LOGIKA

Logika adalah suatu metode atau teknik yang digunakan untuk meneliti

ketepatan penalaran. Ketepatan penalaran adalah kemampuan untuk menarik

konklusi (kesimpulan) yang tepat dari bukti-bukti yang ada. Penalaran adalah

suatu bentuk pemikiran. Secara umum logika dibedakan menjadi logika deduktif

dan logika induktif.

Logika deduktif menelaah tentang bentuk atau pola dari prinsip-prinsip

penarikan kesimpulan yang sah. Logika deduktif juga disebut logika formal,

karena yang dibicarakan hanyalah bentuk dari penarikan kesimpulan yang sah

terlepas dari isi yang dibicarakan.

Sedangkan logika induktif membahas tentang prinsip-prinsip penarikan

kesimpulan yang sah yang bersifat umum berdasarkan hal-hal yang bersifat

khusus. Logika induktif juga disebut logika material karena berusaha menemukan

prinsip penalaran yang tergantung kesesuaiannya dengan kenyataan.

I. Pernyataan

Penyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah tetapi tidak

sekaligus benar dan salah, dan pernyataan itu disebut kalimat tertutup.

contoh :

1. (salah)

2. 3 adalah bilangan prima (benar)

3. 10 habis dibagi 3 (salah)

II. Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang tidak dapat ditentukan nilai

kebenarannya yang memuat variabel (peubah), dan tergantung pada nilai

pengganti variabelnya.

contoh :

1.

Jika x = 10 maka bernilai benar, sedangkan jika maka

bernilai salah.

2. Dia adalah mahasiswa teladan

Kalimat terbuka dia mahasiswa teladan, dia diganti dengan Arnum

menjadi pernyataan Arnum mahasiswa teladan. Jika dia diganti dengan

batu maka menjadi batu mahasiswa teladan, dan itu bukan pernyataan.

Himpunan Penyelesaian Kalimat Terbuka

1. Penyelesaian suatu kalimat terbuka adalah konstanta-konstanta pengganti

variabel yang menyebabkan kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan

yang benar.

2. Himpunan yang memuat semua penyelesaian yang mungkin disebut

himpunan penyelesaian.

III. Lambang-lambang (operator) Proposional

Dalam logika matematika, ada beberapa lambang-lambang (operator)

proposisional yang digunakan didalam pengoperasiannya. Adapun lambang-

lambang tersebut adalah :

No.

Urut

OPERATOR

Arti dalam Bahasa Sehari-hariNama Lambang

1. Negasi ~ tidak, bukan

2. Konjungsi dan, tetapi, meskipun, walaupun

3. Disjungi atau

4. Implikasi → jika … maka …

5. Biimplikasi ↔ jika dan hanya jika … maka …

IV. Nilai dan Tabel Kebenaran

1. NEGASI

Suatu pernyataan adalah pernyataan yang bernilai benar jika

bernilai salah dan bernilai salah jika bernilai benar.

Nilai kebenaran konjungsi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.

B S

S B

contoh :

a. ………………………………….. (S)

…………………………………. (B)

b. Putri memakai baju putih

Putri tidak memakai baju putih

2. KONJUNGSI

Merupakan pernyataan majemuk dengan kata penghubung “dan”. Dua

pernyataan dan yang dinyatakan dalam bentuk disebut konjungsi

dan dibaca dan .

Nilai kebenaran konjungsi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.

B B B

B S S

S B S

S S S

contoh :

a.

B B S S

B S S S

S B B B

S S B S

b. Dana lahir di Madura

Dana Kuliah di Malang

Dana lahir di Madura dan Kuliah di Malang.

3. DISJUNGSI

Merupakan pernyataan majemuk dengan kata penghubung “atau”. Dua

pernyataan dan yang dinyatakan dalam bentuk disebut disjungsi

dan dibaca atau .

Nilai kebenaran disjungsi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.

B B B

B S B

S B B

S S S

contoh :

a.

B B S S S

B S S B B

S B B S B

S S B B B

b. Zahro membeli baju

Zahro membeli tas

Zahro membeli baju atau tas

4. IMPLIKASI

Dua pernyataan dan yang dinyatakan dalam bentuk kalimat “jika

maka ” disebut implikasi / kondisional / pernyataan bersyarat dan

dilambangkan sebagai .

Nilai kebenaran implikasi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.

B B B

B S S

S B B

S S B

contoh :

a.

B B B B

B S S S

S B S B

S S S B

b. Lisa memilih jurusan IPA

nilai rata-rata dibidang studi MIPA sekurang-kurangnya 8

Lisa memilih jurusan IPA maka nilai rata-rata bidang studi

MIPA sekurang-kurangnya 8

5. BIIMPLIKASI

Biimplikasi adalah pernyataan dan , yaitu bernilai benar jika

dan mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Nilai kebenaran biimplikasi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.

B B B

B S S

S B S

S S B

Untuk menentukan kebenaran nilai biimplikasi dapat digunakan table

kebenaran dengan meninjau .

B B B B B B

B S S S B S

S B S B S S

S S B B B B

contoh :

a.

B B B B

B S S S

S B S S

S S S B

b. 3 bilangan prima

3 hanya mempunyai dua faktor pembagi

3 bilangan prima jika dan hanya jika 3 hanya mempunyai dua

faktor pembagi

V. Penarikan Kesimpulan

Penarikan kesimpulan suatu argumen dimulai dari ditentukannya

himpunan pernyataan tunggal yang saling berelasi dan telah diketahui

kebenarannya , kemudian dapat diturunkan suatu pernyataan tunggal atau

pernyataan majemuk.

Himpunan pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang ditentukan

(diketahui) disebut premis. Pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk

yang diturunkan dari premis-premis disebut kesimpulan (konklusi). Kumpulan

satu atau lebih premis yang sudah dibuktikan kebenarannya dan satu konklusi

yang diturunkan dari premis-premisnya disebut argumen.

Suatu argumen dikatakan sah (valid) jika dapat dibuktikan bahwa

argumen itu merupakan suatu tautologi untuk semua nilai kebenaran premis-

premisnya. Metode yang sederhana untuk membuktikan suatu argument sah

(valid) adalah dengan bantuan tabel kebenaran.

Pola penarikan kesimpulan disajikan dengan bentuk.

Premis (1)

Premis (2)

Premis (3)

………… …

Premis (n)

Konklusi

Berberapa pola penarikan kesimpulan yang sah, yaitu :

1. MODUS PONENS

Modus ponens adalah argumentasi yang berbentuk

atau dituliskan :

(suatu pernyataan yang benar)

(suatu pernyataan yang benar)

(suatu pernyataan yang benar)

Dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa modus ponens

merupakan argumentasi yang sah yaitu :

B B B B B

B S S S B

S B B S B

S S B S B

contoh :

Tunjukkan bahwa persamaan kuadrat mempunyai

dua akar real yang sama.

Jika diskriminan persamaan sama dengan

nol, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar real yang sama

Persamaan mempunyai dua akar real

yang sama.

2. MODUS TOLLENS

Modus tollens adalah argumentasi yang berbentuk

atau dituliskan:

(benar)

(benar)

(benar)

Dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa modus tollens

merupakan argumentasi yang sah yaitu :

B B S S B S B

B S S B S S B

S B B S B S B

S S B B B B B

contoh :

Jika sama sisi, maka

bukan segitiga sama sisi

3. SILOGISME

Silogisme adalah argumentasi yang berbentuk

atau dituliskan :

(benar)

(benar)

(benar)

Dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa silogisme merupakan

argumentasi yang sah yaitu :

B B S B S B

B S S B S B

S B B B B B

S S B S S B

contoh :

Jika pada berlaku maka

Jika atau maka adalah sama kaki atau

siku-siku

Jika pada berlaku maka

sama kaki atau siku-siku

VI. Menyelesaikan Soal-soal yang Berkaitan dengan Aljabar dari

Proposisi, Implikasi, dan Biimplikasi

Dalam Logika, kita dapat menyelesaikan pernyataan dalam bentuk aljabar.

Misal :

Tentukan kebenaran x agar kalimat “ adalah bilangan

prima” bernilai :

a. Benar b. Salah

Jawab :

adalah bilangan prima ............................................(B)

Agar kalimat bernilai benar maka harus benar.

Untuk maka bernilai benar, sehingga

bernilai benar.

Untuk maka bernilai salah.

B B B

S B S

SOAL LATIHAN

1. Selidiki apakah penarikan kesimpulan berikut sah!

Jika ia mahasiswa ITB, maka ia pandai.

Ia mahasiswa ITB.

Ia pandai

2. Buatlah tabel kebenaran !

3. Tentukan nilai x agar kalimat bernilai salah!

4. Buatlah tabel kebenaran !

5. Tentukan x agar ” adalah bilangan prima” bernilai benar!

DAFTAR PUSTAKA

1. Noormandiri, B.K. dan Sucipto Endar. 2004. Matematika SMA untuk Kelas X.

Erlangga. Jakarta.

2. Budiono, Drs. 1997. Matematika untuk SMU Kelas 1. Dian Ilmu. Jakarta.

3. Mahfud. 2002. Logika Dasar. Universitas Muhammadiyah Malang. Malang.

MAKALAH

LOGIKA

Di susun oleh :

Kelompok 9

1. Sustrika Perdanawati (09320018)

2. Arnum Saputri (09320021)

3. Zahrotun Thoyyibah (09320024)

Jurusan Matematika dan Komputasi

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Muhammadiyah Malang

2010