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Métodos NuméricosGrado en Ingeniería Informática
Tema 7 Interpolación de funciones II
Luis Alvarez León
Univ. de Las Palmas de G.C.
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 1 / 34
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Contenido
1 Interpolación de Hermite
2 Interpolación por splines cúbicos.
3 Interpolación utilizando la función seno cardinal
4 Interpolación de funciones periódicas utilizando polinomiostrigonométricos
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Contenido
1 Interpolación de Hermite
2 Interpolación por splines cúbicos.
3 Interpolación utilizando la función seno cardinal
4 Interpolación de funciones periódicas utilizando polinomiostrigonométricos
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Interpolación de funciones IIEl problema de interpolación
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Interpolación de funciones IIInterpolación Lineal
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Interpolación de funciones IIInterpolación a través del polinomio de Lagrange
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Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Se interpola tanto la función como su derivada
Figura:
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Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Se interpola tanto la función como su derivada.
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Interpolación de funciones IILa interpolación de Hermite
En la interpolación de Lagrange ajustamos el polinomio interpoladorP(x) para que P(xi) = f (xi).
En el caso de Hermite además deajustar el valor de la función f (x), ajustamos sus derivadas es decir:
P(xi) = f (xi) y P ′(xi) = f ′(xi)
Ejemplo: Buscar un polinomio P(x) tal que P(−1) = 1, P(1) = 0 yP ′(−1) = 0, P ′(1) = 0. El grado del polinomio buscado debe ser 3.Por tanto
P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3
3− ax + b
Si exigimos que P(−1) = 1 y P(1) = 0 llegamos al sistema{−a/3 + a + b = 1a/3− a + b = 0
→{
a = 3/4b = 1/2
→ P(x) =312
x3 − 34
x +12
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Interpolación de funciones IILa interpolación de Hermite
En la interpolación de Lagrange ajustamos el polinomio interpoladorP(x) para que P(xi) = f (xi). En el caso de Hermite además deajustar el valor de la función f (x), ajustamos sus derivadas es decir:
P(xi) = f (xi) y P ′(xi) = f ′(xi)
Ejemplo: Buscar un polinomio P(x) tal que P(−1) = 1, P(1) = 0 yP ′(−1) = 0, P ′(1) = 0. El grado del polinomio buscado debe ser 3.Por tanto
P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3
3− ax + b
Si exigimos que P(−1) = 1 y P(1) = 0 llegamos al sistema{−a/3 + a + b = 1a/3− a + b = 0
→{
a = 3/4b = 1/2
→ P(x) =312
x3 − 34
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Interpolación de funciones IILa interpolación de Hermite
En la interpolación de Lagrange ajustamos el polinomio interpoladorP(x) para que P(xi) = f (xi). En el caso de Hermite además deajustar el valor de la función f (x), ajustamos sus derivadas es decir:
P(xi) = f (xi) y P ′(xi) = f ′(xi)
Ejemplo: Buscar un polinomio P(x) tal que P(−1) = 1, P(1) = 0 yP ′(−1) = 0, P ′(1) = 0. El grado del polinomio buscado debe ser
3.Por tanto
P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3
3− ax + b
Si exigimos que P(−1) = 1 y P(1) = 0 llegamos al sistema{−a/3 + a + b = 1a/3− a + b = 0
→{
a = 3/4b = 1/2
→ P(x) =312
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Interpolación de funciones IILa interpolación de Hermite
En la interpolación de Lagrange ajustamos el polinomio interpoladorP(x) para que P(xi) = f (xi). En el caso de Hermite además deajustar el valor de la función f (x), ajustamos sus derivadas es decir:
P(xi) = f (xi) y P ′(xi) = f ′(xi)
Ejemplo: Buscar un polinomio P(x) tal que P(−1) = 1, P(1) = 0 yP ′(−1) = 0, P ′(1) = 0. El grado del polinomio buscado debe ser 3.Por tanto
P ′(x) =
a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3
3− ax + b
Si exigimos que P(−1) = 1 y P(1) = 0 llegamos al sistema{−a/3 + a + b = 1a/3− a + b = 0
→{
a = 3/4b = 1/2
→ P(x) =312
x3 − 34
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Interpolación de funciones IILa interpolación de Hermite
En la interpolación de Lagrange ajustamos el polinomio interpoladorP(x) para que P(xi) = f (xi). En el caso de Hermite además deajustar el valor de la función f (x), ajustamos sus derivadas es decir:
P(xi) = f (xi) y P ′(xi) = f ′(xi)
Ejemplo: Buscar un polinomio P(x) tal que P(−1) = 1, P(1) = 0 yP ′(−1) = 0, P ′(1) = 0. El grado del polinomio buscado debe ser 3.Por tanto
P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) =
ax3
3− ax + b
Si exigimos que P(−1) = 1 y P(1) = 0 llegamos al sistema{−a/3 + a + b = 1a/3− a + b = 0
→{
a = 3/4b = 1/2
→ P(x) =312
x3 − 34
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Interpolación de funciones IILa interpolación de Hermite
En la interpolación de Lagrange ajustamos el polinomio interpoladorP(x) para que P(xi) = f (xi). En el caso de Hermite además deajustar el valor de la función f (x), ajustamos sus derivadas es decir:
P(xi) = f (xi) y P ′(xi) = f ′(xi)
Ejemplo: Buscar un polinomio P(x) tal que P(−1) = 1, P(1) = 0 yP ′(−1) = 0, P ′(1) = 0. El grado del polinomio buscado debe ser 3.Por tanto
P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3
3− ax + b
Si exigimos que P(−1) = 1 y P(1) = 0 llegamos al sistema
{−a/3 + a + b = 1a/3− a + b = 0
→{
a = 3/4b = 1/2
→ P(x) =312
x3 − 34
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Interpolación de funciones IILa interpolación de Hermite
En la interpolación de Lagrange ajustamos el polinomio interpoladorP(x) para que P(xi) = f (xi). En el caso de Hermite además deajustar el valor de la función f (x), ajustamos sus derivadas es decir:
P(xi) = f (xi) y P ′(xi) = f ′(xi)
Ejemplo: Buscar un polinomio P(x) tal que P(−1) = 1, P(1) = 0 yP ′(−1) = 0, P ′(1) = 0. El grado del polinomio buscado debe ser 3.Por tanto
P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3
3− ax + b
Si exigimos que P(−1) = 1 y P(1) = 0 llegamos al sistema{−a/3 + a + b = 1a/3− a + b = 0
→{
a = 3/4b = 1/2
→ P(x) =312
x3 − 34
x +12
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Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Polinomios base de Hermite en los puntos de interpolación-1,1..
Polinomio de Hermite H0−1(x) Polinomio de Hermite H0
1 (x)
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Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Polinomios base de Hermite en los puntos de interpolación-1,1..
Polinomio de Hermite H1−1(x) Polinomio de Hermite H1
1 (x)
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Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Polinomios base de Hermite en los puntos de interpolación-1,1..
Vamos a calcular H1−1(x) que verifica que P(−1) = P(1) = P ′(1) = 0
y P ′(−1) = 1. Como P(x) vale 0 en −1,1 se tiene que
P(x) =
(x + 1)(x − 1)(ax + b) → P(x) = ax3 + bx2 − ax − b
derivando obtenemos
P ′(x) = 3ax2 + 2bx − a
Si exigimos que P ′(−1) = 1 y P ′(1) = 0 llegamos al sistema{3a− 2b− a = 13a + 2b− a = 0
→{
a = 1/4b = −1/4
→ H1−1(x) = (x2−1)(
14
x +14)
En función de los polinomios base de HermiteH0−1(x),H
01 (x),H
1−1(x),H
11 (x), el polinomio que interpola a una
función en f (−1), f (1), f ′(−1) y f ′(1) es
P(x) = f (−1)H0−1(x) + f (1)H0
1 (x) + f ′(−1)H1−1(x) + f ′(1)H1
1 (x)
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Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Polinomios base de Hermite en los puntos de interpolación-1,1..
Vamos a calcular H1−1(x) que verifica que P(−1) = P(1) = P ′(1) = 0
y P ′(−1) = 1. Como P(x) vale 0 en −1,1 se tiene que
P(x) = (x + 1)(x − 1)(ax + b) → P(x) = ax3 + bx2 − ax − b
derivando obtenemos
P ′(x) =
3ax2 + 2bx − a
Si exigimos que P ′(−1) = 1 y P ′(1) = 0 llegamos al sistema{3a− 2b− a = 13a + 2b− a = 0
→{
a = 1/4b = −1/4
→ H1−1(x) = (x2−1)(
14
x +14)
En función de los polinomios base de HermiteH0−1(x),H
01 (x),H
1−1(x),H
11 (x), el polinomio que interpola a una
función en f (−1), f (1), f ′(−1) y f ′(1) es
P(x) = f (−1)H0−1(x) + f (1)H0
1 (x) + f ′(−1)H1−1(x) + f ′(1)H1
1 (x)
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Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Polinomios base de Hermite en los puntos de interpolación-1,1..
Vamos a calcular H1−1(x) que verifica que P(−1) = P(1) = P ′(1) = 0
y P ′(−1) = 1. Como P(x) vale 0 en −1,1 se tiene que
P(x) = (x + 1)(x − 1)(ax + b) → P(x) = ax3 + bx2 − ax − b
derivando obtenemos
P ′(x) = 3ax2 + 2bx − a
Si exigimos que P ′(−1) = 1 y P ′(1) = 0 llegamos al sistema
{3a− 2b− a = 13a + 2b− a = 0
→{
a = 1/4b = −1/4
→ H1−1(x) = (x2−1)(
14
x +14)
En función de los polinomios base de HermiteH0−1(x),H
01 (x),H
1−1(x),H
11 (x), el polinomio que interpola a una
función en f (−1), f (1), f ′(−1) y f ′(1) es
P(x) = f (−1)H0−1(x) + f (1)H0
1 (x) + f ′(−1)H1−1(x) + f ′(1)H1
1 (x)
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Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Polinomios base de Hermite en los puntos de interpolación-1,1..
Vamos a calcular H1−1(x) que verifica que P(−1) = P(1) = P ′(1) = 0
y P ′(−1) = 1. Como P(x) vale 0 en −1,1 se tiene que
P(x) = (x + 1)(x − 1)(ax + b) → P(x) = ax3 + bx2 − ax − b
derivando obtenemos
P ′(x) = 3ax2 + 2bx − a
Si exigimos que P ′(−1) = 1 y P ′(1) = 0 llegamos al sistema{3a− 2b− a = 13a + 2b− a = 0
→{
a = 1/4b = −1/4
→ H1−1(x) = (x2−1)(
14
x +14)
En función de los polinomios base de HermiteH0−1(x),H
01 (x),H
1−1(x),H
11 (x), el polinomio que interpola a una
función en f (−1), f (1), f ′(−1) y f ′(1) es
P(x) = ?H0−1(x) +?H0
1 (x) +?H1−1(x) +?H1
1 (x)Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 12 / 34
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Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Polinomios base de Hermite en los puntos de interpolación-1,1..
Vamos a calcular H1−1(x) que verifica que P(−1) = P(1) = P ′(1) = 0
y P ′(−1) = 1. Como P(x) vale 0 en −1,1 se tiene que
P(x) = (x + 1)(x − 1)(ax + b) → P(x) = ax3 + bx2 − ax − b
derivando obtenemos
P ′(x) = 3ax2 + 2bx − a
Si exigimos que P ′(−1) = 1 y P ′(1) = 0 llegamos al sistema{3a− 2b− a = 13a + 2b− a = 0
→{
a = 1/4b = −1/4
→ H1−1(x) = (x2−1)(
14
x +14)
En función de los polinomios base de HermiteH0−1(x),H
01 (x),H
1−1(x),H
11 (x), el polinomio que interpola a una
función en f (−1), f (1), f ′(−1) y f ′(1) es
P(x) = f (−1)H0−1(x) + f (1)H0
1 (x) + f ′(−1)H1−1(x) + f ′(1)H1
1 (x)Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 12 / 34
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Contenido
1 Interpolación de Hermite
2 Interpolación por splines cúbicos.
3 Interpolación utilizando la función seno cardinal
4 Interpolación de funciones periódicas utilizando polinomiostrigonométricos
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Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
Los polinomios de grado alto tienden a oscilar.
EjemploEl polinomio base de Lagrange que verifica P(0) = 1 y P(xi) = 0sobre los puntos xi = −5,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,5 es
P(x) =
(x2 − 1)(x2 − 4)(x2 − 9)(x2 − 16)(x2 − 25)(−5)(−4)(−3)(−2)(−1)(1)(2)(3)(4)(5)
Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 14 / 34
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Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
Los polinomios de grado alto tienden a oscilar.
EjemploEl polinomio base de Lagrange que verifica P(0) = 1 y P(xi) = 0sobre los puntos xi = −5,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,5 es
P(x) =(x2 − 1)(x2 − 4)(x2 − 9)(x2 − 16)(x2 − 25)(−5)(−4)(−3)(−2)(−1)(1)(2)(3)(4)(5)
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Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
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Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
Cuando se trabaja con muchos puntos de interpolación, se sueleinterpolar la función utilizando polinomios a trozos, definiendo unpolinomio distinto para cada intervalo [xi , xi+1]. La técnica másconocida son los splines cúbicos, que son polinomios de grado 3. Portanto, tendremos un polinomio de grado 3 distintoP i
3(x) = di(x − xi)3 + ci(x − xi)
2 + bi(x − xi) + ai para cada intervalo[xi , xi+1]. Si hay N + 1 puntos, el número de polinomios es N. Paradefinir estos polinomios, se imponen las siguientes condiciones:
P i3(xi) = f (xi) i = 0, ..,N − 1
P i3(xi+1) = f (xi+1) i = 0, ...,N − 1
∂P i3
∂x(xi+1) =
∂P i+13
∂x(xi+1) i = 0, ..,N − 2
∂2P i3
∂x2 (xi+1) =∂2P i+1
3∂x2 (xi+1) i = 0, ...,N − 2
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Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
TeoremaSi P i
3(x) = di(x − xi)3 + ci(x − xi)
2 + bi(x − xi) + ai , i = 0, ..,N − 1,satisface las condiciones anteriores, entonces
ai = f (xi) i = 0, ..,N di =ci+1 − ci
3hii = 0, ..,N − 1 (1)
bi =ai+1 − ai
hi− hi (2ci + ci+1)
3i = 0, ..,N − 1
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi)ci + hici+1 =3(ai+1 − ai)
hi− 3 (ai − ai−1)
hi−1
para i = 1, ..,N − 1. donde hi = xi+1 − xi .. La última relacióndetermina un sistema de ecuaciones en las variables ci . Dichosistema tiene N + 1 incognitas (c0, ..., cN) y N − 1 ecuaciones. Paracompletar dicho sistema, se suele imponer que c0 = cN = 0.
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Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
EjemploVamos a utilizar splines cúbicos al interpolar la función f (x) en lospuntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo que f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0,f (3) = 2, tomando c0 = c3 =
0. En este caso hi = 1. Debemos definir3 Polinomios distintos que corresponden a los intervalos [0,1], [1,2], y[2,3].
Los términos ai se calculan utilizando la relación ai = f (xi) :
a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = 2
Los términos ci se calculan utilizando la relación
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi)ci + hici+1 =3(ai+1 − ai)
hi− 3 (ai − ai−1)
hi−1
lo que lleva al sistema{
4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9
→(
c1c2
)=
(−2,22,8
)
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Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
EjemploVamos a utilizar splines cúbicos al interpolar la función f (x) en lospuntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo que f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0,f (3) = 2, tomando c0 = c3 = 0. En este caso hi =
1. Debemos definir3 Polinomios distintos que corresponden a los intervalos [0,1], [1,2], y[2,3].
Los términos ai se calculan utilizando la relación ai = f (xi) :
a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = 2
Los términos ci se calculan utilizando la relación
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi)ci + hici+1 =3(ai+1 − ai)
hi− 3 (ai − ai−1)
hi−1
lo que lleva al sistema{
4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9
→(
c1c2
)=
(−2,22,8
)
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Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
EjemploVamos a utilizar splines cúbicos al interpolar la función f (x) en lospuntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo que f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0,f (3) = 2, tomando c0 = c3 = 0. En este caso hi = 1. Debemos definir?
que corresponden a los intervalos [0,1], [1,2], y [2,3].
Los términos ai se calculan utilizando la relación ai = f (xi) :
a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = 2
Los términos ci se calculan utilizando la relación
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi)ci + hici+1 =3(ai+1 − ai)
hi− 3 (ai − ai−1)
hi−1
lo que lleva al sistema{
4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9
→(
c1c2
)=
(−2,22,8
)
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Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
EjemploVamos a utilizar splines cúbicos al interpolar la función f (x) en lospuntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo que f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0,f (3) = 2, tomando c0 = c3 = 0. En este caso hi = 1. Debemos definir3 Polinomios distintos que corresponden a los intervalos [0,1], [1,2], y[2,3].
Los términos ai se calculan utilizando la relación ai = f (xi) :
a0 = ? a1 = ? a2 = ? a3 = ?
Los términos ci se calculan utilizando la relación
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi)ci + hici+1 =3(ai+1 − ai)
hi− 3 (ai − ai−1)
hi−1
lo que lleva al sistema{
4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9
→(
c1c2
)=
(−2,22,8
)
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Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
EjemploVamos a utilizar splines cúbicos al interpolar la función f (x) en lospuntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo que f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0,f (3) = 2, tomando c0 = c3 = 0. En este caso hi = 1. Debemos definir3 Polinomios distintos que corresponden a los intervalos [0,1], [1,2], y[2,3].
Los términos ai se calculan utilizando la relación ai = f (xi) :
a0 = 0 a1 = ? a2 = ? a3 = ?
Los términos ci se calculan utilizando la relación
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi)ci + hici+1 =3(ai+1 − ai)
hi− 3 (ai − ai−1)
hi−1
lo que lleva al sistema{
4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9
→(
c1c2
)=
(−2,22,8
)
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Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
EjemploVamos a utilizar splines cúbicos al interpolar la función f (x) en lospuntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo que f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0,f (3) = 2, tomando c0 = c3 = 0. En este caso hi = 1. Debemos definir3 Polinomios distintos que corresponden a los intervalos [0,1], [1,2], y[2,3].
Los términos ai se calculan utilizando la relación ai = f (xi) :
a0 = 0 a1 = 1 a2 = ? a3 = ?
Los términos ci se calculan utilizando la relación
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi)ci + hici+1 =3(ai+1 − ai)
hi− 3 (ai − ai−1)
hi−1
lo que lleva al sistema{
4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9
→(
c1c2
)=
(−2,22,8
)
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Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
EjemploVamos a utilizar splines cúbicos al interpolar la función f (x) en lospuntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo que f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0,f (3) = 2, tomando c0 = c3 = 0. En este caso hi = 1. Debemos definir3 Polinomios distintos que corresponden a los intervalos [0,1], [1,2], y[2,3].
Los términos ai se calculan utilizando la relación ai = f (xi) :
a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = ?
Los términos ci se calculan utilizando la relación
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi)ci + hici+1 =3(ai+1 − ai)
hi− 3 (ai − ai−1)
hi−1
lo que lleva al sistema{
4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9
→(
c1c2
)=
(−2,22,8
)
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Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
EjemploVamos a utilizar splines cúbicos al interpolar la función f (x) en lospuntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo que f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0,f (3) = 2, tomando c0 = c3 = 0. En este caso hi = 1. Debemos definir3 Polinomios distintos que corresponden a los intervalos [0,1], [1,2], y[2,3].
Los términos ai se calculan utilizando la relación ai = f (xi) :
a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = 2
Los términos ci se calculan utilizando la relación
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi)ci + hici+1 =3(ai+1 − ai)
hi− 3 (ai − ai−1)
hi−1
lo que lleva al sistema
{4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9
→(
c1c2
)=
(−2,22,8
)
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Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
EjemploVamos a utilizar splines cúbicos al interpolar la función f (x) en lospuntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo que f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0,f (3) = 2, tomando c0 = c3 = 0. En este caso hi = 1. Debemos definir3 Polinomios distintos que corresponden a los intervalos [0,1], [1,2], y[2,3].
Los términos ai se calculan utilizando la relación ai = f (xi) :
a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = 2
Los términos ci se calculan utilizando la relación
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi)ci + hici+1 =3(ai+1 − ai)
hi− 3 (ai − ai−1)
hi−1
lo que lleva al sistema{
4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9
→(
c1c2
)=
(−2,22,8
)Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 18 / 34
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Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
Los valores bi se calculan utilizando bi =ai+1−ai
hi− hi (2ci+ci+1)
3
b0 = 1,733 b1 = −0,467 b2 = 0,133
Los valores di se calculan utilizando di =ci+1−ci
3hi
d0 = −0,733 d1 = 1,667 d2 = −0,933
Por tanto, los polinomios son
P0(x) = −0,733x3 + 1,733x
P1(x) = 1,667 (x − 1)3 − 2,2 (x − 1)2 − 0,467 (x − 1) + 1
P2(x) = −0,933 (x − 2)3 + 2,8 (x − 2)2 + 0,133 (x − 2)
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Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
Los valores bi se calculan utilizando bi =ai+1−ai
hi− hi (2ci+ci+1)
3
b0 = 1,733 b1 = −0,467 b2 = 0,133
Los valores di se calculan utilizando di =ci+1−ci
3hi
d0 = −0,733 d1 = 1,667 d2 = −0,933
Por tanto, los polinomios son
P0(x) = −0,733x3 + 1,733x
P1(x) = 1,667 (x − 1)3 − 2,2 (x − 1)2 − 0,467 (x − 1) + 1
P2(x) = −0,933 (x − 2)3 + 2,8 (x − 2)2 + 0,133 (x − 2)
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Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
Los valores bi se calculan utilizando bi =ai+1−ai
hi− hi (2ci+ci+1)
3
b0 = 1,733 b1 = −0,467 b2 = 0,133
Los valores di se calculan utilizando di =ci+1−ci
3hi
d0 = −0,733 d1 = 1,667 d2 = −0,933
Por tanto, los polinomios son
P0(x) = −0,733x3 + 1,733x
P1(x) = 1,667 (x − 1)3 − 2,2 (x − 1)2 − 0,467 (x − 1) + 1
P2(x) = −0,933 (x − 2)3 + 2,8 (x − 2)2 + 0,133 (x − 2)
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Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
a continuación se muestra una gráfica con los 3 polinomiosconcatenados en el intervalo [0,3]. Como puede observarse no seaprecia nada irregular en las uniones de los intervalos. Parece unaúnica función
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Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos
Presentamos ahora las gráficas de la función derivada y derivadasegunda de la misma función:
derivada primera derivada segunda
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Contenido
1 Interpolación de Hermite
2 Interpolación por splines cúbicos.
3 Interpolación utilizando la función seno cardinal
4 Interpolación de funciones periódicas utilizando polinomiostrigonométricos
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Interpolación de funciones IIInterpolación utilizando la función seno cardinal
Una base de funciones interpolantes muy utilizada en la teoría deFourier es la base formada a partir de la función seno cardinal,definida por
sin c(x) =sin(x)
x
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Interpolación de funciones IIInterpolación utilizando la función seno cardinal
Esta función tiene la propiedad de que en x = 0, sin c(0) = 1, y paracualquier entero i distinto de 0, sin c(πi) = 0.
Dada una función f (x),su función interpolante en los puntos xi = a · i para i = M, ...,N vienedada por la función
f̃ (x) =N
∑i=M
f (xi)sin(π
( xa − i
))
π( x
a − i)
Esta base de funciones se suele utilizar cuando a partir de una señalmuestreada (por ejemplo una señal de sonido que se muestreaguardando el valor de la señal cada cierto intervalo de tiempo)queremos recuperar la señal original (por ejemplo para oir el sonidoalmacenado digitalmente).
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Interpolación de funciones IIInterpolación utilizando la función seno cardinal
Esta función tiene la propiedad de que en x = 0, sin c(0) = 1, y paracualquier entero i distinto de 0, sin c(πi) = 0. Dada una función f (x),su función interpolante en los puntos xi = a · i para i = M, ...,N vienedada por la función
f̃ (x) =N
∑i=M
f (xi)sin(π
( xa − i
))
π( x
a − i)
Esta base de funciones se suele utilizar cuando a partir de una señalmuestreada (por ejemplo una señal de sonido que se muestreaguardando el valor de la señal cada cierto intervalo de tiempo)queremos recuperar la señal original (por ejemplo para oir el sonidoalmacenado digitalmente).
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Interpolación de funciones IIInterpolación utilizando la función seno cardinal
Esta función tiene la propiedad de que en x = 0, sin c(0) = 1, y paracualquier entero i distinto de 0, sin c(πi) = 0. Dada una función f (x),su función interpolante en los puntos xi = a · i para i = M, ...,N vienedada por la función
f̃ (x) =N
∑i=M
f (xi)sin(π
( xa − i
))
π( x
a − i)
Esta base de funciones se suele utilizar cuando a partir de una señalmuestreada (por ejemplo una señal de sonido que se muestreaguardando el valor de la señal cada cierto intervalo de tiempo)queremos recuperar la señal original (por ejemplo para oir el sonidoalmacenado digitalmente).
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Interpolación de funciones IIInterpolación utilizando la función seno cardinal
EjemploSi f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2. La interpolación utilizando lafunción seno cardinal es:
f̃ (x) = ?sin(π (x − 1))π(x − 1)
+?sin(π (x − 3))π(x − 3)
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Interpolación de funciones IIInterpolación utilizando la función seno cardinal
EjemploSi f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2. La interpolación utilizando lafunción seno cardinal es:
f̃ (x) = 1sin(π (x − 1))
π(x − 1)+ 2
sin(π (x − 3))π(x − 3)
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Interpolación de funciones IIInterpolación utilizando la función seno cardinal
Comparación del sin x (en azul) con su aproximación utilizandosin c(x) (en rojo) tomando como puntos de interpolaciónx=−π, −π
2 ,0, π2 ,π.
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Interpolación de funciones IIComparación de la interpolación de Lagrange, los splines cúbicos y seno cardinal.
Polinomio de Lagrange (línea verde), splines cúbicos (línea azul), y lainterpolación por sin c(x) (línea roja).
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Contenido
1 Interpolación de Hermite
2 Interpolación por splines cúbicos.
3 Interpolación utilizando la función seno cardinal
4 Interpolación de funciones periódicas utilizando polinomiostrigonométricos
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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos para aproximar funciones ondulatoriasperiódicas
f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x)
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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Funciones base
f (x) = 2︸︷︷︸amplitud
cos( 1︸︷︷︸frecuencia
x) −2︸︷︷︸amplitud
cos( 2︸︷︷︸frecuencia
x)+ 6︸︷︷︸amplitud
cos( 4︸︷︷︸frecuencia
x)
azulcos ?x
rojocos ?x
verdecos ?x
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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Funciones base
f (x) = 2︸︷︷︸amplitud
cos( 1︸︷︷︸frecuencia
x) −2︸︷︷︸amplitud
cos( 2︸︷︷︸frecuencia
x)+ 6︸︷︷︸amplitud
cos( 4︸︷︷︸frecuencia
x)
azulcos 1x
rojocos ?x
verdecos ?x
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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Funciones base
f (x) = 2︸︷︷︸amplitud
cos( 1︸︷︷︸frecuencia
x) −2︸︷︷︸amplitud
cos( 2︸︷︷︸frecuencia
x)+ 6︸︷︷︸amplitud
cos( 4︸︷︷︸frecuencia
x)
azulcos 1x
rojocos 2x
verdecos ?x
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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Funciones base
f (x) = 2︸︷︷︸amplitud
cos( 1︸︷︷︸frecuencia
x) −2︸︷︷︸amplitud
cos( 2︸︷︷︸frecuencia
x)+ 6︸︷︷︸amplitud
cos( 4︸︷︷︸frecuencia
x)
azulcos 1x
rojocos 2x
verdecos 4x
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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Polinomios trigonométricos
Polinomio trigonométrico : Pk (x) = eikx =
cos kx + i sin kx
cos kx =eikx + e−ikx
2sin kx =
eikx − e−ikx
2
f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x) =
= 1eix + 1e−ix − 1ei2x − 1e−i2x + 3ei4x + 3e−i4x
Descomposición general de una función periódica (de periodo 2π)usando polinomios trigonométricos
f (x) ≈N
∑k=−N
ckeikx
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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Polinomios trigonométricos
Polinomio trigonométrico : Pk (x) = eikx = cos kx + i sin kx
cos kx =
eikx + e−ikx
2sin kx =
eikx − e−ikx
2
f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x) =
= 1eix + 1e−ix − 1ei2x − 1e−i2x + 3ei4x + 3e−i4x
Descomposición general de una función periódica (de periodo 2π)usando polinomios trigonométricos
f (x) ≈N
∑k=−N
ckeikx
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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Polinomios trigonométricos
Polinomio trigonométrico : Pk (x) = eikx = cos kx + i sin kx
cos kx =eikx + e−ikx
2sin kx =
eikx − e−ikx
2
f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x) =
= 1eix + 1e−ix − 1ei2x − 1e−i2x + 3ei4x + 3e−i4x
Descomposición general de una función periódica (de periodo 2π)usando polinomios trigonométricos
f (x) ≈N
∑k=−N
ckeikx
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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Polinomios trigonométricos
Polinomio trigonométrico : Pk (x) = eikx = cos kx + i sin kx
cos kx =eikx + e−ikx
2sin kx =
eikx − e−ikx
2
f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x) =
= ?eix +?e−ix −?ei2x −?e−i2x +?ei4x +?e−i4x
Descomposición general de una función periódica (de periodo 2π)usando polinomios trigonométricos
f (x) ≈N
∑k=−N
ckeikx
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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Polinomios trigonométricos
Polinomio trigonométrico : Pk (x) = eikx = cos kx + i sin kx
cos kx =eikx + e−ikx
2sin kx =
eikx − e−ikx
2
f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x) =
= 1eix + 1e−ix − 1ei2x − 1e−i2x + 3ei4x + 3e−i4x
Descomposición general de una función periódica (de periodo 2π)usando polinomios trigonométricos
f (x) ≈N
∑k=−N
ckeikx
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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Cálculo de los coeficientes de lospolinomios trigonométricos
TeoremaLos coeficientes ck que minimizan el error cuadrático medio
E(c−N , .., cN) =∫ π
−π
(f (x)−
N
∑k=−N
ckeikx
)2
dx son ck =
∫ π−π f (x)e−ikxdx
2π
Demostración Un mínimo de E(c−N , ..., cN), debe verificar :
∂E∂ck
(c−N , ..., cN) =
2∫ π
−π
(f (x)−
N
∑l=−N
cleilx
)eikxdx = 0
la demostración del teorema se concluye teniendo en cuenta que∫ π
−πeilxeikxdx =
∫ π
−πei(l+k)xdx =
ei(l+k)x
i(l + k)
]π
−π
=
{2π si l = −k0 si l 6= k
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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Cálculo de los coeficientes de lospolinomios trigonométricos
TeoremaLos coeficientes ck que minimizan el error cuadrático medio
E(c−N , .., cN) =∫ π
−π
(f (x)−
N
∑k=−N
ckeikx
)2
dx son ck =
∫ π−π f (x)e−ikxdx
2π
Demostración Un mínimo de E(c−N , ..., cN), debe verificar :
∂E∂ck
(c−N , ..., cN) = 2∫ π
−π
(f (x)−
N
∑l=−N
cleilx
)eikxdx =
0
la demostración del teorema se concluye teniendo en cuenta que∫ π
−πeilxeikxdx =
∫ π
−πei(l+k)xdx =
ei(l+k)x
i(l + k)
]π
−π
=
{2π si l = −k0 si l 6= k
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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Cálculo de los coeficientes de lospolinomios trigonométricos
TeoremaLos coeficientes ck que minimizan el error cuadrático medio
E(c−N , .., cN) =∫ π
−π
(f (x)−
N
∑k=−N
ckeikx
)2
dx son ck =
∫ π−π f (x)e−ikxdx
2π
Demostración Un mínimo de E(c−N , ..., cN), debe verificar :
∂E∂ck
(c−N , ..., cN) = 2∫ π
−π
(f (x)−
N
∑l=−N
cleilx
)eikxdx = 0
la demostración del teorema se concluye teniendo en cuenta que∫ π
−πeilxeikxdx =
∫ π
−πei(l+k)xdx =
ei(l+k)x
i(l + k)
]π
−π
=
{2π si l = −k0 si l 6= k
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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Cálculo de los coeficientes de lospolinomios trigonométricos
TeoremaLos coeficientes ck que minimizan el error cuadrático medio
E(c−N , .., cN) =∫ π
−π
(f (x)−
N
∑k=−N
ckeikx
)2
dx son ck =
∫ π−π f (x)e−ikxdx
2π
Demostración Un mínimo de E(c−N , ..., cN), debe verificar :
∂E∂ck
(c−N , ..., cN) = 2∫ π
−π
(f (x)−
N
∑l=−N
cleilx
)eikxdx = 0
la demostración del teorema se concluye teniendo en cuenta que∫ π
−πeilxeikxdx =
∫ π
−πei(l+k)xdx =
ei(l+k)x
i(l + k)
]π
−π
=
{2π si l = −k0 si l 6= k
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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Cálculo de los coeficientes de lospolinomios trigonométricos
TeoremaLos coeficientes ck que minimizan el error cuadrático medio
E(c−N , .., cN) =∫ π
−π
(f (x)−
N
∑k=−N
ckeikx
)2
dx son ck =
∫ π−π f (x)e−ikxdx
2π
Demostración Un mínimo de E(c−N , ..., cN), debe verificar :
∂E∂ck
(c−N , ..., cN) = 2∫ π
−π
(f (x)−
N
∑l=−N
cleilx
)eikxdx = 0
la demostración del teorema se concluye teniendo en cuenta que∫ π
−πeilxeikxdx =
∫ π
−πei(l+k)xdx =
ei(l+k)x
i(l + k)
]π
−π
=
{2π si l = −k0 si l 6= k
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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Ejemplo de aproximación
Consideremos la función
f (x) ={
1 si x ∈ [−π2 ,
π2 ]
0 si x /∈ [−π2 ,
π2 ]
Vamos a calcular el polinomio trigonométrico interpolante para N = 3.Los valores de ck son
c0 =
∫ π−π f (x)dx
2π=
12
c1 =
∫ π−π f (x)e−ixdx
2π=
1π
= c−1
c2 =
∫ π−π f (x)e−2ixdx
2π= 0 = c−2 c3 =
∫ π−π f (x)e−3ixdx
2π= − 1
3π= c−3
Por tanto, el polinomio trigonométrico interpolador es
P3(x) =12+
2π
cos(x)− 23π
cos(3x)
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Consideremos la función
f (x) ={
1 si x ∈ [−π2 ,
π2 ]
0 si x /∈ [−π2 ,
π2 ]
Vamos a calcular el polinomio trigonométrico interpolante para N = 3.Los valores de ck son
c0 =
∫ π−π f (x)dx
2π=
12
c1 =
∫ π−π f (x)e−ixdx
2π=
1π
= c−1
c2 =
∫ π−π f (x)e−2ixdx
2π= 0 = c−2 c3 =
∫ π−π f (x)e−3ixdx
2π= − 1
3π= c−3
Por tanto, el polinomio trigonométrico interpolador es
P3(x) =12+
2π
cos(x)− 23π
cos(3x)
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Consideremos la función
f (x) ={
1 si x ∈ [−π2 ,
π2 ]
0 si x /∈ [−π2 ,
π2 ]
Vamos a calcular el polinomio trigonométrico interpolante para N = 3.Los valores de ck son
c0 =
∫ π−π f (x)dx
2π=
12
c1 =
∫ π−π f (x)e−ixdx
2π=
1π
= c−1
c2 =
∫ π−π f (x)e−2ixdx
2π= 0 = c−2 c3 =
∫ π−π f (x)e−3ixdx
2π= − 1
3π= c−3
Por tanto, el polinomio trigonométrico interpolador es
P3(x) =12+
2π
cos(x)− 23π
cos(3x)
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Consideremos la función
f (x) ={
1 si x ∈ [−π2 ,
π2 ]
0 si x /∈ [−π2 ,
π2 ]
Vamos a calcular el polinomio trigonométrico interpolante para N = 3.Los valores de ck son
c0 =
∫ π−π f (x)dx
2π=
12
c1 =
∫ π−π f (x)e−ixdx
2π=
1π
= c−1
c2 =
∫ π−π f (x)e−2ixdx
2π= 0 = c−2 c3 =
∫ π−π f (x)e−3ixdx
2π= − 1
3π= c−3
Por tanto, el polinomio trigonométrico interpolador es
P3(x) =12+
2π
cos(x)− 23π
cos(3x)
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Consideremos la función
f (x) ={
1 si x ∈ [−π2 ,
π2 ]
0 si x /∈ [−π2 ,
π2 ]
Vamos a calcular el polinomio trigonométrico interpolante para N = 3.Los valores de ck son
c0 =
∫ π−π f (x)dx
2π=
12
c1 =
∫ π−π f (x)e−ixdx
2π=
1π
= c−1
c2 =
∫ π−π f (x)e−2ixdx
2π= 0 = c−2 c3 =
∫ π−π f (x)e−3ixdx
2π= − 1
3π= c−3
Por tanto, el polinomio trigonométrico interpolador es
P3(x) = ?+? cos(x)−? cos(3x)
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Consideremos la función
f (x) ={
1 si x ∈ [−π2 ,
π2 ]
0 si x /∈ [−π2 ,
π2 ]
Vamos a calcular el polinomio trigonométrico interpolante para N = 3.Los valores de ck son
c0 =
∫ π−π f (x)dx
2π=
12
c1 =
∫ π−π f (x)e−ixdx
2π=
1π
= c−1
c2 =
∫ π−π f (x)e−2ixdx
2π= 0 = c−2 c3 =
∫ π−π f (x)e−3ixdx
2π= − 1
3π= c−3
Por tanto, el polinomio trigonométrico interpolador es
P3(x) =12+? cos(x)−? cos(3x)
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Consideremos la función
f (x) ={
1 si x ∈ [−π2 ,
π2 ]
0 si x /∈ [−π2 ,
π2 ]
Vamos a calcular el polinomio trigonométrico interpolante para N = 3.Los valores de ck son
c0 =
∫ π−π f (x)dx
2π=
12
c1 =
∫ π−π f (x)e−ixdx
2π=
1π
= c−1
c2 =
∫ π−π f (x)e−2ixdx
2π= 0 = c−2 c3 =
∫ π−π f (x)e−3ixdx
2π= − 1
3π= c−3
Por tanto, el polinomio trigonométrico interpolador es
P3(x) =12+
2π
cos(x)−? cos(3x)
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Consideremos la función
f (x) ={
1 si x ∈ [−π2 ,
π2 ]
0 si x /∈ [−π2 ,
π2 ]
Vamos a calcular el polinomio trigonométrico interpolante para N = 3.Los valores de ck son
c0 =
∫ π−π f (x)dx
2π=
12
c1 =
∫ π−π f (x)e−ixdx
2π=
1π
= c−1
c2 =
∫ π−π f (x)e−2ixdx
2π= 0 = c−2 c3 =
∫ π−π f (x)e−3ixdx
2π= − 1
3π= c−3
Por tanto, el polinomio trigonométrico interpolador es
P3(x) =12+
2π
cos(x)− 23π
cos(3x)
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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Ejemplo de aproximación
La siguiente gráfica muestra la aproximación entre f (x) y P3(x):
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