Kef�laio 7Kampulìthta Gauss kai ApeikìnishGaussJa eis�goume t¸ra dÔo nèa mètra th kampulìthta m�a epif�neia , pou kaloÔntai kampulìthtaGauss 1 kai mèsh kampulìthta. An kai autè oi dÔo maz� emperièqoun ti �die plhrofor�e me autè twn dÔo prwtarqik¸n kampulot twn, prokÔptei ìti èqoun megalÔterh gewmetrik  shmas�a. H kam-pulìthta Gauss eidikìtera, èqei thn axioshme�wth idiìthta, pou ja tekmhriwje� sto Kef�laio 10, ìtiparamènei anallo�wth ìtan h epif�neia k�mptetai qwr� na tent¸netai, m�a idiìthta pou den thn èqounoi prwtarqikè kampulìthte . Sto parìn kef�laio, suzhtoÔme k�poie perissìtero stoiqei¸dei idiì-thte th kampulìthta Gauss kai th mèsh kampulìthta , kai ìti sunep�getai h gn¸sh aut¸n giathn gewmetr�a th epif�neia .7.1 Kampulìthta Gauss kai Mèsh KampulìthtaXekin�me or�zonta dÔo nèa mètra th kampulìthta m�a epif�neia .Orismì 7.1'Estw κ1 kai κ2 oi prwtarqikè kampulìthte enì tm mato epif�neia . Tìte, h kampulìthtaGauss th epif�neia e�nai h

K = κ1κ2,kai h mèsh kampulìtht� th e�nai hH =

1

2(κ1 + κ2)

2.Shmei¸noume ìti apì thn 'Askhsh 6.17 prokÔptei ìti h kampulìthta Gauss paramènei anallo�wthìtan to tm ma epif�neia anaparametr�zetai, en¸ h mèsh kampulìthta e�te paramènei h �dia   all�zeiprìshmo. 'Epetai ìti h kampulìthta Gauss e�nai kal¸ orismènh gia k�je epif�neia S.1S.t.M. O Johann Carl Friedrich Gauss (1777�1855)  tan mèga Germanì majhmatikì tou opo�ou h suneisfor� tan se p�mpolla episthmonik� ped�a, ìpw h Jewr�a Arijm¸n, h Statistik , h An�lush, h Diaforik  Gewmetr�a,h Gewdaisiak , h Gewfusik , h Astronom�a, h Optik , k�. 'Oso zoÔse, apokalèsthke apì tou sugqrìnou tou “Pr�gkhpa twn Majhmatik¸n” (Princeps Mathematicorum). O �dio jewroÔse ta Majhmatik� w thn “Bas�lissatwn Episthm¸n”. Perissìtere plhrofor�e gia th zw  kai to èrgo tou, mpore�te na bre�te l.q. sthn istosel�dahttp://en.wikipedia.org/wiki/Carl

−Friedrich

−Gauss2K�poioi suggrafe� parale�poun to 1/2 ston orismì th H, an kai autì èrqetai se ant�jesh me to sÔnhje nìhmato “mèsou”. 135

136 KEF�ALAIO 7. KAMPUL�OTHTA GAUSS KAI APEIK�ONISH GAUSSE�nai eÔkolo na p�roume akribe� tÔpou gia ti K kai H:Prìtash 7.1'Estw sv(u, v) èna tm ma epif�neia me pr¸th kai deÔterh jemeli¸dh morf Edu2 + 2Fdudv + Gdv2 kai Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2,ant�stoiqa. Tìte,

(i) K = LN−M2

EG−F 2 ,(ii) H = LG−2MF+NE

2(EG−F 2) kai(iii) oi prwtarqikè kampulìthte e�nai oi H ±

√H2 − K.Apìdeixh 7.1Apì ton Orismì 6.1, oi prwtarqikè kampulìthte e�nai h r�ze th ex�swsh

∣∣∣∣L − κE M − κFM − κF N − κG

∣∣∣∣ = 0,

∴ (L − κE)(N − κG) − (M − κF )2 = 0,

∴ (EG − F )2κ2 − (LG − 2MF + NE)κ + LN − M2 = 0.T¸ra, jumhje�te ìti se m�a tetragwnik  ex�swsh aκ2 +bκ+c = 0, to �jroisma twn riz¸n e�nai −b/2akai to ginìmeno twn riz¸n e�nai c/a. 'Ara,K = κ1κ2 = ginìmeno twn riz¸n =

LN − M2

EG − F 2,

H =1

2(κ1 + κ2) =

1

2(�jroisma twn riz¸n) =

1

2

LG − 2MF + NE

EG − F 2.Apì ton orismì twn K kai H, oi κ1 kai κ2 e�nai oi r�ze th ex�swsh

κ2 − 2Hκ + K = 0,dhlad  H ±√

H2 − K. 2Par�deigma 7.1Gia thn monadia�a sfa�ra, br kame sto Par�deigma 6.3 ìti κ1 = κ2 = 1, �ra K = H = 1. Gia tonkuklikì kÔlindro akt�na 1, br kame sto Par�deigma 6.4 ìti κ1 = 1, κ2 = 0, �ra H = 12 , K = 0.Par�deigma 7.2Sto Par�deigma 6.2 jewr same thn epif�neia ek peristrof  sv(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)),

7.1. KAMPUL�OTHTA GAUSS KAI M�ESH KAMPUL�OTHTA 137ìpou mporoÔme na upojèsoume ìti f > 0 kai f2 + g2 = 1 pantoÔ (h tele�a sumbol�zei thn d/du).Br kame ìtiE = 1, F = 0, G = f2,

L = f g − f g, M = 0, N = f g.Apì thn Prìtash 7.1(i), h kampulìthta Gauss e�naiK =

LN − M2

EG − F 2=

(f g − f g)f g

f2. (7.1)MporoÔme na aplopoi soume autìn ton tÔpo parathr¸nta prokÔptei ìti apì th sqèsh f2 + g2 = 1(paragwg�zonta w pro u) ìti

f f + gg = 0,

(f g − f g)g = −f2f − f g2 = −f(f2 + g2) = −f ,

K = − ff

f2= − f

f.Par�deigma 7.3Gia m�a eujeiogen  epif�neia, p�rte èna tm masv(u, v) = g(u) + vd(u),(bl. Par�deigma 4.12). Sumbol�zonta thn d/du me tele�a, èqoumesvu = g+ vd, svv = d,svuv = d, svvv = 0.'Ara, e�n N = (svu×svv)/‖svu×svv‖ e�nai to tupikì monadia�o di�nusma tou sv, tìte M = svuv ·N = d·Nkai N = 0. Epomènw ,

K =LN − M2

EG − F 2=

−(d · N)2

EG − F 2≤ 0,dhlad , h kampulìthta Gauss m�a eujeiogenoÔ epif�neia e�nai arnhtik    mhdèn, èna apotèlesmapou apodeiknÔetai me diaforetik  mèjodo sthn 'Askhsh 7.8.ASKHSEIS7.1 Upolog�ste thn kampulìthta Gauss kai thn mèsh kampulìthta th epif�neia sv(u, v) = (u + v, u − v, uv)sto shme�o (2, 0, 1).7.2 Upolog�ste thn kampulìthta Gauss th elikoeidoÔ kai th alussoeidoÔ (de�te ti Ask sei 4.14 kai 4.18).

138 KEF�ALAIO 7. KAMPUL�OTHTA GAUSS KAI APEIK�ONISH GAUSS7.3 Upolog�ste thn kampulìthta Gauss th epif�neia z = f(x, y), ìpou h f e�nai le�a sun�rthsh.7.4 Me ton sumbolismì tou Parade�gmato 7.3, de�xte ìti:(i) E�n d e�nai h prwtarqik  k�jeto n th g,   h amfik�jetì th b, tìte K = 0 an kaimìno an h g e�nai ep�pedh (qrhsimopoie�ste thn Prìtash 2.4).(ii) E�n h g e�nai m�a kampÔlh th epif�neia S kai N e�nai to monadia�o k�jeto sthn sv, tìte

K = 0 an kai mìno an h g e�nai gramm  kampulìthta th S (qrhsimopoie�ste thn 'Askhsh6.18).7.5 Estw svh paramètrish tou tìrou sthn 'Askhsh 4.10, kai èstw K h kampulìthta Gauss. De�xteìti ∫∫KdAsv= 0.(H ex ghsh autoÔ tou apotelèsmato ja doje� sthn Par�grafo 11.3.)7.6 De�xte ìti h kampulìthta Gauss kai h mèsh kampulìthta paramènoun anallo�wte apì ti �kam-pte kin sei , kai ìti h diastol 3 (x, y, z) 7→ a(x, y, z), ìpou a e�nai m�a mh mhdenik  stajer�,ti pollaplasia�zei me a−2 kai a−1, ant�stoiqa.7.7 De�xte ìti h kampulìthta Gauss kai h mèsh kampulìthta enì tm mato epif�neia sv: U → R3e�nai le�e sunart sei tou U . De�xte ìti oi prwtarqikè kampulìthte e�nai le�e sunart sei se k�je anoiktì uposÔnolo tou U sto opo�o to svden èqei omfalik� shme�a.7.8 De�xte ìti K ≤ 0 se k�je shme�o m�a asumptwtik  kampÔlh mia epif�neia (qrhsimopoie�-ste to Pìrisma 6.2). Katìpin, d¸ste m�a �llh apìdeixh tou ìti h kampulìthta Gauss m�a eujeiogenoÔ epif�neia e�nai ≤ 0 pantoÔ (qrhsimopoie�ste thn 'Askhsh 6.12).7.9 De�xte ìti, e�n FIII e�nai h tr�th jemeli¸dh morf  enì tm mato epif�neia sv(bl. 'Askhsh6.22), tìte

FIII − 2HFII + KFI = 0,ìpou K kai H e�nai h kampulìthta Gauss kai h mèsh kampulìthta th sv. (Qrhsimopoie�steto gegonì ìti k�je 2×2 p�naka A =

(a cb d

) ikanopoie� thn ex�swsh4 A2 − (a + d)A+

(ad − bc)I = 0.)7.10 Qrhsimopoie�ste thn 'Askhsh 7.9 gia na de�xete ìti, e�n g(t) e�nai m�a kampÔlh se èna tm maepif�neia sv, tìte kat� m ko th g e�nai,N · N + 2HN · g+ Kg · g = 0.(Parathre�ste ìti, e�n g(t) = sv(u(t), v(t)) kai T =

(uv

), tìte N · N = T tFIIIT , klp.)Sumper�nete ìti h strèyh τ m�a asumptwtik  kampÔlh m�a epif�neia kai h kampulìthtaGauss K th epif�neia ikanopoioÔn th sqèsh τ2 = −K. (Qrhsimopoie�ste thn 'Askhsh 6.12.)3S.t.M.Omoiojes�a.4S.t.M. H apìdeixh e�nai aplì upologismì . 'Omw to apotèlesma proèrqetai apì to polÔ genikìtero je¸rhmatwn Caley–Hamilton: k�je tetragwnikì p�naka e�nai r�za tou qarakthristikoÔ tou poluwnÔmou kai sthn per�ptwshtou 2 × 2 p�naka A to qarakthristikì tou polu¸numo e�nai to det(A − λI) = λ2

− (a + d)λ + (ad − bc).

7.2. H YEUD�OSFAIRA 1397.2 H YeudìsfairaE�dame sta parade�gmata th Paragr�fou 7.1 orismène epif�neie mhdenik  kai stajer� jetik  kampulìthta Gauss. 'Omw , gia èna par�deigma epif�neia me stajer  arnhtik  kampulìthta Gauss,prèpei na k�noume m�a nèa kataskeu . Pro thn kateÔjunsh aut , exet�zoume p�li thn epif�neia ekperistrof  sv(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)).Br kame sto Par�deigma 7.2 ìti h kampulìthta Gauss isoÔtai meK = − f

f. (7.2)Upojètoume pr¸ta ìti K = 0 pantoÔ. Tìte h Ex. 7.2 d�nei f = 0, �ra f(u) = au + b gia k�poie stajerè a kai b. Efìson f2 + g2 = 1, pa�rnoume g = ±

√1 − a2 (�ra prèpei na e�nai |a| ≤ 1) kaisunep¸ g(u) = ±

√1 − a2u + c, ìpou c e�nai m�a �llh stajer�. Efarmìzonta m�a metafor� kat�m ko tou �xona z mporoÔme na upojèsoume ìti c = 0, kai efarmìzonta m�a peristrof  gÔrw apì ton�xona x (èstw) mporoÔme na upojèsoume ìti to prìshmo e�nai +. ProkÔpteih eujeiogen  epif�neiasv(u, v) = (b cos v, b sin v, 0) + u(a cos v, a sin v,

√1 − a2).E�n a = 0 pa�rnoume ènan kuklikì kÔlindro; e�n |a| = 1 pa�rnoume to ep�pedo xy; kai e�n 0 < |a| < 1pa�rnoume èna tm ma k¸nou (gia na to de�te autì, jèste u = au + b).Upojètoume t¸ra ìti K = 1 pantoÔ. (K�je epif�neia stajer  jetik  kampulìthta Gaussmpore� na anaqje� sthn per�ptwsh aut  efarmìzonta m�a diastol  tou R3�bl. 'Askhsh 7.6.) Tìte,h Ex. 7.2 g�netai

f + f = 0,h opo�a èqei thn genik  lÔsh5f(u) = a cos(u + b),ìpou a kai b e�nai stajerè . MporoÔme na upojèsoume ìti b = 0 anaparametr�zonta me u = u+ b kai

v = v. Tìte, mèqri pros mou kai prosjetik  stajer� ,g(u) =

∫ √1 − a2 sin2 udu.Autì to olokl rwma den mpore� na upologiste� mèsw “stoiqeiwd¸n” sunart sewn ektì an a = 0  

±1. 6 H per�ptwsh a = 0 den d�nei epif�neia, opìte jewroÔme thn per�ptwsh a = 1 (h per�ptwsha = −1 mpore� na anaqje� sthn prohgoÔmenh, peristrèfonta thn epif�neia gÔrw apì ton �xona z).Tìte, f(u) = cos u, g(u) = sinu kai pa�rnoume thn monadia�a sfa�ra.Upojètoume tèlo ìti K = −1. H genik  lÔsh th Ex. 7.2 e�nai tìte

f(u) = aeu + be−u,5S.t.M. Apì thn jewr�a twn sun jwn d.e., h genik  lÔsh th ex�swsh e�nai migadik : f(u) = a1eiu + a2e

−iu,a1, a2 ∈ C. To pragmatikì kai to fantastikì mèro e�nai ep�sh lÔsei th d.e., kai se genikh morf  d�nontai apì thnf(u) = A1 cos u+A2 sin u, A1, A2 ∈ R. E�nai t¸ra aplì na deiqje� ìti autì mpore� na grafe� kai w f(u) = a cos(u+b),a, b ∈ R.6S.t.M. Oloklhr¸mata tètoia morf  kaloÔntai mh pl rh elleiptik� oloklhr¸mata deutèrou e�dou . Gia peris-sìtere plhrofor�e per� elleiptik¸n oloklhrwm�twn, mpore� kane� na dei lìgou q�rh thn istosel�da

http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic−

integral

140 KEF�ALAIO 7. KAMPUL�OTHTA GAUSS KAI APEIK�ONISH GAUSSìpou oi a kai b e�nai tuqa�e stajerè . Gia ti perissìtere timè twn a kai b den mporoÔme naekfr�soume thn g mèsw stoiqeiwd¸n sunart sewn, jewroÔme loipìn mìno thn per�ptwsh ìpou a = 1kai b = 0. Tìte, f(u) = eu kai mporoÔme na p�roumeg(u) =

∫ √1 − e2udu. (7.3)Shmei¸noume ìti prèpei na èqoume u ≤ 0 oÔtw ¸ste to olokl rwma th Ex. 7.3 na èqei nìhma,eid�llw to 1 − e2u ja  tan arnhtikì.To olokl rwma sthn 7.3 mpore� na upologiste� jètonta v = eu.7 Tìte,

∫ √1 − e2udu. =

∫ √1 − v2

vdv

=

∫ (1

v− v

)dv√

1 − v2

=√

1 − v2 +

∫dv

v√

1 − v2.Jètoume w = u−1 sto teleuta�o olokl rwma. ToÔto d�nei

∫ √1 − e2udu. =

√1 − v2 +

∫dw√

w2 − 1

=√

1 − v2 − cosh−1 w

=√

1 − v2 − cosh−1

(1

v

)

=√

1 − e2u − cosh−1(e−u).'Eqoume parale�yei thn tuqa�a stajer�, all� mporoÔme na thn p�roume �sh me mhdèn, metafèronta kat�llhla thn epif�neia kat� m ko tou �xona z. Tìte,f(u) = eu, g(u) =

√1 − e2u − cosh−1(e−u).Jètonta x = f(u), z = g(u), blèpoume ìti h genèteira kampÔlh tou epip'dou xz èqei ex�swsh

z =√

1 − x2 − cosh−1

(1

x

). (7.4)'Ara peristrèfonta thn kampÔlh aut  gÔrw apì ton �xona z, prokÔptei h epif�neia pou kale�taiyeudìsfaira, th opo�a h kampulìthta Gauss e�nai pantoÔ −1. Shmei¸ste ìti, efìson u ≤ 0, hmetablht  x = eu e�nai periorismènh sto di�sthma 0 < x ≤ 1.H kampÔlh pou or�sthke sthn Ex. 7.4 kale�tai èlkousa,8 kai èqei m�a endiafèrousa gewmetrik idiìthta. Jewre�ste thn efaptomènh euje�a se shme�o P tou graf matì th , kai upojèste ìti tèmneiton �xona z se èna shme�o Q. A upolog�soume thn apìstash PQ.'Estw ìti to P e�nai to shme�o (x0, z0). E�te me apeuje�a upologismì,   epijewr¸nta tonupologismì tou oloklhr¸mato 7.3, br�skoume ìti

dz

dx=

√1 − x2

x.7S.t.M. Prosoq ! To v autì den èqei sqèsh me to v th paramètrish .8S.t.M. O latinikì ìro e�nai tractrix=de�ktria.

7.2. H YEUD�OSFAIRA 141

Sq ma 7.1: H yeudìsfaira.�ra, h efaptomènh euje�a sto P èqei ex�swsh thnz − z0 =

√1 − x2

0

x0(x − x0).

Sq ma 7.2: H èlkousa�genèteira kampÔlh th yeudìsfaira .Aut  tèmnei ton �xona z sto shme�o (0, z1), ìpouz1 − z0 =

√1 − x2

0

x0(0 − x0) = −

√1 − x2

0.Sunep¸ , h apìstash PQ e�nai(PQ)2 = x2

0 + (z1 − z0)2 = x2

0 + 1 − x20 = 1,dhlad , h apìstash PQ e�nai stajer  kai �sh me 1.Autì shma�nei ìti h èlkousa èqei thn akìloujh perigraf . 'Estw ìti èna g�idaro trab�ei9 ènakib¸tio me pètre demèno p�nw tou me èna sqoin� m kou 1. A upojèsoume ìti o g�idaro br�sketai9S.t.M =“'Elkei”, ap' ìpou kai èlkousa.

142 KEF�ALAIO 7. KAMPUL�OTHTA GAUSS KAI APEIK�ONISH GAUSSarqik� sto shme�o (0, 0), to kib¸tio br�sketai arqik� sto shme�o (1, 0), kai ìti o g�idaro perpat�arg� kat� m ko tou arnhtikoÔ �xona z. Tìte, to kib¸tio me ti pètre kine�tai ep�nw sthn èlkousa.H melèth th gewmetr�a th yeudìsfaira e�nai apì mình th m�a xeqwrist  perioq  pou kale�taimh eukle�deia gewmetr�a. Poll� apì ta apotelèsmata th eukle�deia gewmetr�a tou epipèdou èqounan�loga sthn yeudìsfaira, all� up�rqoun kai arketè diaforè . Gia par�deigma, to �jroisma twneswterik¸n gwni¸n enì trig¸nou th yeudìsfaira me “euje�e ” pleurè e�nai p�nta ligìtero apì π.(Ja exhg soume to nìhma th “euje�a ” sto kef�laio 8�de�te eidikìtera to Par�deigma 8.8.) Autìja prèpei na sugkrije� me to Je¸rhma 5.5 to opo�o de�qnei ìti to �jroisma twn eswterik¸n gwni¸nenì trig¸nou th monadia�a sfa�ra tou opo�ou oi pleurè e�nai tìxa meg�stwn kÔklwn e�nai p�ntotemegalÔtero apì to π.ASKHSEIS7.11 Gia thn yeudìsfaira:(i) upolog�ste to m ko tou k�je parall lou;(ii) upolog�ste to sunolikì embadìn th ;(iii) upolog�ste ti prwtarqikè th kampulìthte ;(iv) de�xte ìti ìla ta shme�a th e�nai uperbolik�.7.12 De�xte ìti:(i) jètonta w = e−u pa�rnoume m�a anaparamètrish sv1(u, v) th yeudìsfaira me pr¸thjemeli¸dh morf 

du2 + dw2

w2(pou kale�tai to montèlo tou �nw hmiepipèdou);(ii) jètonta

U =v2 + w2 − 1

v2 + (w + 1)2, V =

−2v

v2 + (w + 1)2or�zetai m�a anaparamètrish sv2(U, V ) th yeudìsfaira me pr¸th jemeli¸dh morf dU2 + dV 2

(1 − U2 − V 2)2.Autì kale�tai montèlo tou d�skou 10, epeid  to qwr�o w > 0 tou epipèdou vw antistoiqe�ston d�sko U2 +V 2 < 1 sto ep�pedo UV . Poia qwr�a sto montèlo tou �nw hmiepipèdou kaisto montèlo tou d�skou antistoiqoÔn sto qwr�o u < 0, −π < v < π ìpou h paramètrishsvpou d�netai se aut n thn par�grafo or�zetai?7.13 'Estw svh epif�neia ek peristrof  me �xona ton �xona z, kai èstw ìti h genèteir� th e�naim�a monadia�a taqÔthta kampÔlh g(u) sto ep�pedo xz. Upojètoume ìti h g tèmnei ton �xona

z kat� orj  gwn�a ìtan u = ±π/2, all� den ton tèmnei ìtan −π/2 < u < π/2. Apode�xte ìti,e�n h kampulìthta Gauss K e�nai stajer , tìte e�nai �sh me 1 kai h sve�nai h monadia�a sfa�ra.10S.t.M. To montèlo tou �nw hmiepipèdou kaj¸ kai to montèlo tou d�skou ofe�lontai ston Henri Poincare. Giaperissìtere plhrofor�e , de�te lìgou q�rh tohttp://en.wikipedia.org/wiki/Poincare

−ball

−model

7.3. EP�IPEDES EPIF�ANEIES 1437.3 Ep�pede Epif�neie Sthn Par�grafo 7.2, d¸same parade�gmata epifanei¸n stajer  kampulìthta Gauss K, all� be-ba�w autì apèqei polÔ apì m�a pl rh kat�taxh tètoiou e�dou epifanei¸n. 'Omw , e�nai dunatì nad¸soume m�a arket� pl rh perigraf  twn ep�pedwn epifanei¸n, dhlad  twn epifanei¸n eke�nwn gia ti opo�e K = 0 pantoÔ. Gia na to k�noume autì, ja qrhsimopoi soume m�a eidik  paramètrish, pou e�naidunat  gia k�je epif�neia, kai perigr�fetai sthn akìloujh prìtash.Prìtash 7.2'Estw P èna shme�o m�a epif�neia S, kai upojètoume ìti to P den e�nai omfalikì. Tìte, up�rqeièna tm ma epif�neia sv(u, v) th S pou perièqei to P tou opo�ou h pr¸th kai deÔterh jemeli¸dh morf  e�nai oiEdu2 + Gdv2 kai Ldu2 + Ndv2,ant�stoiqa, gia k�poie le�e sunart sei E,G,L kai N .A jumhjoÔme apì thn Par�grafo 6.3 ìti èna shme�o P mia epif�neia S e�nai omfalikì e�n oidÔo prwtarqikè kampulìthte th S sto P e�nai �se . Apì thn Par�grafo 6.3 ep�sh , blèpoume ìtigia to tm ma svsthn ekf¸nhsh th prìtash , ta svu kai svv e�nai prwtarqik� dianÔsmata me ant�stoiqe prwtrqikè kampulìthte L/E kai N/G. KaloÔme to svprwtarqikì tm ma.Upojètoume ìti isqÔei h Prìtash 7.2 pro stigm n, kai thn qrhsimopoioÔme gia na apode�xoumethnPrìtash 7.3'Estw P èna shme�o mia ep�pedh epif�neia S, kai upojètoume ìti to P den e�nai omfalikì. Tìte,up�rqei tm ma th S pou perièqei to P kai e�nai eujeiogen  epif�neia.Apìdeixh 7.3Pa�rnoume èna tm ma epif�neia sv: U → R3 pou perièqei to P ìpw sthn Prìtash 7.2, a e�nai P = sv(u0, v0). Apì thn Prìtash 7.1(ii), h kampulìthta Gauss e�nai K = LN/EG kai efìsonmhden�zetai pantoÔ, ja èqoume e�te L = 0   N = 0 se k�je shme�o tou U . Epeid  to P den e�naiomfalikì ta L kai N den e�nai kai ta dÔo mhdèn. 'Estw ìti L(u0, v0) 6= 0. Tìte, L(u, v) 6= 0 se k�poioanoiktì uposÔnolo tou U pou perièqei to (u0, v0). Epomènw , mikra�nonta to U an e�nai apara�thto,mporoÔme na upojèsoume ìti L 6= 0 se k�je shme�o tou U . Tìte N = 0 pantoÔ, kai h deÔterhjemeli¸dh morf  tou sve�nai Ldu2.Ja apode�xoume ìti oi parametrikè kampÔle u = staj. e�nai euje�e . M�a tètoia kampÔlh mpore�na parametriste� apo thn v 7→ sv(u0, v), ìpou u0 e�nai h stajer  tim  tou U . 'Ena monadia�o efaptìmenodi�nusma se aut n thn kampÔlh e�nai to t = svv/G1/2, �ra apì thn Prìtash 1.1 prokÔptei ìti autìpou èqoume na apode�xoume e�nai to tv = 0.Apì thn Prìtash 6.4, oi par�gwgoi th monadia�a kajètou e�nai oi

Nu = −E−1Lsvu, Nv = 0. (7.5)'Ara, tu · svu = −EL−1tv · Nu. T¸ra, t · Nu = 0 kai Nuv = 0 apì thn Ex. 7.5, epomènw tv · Nu = −t · Nuv = 0. 'Ara, t · svu = 0. 'Epeita, tv · t = 0 afoÔ to t e�nai monadia�o dianusmaapì kataskeu , ètsi tv · svv = 0. Telik�, tv · N = −t · Nv = 0, p�li apì thn Ex, 7.5. Efìson tadianÔsmata svu,svv kai N sqhmat�zoun b�sh tou R3, èqoume apode�xei ìti tv = 0. 2

144 KEF�ALAIO 7. KAMPUL�OTHTA GAUSS KAI APEIK�ONISH GAUSSO skopì ma met�, e�nai na perigr�youme thn dom  twn ep�pedwn epifanei¸n ek peristrof  .Parametr�zoume thn epif�neia ek peristrof  ìpw sto Par�deigma 7.3:sv(u, v) = g(u) + vd(u).Br kame eke� ìti svu = g + vd, svv = d, me thn tele�a na sumbol�zei thn par�gwgo, kai ìti hkampulìthta Gauss th sve�nai mhdèn an kai mìno and · (svu × svv) = 0.Efìson isqÔoun ta svu × svv = g× d+ vd× d,kai d · (d× d) = 0, èqoume ìtiK = 0 an kai mìno an d · (g× d) = 0. (7.6)'Ara K = 0 an kai mìno an ta g,d kai d e�nai pantoÔ grammik� anex�rthta.Gia na proqwr soume parak�tw, a upojèsoume, ìpw èqoume th dunatìthta na k�noume, ìti tod(u) e�nai monadia�o gia ìle ti timè tou u. Tìte d · d = 0. Upojètoume arqik� ìti d(u) = 0 gia ìle ti timè tou u. Tìte, to d e�nai èna stajerì di�nusma kai to sve�nai èna genikeumèno kÔlindro .Upojètoume t¸ra ìti to d den e�nai potè mhdenikì. Tìte ta d kai d e�nai grammik� anex�rthtaefìson e�nai mh mhdenik� kai orjog¸nia. Sunep¸ , e�n ta g,d kai d e�nai grammik� anex�rthta, tìteg(u) = f(u)d(u) + g(u)d(u)gia k�poie le�e sunart sei f kai g. 'Estw kat' arq n ìti f = g pantoÔ. Tìte g = ˙(gd) kai �rag = gd+ a, ìpou a e�nai èna stajerì di�nusma. 'Ara,sv(u, v) = a + (v + g(u)d(u).Jètonta u = u, v = v + g(u), blèpoume ìti aut  e�nai m�a anaparamètrish enì genikeumènou k¸nou.Upojètoume tèlo ìti ta d kai f − g e�nai kai ta dÔo pantoÔ mh mhdènik�. E�n or�soumeg(u) = g(u) − g(u)d(u), v =

v + g(u)

f(u) − g(u),èna sÔntomo upologismì d�nei ìti sv(u, v) = g(u) + v ˙g(u),Katal goume sto ìti to sve�nai m�a anaparamètrish mèrou th epif�neia efaptomènwn th g.Beba�w , up�rqei h per�ptwsh ìpou kamm�a apì ti sunj ke pou jewr jhkan gia ta d, f kai

g den ikanopoie�tai. Gia thn akr�beia, de�xame mìno ìti ta mèrh th epif�neia pou antistoiqoÔn sesugkekrimèna anoikt� uposÔnola tou U e�nai mèrh genikeumènwn kul�ndrwn, genikeumènwn k¸nwn,  epifanei¸n efaptomènwn. Den alhjeÔei ìti ìlh h epif�neia prèpei na e�nai k�poiou apì autoÔ tou trei tÔpou , kai autì giat� ep�pede epif�neie diaforetik¸n tÔpwn mporoÔn na enwjoÔn kai na sqh-mat�soun m�a le�a epif�neia, ìpw fa�netai sto parap�nw di�gramma. Genik�, m�a ep�pedh epif�neia e�naièna sump�lhma kommati¸n genikeumènwn kul�ndrwn, genikeumènwn k¸nwn kai epifanei¸n efaptomènwn,enwmènwn metaxÔ tou kat� m ko eujugr�mmwn tmhm�twn.

7.3. EP�IPEDES EPIF�ANEIES 145

Sq ma 7.3: H epif�neia efaptomènwn: Prìtash 7.3.To upìloipo th paragr�fou e�nai afierwmèno sthn apìdeixh th Prìtash 7.2 kai mpore� qwr� idia�terh bl�bh na paraleifje� apì tou anagn¸ste pou den noi¸joun idia�tera exoikeiwmènoi methn qr sh tou jewr mato th ant�strofh apeikìnish . Pr�gmati, mporoÔme na apode�xoume ènagenikìtero apotèlesma qwr� epiprìsjeth prosp�jeia:Prìtash 7.4'Estw sv: U → R3 èna tm ma epif�neia , kai upojètoume ìti gia ìla ta (u, v) ∈ U d�nontai taparak�tw efaptìmena dianÔsmatae1(u, v) = a(u, v)sveu + b(u, v)svev, e2(u, v) = c(u, v)sveu + d(u, v)svev,twn opo�wn oi sunist¸se a, b, c, d e�nai le�e sunart sei twn (u, v). 'Estw ìti, se k�poio shme�o

(u0, v0) ∈ U , ta dianÔsmata e1(u0, v0) kai e2(u0, v0) e�nai grammik� anex�rthta. Tìte, up�rqei ènaanoiktì uposÔnolo V tou U pou perièqei to (u, v) kai m�a anaparamètrish sv(u, v) tou sv(u, v), ìpou(u, v) ∈ V , tètoia ¸ste ta svu kai svv e�nai par�llhla sta e1 kai e2 ant�stoiqa.H Prìtash 7.2 e�nai m�a eidik  per�ptwsh th Prìtash 7.4. Pr�gmati, èstw svèna tuqa�o tm maepif�neia th S pou perièqei to P , kai èstw P = sv(u0, v0). Efìson oi prwtarqikè kampulìthte κ1kai κ2 tou sve�nai diaforetikè metaxÔ tou sto P , kai epiplèon e�nai kai suneqe� sunart sei apì thn'Askhsh 7.7, paramènoun diaforetikè metaxÔ tou gia k�je (u, v) mèsa se èna anoiktì sÔnolo U pouperièqei to (u0, v0) kai sto opo�o or�zetai h sv. Me ton sumbolismì th Paragr�fou 6.3, èstw(ξi

ηi

) tamh mhdenik� idiodianÔsmata tou FII − κiFI , i = 1, 2, ìpou FI kai FII e�nai oi prosarthmènoi p�nake sthn pr¸th kai thn deÔterh jemeli¸dh morf  tou svant�stoiqa. Tìte, tae1 = ξ1sveu + η1svev, e2 = ξ2sveu + η2sveve�nai ta prwtarqik� dianÔsmata pou antistoiqoÔn sti κ1 kai κ2, kai e�nai k�jeta metaxÔ tou apìthn Prìtash 6.3(iii). MporoÔme na upojèsoume ìti ta e1 kai e2 e�nai monadia�a dianÔsmata (antikaji-st¸nta ta me ta e1/‖e1‖ kai e2/‖e2‖). èstw sv(u, v) m�a anaparamètrish tou svìpw sthn Prìtash7.4. Tìte, svu · svv = 0 epeid  ta e1 kai e2 e�nai k�jeta, sunep¸ h pr¸th jemeli¸dh morf  tou sve�nai th morf  Edu2 + Gdv2. Ep�sh , ta svu kai svv e�nai prwtarqik� dianÔsmata pou antistoiqoÔnsti κ1 kai κ2, �ra èqoume

(FII − κ1FI)

(10

)= (FII − κ2FI)

(01

)=

(00

),

146 KEF�ALAIO 7. KAMPUL�OTHTA GAUSS KAI APEIK�ONISH GAUSSìpou FI kai FII e�nai oi prosarthmènoi p�nake sthn pr¸th kai thn deÔterh jemeli¸dh morf  tou svan-t�stoiqa. Efìson FI =

(E )0 G

), apì ti parap�nw exis¸sei sunep�getai ìti FII =

(κ1E 00 κ2G

),sunep¸ h deÔterh jemeli¸dh morf  tou sve�nai Ldu2 + Ndv2, ìpou L = κ1E kai N = κ2G.Mènei loipìn na apode�xoume thn Prìtash 7.4. ParathroÔme arqik� ìti, e�n isqÔei ìtie = Asveu + Bsvev,ìpou A kai B e�nai tuqa�e doje�se le�e sunart sei tou ˙u = A(u, v) ∈ U , tìte mporoÔme na broÔmem�a kampÔlh g tou svme g = e, h opo�a mpore� na èqei shme�o ekk�nhsh g(0) opoiod pote shme�o

Q = sv(α, β). Kia autì giat�, to na broÔme mia tètoia kampÔlh g(t) = s(u(t), v(t)) e�nai isodÔnamo meto na lÔsoume to sÔsthma twn sun jwn diaforik¸n exis¸sewn˙u = A(u, v), ˙v = B(u, v)me arqikè sunj ke u(0) = α, v(0) = β. ApodeiknÔetai sth jewr�a twn sun jwn diaforik¸nexis¸sewn ìti autì to prìblhma arqik¸n tim¸n èqei m�a monadik  lÔsh orismènh se èna anoiktìdi�sthma pou perièqei to t = 0. Epiplèon, oi u kai v e�nai le�e sunart sei twn triwn metablht¸n

t, α kai β.

Sq ma 7.4: Apì thn apìdeixh th Prìtash 7.4.Efarmìzonta thn parat rhsh aut  sto e = e1, mporoÔme na broÔme m�a kampÔlh g1(s) tou svme g1(0) = sv(u0, v0) kai dg1/ds1 = e1. Efarmìzonta thn �dia parat rhsh sto e = e2, mporoÔmena broÔme, gia k�je tim  tou s1 kont� sto 0, m�a kampÔlh s2 7→ l(s1, s2) tou svme ∂l/∂s2 = e2 kail(s1, 0) = g1(s1). Or�zoume ta u, v w sunart sei tou (s1, s2) apì thnsv(u, v) = l(s1, s2). (7.7)Paragwg�zonta w pro s1 kai w pro s2 pa�rnoume,sveu ∂u

∂s1+ svev ∂v

∂s1= ls1

, sveu ∂u

∂s2+ svev ∂v

∂s2= ls2

.'Eqoume ls1|s2=0=

d

ds1l(s1, 0) =

dg1

ds1= e1, ls2

=∂l∂s2

= e2. (7.8)

7.3. EP�IPEDES EPIF�ANEIES 147Exis¸nonta tou suntelestè twn sveu kai svev, blèpoume apì ti teleuta�e exis¸sei ìti, sto shme�osv(u0, v0), ìpou s1 = s2 = 0, o Iakwbianì p�naka (

∂eu∂s1

∂eu∂s2

∂ev∂s1

∂ev∂s2

)=

(a cb d

). (7.9)Epeid  ta e1 kai e2 e�nai grammik� anex�rthta sto (u0, v0), o p�naka autì e�nai antistrèyimo . Apìto je¸rhma ant�strofh apeikìnish 4.2, mporoÔme na lÔsoume thn Ex. 7.7 kai na ekfr�soume ta

s1, s2 w le�e sunart sei twnu, v ìtan to (u, v) an kei se èna anoiktì uposÔnolo W tou U pouperièqei to (u0, v0). 'Ara to l e�nai èna epitreptì tm ma epif�neia ; apì thn Ex. 7.8, èqei thn idiìthtaìti ls1= e1 ìtan s2 = 0, kai ls2

= e2 pantoÔ.Epanalamb�noume t¸ra thn diadikas�a, aut  thn for� ìmw xekin¸nta apì m�a kampÔlh g(t2) medg2/dt2 = e2 kai g2(0) = sv(u0, v0) kai pa�rnonta met� m�a kampÔlh t1 7→ m(t1, t2) me ∂m/∂t1 = e1kai m(0, t2) = g(t2). ProkÔptei èna epitreptì tm ma m(t1, t2) tètoio ¸stem(t1, t2) = sv(u, v)ìpou to (u, v) an kei se èna anoiktì uposÔnolo Z tou U pou perièqei to (u0, v0). To tm ma autìèqei thn idiìthta ìti textbfmt1 = e1 pantoÔ kai mt2

= e2, ìtan t1 = 0.H paramètrish pou jèloume e�nai h sv(u, v), ìpou sv(u, v) e�nai h tom  th kampÔlh s2 7→ l(u, s2)me thn kampÔlh t1 7→ m(t1, v). 'Ara, jewroÔme ti exis¸sei sv(u, v) = l(u, s2) = m(t1, v).Apì thn Ex. 7.9 èqoume,∂u

∂u= a,

∂v

∂u= b,kai ìmoia

∂u

∂v= c,

∂v

∂v= d.'Ara, o Iakwbianì p�naka e�nai o (

∂eu∂u

∂eu∂v

∂ev∂u

∂ev∂v

)=

(a cb d

).W sun jw , to gegonì ìti o parap�nw p�naka e�nai antistrèyimo shma�nei ìti to (u, v) mpore� naekfraste� mèsw le�wn sunart sewn tou (u, v) ìtan to (u, v) an kei se èna anoiktì uposÔnolo V tou

W ∩ Z pou perièqei to (u0, v0), kai autì ma d�nei m�a anaparamètrish sv(u, v) tou sv(u, v). Tèlo ,apì thn ex�swsh sv(u, v) = m(t1, v) sunep�getai ìtisvu =∂t1∂u

mt1=

∂t1∂u

e1,kai ìmoia, svv =∂s2

∂ve2,�ra ta svu kai svv e�nai pantoÔ par�llhla me ta e1 kai e2 ant�stoiqa.

148 KEF�ALAIO 7. KAMPUL�OTHTA GAUSS KAI APEIK�ONISH GAUSSASKHSEIS7.14 'Esw P èna uperbolikì shme�o mia epif�neia S (bl. Par�grafo 6.4). De�xte ìti up�rqeièna tm ma epif�neia th S pou perièqei to P tou opo�ou oi parametrikè kampÔle e�nai oiasumptwtikè kampÔle (bl. 'Askhsh 6.12).7.4 Epif�neie Stajer  Mèsh Kampulìthta JewroÔme t¸ra epif�neie twn opo�wn h mèsh kampÔlìthta H e�nai stajer . 'Opw ja doÔme stoKef�laio 9, tètoie epif�neie sunant¸ntai sthn pragmatik  zw � ìpw ta sq mata pou pa�rnoun oifusall�de tou sapounioÔ, gia par�deigma.Ja pragmateutoÔme leptomer¸ ti epif�neie twn opo�wn h H e�nai pantoÔ mhdèn sto Kef�laio 9.Se aut  thn par�grafo, ja perigr�youme m�a kataskeu  pou d�nei m�a antistoiq�a metaxÔ twn epifa-nei¸n stajer  mh mhdenik  mèsh kampulìthta kai twn epifanei¸n stajer  jetik  kampulìthta Gauss.Orismì 7.2'Estw svèna tm ma epif�neia me tupikì monadia�o k�jeto di�nusma N, kai èstw λ m�a arijmhtik stajer�. H par�llhlh epif�neia svλ tou sve�nai hsvλ = sv+ λN.

Sq ma 7.5: Par�llhlh epif�neia.Qondrik�, h svλ lamb�netai metafèronta thn epif�neia svse apìstash λ k�jeta ston eautì th (all� toÔth den e�nai metafor� aut  kajeaut  efìson to N ja metab�lletai en gènei p�nw sthnepif�neia).Prìtash 7.5'Estw κ1 kai κ2 oi prwtarqikè kampulìthte enì tm mato epif�neia sv: U → R3 kai upojè-toume ìti up�rqei stajer� C tètoia ¸ste oi |κ1| kai |κ2| e�nai kai oi dÔo ≤ C pantoÔ. 'Estw λ m�astajer� me |λ| ≤ 1/C, kai èstw svλ h ant�stoiqh par�llhlh epif�neia tou sv. Tìte,(i) to svλ e�nai tm ma epif�neia ;

7.4. EPIF�ANEIES STAJER�HS M�ESHS KAMPUL�OTHTAS 149(ii) to tupikì monadia�o k�jeto di�nusma tou svλ sto svλ(u, v) e�nai to �dio me autì tou svsto sv(u, v),gia ìla ta (u, v) ∈ U ;(iii) oi prwtarqikè kampulìthte tou svλ e�nai κ1/(1 − λκ1) kai κ2/(1 − λκ2), kai ta ant�stoiqaprwtarqik� dianÔsmata e�nai ta �dia me eke�na tou svgia ti prwtarqikè kampulìthte κ1 kai

κ2 ant�stoiqa;(iv) h kampulìthta Gauss kai h mèsh kampulìthta tou svλ e�nai oi

K

1 − 2λH + λ2Kkai H − λK

1 − 2λH + λ2K,ant�stoiqa.Apìdeixh 7.5Apì thn Prìtash 6.1, èqoume ìtisvλu = svu + λNu = (1 + λa)svu + λbsvv, (7.10)svλv = svv + λNv = λcsvu + (1 + λd)svv,ìpou o p�naka Weingarten e�nai o

W = −(

a cb d

).'Ara, svλu × svλv = (1 + λ(a + d) + λ2(ad − bc)svu × svv.Efìson oi κ1 kai κ2 e�nai oi idiotimè tou W (bl. Par�grafo 6.3), kai epeid  to �jroisma kai toginìmeno twn idiotim¸n enì p�naka e�nai �so me to �jroisma twn stoiqe�wn th diagwn�ou kai thnor�zousa tou p�naka, ant�stoiqa, pa�rnoume

κ1 + κ2 = −(a + d), κ1κ2 = ad − bc.'Ara, svλu × svλv = (1 − λκ1)(1 − λκ2)svu × svv. (7.11)Efìson |λ| < 1/C kai oi |κ1| kai |κ2| e�nai ≤ C, prokÔptei ìti oi |λκ1| kai |λκ2| e�nai < 1, sunep¸ (1 − λκ1)(1 − λκ2) > 0, kai h Ex. 7.11 de�qnei ìti to svλ e�nai kanonikì kai ìti to tupikì monadia�odi�nusm� tou e�nai to

Nλ =svλu × svλv

‖svλu × svλv‖ =svu × svv‖svu × svv‖ = N.Oi prwtarqikè kampulìthte tou svλ e�nai oi idiotimè tou p�naka Weigarten Wλ tou svλ. Apì thnPrìtash 6.4, autì e�nai o ant�jeto tou p�naka pou ekfr�zei ta svλu kai svλv w pro ta svu kai svv,kai isoÔtai me I − λW. Ep�sh , apì to gegonì ìti Nλ = N, sunep�getai ìti o −W e�nai o p�naka pou ekfr�zei ta Nλ

u kai Nλv w pro svu kai svv. Sundu�zonta ti dÔo autè parathr sei èqoume ìti

Wλ = (1 − λW)−1W.

150 KEF�ALAIO 7. KAMPUL�OTHTA GAUSS KAI APEIK�ONISH GAUSSE�n T e�nai èna idiodi�nusma tou W me idiotim  κ, tìte to T e�nai ep�sh èna idiodi�nusma tou Wλme idiotim  κ/(1 − λκ). ProkÔptei sunep¸ o isqurismì tou (iii). To (iv) prokÔptei apì to (iii) meapeuje�a algebrikoÔ upologismoÔ . 2Pìrisma 7.1E�n sve�nai èna tm ma epif�neia me stajer  mh mhdenik  mèsh kampulìthta H, tìte gia λ = 1/2H,to svλ èqei stajer  kampulìthta Gauss 4H2. Antistrìfw , e�n svèqei stajer  jetik  kampulìthtaGauss K, tìte gia λ = ±1/

√K, to svλ èqei stajer  mèsh kampulìthta ∓

√K.Apìdeixh 7.1ProkÔptei apì to (iv) th prìtash me kateuje�an algebrikoÔ upologismoÔ . 2ASKHSEIS7.15 H pr¸th jemeli¸dh morf  enì tm mato epif�neia sv(u, v) e�nai th morf  E(du2 + dv2).Apode�xte ìti to svuu + svvv e�nai k�jeto sta svu kai svv. Sumper�nete ìti h mèsh kampulìthta

H e�nai pantoÔ 0, an kai mìno an h Laplasian svuu + svvv = 0.De�xte ìti to tm ma epif�neia sv(u, v) =

(u − u3

3+ uv2, v − v3

3+ uv, u2 − v2

)èqei H = 0 pantoÔ. (M�a eikìna aut  th epif�neia br�sketai sthn Par�grafo 9.3.)7.16 Upolog�ste thn mèsh kampulìthta th epif�neia me kartesian  ex�swshz = f(x, y)ìpou f e�nai m�a le�a sun�rthsh twn x kai y. Apode�xte ìti H = 0 gia thn epif�neia

z = ln(cos y

cos x

).(M�a eikìna aut  th epif�neia br�sketai ep�sh sthn Par�grafo 9.3.)7.17 'Estw s(u, v) èna tm ma epif�neia me pr¸th kai deÔterh jemeli¸dh morf  Edu2 + Gdv2 kai

Ldu2 + Ndv2, ant�stoiqa (bl. Prìtash 7.2). Or�zoumeS(u, v,w) = sv(u, v) + wN(u, v),ìpou N e�nai to tupikì monadia�o k�jeto tou sv. De�xte ìti oi trei oikogèneie epifanei¸n poulamb�nontai stajeropoi¸nta ti timè twn u, v   w sth S, sqhmat�zoun èna tripl� orjog¸niosÔsthma (bl. Par�grafo 4.6 kai 'Askhsh 6.21). Oi epif�neie w = staj. e�nai par�llhle epif�neie tou sv. De�xte ìti oi epif�neie u = staj. kai v = staj. e�nai ep�pede epif�neie ekperistrof  .

7.5. H KAMPUL�OTHTA GAUSS SUMPAG�WN EPIFANEI�WN 1517.5 H Kampulìthta Gauss Sumpag¸n Epifanei¸nSthn Par�grafo 6.4 e�dame to pw ta prìshma twn prwtarqik¸n kampulot twn se èna shme�o P m�a epif�neia S kajor�zoun to sq ma th S kont� sto P . Pr�gmati, efìson h kampulìthta Gauss Kth S e�nai to ginìmeno twn prwtarqik¸n kampulot twn, h eke� suz thsh de�qnei ìti(i) e�n K > 0 sto P , tìte to P e�nai èna elleiptikì shme�o;(ii) e�n K < 0 sto P , tìte to P e�nai èna uperbolikì shme�o;(iii) e�n K = 0 sto P , tìte to P e�nai e�te èna parabolikì shme�o   èna ep�pedo shme�o (sthnteleuta�a per�ptwsh, den mporoÔme na poÔme poll� gia to sq ma th epif�neia kont� sto P ).Se aut  thn par�grafo, ja d¸soume èna apotèlesma pou de�qnei to pw h kampulìthta Gaussephre�zei to sunolikì sq ma mia epif�neia . Ja d¸soume �llo èna parapl sia fÔsh apotèlesmasthn Par�grafo 10.4.Prìtash 7.6E�n S e�nai m�a sumpag  epif�neia, tìte up�rqei èna shme�o P th S sto opo�o h kampulìthta

Gauss K, e�nai > 0.A jumhjoÔme ìti èna uposÔnolo X tou R3 kale�tai sumpagè , e�n e�nai kleistì (dhlad  to sÔnolotwn shme�wn tou R3 pou den an koun sto X e�nai anoiktì) kai fragmèno (dhlad  to X perièqetai sek�poia anoikt  mp�lla). Sthn apìdeixh, ja qrhsimopoi soume to akìloujo apotèlesma pou afor�sta sumpag  sÔnola: e�n h f : R3 → R e�nai m�a suneq  sun�rthsh, tìte up�rqoun shme�a P kai Qtou X tètoia ¸ste f(Q) ≤ f(R) ≤ f(P ) gia ìla ta R tou X; sunep¸ , h f pa�rnei thn mègisth tim th sto P kai thn el�qisth tim  th sto Q.Apìdeixh 7.6'Estw h f : R3 → R ìpou f(v) =‖ v ‖2. Tìte, h f e�nai suneq  kai �ra, to gegonì ìti h Se�nai sumpag  sunep�getai ìti up�rqei èna shme�o P th S sto opo�o h f pa�rnei thn mègisth tim th . 'Estw ìti to P èqei di�nusma jèsh p; tìte h S perièqetai sthn kleist  mp�lla me kèntro thnarq  kai akt�na ‖ p ‖, kai h S tèmnei thn sunoriak  th sfa�ra sto P . H idèa e�nai ìti h S e�nai tìsokampulwmènh ìso toul�qiston h sfa�ra e�nai sto P , sunep¸ h kampulìthta Gauss th S prèpei nae�nai toul�qiston aut  th sfa�ra sto P , dhlad  toul�qiston 1/ ‖ p ‖2.Gia na katast soume akribè autì to epiqe�rhma, èstw g(t) m�a tuqa�a monadia�a taqÔthta kampÔlh th S pou pern� apì to P ìtan t = 0. Tìte, h f(g(t)) èqei èna topikì mègisto sto t = 0,sunep¸ ,d

dtf(g(t)) = 0,

d2

dt2f(g(t)) ≤ 0sto t = 0, dhlad  g(0) · g(0) = 0, g(0) · g(0) + 1 ≤ 0. (7.12)H ex�swsh sthn 7.12 de�qnei ìti to p = g(0) e�nai orjog¸nio se k�je monadia�o efaptìmeno di�nusmath S sto P , kai �ra e�nai orjog¸nio sto efaptìmeno ep�pedo th S sto P .Dialègoume èna tm ma epif�neia svston �tlanta th S pou perièqei to P , kai èstw N to tupikìmonadia�o k�jeto di�nusma. Apì to prohgoÔmeno sqìlio,

N = ± p

‖ p ‖ . (7.13)

152 KEF�ALAIO 7. KAMPUL�OTHTA GAUSS KAI APEIK�ONISH GAUSSApì thn anisìthta sthn 7.12 sunep�getai ìti h k�jeth kampulìthta th g sto P , κn = g(0) · N(upologismènh sto tm ma sv), e�nai e�te ≤ −1/ ‖ p ‖ e�te ≥ 1/ ‖ p ‖, analìgw tou pìte to prìshmosthn Ex. 7.13 e�nai +   −, ant�stoiqa. Apì to Pìrisma 6.2, oi prwtarqikè kampulìthte tou svstoP e�nai e�te kai oi dÔo ≤ −1/ ‖ p ‖, e�te kai oi dÔo ≥ 1/ ‖ p ‖. Se k�je per�ptwsh, K ≥ 1/ ‖ p ‖2sto P .7.6 H Apeikìnish GaussH Prìtash 2.2 de�qnei ìti, e�n h g(s) e�nai m�a monadia�a taqÔthta ep�pedh kampÔlh, h proshmasmènhth kampulìthta e�nai κs = dϕ/ds, ìpou ϕ e�nai h gwn�a metaxÔ tou efaptìmenou dianÔsmato gkai m�a dedomènh kateÔjunsh , dhlad  h (proshmasmènh) kampulìthta e�nai o lìgo metabol  th kateÔjunsh tou efaptìmenou dianÔsmato th g an� mon�da m kou . Ja koit�xoume gia èna an�logoautoÔ tou apotelèsmato sthn per�ptwsh twn epifanei¸n.H “kateÔjunsh” tou efaptomènou epipèdou enì tm mato epif�neia sv: U → R3 metriètai apìto tupikì monadia�o tou k�jeto di�nusma N, �ra e�nai eÔlogo na anamènoume ìti h kampulìthta tousvmetriètai apì ton “lìgo metabol  tou N an� mon�da embadoÔ”. Gia na apokt sei autì nìhma,shmei¸noume ìti to N e�nai èna shme�o th monadia�a sfa�ra

S2 = {v ∈ R3 | ‖v‖ = 1}.H apeikìnish Gauss e�nai h apeikìnish sv→ S2, ìpou sve�nai h eikìna tou sv, h opo�a stèlnei to shme�osv(u, v) th svsto shme�o N(u, v) th S2. Sumbol�zoume thn apeikìnish Gauss me g. Pio genik�, hapeikìnish Gauss mpore� na oriste� gia k�je prosanatol�simh epif�neia sv. (bl. Par�grafo 4.3),afoÔ m�a tètoia epif�neia èqei kal¸ orismèno monadia�o k�jeto se k�je shme�o.

Sq ma 7.6: H apeikìnish Gauss.E�n R ⊆ U e�nai èna qwr�o, h posìthta kat� thn opo�a to N metab�lletai sto tm ma sv(R) th sv, metriètai apì to embadìn tou N(R) th sfa�ra . Sunep¸ , o lìgo metabol  tou N an� mon�daembadoÔ e�nai per�pou Embadìn tou N(R)Embadìn tou sv(R)=

AN(R)

Asv(R),kat� ton sumbolismì th Paragr�fou 5.4. To akìloujo je¸rhma de�qnei ìti, kaj¸ to qwr�o Rsurrikn¸netai se èna shme�o, o lìgo autì g�netai h apìluth tim  th kampulìthta Gauss tou svsto shme�o autì.

7.6. H APEIK�ONISH GAUSS 153Je¸rhma 7.1'Estw sv: U → R3 m�a epif�neia, èstw (u0, v0) ∈ U , kai èstw δ > 0 tètoio ¸ste o kleistì d�sko Rδ = {(u, v) ∈ R2 | (u − u0)

2 + (v − v0)2 ≤ δ2}kèntrou (u0, v0) kai akt�na δ na perièqetai sto U (tètoio d�sko up�rqei afoÔ to U e�nai anoiktì).11Tìte,

limδ→0

AN(Rδ)

Asv(Rδ)= |K|,ìpou K e�nai h kampulìthta Gauss tou svsto sv(u0, v0).Apìdeixh 7.1Apì ton Orismì 5.3,

AN(Rδ)

Asv(Rδ)=

∫∫Rδ

‖Nu × Nv‖dudv∫∫

Rδ‖svu × svv‖dudv

. (7.14)Apì thn Prìtash 6.4,Nu × Nv = (asvu + bsvv) × (csvu + dsvv)

= (ad − bc)svu × svv= det(−F−1

I FII)svu × svv=

det(FII)

det(FI)svu × svv

=

∣∣∣∣L MM N

∣∣∣∣∣∣∣∣E FF G

∣∣∣∣(apì ton orismì twn FI kai FII)

=LN − M2

EG − F 2svu × svv

= Ksvu × svv (apì thn Prìtash 7.1(i)). (7.15)Antikajist¸nta sthn Ex. 7.14, pa�rnoumeAN(Rδ)

Asv(Rδ)=

∫∫Rδ

|K|‖svu × svv‖dudv∫∫

Rδ‖svu × svv‖dudv

.'Estw ǫ tuq¸n jetikì arijmì . AfoÔ h K(u, v) e�nai suneq  sun�rthsh tou (u, v) (bl. 'Askhsh7.7), mporoÔme na epilèxoume èna δ > 0 arket� mikrì, tètoio ¸ste|K(u, v) − K(u0, v0)| < ǫe�n to (u, v) ∈ Rδ. Efìson, gia ìlou tou pragmatikoÔ arijmoÔ a, b e�nai |a − b| ≥ ||a| − |b||,prokÔptei ìti ||K(u, v)| − |K(u0, v0)|| < ǫ an (u, v) ∈ Rδ, dhlad 

|K(u0, v0)| − ǫ < |K(u, v)| < |K(u0, v0)| + ǫ11S.t.M. Epeid  to U e�nai anoiktì, up�rqei anoiktì d�sko kèntrou (u0, v0) kai akt�na r > 0 pou perièqetai stoU . Tìte, gia opoiod pote δ < r, o kleistì d�sko Rδ perièqetai sto U .

154 KEF�ALAIO 7. KAMPUL�OTHTA GAUSS KAI APEIK�ONISH GAUSSan (u, v) ∈ Rδ. Pollaplasi�zonta me ‖svu × svv‖ kai oloklhr¸nonta p�nw apì to Rδ, pa�rnoume:(|K(u0, v0)| − ǫ)

∫∫‖svu × svv‖dudv <

∫∫|K(u, v)|‖svu × svv‖dudv

< (|K(u0, v0)| + ǫ)

∫∫‖svu × svv‖dudv,

∴ |K(u0, v0)| − ǫ <AN(Rδ)

Asv(Rδ)< |K(u0, v0)| + ǫ (qrhsimopoi¸nta thn Ex. 7.14)

∴

∣∣∣∣AN(Rδ)

Asv(Rδ)− |K(u0.v0)|

∣∣∣∣ < ǫ.Autì apodeiknÔei to je¸rhma. 2An kai aut  h prìtash d�nei mìno thn apìluth tim  th kampulìthta Gauss K, to prìshmompore� na lhfje� apì thn apeikìnish Gauss e�n or�soume to proshmasmèno embadìn tou N(R) na e�nai±A(R), ìpou to prìshmo e�nai +   − sÔmfwna me to pìte to Nu × Nv èqei thn �dia   thn ant�jethfor� me to N. Apì thn Ex. 7.15, autì to prìshmo e�nai to �dio th K, �ra h K e�nai to ìrio toulìgou Proshmasmèno embadìn tou N(R)Embadìn tou sv(R)kaj¸ to qwr�o R surrikn¸netai se shme�o.'Opw de�qnoun ta akìlouja parade�gmata, to Je¸rhma 7.1 merikè forè ma epitrèpei na br�-skoume thn kampulìthta Gauss mia epif�neia qwr� kajìlou upologismoÔ .Par�deigma 7.4To monadia�o k�jeto di�nusma enì epipèdou e�nai stajerì. Sunep¸ , gia k�je R, to N(R) e�naièna monadikì shme�o, kai �ra èqei mhdenikì embadìn. Apì to je¸rhma, èna ep�pedo èqei pantoÔ mhdenik kampulìthta Gauss.To monadia�o k�jeto enì (genikeumèmou) kul�ndrou, e�nai faner� p�nta k�jeto stou genn tore tou kul�ndrou. 'Ara, h eikìna th apeikìnish Gauss perièqetai ston mègisto kÔklo th monadia�a sfa�ra pou sqhmat�zetai apì thn tom  th sfa�ra me to ep�pedo pou pern� apì to kèntro th sfa�ra kai e�nai k�jeto stou genn tore tou kul�ndrou. K�je mègisto kÔklo èqei profan¸ mhdenikì embadìn, ètsi o kÔlidro èqei ep�sh mhdenik  kampulìthta Gauss.Tèlo , gia thn �dia thn monadia�a sfa�ra S2, to monadia�o k�jeto se shme�o P e�nai faner� pa-r�llhlo me thn dianusmatik  akt�na apì to kèntro tou kÔklou sto P . Me �lla lìgia h apeikìnishGauss e�nai e�te h tautotik ,   h antipodik  apeikìnish (analìgw th epilog  th paramètrish ).Kai oi dÔo autè apeikon�sei e�nai emfan¸ isembadikè , epomènw h (apìluth tim  th ) kampulìth-ta Gauss th S2 e�nai 1. Pr�gmati, h suz thsh aut  de�qnei ìti, gia k�je paramètrish svth S2,èqoume N = ±sv. To prìshmo exart�tai apì thn epilog  th paramètrish , all� se k�je per�ptwshNi × Nv = svu × svv. 'Ara, h kampulìthta Gauss e�nai +1.ASKHSEIS7.18 'Estw sv: U → R3 èna tm ma th epif�neia sv. De�xte ìti h eikìna enì tm mato sv(R) th svmèsw th apeikìnish Gauss pou antistoiqe� sto qwr�o R ⊆ U èqei embadìn

∫∫

R|K|dAsv,

7.6. H APEIK�ONISH GAUSS 155ìpou K e�nai h kampulìthta Gauss th sv. (Epijewre�ste thn apìdeixh tou Jewr mato 7.1.)7.19 'Estw S o tìro th 'Askhsh 4.10. Sqedi�ste prìqeira ta tm mata S+ kai S− tou S ìpou hkampulìthta Gauss K tou sve�nai jetik  kai arnhtik , ant�stoiqa. De�xte, qwr� upologismì,ìti ∫∫

S+

KdA = −∫∫

S−

KdA = 4π.(To nìhma aut¸n twn oloklhrwm�twn prèpei na e�nai profanè : e�n a poÔme o S+ perièqetaise èna monadikì tm ma epif�neia svtou S, tètoio ¸ste S+ = sv(R+), èstw, tìte to aristerìskèlo shma�nei ∫∫R+ KdAsv; e�n o S+ den perièqetai se èna monadikì tm ma, mpore� na dia-spaste� se komm�tia, k�je èna apì ta opo�a perièqetai se èna monadikì tm ma epif�neia , kaitìte to olokl rwma ep�nw apì ton S+ e�nai to �jroisma twn oloklhrwm�twn ep�nw apì k�jekomm�ti tou S+. Perissìtere leptomèreie mporoÔn na brejoÔn sthn Par�grafo 11.3.)Beba�w , prokÔptei ìti ∫∫svKdA = 0, èna apotèlesma pou ja “exhghje�” sthn Par�grafo 11.3.

156 KEF�ALAIO 7. KAMPUL�OTHTA GAUSS KAI APEIK�ONISH GAUSS