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UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS
MISSÕES – CAMPUS DE ERECHIM
ADRIANA LORENZ SZADY
CONCEPÇÕES DE MODELAGEM MATEMÁTICA PRESENTES EM
PRÁTICAS DESENVOLVIDAS NO ENSINO FUNDAMENTAL
ERECHIM
2009
8
ADRIANA LORENZ SZADY
CONCEPÇÕES DE MODELAGEM MATEMÁTICA PRESENTES EM
PRÁTICAS DESENVOLVIDAS NO ENSINO FUNDAMENTAL
Trabalho de conclusão de curso, apresentado ao Curso de Matemática, Departamento de Ciências Exatas e da Terra da Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões – Campus de Erechim.
Profª. Nilce Fátima Scheffer
ERECHIM
2009
9
À minha família, (Vilamir, Inês e Rodrigo),
cujo amor me engrandece.
À minha orientadora, Nilce Fátima Scheffer,
amiga educadora, de grande influência em
minha formação acadêmica.
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AGRADECIMENTOS
Agradecer a alguém é demonstrar e reconhecer pela ajuda de algum modo recebida.
Primeiramente, agradeço a Deus e a minha família, que sempre estiveram comigo,
me incentivando, apoiando e repassando força para enfrentar os desafios, na busca
contínua de cumprir os objetivos a que me propus.
À Professora, Drª. Nilce Fátima Scheffer, pela oportunidade de orientação, pela
disponibilidade, pela atenção, paciência e apoio durante o desenvolvimento deste
trabalho.
Aos demais professores do curso que me orientaram na busca de novos
conhecimentos e transmitiram saber e amor pela profissão.
E a todos aqueles que, de alguma forma, me incentivaram para a realização deste
trabalho, meus sinceros agradecimentos.
11
“Jamais considere seus estudos como uma obrigação,
mas como uma oportunidade invejável para aprender a
conhecer a influência libertadora da beleza do reino do
espírito, para seu próprio prazer pessoal e para proveito
da comunidade à qual seu futuro trabalho pertencer.”
(Albert Einstein)
12
RESUMO
O presente trabalho teve por objetivo verificar as concepções de Modelagem Matemática presentes em diferentes práticas desenvolvidas no Ensino Fundamental e publicadas em periódicos especializados. A pesquisa é bibliográfica com caráter qualitativo, na qual busca-se apresentar um Referencial Teórico sobre Modelagem e discutir a adoção da Modelagem Matemática no Ensino Fundamental. Os resultados apontam que a Modelagem Matemática é uma prática adotada com muita freqüência por professores no Ensino Fundamental, pois possibilita maior interação dos alunos com situações da realidade e que por fim, garantem acentuados conhecimentos matemáticos. Palavras-chave: Modelagem Matemática. Ensino Fundamental. Educação Matemática.
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO 7
1 MODELO MATEMÁTICO: ALGUMAS DEFINIÇÕES 8
2 AS RAÍZES DA MODELAGEM: UM POUCO DE HISTÓRIA 10
3 MODELAGEM MATEMÁTICA: ALGUMAS DEFINIÇÕES 12
4 A ADOÇÃO DA MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL
16
5 A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E A MODELAGEM MATEMÁTICA 19
6 ALGUMAS DISCUSSÕES 22
CONSIDERAÇÕES FINAIS 25
REFERÊNCIAS 27
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INTRODUÇÃO
A Modelagem Matemática tem se constituído numa alternativa de ensino-
aprendizagem da Matemática que busca compreender e explicar situações
idealizadas a partir da observação e problematização do mundo real e expressá-las
por meio de modelos matemáticos.
O presente trabalho consiste numa pesquisa bibliográfica com caráter qualitativo.
Tem como objetivos verificar e levantar concepções de Modelagem Matemática
presentes em artigos publicados a respeito de práticas desenvolvidas no Ensino
Fundamental e sua contribuição na atividade docente dos professores.
Os dados serão coletados a partir da análise de artigos de Modelagem
Matemática que descrevem práticas desenvolvidas no Ensino Fundamental, sendo
que os mesmos serão analisados mediante classificações das diferentes
concepções de Modelagem no âmbito da Educação Matemática.
O desenvolvimento deste trabalho justifica-se porque, apresentará reflexões
significativas sobre Modelagem Matemática como meio de um novo fazer
pedagógico no ambiente escolar.
O trabalho está dividido em seis seções:
Na primeira seção apresenta-se algumas definições envolvendo modelo
matemático.
Na segunda seção relata-se um pouco de história da modelagem.
Na terceira seção apresenta-se algumas definições envolvendo Modelagem
Matemática.
Na quarta seção apresenta-se uma discussão quanto a adoção da Modelagem
Matemática no Ensino Fundamental.
Na quinta seção compreende-se a Educação Matemática e a Modelagem
Matemática.
E finalmente, na sexta seção algumas discussões envolvendo as diferentes
concepções de Modelagem Matemática.
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1 MODELO MATEMÁTICO: ALGUMAS DEFINIÇÕES
O termo “modelo” foi introduzido na Matemática, quando as geometrias não-
euclidianas de Lobachewski e Riemann ganharam aceitabilidade na Matemática.
Tornou-se uma palavra essencial no vocabulário científico (SCHEFFER, 1995).
Biembengut (2004, p. 16) diz que “O modelo não é objeto, obra arquitetônica ou
tecnologia, mas projeto, esquema, lei ou representação que permite a produção ou
reprodução ou execução dessa ação”.
Um modelo apresenta uma visão de fragmento de um todo. O modelo
matemático é uma representação ou interpretação simplificada da realidade,
segundo uma estrutura de conceitos mentais ou experimentais.
Para traduzirmos uma situação da vida real por meio de um modelo matemático,
é preciso definir em que consiste o problema, após escolher uma estrutura
matemática para representá-lo e por fim utilizar as ferramentas matemáticas à
disposição para obter novas conclusões.
A importância do modelo matemático consiste em se ter uma linguagem concisa que expressa nossas idéias de maneira clara e sem ambigüidades, além de proporcionar um arsenal enorme de resultados (teoremas) que propiciam o uso de métodos computacionais para calcular suas soluções numéricas (BASSANEZI, 2004, p. 20).
Na Matemática, a elaboração de modelos matemáticos, possibilita uma melhor
compreensão, simulação e previsão do fenômeno estudado (BIEMBENGUT; HEIN,
2003).
Os Modelos desempenham importante papel significativo no currículo
matemático escolar. Toda atividade associada à resolução de problemas reais
envolve a construção de modelos (SCHEFFER, 1995). Dessa forma, a adoção de
modelos matemáticos no ensino, propicia ao aluno melhor compreensão das idéias
matemáticas.
9
O trabalho a partir da criação de modelos matemáticos no ensino, permite que o
professor explore conteúdos de diferentes áreas do conhecimento, disponibilizando
ao aluno situações concretas, utilizando a linguagem matemática, além de
desenvolver o raciocínio lógico, a criticidade, a criatividade e a capacidade de
analisar os dados, trabalhando-os de forma que o aluno perceba sua importância e
sua aplicação.
Esse método pode conduzir a um trabalho de natureza interdisciplinar, pois
utiliza os resultados e os instrumentos de outras áreas do conhecimento como ponto
de partida para seu desenvolvimento.
Na realidade é essencial que seja preservada a dinâmica da Modelagem, mais do que o modelo em si. O estado puro e simples de modelos é condicionante e elimina a dialética reflexão-ação, que caracteriza a aprendizagem. O modelo em si, estático, não necessita ser aprendido. Ele é utilizável e, nessa ação de utilizá-lo, ele é recriado [...]. Essa recriação de modelos pelo sujeito que pode utilizar outros modelos que foram incorporados a sua realidade, e que é a essência do processo criativo, deveria construir o ponto focal dos sistemas educativos (D’ AMBRÓSIO, 1986, p. 46).
Isso nos mostra que há uma relação entre a observação, a análise, a discussão
e a recriação desses modelos, baseado na realidade do aluno.
Um modelo matemático, antes de ser construído, é idealizado no pensamento e
após repensado muitas vezes, é representado no original. É de grande importância
para quem o elabora e tem como base um projeto de estudos.
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2 AS RAÍZES DA MODELAGEM: UM POUCO DE HISTÓRIA
A Modelagem Matemática se manifesta desde os tempos mais remotos através
de situações isoladas e pouco sistematizadas.
A ausência de registros impede o entendimento dos acontecimentos que
levaram os historiadores, os filósofos e os matemáticos a inventarem modelos que
ainda são constantemente utilizados na contemporaneidade. Realizações
significativas somente puderam ser transmitidas às gerações futuras com o
aparecimento da escrita, que permitiu aos historiadores a difusão do conhecimento
acumulado pelas civilizações antigas (BIEMBENGUT, 2004).
A origem da modelagem ocorreu a partir de ‘mestres’ da humanidade: egípcios,
babilônios, gregos e renascentistas, que produziram famosos modelos ao longo da
história (BIEMBENGUT, 2004).
Boyer (1974 apud BIEMBENGUT, 2004) afirma que os papiros contendo
hieróglifos e tábuas com escritas cuneiformes dos caldeus foram os primeiros
registros sobre os conhecimentos científicos. Os egípcios conheciam os quatro
pontos cardeais, sabiam determinar os momentos dos equinócios e a duração do
ano solar. Além disso, os agrimensores criaram uma coleção de regras geométricas
para a medição das terras atingidas pelos transbordamentos do Rio Nilo.
Os babilônios se tornaram habilidosos matemáticos e acumularam significativo
conhecimento astronômico. Elaboraram um modelo dos movimentos do sol, da lua e
dos planetas através de séries numéricas e formas geométricas (BIEMBENGUT,
2004).
No século VI a.C., destaca-se a civilização grega. É possível encontrar a
essência do processo de modelagem nas contribuições de Tales de Mileto,
Pitágoras, Platão, Eudóxio, Euclides, Arquimedes, Erastótenes de Cirene e outros
(BIEMBENGUT, 2004). Segundo a autora:
• Tales de Mileto (639 – 568 a.C.) surpreendeu os egípcios utilizando a
semelhança de triângulos para calcular a altura de qualquer pirâmide á partir
da projeção de sua sombra.
11
• Pitágoras (530 a.C.) criou uma teoria matemática na música, no qual
observou o comprimento das cordas vibratórias que produziam ondas
sonoras em mútua harmonia.
• Platão (428 – 347 a.C.) elaborou um modelo simples, propondo movimentos
circulares e uniformes dos planetas, no qual a terra era o centro do universo.
Coube ao seu discípulo Eudóxio (408 – 355 a.C.) registrar suas idéias,
elaborando, através de um modelo geométrico, a representação dos
fenômenos celestes. Nele a Terra ocupava a posição central do Universo e
arrastava as estrelas e os planetas em movimentos concêntricos.
• Euclides (300 a.C.) reuniu os feitos ou conhecimentos geométricos da época
e organizou-os em uma forma lógica de preposições para criar um modelo
clássico de organização formal da matemática, apresentado na coleção
“Elementos”.
• Arquimedes (287 – 212 a.C.) criou um modelo que combinava as deduções
matemáticas com os resultados obtidos da experiência, permitindo-o
descobrir as leis fundamentais da estática.
• Erastótenes de Cirene (276 – 194 a.C.) utilizou-se de uma estaca para
calcular e mostrar a medida da circunferência da Terra.
Ainda de acordo com a autora, posteriormente, no período do Renascimento
contou-se com grandes cientistas e pensadores, dentre eles, Leonardo da Vinci,
Nicolau Copérnico, Galileu Galilei, René Descartes e Isaac Newton.
Neste contexto, pode-se ver que a Modelagem Matemática pode ser encontrada
desde que as ciências começaram a se desenvolver, pois, a idéia de criação de
modelos sempre esteve presente na elaboração das teorias científicas e
matemáticas.
Ao longo da história, o processo de Modelagem Matemática vem se
aperfeiçoando e sendo utilizado constantemente para a criação de novos modelos,
que permitiram, que determinados fenômenos, até então sem solução ou
inexplicados, pudessem ser entendidos e conseqüentemente solucionados.
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3 MODELAGEM MATEMÁTICA: ALGUMAS DEFINIÇÕES
O ensino de Matemática, através dos esforços de muitos educadores, ainda tem-
se deixado a desejar, principalmente nos aspectos da contextualização, de
apresentar significado para o aluno e, em conseqüência, a falta de estímulo, o alto
índice de reprovação e evasão. A Modelagem, enquanto alternativa para o ensino de
Matemática, busca tornar o ensino mais dinâmico, vivo e significativo (BURAK,
2005).
A Modelagem Matemática, processo que envolve a Realidade e a Matemática
mediante o qual se definem estratégias de ação, proporciona ao aluno uma análise
global da realidade na qual ele tem sua ação (SCHEFFER, 1995).
Burak (2004 apud DOS SANTOS; BISOGNIN, 2007, p. 103) afirma que a
“Modelagem Matemática é uma alternativa metodológica para o ensino de
Matemática”.
A Modelagem Matemática é uma estratégia alternativa de ensino que visa dar ao
aluno mais liberdade e autonomia para o seu pensar, raciocinar, conjecturar, estimar
e dar vazão ao pensamento criativo, estimulado pela motivação e criatividade
(SCHEFFER, 1990).
D' Ambrósio (1986) caracteriza a Modelagem Matemática como uma “realidade-
reflexão sobre a realidade”, resultante de uma ação planejada, que ocorre através
da construção de modelos sobre os quais o indivíduo opera. É neste ciclo realidade-
reflexão-ação-realidade que incide o ponto mais importante da questão. Assim, na
construção de um modelo, este pode tornar-se essencialmente importante no
processo das informações do mundo à sua volta. O indivíduo é parte integrante e ao
mesmo tempo, observador da realidade, sendo que para se chegar ao modelo, é
preciso que o indivíduo defina estratégias para criar o mesmo.
Bassanezi (2004) destaca que a Modelagem consiste na arte de transformar
situações da realidade em problemas matemáticos, interpretando suas soluções na
linguagem do mundo real. Com isso, espera-se que, ao traduzir a linguagem natural
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em linguagem matemática, esta se revele, deixando de ser algo pronto e estático
para tornar-se uma re-descoberta ou mesmo uma construção.
Mendonça (1993 apud SCHEFFER; CAMPAGNOLLO, 1998) vê a Modelagem
Matemática como um processo global que parte de uma situação real
problematizada, procurando a devida solução através de um modelo matemático,
que traduzirá relações naturais do problema de origem e que buscará a verificação e
a validação ou não do modelo á partir dos dados concretos.
Scheffer e Campagnollo (1998) afirmam que a Modelagem Matemática é uma
alternativa de ensino-aprendizagem no qual a Matemática desenvolvida com os
alunos parte de seus próprios interesses e que o conteúdo tem origem no tema a ser
problematizado, nas dificuldades do dia-a-dia e nas situações da vida real. Valoriza
o aluno no contexto social em que o mesmo está inserido, proporcionando-lhe
condições para ser uma pessoa crítica, criativa e capaz de superar suas
dificuldades. Isso nos mostra que a Modelagem Matemática proporciona condições
para que o aluno desenvolva habilidades de interpretação e resolução de problemas
reais, tornando-o ser crítico e criativo.
Barbosa (2001) afirma que a Modelagem Matemática torna-se um ambiente de
aprendizagem no qual os alunos são convidados a realizar indagações e/ou
investigações, através da matemática, situações advindas de outras áreas do
conhecimento. Isso nos mostra que a Matemática está vinculada num contexto
sócio-cultural, contribuindo significativamente na atividade escolar.
Borba; Meneghetti e Hermini (1999) consideram que a Modelagem pode ser
vista como um esforço de descrever matematicamente um fenômeno escolhido
pelos alunos juntamente com o auxílio do professor. Com isso, trabalhar a
Matemática, através do uso da Modelagem, possibilita ao aluno investigar,
estabelecer relações, argumentar e constituir uma atitude crítica, diante do seu
devido contexto.
A Modelagem Matemática pode ser considerada uma arte de formular, resolver e
elaborar expressões que valham não apenas para uma solução particular, mas que,
posteriormente, sirvam como suporte para outras aplicações e teorias
(BIEMBENGUT; HEIN, 2003). Dessa forma, deve-se permitir espaço para as
atividades de investigação, contribuindo decisivamente para a formação na
concepção de busca e auxílio na percepção da realidade.
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O uso da Modelagem, na sala de aula, possibilita que os alunos realizem
investigações de acordo com seus próprios interesses e realidades. Assim, através
das informações coletadas, surge a necessidade de serem analisados, organizados
e interpretados mais facilmente.
O ambiente de Modelagem Matemática associa-se à problematização e à
investigação. A problematização relaciona-se ao ato de elaborar perguntas e/ou
problemas, enquanto que à investigação, a pesquisa, a seleção, a organização e a
manipulação das informações e suas respectivas reflexões. Ambas atividades
articulam-se no processo de envolvimento dos alunos, possibilitando levantar
questões e realizar investigações (BARBOSA, 2003).
A escolha do tema deve ser, preferencialmente, dos alunos. É possível, no início de um trabalho com Modelagem, o professor ter preferência pelo trabalho com um único tema. A razão determinante de tal escolha é a insegurança de trabalhar vários temas (BURAK, 1994, p. 50).
As práticas desenvolvidas com o uso da Modelagem Matemática, caracterizam-
se como elemento motivador na busca de soluções a situações-problema,
envolvendo o cotidiano e que podem ou não ser vivenciadas pelos alunos.
Na maioria das vezes, a Modelagem Matemática torna-se um desafio para o
professor, por deparar-se com o inesperado e por exigir um maior embasamento
sobre os temas a serem desenvolvidos.
Na experiência com Modelagem Matemática, os alunos têm a oportunidade de
conhecer e re-conhecer idéias matemáticas, serem capazes de desenvolver
habilidades de exploração e capacidade de aplicar Matemática, pelo envolvimento
nas atividades e pela oportunidade de discutirem a presença e o uso da Matemática
na sociedade (BARBOSA, 2003).
A Modelagem pode potencializar a intervenção dos indivíduos nas discussões e
nas tomadas de decisões sociais que envolvem a aplicação da Matemática,
contribuindo para maiores possibilidades de construção e consolidação de
sociedades mais democráticas (BARBOSA, 2003).
Utilizando a Modelagem, o professor pode tornar a aula de Matemática um
verdadeiro ambiente de aprendizagem e crescimento individual e coletivo. Além
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disso, de acordo com Barbosa (2003), o professor ao final do seu trabalho pode
avaliar e ressignificar sua própria prática docente.
A partir da Modelagem Matemática é possível obter respostas às inúmeras
questões evidenciadas no ensino de Matemática, mostrando condições de se
constituir uma maneira de tirar o aluno da condição de espectador passivo e torná-lo
capaz de construir o seu próprio conhecimento (BURAK, 2005).
Bassanezi (1994 apud BARBOSA, 2003, p. 70) afirma que “[...] as atividades de
Modelagem oferecem oportunidades para aprender novas idéias matemáticas”.
O professor, ao decidir usar a Modelagem, considera em primeiro lugar, o
processo de ensino-aprendizagem, para buscar e apropriar estratégias, não
somente para solucionar questões escolares, mas também do cotidiano,
contribuindo para um ensino contextualizado e interdisciplinar (CURY, 2003).
O educador, ao utilizar a Modelagem Matemática tem a possibilidade de
transformar sua prática em algo em que esteja presente na motivação e no
interesse, na vontade de aprender, na participação e na colaboração, na
aplicabilidade e na utilidade, a investigação e a pesquisa, a reflexão e a crítica (DOS
SANTOS; BISOGNIN, 2007).
Assim, o professor é convidado a implementar a Modelagem Matemática em sua
prática docente, visando todos os níveis da educação e conduzindo o aluno à
investigação, ao esclarecimento de dúvidas, estabelecendo a compreensão de
determinados conteúdos e seu significado. Dessa forma, espera-se que a
Modelagem Matemática esteja presente nas atividades escolares, pois constitui-se
uma importante alternativa para a Educação Matemática.
Isso nos mostra que a Modelagem Matemática apresenta-se como uma
alternativa viável para a sala de aula, além de estabelecer relações entre o cotidiano
e outras áreas do conhecimento.
16
4 A ADOÇÃO DA MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL
O ensino de matemática tem se caracterizado por ter o professor como elemento
central da sala de aula. Apresenta-se o conteúdo oralmente, após parte para
definições e exemplos, em seguida aplica-se exercícios de fixação, e imagina-se que
o aluno aprendeu pela reprodução (DOS SANTOS; BISOGNIN, 2007).
Deve-se buscar a transformação das práticas escolares, aproximando a teoria da
prática e a prática da teoria, através de uma postura interdisciplinar para o
desenvolvimento de habilidades a partir das experiências vivenciadas (DOS
SANTOS; BISOGNIN, 2007).
Estes autores problematizaram o tema “Poluição do ar, do solo e das águas”
construíram modelos matemáticos que embora simples, como uma tabela, mas que
apresentaram significativa importância para a formação do pensar matemático dos
alunos. Além disso, desenvolveram conteúdos matemáticos envolvendo Funções e
alguns conceitos básicos de Estatística.
Nesse sentido, a Matemática deve ter um aspecto de inserção social e política, o
que certamente conduzirá a uma maior aplicabilidade dos conceitos aprendidos.
Sendo assim, é necessário implementar na sala de aula uma prática de ensino e
aprendizagem que valorize o espírito de investigação, argumentação e formulação
de idéias.
Para tanto, a escola deve ter a preocupação de mobilizar o aluno para se tornar um aprendiz, construindo mais competências e menos acúmulo de conhecimentos. O processo educacional deverá orientar-se no sentido de oferecer condições para que o aluno possa analisar e argumentar criticamente a realidade cultural, social e política em que vive. Nesse contexto, os alunos são encorajados a explorar, pesquisar, discutir e questionar, permeados por um ambiente de análise e reflexão, favorecendo a compreensão das informações recebidas ou levantadas por eles próprios. Torna-se assim imprescindível para o aluno vivenciar os fatos para, então, analisá-los e refletir sobre eles, bem como validar os resultados (FERREIRA; WODEWOTZKI, 2007, p. 117).
17
Assim, o papel fundamental da educação no desenvolvimento dos indivíduos e
da sociedade amplia-se cada vez mais, apontando para a necessidade de se
construir uma escola voltada para a formação dos cidadãos e direcionando a revisão
dos currículos que orientam o trabalho dos professores (DOS SANTOS; BISOGNIN,
2007).
Scheffer (1990) ao tratar o tema “Avicultura - pintinhos e galinhas” exploraram
conceitos como: construção de tabelas, representação gráfica em barras, operações
com números decimais, operações entre números inteiros e decimais, unidades de
medida e cálculo da percentagem relacionada ao número de aves envolvidas na
pesquisa e valor alimentício dos produtos avícolas.
Scheffer e Campagnollo (1998) ao tratar o tema “Armazenamento de produtos
agrícolas” exploraram desde área construída até a capacidade total de
armazenamento do Galpão Chapecó e também questões a respeito da conservação
do produto até o tipo de produto a ser armazenado e sua importância para o
contexto social.
Hein e Biembengut (2007) ao trabalhar com o tema “Criação de frangos”
exploraram conceitos como: construção de tabela, peso versus massa, medida de
peso, média e comparação de taxas. Sendo assim, a matemática abrange fatos da
realidade diária em suas discussões, dando origem à Modelagem Matemática, com
especial atenção ao seu uso no ensino.
Ferreira e Wodewotzki (2007) ao tratar os temas “Água, Lixo, Energia Elétrica e
Desmatamento” elaboraram alguns modelos, dentre os quais previsão do
crescimento populacional e da produção do volume do lixo. Os alunos fizeram uso
da informática e de fórmulas do Excel, tabelas e gráficos. Para estes autores, as
questões ambientais mostram-se como importante recurso didático e fonte de
experiências pedagógicas, revelando-se como um campo privilegiado para o
processo educativo, na perspectiva da Modelagem Matemática.
Sendo assim, a Modelagem Matemática é justificada dentro da proposta
curricular, pois oferece amplo espaço para a investigação e a análise de problemas
que transitam por vários campos do conhecimento, devendo estar ligada a educação
crítica e formadora de opiniões.
Ao desenvolver atividades com Modelagem, o professor pode indicar questões
que geram reflexões e uma atuação construtiva e cooperativa no meio em que os
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indivíduos estão inseridos. Ao partir de uma reflexão sobre um problema real, o
aluno pode se surpreender com a obtenção de um modelo matemático que provoca
a verificação da informação, viabilizando o ensino do conteúdo matemático.
As vantagens na utilização da Modelagem Matemática no processo de ensino e
aprendizagem permeiam entre maior aprendizagem, troca de idéias e experiências
entre os alunos, oportunidade de trabalho coletivo e motivação pela descoberta,
vistas como estimuladoras do interesse dos alunos.
A facilidade de entendimento do conteúdo e a percepção quanto à utilidade da
matemática, em situações reais do cotidiano, são características favoráveis à
adoção da Modelagem Matemática como método alternativo de ensino, enquanto
diferenciadoras positivas do processo.
Por ser uma proposta flexível e que valoriza a investigação e a exploração para
introduzir o conceito matemático, a Modelagem Matemática permite a organização e
reorganização dos conteúdos. Os alunos terão um campo de trabalho muito mais
amplo, ao desenvolverem uma pesquisa de dados, obterem um modelo,
confrontarem dados e compararem resultados.
A importância de trabalhar com a Modelagem Matemática, principalmente nas
séries do Ensino Fundamental, possibilita maior interação dos alunos com situações
da realidade e que por fim, garantem acentuados conhecimentos matemáticos.
19
5 A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E A MODELAGEM MATEMÁTICA
Segundo Almeida (2003 apud SCHEFFER et al., 2006, p. 14) afirma que “[...] a
Educação Matemática nos remete a um ensinar e aprender na relação educativa
entre professor/aluno/conhecimento/meio”. Sendo assim, envolve múltiplas relações
e determinações entre ensino, aprendizagem e conhecimento matemático, num
contexto sócio-cultural.
O educador matemático concebe a Matemática como um meio: ele educa
através da Matemática. Portanto, tem por objetivo, a formação do cidadão e, devido
a isso, questiona qual a Matemática e qual ensino é relevante para sua devida
formação.
Skovsmose (2001 apud SCHEFFER et al., 2006, p. 23) considera que “a
Matemática intervém na realidade ao criar uma segunda natureza ao nosso redor,
oferecendo não apenas descrições de fenômenos, mas também modelos para a
alteração de comportamentos. Não apenas vemos de acordo com a matemática, nós
também agimos de acordo com ela. As estruturas matemáticas vêm a ter um papel
na vida social tão fundamental quanto as estruturas ideológicas na organização da
realidade”.
Fiorentini e Lorenzato (2006) afirmam que, sob um aspecto amplo e não
imediato, existem dois objetivos básicos de investigação na Educação Matemática:
um, de natureza pragmática, que visa a melhoria da qualidade do ensino e da
aprendizagem da Matemática e outro, de natureza científica, que visa desenvolver a
Educação Matemática enquanto campo de investigação e produção de
conhecimentos.
Assim, a Educação Matemática aponta o caminho da investigação, exigindo a
análise e a interpretação dos dados, um trabalho lógico para reunir o que é
constante na multiplicidade das aparências e um trabalho reflexivo para efetivar a
crítica, buscando o sentido do obtido no mundo da Educação Matemática (BICUDO,
1999). Com isso, não cabe ao professor antecipar resultados, mas deixar o aluno
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pensar, fazer inferências, formular hipóteses, para que a informação tenha
significado e que o mesmo possa transformar as informações em conhecimento.
A Educação Matemática possibilita ao aluno a pesquisa, a construção e a compreensão dos conceitos matemáticos, bem como a aplicação desses nas mais diversas situações-problema. Metodologicamente, é oferecida ao aluno a possibilidade de construir relações e de entender sua aplicabilidade no mundo concreto e abstrato (ZORZAN, 2004, p. 80).
Isso nos mostra que o professor ao proporcionar relações entre o saber
elaborado e o saber vivido, de modo que as reflexões façam emergir os
questionamentos, as dúvidas, as incertezas e as contradições, contribuem para que
os alunos possam construir conceitos e saberes matemáticos.
Logo, Bicudo (1993) afirma que a pesquisa em Educação Matemática permite a
compreensão pelo qual a Matemática é construída. À Matemática por ajudá-la a
compreender-se e à Educação, por auxiliar a ação político-pedagógica.
Para Scheffer et al. (2006) o professor deve promover uma Educação
Matemática crítica e reflexiva pelo qual os alunos possam constituir-se sujeitos
capazes de provocar mudanças, utilizando a Modelagem Matemática, na abordagem
e na discussão de situações da realidade.
Portanto, no processo evolutivo da Educação Matemática, a inclusão de
aspectos de aplicações e a resolução de problemas envolvendo modelagem, têm
sido defendida por vários educadores matemáticos. Isso significa que o conteúdo
deve ser trabalhado de maneira significativa, levando em consideração, as próprias
realidades do sistema educacional (BASSANEZI, 2004).
Isso nos mostra que a Modelagem Matemática contribui para a formação da
cidadania e para o debate em torno de temas sócio-político-econômico-culturais,
pois possibilita a abordagem a respeito da realidade em diversas atividades sociais.
Portanto, a pesquisa em Educação Matemática possibilita que os educadores
possam construir conhecimento teórico e prático no desenvolvimento de novas
metodologias aplicáveis no processo de ensino e relacionadas à realidade. Ao
trabalhar com a Educação Matemática, busca-se o sentido daquilo que se faz ao
21
ensinar e ao aprender matemática, relacionando os conteúdos veiculados na cultura,
objetivando-se a análise, a reflexão e a crítica.
A implementação da Modelagem Matemática dá abertura para renovar as
estruturas atuais de ensino, considerando-se uma importante alternativa para a
construção do conhecimento, de um pensar crítico e criativo dos alunos e
comprometido com a vida, o meio e a sociedade, além de contribuir
significativamente para minha futura atividade docente.
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6 ALGUMAS DISCUSSÕES
Para a Modelagem Matemática há diferentes concepções. Nas definições e nas
formas de conceber a Modelagem, quanto à concepção de modelos, de construção
do conhecimento e da realidade e também quanto à forma de conceber o diálogo
com o cotidiano, à posição disciplinar e interdisciplinar.
A Modelagem Matemática, processo que envolve a Realidade e a Matemática
mediante o qual se definem estratégias de ação, proporciona ao aluno uma análise
global da realidade na qual ele tem sua ação (SCHEFFER, 1995). Nessa
perspectiva, a matemática nasce a partir da realidade e a ela retorna.
Burak (2004 apud DOS SANTOS; BISOGNIN, 2007, p. 103) afirma que a
“Modelagem Matemática é uma alternativa metodológica para o ensino de
Matemática”.
A Modelagem Matemática é uma estratégia alternativa de ensino que visa dar ao
aluno mais liberdade e autonomia para o seu pensar, raciocinar, conjecturar, estimar
e dar vazão ao pensamento criativo, estimulado pela motivação e criatividade
(SCHEFFER, 1990).
D' Ambrósio (1986) caracteriza a Modelagem Matemática como uma “realidade-
reflexão sobre a realidade”, resultante de uma ação planejada, que ocorre através
da construção de modelos sobre os quais o indivíduo opera. É neste ciclo realidade-
reflexão-ação-realidade que incide o ponto mais importante da questão. Assim, na
construção de um modelo, este pode tornar-se essencialmente importante no
processo das informações do mundo à sua volta. O indivíduo é parte integrante e ao
mesmo tempo, observador da realidade, sendo que para se chegar ao modelo, é
preciso que o indivíduo defina estratégias para criar o mesmo. Portanto, este autor
defende que a aprendizagem é uma relação que envolve reflexão e ação, e com isso
a realidade escolar acaba sendo modificada.
Bassanezi (2004) destaca que a Modelagem consiste na arte de transformar
situações da realidade em problemas matemáticos, interpretando suas soluções na
linguagem do mundo real. Com isso, espera-se que, ao traduzir a linguagem natural
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em linguagem matemática, esta se revele, deixando de ser algo pronto e estático
para tornar-se uma re-descoberta ou mesmo uma construção.
Mendonça (1993 apud SCHEFFER; CAMPAGNOLLO, 1998) vê a Modelagem
Matemática como um processo global que parte de uma situação real
problematizada, procurando a devida solução através de um modelo matemático,
que traduzirá relações naturais do problema de origem e que buscará a verificação e
a validação ou não do modelo á partir dos dados concretos.
Scheffer e Campagnollo (1998) afirmam que a Modelagem Matemática é uma
alternativa de ensino-aprendizagem no qual a Matemática desenvolvida com os
alunos parte de seus próprios interesses e que o conteúdo tem origem no tema a ser
problematizado, nas dificuldades do dia-a-dia e nas situações da vida real. Valoriza
o aluno no contexto social em que o mesmo está inserido, proporcionando-lhe
condições para ser uma pessoa crítica, criativa e capaz de superar suas
dificuldades. Isso nos mostra que a Modelagem Matemática proporciona condições
para que o aluno desenvolva habilidades de interpretação e resolução de problemas
reais, tornando-o ser crítico e criativo.
Barbosa (2001) afirma que a Modelagem Matemática torna-se um ambiente de
aprendizagem no qual os alunos são convidados a realizar indagações e/ou
investigações, através da matemática, situações advindas de outras áreas do
conhecimento. Isso nos mostra que a Matemática está vinculada num contexto
sócio-cultural, contribuindo significativamente na atividade escolar.
Borba; Meneghetti e Hermini (1999) consideram que a Modelagem pode ser
vista como um esforço de descrever matematicamente um fenômeno escolhido
pelos alunos juntamente com o auxílio do professor. Com isso, trabalhar a
Matemática, através do uso da Modelagem, possibilita ao aluno investigar,
estabelecer relações, argumentar e constituir uma atitude crítica, diante do seu
devido contexto.
A Modelagem Matemática pode ser considerada uma arte de formular, resolver e
elaborar expressões que valham não apenas para uma solução particular, mas que,
posteriormente, sirvam como suporte para outras aplicações e teorias
(BIEMBENGUT; HEIN, 2003). Dessa forma, deve-se permitir espaço para as
atividades de investigação, contribuindo decisivamente para a formação na
concepção de busca e auxílio na percepção da realidade.
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As vantagens na utilização da Modelagem Matemática no processo de ensino e
aprendizagem permeiam entre maior aprendizagem, troca de idéias e experiências
entre os alunos, oportunidade de trabalho coletivo e motivação pela descoberta,
vistas como estimuladoras do interesse dos alunos.
Pode-se observar a partir dos artigos analisados que a facilidade de
entendimento do conteúdo e a percepção quanto à utilidade da matemática, em
situações reais do cotidiano, são características favoráveis à adoção da Modelagem
Matemática como método alternativo de ensino, enquanto diferenciadoras positivas
do processo.
As práticas desenvolvidas com o uso da Modelagem Matemática, caracterizam-
se como elemento motivador na busca de soluções a situações-problema,
envolvendo o cotidiano e que podem ser vivenciadas pelos alunos.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Há diferentes concepções para a Modelagem Matemática. Nas definições e nas
formas de conceber a Modelagem, quanto à concepção de modelos, de construção
do conhecimento e da realidade e também quanto à forma de conceber o diálogo
com o cotidiano, à posição disciplinar e interdisciplinar.
O uso da Modelagem, na sala de aula, possibilita que os alunos realizem
investigações de acordo com seus próprios interesses e realidades. Assim, através
das informações coletadas, surge a necessidade de serem analisados, organizados
e interpretados mais facilmente. Dessa forma, a Modelagem Matemática apresenta-
se como uma alternativa viável no ensino, além de estabelecer relações entre o
cotidiano e outras áreas do conhecimento.
As vantagens na utilização da Modelagem Matemática no processo de ensino e
aprendizagem permeiam entre maior aprendizagem, troca de idéias e experiências
entre os alunos, oportunidade de trabalho coletivo e motivação pela descoberta,
vistas como estimuladoras do interesse dos alunos.
A facilidade de entendimento do conteúdo e a percepção quanto à utilidade da
matemática, em situações reais do cotidiano, são características favoráveis à
adoção da Modelagem Matemática como método alternativo de ensino. Sendo
assim, ao trabalhar com a Modelagem Matemática, principalmente nas séries do
Ensino Fundamental, há maior interação dos alunos com situações da realidade e
que por fim, garantem acentuados conhecimentos matemáticos.
Sendo assim, o professor é convidado a implementar a Modelagem Matemática
em sua prática docente, conduzindo o aluno à investigação, ao esclarecimento de
dúvidas, estabelecendo a compreensão de determinados conteúdos e seu
significado. Dessa forma, espera-se que a Modelagem Matemática esteja presente
nas atividades escolares, pois constitui-se uma importante alternativa para a
Educação Matemática.
Portanto, por ser uma proposta flexível e que valoriza a investigação e a
exploração para introduzir o conceito matemático, a Modelagem Matemática permite
a organização e reorganização dos conteúdos. Os alunos terão um campo de
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trabalho muito mais amplo, ao desenvolverem uma pesquisa de dados, obterem um
modelo, confrontarem dados e compararem resultados.
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REFERÊNCIAS BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática e os Professores: a questão da formação. Bolema. São Paulo, n. 15, 2001. BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática na Sala de Aula. Revista Perspectiva , Erechim, RS, v. 27, n. 98, p. 65-74, jun./2003. BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. 2.ed. São Paulo: Contexto, 2004. BICUDO, M. A. V. Pesquisa em Educação Matemática. Pro-Posições , v. 4, n. 1, p. 18-23, mar./1993. BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em Educação Matemática: Concepções & Perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999. BIEMBENGUT, M. S. Modelagem matemática & implicações no ensino e na aprendizagem de matemática. 2.ed. Blumenau: Edfurb, 2004. BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. 3.ed. São Paulo: Contexto, 2003. BORBA, M. C.; MENEGHETTI, R. C. G. & HERMINI, H. A. Estabelecendo Critérios para Avaliação do Uso de Modelagem em Sala de Aula: estudo de um caso em um curso de Ciências Biológicas. In: BORBA, M. C. (Org.). Calculadoras Gráficas e Educação Matemática. Rio de Janeiro: MEM/USU, p. 95-113, 1999. BURAK, D. Critérios norteadores para a adoção da modelagem matemática no ensino fundamental e secundário. Revista Zetetiké , Campinas, SP, n. 2, p. 47-60, 1994. BURAK, D. As diretrizes curriculares para o ensino de matemática e a modelagem matemática. Revista Perspectiva , Erechim, RS, v. 29, n. 113, p. 153-161, set./2005. CURY, A. Pais brilhantes Professores Fascinantes. 12.ed. Rio de Janeiro: Sextante, 2003. D’ AMBRÓSIO, U. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e matemática. Campinas: UNICAMP, 1986. DOS SANTOS, L. M. M.; BISOGNIN, V. Experiências de ensino por meio da Modelagem Matemática na Educação Fundamental. In: BARBOSA, J. C.; CALDEIRA, A. D.; ARAÚJO, J. de L. (Org.). Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira: pesquisas e práticas educacionais. Recife: SBEM, 2007. FERREIRA, D. H. L.; WODEWOTZKI, M. L. L. Questões ambientais e Modelagem Matemática: uma experiência com alunos do Ensino Fundamental. In: BARBOSA, J.
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C.; CALDEIRA, A. D.; ARAÚJO, J. de L. (Org.). Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira: pesquisas e práticas educacionais. Recife: SBEM, 2007. FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e metodológicos. Campinas: Autores Associados, 2006. HEIN, N.; BIEMBENGUT, M. S. Sobre a Modelagem Matemática do saber e seus limites. In: BARBOSA, J. C.; CALDEIRA, A. D.; ARAÚJO, J. de L. (Org.). Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasile ira: pesquisas e práticas educacionais. Recife: SBEM, 2007. SCHEFFER, N. F. Modelagem Matemática - uma alternativa para resolver problemas a partir de dados da realidade na 3ª série do 1º Grau (I). Revista Perspectiva , Erexim, RS, v. 14, n. 47, p. 53-81, jul./set. 1990. SCHEFFER, N. F. O encontro da Educação Matemática com a Pedagogia Freinet. Rio Claro/SP, 1995. (Dissertação de Mestrado). SCHEFFER, N. F.; CAMPAGNOLLO, A. J. Modelagem Matemática uma alternativa para o ensino-aprendizagem da Matemática no meio rural. Revista Zetetiké , Campinas, SP, v. 6, n. 10, p. 35-55, jul./dez.1998. SCHEFFER, N. F. … [et al.]. Matemática e tecnologias: modelagem matemática. Erechim: EDIFAPES, 2006. ZORZAN, A. L. Séries iniciais: metodologia para o ensino da matemática. Erechim: EDIFAPES, 2004.
