Universite Claude Bernard Lyon 1 Licence Sciences et TechnologiesMathematiques

Analyse 1 - Automne 2015Serie d’exercices 3/6Autour des limites

Exercice 1 : un outil utile : les equivalentsDefinition : soit I un intervalle, soit f et g deux fonctions definies au moins sur cet intervalle ; soit aune borne de I (finie ou infinie). On dit que f(x) et g(x) sont equivalents quand x tend vers a lorsquef(x)/g(x) → 1 quand x → a. On ecrit alors “f(x) ∼ g(x) quand x tend vers a”, ou de facon plus concise“f(x) ∼a g(x)” voire “f ∼a g”.1) (Quelques exemples faciles.)a) Montrer :i) x2+x ∼ x2 quand x → +∞ ii) x2+x ∼ x quand x → 0 iii) 5x3+7x+8 ∼ 5x3 quand x → −∞

iv)√x+

√x+ 1 ∼ 2

√x quand x → +∞.

b) Inventer un equivalent tres simple de 5x3 + 7x+ 8 quand x → 0.2) (Un peu de theorie, mais rien de bien mechant.)On suppose f1 ∼a f2 et g1 ∼a g2. Montrer que :a) Si lima f2 = l (limite finie ou infinie) on a aussi lima f1 = l ;b) f1g1 ∼a f2g2 c) f1/g1 ∼a f2/g2 d)

√f1 ∼a

√f2

3) (Un tellement utile qu’il merite d’etre memorise.)Montrer que sinx ∼0 x.(Ce sera bien difficile sans indication... Peut-etre trouverez vous si on vous suggere de demarrer en faisantla remarque suivante : pour tout x reel non nul,

sinx

x=

sinx− sin 0

x− 0.)

4) (Une application du precedent.)

Montrer que 1− cosx ∼0x2

2.

(Indication la encore : on pourra remarquer que cosx = cos[2(x

2

)

].)

5) (Quelques mises en garde contre des pieges classiques.)a) A-t-on sinx ∼+∞ x ?(Moralite : la formule “bien connue” sinx ∼ x est a memoriser sans oublier le “quand x → 0”).

b) A-t-on sinx ∼0 x+x2

2? A-t-on sinx ∼0 x−

x2

3?

(Moralite : quand on ecrit un equivalent “complique” c’est peut-etre juste, mais ce n’est jamais intelligent.Il vaut mieux s’en dispenser).

c) A-t-on 1 ∼0 1 +x2

5? A-t-on − cosx ∼0 −1 +

x2

5? Obtient-on un resultat juste si on additionne ces deux

informations ?(Moralite : on commence par repeter celle du b), et on ajoute qu’il est strictement defendu d’additionner -ousoustraire- des equivalents).d) A-t-on x+ 1 ∼ x quand x → +∞ ? A-t-on ex+1 ∼ ex quand x → +∞ ?

Exercice 2 : limites de fonctions polynomiales et de fonctions rationnellesCalculer, lorsqu’elles existent, les limites suivantes :

1) limx→+∞

x5 + x3 + 4 2) limx→+∞

x5 − x3 + 4 3) limx→+∞

2x3 + 16

x3 − 84) lim

x→2+

2x3 + 16

x3 − 8

5) limx→+∞

x3 − 1

x2 − 16) lim

x→1−

x3 − 1

x2 − 17) lim

x→1+

(

1

1− x−

1

1− x2

)

.

Exercice 3 : limites utilisant les comparaisons exp/puissances/logCalculer, lorsqu’elles existent, les limites suivantes :

1) limx→+∞

ex + x+ lnx 2) limx→0+

ex√x

3) limx→+∞

ex√x

4) limx→+∞

lnx

ex5) lim

x→+∞

ex − x+ lnx 6) limx→0+

√x ln3 x.

Exercice 4 : limites avec de la trigonometrie dedansCalculer, lorsqu’elles existent, les limites suivantes :

1) limx→0

tanx

x2) lim

x→0

sin(2x)

sin(3x)3) lim

x→0+

sin(2x)√x

4) limx→1/2

cos(πx)

1− 2x5) lim

x→1/2(2x2 + x− 1) tan(πx).

Exercice 5 : quelques exemples en vrac, dont certains demandent un peu d’ingeniosite

1) limx→+∞

√

x2 + 2x+ 5 + x 2) limx→−∞

√

x2 + 2x+ 5 + x 3) limx→+∞

ln(x + 1)

lnx4) lim

x→0

ln(sin(3x))

ln(sin(2x)).

Exercice 6 : la methode des “gendarmes”

1) Montrer quecos(ex)

x2tend vers 0 quand x tend vers +∞.

2) Montrer que E(x) ∼ x quand x → +∞ (la notation E designe la fonction partie entiere).3) Si elle existe, determiner la limite de

√x− ln5 x+ sin3 x quand x tend vers +∞.

4) Si elle existe, determiner la limite de tE(1/t) quand t tend vers 0.

5) Si elle existe, determiner la limite deu2 sin(1/u)

sinuquand u tend vers 0.

Exercice 7 : une limite qui n’existe pas !1) On va montrer par l’absurde que lim

x→+∞

sinx n’existe pas. Pour ce faire, on suppose qu’elle existe et on la

note l. En introduisant les suites (an) et (bn) respectivement definies par an = sin(2nπ) et bn = sin(2nπ+π

2),

montrer que l = 0 et l = 1 et conclure a une contradiction.2) En s’inspirant de la preuve du 1), montrer le resultat suivant : si une fonction de R vers R est periodiqueet admet une limite en +∞, alors elle est constante.

Exercice 8 : quelques “defis” en fin de feuille1) Montrer que si f(x) → +∞ quand x → +∞ et f ∼+∞ g, alors ln(f(x)) ∼+∞ ln(g(x)).

2) Donner un equivalent raisonnablement simple de e(x+ln x

x+ 3

x)2 quand x tend vers +∞.

3) Montrer que 3√1 + h−1 ∼

h

3quand h tend vers 0. En deduire un equivalent simple de 3

√x3 + x−x quand

x tend vers +∞.4) Trouver un equivalent simple quand x tend vers +∞ de :

√

x−

√

x−√x−

√

x−√x.