Università degli Studi di Ferrara Università degli Studi di Ferrara Il problema della misura. Integrale definito e sue applicazioni Specializzando Tutor

Università degli Studi di Università degli Studi di FerraraFerrara

Il problema della misura. Il problema della misura. Integrale definito e sue Integrale definito e sue

applicazioniapplicazioni

Specializzando Tutor Dott. Eros Bernardi Prof. Luigi Tomasi

Relatore Prof. Valter Roselli

CORSO SPECIALE ABILITANTE – CLASSE A049 MATEMATICA E FISICA ANNO ACCADEMICO 2005/2006

Introduzione al percorso didattico Introduzione al percorso didattico e scelte metodologiche.e scelte metodologiche.Il capitolo risulta composto da una breve introduzione; quindi prosegue con la trattazione storica del concetto di integrale definito, per concludersi con la trattazione delle scelte metodologiche per la classe.

Anno 2005/2006Anno 2005/2006 22Classe di Concorso A049 Classe di Concorso A049

Eros BernardiEros Bernardi

Presentazione dei contenuti Presentazione dei contenuti ed intervento didattico.ed intervento didattico.

Il secondo capitolo si apre con la trattazione degli obbiettivi e prerequisiti per poi dare ampio spazio alla tempistica e trattazione degli argomenti.

Scelta del periodo e Scelta del periodo e metodologiemetodologie

Percorso didattico previsto per una classe Percorso didattico previsto per una classe quinta di un Liceo Scientifico con indirizzo quinta di un Liceo Scientifico con indirizzo P.N.I. nel periodo di Marzo Aprile.P.N.I. nel periodo di Marzo Aprile.

Il docente cercherà ogni occasione per Il docente cercherà ogni occasione per illustrare alcune questioni di epistemologia illustrare alcune questioni di epistemologia della disciplina.della disciplina.

L'uso dell'elaboratore elettronico sarà via L'uso dell'elaboratore elettronico sarà via via potenziato.via potenziato.

Visualizzazione di processi algoritmici non Visualizzazione di processi algoritmici non attuabile con elaborazione manualeattuabile con elaborazione manuale

Si insiste sull'opportunità che Si insiste sull'opportunità che l'insegnamento sia condotto per problemi.l'insegnamento sia condotto per problemi.

Anno 2005/2006Anno 2005/2006Classe di Concorso A049 Classe di Concorso A049

Eros BernardiEros Bernardi 33

Programma ministeriale Programma ministeriale

Il problema della misura sarà affrontato Il problema della misura sarà affrontato con un approccio molto generale.con un approccio molto generale.

Inquadramento preferibilmente sotto il Inquadramento preferibilmente sotto il profilo storico.profilo storico.

Il concetto di integrale scaturirà poi in Il concetto di integrale scaturirà poi in modo naturale dalla necessità di dare modo naturale dalla necessità di dare metodi generali per il calcolo di metodi generali per il calcolo di lunghezze, aree, volumilunghezze, aree, volumi



PrerequisitiPrerequisiti Divisione tra due polinomi; i radicali; Divisione tra due polinomi; i radicali;

geometria analitica; trigonometria; geometria analitica; trigonometria; funzioni esponenziali e logaritmiche.funzioni esponenziali e logaritmiche.

Rappresentazione grafica di una Rappresentazione grafica di una funzione nel piano cartesiano.funzione nel piano cartesiano.

Limite per successioni e funzioni.Limite per successioni e funzioni. Continuità e derivazione.Continuità e derivazione. Integrale indefinito.Integrale indefinito.



Obiettivi generaliObiettivi generali Essere in grado di inquadrare Essere in grado di inquadrare

storicamente l'evoluzione delle idee storicamente l'evoluzione delle idee matematiche fondamentali.matematiche fondamentali.

Avere compreso il valore strumentale Avere compreso il valore strumentale della matematica per lo studio delle della matematica per lo studio delle altre scienze.altre scienze.

Sapere elaborare informazioni ed Sapere elaborare informazioni ed utilizzare consapevolmente metodi di utilizzare consapevolmente metodi di calcolo e strumenti informaticicalcolo e strumenti informatici



Obiettivi specificiObiettivi specifici Saper affrontare a livello critico Saper affrontare a livello critico

situazioni problematiche di varia situazioni problematiche di varia natura, scegliendo in modo flessibile e natura, scegliendo in modo flessibile e personalizzato le strategie di approccio.personalizzato le strategie di approccio.

Abilità di individuare le strategie più Abilità di individuare le strategie più appropriate per risolvere integrali e appropriate per risolvere integrali e problemi connessi al calcolo integrale problemi connessi al calcolo integrale (calcolo di aree, volumi ecc.)(calcolo di aree, volumi ecc.)

Significati fisici del concetto di integrale Significati fisici del concetto di integrale definitodefinito



Cenni storici sul concetto di Cenni storici sul concetto di integraleintegrale

Il calcolo degli integrali definiti prende inizio dalla Il calcolo degli integrali definiti prende inizio dalla necessità di determinare le aree di figure piane necessità di determinare le aree di figure piane aventi contorno curvilineo.aventi contorno curvilineo.

Le idee principali che sono alla base del calcolo Le idee principali che sono alla base del calcolo differenziale si sono sviluppate lungo i secoli; i differenziale si sono sviluppate lungo i secoli; i primi passi furono compiuti dai matematici greci.primi passi furono compiuti dai matematici greci.

Il primo a muovesi in questa direzione Il primo a muovesi in questa direzione

è Archimede di Siracusa (287-212 a.C.) è Archimede di Siracusa (287-212 a.C.)

che mediante il metodo di esaustione che mediante il metodo di esaustione

calcola con buona approssimazione calcola con buona approssimazione

l’area del cerchio e determina l’area del settore l’area del cerchio e determina l’area del settore parabolicoparabolico..



A

B

E

D

C

V

V

F

F

G

GG

La nascita del calcolo La nascita del calcolo integraleintegrale

Anche se esistono alcune discussioni sulla paternità originale, Gottfried Wilhellm von Leibniz (1642-1727) è accreditato assieme ad Isaac Newton dell'invenzione, intorno al 1670, del calcolo infinitesimale.Anno 2005/2006Anno 2005/2006 99

Classe di Concorso A049 Classe di Concorso A049 Eros BernardiEros Bernardi

Lo sviluppo del calcolo Lo sviluppo del calcolo integraleintegrale

In seguito Augustin Louis Cauchy(1789-1857) nel Cours d’analyse da una definizione Rigorosa dell’integrale.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet(1805-1859) affermare che condizione necessaria per l'integrabilità sia che l'insieme dei suoi punti di discontinuità sia "rado“.

eirrazional è se 0

razionale è se 1

x

xx



Il problema è ripreso nella memoria di Georg Friedrich Bernhard Riemann(1826-1866), in essa, introduce l'integrale che porta il suo nome.

Henri Léon Lebesgue(1875-1941) rielaborò le nuove idee, ponendole alla base della sua trattazione dell'integrale una nuova idea di integrazione estendendo la classe delle funzioni integrabili



Sequenza logica e Sequenza logica e temporale dei contenuti.temporale dei contenuti.

Dalla definizione di integrale al teorema di Dalla definizione di integrale al teorema di Torricelli-BarrowTorricelli-Barrow

Grafico della funzione integrale ed il calcolo Grafico della funzione integrale ed il calcolo delle areedelle aree

Integrale generalizzatoIntegrale generalizzato Volumi dei solidi, lunghezza di archi di curva Volumi dei solidi, lunghezza di archi di curva

e l’area di una superficie di rotazione.e l’area di una superficie di rotazione. Derive6, l’integrale definito e le sue Derive6, l’integrale definito e le sue

applicazioni. applicazioni. Significati dell’Significati dell’integrale in fisica.integrale in fisica.Anno 2005/2006Anno 2005/2006 1212


Trapezoide.Trapezoide.

Dividiamo l'intervallo in Dividiamo l'intervallo in parti uguali di ampiezza parti uguali di ampiezza

Consideriamo i rettangoli aventi per base un Consideriamo i rettangoli aventi per base un segmento di suddivisione e per altezza il segmento di suddivisione e per altezza il segmento o segmento o

Indichiamo con Indichiamo con la somma delle aree di tutti la somma delle aree di tutti

questi rettangoli di altezzaquesti rettangoli di altezza

n

abx

ns

xmxmxmxms nnn 121 ..............

Sia la funzione positiva nell’intervallo allora:

xMxMxMxMS nnn 121 ..............

im iM

im

Analogamente si avrà se consideroiM



Utilizzando l'ipotesi di continuità Utilizzando l'ipotesi di continuità della funzione in si riesce a della funzione in si riesce a dimostrare, che le due successioni:dimostrare, che le due successioni:

convergono allo stesso limite, che convergono allo stesso limite, che viene indicato con il simbolo: viene indicato con il simbolo:

xf ba;

......,, 321 sss ......,, 321 SSS

b

adxxf



Integrale definitoIntegrale definito Tuttavia la definizione più generale di Tuttavia la definizione più generale di

integrale definito non richiede questa integrale definito non richiede questa ipotesi in quanto non si collega ipotesi in quanto non si collega all'area dei trapezoidi.all'area dei trapezoidi.

Possiamo comunque dare Possiamo comunque dare

un significato di tipo un significato di tipo

geometrico, considerando, geometrico, considerando,

ad esempio, una funzione ad esempio, una funzione

come in figuracome in figuraAnno 2005/2006Anno 2005/2006 1515


Calcolo dell’integrale Calcolo dell’integrale definito definito

Il calcolo dell’integrale definito Il calcolo dell’integrale definito risulta complesso anche se risulta complesso anche se consideriamo una funzione consideriamo una funzione semplice come la parabolasemplice come la parabola

Nella maggior parte dei casi Nella maggior parte dei casi risulta impossibile da calcolare.risulta impossibile da calcolare.

Risulta come si osserva in Risulta come si osserva in alcuni casi particolari legarlo ai alcuni casi particolari legarlo ai valori della primitiva agli valori della primitiva agli estremi dell’intervalloestremi dell’intervallo 3

0

2

3

1adxx

a



Teorema della media.Teorema della media.

Se è una funzione continua in Se è una funzione continua in , esiste almeno un punto , esiste almeno un punto tale che:tale che:

Significato Geometrico.

xf ba; bac ;

ab

dxxfcf

b

a



Teorema di Torricelli-Teorema di Torricelli-Barrow.Barrow.Data la funzione continua in un Data la funzione continua in un

intervallointervallo

, la funzione integrale:, la funzione integrale:

è derivabile e risulta: è derivabile e risulta:

xf ba;

x

adttfxF

bax ;

xfxF 0aF



Il calcolo dell’integrale Il calcolo dell’integrale definito.definito.

Dal teorema di Torricelli-Barrow Dal teorema di Torricelli-Barrow possiamo ottenere la formula del possiamo ottenere la formula del calcolo dell’integrale definito.calcolo dell’integrale definito.

e la funzione integrandae la funzione integranda

aFbFxFdxxf ba

b

a

x

adttfxF



Il calcolo delle areeIl calcolo delle aree

Area del segmento parabolicoArea del segmento parabolico Area delimitata da una Area delimitata da una

circonferenzacirconferenza Area della regione delimitata Area della regione delimitata

dall’ellissedall’ellisse Le aree di figure pianeLe aree di figure piane Il problema delle aree “negative”.Il problema delle aree “negative”.



Area racchiusa da due Area racchiusa da due funzioni.funzioni.

Siano e due funzioni definite Siano e due funzioni definite nello stesso intervallo , con nello stesso intervallo , con per ogni in , i cui grafici per ogni in , i cui grafici racchiudano una superficie chiusa. racchiudano una superficie chiusa. L’area della super-ficie è allora data:L’area della super-ficie è allora data:

xf xg ba; xgxf

x ba;

b

adxxgxfArea



Gli Integrali generalizatoGli Integrali generalizato

Consideriamo la funzione Consideriamo la funzione continua continua

Consideriamo un punto z interno Consideriamo un punto z interno all'intervalloall'intervallo

La funzione continuaLa funzione continua Quindi esiste l'integraleQuindi esiste l'integrale Si dice che la funzione è in integrabile Si dice che la funzione è in integrabile

in senso improprio se esiste ed è in senso improprio se esiste ed è finito il limite:finito il limite:

xf ba;

xf za;

z

adxxfzF

zFbz

limAnno 2005/2006Anno 2005/2006 2222


Volumi dei solidiVolumi dei solidi

Metodo delle “fette”Metodo delle “fette”

Volume dei solidi di rotazioneVolume dei solidi di rotazione



Derive6 e l’integrale e Derive6 e l’integrale e sue applicazioni.sue applicazioni.

Rappresentare sullo stesso Rappresentare sullo stesso grafico la funzione e una sua grafico la funzione e una sua funzione integralefunzione integrale



62 xxy

Osservazioni sulla funzione Osservazioni sulla funzione integrale.integrale.



Osserviamo che i grafici delle Osserviamo che i grafici delle funzioni possono essere funzioni possono essere sovrapposti.sovrapposti.

I grafici mette in rilievo il fatto I grafici mette in rilievo il fatto che la funzione integrale per i che la funzione integrale per i valori di valori di aa=5=5 si annulla in si annulla in xx=5=5

Negli intervalli in cui la parabola Negli intervalli in cui la parabola è positiva la funzione integrale è positiva la funzione integrale e crescente e viceversae crescente e viceversa

Approfondimenti: Approfondimenti: significato fisico significato fisico dell’integrale.dell’integrale.

Legge oraria del moto. Legge oraria del moto. Il lavoro.Il lavoro. Energia Cinetica. Energia Cinetica. Quantità di carica.Quantità di carica. Energia di una corrente Energia di una corrente

alternata.alternata.



Verifiche - ValutazioneVerifiche - Valutazione Le fasi di verifica e valutazione Le fasi di verifica e valutazione

dell'apprendimento devono essere dell'apprendimento devono essere strettamente correlate e coerenti.strettamente correlate e coerenti.

La valutazione non deve essere un La valutazione non deve essere un controllo sulla padronanza delle sole controllo sulla padronanza delle sole abilità di calcolo o di particolari abilità di calcolo o di particolari conoscenze mnemoniche degli allievi.conoscenze mnemoniche degli allievi.

Le verifiche sommative serviranno a Le verifiche sommative serviranno a valutare il grado di conoscenze e valutare il grado di conoscenze e competenze raggiunto da ogni studente.competenze raggiunto da ogni studente.Anno 2005/2006Anno 2005/2006

Classe di Concorso A049 Classe di Concorso A049 Eros BernardiEros Bernardi 2727

RecuperoRecupero Attraverso la ripresa dei concetti non Attraverso la ripresa dei concetti non

recepiti e lo svolgimento di esercizi che recepiti e lo svolgimento di esercizi che aiutino a fare chiarezza sulle procedure aiutino a fare chiarezza sulle procedure non comprese.non comprese.

Attività pomeridiane con gli studenti Attività pomeridiane con gli studenti interessati (sportello scolastico e interessati (sportello scolastico e tutoring).tutoring).

Diversificati interventi didattici, finalizzati Diversificati interventi didattici, finalizzati anche all'attività di recupero.anche all'attività di recupero.



ConclusioniConclusioni Compito dell’insegnante è proprio fare da Compito dell’insegnante è proprio fare da

mediatore tra i saperi accademici e gli mediatore tra i saperi accademici e gli studentistudenti

Far cogliere i legami interdisciplinari Far cogliere i legami interdisciplinari dell’argomento.dell’argomento.

Demolire il normale contratto didattico con Demolire il normale contratto didattico con gli alunni.gli alunni.

Fare accettare allo studente la Fare accettare allo studente la responsabilità di una situazione di responsabilità di una situazione di apprendimento.apprendimento.Anno 2005/2006Anno 2005/2006

Classe di Concorso A049 Classe di Concorso A049 Eros BernardiEros Bernardi 2929

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