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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE - UFRN
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - SEDIS
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO
MÉDIO
MARCELO LEMOS DO NASCIMENTO
A MODELAGEM E AS CÔNICAS: UMA PROPOSTA CONSTRUTIVA PARA O
ENSINO MÉDIO
MARCELINO VIEIRA
2016
MARCELO LEMOS DO NASCIMENTO
A MODELAGEM E AS CÔNICAS: UMA PROPOSTA CONSTRUTIVA PARA O
ENSINO MÉDIO
Trabalho apresentado ao Programa de Pós -
Graduação - Especialização - da Universidade
Federal do Rio Grande do Norte, em cumprimento
às exigências legais para obtenção do título de
Especialista em Matemática.
Área de Concentração: Matemática
Professor Me. Odilon Júlio dos Santos
Orientador
MARCELINO VIEIRA
2016
MARCELO LEMOS DO NASCIMENTO
A MODELAGEM E AS CÔNICAS: UMA PROPOSTA CONSTRUTIVA PARA O
ENSINO MÉDIO
Trabalho apresentado ao Programa de Pós-
Graduação - Especialização - da Universidade
Federal do Rio Grande do Norte, em cumprimento
às exigências legais para obtenção do título de
Especialista em Matemática.
Área de Concentração: Matemática
Banca Examinadora:
___________________________________________________________________________
Professor Me. Odilon Júlio dos Santos – Orientador - Presidente da Banca
Professor Dr. Iesus Carvalho Diniz - 1º Examinador
Professora Esp. Danielle de oliveira N. Vicente - 2º Examinador
AGRADECIMENTOS
Meus agradecimentos são a todos que de forma direta ou indireta contribuíram para a
realização deste trabalho que marcou uma nova etapa de minha vida, representando a
capacidade inerente do homem em vencer desafios. Em primeiro lugar à minha amada mãe
Dalvair, presente nas maiores e melhores conquistas, me presenteando com seu amor, apoio
incondicional e cumplicidade.
Às minhas filhas Niara Kayla e Maria Luiza, que com suas vindas tornou a minha
vida mais bela, alegre e significativa, elas foram realmente um presente de Deus.
Aos professores e colegas que tive o prazer de conviver durante este período, em
especial a Professora Josefa Lúcia Rodrigues Cesário, quem primeiro me encaminhou para
essa área que tanto sou apaixonado.
Ao amigo e tutor “Tico”, que deu todo apoio e ajuda necessária e ao grande Professor
Orientador Odilon Júlio dos Santos.
Aos meus pais, meus primeiros orientadores nessa vida, ensinando-me valores éticos e
morais, e por terem me dado carinho, amor e dedicação, que hoje repasso na educação de
minhas filhas.
E é claro a Deus, por nos dar a opção de diariamente fazermos nossas escolhas, e
assim construirmos nossas vidas em comunhão com nossos semelhantes.
“Que os vossos esforços desafiem as impossibilidades, lembrai-vos de que as grandes coisas
do homem foram conquistadas do que parecia impossível.”
(Charles Chaplin)
RESUMO
Neste trabalho, realizamos medições de cálculos de volumes de sólidos com bases elípticas,
afim de levar esse conhecimento para a realidade do aluno, tendo em vista a necessidade real
de sua aplicação no momento atual de nosso município. Depois de um levantamento histórico,
apresentação das características e propriedades dessa cônica, e vendo na prática uma
simulação de sua aplicação na natureza, como na descrição do movimento dos planetas,
fomos levados a algumas situações aplicadas no cotidiano. O estudo dessa cônica nos
possibilitou o entendimento das formas básicas e suas semelhanças para com o cálculo de
volumes, levando em destaque o estudo do cálculo de volumes de um cubo, cilindro e por
consequência o volume de água de uma pipa, cujo formato da base é uma quase elipse.
Palavras – chaves: Cônicas, Elipse, aplicações, processo, Ensino Aprendizagem.
ABSTRACT
In this study, we performed measurements of solid volume calculations with elliptical bases in
order to bring this knowledge to the student's reality, considering the real needs of your
application at the moment of our county. After a historical survey, presenting the
characteristics and properties of this cone, and seeing in practice a simulation of its
application in nature, as in the description of the motion of the planets, we were led to some
situations applied in everyday life. The study of this conical enabled us to an understanding of
the basic shapes and their similarities to the calculation volume, leading highlighted the study
of a cube volume calculation cylinder and consequently the volume of water in a pipe, which
form the base it is an almost ellipse.
Key - words: Conical Ellipse applications process, Learning Teaching.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - O formato da Elipse (acervo próprio) ...................................................................... 10
Figura 2 - Secções Cônicas ....................................................................................................... 10
Figura 3 - Medindo as Dimensões ............................................................................................ 11
Figura 4 - Pappus de Alexandria .............................................................................................. 13
Figura 5 - A Elipse ................................................................................................................... 14
Figura 6 - Movimento Eliptíco ................................................................................................ 16
Figura 7 - Cilindro .................................................................................................................... 18
Figura 8 - A área da superfície da Elipse.................................................................................. 18
Figura 9 - Aplicando em Sala de Aula ..................................................................................... 19
Figura 10 - Com a participação efetiva da turma .................................................................... 21
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 10
1.1 OBJETIVOS ....................................................................................................................... 11
1.1.1 Objetivo Geral .......................................................................................................... 11
1.1.2 Objetivos Específicos .............................................................................................. 11
2. UM POUCO DE HISTÓRIA ............................................................................................ 13
2.1 ELIPSE .......................................................................................................................... 14
3. JUSTIFICATIVA ............................................................................................................... 15
4. ELISPE – APLICAÇÕES .................................................................................................. 16
5. ATIVIDADES APLICADAS.............................................................................................22
6. CONCLUSÃO ..................................................................................................................... 24
REFERENCIAS ..................................................................................................................... 25
7. ANEXOS..............................................................................................................................26
10
1. INTRODUÇÃO
O Curso de Especialização no Ensino de Matemática para o Ensino Médio, serviu-me
como fonte de inspiração e conhecimento para que pudesse escolher o assunto “Cônicas”
como tema do meu TCC. O mesmo chamou-me à atenção pelo fato de estar tão ligado e
presente em nossa vida cotidiana, que, para encontrá-lo, basta termos os olhos atentos. Um
fato aconteceu com um aluno, que me perguntou como fazia para calcular o volume de água
de um carro pipa, sendo que sua base não era um círculo. Nesse momento percebi que era
interessante fazer um trabalho em cima desse assunto, as cônicas, suas propriedades e
aplicações.
Figura 1 - O formato de uma Elipse (Acervo Próprio)
As Curvas Planas conhecidas como Cônicas, são Curvas obtidas a partir de
intersecções de um plano com um cone reto. Uma possível origem do estudo de cônicas está
no livro de Apolônio de Perga (c.261 a.C.), intitulado Cônicas, no qual se estudam as figuras
que podem ser obtidas ao se cortar um cone com ângulo do vértice reto por diversos planos.
Este trabalho não é único, existem estudos elementares sobre determinadas interseções
de planos perpendiculares às geratrizes de um cone, obtendo-se elipses, parábolas e
hipérboles, conforme o ângulo do corte fosse agudo, reto ou obtuso, respectivamente, como
mostrado abaixo (fig.2).
Figura 2 - Secções Cônicas
11
Não vou direcionar este trabalho as outras cônicas, mas sim, ao estudo específico
da Elipse.
A Elipse é uma curva que possui propriedades que a torna importante em várias
aplicações. Aqui vamos nos ocupar a trabalhar com as propriedades e suas aplicações básicas
no dia a dia.
Figura 3 - Medindo as Dimensões
1.1 OBJETIVOS
1.1.1 Objetivo Geral
Mediar, explorar e investigar em uma turma da 3ª série “A” do ensino médio, as
aplicações da Elipse através de exemplos práticos do cotidiano.
1.1.2 Objetivos Específicos
12
Busca-se levar o aluno a identificar os elementos, classificar e a construir
representações gráficas;
Experimentos manipulativos com materiais concretos;
Resolver situações-problema que envolva o estudo das Cônicas (Elipse) e suas
propriedades;
Fazer o cálculo de áreas e volumes;
Assim, este trabalho foi desenvolvido na Escola Estadual Desembargador Licurgo
Nunes, numa turma de 3ª série, e está organizado da seguinte forma;
No capítulo 1, tem a introdução, onde falamos de maneira geral sobre esta pesquisa, as
experiências adquiridas, os desafios. Tem-se aqui também os objetivos do trabalho;
No capítulo 2, um pouco da história. Focamos um pouco na história da matemática,
abordando as cônicas no tempo. Usa-se nessa parte um embasamento teórico através de
leituras de alguns estudiosos;
Em seguida, no capitulo 3, é a justificativa dessa monografia, o porquê de discorrer
sobre o tema;
O capitulo 4, tem a abordagem teórica sobre a Elipse, definição, equações, fórmulas
para o cálculo de áreas e volume, outros exemplos com Sólidos Geométricos, traz também as
aplicações, aqui temos o envolvimento da turma, a participação dinâmica dos alunos.
O capítulo 5, destinadas as atividades aplicadas em sala de aula como parte do
processo de estudo das Elipses.
Por fim, no capitulo 6, fizemos as considerações finais através das conclusões, um
resumo do trabalho e as lições aprendidas.
13
2. UM POUCO DE HISTÓRIA
As seções cônicas, como são definidas, são curvas geradas pela intersecção de um
cone circular reto de duas folhas com um plano. Já existia exposições gerais sobre seções
cônicas e existia uma diversidade de definições para elas, cuja equivalência é mostrada na
Geometria Elementar. Porém muitas das definições se perderam, talvez porque logo foram
superadas pelo trabalho mais extenso escrito por Apolônio. Os tratados sobre as seções
cônicas são conhecidos antes da época de Euclides, (325 - 265 a.C.). E, associado à história
dessas curvas, temos Apolônio que nasceu na cidade de Perga, região da Panfília (atualmente
Turquia) por volta de (262- 190 a.C). Apolônio estudou com os discípulos de Euclides em
Alexandria e foi astrônomo notável. A maior parte das obras de Apolônio desapareceu. Os
que sabemos dessas obras perdidas, devemos a Pappus de Alexandria (Séc. IV a.C.). A obra
prima de Apolônio é Seções Cônicas, composta por 8 volumes (aproximadamente 400
proposições). Link: mailto:https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3nica
Figura 4 - Pappus de Alexandria
Como em muitas outras biografias antigas, Pappus de Alexandria foi o responsável
pela maior parte dessas informações. Segundo ele, seis das obras de Apolônio estavam em
dois dos tratados mais avançados de Euclides, numa coleção que chamavam Tesouro da
Análise. Era uma coleção especialmente destinada aos que queriam estudar problemas que
envolvessem curvas e seu conteúdo era na maior parte sobre o que chamamos hoje de
Geometria Analítica, de autoria de Apolônio. Talvez esse tenha sido a razão pelo título
"Grande Geômetra" que recebeu de seus contemporâneos. Apolônio de Perga escreveu sobre
o parafuso ou a hélice cilíndrica. Também escreveu uma obra chamada Tratado Universal,
onde Apolônio examinava de maneira crítica os fundamentos da matemática. Desta obra
conservaram-se fragmentos.
14
2.1 ELIPSE
A Elipse é uma curva fechada onde podemos destacar dois pontos especiais, os focos.
A propriedade de reflexão da elipse é a seguinte: A partir de um dos focos, tracemos um
segmento de reta qualquer. Este segmento encontra a elipse num ponto, e a partir deste,
traçarmos outro segmento que faça com a curva um ângulo igual ao do primeiro segmento, o
segundo segmento passa pelo outro foco.
Figura 5 - A Elipse
Esta propriedade faz com que a Elipse tenha várias aplicações práticas. Uma aplicação
óptica vê-se no dispositivo de iluminação dos dentistas. Este consiste num espelho com a
forma de um arco de elipse e numa lâmpada que se coloca no foco mais próximo. A luz da
lâmpada é concentrada pelo espelho no outro foco, ajustando-se o dispositivo de forma a
iluminar o ponto desejado. Outra aplicação está na forma como os planetas se movimentam.
A Teoria Heliocêntrica conseguiu dar explicações mais simples e naturais para os
fenômenos observados (por exemplo, o movimento retrógrado dos planetas). Embora as
órbitas dos planetas sejam elipses, as elipticidades (forma mais “achatada” em relação a um
círculo), são tão pequenas que elas se parecem com círculo, fato que confundiu muitos
estudiosos que tentavam explicar o movimento dos planetas.
15
3. JUSTIFICATIVA
Apresentamos neste trabalho uma proposta diferente para o ensino das cônicas
(Elipse), cabendo a cada docente analisar a adequação a sua proposta de trabalho.
Acreditamos que a melhor maneira de aprender matemática é contextualizando,
levando para a prática. Neste sentido, este trabalho tenta aproximar a geometria, através das
cônicas, a realidade dos alunos, mostrando exemplos concretos e reais.
Vale salientar que é de extrema importância na matemática o ato de propor situações –
problema para o aluno tentar contorná-los, e assim, dando-lhe responsabilidade, o que está
justificado nesse trabalho no próximo capitulo.
Para alcançar os objetivos estabelecidos de promover as competências gerais e o
conhecimento de Matemática, a proposta dos Parâmetros Curriculares Nacionais
para o Ensino Médio (PCNEM) privilegia o tratamento de situações - problemas,
preferencialmente tomadas em contexto real. A resolução de problemas é a
perspectiva metodológica escolhida nesta proposta e deve ser entendida como a
postura de investigação frente a qualquer situação ou fato que possa ser questionado.
A seleção das atividades a serem propostas deve garantir espaço para a diversidade
de opiniões, de ritmos de aprendizagem e outras diferenças pessoais. O aspecto
desafiador das atividades deve estar presente todo o tempo, permitindo o
engajamento e a continuidade desses alunos no processo de aprender. Nesse sentido,
a postura do professor de problematizar e permitir que os alunos pensem por si
mesmos, errando e persistindo, é determinante para o desenvolvimento das
competências juntamente com a aprendizagem dos conteúdos específicos. (BRASIL,
2002, p. 129).
O grande matemático POLYA nesse mesmo pensamento destaca:
Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de
descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas
se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas quem o
resolver por seus próprios meios experimentará a tensão e gozará o triunfo da
descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível, poderão gerar o gosto pelo
trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e no caráter.
(POLYA, 1995, p.v).
Percebe-se que o autor destaca que, através da resolução de problemas, o aluno
aprende, aprofunda e pode criar novas situações de resolução de outros problemas,
desenvolve novas estratégias, faz o caminho inverso, rever teoremas e aplicar de maneira
precisa e sistemática. Destacamos esse ponto pela experiência em sala de aula. É perceptível
que a prática leva a perfeição, e assim, o aluno aprende a aprender e a aplicar esse
conhecimento. No entanto, essa prática não deve se limitar a exercícios teóricos de livros
didáticos, mas ir além das quatro paredes de uma sala de aula e levar esse conhecimento para
16
seu dia a dia, com aplicações simples e de valor real para sua vida. A “Matemática Escolar”
está se distanciando cada vez mais da matemática pura e aplicada. A preocupação desse
trabalho é “devolver” a essa ciência seu valor básico, que é dar ao homem as ferramentas
necessárias para entender e dominar as leis que regem o universo. Não no sentido teórico-
abstrato, mas em aplicações possíveis e de que de fato seja necessário no cotidiano. Da
mesma forma, usaremos exemplos simples para descrever e observar ideias mais profundas
dessa curva (Elipse). Construímos um pequeno laboratório para mostrar o porquê de os
planetas terem rotações elípticas, de acordo com a Teoria da Relatividade de Einstein. Esse
não é o foco do trabalho, mas achamos importante despertar no aluno esse conceito de
interdisciplinaridade para o estudo da mesma.
4. ELISPE – APLICAÇÕES
As Equações Elípticas descrevem com leis matemáticas as órbitas dos planetas e a
Teoria da Relatividade explica por que/como isso acontece. É de grande importância mostrar
essas duas ciências interagindo e completando uma a outra.
Podemos descrever as orbitas dos planetas usando (𝑦1− 𝑦2)2
𝑎2 + (𝑥1− 𝑥2 )2
𝑏2 = 1, na qual se
pode determinar a posição de cada planeta e sua trajetória em torno do sol, mas não explica
esse movimento, o que causa, o que influencia e que forças estão interagindo.
Figura 6 - Movimento elíptico
Usamos a Teoria da Relatividade para complementar os estudos desses movimentos e
ilustrar com algumas demonstrações simples para melhor entendimento do aluno. A ideia não
é se aprofundar no estudo dessa teoria, mas sim, complementar esse estudo e entender, com o
uso da Geometria Analítica, não somente a equação por trás do movimento, mas também a
causa do movimento. Essa geometria se faz importante por usar sistemas de coordenadas para
seu estudo, que dar não somente a modelagem matemática, mas também poder acompanhar e
determinar a posição, ponto a ponto, dos objetos. A Relatividade Especial é uma teoria
17
publicada no ano de 1905 por Albert Einstein, concluindo estudos precedentes do Físico
Neerlandês Hendrik Lorentz, entre outros. Ela substitui os conceitos independentes de espaço
e tempo da Teoria de Newton pela ideia de espaço-tempo como uma entidade geométrica
unificada. O espaço-tempo na relatividade especial consiste de uma variedade diferenciável
de quatro dimensões, três espaciais e uma temporal (a quarta dimensão), munida de uma
métrica pseudo-riemanniana, o que permite que noções de geometria possam ser utilizadas. É
nessa teoria, também, que surge a ideia de velocidade da luz invariante. São nessas noções de
geometria que queremos chegar. Ela explica de forma geométrica o movimento elíptico das
órbitas dos planetas quando dar a noção de espaço curvo e o efeito da gravidade. Essa teoria
foi trabalhada mais para ilustração e introdução das aplicações do tema de nosso estudo.
Nesse trabalho, também vamos estudar, através da Geometria Espacial, o cálculo de
volumes de sólidos cujas bases são elípticas. Sua identificação e procedimentos para a
obtenção dos volumes.
O cálculo de área é atividade indispensável para o ser humano. A história mostra que o
homem sempre foi desafiado em diversas situações a calcular áreas para sua sobrevivência.
Hoje não é diferente, diariamente resolvemos problemas que geralmente utilizamos
matemática na sua resolução. Foi devido a esse pensamento e alguns anos lecionando em
turmas do Ensino Médio e a indagação de um aluno, que surgiu a ideia de trabalhar esse tema.
Percebemos que não é dada a importância merecida em sala de aula ao estudo das Cônicas.
Isso ficou evidente após analisar o material didático e livros utilizados atualmente, nos quais o
cálculo da área das cônicas é geralmente omitido nos textos de geometria para o Ensino
Médio. Diante disso, o objetivo deste trabalho é mostrar ao nosso aluno a importância do
tema para o seu dia a dia. Como foi comentado anteriormente, a intensão de desenvolver esse
trabalho veio de um questionamento de um aluno de como se faz para calcular o volume de
água de um carro pipa, sendo que a sua base não é uma “circunferência perfeita”, e sim,
“achatada”. Percebemos nesse momento que eles não tinham conhecimento da forma
geométrica na qual se referiam e por consequência, também não conheciam suas
características, propriedades e aplicações.
De fato, o formato de uma pipa se assemelha com a de um cilindro, cujo volume se dar
por:
18
Figura 7 – cilindro
h = Altura do Cilindro
r = Raio da base do cilindro (base circular)
Sendo assim,
Volume de um cilindro = área da base vezes a altura
Considerando que a base tem formato circular cuja área é dada por:
A = πr²
Pelo Princípio de Cavalieri Teremos então que:
V = Ab.h
V = πr²h
Da mesma forma se dá aos demais sólidos conhecidos, cubos, paralelogramos e
prismas em geral, assim como alguns corpos redondos.
De modo semelhante, podemos proceder para a obtenção da área de uma elipse,
partindo de medidas já conhecidas da mesma, como raio maior e raio menor.
Figura 8 - A Área da Superfície da Elipse
19
De modo semelhante ao círculo, na qual sua área se dá pelo produto de seus raios (R²)
vezes o valor de π (aproximadamente 3,14), usaremos para o cálculo da área da Elipse, dois
raios diferentes, o raio máximo A e o raio mínimo B, como indicado na figura 8.
Sendo assim, podemos dizer que:
Área da elipse = Raio Maior vezes Raio Menor vezes Pi.
A = r.R.π
A = Raio maior R;
B = Raio menor r.
Logo, o volume do mesmo será:
V = Ab.h
V = r.R.π.h
Figura 9 - Aplicando em sala de aula
Usaremos como exemplo para este trabalho o cálculo do volume de água de uma pipa.
Sendo que nesse momento, nosso munícipio está sendo castigado pela maior seca dos últimos
100 anos. O carro pipa é figura cotidiana na vida do nosso aluno, pois virou um meio de vida
para muitas famílias que viviam da agricultura e agora estão migrando para o comércio e
extração de água do subsolo.
20
A ideia de volume está mais importante para eles nesse momento, pois, mais do que
nunca, o valor está ligado diretamente com a quantidade de água que compra. Muitos dos
comerciantes usam reservatório de formato cúbico de um metro de aresta, cuja medida
volumétrica é de 1000 litros, mas esse cálculo fica difícil quando o comerciante oferece seu
produto com um Carro pipa. Como saber se a quantidade de água que está comprando é
realmente o que o vendedor declara? É uma situação corriqueira que nosso aluno presencia
todos os dias. Não é fácil comparar as formas geométricas (caixa cúbica e uma pipa) para se
ter uma pequena certeza de estar fazendo uma compra certa.
A pipa d’água tem um formato muito parecido com um cilindro, na qual se pode
calcular facilmente seu volume e essa ideia pode ser usada para comparação de volumes entre
um “cilindro” de base quase elíptica.
Situação 1:
Um Carro pipa, cujo reservatório é um sólido de base elíptica, tem as seguintes
dimensões:
Raio maior R = 1,20 m;
Raio menor r = 0,80 m;
Comprimento de reservatório h = 5,2 m.
Qual o volume de água que essa pipa pode suporta?
Considerando a fórmula já citada anteriormente, teremos que:
Volume da Pipa = Raio Maior vezes Raio Menor vezes Pi vezes Altura
Vp = R.r.π.h
Vp = 1,2 . 0,80 . 3,14 . 5,2
Vp = 15,67 m³ de água
Usando uma conversão simples;
1 m³ = 1000 litros
15,67 m³ = 15.670 litros
O domínio desse conhecimento também é importante para evitar que o comprador seja
ludibriado pelo vendedor. Imaginemos a seguinte situação:
Situação 2.
Um senhor fez um pedido de carregamento de água para a sua casa ao dono de um
carro pipa. O dono afirmou que seu carro pipa tem capacidade de 18 mil litros de água e que o
preço de cada mil litros é de R$ 25,00; sendo assim, o valor do carregamento seria de R$
450,00. Ao chegar ao local da entrega, o senhor ficou meio surpreso que aquele reservatório
tivesse tanto volume de água e resolveu fazer algumas medições.
21
O resultado foi:
R = 1,20 m
R = 0,90 m
H = 4,40 m
Usando seus conhecimentos de matemática, ele fez o seguinte cálculo:
V = R.r.π.H
V = 1,20 . 0,90 . 3,14 . 4,40
V = 14,920 m³ de água
Aproximadamente 15.000 litros.
O vendedor se fez de surpreso e disse que não sabia que sua pipa tinha capacidade para
15.000 litros e que acreditava ser de 18.000 litros.
O conhecimento do senhor, sobre volumes, fez com que o mesmo economiza-se R$
75,00.
Figura 10 - Com a participação efetiva da turma
22
5. ATIVIDADES APLICADAS
1- A superfície de uma antena parabólica pode ser gerada pela rotação completa de uma
parábola ao redor do seu eixo. A intersecção dessa superfície com qualquer plano
perpendicular ao eixo é um círculo.
Observe a figura.
Considere um círculo de centro E é diâmetro CD de 4 metros de comprimento, cuja medida da
distância do centro E ao vértice A do paraboloide é 0,5 metro.
a) Escreva a equação cartesiana da parábola de foco B contida no plano CAD, sendo o vértice
(A) a origem do sistema cartesiano e o eixo das abscissas paralelo ao diâmetro CD como
mostra a figura.
b) Calcule a distância do vértice A ao foco B.
2- Um holofote situado na posição (–5,0) ilumina uma região elíptica de contorno x² +
4y² = 5, projetando sua sombra numa parede representada pela reta x = 3, conforme ilustra a
figura.
23
Considerando o metro a unidade dos eixos, o comprimento da sombra projetada é de:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
3- O logotipo de uma empresa é formado por duas circunferências concêntricas tangentes
a uma elipse, como mostra a figura abaixo. A elipse tem excentricidade 0,6 e seu eixo menor
mede 8 unidades. A área da região por ela limitada é dada por 𝑎. 𝑏. 𝜋 em que 𝑎 e 𝑏 são
medidas dos semieixos.
Calcule a área da região sombreada.
24
6. CONCLUSÃO
O objetivo desse trabalho foi o de relacionar o estudo de cônicas, com ênfase em
elipse, com suas aplicações na prática, ou seja, entender um pouco mais sobre a construção
desses elementos matemáticos e, ao mesmo tempo, observar de quais formas eles aparecem
em nossa vida cotidiana, como o homem pode utilizá-los. Além disso, este trabalho pretende
mostrar a “melhor” geometria como ferramenta adequada para certas situações e sua
importância, necessitando apenas de um conhecimento básico para mudar o mundo em que
vive. Espera-se que, unindo a teoria com as aplicações, seja possível despertar uma maior
atenção dos alunos para o estudo das cônicas.
25
REFERENCIAS
[1] ÁVILA, G. A Hipérbole e os telescópios. Revista do Professor de Matemática, nº34,
p.22-27, SBM, São Paulo, 1997.
[2] BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro: SBM,
2004. 6 ed.
[3] BRASIL, Ministério da Educação (MEC), Secretaria de Educação Média e Tecnológica
(Semtec). PCN + Ensino médio: Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros
Curriculares Nacionais – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília:
MEC/Semtec, 2002.
[4] EDWARDS JR.; PENNEY, E. David. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo:
Pretence- Hall do Brasil Ltda,1994.
[5] PAVANELLO, Maria Regina. O abandono do ensino de geometria no Brasil: causas e
consequências. Campinas, 1989. (Dissertação do Mestrado).
[6] POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.
[7] WAGNER, E. Porque as antenas são parabólicas. Revista do Professor de Matemática, nº
33, p.10-15, SBM, São Paulo, 1997.
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7. ANEXOS
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28
29
30
