UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID ... · UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 2016-2017 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y CALIFICACIÓN Después

EVAU Junio 2017 Matemáticas II en Madrid I.E.S. Vicente Medina (Archena)

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UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EVALUACIÓN PARA EL ACCESO A LAS ENSEÑANZAS

UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 2016-2017

MATERIA: MATEMÁTICAS II

INSTRUCCIONES GENERALES Y CALIFICACIÓN

Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. CALIFICACIÓN: Las preguntas 1ª y 2ª se valorarán sobre 3 puntos, la 3ª y la 4ª sobre 2 puntos. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. TIEMPO: 90 minutos.

OPCIÓN A

Ejercicio 1. Calificación máxima: 3 puntos.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones

2

4 1 1

4 0

x ay z a

x y a z

y az

, se pide:

a) (2 puntos) Discute en función de los valores del parámetro real a.

b) (0,5 puntos) Resolver el sistema para 1a .

c) (0,5 puntos) Resolver el sistema para 2a .


Dados los puntos 1, 2,1 , 4,0,1 , 3,1,2 , 0, 3,0P Q R S , se pide:

a) (1 punto) Hallar la ecuación del plano que contiene a P, Q y R.

b) (1 punto) Estudiar la posición relativa de la recta r, que pasa por los puntos P y Q, y la recta s,

que pasa por R y S.

c) (1 punto) Hallar el área del triángulo formado por los puntos P, Q y R.


Se administra una medicina a un enfermo y t horas después la concentración en sangre del principio

activo viene dada por /2( ) tc t te miligramos por mililitro. Determine el valor máximo de c(t) e

indique en qué momento se alcanza dicho valor máximo. Sabiendo que la máxima concentración sin

peligro es de 1 mg/ml, señale si en algún momento hay riesgo para el paciente.


Dada la función 2 6

( )2

x xf x

x

, se pide:

a) (0,5 puntos) Determinar su dominio y asíntotas verticales.

b) (0,5 puntos) Calcular ( )

limx

f x

x .

c) (1 punto) Calcular 5

3( )f x dx .


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OPCIÓN B


Dadas las funciones 2

( )f xx

y ( ) ( )g x sen x , se pide:

a) (1 punto) Calcular 0

2lim ( )

( )xf x

g x

.

b) (0,75 puntos) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva ( )y f x en el punto 1

,42

.

c) (1,25 puntos) Calcular el área delimitada por la curva ( )y f x y la recta 3y x .


Dadas las matrices

1 2 1 1 0 0

3 2 2 , 0 2 0

2 3 2 0 0 1

P J

,

a) (1 punto) Determinar la matriz 1P , inversa de la matriz P.

b) (1 punto) Determinar la matriz 1B , inversa de la matriz 1 1B P J .

c) (1 punto) Calcular el determinante de la matriz A2, siendo 1A PJP .

Ejercicio 3 : Calificación máxima: 2 puntos.

a) (1 punto) Determine la distancia entre las rectas

1 2

1 0

1 0

x yr x y z y r

x z

b) (1 punto) Obtenga el punto de corte de la recta 2 1s x y z con el plano perpendicular

a s, que pasa por el origen.


El 40% de los sábados Marta va al cine, el 30% va de compras y el 30% restante juega a videojuegos.

Cuando va al cine, el 60% de las veces lo hace con sus compañeros de baloncesto. Lo mismo le

ocurre el 20% de las veces que va de compras, y el 80% de las veces que juega a videojuegos. Se

pide:

a) (1 punto) Hallar la probabilidad de que el próximo sábado Marta no quede con sus compañeros de

baloncesto.

b) (1 punto) Si se sabe que Marta ha quedado con los compañeros de baloncesto, ¿cuál es la

probabilidad de que vayan al cine?


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SOLUCIONES:

OPCIÓN A


Dado el siguiente sistema de ecuaciones

2

4 1 1

4 0

x ay z a

x y a z

y az

, se pide:

a) (2 puntos) Discute en función de los valores del parámetro real a.

b) (0,5 puntos) Resolver el sistema para 1a .

c) (0,5 puntos) Resolver el sistema para 2a .

a) La matriz de coeficientes asociada al sistema es

2 1

1 4 1

0 4

a

A a

a

con determinante

2 2

2 1

1 4 1 8 4 8 8 4

0 4

a

A a a a a a

a

.

Buscamos cuando se anula el determinante. 20 4 0 4 2A a a

Distinguimos tres casos que analizamos por separado.

CASO 1. 2 2a y a

En este caso el determinante de A es no nulo y su rango es 3, al igual que el rango de la

matriz ampliada A/B y el número de incógnitas.

El sistema es compatible determinado.

CASO 2. 2a

El determinante de A es 0 por lo que su rango no es 3.

¿El rango de A es 2?

2 2 1

1 4 1

0 4 2

A

Consideramos el menor que resulta de quitar la fila y columna 3ª

2 2

1 4

con determinante

2 28 2 6 0

1 4

.

El rango de A es 2.

Averiguamos el rango de

2 2 1 2

/ 1 4 1 1

0 4 2 0

A B

.

Tomamos el menor de orden 3 que resulta de quitar la columna 2ª

2 1 2

1 1 1

0 2 0


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con determinante

2 1 2

1 1 1 4 4 8 0

0 2 0

El rango de A/B es 3.

Rango de A = 2 3 = Rango de A/B.

El sistema es incompatible.

CASO 3. 2a

El determinante de A es 0 por lo que su rango no es 3.

¿El rango de A es 2?

2 2 1

1 4 3

0 4 2

A

Consideramos el menor que resulta de quitar la fila y columna 3ª

2 2

1 4

con determinante

2 28 2 10 0

1 4

.

El rango de A es 2.

Averiguamos el rango de

2 2 1 2

/ 1 4 3 1

0 4 2 0

A B

es el mismo que A pues solo hemos

añadido una columna, la 4ª que es igual que la 1ª.

Rango de A = Rango de A/B = 2 < 3 = Número de incógnitas.

El sistema es compatible indeterminado.

b) Para 1a el sistema es compatible determinado (CASO 1).

2 1 2 12 4 1 2 5 1

4 2 1 4 2 14 8 1 4 1

4 0 4

2 5 1

2 8 2

1 4 1 43 1 1

3 3 3 3

x y z x y zx y y x y

x y z x y zx y y x y

y z y z

x y

x y

y y x x z

La solución es 1 1 4

; ;3 3 3

x y z

c) Para 2a el sistema es compatible indeterminado.

2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2

4 3 1 4 3 1 4 3 14 6 1

4 2 0 2 0 2

2 4 2Son la misma ecuación 2 1 1 2

2 1

x y z x y z x y zx y y

x y z x y z x y zx y y

y z y z z y

x yx y x y

x y

Las soluciones son 1 2 ; ; 2x t y t z t


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Dados los puntos 1, 2,1 , 4,0,1 , 3,1,2 , 0, 3,0P Q R S , se pide:

a) (1 punto) Hallar la ecuación del plano que contiene a P, Q y R.

b) (1 punto) Estudiar la posición relativa de la recta r, que pasa por los puntos P y Q, y la recta s,

que pasa por R y S.

c) (1 punto) Hallar el área del triángulo formado por los puntos P, Q y R.

a) Si el plano contiene a los puntos P, Q y R tiene como vectores directores

4,0,1 1, 2,1 5,2,0PQ y 3,1,2 1, 2,1 4,3,1PR .

1, 2,1 1 2 1

5,2,0 5 2 0 0

4 3 14,3,1

2 2 15 15 8 8 5 10 0 2 5 7 15 0

P x y z

u PQ

v PR

x z z y x y z

b) Hallamos las ecuaciones de las rectas r y s.

1 51, 2,1

2 25,2,0

1r

xP r

r yu PQ

z

3 33,1,2

1 40, 3,0 3,1,2 3, 4, 2

2 2s

xR s

s yu RS

z

Las coordenadas de los vectores directores de ambas rectas no son proporcionales:

5 2 0

3 4 2

Las rectas no son ni paralelas ni coincidentes.

¿Se cortan o se cruzan?

Hacemos el producto mixto de los vectores 5,2,0ru , 3, 4, 2su y 4,3,1PR .

5 2 0

, , 3 4 2 20 16 6 30 0

4 3 1

r su u PR

Como este producto mixto es nulo significa que las rectas se cortan, son coplanarias.

c) El área del triángulo PQR es la mitad del módulo del producto vectorial de los vectores PQ y

PR .

2

5,2,05 2 0 2 15 8 5 2 5 7 2,5, 7

4,3,14 3 1

4 25 49 784,41

2 2 2

i j kPQ

PQ PR i k k j i j kPR

PQ PRÁrea triángulo PQR u


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Se administra una medicina a un enfermo y t horas después la concentración en sangre del principio

activo viene dada por /2( ) tc t te miligramos por mililitro. Determine el valor máximo de c(t) e

indique en qué momento se alcanza dicho valor máximo. Sabiendo que la máxima concentración sin

peligro es de 1 mg/ml, señale si en algún momento hay riesgo para el paciente.

Derivamos la función y la igualamos a cero.

/2 /2 /2 /2

/2

( ) (́ ) 12 2

(́ ) 0 1 0 1 0 2 0 22 2

t t t t

t

t tc t te c t e e e

t tc t e t t

La segunda derivada es

/2 /2 /2 /2 /2 /2 /2

/2 2/2 1

1 1(́ ) ´́ ( )

2 2 2 4 4

2 1´́ ( ) 1 ´́ (2) 1 0

4 4 2

t t t t t t t

t

t t tc t e e c t e e e e e

tc t e c e e

La concentración presenta un máximo en 2t , a las 2 horas la máxima concentración en

sangre es de 2/2 2(2) 2 0,735 /c e mg ml

e

.

La concentración siempre toma valores por debajo del máximo pues la función es continua y

todos sus valores son inferiores a 0,735 mg/ml. No hay riesgo para el paciente en ningún

momento.


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Dada la función 2 6

( )2

x xf x

x

, se pide:

a) (0,5 puntos) Determinar su dominio y asíntotas verticales.

b) (0,5 puntos) Calcular ( )

limx

f x

x .

c) (1 punto) Calcular 5

3( )f x dx .

a) El dominio son todos los reales menos los valore de x que anulan el denominador.

Dominio = 2

Asíntota vertical. x a

2

2 2

6 12lim ( ) lim

2 0x x

x xf x

x

2x es asíntota vertical.

b) 2

2 2

2 2

6

( ) 62lim lim lim lim 12x x x x

x x

f x x x xx

x x x x x

c) Calculamos primero la integral indefinida.

2

2

2

2

2

6( )

2

Realizamos la división.

6 2

2 3

3 6

3 66 12

12 32 2

123 3 12ln 2

2 2

x xf x dx dx

x

x x x

x x x

x

xx x

xx x

xx dx x x C

x

Lo aplicamos a la integral definida pedida:

5

2 2 25

33

5 3( ) 3 12ln 2 15 12ln 5 2 9 12ln 3 2

2 2 2

25 915 12ln 3 9 14 12ln 3

2 2

xf x dx x x


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OPCIÓN B


Dadas las funciones 2

( )f xx

y ( ) ( )g x sen x , se pide:

a) (1 punto) Calcular 0

2lim ( )

( )xf x

g x

.

b) (0,75 puntos) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva ( )y f x en el punto 1

,42

.

c) (1,25 puntos) Calcular el área delimitada por la curva ( )y f x y la recta 3y x .

a)

0 0 0

0

0

2 2 2 2 2 0lim ( ) lim lim

( ) sen( ) sen( ) 0

2cos 2 0Indeterminación (L´Hôpital)= lim

cos 0

2Indeterminación (L´Hôpital)= lim

cos cos

x x x

x

x

senx xf x

g x x x x x

x

senx x x

senx

x x xsenx

00

2

b) 12( ) 2y f x x

x

2

2

2(́ ) 2f x x

x

Para

14

21 14 8 4 8 4 8 8

2 21´ 8

2

f

x y x y x y x

f

c) Hallamos los puntos de corte entre ambas gráficas.

2 2

3 12

2 3 9 8 23 2 3 3 2 0

3 121

2

x

x x x x x xx

x

Vemos cuál de las dos funciones toma un valor superior entre 1 y 2.

Entre 1 y 2 tomamos x = 1.5, la función vale 2

1.5 1.331.5

f y la recta vale y = –1.5 + 3

= 1.5. Es superior la recta.

2

1

22

1

2 2

2

23

3 2ln2

2 16 2ln 2 3 2ln1

2 2

1 32 6 ln 4 3 ln 4 0.113

2 2

Área x dxx

xx x

u


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Dadas las matrices

1 2 1 1 0 0

3 2 2 , 0 2 0

2 3 2 0 0 1

P J

,

a) (1 punto) Determinar la matriz 1P , inversa de la matriz P.

b) (1 punto) Determinar la matriz 1B , inversa de la matriz 1 1B P J .

c) (1 punto) Calcular el determinante de la matriz A2, siendo 1A PJP .

a) Veamos si existe la inversa de la matriz P.

1 2 1

3 2 2 4 8 9 4 12 6 1 0

2 3 2

P

Existe y la calculamos con la fórmula:

1

1

2 3 2 3 2 21 3 2

2 2 1 2 1 22 2 3

3 2 1 2 1 31 2 2

2 2 1 2 1 21

3 2 1 2 1 3

2 3 2 3 2 2

2 1 2 2 1 2

2 0 1 2 0 1

5 1 4 5 1 4

t

Adj

Adj PP

P

P

b) Para calcular 1 1B P J necesitamos la inversa de la matriz J.

1 0 0

0 2 0 2 0

0 0 1

J

1

1

2 0 0 0 0 21 0 0

0 1 0 1 0 00 2 0

0 0 1 0 1 00 0 1 1

0 1 0 1 0 02 2

0 0 1 0 1 0

2 0 0 0 0 2

2 0 0 1 0 01

0 1 0 0 1/ 2 02

0 0 2 0 0 1

t

Adj

Adj JJ

J

J

1 1

2 1 2 1 0 0 2 1/ 2 2

2 0 1 0 1/ 2 0 2 0 1

5 1 4 0 0 1 5 1/ 2 4

B P J


10 de 13

Pasamos a calcular la inversa de la matriz B.

2 1/ 2 25 1

2 0 1 2 4 1 02 2

5 1/ 2 4

B

Existe la inversa de la matriz B.

1

1

0 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 02 2 5

1 4 2 4 2 11/ 2 0 1/ 2

2 5 2 5 2 22 1 42

1 4 2 4 2 11/ 2

2 5 2 5 2 2

0 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0

1 2 1

6 4 8

2 3 2

t

Adj

Adj BB

B

B

c) Como 1A PJP entonces 2 1 1 1A AA PJP PJP PJJP .

Por propiedades de determinantes:

2 1 1 1· · · 1 2 2 4A PJJP P J J P

P

Otra forma de hacerlo es calcular el producto de matrices y luego el determinante.

2 1

2

1 2 1 1 0 0 1 0 0 2 1 2

3 2 2 0 2 0 0 2 0 2 0 1

2 3 2 0 0 1 0 0 1 5 1 4

1 4 1 2 1 2 13 0 6

3 4 2 4 0 2 12 1 6

2 6 2 5 1 4 18 0 8

13 0 6

12 1 6 104 108 4

18 0 8

A PJJP

A


11 de 13


a) (1 punto) Determine la distancia entre las rectas

1 2

1 0

1 0

x yr x y z y r

x z

b) (1 punto) Obtenga el punto de corte de la recta 2 1s x y z con el plano perpendicular a s,

que pasa por el origen.

a) Veamos la posición relativa de las rectas.

Para ello planteo el sistema formado por sus ecuaciones y veo si tienen puntos en común.

1

2

1 0 2 1 01 0

1 0 1 01 0

r x y zz z z

x yr z z

x z

Situación imposible, por lo que las rectas no tienen puntos en común. Pueden ser paralelas

o se cruzan.

Hallemos los vectores directores de las rectas y un punto de cada una de ellas.

1

1 1

1

2

2 2

2

1,1,10 0 0

1 1 1 0,0,0

1, 1,11 0 11

1 0 1 0,1,11

vx y zr x y z r

P

x tvx y y x

r r y tx z z x P

z t

Los vectores directores no tienen coordenadas proporcionales:

1 1 1

1 1 1

Las rectas se cruzan.

Se puede obtener la distancia con la fórmula del cociente entre el producto mixto y el

módulo del producto vectorial, pero vamos a resolverlo determinando el plano π que

contiene a r1 y es paralelo a r2. Y a partir de ahí la distancia entre las rectas es la distancia

del punto P2 al plano π.

1

1

2

0,0,0

1,1,1 1 1 1 0 0

1 1 11, 1,1

2 2 0 0

P x y z

v x y z z y x

v

x z x z


12 de 13

1 2 2

1 1 2, , 0,707

21 1 2d r r d P u

b) La recta s tiene la expresión0 2 1

1 1 1

x y zs

, por lo que tiene como vector director

1, 1,1sv

El plano perpendicular a 2 1s x y z que pasa por O(0,0,0) tiene como vector

normal el director de la recta:

0,0,0 ´ 0,0,0 ´0 0 0 ´ 0

0´ 1, 1,1s

O OD D x y z

x y z Dn v

Resolvemos el sistema formado por ecuación de recta y plano para hallar el punto de corte.

0 0´ 0

2 2 2 3 02 1

2 1 3

152

35 33 5

53 433 3

x y z x y zx y z

x y x y y y ys x y z

y z y z

xx

y y

z z

El punto de corte tiene coordenadas 1 5 4

, ,3 3 3


13 de 13


El 40% de los sábados Marta va al cine, el 30% va de compras y el 30% restante juega a videojuegos.

Cuando va al cine, el 60% de las veces lo hace con sus compañeros de baloncesto. Lo mismo le

ocurre el 20% de las veces que va de compras, y el 80% de las veces que juega a videojuegos. Se

pide:

a) (1 punto) Hallar la probabilidad de que el próximo sábado Marta no quede con sus compañeros de

baloncesto.

b) (1 punto) Si se sabe que Marta ha quedado con los compañeros de baloncesto, ¿cuál es la

probabilidad de que vayan al cine?

Realizamos un diagrama de árbol.

a) Marta no quede con sus amigos 0,4·0,4 0,3·0,8 0,3·0,2 0,46P

b) Es una probabilidad a posteriori, utilizamos el teorema de Bayes.

Vaya al cine/ Ha quedado con sus amigos de baloncesto

Vaya al cine Ha quedado con sus amigos de baloncesto

Haya quedado con sus amigos de baloncesto

0,4 ·0,6 0,24 40,444

1 0,46 0,54 9

P

P

P

Los amigos de Marta

Va al cine

0,4

Con sus compas de basket

0,6

No va con sus compañeros de basket

0,4

Va de compras

0,3


0,2


0,8

Va de videojuegos

0,3


0,8


0,2

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