-ésima DMU no período t;
𝑧𝑓𝑑𝑗𝑓𝑖𝑥 𝑡 : intermediário fixo 𝑓𝑑 da j-ésima DMU no período t;
𝑧𝑓𝑑𝑗𝑓𝑟𝑒𝑒 𝑡 : intermediário livre 𝑓𝑑 da j-ésima DMU no período t;
𝑧𝑓𝑑𝑗𝑔𝑜𝑜𝑑𝑡 : intermediário desejável 𝑓𝑑 da j-ésima DMU no período t;
𝑧𝑓𝑑𝑗𝛼𝑡 : intermediário genérico (bom, ruim, fixo ou livre) 𝑓𝑑 da j-ésima DMU no período t;
𝑧𝑓𝑑𝑘𝑏𝑎𝑑 𝑡 : intermediário indesejável 𝑓𝑑 da DMU em análise k no período t;
𝑧𝑓𝑑𝑘𝑓𝑖𝑥 𝑡 : intermediário fixo 𝑓𝑑 da DMU em análise k no período t;
𝑧𝑓𝑑𝑘𝑓𝑟𝑒𝑒 𝑡 : intermediário livre 𝑓𝑑 da DMU em análise k no período t;
𝑧𝑓𝑑𝑘𝑔𝑜𝑜𝑑𝑡 : intermediário desejável 𝑓𝑑 da DMU em análise k no período t;
𝑧𝑓𝑗𝑏𝑎𝑑 𝑡 : input intermediário indesejável f da j-ésima DMU no período t;
𝑧𝑓𝑗𝑓𝑖𝑥 𝑡 : input intermediário fixo f da j-ésima DMU no período t;
𝑧𝑓𝑗𝑓𝑟𝑒𝑒 𝑡 : input intermediário livre f da j-ésima DMU no período t;
𝑧𝑓𝑗𝑔𝑜𝑜𝑑𝑡 : input intermediário desejável f da j-ésima DMU no período t;
𝑧𝑓𝑗𝑡 : input intermediário f da j-ésima DMU no período t;
𝑧𝑓𝑗𝛼𝑡 : input intermediário genérico (bom, ruim, fixo ou livre) f da j-ésima DMU no período t;
𝑧𝑓𝑘𝑏𝑎𝑑 𝑡 : input intermediário indesejável f da DMU em análise k no período t;
𝑧𝑓𝑘𝑓𝑖𝑥 𝑡 : input intermediário fixo f da DMU em análise k no período t;
𝑧𝑓𝑘𝑓𝑟𝑒𝑒 𝑡 : input intermediário livre f da DMU em análise k no período t;
𝑧𝑓𝑘𝑔𝑜𝑜𝑑𝑡 : input intermediário desejável f da DMU k em análise no período t;
𝑧𝑓𝑘𝑡 : input intermediário f da DMU analisada k no período t;
𝑧𝑓𝑡: input intermediário f no período t;
𝑧𝑟𝑗𝑡 :input intermediário r da DMU j no período t
𝑧𝑟𝑡: input intermediário r no período t;
𝛾𝑡: Fator constante de desconto
𝜂𝑡: Inverso da eficiência da DMU em análise no período t;
𝜆𝑑𝑗𝑡 : peso d divisão d da j-ésima DMU no período t;
𝜆𝑗: variável de intensidade da DMU j;
𝜆𝑗𝑡: variável de intensidade da DMU j no período t;
𝜌𝑝: função de efeitos defasados sobre os outputs no período de t=0, ..., p;
𝜏𝑡: variável de intensidade do período t;
b: quantidade de divisões da DMU;
d: divisão em análise;
D: parâmetros dinâmicos de defasagem
f: input intermediário em análise;
g: número de inputs intermediários;
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i: input variável em análise;
j: DMU qualquer da amostra;
k: DMU em análise;
m: número de inputs;
n: número de DMUs;
p: número de períodos;
r: output em análise;
s: número de outputs;
t: período em análise;
