Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01

11/1

Universität Stuttgart W

isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik

Institut für Kernenergetikund Energiesysteme

Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01 Teil 3 : V11 Wellengl.

V11 Wellengleichung

Teil 3: Numerische Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen

V11: Wellengleichung als Beispiel der Diskretisierung einer hyperbolischen Gleichungen

Inhalt: Wellengleichung und ihre Charakteristiken Numerik der linearen Transportgleichung Numerik der Wellengleichung

Experiment: Schwingende Saite

11/2


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Das sollten Sie heute lernen

Was ist eine hyperbolische Differentialgleichung ? Wie kann man sie diskretisieren Was ist dabei zu beachten Wie lauted die lineare Transportgleichung Wie findet man stabile ‚Diskretisierungen Übertragung der Ergebnisse auf Wellengleichung Hyperbolische Dglen als Systeme von Dglen 1. Ordnung

11/3


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Klassifizierung partieller Differentialgleichungen

Merkmal Elliptisch Parabolisch Hyperbolisch

Physik

Anwendung

Stationäre Probleme(WL, Diffusion,Potentiale)

Transient

(WL, Diffusion)

Raum-Zeit

Erhaltungsgleichungen,Wellengleichung, Systeme

Mathematik

Randwerte

Lösungsverhalten

Klassifizierung

Charakteristiken

2 Randwerte/Variable

Lösung als Funktion(analytisch)

B*B – 4AC < 0

O

1 Anfangswert2 Randwerte

Lösung als Tabelle

B*B – 4AC = 0

1

2 Anfangswerte2 Randwerte

Lösung als Programm

B*B – 4AC > 0

2

Numerik

Differenzenverfahren

Systemmatrix

Konsistent + konvergent

Positive definite

Konvergent wenn

konsistent + stabil

Konvergent wenn konsistent,stabil und phys. Existenz

11/4


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Aufbau

Das Verständnis der Numerik hyperbolischer Gleichungen erfolgt in 4 Schritten:

1. Wiederholen, was wir über hyperbolische Gleichung wissen,

2. Voruntersuchung an einfacher Form,

lineare Transportgleichung oder einfache Erhaltungsgleichung.

Hieran zeigen wir Konsistenz und Stabilität

3. Erweiterung auf Wellengleichung

Hieran zeigen wir Stabilitätsuntersuchung numerisch

4. Anwendung auf Strömungsgleichungen und Systeme

11/5


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Wellengleichung als Beispiel einer hyperbolischen Dgl

Die Wellengleichung kann durch eine einfache Substitution in ein System von Gleichungen überführt werden.

Wir heißen dies das System der charakteristischen Gleichungen.

1001

folgt./und/Für

cAwoux

Aut

vw

u

mitx

ct

w

x

wc

t

xycwty

2

22

2

2

xc

t

11/6


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Lösungseigenschaften der Transportgleichung

Hat der Vektor {u} nur eine Komponente u und gilt [A] {u} = f (u), so erhält man die allgemeine Form der Erhaltungsgleichung:

Für f (u) = c u erhält man die lineare Transportgleichung

Für Ihre Lösungen gilt

Das heißt, längs x + c t = const breitet sich der Anteil u an der Lösung (mit allen eventuell aufgeprägten Störungen) unverändert aus.

Dies hat schwerwiegende numerische Konsequenzen.

Die Gerade heißt Charakteristik. constxc

t 1

)(ufx

uAx

ut

ux

cut

)0,()(),( tcxutcxgtxu

11/7


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Charakteristiken der Wellengleichung

Die Wellengleichung hat zwei Charakteristiken mit den Steigungen Sie lassen sich anschaulich interpretieren:

a) Längs der Charakteristiken bleiben die Lösungswerte unverändert erhalten. b) Störungen breiten sich längs Charakteristiken unvermindert aus.c) Charakteristiken begrenzen den Raum in dem physikalisch Information zugänglich ist. Dem dürfen Diskretisierungen nicht widersprechen.

x

Todbereich

t

Abhängigkeitsbereich

TodbereichP (x1, t1)

x

c

1

11/8


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Charakteristiken der 3 Typen von Dglen

11/9


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Numerik der linearen Transportgleichung

Gleichung

Charakteristik

Diskretisierung: 3 Möglichkeiten für erste Ableitungen

(vorwärts, rückwärts, zentral)

Daraus ergeben sich 9 Diskretisierungsmöglichkeiten

Konsistenz: Orts- und Zeitdiskretisierung müssen am gleichen Punkt im Phasenraum erfolgen

Stabilität: Diskretisierung darf nicht im Widerspruch zur Physik stehen. D.h. der berechnete Wert muß im Abhängigskeitbereich der Ausgangswerte liegen.

xc

t

x

tckund

c

xt

11/10


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Diskretisierungsmöglichkeiten -1

Orts-Punkte

i-1 i i+1

ZeitDiskrete Werte

Bezeichnung

Rechen Punkt Stab. Bed. für > 0

Stab. Bed. für

< 0

xxx

x

xx

1

1

n

n

n

vorwärts

explizit

)1,( ni

stabilbed.instabil

rechts

xxx

x

xx

1

1

n

n

n

rückwärts

explizit -

)1,( ni instabil stabilbed.

xxx

xx

1

1

n

n

n

zentral

explizit-

)1,( ni

Laxwenn

stabilbed

)(2/1

. stabilbed.

xxx

xx

x

1

1

n

n

n

vorwärts

implizit

)1,1(

)1,(

ni

ni

instabil

stabil

stabilbed

instabil

.

xxx

xx

x

X

1

1

n

n

n

rückwärts

implizit

)1,1(

)1,(

ni

ni

stabilbed

instabil

. stabilbed

instabil

.

11/11


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Diskretisierungsmöglichkeiten -2

B e r e c h n u n g s p u n k tP u n k t e

A n s a t z p u n k t

B e z e i c h n u n g

D i s k r e t e W e r t e

B e z e i c h n u n g

R e c h e nP u n k t

S t a b . B e d . f ü r > 0

S t a b . B e d . f ü r < 0

xxx

xx

x

1

1

n

n

n

zentral

impl .

)1,1(

)1,1(

ni

ni

instabil

stabilbed .

xx

x

xx

1

1

n

n

n

vorwärts

zentral -

)1,( ni

stabilbed .

stabilbed .

xx

x

xx

1

1

n

n

n

rückwärts

zentral -

)1,( ni

instabil

stabilbed .

xx

xx

1

1

n

n

n

..exp

.

impll

gem

)1,( ni stabilbed . stabilbed .

instabil

stabilbed.

11/12


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Wellengleichung als Beispiel einer hyperbolischen Dgl

Die Wellengleichung kann durch eine einfache Substitution in ein System von Gleichungen überführt werden.

Wir heißen dies das System der charakteristischen Gleichungen.

1001

folgt./und/Für

cAwoux

Aut

vw

u

mitx

ct

w

x

wc

t

xycwty

2

22

2

2

xc

t

11/13


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Diskretisierungen der Wellengleichung -1 (Euler)

Euler Zentral

Euler Vorwärts

Euler Rückwärts

1

11

11

11

11

2

21

nj

nj

nj

nj

nj

nj

jjj

VVVWWWW

WWVVV nj

11

11

11

nj

nj

nj

nj

jjnj

nj

VVVWW

WWVVV

1

111

11

nj

nj

nj

nj

jjnj

nj

VVVWW

WWVVV

11/14


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Diskretisierungen der Wellengleichung -2 (Weitere Verfahren)

Lax

Leap-Frog

zentralVVV

WWW

lizitWWV

VVV

jjjjnj

jjjjnj

11111

11111

22

1

exp22

1

11

11

1111

jjnj

nj

jjnj

nj

VVVWW

WWVVV

11/15


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Diskretisierungen der Wellengleichung -3 (Weitere Verfahren)

Mac Cormac als Beispiel eines

Predictor - Corrector-Verfahrens

Predictorschritt explizit

Correctorschritt implizit aber unter Verwendung der Schätzwerte

1~1~ nj

Wundnj

V

11

11

11 ~~2

~

2

1

nj

nj

nj

nj

nj WWVVVV

11/16


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Diese Fragen sollten Sie beantworten können

Diskretisierungsmöglichkeiten der Transportgleichung Eigenschaften hyperbolischer Gleichungen Diskretisierung der Wellengleichung Stabile Verfahren zur Lösung hyperbolischer Dglen Voraussetzungen für Stabilität

11/17


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Schwingende Saite mit dem FD-Verfahren

Die Wellengleichung in einfachster Form lautet: . Wir überführen die DGL. 2.Ordnung in 2 DGLn. der 1.Ordnung mit . Die Integrabilitätsbedingung

und die Differentialgleichung müssen gelten. Mit der Diskretisierung: t-Ableitung (Vorwärtsdifferenz, Index n oben) und der x-Ableitung (Zentraldifferenz, Index i unten) ergibt nach Euler mit

und . :

Dieses Verfahren ist für jedes r instabil. Wenn jedoch die Mittelwerte aus den Nachbarpunkten verwendet werden,

ergeben sich

Das Lax-Verfahren ist stabil für . Jetzt muß noch u aus w berechnet werden.

2

2

2

2u

tu

x

u w vx t , uu u w vxt tx t x u u w vtt xx x t

r tx

w w r v vi

nin

in

in

11 12 v v r w wi

nin

in

in

11 12

vv v

in i

nin

1 1

2

ww w

in i

nin

1 1

2 w w w r v vi

nin

in

in

in

11 1 1 1

12

v v v r w win

in

in

in

in

11 1 1 1

12

u w u x w x dxx

x

00

r 1

u w w w w

u u w w w

ih

i i i i

i ih

i i i

38 3 2 1

2 3 2 1

3 3 3

4Mit der Simpson(3 Stützstellen) und der 3/8 Regel (4 Stützstellen) kann integriert werden. Der erste Punkt u (nicht Rand) muß nachträglich rückwärts berechnet werden.

11/18


isse

nsv

erar

be

itu

ng

un

d N

um

erik



Anfangswerte von u:

a) u(x,0)=sin(x) sinusförmige Auslenkung beim Start

b) (aus der Ruhe heraus, losgelassen)

Randwert von u:

u(0,t)=u(1,t)=0 (Einspannung an den Enden, Länge normiert [0,1])

Exakte Lösung: u(x,t)=sin( x) cos( x)

aus a) w(x,0)= cos(x)

aus b) v(x,0)=0

aus Randwert

Es fehlt noch ein Randwert: Symmetrie

symmetrisch

schiefsymmetrisch

also w(-x,t) = w(x,t) und w(1+x,t) = w(1-x,t)

bzw. v(-x,t) = -v(x,t) und v(1+x,t) = - v(x,t)

Für die Berechnung der Randpunkte werden nun fiktive Punkte verwendet.

u vt 0

u w vx t , u

u u v t v tt 0 0 0 1 0, ,

w x u x

v x u xx

t

( ) ( )

( ) ( )

-x

x

x

10

ux)

w w w r v v w r v w rvnin n n n

in n

in n

01

1 1 1 1 112

12

2 2

Der Versuch wird durchKlick gestartet

Documents

Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01