UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZEFACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

CORSO DI LAUREA SPECIALISTICA IN SCIENZE FISICHE

E ASTROFISICHE

LORENZO GORI, FRANCESCO CAPPELLI,SAHAND ESLAMI

MISURA DELLA STRUTTURA IPERFINE E

DELLO SHIFT ISOTOPICO DEL Rb MEDIANTE

SPETTROSCOPIA DI SATURAZIONE

RELAZIONE DI LABORATORIO DI FISICA DELLA

MATERIA 1

PROF. FRANCESCO MARIN

ANNO ACCADEMICO 2009/2010

INDICE

1 Introduzione 11.1 Struttura del Rb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Spettroscopia di saturazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Allargamento di riga Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Spettroscopia sub-Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.3 Picchi di cross-over . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.4 Processi di allargamento di riga . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Shift isotopico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Misure 82.1 Apparato Sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Sorgente laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.2 Spettroscopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.3 Fabry-Perot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Tecniche di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Analisi dati 133.1 Taratura della scala delle frequenze con Fabry-Perot . . . . . . . . . . 13

3.2 Spettri di struttura iperfine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Misura dello shift isotopico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

i

CAPITOLO 1

INTRODUZIONE

Indice1.1 Struttura del Rb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Spettroscopia di saturazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Allargamento di riga Doppler . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Spettroscopia sub-Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Picchi di cross-over . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.4 Processi di allargamento di riga . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Shift isotopico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

In questa relazione viene illustrata la metodologia detta spettroscopia di saturazione

da noi impiegata per analizzare la riga di emissione D2 dell’atomo di rubidio.

L’invenzione della spettroscopia di saturazione, detta anche sub-Doppler, ha costituito

un grande passo avanti nello studio delle transizioni atomiche: grazie ad essa e infatti

possibile superare l’ostacolo costituito dall’allargamento Doppler delle righe, legato

al moto caotico che caratterizza gli atomi in un gas, permettendo l’osservazione della

struttura iperfine dei livelli atomici.

Nel presente capitolo si richiama la struttura dei livelli del rubidio (sezione 1.1),

la tecnica della spettroscopia di saturazione che consente l’osservazione della struttura

iperfine (sezione 1.2) e una delle applicazione collegate all’analisi di questa: la valu-

tazione dello shift isotopico fra il 85Rb e il 87Rb (sezione 1.3).

Nel capitolo 2 si illustra l’apparato sperimentale utilizzato (sezione 2.1) e le metodolo-

gie impiegate per compiere le misure (sezione 2.2); infine nel capitolo 3 si analizzano

gli spettri tarati sfruttando un interferometro Fabry-Perot (sezione 3.1) dando una stima

della separazione fra i livelli iperfini (sezione 3.2) e dello shift isotopico (sezione 3.3).

1

1.1 Struttura del Rb

1.1 Struttura del Rb

Il Rubidio e un metallo alcalino con struttura elettronica [Kr]5s1. La shell esterna

e caratterizzata quindi dalla presenza di un unico elettrone di valenza.

Il core atomico (ione Rb+), data la simmetria sferica, possiede un momento angolare

complessivamente nullo. Pertanto, la struttura (fine) dei livelli energetici e determinata

dall’accopiamento~L ·~S dei momenti angolari (orbitale~L e di spin~S) associati al singolo

elettrone di valenza1.

In figura 1.1, per entrambi gli isotopi2 del Rb, sono mostrate le transizioni dal

livello fondamentale 5S1/2 (L = 0) ai due sottolivelli di struttura fine 5P1/2 e 5P3/2 del

primo livello elettronico eccitato (L = 1). La prima transizione (Riga D1) corrisponde a

Figura 1.1: Struttura fine ed iperfine dei due isotopi 85Rb (a sinistra) e 87Rb (a destra). Si noti come ilivelli di struttura fine (identificati dal numero quantico J) si separano in un multipletto di livelli(identificati ciascuno dal numero quantico F) in modo da conservare il baricentro dell’energia.

una lunghezza d’onda λ' 794.8nm, la seconda (Riga D2), piu energetica, corrisponde

invece a una lunghezza d’onda λ' 780.0nm. Poiche la lunghezza d’onda di emissione

del nostro laser puo essere variata proprio intorno a 780nm, concentreremo la nostra

analisi su quest’ultima transizione.

1L’operatore di interazione spin-orbita ~L ·~S puo essere diagonalizzato nella base |~L2,~S2, ~J2,Jz > delmomento angolare totale ~J =~L+~S. Gli autovalori di ~J2 sono dati da ~2 J(J + 1) con |L− S| ≤ J ≤ L+ S.Nel nostro caso, S = 1/2⇒ J = |L±1/2|.

2In natura il rubidio e presente sotto forma di due isotopi: 85Rb (con concentrazione pari al 77,2%) e87Rb (con concentrazione pari al 28,8%).

2

1.2 Spettroscopia di saturazione

Come mostrato sempre in figura 1.1, ciascun livello energetico con un dato J, cor-

risponde in realta ad un multipletto di livelli che prende il nome di struttura iperfine.

Questo shift dei livelli, ciascuno dei quali e identificato da un valore del numero quan-

tico F , deriva dall’interazione di dipolo magnetico

HDM =−~µI · ~BJ ∝~I · ~J (1.1)

dove ~I e ~µI ∝~I sono rispettivamente lo spin del nucleo e il momento magnetico cor-

rispondente mentre ~BJ ∝ ~J e il campo magnetico generato dagli elettroni di valenza (in

questo caso uno) in corrispondenza del nucleo.

In modo del tutto analogo a quanto detto per l’interazione spin-orbita, l’operatore d’ac-

coppiamento~I ·~J viene diagonalizzato nella base |~J2,~I2,~F2,Fz > del momento angolare

totale (comprensivo di nucleo ed elettroni) ~F =~I + ~J. Gli autovalori di ~F2 in generale

sono dati da ~2 F(F+1) con |J−I| ≤F ≤ J+I. In particolare, se si considera ad esem-

pio il livello dello stato eccitato J = 3/2 della riga D2, i possibili valori di F , nel caso

del 85Rb che ha I = 5/2, sono Fe = 1,2,3,4 mentre nel caso del 87Rb che ha I = 3/2

sono Fe = 0,1,2,3. In modo analogo si vede che lo stato fondamentale (J = 1/2) di

ciascun isotopo si separa in due sottolivelli. Tenendo conto della regola di selezione

per le transizioni di dipolo elettrico ∆F = 0,±1, a ciascuno di questi livelli iperfini

dello stato fondamentale (e per ciascun isotopo), corrispondono tre (anziche quattro)

transizioni verso lo stato eccitato J = 3/2.

Dalla figura si osserva inoltre come lo shift dei livelli avviene in modo tale da con-

servare il baricentro dell’energia tenendo conto che il peso di ciascun livello e pari alla

degenerazione 2F +1 del livello F3.

1.2 Spettroscopia di saturazione

1.2.1 Allargamento di riga Doppler

In figura 1.2, e mostrato uno schema teorico dell’intero spettro di assorbimento

della riga D2. Con riferimento alle dodici possibili transizioni (sei per ogni isotopo)

menzionate nella sezione precedente, i quattro picchi di figura corrispondono a due

set di transizioni, ciascuna delle quali deriva dai due stati fondamentali di entrambi

gli isotopi. I due picchi esterni corrispondono alle transizioni dai livelli (dello stato

fondamentale) Fg = 1 e Fg = 2 del 87Rb mentre i due interni corrispondono alle tran-

sizioni dai livelli Fg = 2 e Fg = 3 del 85Rb. All’interno di ciascun picco, le transizioni

ai tre stati eccitati che obbediscono alla regola di selezione di cui sopra, sono coperte3Gli autovalori di Fz sono dati da ~MF con MF = −F, ...,F . Si ricorda che in presenza di un campo

magnetico esterno i 2F + 1 livelli degeneri, caratterizzati dal numero quantico MF , si separano per effettoZeeman di una quantita che e proporzionale all’intensita del campo stesso.

3

1.2 Spettroscopia di saturazione

Figura 1.2: Schema teorico dello spettro di assorbimento Doppler della riga D2 per il 85Rb (picchi interni)e il 87Rb (picchi esterni).

dall’allargamento Doppler. Tale allargamento e dovuto al fatto che gli atomi di Rb con-

tenuti all’interno della cella (vedi sezione 2.1.2), si muovono a causa dell’agitazione

termica. Se indichiamo con Vx la velocita degli atomi lungo la direzione (e nello stesso

verso) del fascio laser, la frequenza del laser νL nel sistema di riferimento in cui gli

atomi sono fermi e data, per effetto Doppler, da:

ν′L = νL

(1− Vx

c

)(1.2)

Quindi solo gli atomi con Vx = 0 assorbono la radiazione laser quando la frequenza

νL di questa coincide con quella effettiva di transizione ν0. Viceversa gli atomi con

Vx 6= 0 possono entrare in risonanza con radiazione laser a frequenza diversa da ν0.

Il profilo di assorbimento che ne deriva, in accordo con la distribuzione maxwelliana

delle velocita degli atomi, e un profilo di tipo gaussiano caratterizzato da una larghezza

a meta altezza pari a:

∆νD = ν0

√8 ln2 kBT

Mc2 (1.3)

dove kB e la costante di Boltzman, M la massa dell’isotopo di Rb considerato e T la

temperatura del gas nella cella. A temperatura ambiente4 si ottiene un allargamento

∆νD ≈ 500MHz che e effettivamente maggiore della separazione (≈ 100MHz) tra i

picchi di struttura iperfine.

4E interessante notare che data la dipendenza di tipo “radice“ della larghezza di riga dalla temperatura,raffreddare il campione non consente di ottenere un miglioramento soddisfacente sulla risoluzione. Miglio-ramento che viceversa puo essere ottenuto investigando direttamente le transizioni tra due sottolivelli distruttura iperfine con radiazione a radiofrequenza (ν0 v 100MHz).

4

1.2 Spettroscopia di saturazione

1.2.2 Spettroscopia sub-Doppler

In questa sezione viene illustrata la tecnica di spettroscopia che consente di rivelare

la struttura iperfine del rubidio nonostante l’allargamento Doppler. Questa tecnica con-

siste nel sovrapporre sul campione in analisi due fasci contropropaganti e alla stessa

frequenza (νL). Se la frequenza dei due fasci viene variata, quando νL 6= ν0, per quanto

detto sopra gli atomi con una certa componente di velocita Vx lungo la direzione dei

fasci “vedono” la frequenza di uno di questi spostata verso il rosso e quella dell’altro

spostata verso il blu. Quando invece la frequenza del laser coincide con quella della

transizione (νL = ν0) allora i due fasci interagiscono con la stessa classe di velocita di

atomi, ovvero quella con Vx = 0. In corrispondenza quindi della frequenza di interesse

ν0 l’assorbimento da parte degli atomi (con Vx = 0) del fascio utilizzato per l’analisi

(detto fascio di sonda) e ridotto a causa della saturazione indotta dall’altro fascio (det-

to fascio di pompa): gli atomi che sono stati eccitati dal fascio di pompa infatti non

sono piu in grado, per un tempo pari alla loro vita media, di assorbire il fascio di son-

da. Come risultato, all’interno del picco gaussiano risulta “scavato” un piccolo picco

lorentziano detto Lamb dip5.

Il segnale di fondo Doppler – dovuto all’assorbimento fuori risonanza – viene in-

fine eliminato, secondo lo schema ideato da Theodor Hansh, mediante l’utilizzo di

un chopper e di un amplificatore lock-in6. Il primo modula (in ampiezza) il fascio di

pompa, il secondo sottrae al segnale di sonda con i dip di saturazione (ottenuto con il

chopper che trasmette il fascio di pompa) il segnale di sonda con il solo fondo Doppler

(ottenuto con il chopper che non trasmette il fascio di pompa).

1.2.3 Picchi di cross-over

Lo spettro privo di allargamento Doppler cosı ottenuto mostra – oltre ai 3 picchi

corrispondenti alle transizioni discusse in sezione 1.1 – altri 3 picchi spuri – non cor-

rispondenti a nessun sottolivello iperfine esistente – detti picchi di cross-over.

La presenza di questi picchi e legata al fatto che in sistemi a piu livelli anche gli ato-

mi con Vx 6= 0 in opportune condizioni possono entrare in risonanza contemporanea-

mente con entrambi i fasci di pompa e di analisi. Questo lo si vede bene se si consid-

era uno schema a due soli sottolivelli nello stato eccitato (Fe = 1 e Fe = 2)7. Quan-

do durante la scansione i due fasci contropropaganti presentano una frequenza pari a

νCO = (ν1 +ν2)/2, dove ν1 e ν2 sono rispettivamente le frequenze corrispondenti alle

transizioni verso i due livelli Fe = 1 e Fe = 2, esiste una opportuna classe di atomi che

5Sulla natura lorentziana del Lamb dip si veda la sezione 1.2.4.6Per un analisi piu dettagliata del principio di funzionamento del lock-in si rimanda alla sezione 2.27Il nostro caso di 3 sottolivelli e di facile generalizzazione.

5

1.2 Spettroscopia di saturazione

muovendosi con velocita Vx incontro ad esempio al fascio di pompa, “vede” questo ar-

rivare con frequenza ν2 (maggiore) e, allo stesso tempo, “vede” quello di sonda arrivare

con frequenza ν1 (minore). Un ragionamento analogo vale per la classe di atomi che si

muove incontro al fascio di sonda con velocita −Vx. Come risultato, oltre ai due picchi

alle frequenze ν1 e ν2 si osserva un picco di cross-over alla frequenza intermedia νCO.

1.2.4 Processi di allargamento di riga

Come abbiamo visto in sezione 1.2.1, l’agitazione termica porta ad un allargamento

Doppler di tipo gaussiano dell’ordine di 500MHz. L’allargamento della riga ottenuta

dalla spettroscopia sub-Doppler e invece un allargamento di tipo lorentziano dovuto a

molteplici fattori8. A causa del principio d’indeterminazione tempo-energia, il Lamb

dip ha una larghezza di riga naturale γ ≈ 10MHz9. A questo allargamento di base si

vanno ad aggiungere gli allargamenti per pressione, per intensita e per effetto Zeeman,

l’entita dei quali e dettata dalle condizioni sperimentali in cui si lavora. Sia l’allarga-

mento per pressione che quello per intensita sono riconducibili alla riduzione della vita

media degli atomi negli stati eccitati: in entrambi i casi gli atomi sono indotti a decadere

prematuramente a causa di stimoli esterni. Nel primo caso un’elevata pressione di va-

pore all’interno della cella contenente il Rb determina un aumento della probabilita

che avvengano collisioni tra gli atomi; nel secondo caso, la riduzione della vita media

e invece dovuta al fatto che all’aumentare dell’intensita del fascio di pompa il numero

di fotoni (per unita di tempo) a disposizione per indurre l’emissione stimolata degli

atomi eccitati cresce a scapito del numero di fotoni (per unita di tempo) che decadono

per emissione spontanea10. Esiste infine un altro tipo di allargamento di riga legato alla

rimozione della degenerazione dei livelli F per effetto del campo magnetico terrestre

e (soprattutto) di quello dovuto alle strumentazioni elettroniche presenti in laboratorio.

Infatti, per quanto detto in sezione 1.1, la presenza di questi campi magnetici separa i

livelli F in 2F +1 sottolivelli i quali, essendo troppo vicini per essere risolti, determi-

nano nel complesso un allargamento della riga11.

8L’allargamento gaussiano (lorentziano) e un allargamento disomogeneo (omogeneo) in quanto dovutoalla presenza di classi di atomi che si comportano statisticamente in modo diverso (uguale).

9La larghezza di riga naturale e data dall’inverso della vita media che nel caso di transizioni ottiche didipolo e τ≈ 100ns.

10L’allargamento lorentziano per intensita dovuto al solo fascio di pompa e dato da γI = γ√

1+ Ipr doveγ e la larghezza di riga naturale e Ipr e il rapporto tra l’intensita del fascio di pompa e quella di saturazione.Poiche anche la sonda ha un profilo lorentziano, la larghezza risultante e data dalla somma γ′ = γ+ γI & 2γ.

11La separazione dei livelli per effetto Zeeman e data da ∆E ≈ µBB dove µB ' 1,4MHz/Gauss e B el’intensita del campo magnetico (Bterrestre ' 0,5Gauss).

6

1.3 Shift isotopico

1.3 Shift isotopico

La separazione dei livelli di struttura iperfine non e l’unico effetto derivante dalla

struttura del nucleo. Come risulta evidente dallo schema di figura 1.2, le transizioni

atomiche per i due isotopi avvengono a frequenze diverse. Questo spostamento in

frequenza, detto shift isotopico, e legato a due effetti.

1 - Effetto di massa: effetto (dominante per Z . 20) dovuto al fatto che il nu-

cleo, avendo massa finita, non e fermo ma si muove intorno al centro di massa

dell’atomo12.

2 - Effetto di volume: effetto (dominante per Z & 40) dovuto al fatto che la dis-

tribuzione di carica nel volume finito del nucleo determina in prossimita di questo

una modifica nel potenziale d’interazione atomico13.

Nel caso del rubidio (Z = 37) lo shift isotopico e pari a circa 160MHz di cui il contrib-

uto di massa e di circa 57MHz.

12L’effetto di massa nel caso del Rb che e un atomo idrogenoide porta ad uno spostamento dei livelli paria ∆νM = ν∞

memp

A′−AA′A ' 57MHz dove ν∞ e la frequenza di transizione atomica di riferimento assumendo il

nucleo con massa infinita, me e mp sono rispettivamente le masse dell’elettrone e del protone e A = 85 eA′ = 87 sono i numeri di massa dei due isotopi.

13Il potenziale d’interazione in prossimita del nucleo risulta meno attrattivo rispetto a quello coulombiano(che si ha a grandi distanze), portando ad uno spostamento dei livelli verso energie maggiori per gli isotopipiu pesanti.

7

CAPITOLO 2

MISURE

Indice2.1 Apparato Sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Sorgente laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.2 Spettroscopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.3 Fabry-Perot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Tecniche di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 Apparato Sperimentale

2.1.1 Sorgente laser

Come sorgente abbiamo utilizzato un laser a semiconduttore ad emissione oriz-

zontale1 con cavita esterna (fig. 2.1). La cavita esterna2 e costituita da una lente

collimatrice, un beam splitter e un reticolo di diffrazione. Il reticolo e montato in

configurazione Litthrow e presenta un blazing tale da massimizzare l’emissione al pri-

mo ordine di diffrazione che viene fatto risuonare nella cavita; sul supporto e presente

un cristallo piezoelettrico in grado di far compiere spostamenti fini al reticolo stesso. Il

beam splitter serve a prelevare una frazione del fascio – circa il 5% – per l’esperimento

mentre lascia risuonare la parte restante.

1L’emissione e centrata intorno a 780 nm ed e polarizzata linearmente. Il mezzo attivo ha forma aparallelepipedo con dimensioni 1µm x 3µm x 500µm e indice di rifrazione n ' 3. Il free spectral rangeproprio di questa cavita, dato dalla relazione FSR = c

2nL , con c velocita della luce nel vuoto e L = 500µmlunghezza della cavita, risulta pari a circa 100 GHz. Alla faccia in uscita e stato applicato un trattamentoantiriflesso in modo da aumentare l’accoppiamento fra la cavita interna e quella esterna.

2Il free spectral range proprio della cavita esterna, lunga circa 10 cm, risulta pari a circa 1,5 GHz; lalarghezza dei modi sostenuti da questa cavita risulta di circa 100 KHz, tale quindi da consentire la rivelazionedei picchi lorentziani che hanno larghezza Γ≈ 30MHz (vedi sezioni 1.2.4 e 3.2).

8

2.1 Apparato Sperimentale

Figura 2.1: Cavita esterna della sorgente laser con evidenziato in rosso il percorso compiuto dal fascio.La cavita e costituita da una lente collimatrice, un beam splitter e un reticolo di diffrazione.Il reticolo e montato in configurazione Litthrow e presenta un blazing tale da massimizzarel’emissione al primo ordine di diffrazione che viene fatto risuonare nella cavita; l’ordine zero– di scarsa intensita - visibile in chiaro – va perduto. Fra il reticolo ed il supporto e presenteun cristallo piezoelettrico in grado di far compiere spostamenti fini al reticolo stesso. Il beamsplitter serve a prelevare una frazione del fascio – circa il 5% – per l’esperimento (fascio inuscita); un’altra parte del fascio, che viene riflessa nella direzione opposta, va perduta.

Applicando un segnale a dente di sega al cristallo piezoelettrico e possibile variare fine-

mente la lunghezza della cavita, dunque la frequenza di emissione del laser in funzione

del tempo in modo da avere sull’oscilloscopio uno spettro in funzione della frequenza.

Per stabilizzare l’emissione del laser e evitare salti di modo, al generatore di corrente di

alimentazione del laser viene applicato un segnale sincronizzato con quello applicato al

cristallo piezoelettrico: questo consente al modo della cavita interna di seguire quello

della cavita esterna nel suo spostarsi in frequenza3.

2.1.2 Spettroscopia

L’apparato sperimentale da noi allestito e visibile in figura 2.2. In uscita dalla cav-

ita esterna il fascio viene focalizzato mediante una lente convergente (L1) all’interno di

un isolatore ottico monolitico (ISO). Tale isolatore ottico ha lo scopo di impedire che

il fascio riflesso dallo specchio d’ingresso dell’interferometro Fabry-Perot rientri nella

cavita dando vita a fenomeni d’interferenza che altererebbero l’emissione laser.

In uscita dall’isolatore il fascio vine ricollimato con un’altra lente (L2) e subito dopo

separato in due da un beam splitter (BS): il 40% della potenza viene riflesso e invi-

ato all’interferometro Fabry-Perot (vedi sezione 2.1.3) mentre il restante 60% viene

trasmesso e inviato ad una lamina λ/2 e ad un beam splitter polarizzatore (BSP1):

3Un aumento della corrente di alimentazione del laser determina un aumento della temperatura delmezzo attivo e quindi della lunghezza ottica nL della cavita, sia a causa della dilatazione termica, sia a causadell’incremento dell’indice di rifrazione n.

9

2.1 Apparato Sperimentale

Figura 2.2: Banco ottico allestito per l’esperimento con evidenziato il percorso compiuto dalla luce lasere le ottiche. Si notino la parte centrale dedicata alla spettroscopia e la parte a destra dove ecollocato l’interferometro Fabry-Perot.

1 - il fascio trasmesso da BSP1, detto fascio di sonda, attraversa la cella contenente

i vapori di rubidio, viene trasmesso dal beam splitter polarizzatore BSP2 e viene

infine rivelato dal fotodiodo FD1;

2 - il fascio riflesso da BSP1, detto fascio di pompa, viene portato attraverso due

specchi a riflettere su BSP2 in modo da risultare sovrapposto a quello di sonda.

Una volta attraversata la cella viene riflesso da BSP1 e poi disperso.

C’e da dire che per essere sicuri che i due fasci fossero sovrapposti entro tutta la cella

il fascio di pompa e stato allargato con due lenti L5 e L6, separate da una distanza

d = fL5 + fL6 con fL5 e fL6 (> fL5) distanze focali.

Sul percorso del fascio di pompa e presente un chopper che ha il compito di modulare

10

2.2 Tecniche di misura

l’intensita del fascio ostruendone periodicamente il passaggio (vedi sezione 2.2).

2.1.3 Fabry-Perot

Ritornando al beam splitter BS, come gia accennato, si ha che il 40% della potenza

viene riflessa. Tramite un sistema di specchi e lenti (L3, L4) il fascio viene focalizzato

al centro di una cavita Fabry-Perot confocale4 che consente la trasmissione del segnale

solo in corrispondenza delle sue frequenze di risonanza; questo e quindi utile per avere

un riferimento in frequenza. Infine il segnale in uscita viene rivelato dal fotodiodo FD2.

Per allineare la cavita il fascio e stato fatto passare al centro degli specchi; successiva-

mente si e provveduto a sovrapporre il fascio riflesso dallo specchio d’ingresso della

cavita con quello incidente all’altezza dello specchio che precede la cavita stessa.

2.2 Tecniche di misura

Per trovare il segnale di assorbimento ci siamo avvalsi di una webcam privata del

filtro infrarosso: muovendo il reticolo e variando la corrente di alimentazione del laser

questa ci ha permesso di rivelare la fluorescenza degli atomi di Rb nella cella.

Un altro metodo utile a individuare il segnale di assorbimento consiste nello sfruttare

un λ-meter5 per misurare la frequenza di emissione del laser in modo da poterla variare

fino al valore (noto) a cui il Rb assorbe.

Successivamente e stato inviato un segnale al piezoelettrico a rampe ascendenti

e discendenti – alla frequenza di circa 100Hz – di ampiezza pari a circa 300V : in

questo modo si ottiene una variazione della frequenza di emissione del laser diretta-

mente proporzionale alla variazione di differenza di potenziale6. Con la frequenza

variabile e stato possibile rifinire l’allineamento dell’interferometro Fabry-Perot os-

servando il segnale trasmesso su un oscilloscopio digitale collegato al fotodiodo FD2;

come segnale di trigger e stata impiegata l’uscita TTL del generatore di rampa.

Prelevando il segnale in uscita dal fotodiodo FD1 e stato possibile – aggiustando la

corrente di alimentazione del laser, i parametri relativi alle rampe di segnale (ampiezza4La cavita Fabry-Perot, essendo costituita da due specchi sferici di raggio R posti a distanza d = R,

dunque confocale, presenta un free spectral range dato dalla relazione FSR = c/(4d); essendo d = 1 m ilfree spectral range risulta pari a 75MHz.

5Il λ-meter e uno strumento in grado di rivelare la lunghezza d’onda assoluta emessa dalla sorgente: essosfrutta il principio di funzionamento dell’interferometro di Michelson analizzando la figura di interferenzadovuta alla combinazione fra il fascio in ingresso e un riferimento interno; la luce viene raccolta da una fibraa singolo modo e condotta all’interno dello strumento.

6Per evitare salti di modo e stata aggiunta anche una leggera modulazione della corrente di alimentazionedel laser sincrona con la modulazione passata al piezoelettrico: cosı facendo i modi della cavita interna sonoindotti a seguire lo spostamento in frequenza di quelli della cavita esterna.

11

2.2 Tecniche di misura

e offset), l’ampiezza delle rampe in corrente – osservare il segnale trasmesso dalla

cella contenente i vapori di rubidio al variare della frequenza di emissione del laser.

Ponendo le pale del chopper in posizione tale da lasciar passare il fascio di pompa,

sulle gaussiane Doppler sono risultati visibili i dip lorentziani relativi alla struttura

iperfine del rubidio (fig. 2.3).

0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0

0 , 6 5

0 , 7 0

0 , 7 5

0 , 8 0

0 , 8 5

0 , 9 0

0 , 9 5

���

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����

���� ����������������������

Figura 2.3: Spettro di assorbimento corrispondente alla transizione dal livello con Fg = 3 del 85Rb e relativospettro di Fabry-Perot usato per tarare la scala delle ascisse (si veda sezione 3.1).

Amplificatore Lock-in

Per eliminare il fondo Doppler ci siamo avvalsi del chopper e di un amplificatore

lock-in: le pale del chopper – fatte ruotare a una frequenza di 2,5 KHz da un driver –

lasciano passare o bloccano periodicamente il fascio di pompa. Collegando l’uscita del

fotodiodo FD1 al lock-in, che usa come riferimento un segnale di trigger proveniente

dal driver del chopper, lo strumento7 e in grado di fare la differenza fra i due segnali

acquisiti con e senza fascio di pompa; sull’oscilloscopio – ora collegato al lock-in –

risultano dunque visibili i dip lorentziani senza il fondo Doppler.

7Il lock-in e stato impostato con τ = 1ms come tempo di integrazione e 30mV come sensibilita. Lafrequenza del segnale per il piezoelettrico e stata impostata a 7Hz.

12

CAPITOLO 3

ANALISI DATI

Indice3.1 Taratura della scala delle frequenze con Fabry-Perot . . . . . 133.2 Spettri di struttura iperfine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Misura dello shift isotopico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1 Taratura della scala delle frequenze con Fabry-Perot

Nel capitolo precedente abbiamo visto come l’utilizzo di un opportuno apparato

sperimentale abbia consentito, in accordo con quanto detto nella sezione 1.2, di ot-

tenere degli spettri non affetti da allargamento Doppler. Per l’analisi di tali spettri e

stato necessario come prima operazione convertire la scala dei tempi fornita dall’oscil-

loscopio in scala delle frequenze. Questo e stato possibile sfruttando lo spettro dell’in-

terferometro Fabry-Perot – di cui e noto il FSR (pari a 75MHz) – acquisito insieme

con ogni spettro di assorbimento del rubidio. Facendo riferimento alla figura 2.3 si

noti come l’origine1 sia stata posta in corrispondenza di uno dei picchi del Fabry-Perot

all’estremita sinistra della gaussiana Doppler; al picco all’estremita destra e stato as-

segnato un valore pari a 16 FSR = 1200MHz. Procedendo in modo analogo sono stati

cosı tarati tutti gli spettri di assorbimento. Questa procedura di taratura assume un com-

portamento lineare del piezoelettrico, dunque uno spostamento lineare nel tempo del

reticolo, entro l’intervallo di frequenze preso come riferimento. Si e notato che entro

questo intervallo la ricorrenza dei picchi di trasmissione del Fabry-Perot puo variare

1La scelta dell’origine e del tutto arbitraria, d’altronde lo spettro del Fabry-Perot non fornisce unriferimento assoluto di frequenza.

13

3.2 Spettri di struttura iperfine

fino a 4 MHz, valore che si assume come errore di taratura.

3.2 Spettri di struttura iperfine

In questa sezione vengono analizzati, in ordine di frequenza crescente, i quattro

spettri di assorbimento sub-Doppler, ciascuno contenente i sei picchi (tre dovuti alle

transizioni con ∆F = 0,±1 e tre dovuti ai segnali di cross-over) discussi nel capitolo 1.

Sugli spettri corrispondenti alle transizioni dal livello fondamentale Fg = 2 del 87Rb

(figura 3.1) e dal livello Fg = 3 del 85Rb (figura 3.2), e stato eseguito un fit con la

seguente funzione:

y = y0 + y1 ·ν +AG

ΓG√

π/2· e−2 (ν−νG)2

Γ2G +

(6

∑i=1

2Ai

π

Γ

4(ν−νi)2 +Γ2

)(3.1)

dove l’ultimo termine riproduce i sei dip lorentziani (con larghezza Γ uguale e cias-

cuno con ampiezza e centro dato da Ai e νi con i = 1, ...,6) mentre i primi tre termini

tengono conto del fondo (riproducibile con una retta e una gaussiana).

- 5 0 0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 5 0 00

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4 ����������������������������� �����!! �

����!

���������� ����

�����

����

����

ν1�������#���������"ν2���������#��������"ν3����������#��������"ν4���������#�������"ν5������#���������"ν6����������#��������" Γ �� ����#�������"

���

�� ���

����

ν ���"�

Figura 3.1: Spettro di assorbimento sub-Doppler relativo alla transizione dal livello Fg = 2 del 87Rb. In rossoe raffigurato il fit eseguito con la funzione 3.1 nella quale le posizioni dei picchi lorentziani νisono considerate parametri indipendenti.

Nei grafici sono riportate (rispetto a un riferimento arbitrario) le posizioni in frequenza

dei picchi νi ottenute dalla procedura di fit; da queste risulta immediato determinare

la distanza tra i livelli di struttura iperfine. Nei grafici e inoltre riportato l’allargamen-

to dei picchi lorentziani (Γ ≈ 30MHz) le cui cause sono descritte in sezione 1.2.4.

14

3.2 Spettri di struttura iperfine

- 4 0 - 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 00

2

4

6

8

1 0

���

�� ���

����

ν ���"�

������

�����

���� ���������

����

��������������������������� ����!! �

����!

ν1��������#��������"ν����� #�������"�ν�������#��������"ν���������#���������"ν���������#��������"ν �������#��������"Γ = ����#���������"

Figura 3.2: Spettro di assorbimento sub-Doppler relativo alla transizione dal livello Fg = 3 del 85Rb. In rossoe raffigurato il fit eseguito con la funzione 3.1 nella quale le posizioni dei picchi lorentziani νisono considerate parametri indipendenti.

E da osservare che poiche la procedura di fit non tiene conto della correlazione tra i

parametri, l’incertezza che questa fornisce e ragionevolmente sottostimata.

- 6 0 - 4 0 - 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 00 , 5

1 , 0

1 , 5

2 , 0

2 , 5

3 , 0

3 , 5

4 , 0

4 , 5

����

���������

���������

�����

�������������������������������� �����!! ���

� ����!

∆ ν1−2�������#��������"∆ ν2−3���� ���#���������"Γ������#��������"

���

�� ���

����

���"�

Figura 3.3: Spettro di assorbimento sub-Doppler relativo alla transizione dal livello Fg = 2 del 85Rb. Inrosso e raffigurato il fit eseguito con una funzione simile alla 3.1 con il vincolo pero che i picchidi cross-over si trovassero alle frequenze medie delle tre possibili coppie di righe.

15

3.2 Spettri di struttura iperfine

Per quanto riguarda lo spettro di assorbimento relativo alla transizione dal livello

Fg = 2 del 85Rb (figura 3.3), poiche non tutti i dip lorentziani risultano facilmente dis-

tinguibili, e stato eseguito un fit con una funzione simile alla 3.1, dove pero le posizioni

dei sei picchi non sono state considerate parametri indipendenti ma si e imposto la con-

dizione che i picchi di cross-over si trovassero alle frequenze medie (∆νi− f /2) delle tre

possibili coppie di righe. Nel grafico come risultato del fit sono riportate direttamente

la distanza in frequenza ∆ν1−2 tra il primo e il secondo livello di struttura iperfine e

quella ∆ν2−3 tra il secondo e il terzo.

Dalle osservazioni effettuate in laboratorio lo spettro di assorbimento relativo alla

transizione dal livello Fg = 1 del 87Rb e risultato l’unico a essere nettamente dipendente

dalla polarizzazione del fascio di pompa: la variazione della polarizzazione e stata

ottenuta introducendo una lamina λ/4 fra FD1 e la cella che ha reso il fascio di pompa

polarizzato ellitticamente. In figura 3.4 sono visibili i due spettri acquisiti senza lamina

(spettro 2) e con lamina (spettro 1). Il quadro si presenta di non facile analisi: i picchi

Inte

nsi

tà (u.a

.)

1

2

3

4

5

6

7

ν (MHz)

Fe= 2

CO 1-2

100 MHz

87Rb Fg=1 -> Fe= 0,1,2

Spettro 1 Spettro 2

Figura 3.4: Spettri relativi alla transizione dal livello Fg = 1 del 87Rb. In blu e visibile lo spettro 2 acquisitocon pompaggio ottico lineare, mentre in rosso e visibile lo spettro 1 acquisito con pompaggioellittico indotto dalla presenza di una lamina λ/4 sul percorso del fascio di pompa. Si noti comei due spettri siano simili fra loro per le alte frequenze, mentre come differiscano per le basse.Sono segnalati unicamente i picchi relativi alla riga Fe = 2 e al cross-over CO 1− 2, essendoquesti gli unici certi.

non risultano ben distinguibili l’uno dall’altro, i due spettri differiscono marcatamente

per le basse frequenze e il tutto e ulteriormente complicato dalla presenza di uno o

16

3.2 Spettri di struttura iperfine

piu picchi negativi2 nella parte centrale. Preso atto della situazione abbiamo deciso di

prendere il meglio da ognuno dei due spettri:

1 - sullo spettro 1 e stata eseguita un’operazione di fit come quella riservata alla riga

Fg = 2 del 85Rb (ossia fissando i cross-over) e come si nota dalla figura 3.5 l’an-

damento dei dati viene ben riprodotto per le alte frequenze (cross-over CO 1−2

e Fe = 2) mentre per quelle basse l’accordo si perde;

Inte

nsi

tà (u.a

.)

1

2

3

4

5

6

7

8

ν (MHz)

100 MHz

Δν0-1 = (74,37 +/- 0,46) MHz Δν1-2 = (154,13 +/- 0,42) MHz Γ = (63,9 +/- 0,2) MHz

Fe= 2

87Rb Fg=1 -> Fe= 0,1,2

Spettro 1 Fit

CO 1-2

Inte

nsi

tà (u.a

.)

0

1

2

3

4

5

6

ν (MHz)

87Rb Fg=1 -> Fe= 0,1,2

Spettro 2 Fit

100 MHz

CO 1-2

Fe= 2

Δν0-1 = (68,98 +/- 0,22) MHz Δν1-2 = 154 MHz Γ = (70,3 +/- 0,4) MHz

Figura 3.5: Spettri con relativi fit della riga corrispondente alla transizione dal livello Fg = 1 del 87Rb: quel-lo di sinistra e ottenuto con pompaggio ottico ellittico (spettro 1), quello di destra con pompaggioottico lineare (spettro 2). Si noti come per lo spettro 1 l’andamento dei dati venga ben riprodottoper le alte frequenze ( CO1−2 e Fe = 2), mentre per quelle basse l’accordo si perda. Per questomotivo e stato deciso di eseguire sullo spettro 2 l’operazione di fit imponendo come valore delladistanza fra le righe Fe = 1 e Fe = 2 il valore ∆ν1−2 = 154 MHz ricavato dallo spettro 1. Si noticome in questo caso l’andamento dei dati venga ben riprodotto per le basse frequenze (Fe = 0 eFe = 1). Si noti inoltre come le larghezze di riga risultino circa doppie rispetto a quelle propriedegli altri spettri.

2 - sullo spettro 2 e stata eseguita un’operazione di fit come quella riservata allo spet-

tro 1 imponendo come valore della distanza fra le righe Fe = 1 e Fe = 2 il valore

ricavato dall’altro spettro (∆ν1−2 = 154 MHz); poiche come si vede dal grafico

di destra in figura 3.5 l’andamento e ben riprodotto per le basse frequenze, si

considera attendibile come valore per ∆ν0−1 quello ottenuto da questo spettro.

Le procedure di fit finora descritte sono poi state ripetute, per ciascuno dei quattro

spettri, sul set di cinque misure acquisite. In tabella 3.1 sono riportate (mantenen-

do l’ordine di frequenza crescente per i quattro spettri) la separazione tra i livelli Fe

di struttura iperfine ottenute dalla media delle cinque misure; l’incertezza riportata e

quella ottenuta facendo lo scarto massimo.

Dalla tabella si nota che le due misure dell’intervallo centrale di frequenza (∆ν1−2 nel2Il manifestarsi di un picco negativo corrisponde al fatto che il fascio di pompa, a causa di effetti di

pompaggio ottico in particolari sottolivelli MF (vedi sezione 1.1), anziche inibire, favorisce l’assorbimentodei fotoni che costituiscono il fascio di sonda da parte degli atomi di rubidio.

17

3.3 Misura dello shift isotopico

∆ν0−1 (MHz) ∆ν1−2 (MHz) ∆ν2−3 (MHz) ∆ν3−4 (MHz)87Rb Fg = 2 154±2 267±285Rb Fg = 3 60±2 125±285Rb Fg = 2 25±3 64±387Rb Fg = 1 69±3 154±2

Tabella 3.1: Separazione tra i livelli Fe di struttura iperfine ottenute, per ciscuno dei quattro spettri, dallamedia e dallo scarto massimo di 5 acquisizioni. Si noti come le due misure dell’intervallocentrale di frequenze (∆ν1−2 nel caso del 87Rb e ∆ν2−3 nel caso del 85Rb), ottenute sfruttandole transizioni da ciascuno dei due livelli iperfini Fg, risultino consistenti.

caso del 87Rb e ∆ν2−3 nel caso del 85Rb), ottenute sfruttando le transizioni da cias-

cuno dei due livelli iperfini Fg, risultano consistenti. Sulle dieci misure effettuate per

ciascuno di questi intervalli centrali e stata quindi eseguita la media e la deviazione

standard.

I risultati ottenuti per la struttura iperfine dei due isotopi sono riassunti e messi a con-

fronto con i valori noti nelle tabelle 3.2 (per il 87Rb) e 3.3 (per il 85Rb).

87Rb ∆ν0−1 (MHz) ∆ν1−2 (MHz) ∆ν2−3 (MHz)valore sperimentale 69±3 154±2 267±2

valore noto 72 157 267

Tabella 3.2: Separazione tra i livelli Fe di struttura iperfine per il 87Rb e confronto con i valori noti.

85Rb ∆ν1−2 (MHz) ∆ν2−3 (MHz) ∆ν3−4 (MHz)valore sperimentale 25±3 62±2 125±2

valore noto 29 63 121

Tabella 3.3: Separazione tra i livelli Fe di struttura iperfine per il 85Rb e confronto con i valori noti.

Dalle tabelle si deduce un sostanziale accordo tra i risultati ottenuti e quelli tabulati.

3.3 Misura dello shift isotopico

Per analizzare lo shift isotopico (di cui si e discusso in sezione 1.3) e necessario

avere uno spettro comprendente tutte le righe di assorbimento in esame in modo da

poter stimare le distanze reciproche. La sorgente laser da noi utilizzata non e in gra-

do di variare regolarmente la frequenza di emissione entro l’intervallo necessario per

visualizzare uno spettro completo (circa 8 GHz): con l’ampiezza massima di tensione

sostenibile dal piezoelettrico da noi utilizzato (circa 400 V ) si possono scorrere circa

5 GHz, ma pur modulando l’alimentazione del laser con un segnale sincrono con quel-

lo applicato al piezoelettrico non si riesce a scorrerne piu della meta senza incorrere in

salti di modo.

18

3.3 Misura dello shift isotopico

Per questo motivo sono stati acquisiti sette spettri: quattro che comprendessero le gaus-

siane Doppler visibili per intero (come ad esempio quella di figura 2.3), tre che com-

prendessero i bordi degli spettri adiacenti. Uno degli spettri di transizione e visibile in

figura 3.6.

Inte

nsi

tà (u.a

.)

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

1

ν (GHz)0 0,5 1 1,5 2

Spettro Fabry-Pérot

87Rb Fg=2

85Rb Fg=3

Figura 3.6: Spettro utilizzato per raccordare i picchi di assorbimento relativi alle transizioni dal livelloFg = 2 del 87Rb e dal livello Fg = 3 del 85Rb. Lo spettro di Fabry-Perot e stato utilizzato pertarare l’asse delle ascisse.

Una volta tarati tutti gli spettri con le relative acquisizioni di Fabry-Perot si e proceduto

alla ricostruzione dello spettro complessivo sovrapponendo le varie righe ed eliminan-

done i bordi, spesso affetti da distorsioni strumentali. Il risultato, da confrontarsi con

lo schema teorico di figura 1.2, e visibile in figura 3.7.

Lo shift isotopico tra i livelli 5S1/2 del 87Rb e 85Rb e stato determinato facendo la

differenza tra i baricentri (B87 e B85) dei livelli iperfini Fg dei due isotopi pesati con la

corrispondente degenerazione (2Fg +1). In formule:

∆νisotopico = B87−B85 (3.2)

con

B87 =ν1 ·5+ν4 ·3

8B85 =

ν2 ·7+ν3 ·512

(3.3)

dove con νi (i = 1,2,3,4) si sono indicate le posizioni (in frequenza crescente) dei

4 picchi di assorbimento gaussiani di figura 3.7. Per un calcolo accurato dello shift

isotopico e stato utilizzato come valore di νi, non il centro della gaussiana Doppler,

bensı il baricentro ottenuto considerando la struttura iperfine dei livelli eccitati Fe3.

3Con formule analoghe alla 3.3 si determinano i baricentri degli spettri privi di fondo Doppler analizzatinella sezione 3.2 e se ne prende la distanza dal picco piu alto. Questo, essendo facilmente riconoscibileanche negli spettri gaussiani, viene utilizzato come riferimento per la determinazione di νi.

19

3.3 Misura dello shift isotopico

Figura 3.7: Spettro complessivo della riga D2 per il 85Rb (picchi interni) e il 87Rb (picchi esterni) ottenutodalla sovrapposizione delle 4 righe di assorbimento.

Dai valori ν1 = −187MHz, ν2 = 1085MHz, ν3 = 4229MHz, ν4 = 6990MHz cosı

ottenuti e stato calcolato uno shift isotopico pari a:

∆νisotopico = 2504,4MHz−2395,0MHz' 110MHz (3.4)

che e da confrontarsi con quello tabulato (sezione 1.3), pari a circa 160MHz. Questo

discostamento dal valore noto puo essere ricondotto a piu fattori d’incertezza legati

principalmente alla taratura della scala delle frequenze, all’operazione di sovrappo-

sizione degli spettri, nonche alla determinazione dei centri dei picchi lorentziani della

struttura iperfine.

20