Università degli studi di Parma Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione Politecnico di Milano © 2001/02 - William Fornaciari Sintesi di reti a più

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Università degli studi di Università degli studi di ParmaParmaDipartimento di Ingegneria dell’InformazioneDipartimento di Ingegneria dell’Informazione

PolitecnicoPolitecnicodi Milanodi Milano

Sintesi di reti a più livelliSintesi di reti a più livelli

Lezione 3.4Lezione 3.4

Approccio algoritmico: SISApproccio algoritmico: SIS

Docente:Docente:

prof. William FORNACIARIprof. William FORNACIARI [email protected]@elet.polimi.it

www.elet.polimi.it/people/fornaciawww.elet.polimi.it/people/fornacia

Sintesi multilivello: SISSintesi multilivello: SIS © 2001/02 - William Fornaciari© 2001/02 - William Fornaciari- - 22 - -

L’approccio tipicamente utilizzato è quello algoritmico (Viene utilizzato in SIS)

Consiste nel definire un algoritmo per ogni tipo di trasformazione.L'algoritmo determina dove può essere applicata la trasformazione, attua la trasformazione stessa e la mantiene se porta benefici e termina quando nessuna trasformazione di quel tipo è ulteriormente applicabile.Il maggior vantaggio dell'approccio algoritmico è che trasformazioni di un dato tipo sono sistematicamente applicate alla rete.Algoritmi legati a differenti trasformazioni sono applicati in sequenza.

Sintesi di reti combinatorie a più livelli: Sintesi di reti combinatorie a più livelli: Approcci alla Approcci alla ottimizzazione multi-livelloottimizzazione multi-livello


Problema: differenti sequenze possono portare a differenti soluzioni.Soluzione: si usano regole frutto di sperimentazioni. Esempio: per reti combinatorie è consigliato lo Rugged.script.sweep; eliminate -1simplify -m nocompeliminate -1sweep; eliminate 5simplify -m nocompresub -afxresub -a; sweepeliminate -1; sweepfull_semplify -m nocomp

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SweepElimina, nella rete, tutti i vertici con un solo ingresso e quelli relativi a funzioni costanti.

Simplify e Full_simplifySemplificazione due livelli di ogni nodo.

-m nocomp: non calcola l'off-set

EliminateRiduce la lunghezza del percorso I/O. La lunghezza è calcolata in numero di nodi attraversati .Riduzione vincolata (opzione Val_Intero) - es. eliminate 5

L'eliminazione di un vertice è accettata se incrementa l'area di una quantità inferiore a Val_Intero dove l’incremento di area è calcolato come n*l -n -l dovel è numero di letterali del nodo eliminato mentre n è il numero di nodi che lo assorbono

Riduzione non vincolatatutti i nodi vengono collassati in un solo nodo: rete a due livelli.

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Esempio di eliminate 2:

Eliminate -1

d=a+b+c

x=de+ef

y=df+de

x=(a+b+c)e+ef

y=(a+b+c)f+de

Costo: 3 + 4 + 4 = 11 Costo: 6 + 6 = 12

Osservano i dati relativi a n*l-n-l al variare di n e l si può constatare che l’effetto di eliminate -1 è quello di eliminare tutti i nodi composti da un solo letterale.


incremento di costo: 2*3 -2 -3 = 1

1 2 3 4 5 6 71 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -12 -1 0 1 2 3 4 53 -1 1 3 5 7 9 11

l 4 -1 2 5 8 11 14 175 -1 3 7 11 15 19 236 -1 4 9 14 19 24 297 -1 5 11 17 23 29 358 -1 6 13 20 27 34 419 -1 7 15 23 31 39 47

n


Le altre trasformazioni sono più complesse a causa dei gradi di libertà disponibili nella manipolazione di espressioni Booleane.Per semplificare la ricerca di trasformazioni utili, a prezzo della qualità del risultato, si utilizzano delle trasformazioni algebriche (algebra polinomiale) poiché sono un sottoinsieme delle trasformazioni Booleane.Espressioni algebriche:

Derivano dalle espressioni Booleane considerando i cubi (prodotti di letterali) come monomi.Letterali con diversa polarità sono da considerarsi variabili differenti (ad esempio, a è differente da a’).

Trasformazioni Algebriche:Manipolazione delle espressioni mediante regole dell'algebra polinomiale



Trasformazioni che utilizzano la manipolazione algebrica delle espressioni:SUBSTITUTION

sostituisce una sotto-espressione di un nodo mediante una variabile (nodo) già presente nella rete.

EXTRACTIONestrae un cubo (o una espressione multi_cubo) da un gruppo di nodi.

DECOMPOSITIONdecompone un nodo estraendo da quest’ultimo un gruppo di nodi.



SubstitutionSostituzione di una sotto-espressione mediante una variabile (nodo) già presente nella rete. Ogni sostituzione è accettata se produce guadagno nel numero di letterali.

Fa uso della divisione algebrica; si cerca di ridurre fi usando fj

fi=fdivisore fquoziente + fresto

fj=fdivisorefi=fj fquoziente + fresto

fj=fdivisore



ExtractionSi estrae un cubo (o una espressione multi_cubo) da gruppi di nodi. L'estrazione viene fatta fino a che è possibile.

Identificazione di divisori comuni a 2 o più espressioni. Un divisore può essere estratto e costituisce un nuovo nodo della rete che ha per successori i nodi da cui proviene.

Vincoli:n: ogni n iterazioni vengono ricalcolate tutte le possibili parti condivisibilik: dimensione massima del multi_cubo.



Esempio:

fi=fdivisore fquoziente_i + fresto_i

fj=fdivisore fquoziente_i + fresto_j

fi=fk fquoziente_i + fresto_i

fj=fk fquoziente_i + fresto_j

fk=fdivisore



DecompositionDue obiettivi:

Ridurre le dimensioni di una espressione a quelle accettabili da un generatore di celleEspressioni più piccole (possono essere più probabilmente divisori e quindi usabili da Substitute)

La decomposizione associa una nuova variabile al divisore e riduce la funzione originale. La decomposizione può essere applicata ricorsivamente al divisore, quoziente e resto.



Esempio:

fi=fd (fdq fqq + frq) + (fdr fqr+ frr)

fj=fq

fi=fj (fk fqq+frq) + fl fqr + frrfl=fdr

fk=fdq



Punto fondamentale:

Divisione AlgebricaDefinizione:

una funzione fdivisore è un divisore algebrico di fdividendo quando fdividendo=fdivisore*fquoziente+fresto con fdivisore*fquoziente 0 e il supporto di fdivisore è disgiunto dal supporto di fquoziente (non condividono le stesse variabili).

Supporti disgiuntil'espressione ottenuta dal prodotto delle due espressioni a supporto disgiunto è una espressione somma di prodotti booleana non ridondante.

Esempio: (a + b) (a + c) = aa + ac + ba + bc espressione booleana non nella forma minima poiché aa = a. Si noti che {a,b}{a,c} = {a}.



Esempio: siano dati un dividendo ed un divisore.

fresto = cde+bd+ef

fdividendo= ac+ab+cde+bd+ef fdivisore=c+b

A={ac,ab,cde,bd, ef} B={c,b}

divisione per c: Ac={a,de} divisione per b: Ab={a,d}

Q= Ac Ab={a} poiché i monomi sono elementi atomici

R= A - Q x B = A - {a} x {c,b} = {ac,ab,cde,bd,ef} - {ac, ab}= {cde,bd,ef}



SubstitutionData una espressione fi si vuole ridurne le dimensioni usando una variabile j definita dalla equazione j=fj: fi= j fquoziente+fresto

La ricerca dei sostitutori algebrici è fatta considerando tutte le coppie di espressioni presenti nella rete.La ricerca è ridotta considerando:

Filtri (condizioni di ammissibilità della divisione algebrica). La divisione algebrica fi/ fj è vuota se:

fj contiene variabili non presenti in fi

fj contiene più termini di fi

fj contiene almeno un monomio che ha più termini di ogni altro contenuto in fi

Teorema: Il quoziente di una divisione algebrica tra due espressioni è vuoto se esiste un percorso che le collega.



ExtractionEstrazione di una sotto_espressione divisore comune di due o più espressioni.Estrazioni:

Di un singolo cubo: monomioDi una espressione multi_cubo: polinomio

Importante: se il risultato della divisione per un monomio è ancora un monomio, il raccoglimento è banale (da scartare).

Esempio: espressione: ace + bcedivisore a: quoziente ce. Da scartare divisore b: quoziente be. Da scartaredivisore c: quoziente ae+be. E’ ulteriormente fattorizzabile da e. divisore ce: quoziente a+b. E’ divisore!!



Esempio (fattorizzazione monomica):

1) ae + be + cde 2) ad + ae + bd + be + bg

a: {d, e}b: {d, e, g}c: Ød: {a, b}e: {a ,b}1: {ad, ae, bd, be, bg}

a: {e}b: {e}c: {de}e: {a, b, cd}1: fattorizzabile per e

{a, b} {a, b}

k=a+bf1=ke+cdef2=ke+ad+bd+bg

k=a+bf1=ke+cdef2=kd+ae+be+bg

banali

Divisore Quoziente


Divisore Quoziente


Estrazione di un cubo.Il metodo precedentemente sviluppato porta ad ottenere un sotto insieme delle soluzioni ammissibili (che può essere anche vuoto).

Esempio:

Poiché le funzioni da cui estrarre il cubo sono analizzate separatamente, non vengono considerate soluzioni che rappresentano dei raccoglimenti banali.Alcune delle soluzioni ammissibili possono essere escluse.

f=a’b+bc+abc’ ; g=ab’+a’bc+bcd

b: {a’, c, ac’} b: {a’c, cd} ; bc: {a’, d}

NON c’è soluzione comune (non banale - es.: a’)

bc potrebbe essere estratto da f e da g. . . . .




Estrazione di un cubo.Ogni coppia di funzioni fi e fk è raggruppata sotto una unica funzione ausiliaria fi+fk di cui si calcolano i divisori.Il cubo che può essere estratto è il divisore di dimensione massima che ha intersezione non nulla con le due funzioni di partenza.

Esempio:Divisori:{b, ce}

faux= ace + bce + bg + cde + h

b : appartiene solo a f1. E' da scartarece: compare sia in f1 che in f2. Va bene!

f1=k(a+b) + bg

f2=kd + hK=ce

f1= ace + bce + bg

f2=cde + h


Esempio:

f=a’b+bc+abc’ ; g=ab’+a’bc+bcd

faux=a’b+bc+abc’+ab’+a’bc+bcd

a: {bc’, b’}b: {a’, c, ac’, cd}c: {b, a’b, bd} cb: {1, a’, d}a’: {b, bc’} a’b: {1,c}

q=cbf=a’b+q+abc’g=ab’+q(a’+d)

a, b, cb, a’b sono divisoricomuni alle due funzioni.



Estrazione di un multi_cubo.Si cerca l'intersezione tra due elementi dell'insieme dei quozienti delle funzioni.

Esempio:

f1=ace + bce + de + g ; Quozienti(f1)={(ace+bce+de+g), (ac+bc+d), (a+b)}f2=ad + ae + bd + be + bg ; Quozienti(f2)={(ad+ae+bd+be+bg), (d+e), (d+e+g), (a+b)}

Quozienti(f1)={{xace,xbce,xde,xg}, {xac,xbc,xd}, {xa,xb}}Quozienti(f2)={{xad,xae,xbd,xbe,xbg}, {xd,xe}, {xd,xe,xg}, {xa,xb}}

Trasformazione in nuove variabili

faux=xace xbce xde xg+xac xbc xd+xa xb+xad xae xbd xbe xbg+xd xe+xd xe xg

Divisori:{xd,xe,xa xb,xd xe} si sceglie a+b poiché d+e non è in f1




Comando:print_kernel [-as] node-list

Funzione:Stampa i divisori ed i rispettivi quozienti di tutti i nodi specificati nella node-list.

Parametri:-a: (default) stampa tutti i divisori ed i rispettivi quozienti.-s: stampa solamente i sotto-quozienti.



Comando:gcx [-bcdf] [-t threshold]

Funzione:Estrae da una rete i cubi comuni e ri-descrive la rete stessa in termini di questi cubi puntando alla riduzione del costo.

Parametri:-b: estrae, ad ogni passo, il miglior cubo che può essere estratto-c: estrae il cubo o il suo complemento durante la fase di estrazione.-f: il numero dei letterali è valutato sulle forme fattorizzate invece che sulla somma-di-prodotti.-t: i cubi utilizzati per la ristrutturazione della rete sono quelli con costo superiore alla soglia. -d: opzione di debbuging.



Esempio di applicazione di gcx (X2.eqn) (costo finale: lit(sop)=70 lits(fac)=69)

INORDER = a b c d e f g h i j;OUTORDER = k l m n o p q;k = j + !i + !h;l = !j*!m + !h*!m + i;m = !h*!i*!j;n = y + m + j + h + c;o = i*j + !h + !g;p = c*o*!y*z + f*j*!z + d*!e*!k + !i*!j + !g;q = h*o*!p*!y + d*!k*!p + p*!z + !l + !g;y = b + a;z = !i + h;lits(SOP)=90 lits(FAC)=75

sis> gcx -dCube_extract: cube literal matrix is 35 by 17 col7 by 2 value=5 literals 854 by 3 value=5 literals 804 by 2 value=2 literals 783 by 3 value=3 literals 753 by 2 value=1 literals 744 by 2 value=2 literals 722 by 2 value=1 literals 712 by 3 value=1 literals 70

INORDER = a b c d e f g h i j;OUTORDER = k l m n o p q;k = !i*!j + f1 + e1 + d1 + b1;l = g1 + f1 + d1 + b1;m = c1;n = g1 + e1 + d1 + c1 + b1 + c + b + a;o = f1 + d1 + c1 + b1 + !g;p = h*b1*i1 + !h*!i*i1 + d*!e*g1 + !i*!j + h1 + !g;q = !a*!b*!c*h*j + d*e*i*g1 + h1 + e1 + c1 + !g;b1 = i*j;c1 = !h*!i*!j;d1 = !h*j;e1 = h*!i*j;f1 = !h*i;g1 = h*!j;h1 = f*!h*b1;i1 = !a*!b*c;lits(SOP)=70 lits(FAC)=69



Comando:gkx [-1abcdfo] [-t threshold]

Funzione:Estrae da una rete i multi_cubo divisori comuni e ri-descrive la rete stessa in termini di questi cubi puntando alla riduzione del costo.

Parametri:-a: genera tutti i divisori per tutte le funzioni presenti nella rete. Per default, utilizza solamente i divisori di livello 0. -b: seleziona, ad ogni passo dell’algoritmo, il miglior divisore multi_cubo. -c: prova ad utilizzare sia il nuovo fattore che il suo complemento.-d: opzione di debugging.-f: il numero dei letterali è valutato sulle forme fattorizzate.-o: consente la sovrapposizione di fattori.-t: i divisori sono estratti solo se il loro valore supera la soglia. Per default la soglia è 0 cosicché tutti i possibili multi_cubo sono estratti dalla rete.-1: l’algoritmo attraversa la rete una sola volta. Per default l’estrazione dei quozienti è iterata fino a che ci sono divisori il cui valore supera la soglia.



Esempio di applicazione di gkx (X2.eqn) (costo finale: lit(sop)=67 lits(fac)=64)



Comando:fx [-o] [-b limit] [-z]

Funzione:Dopo avere trovato tutti i miglior divisori di ogni nodo composti da un cubo (monimiali) e da un un doppio cubo (binomiali), associa un costo ad ogni nodo ed estrae, iterativamente, il nodo con la miglior funzione di costo. (algoritmo tipo Greedy)

Parametri:-o: divisori binomiali di solo livello 0.-b: limite superiore di divisori generati (default: 50000).-z: utilizza anche i divisori di peso zero; sono estratti tutti i divisori che non danno una perdita di costo nella decomposizione della rete. La decomposizione potrebbe essere migliore ma richiede un ampio sforzo computazionale.



Esempio di applicazione di fx (X2.eqn) (costo finale: lit(sop)=55 lits(fac)=54)



Esempio di applicazione di fx -z (X2.eqn)


DecomposeObiettivi:

1) Ridurre le dimensioni delle espressioni a quelle accettabili da un generatore di celle

2) Espressioni più piccole sono probabilmente dei divisori ed utilizzabili da Substitute.

k=a'+b t=kc+d q=te+g

q=a'ce+bce+de+g




Comando:decomp [-gqd] [node-list]

Funzione:Decompone tutti i nodi della lista; se la lista non è specificata tutti i nodi della rete saranno decomposti. decomp fattorizza i nodi e introduce nella rete i divisori come nuovi nodi.

Parametri:-g: estrae in successione i divisori migliori (good).-q: decomposizione rapida (quick); estrae di un divisore arbitrario.-d: decomposizione disgiunta; i divisori estratti non condividono variabili.

Algoritmo: partiziona i cubi in insiemi che hanno variabili di supporto non condivise, crea un nodo per ogni partizione ed un nodo che è l’OR di queste partizioni (es: k=h’j+i’+hj’ k=[1]+[2]; [1]=h’j+hj’; [2]=i’)



Esempio di applicazione di decomp (X2.eqn)


Modello:Rete logica costituita da vertici a cui è associata una funzione booleana locale ed un DC-set locale

Problema:

Valutazione del DC-set

Sintesi di reti combinatorie a più livelli: Sintesi di reti combinatorie a più livelli: Valutazione Valutazione deldelDC-set localeDC-set locale


Condizioni di Indifferenza Esterne: sono relative all’interazione della funzione booleana con l’ambiente.Due aspetti:

ControllabilitàCondizioni di indifferenza di ingresso (CDCin)

– Insieme di configurazioni di ingresso mai fornite alla rete

OsservabilitàCondizioni di indifferenza di uscita (ODCout)

– Insieme delle configurazioni di configurazioni di ingresso che produco uscite non osservabili dall’ambiente.

– E’ un vettore che ha tante componenti quante sono le uscite primarie (nout)



Condizioni di indifferenza esterne

DCext= CDCin ODCout

CDCin e’ un vettore di nout componenti pari a CDCin

Esempio:

x1

x2

ab

c

y1

y2

retecombinatoria

o1

o2

DCext=CDCin+ODCout=

CDCin: x1 x2 non assume mai la configurazione 01 CDCin= x1’x2

ODCout: per x1=0, y1 non è osservabile ODCout= per x2=0, y2 non è osservabile

x

x

1

2

'

'

x x x

x x x

1 2 1

1 2 2

' '

' '



Esempio: calcolo del CDC di un nodo

x y

a

bc

x=a’+b ; y=abx + a’cx le variabili di supporto di ysono a, b, c, x.

0 0 0 00 0 1 01 1 1 00 0 0 0

00011101

cx ab

y può essere ulteriormente semplificata osservando che:

non è possibile che x a’+b (x non è una variabile indipendente)

quindi CDC= x(a’+b) = x’a’ + x’b + xab’- - - 00 0 1 -1 1 1-

-- - 0

00011101

cxab

00 01 11 01

y=ax + cx

Sintesi di reti combinatorie a più livelli: Sintesi di reti combinatorie a più livelli: Valutazione Valutazione deldelDC-set locale: CDCDC-set locale: CDC


Sintesi di reti combinatorie a più livelli: Sintesi di reti combinatorie a più livelli: Trasformazioni e algoritmi per la semplificazioneTrasformazioni e algoritmi per la semplificazione

Comando:simplify [-d] [-m method] [-f filter] [node-list]

Funzione:semplifica ogni nodo della rete utilizzando il metodo specificato e generando l’opportuno DC-set. Il nodo è sostituito con la nuova funzione se quest’ultima ha meno letterali (nella forma fattorizzata)

Parametri:-m method: specifica il metodo da utilizzare nella minimizzazione

snocomp (default): non calcola l’OFF-set completo;nocomp: utilizza ESPRESSO; non calcola l’OFF-set completo;dcsimp: minimizzatore tautology-based;dctype: specifica come il DC-set è generato;

-d: il DC-set non è utilizzato;-f filter: specifica come il DC-set è filtrato

exact: filtro esatto;disjsup: usa il filtro basato sui supporti disgiunti;



Esempio:INORDER = a b c;OUTORDER = y;x=!a+b;y=a*b*x + !a*c*x;



Esempio:

.model CM82

.inputs a b c d e

.outputs f g h

.names a s f01 110 1.names o r g11 100 1.names o d e h01- 10-1 1-11 1.names a b c o00- 10-0 1-00 1.names d e r01 110 1.names b c s01 110 1.end

.model CM82

.inputs a b c d e

.outputs f g h

.names a s f01 110 1.names o r g11 100 1.names o d e h01- 10-1 1-11 1.names a b c o00- 10-0 1-00 1.names d e r01 110 1.names b c s01 110 1.end



Comando:full_simplify [-d] [-o ordering] [-m method] [-l] [-v verbose ]

Funzione:semplifica ogni nodo della rete utilizzando i DC locali.

Parametri:-m method: specifica il metodo da utilizzare nella minimizzazione

snocomp (default): non calcola l’OFF-set completo;nocomp: utilizza ESPRESSO; non calcola l’OFF-set completo;dcsimp: minimizzatore tautology-based;

-d: l’ODC-set non è calcolato;-o ordering: ordinamento dei nodi della rete

0 (default): i nodi sono ordinati in base alla profondità;1: utilizza il livello del nodo;

-v: informazioni per il debugging.


Sintesi di reti combinatorie a più livelli: Sintesi di reti combinatorie a più livelli: scriptscript

Script.algebraicsweepeliminate 5simplify -m nocomp -dresub -a

gkx -abt 30resub -a;sweepgcx -bt 30resub -a; sweep

gkx -abt 10resub -a;sweepgcx -bt 10resub -a;sweep

gkx -abresub -a; sweepgcx -bresub -a; sweep

eliminate 0decomp -g *

Script.boolean sweep; eliminate -1simplifyeliminate -1sweep; eliminate 5simplifyresub -agkx -abt 30resub -a; sweepgcx -bt 30resub -a; sweepgkx -abt 10resub -a; sweepgcx -bt 10resub -a; sweepgkx -abresub -a; sweepgcx -bresub -a; sweepeliminate 0decomp -g *eliminate -1; sweep

Script.rugged sweep; eliminate -1simplify -m nocompeliminate -1

sweep; eliminate 5simplify -m nocompresub -a

fxresub -a; sweep

eliminate -1; sweepfull_simplify -m nocomp

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