UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

DIPLOMSKO DELO

DARJA MIHELČIČ

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

Študijski program: matematika in fizika

HOOKOVE ELIPSE

DIPLOMSKO DELO

Mentor: dr. Marko Razpet Kandidatka: Darja Mihelčič

Ljubljana, maj 2013

i

Program dela

V diplomskem delu obravnavajte Hookove elipse. Uporabite fizikalni pristop in raziščite

lastnosti Hookovih elips z geometrijskimi in analitičnimi sredstvi.

Ljubljana, marec 2013 Mentor: dr. Marko Razpet

ii

Zahvala

Z diplomskim delom se zaključuje pomembno obdobje mojega življenja. Ob tej

priložnosti se zahvaljujem vsem, ki ste mi v tem času kakorkoli pomagali.

Zahvaljujem se svojemu mentorju dr. Marku Razpetu za spodbudne besede že takrat, ko

ste me sprejeli pod svoje mentorstvo, zaradi katerih sem verjela, da bom tudi to zmogla

in se resno lotila dela. Hvala za ves čas, ki ste mi ga posvetili za pomoč in usmerjanje pri

nastajanju diplomskega dela. Iskrena hvala za dostopnost, za vsa znanja ter pomembne

informacije tekom študija in v zadnjem letu.

Zahvalila bi se tudi vsem mentorjem iz obveznih praks in nastopov za pozitivne prve

izkušnje v razredu. Hvala za vse nasvete in spodbudne besede.

Velika zahvala gre moji družini. Hvala staršema za zaupanje, podporo, da sta verjela

vame tudi takrat, ko mi ni šlo, in mi finančno omogočila študij. Hvala sestri Damjani in

bratu Mateju, ki sta me vedno spodbujala, me bodrila, ko mi je bilo najtežje, ter mi

pomagala, če sta le lahko. Hvala tudi nečakinji Alijani, ki me je s svojim smehom in

razigranostjo napolnila z energijo ter optimizmom in mi dala zagon za pisanje

diplomskega dela. Hvala Marku za vso potrpežljivost in podporo.

Hvala tudi mojim prijateljem, sošolcem, sorodnikom in znancem, ki ste me spodbujali,

poslušali, svetovali, pomagali ali pa mi le namenili lepo besedo. Vse to mi je tekom

študija pomagalo, da sem vztrajala.

Še enkrat hvala vsem, ki ste mi stali ob strani, z vami mi je uspelo.

iii

Hookove elipse - povzetek

V diplomskem delu so opisane značilnosti elips in nihanja. Glavna nit diplomskega dela

so Hookove elipse, ki so ime dobile po Robertu Hooku, katerega delovanje je tudi na

kratko predstavljeno. Namen diplomskega dela je dokazati, da se pri nihalu, ki niha

hkrati v dveh med seboj pravokotnih smereh, oblikuje elipsa. Dotakne se tudi drugega

fizikalnega primera, v katerem se pojavi del Hookove elipse. Predstavljene so tudi

značilnosti in ploščina Hookovih elips. Vse to je vizualno podkrepljeno s slikami iz

programskega orodja GeoGebra.

Ključne besede: elipsa, nihanje, Robert Hooke, Hookova elipsa, diferencialna enačba,

integral, adicijski izrek.

Hooke's ellipses – Abstract

Characteristics of ellipses and oscillations are described in this graduation thesis. The

main subject of graduation thesis are Hook's ellipses which were named after Robert

Hooke, whose life and works are also slightly presented. The main purpose of this

graduation thesis is to prove, that the pendulum which oscillates at the same time in two

mutually perpendicular directions, forms an ellipse. It also includes the second physical

example, where a part of Hooke's ellipse appears. Characteristics and area of Hooke's

ellipses are also presented and visually shown in program tool GeoGebra.

Keywords: ellipse, oscillation, Robert Hooke, Hooke's ellipse, differential equations,

integral, addition theorems.

iv

Kazalo vsebine 1 Uvod ................................................................................................................................................................. 1

2 ELIPSE ............................................................................................................................................................. 2

2.1 Definicija ................................................................................................................................................ 2

2.2 Žarek skozi gorišče ............................................................................................................................. 7

2.3 Zgodovina ........................................................................................................................................... 13

2.4 Ploščina ................................................................................................................................................ 14

2.5 Dolžina ................................................................................................................................................. 16

2.6 Elipse v polarni obliki .................................................................................................................... 19

2. 7 Zasuk koordinatnega sistema .................................................................................................... 22

3 NIHANJE ...................................................................................................................................................... 26

3.1 Značilnosti .......................................................................................................................................... 26

4 ROBERT HOOKE ....................................................................................................................................... 27

5 HOOKOVE ELIPSE .................................................................................................................................... 29

5.1 Lastnosti Hookovih elips............................................................................................................... 45

5.2 Ploščina Hookovih elips ................................................................................................................ 50

6 Zaključek ..................................................................................................................................................... 56

Literatura in viri ............................................................................................................................................ 57

Spletni viri ....................................................................................................................................................... 57

v

Kazalo slik Slika 1: Elipsa .................................................................................................................................................... 2

Slika 2: Radijvektorja sta vzporedna ....................................................................................................... 4

Slika 3: Minimalna oddaljenost točke T od koordinatnega izhodišča ........................................ 5

Slika 4: Odbojni zakon za ravno zrcalo ................................................................................................... 7

Slika 5: Koordinati točke T sta različni od nič .................................................................................... 8

Slika 6: Gradient grad F je pravokoten na elipso ................................................................................ 9

Slika 7: Enotska vektorja tvorita romb ................................................................................................ 11

Slika 8: Odbojni zakon v elipsi ................................................................................................................. 12

Slika 9: Stožnice [5] ..................................................................................................................................... 13

Slika 10: Četrtina elipse v prvem kvadrantu...................................................................................... 15

Slika 11: Koordinatni sistem s središčem v gorišču elipse ........................................................... 19

Slika 12: Nov koordinatni sistem, zasukan za kot ...................................................................... 22

Slika 13: Vzmetno nihalo [6] .................................................................................................................... 26

Slika 14: Risba bolhe [4] ............................................................................................................................ 27

Slika 15: Nitno nihalo .................................................................................................................................. 29

Slika 16: Razstavljena zunanja sila ........................................................................................................ 30

Slika 17: Začetna hitrost kaže v smeri koordinatnega izhodišča ............................................... 34

Slika 18: Enačbi sta med seboj odvisni ................................................................................................ 34

Slika 19: Hookova elipsa ............................................................................................................................ 38

Slika 20: Primer Lissajousove figure, kjer je razmerje med frekvencama 3:4 (foto: lasten

arhiv) ................................................................................................................................................................. 40

Slika 21: Primer, kjer je razmerje med frekvencama 2:3 (foto: lasten arhiv) ...................... 40

Slika 22: Lastnost Lüneburgove leče (M. Razpet, 2012) ............................................................... 42

Slika 23: Lüneburgova leča v prerezu (M. Razpet, 2012) ............................................................. 43

Slika 24: Naklon daljice, kadar je 0 ............................................................................................... 47

Slika 25: Naklon daljice, kadar je 0 ............................................................................................... 47

Slika 26: Daljica, kadar je zelo velika ................................................................................................ 48

Slika 27: Elipsa, kadar je b največja oddaljenost od temena ...................................................... 50

1

1 Uvod

Stožnice so poznali že stari Grki. V diplomskem delu sem se posvetila predvsem elipsam.

Pri različnih fizikalnih pojavih, kot so nihanje nitnega nihala in v dveh med seboj

pravokotnih smereh sestavljeno nihanje z isto frekvenco, opazimo, da se težišče

zanihanega predmeta giblje po elipsi. To krivuljo imenujemo Hookova elipsa. Prav tako

se žarek skozi Lüneburgovo lečo ukrivi po loku Hookove elipse.

Cilji mojega diplomskega dela so bili dokazati, da je pot, ki jo opiše nitno nihalo, elipsa,

imenovana Hookova, in ugotoviti lastnosti teh elips ter izračunati njihovo ploščino.

V prvem poglavju diplomskega dela sem podala definicijo elipse, formuli za izračun

ploščine ter obsega elipse. Izpeljana je enačba elipse, ko je koordinatni sistem zasukan,

in tudi enačba elipse v polarni obliki, kakor jo je zapisal Jurij Vega. Navedla sem tudi

zanimivo lastnost elipse: svetlobni žarek, ki izhaja iz enega gorišča, se v neki točki na

elipsi odbije v njeno drugo gorišče.

V drugem poglavju sem opisala nekaj značilnosti nihanja. Ta fizikalni pojav lahko

prepoznamo vsakodnevno, če smo na primer le malce pozorni, kaj se dogaja z vrati, ko

zapuščamo stolpnico, ali pa se ozremo k veji, s katere je ravno vzletela ptica.

V tretjem poglavju sem na kratko opisala, s čim vse se je ukvarjal Robert Hooke.

Navkljub slabemu zdravju, ki ga je spremljalo celo življenje, je študiral na Oxfordu in

postal član »Kraljeve družbe«. Med drugim se je ukvarjal z mikroskopiranjem, kot prvi

poimenoval celico ter kot arhitekt in gradbeni nadzornik pripomogel k izgradnji

Londona po požaru.

V zadnjem poglavju pa sem se posvetila samim Hookovim elipsam. Osredotočila sem se

na nastanek teh elips, z nitnim nihalom in vzmetnim nihalom, ki z isto frekvenco nihata v

dveh med seboj pravokotnih smereh. Navedla sem tudi, da skozi Lüneburgovo lečo žarek

naredi pot, ki ustreza delu elipse, ki je tudi Hookova elipsa. Navedla in opisala sem

značilnosti Hookovih elips ter izpeljala njihovo ploščino.

2

2 ELIPSE

2.1 Definicija

Elipso sestavljajo vse točke v ravnini, za katere velja, da je vsota razdalj od dveh stalnih

točk 1G in 2G , ki sta gorišči elipse, konstantna. To lastnost v praksi večkrat uporabljajo

vrtnarji, ko oblikujejo vrtičke elipsastih oblik, in tudi v drugih poklicih, kjer vsakodnevno

uporabljajo tovrstne oblike.

Slika 1: Elipsa

Če sta prevodnici ali radijvektorja 1 1r TG in 2 2 r TG ter je 2a stalna vsota razdalj,

potem iz definicije elipse sledi, da za vsako točko T na elipsi velja

1 2 2r r a .

Pri tem koordinatni sistem leži tako, da sta gorišči elipse na abscisni osi, izhodišče O pa

na središču daljice 1 2G G .

Razdalja med goriščema 1G in 2G je 2e , zatorej imata gorišči naslednji koordinati: 1( ,0)G e

in 2 ( ,0).G e

Za vsako točko ( , )T x y na elipsi potem velja:

2 2 2

1 ( ) ,r x e y

2 2 2

2 ( ) .r x e y

3

Če zgornji enačbi med seboj odštejemo, dobimo

2 2

2 1 4 .r r ex

Vemo, da je

2 2

2 1 2 1 2 1( )( )r r r r r r in 1 2 2 .r r a

Če upoštevamo zadnje tri ugotovitve, sledi

2 14 2 ( ),ex a r r

2 1

2exr r

a .

Za izračun radijvektorjev 1r , 2r uporabimo enačbi

1 2 2r r a in 2 1

2.

exr r

a

Od tod sledi:

1

2

,

.

exr a

a

exr a

a

Če uporabimo izraz za radijvektor 1r in ga vstavimo v enačbo

2 2 2

1 ( ) ,r x e y

dobimo izraz

2 2 2( ) ( )ex

a x e ya

oziroma

2

2 2 2 222 .

aex exa x ex e y

a a

4

Celotno enačbo pomnožimo z 2a , da se znebimo ulomkov, in uredimo zapis

4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 ,

( ) ( ) .

a a ex e x a x a ex a e a y

a a e x a e a y

Točke, v katerih krivulja seka abscisno oziroma ordinatno os, se imenujejo temena

elipse.

Pri naslednji sliki vidimo, da je točka ,T kjer elipsa seka abscisno os, najbolj oddaljena

od središča O in tedaj sta vektorja 1r in 2r vzporedna oziroma se celo prekrivata.

Slika 2: Radijvektorja sta vzporedna

Vemo, da je njuna vsota enaka 2 .a V tem primeru je 2 2 ,r e l kjer je l razdalja med

goriščem 1G in temenom, točko ,T ko je na abscisni osi. Radijvektor 1r je v tem primeru

kar enak razdalji .l Vemo, da velja

1 2 2r r a .

V našem primeru je vsota radijvektorjev naslednja

2 2 ,

2( ) 2 .

e l l a

e l a

Torej je razdalja med koordinatnim izhodiščem in točko T , ki je maksimalno oddaljena

od izhodišča, kar enaka a .

5

Na naslednji sliki je točka T minimalno oddaljena od koordinatnega izhodišča. To

razdaljo označimo z .b

Slika 3: Minimalna oddaljenost točke T od koordinatnega izhodišča

Vidimo, da tedaj radijvektorja 1r in 2r skupaj z razdaljo gorišč 2e sestavljata enakokraki

trikotnik in zanju velja

1 2r r .

Ker je vsota radijvektorjev enaka 2 ,a sta dolžini radijvektorjev naslednji

1 2r r a .

Oblikuje se pravokotni trikotnik z oglišči 1TOG , s pomočjo katerega lahko z a in e

izrazimo velikost minimalne oddaljenosti točke T od središča elipse ,b ki jo imenujemo

tudi mala polos elipse.

Za izračun uporabimo Pitagorov izrek

2 2 2.b a e

Zaradi trikotniške neenakosti v trikotniku 1 2TG G velja, da je 2 2a e in zato je tudi b

realen.

Sledi:

2 2 2 2 2 2a b x b a y

oziroma

6

2 2

2 21.

x y

a b

Točke, v katerih elipsa seka koordinatni osi, se imenujejo temena elipse. Od središča do

najbolj oddaljenega temena se meri velika polos, ki jo označimo z .a Podobno je b mala

polos elipse in se meri od središča do najbližjega temena. (I. Vidav,1990; B. Dvoržak,

2001)

7

2.2 Žarek skozi gorišče

Zanimiva lastnost elipse, če bi bila na notranji strani zrcalo, je, da se svetlobni žarek, ki

izhaja iz enega gorišča elipse, na notranji strani le-te odbije in nadaljuje pot skozi drugo

gorišče. (M. Razpet, 1998)

Predpostavimo, da je elipsa v središčni legi. Opazujemo odboj žarka v točki ( , )T x y ,

gorišči pa sta v točkah 1 2,0 in ,0 .G e G e

Za temeni elipse na daljši osi velja, da je tam tangenta pravokotna na vektorja

1 2oziroma r r .

Odbiti in vpadni žarek sta v isti ravnini, zanju velja odbojni zakon za ravno zrcalo, ki

pravi, da je vpadni kot enak odbitemu kotu (I. Drevenšek-Olenik, 2009):

1.

Slika 4: Odbojni zakon za ravno zrcalo

Žarek, ki izhaja iz enega gorišča, se na elipsi odbije po odbojnem zakonu za ravno zrcalo.

Ker je vpadni kot enak odbitemu, bo šel odbiti žarek ravno čez drugo gorišče.

Odboj na ukrivljenem zrcalu obravnavamo kot odboj na tangenti, za vpadno

pravokotnico pa vzamemo normalo v točki odboja.

8

Slika 5: Koordinati točke T sta različni od nič

Za elipso velja

1 2 2 ,r r a

kar lahko zapišemo tudi kot

1 2 2 0.r r a

Vektorja 1r in 2r definirajmo med goriščema in točko T :

1 1 2 2

1 1

2

T in ,

( ,0 ), ( , ) in

( , ).

r G r G T

r x e y r x e y

r x e y

Dolžini vektorjev sta naslednji

2 2

1 1

2 2

2 2

( ) ,

( ) .

r r x e y

r r x e y

Enačbo

1 2 2 0r r a

lahko zapišemo s funkcijo ,F definiramo z izrazom

2 2 2 2( , ) ( ) ( ) 2 ,F x y x e y x e y a

9

za katero na elipsi velja

( , ) 0F x y .

Z izračunom gradienta grad F dobimo vektor, ki je pravokoten na tangento elipse v točki

( , )T x y

grad ( , ).F F

Fx y

Slika 6: Gradient grad F je pravokoten na elipso

Grad F izračunamo kot vsoto 1grad r in 2grad r .

Izračunajmo najprej posamezna gradienta, najprej za

1 11

1

1

2 2 12

1

1

2 2 12

1

1 1

grad ( , ),

1 1 1( , ) 2( ) ( ),

2(( ) )

1 1 1( , ) 2 ,

2(( ) )

grad ( , ),

r rr

x y

rx y x e x e

x rx e y

rx y y y

y rx e y

x e yr

r r

10

nato pa za

2 22

2

1

2 2 22

2

1

2 2 22

2

2 2

grad ( , ),

1 1 1( , ) 2( ) ( ),

2(( ) )

1 1 1( , ) 2 ,

2(( ) )

grad ( , ).

r rr

x y

rx y x e x e

x rx e y

rx y y y

y rx e y

x e yr

r r

Torej

1 2

1 1 2 2

1 2

grad grad grad ,

grad ( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ).

F r r

x e y x e yF

r r r r

x e y x e yr r

Opazimo, da sta izraza v oklepaju enaka kot v definiciji vektorjev 1r in 2 ,r zato lahko

zapišemo, da je (M. Razpet, 2009)

1 2

1 2

1 1grad .F r r

r r

Enotski vektor e je definiran kot vektor, katerega absolutna vrednost je enaka 1. Lahko

ga izpeljemo iz enakosti za poljubni vektor 0:a

,a e a

pri čemer je a modul vektorja, e pa ima isto smer kot vektor a . (I. N. Bronštejn, 2009)

Torej je enotski vektor e v smeri vektorja a enak

1e a

a .

11

Vidimo, da za naš primer velja, da sta 1 2

1 2

1 1in r r

r r enotska vektorja in ju zapišemo kot

1 1

1

2 2

2

1,

1.

e rr

e rr

Torej je

1 2grad .F e e

Slika 7: Enotska vektorja tvorita romb

Opazimo, da se pri seštevanju dveh enotskih vektorjev po paralelogramskem pravilu

oblikuje romb (slika 7), za katerega velja, da ima vse stranice enako dolge. V našem

primeru je diagonala romba, kar grad ,F ki kot razdeli na dva dela, na kota in .

Diagonali romba razpolavljata kote, torej za naš primer velja

.

Skozi diagonalo romba grad F lahko potegnemo premico ,p ki je zaradi lastnosti

gradienta pravokotna na tangento v točki .T

12

Slika 8: Odbojni zakon v elipsi

Ta premica razpolavlja kot, ki je sovršen kotu , in v skupnem vrhu, v točki ,T velja

odbojni zakon, premica p pa je vpadna pravokotnica. Ker imata enotska vektorja 1e in

2e smeri vektorjev 1 2 ,r roziroma se svetlobni žarek, ki izhaja iz gorišča 2G , v točki T

odbije in potuje skozi gorišče 1G .

To lastnost elipse uporabljajo predvsem v laserski tehniki. (M. Razpet, 1998)

13

2.3 Zgodovina

V podzemni jami Altamira v gorah severne Španije so našli slike, pretežno bizonov, stare

okrog dvajset tisoč let. Torej so že tedaj ljudje znali vleči različne črte, ki bi jih lahko

danes imenovali krivulje. (M. Razpet, 1998)

Okoli leta 350 pred Kr. se je v stari Grčiji Menájhmos, ki je bil učitelj Aleksandra Velikega

(356 pred Kr. – 323 pred Kr.), začel ukvarjati s storženicami, ki jim danes rečemo

stožnice. To so krivulje, ki nastanejo z ravninskim

presekom stožca. Stoletje kasneje se je tovrstnih

raziskovanj lotil Apolonij (265 pred Kr. – 170

pred Kr.), ki ga je zanimalo, kakšne krivulje ali

premice oblikujejo te množice točk. Geometrijske

like je še vedno povezoval s številskimi odnosi le

s pomočjo razmerij in besed. (W. P. Berlinghoff,

2008)

Japonci pa so elipso obravnavali kot presek valjaste ploskve z ravnino.

Znanost se je v Evropi ponovno razmahnila v obdobju humanizma in renesanse.

Johannes Kepler (1571 – 1630) je odkril, da je pot, po kateri se gibljejo planeti okrog

Sonca, elipsa. (A. Mazer, 2010)

Francoski inženir, arhitekt in matematik Gérard Desargues (1593 – 1662) velja za

predhodnika projektivne geometrije. Ukvarjal se je s študijo projekcij in ugotovil, da

slika kroga ni nujno krog, je pa vedno presek stožca. Iz umetnosti vemo, da slikarji

slikajo projekcijo kroga na ravnino kot elipso. (W. P. Berlinghoff, 2008)

Slika 9: Stožnice [5]

14

2.4 Ploščina

Določeni integral se uporablja tako v fiziki kot tudi v geometriji. V slednji je primeren za

izračun ploščine, dolžine krivulj, prostornine in površine rotacijskih teles.

Za izračun ploščine elipse si pomagamo z načinom, ki je primeren za zvezne in

odsekoma zvezne funkcije, ki jih integriramo po delčkih.

Primer za krivuljo ( ) 0.y f x

Njeno definicijsko območje

2( , ) : ,0 ( ) .D x y a x b y f x

Tako lahko zapišemo formulo za izračun ploščine ( )S D lika ,D ki ga v koordinatnem

sistemu omejujejo krivulja ( ),y f x premici x a in x b ter abscisna os:

S(𝒟) ( ) .

b

a

f x dx

Izhajamo iz kanonične oblike zapisa elipse, to se pravi

2 2

2 21.

x y

a b

Preoblikujemo jo v eksplicitno obliko:

2 2

2 2

2

2

2

2

1 ,

1 ,

1 .

y x

b a

y x

b a

xy b

a

Elipso s koordinatnima osema razdelimo na štiri ploščinsko enake dele. Podrobneje si

poglejmo četrtino elipse v prvem kvadrantu.

15

Slika 10: Četrtina elipse v prvem kvadrantu

Ploščino elipse zapišemo torej kot

S(𝒟)22

2

0

4 1 .x

bdxa

Uvedemo novo spremenljivko

sin , sinx

t x a ta

in dobimo

S(𝒟)2 2

2 2

0 0

4 1 sin cos 4 cos .ab t t dt ab t dt

Izraz 2cos t lahko zapišemo v obliki 2 1cos (1 cos 2 )

2t t

in dobimo

S(𝒟)2 2 2

0 0 0

1 cos2 1 14 2 ( cos2 ) 2 ( 0 sin(2 ) sin(2 0)),

2 2 2 2 2

tab dt ab dt t dt ab

S(𝒟) 2 ( 0 0 0),2

ab

S(𝒟) .ab

Torej je ploščina elipse S(𝒟) ab .

16

2.5 Dolžina

Tudi za izračun dolžine elipse bomo uporabili integral.

Univerzalna formula za izračun dolžine krivulje 𝒦 med dvema točkama, podani v

parametrični obliki, je

s(𝒦) 2 2x y dt

,

pri čemer morata biti odvoda x in y zvezna.

Elipso koordinatni osi razdelita na štiri skladne dele, zato izračunamo dolžino četrtine

elipse, ki se nahaja v prvem kvadrantu. Ta izračun pomnožimo s štiri ter tako dobimo

dolžino celotne elipse.

Vemo, da velja 0a b in lahko x ter y podamo v naslednji obliki:

cos ,

sin .

x a t

y b t

Odvajajmo x in y

sin ,

cos

x a t

y b t

ter vstavimo v gornjo enačbo za izračun dolžine krivulje

s(𝒦)2 2

2 2 2 2 2 2

0 0

4 ( sin ) ( cos ) 4 sin cos .a t b t dt a t b t dt

Iz zvez za kotne funkcije uporabimo povezavo

2 2sin 1 cost t

in jo upoštevamo pri nadaljnjem računanju

s(𝒦)2

2 2 2 2

0

4 (1 cos ) cosa t b t dt

22 2 2 2 2

0

22 2 2 2

0

4 cos cos

4 ( )cos .

a a t b t dt

a a b t dt

17

Pri elipsi vemo, da mala polos ,a velika polos b in razdalja med goriščem ter

koordinatnim izhodiščem e sestavljajo pravokoten trikotnik, zato lahko zapišemo

2 2 2.b e a

Torej lahko v zgornjem integralu uporabimo zvezo

2 2 2.e a b

in zapišemo

s(𝒦)2

2 2 2

0

4 cosa e t dt

222

2

0

4 1 cos .e

a t dta

Pri elipsi razmerje med razdaljo koordinatnega izhodišča in gorišča e ter veliko polosjo

a imenujemo numerična ekscentričnost , ki nam pove sploščenost elipse.

Zvezo

e

a

uporabimo v enačbi dolžine krivulje s(𝒦)

s(𝒦)2

2 2

0

4 1 cos .a t dt

Vpeljemo komplementarni kot

2u t

, .du dt

Spremenijo se meje pri določenem integralu.

Zgornja meja 2

t

nam da z vpeljavo nove spremenljivke u vrednost

02 2

u

,

18

za spodnjo mejo 0t pa je vrednost

02 2

u

.

Zapišemo izraz

s(𝒦)0

2 2

2

4 1 cos ( ) .2

a u du

Pri kotnih funkcijah za pare komplementarnih kotov velja

cos( ) sin .2

u u

Uporabimo gornjo povezavo pri računanju dolžine elipse

s(𝒦)2

2 2

0

4 1 sina u du

.

Vpeljemo popolni eliptični integral druge vrste ( ),E ki je definiran z

22 2

0

( ) 1 sin , 0 1.E u du

Izraz za izračun obsega elipse je torej

s(𝒦) 4 ( )aE .

Številske vrednosti za ( )E najdemo v tabelah, izračunamo pa jih lahko tudi z

računalnikom, ki ima nameščen primeren program.

(M. Razpet, 2009)

19

2.6 Elipse v polarni obliki

Zanimiv je tudi zapis enačbe elipse v polarni obliki, ki jo je zapisal slovenski matematik,

fizik, balistik, geodet in med drugim tudi meteorolog baron Jurij Vega (1754-1802). [1]

Koordinatni sistem postavimo v eno izmed gorišč elipse. Naj bo to v gorišču 2G (slika

11). Izberemo si tudi poljubno točko T na elipsi, ki jo povežemo z goriščem 1.G Daljico

1G T imenujemo radijvektor 1,r daljico 2G T pa poimenujemo kar .r Kot z vrhom v točki

2G , ki ga v prvem kvadrantu koordinatnega sistem opišeta abscisna os in radijvektor ,r

imenujemo .

Slika 11: Koordinatni sistem s središčem v gorišču elipse

Opazimo, da nam točke 1 2,G G in T določajo trikotnik 1 2 ,G G T katerega kot z vrhom

v gorišču 2G , je suplementaren kotu . Tako lahko za izračun stranice trikotnika 1r

uporabimo kosinusni izrek

22 2

1 2 2 2 cos .r r e e r

Iz trigonometrije poznamo naslednjo zvezo za vrednost kotne funkcije suplementarnega

kota kotu

cos cos .

Zato lahko 2

1r zapišemo tudi kot

2

1r2 24 4 cos .r e er

20

Vemo, da za vsako točko T na elipsi velja zveza

1 2r r a .

Iz slednje enačbe izrazimo 1r in nov izraz vstavimo v kosinusni izrek, ki smo ga zapisali

zgoraj:

1

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 ,

2 4 4 cos ,

4 4 4 4 cos ,

4 4 4 4 cos ,

4 4 4 4 cos ,

4 4 cos .

r a r

a r r e er

a ar r r e er

a ar e er

a e ar er

a e r a r

Vemo, da velja zveza

2 2 2b a e

in zato lahko zgornjo enačbo zapišemo tudi drugače:

2 cos .b r a e

Sedaj lahko radijvektor r izrazimo kot

2

.cos

br

a e

Enačbo uredimo tako, da izraza v števcu in imenovalcu delimo z veliko polosjo a

2

.

1 cos

b

are

a

Dobljeno enačbo zapišemo kot

1 cos

pr

,

pri čemer velja 0 1.

21

Vidimo, da je r pozitiven. Dobili smo enačbo elipse v polarni obliki.

Pri tem sta 2b

pa

parameter in e

a

numerična ekscentričnost elipse.

Polarna oblika enačbe elipse je še posebej koristna v astronomiji pri drugem

Keplerjevem zakonu. Zakon je znan tudi kot izrek o ploščinski hitrosti in velja za vsa

telesa, ki pod vplivom gravitacije krožijo eden okrog drugega, torej za centralna gibanja.

Kepler ga je, s pomočjo svojih in Brahejevih meritev, zapisal predvsem pri raziskovanju

in opazovanju kroženja planetov okrog Sonca. Ugotovil je, da zveznica Sonca in planeta v

enakih časih opiše enake ploščine. Kar pomeni, da se hitrost kroženja manjšega telesa, ki

se giblje okrog večjega, z oddaljenostjo od večjega telesa zmanjšuje. [2]

22

2. 7 Zasuk koordinatnega sistema

Imamo standardni koordinatni sistem, katerega abscisno os označimo z ,x ordinatno os

pa z .y V tem koordinatnem sistemu imamo točko ,T ki jo zapišemo kot urejen par

, .x y Lahko pa ustvarimo nov koordinatni sistem, ki je glede na starega zasukan za kot

. Novo abscisno os označimo kot , ordinatno os pa kot . Z novim koordinatnim

sistemom se točki T spremenijo koordinate, in sicer v , .T

Slika 12: Nov koordinatni sistem, zasukan za kot

Koordinati novega koordinatnega sistema lahko izrazimo s koordinatama x in y

starega koordinatnega sistema

cos sin ,

sin cos .

x y

x y

To lahko zapišemo tudi v matrični obliki:

cos sin.

sin cos

x

y

Obratno pa velja:

cos sin.

sin cos

x

y

23

Krivulja, ki ima v starem sistemu enačbo

, 0,F x y

pa dobi v novem sistemu enačbo

( cos sin , sin cos ) 0.F

V primeru elipse

2 2 2 2 2 2b x a y a b

imamo

2 22 2 2 2cos sin sin cos .b a a b

Po kvadriranju dobimo

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos 2 sin cos sin sin 2 sin cos cos ,b b b a a a a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( cos sin ) 2( ) sin cos ( sin cos ) .b a a b b a a b

Vpeljemo nove koeficiente ,A B in :C

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

cos sin ,

( )sin cos ,

sin cos .

A b a

B a b

C b a

In zgornjo enačbo prepišemo v kvadratno enačbo.

2 22 ,A B C D

kjer je 2 2.D a b

Za dane konstante mora veljati

0, 0, 0.A C D

Za diskriminanto kvadratnega trinoma uporabimo naslednji izraz:

24 4 .B AC

24

Lahko ga zapišemo z relacijo

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2

2 2 4 2 2 4 4 2 2

2 2 4 2 2 2 2 2 2 4

2 2

1

4

( ) sin cos ( cos sin )( sin cos )

sin cos 2 sin cos sin cos sin cos

sin cos sin cos

sin 2 sin cos cos

(s

B AC

a b b a b a

a a b b b

a b a b a

a b a b a b

a b

4 2 2 4

2 2 2 2 2

in 2sin cos cos )

(sin cos ) .a b

Iz osnovnih zvez med kotnimi funkcijami pa vemo, da velja

2 2sin cos 1.

Zato lahko zapišemo četrtino diskriminante kot

2 2 2 2 2 2 2

2 2

1(sin cos ) ,

4

4 .

a b a b

a b

Torej je diskriminanta negativna, kar pomeni, da je enačba

2 22A B C D

enačba krožnice ali elipse.

Koeficiente ,A B in C lahko preuredimo s pomočjo adicijskih izrekov, kotnih funkcij

polovičnih in dvojnih kotov:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1cos sin (1 cos 2 ) (1 cos 2 ) ,

2 2

2 2( )sin cos ( )sin 2 ,

1 1sin cos (1 cos 2 ) (1 cos 2 ).

2 2

A b a b a

B a b a b

C b a b a

Koeficienta A in C med seboj odštejemo:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1(1 cos 2 ) (1 cos 2 ) (1 cos 2 ) (1 cos 2 )

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1cos 2 cos 2 cos 2 cos 2

2 2 2 2 2 2 2 2

cos 2 cos 2 ( )cos 2 .

C A b a b a

b b a a b b a a

a b a b

25

Lahko izračunamo kot , za katerega je novi koordinatni sistem zasukan od starega:

2 2

2 2

2 ( )sin 2,

( )cos 2

B a b

C A a b

2 2

2 2

( )sin 2tan 2 ,

( )cos 2

a b

a b

2tan 2 ,

22 arctan .

B

C A

B

C A

Uvedemo nov kot

0

2arctan

B

C A

in izračunajmo kot zasuka novega koordinatnega sistema:

0

0

2 .

; .2 2

n

n n

Število n določimo tako, da bo daljša os elipse ležala na osi , krajša pa na osi .

26

3 NIHANJE

3.1 Značilnosti

Kadar govorimo o nihanju, se navadno spomnimo na nihalna vrata in tudi na nihala v

starinskih urah. Zaniha gugalnica, ko jo izmaknemo iz ravnovesne lege. Z udarcem na

tipko klavirja zaniha struna v njem, nihajo tudi ostale strune na brenkalih in godalih. Ko

z veje drevesa pade sneg, veja zaniha. Prav tako zaniha igrača, obešena na vzmeti, kadar

vzmet izmaknemo iz ravnovesne lege. Zanihajo glasilke, ko spregovorimo, bobnič v

ušesu. Našteti primeri so primeri mehanskih nihal, poznamo pa tudi električna nihala.

Električni nihajni krog je sestavni del vsakega radijskega in televizijskega oddajnika

oziroma sprejemnika.

Dva primera preprostih mehaničnih nihal sta utež, ki visi na vrvici, ter utež, ki je obešena

na vzmeti. Primer prvega nihala je nitno, drugo pa je vzmetno nihalo.

Slika 13: Vzmetno nihalo [6]

Utež visi na vrvici, ki je pritrjena na strop. Utež izmaknemo iz ravnovesne lege in jo

spustimo. Opazimo, da se utež sprva giblje pospešeno, nato pa se prične preko

ravnovesne lege gibati pojemajoče, dokler se v skrajni legi hitrost gibanja uteži ne

zmanjša do ničle. Utež se takrat ustavi in se ponovno začne gibati pospešeno v smeri,

kjer je ravnovesna lega. Prek nje pa se giblje pojemajoče in nihaj se navidezno natančno

ponovi, vendar pa ob daljšem opazovanju ugotovimo, da nihanje zamre in je dušeno. Če

bi ta isti pojav opazovali s ptičje perspektive, bi opazili, da se utež lahko giblje po neki

določeni premici; če pa se giblje v dveh dimenzijah, pa opazimo, da en nihaj opiše

krivuljo. Ta krivulja je lahko krožnica ali elipsa, ki jo imenujemo Hookova elipsa. (M.

Hribar, 2005)

27

4 ROBERT HOOKE

Robert Hooke se je leta 1635 rodil na otoku Wightu v skromni duhovniški družini. Prvi

učitelj mu je bil oče, saj je menil, da je zaradi slabega zdravja že v otroštvu neprimeren

za duhovniški ali učiteljski poklic. Ko mu je bilo trinajst let, so ga le poslali v šolo, kjer se

je izkazal za zelo bistrega mladeniča, saj naj bi v le enem tednu predelal šest Evklidovih

knjig. Šolanje je nadaljeval na Oxfordu, kjer si je služil denar kot pomočnik v laboratoriju

znanega anatoma. S priporočilom Roberta Boyla je postal član »Kraljeve družbe v

Londonu za spodbujanje znanja o naravi«, kjer je moral prestati precej ponižanj in je bil

skrbnik poskusov. To je pomenilo, da je vsakotedensko pripravil vsaj tri upoštevanja

vredne poskuse, hkrati pa je bil tudi profesor na Greshamovi šoli, kjer je poučeval

geometrijo in astronomijo.

Leta 1666 je London do tal pogorel in tedaj je Hooke postal mestni gradbeni nadzornik.

Naredil je načrt za obnovo mesta, s pravokotno se sekajočimi ulicami. Deloval je tudi kot

arhitekt in risal načrte za oboke in kupole. Za izgradnjo slednjih se je domislil, da se

kamni med seboj ne bodo trli, če jih sestavimo v obliki krivulje, ki se prilega mirujoči

obliki verige, to je verižnice, ki jo nato obrnemo. Med drugim je naredil načrt za 67

metrov visok londonski spomenik, ki je v spomin na veliki požar postavljen na kraj, kjer

je začelo goreti.

V prvi knjigi z naslovom »Mikrografija«, je opisoval opažanja pri mikroskopiranju zelo

drobnih predmetov. Hooke je sestavil mikroskop z dvema lečama. Imel je velik občutek

za risbo in je risal drobne predmete, kot so risbe ptičjega peresa, ribjih lusk, plesni,

bolhe, uši, muhe in njenega očesa, čebele in njenega žela ter komarja in njegovega

razvojnega cikla, tako prepričljivo, da so te risbe še dolgo vzbujale pozornost.

Slika 14: Risba bolhe [4]

28

Prvi je poimenoval celico, ki je v biologiji osrednjega pomena. Z mikroskopom je v pluti

opazil kvadrataste oblike, ki so ga spominjale na celice, v kakršnih so bivali menihi v

samostanih. V tej knjigi je pisal tudi o površinski napetosti, temperaturnem raztezanju

trdnih teles in tekočin ter o astronomiji, pa tudi o naravi svetlobe in toplote. Menil je, da

svetlobo povzroča zelo hitro nihanje z majhnim odmikom od ravnovesne lege v

svetečem telesu. Zmotno je sodil, da svetloba po prozorni snovi potuje hitreje kot po

praznem prostoru. Hooke je opazil tudi uklon svetlobe, torej da svetloba potuje tudi za

oviro, v geometrijsko senco.

Leta 1678 je zapisal edini zakon, ki nosi njegovo ime, Hookov zakon, in sicer v daljšem

spisu z naslovom »Predavanja o sili vračanja ali vzmet«. Da mu ne bi mogli vzeti

prvenstva, ga je izrazil kot anagram, ki se v pravilnem vrstnem redu črk oblikuje v

latinski stavek, ki se glasi: »Kakor podaljšek, tako sila.« Danes pravimo, da je raztezek

sorazmeren s silo. To zvezo je preizkušal pri natezanju vijačne vzmeti in žice.

Izdal je tudi knjigo »Cutlerjeva predavanja« in po njegovi smrti je izšla knjiga »Posmrtna

dela«, ki so jo ironično posvetili sedem let mlajšemu Newtonu, ki je tedaj vodil Kraljevo

družbo in s katerim sta bila dvakrat v sporu. V tej knjigi se je Hooke izkazal kot geolog.

Osamljen in v revščini je umrl leta 1703. (J. Strnad, 2000; J. Strnad, 2003)

29

5 HOOKOVE ELIPSE

Kadar opazujemo nitno nihalo, ki je sestavljeno iz vrvice in uteži, lahko opazimo, da so

poti, ki jo utež opravi, različne. Odvisna je od tega, v katero smer z neko silo F utež

potisnemo. Če jo le malo izmaknemo in spustimo, gre utež skozi mirovno lego v skrajno

in vidimo, da njena pot približno opiše daljico. Kadar pa uteži ne potisnemo v smeri

mirovne lege, le ta zaniha po neki sklenjeni krivulji, saj utež vedno teži k mirovni legi. V

tem odstavku si bomo pogledali, kakšno krivuljo nihanje opiše takrat.

Pogledali si bomo nitno nihalo z dolžino l in utežjo, ki ima maso .m Na masno točko

deluja sila ,F ki nihalo vleče h koordnatnemu izhodišču (0,0) .

Slika 15: Nitno nihalo

,r l

sin ,

.

F mg

rF mg

l

Komponenta sile F v smeri osi x je

cos .rF F

30

Za majhne kote vzamemo kar .rF F

Slika 16: Razstavljena zunanja sila

Položaj uteži lahko zapišemo s koordinatama točke, zunanjo silo pa razstavimo:

( cos , sin ).F F F

Po Newtonovem zakonu lahko zapišemo dve neodvisni enačbi

cos cos ,

sin sin ,

rmx F mg

l

rmy F mg

l

cos ,

sin ,

rx g

l

ry g

l

cos ,

sin .

gx r

l

gy r

l

Sistem enačb poenostavimo tako, da vzamemo

cosr x in sinr y

31

ter zapišemo

,

.

gx x

l

gy y

l

Označimo 2 g

l

in zapišemo

2

2

,

.

x x

y y

Rešitev teh diferencialnih enačb iščemo kot

, ;t tx e y e

, ;t tx e y e

2 2, .t tx e y e

Vstavimo v zgornji diferencialni enačbi in obakrat dobimo

2 2 ,t te e

2 2 ,

2 2 0,

1,2 .i

x yEnačbiza in imatakompleksnirešitvi

cos( ) sin( ),

cos( ) sin( ).

i t

i t

x e t i t

y e t i t

Diferencialni enačbi imata linearno neodvisni rešitvi, realni in imaginarni del

1 1 2 2cos( ) in sin( ),x y t x y t t .

32

Torej lahko zapišemo splošno rešitev gibanja v smeri osi x kot

cos sin .x t t

Podobno lahko zapišemo tudi splošno rešitev gibanja v smeri osi :y

cos sin .y t t

Pri tem so , , in realne konstante.

Potrebno je poznati začetne pogoje zanihanega nihala, v katero smer in s kakšno

hitrostjo smo ga zanihali. Le tako bomo izvedeli, po kakšni tirnici se bo utež gibala.

Poznati moramo torej

0 00 , 0 ;x x y y

0 00 , 0 ;x u y v

0 00 , (0) .x x y y

Splošni enačbi odvajajmo po času t , da dobimo hitrosti.

sin cos ,x t t

sin cos .y t t

Poglejmo si začetni hitrosti pri času 0 :t

0 sin( 0) cos( 0),

0 sin( 0) cos( 0),

x

y

0

0

0 ,

0 .

x u

y v

33

Torej lahko zapišemo konstante , , in :

0 0,x y

0 0, .u v

Dobili smo enačbi gibanja nihala:

cos sin ,

cos sin .

x t t

y t t

Obravnavajmo ju kot sistem enačb, zapisan v matrično obliko ,KX L kjer je

cos( ), , .

sin( )

t xK X L

t y

To se pravi

cos.

sin( )

xt

yt

Preverimo, kdaj je determinanta koeficientov ničelna

det 0.

To se zgodi natanko takrat, ko velja

( )

pri neki konstanti .

Če vzamemo prvo možnost, dobimo

0 0,u v

oziroma

0 0 0 0, .x u y v

34

Torej je to natanko tedaj, ko vektor začetne hitrosti 0v kaže v smeri koordinatnega

izhodišča. Tedaj je tirnica, ki jo tako zanihano nihalo opiše, daljica.

Slika 17: Začetna hitrost kaže v smeri koordinatnega izhodišča

Torej je to takrat, kadar velja

cos( ) sin( ),

cos( ) sin( ).

x t t

y t t

Koordinati sta med seboj v naslednji relaciji:

x y

oziroma

1.y x

Slika 18: Enačbi sta med seboj odvisni

35

Vidimo, da lahko s pomočjo izračunamo naklon daljice. Koordinati x in y sta kateti

pravokotnega trikotnika, torej lahko s pomočjo funkcije tangens izračunamo kot , ki ga

opišeta abscisna os in daljica.

1

tan ,

1tan .

xy

x x

Mi pa nihala v začetku ne zanihamo proti izhodišču, saj nas zanima, kakšno krivuljo

opiše utež, kadar jo zanihamo v druge smeri.

Torej vemo, da je v takem primeru det 0K in lahko za reševanje zgornjega sistema

enačb uporabimo Cramerjevo pravilo. Za neznanki vzamemo cos( ) sin( ).t t in

Tako dobimo rešitvi v obliki 1 2cos( ) , sin( ) ,det det

D Dt t

K K pri čemer je 1D

determinanta matrike 1K , katere prvi stolpec nadomestimo s stolpcem ,L in podobno je

2D determinanta matrike 2K , ki ima zamenjan drugi stolpec s stolpcem :L

det

cos( ) ,

det

x x

y yt

det

sin( ) .

det

x x

y yt

Uporabimo naslednjo zvezo, ki velja za trigonometrijski funkciji kosinus in sinus:

2 2sin ( ) cos ( ) 1.t t

36

Dobimo zvezo med x in y :

2 2

2 21.

x x

y y

Pomnožimo s skupnim imenovalcem:

2 2 2

,x x

y y

2 2 2( ) ( ) ( ) ,y x x y

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 ,y xy x x xy y

2 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) ( ) ( ) .x xy y

Gornjo enačbo lahko preuredimo z vpeljavo novih koeficientov A , B , C in :D

2 2 ,A

2( ) 2 ,B

2 2 ,C

2( ) .D

Enačba tirnice, zapisane z novimi koeficienti, je

2 22 .Ax Bxy Cy D

Ponovno smo dobili kvadratno enačbo podobne oblike kot pri elipsi po zasuku

koordinatnega sistema. Podobno lahko pogledamo to kvadratno enačbo in se vprašamo,

ali je to enačba kake znane krivulje.

Vidimo, da je koeficient D definiran kot kvadrat razlike dveh členov in je zaradi

det 0K pozitiven. Koeficienta A in C sta dana kot vsoti dveh kvadratov, kar je vedno

pozitivno. Torej velja

37

0 0 0.A C D

Izračunati moramo tudi diskriminanto

2 24 4 4( ),B AC B AC

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1

4

( ) ( )( )

2

2 ( ) ,

B AC

2( ) D

Diskriminanta je vedno negativna, kar je potreben in zadosten pogoj, da je

2 22Ax Bxy Cy D

enačba krožnice ali elipse.

Gornji izraz je enačba krožnice, kadar je A C in 0.B To je takrat, kadar velja

2 2 2 2

0,

.

B

A C

Velja tudi

, .

Torej so relacije med konstantami naslednje

( ) ( ).

Začetni pogoji, da bo utež zanihala po krožnici, morajo biti naslednji

0 0 0 00 0 0 0( ) ( ).

v u v ux y x y

38

Kadar pa vrednost koeficienta B ni enaka nič, enačbi

cos sinx t t in

cos siny t t ,

s koeficienti , , in , sestavljata enačbo prave Hookove elipse.

Slika 19: Hookova elipsa

Nihalo opiše krožnico le takrat, kadar velja

.

V vsaki točki krožnice velja .v r Pri elipsi ta pogoj velja le v temenih.

Hookove elipse pa nastanejo tudi pri hkratnem nihanju vzmetnih nihal v dveh med seboj

pravokotnih smereh z isto frekvenco in pri Lüneburgovi leči.

Znan je Hookov zakon za vzmet, ki pravi, da je majhen razteg vzmeti x sorazmeren v

nasprotni smeri s silo ,F s katero je bilo raztegnjeno, kar zapišemo kot

,F kx

kjer je k koeficient vzmeti.

39

Vidimo, da vzmetno nihalo sinusno zaniha, krožna frekvenca je odvisna od mase uteži

m in koeficienta vzmeti k , ki so v naslednji relaciji:

.k

m

Zapišimo sistem enačb za nihalo, ki niha v dveh med seboj pravokotnih smereh, v smeri

osi x in smeri osi ,y z ne nujno isto frekvenco:

1 2

1 2

, ,

, .

mx k x my k y

k kx x y y

m m

Uporabimo definiciji za krožni frekvenci 1 in 2 in dobimo

2 2

1 20, 0.x x y y

Rešimo dobljeni diferencialni enačbi (M. Razpet, 2013):

1 1

2 2

cos( ) sin( ),

cos( ) sin( ).

x a t b t

y c t d t

Rešitvi teh dveh diferencialnih enačb nam dajo Lissajousove figure, ki nastanejo ob

sinusnem nihanju točkastega telesa v dveh med seboj pravokotnih smereh.

Na osciloskopu opazimo sledi elektronskega curka, katerih oblike so odvisne od

razmerja med frekvencama (slika 20 in slika 21). (B. Rovšek, 2008)

40

Slika 21: Primer, kjer je razmerje med frekvencama 2:3 (foto: lasten arhiv)

Poglejmo si nihanje v dveh med seboj pravokotnih smereh v primeru 1 2 pri

začetnih pogojih:

0 1

0 2

(0) , (0) ;

(0) , (0) .

x x x v

y y y v

Pri Lissajousovih figurah velja, da bo za 1 2 nihalo zanihalo po daljici, krožnici ali

elipsi.

Zapišimo z novim pogojem

cos( ) sin( ),

cos( ) sin( ).

x a t b t

y c t d t

Slika 20: Primer Lissajousove figure, kjer je razmerje med frekvencama 3:4 (foto: lasten arhiv)

41

Za neznanki vzamemo cos( ) in sin( )t t ter računajmo podobno kot pri nitnem nihalu

2 2

2 2

2 2cos ( ) , sin ( )

x b a x

y d c yt t

a b a b

c d c d

.

Iz trigonometrije poznamo povezavo med kvadratoma kosinusa in sinusa

2 2cos ( ) sin ( ) 1.t t

Vstavimo v gornjo enačbo

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

,

( ) ( ) ( ) ,

( ) 2 2 ,

( ) ( ) 2( ) ( ) .

a b a x x b

c d c y y d

ad bc ay cx dx by

ad bc a y acxy c x d x dbxy b y

ad bc c d x ac bd xy a b y

Vpeljemo nove koeficiente:

2

2 2

2 2

( ) ,

,

2( ) 2 ,

.

ad bc D

c d A

ac bd B

a b C

Velja:

0 0 0.A C D

Dobimo enačbo enake oblike kot zgoraj, kjer smo izračunali enačbo Hookove elipse

2 22 .Ax Bxy Cy D

Torej res pri nihalu, ki niha v dveh med seboj pravokotnih smereh, zanihana masa opiše

Hookovo elipso.

42

Islamski znanstvenik Al-Haitam (965-1040) velja za očeta optike kot znanstvene

discipline, saj je v neki obliki poznal lomni zakon svetlobe. Vendar pa je zakon, kot ga

poznamo danes, razvil Nizozemec Snellius (1580-1626). Le-ta je ugotovil, da do loma

pride, ker se svetloba v različnih optičnih sredstvih širi z različno hitrostjo. Ta lastnost je

značilna za valovanje nasploh.

Hookove elipse se pojavijo tudi pri optiki, in sicer pri Lüneburgovi leči, ki se imenuje po

nemško-ameriškem fiziku in matematiku Lüneburgu (1903-1949), ki se je ukvarjal

predvsem z optiko. Ta leča ima izredno lastnost, da snop vzporednih žarkov združi v eni

sami točki (slika 22), kar je zelo primerno za telekomunikacijsko tehnologijo, saj je v tisti

točki največja ojačitev.

Slika 22: Lastnost Lüneburgove leče (M. Razpet, 2012)

Oblika Lüneburgove leče je idealna krogla, v kateri se lomni količnik n zvezno spreminja

po naslednjem zakonu:

( ) 2n r r ,

kjer je r razdalja od središča do površine. Brez škode za splošnost vzamemo polmer

krogle za enoto in s tem omejimo razdaljo 0 1,r tako da se lomni količnik zvezno

spreminja ter nadaljuje v okolico, za katero predpostavimo, da je zrak ali prazen prostor,

ki imata lomni količnik zelo blizu 1. V središču krogle je torej

(0) 2n ,

43

na robu pa

(1) 1.n

Da se izognemo disperziji, predpostavimo, da obravnavamo enobarvno svetlobo.

Uporabljamo metode geometrijske optike in uporabimo svetlobno valovanje kot žarke.

V Lüneburgovi leči se žarki lomijo od točke do točke in opisujejo krivuljo. Vsi žarki se

lomijo in izstopijo iz leče v isti točki, razen žarka, ki vstopi v lečo pravokotno, ta se

skoznjo širi po premici skozi središče in vsem skupno točko.

Do poteka žarkov skozi Lüneburgovo lečo pridemo s Fermatovim principom, ki velja za

lomni in odbojni zakon. Fermatov princip pravi, da se svetloba od ene točke do druge širi

tako, da za pot porabi čim manj časa, ne glede na to, v katerem optičnem sredstvu

obravnavamo.

Slika 23: Lüneburgova leča v prerezu (M. Razpet, 2012)

Problem ponovno rešujemo s sistemom dveh neodvisnih diferencialnih enačb

2

2

0,

0,

cos sin ,

cos sin .

x x

y y

x t t

y t t

44

Za koeficienti , , in mora veljati zveza

2 2 2 2 2 ,

ki poenostavi reševanje. Za je treba vzeti 1. Do enačb pridemo z variacijskim

računom, t pa je številski parameter.

Snop vzporednih žarkov, ki padajo na lečo, in pogoj, da je vsota kvadratov koeficientov

dve, generirajo enoparametrično družino Hookovih elips. Njena enačba je v tem primeru

2 2 22 (1 2 ) 1,x bxy b y

kjer je parameter

cot ,b

kot je polarni kot točke ,T v kateri žarek vstopi v lečo (slika 23).

Vsaka elipsa iz te družine poteka skozi gorišči ogrinjače, ki je elipsa in ima enačbo

22 1.

2

xy

Gorišči ogrinjače sta točki ( 1,0) in (1,0) (M. Razpet, 2012).

45

5.1 Lastnosti Hookovih elips

Hookova elipsa je definirana z naslednjima parametričnima enačbama:

cos sin ,

cos sin .

x t t

y t t

Glede na relacijo med koeficienti , , in lahko ugotovimo nekaj lastnosti

Hookovih elips.

Ugotovili smo, da je vrednost determinante matrike K

ključnega pomena za

to, kdaj bo zgornja krivulja prava elipsa.

Če je vrednost determinante matrike K enaka nič,

det 0,K

je elipsa degenerirana v daljico.

Ugotovili smo, da je to ravno takrat, kadar sta koordinati v medsebojni odvisnosti

.x y

Če to enačbo malce preuredimo, dobimo linearno funkcijo

1,y x

katere smerni koeficient je 1

(Slika 18).

Tedaj velja

cos( ) sin( ) cos( ) sin( ).t t t t

Koeficienti so med seboj v naslednji relaciji:

.

46

1. Začetna vrednost linearne funkcije je 0, torej graf te funkcije poteka skozi točko

(0,0) .

Vsem daljicam je torej skupno to, da gredo skozi koordinatno izhodišče (0,0).

Poglejmo, kdaj je 0;x kdaj daljica preseka ordinanto os:

0 cos sin ,x t t

cos sin ,

sin( ),

cos( )

tan( ) .

t t

t

t

t

Tedaj je zaradi relacije x

y

tudi 0.y

V časih

1(arctan( ) ), ,t k k

je točka ( , )x y v koordinatnem izhodišču.

2. Pri linearni funkciji nam smerni koeficient pove, kakšen je naklon premice.

Kadar je smerni koeficient večji od nič, graf funkcije opiše s pozitivnim

poltrakom abscisne osi ostri kot, ki ima vrh v koordinatnem izhodišču. To

pomeni, da je ta kot manjši od svojega sokota, s katerim tvorita iztegnjeni

kot. V našem primeru bo daljica opisala ta kot, kadar bo 1

0 , torej kadar

bo 0 (slika 24).

47

Slika 24: Naklon daljice, kadar je 0

Pri 0 nastala daljica s pozitivnim poltrakom abscisne osi oklepa topi

kot, ki je večji od sosednjega kota, s katerim tvorita skupaj kot 180 (slika

25).

Slika 25: Naklon daljice, kadar je 0

48

Smerni koeficient, ki je enak nič, da graf funkcije, ki je vzporeden z

abscisno osjo. V našem primeru utež zaniha po abscisni osi (slika 26),

kadar se izraz 1

približuje vrednosti nič. To je kadar je zelo velika, saj

velja

1lim 0.

(B. Dvoržak, 2001)

Slika 26: Daljica, kadar je zelo velika

Oglejmo si še primer, ko je vrednost determinant matrike K različna od nič.

Kadar velja

det 0K

,

ima krivulja obliko krožnice ali elipse.

S pomočjo Cramerjevega pravila smo dobili naslednjo kvadratno enačbo

2 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) ( ) ( )x xy y .

49

Uvedli smo nove koeficiente , ,A B C in D ter izraz olepšali

2 22Ax Bxy Cy D .

1. Elipsa bo zasukana, kadar je 0.B To je takrat, kadar je

0.

Torej so koeficienti med seboj v naslednjem razmerju

.

2. Kadar je 0,B je izraz oblike

2 2 ,Ax Cy D

kanonična oblika enačbe elipse pa je

2 2

1x y

D D

A C

.

Za koeficienta A Cin velja

2 2 2 2

,

,

C A

je velika polos elipse ,a mala polos elipse pa je b (slika 3). Tedaj gorišči ležita na

abscisni osi, na primer

1 2( ,0) in ( ,0),G e G e

in velja Pitagorov izrek za polosi (B. Dvoržak, 2001)

2 2 2.a b e

Ko pa je

2 2 2 2

,

,

C A

je b razdalja med najbolj oddaljenim temenom in središčem, ki je tudi velika

polos in je a mala polos, saj je teme najbližje središču.

50

Slika 27: Elipsa, kadar je b največja oddaljenost od temena

Gorišči ležita na ordinatni osi in sta oblike

1 2(0, ) in (0, ).G e G e

Polosi sta v naslednji relaciji (B. Dvoržak, 2001)

2 2 2.b a e

5.2 Ploščina Hookovih elips

Ugotovili smo, da kadar so koeficienti , , in med seboj v taki odvisnosti, da je

determinanta matrike koeficientov K enaka nič, nihalo zaniha po neki daljici.

Že Evklid je definiral črto. Zanj so bili vsi geometrijski liki omejeni in zato je govoril o

črtah in ne premicah. V prvi knjigi Elementov je definiral črto kot dolžino brez širine. (M.

Cencelj, 2008) Premica pa je v grobem neskončno tanek geometrijski objekt [4] in je

torej enodimenzionalna in kot taka ima ploščino enako 0.

Kadar pa velja za determinanto matrike koeficientov K

det 0,

nastane krog oziroma Hookova elipsa, katere enačbo smo že izpeljali, in sicer

51

2 22Ax Bxy Cy D ,

kjer so konstante , ,A B C in D izrazljive s koeficienti , , in . Vzeli bomo 0.D

Formula za izračun ploščine poljubne elipse pri znanih poloseh je

S ab .

Vidimo, da moramo za izračun ploščine elipse vedeti, kolikšen je produkt njene velike in

male polosi. Z uporabo Lagrangeeve metode za določanje vezanih ekstremov lahko

izpeljemo enačbo za izračun ploščine Hookovih elips (I. N. Bronštejn, 2009).

Izberimo si točko ( , ),T x y ki leži na Hookovi elipsi. Kadar je razdalja ( , )d x y med točko

T in koordinatnim izhodiščem ekstremna, je le-ta razdalja d bodisi velika polos

Hookove elipse bodisi mala polos te elipse.

Razdaljo ( , )d x y izračunamo po formuli

2 2 2( , ) .d x y x y

Vzemimo, da je

2 2 2( , )d x y x y

funkcija ( , )f x y , katere ekstrem iščemo, Hookove elipse pa prepišemo v obliko

2 22 ( , ) 0.Ax Bxy Cy D g x y

Lagrangeeva funkcija danega ekstremalnega problema je naslednje oblike:

( , ) ( , ) ( , ),L x y f x y g x y

kjer je Lagrangeev multiplikator oziroma množitelj.

Torej je v našem primeru Lagrangeeva funkcija naslednje oblike

2 2 2 2( , , ) ( 2 ).L x y x y Ax Bxy Cy D

52

Oblikujemo tri enačbe za tri neznanke kot potreben pogoj za ekstrem:

0,

0,

0.

L

x

L

y

L

Zadnji izraz bi lahko zapisali tudi kot

( , ) 0g x y .

Poračunajmo zgornje enačbe.

2 0 (2 2 0 0)

2 2 2 ,

x

LL x Ax By

x

x Ax By

0 2 (0 2 2 0)

2 2 2 ,

y

LL y Bx Cy

y

y Bx Cy

2 2

2 2

0 0 2

2 .

LL Ax Bxy Cy D

Ax Bxy Cy D

Uredimo jih v sistem enačb

2 2

2 2 2 0,

2 2 2 0,

2 0.

x Ax By

y Bx Cy

Ax Bxy Cy D

Prvo enačbo pomnožimo z x , drugo z y in tretjo enačbo z 1 in jih uredimo.

2 2

2 2

2 2

0,

0,

2 0.

x Ax Bxy

y Bxy Cy

Ax Bxy Cy D

53

Prvo in drugo enačbo med seboj seštejemo in dobimo naslednji izraz

2 2 2 2 0.x y Ax Bxy Bxy Cy

Izpostavimo Lagrangeev množitelj

2 2 2 2( 2 ) 0.x y Ax Bxy Cy

Opazimo, da je izraz v oklepaju kar enak

2 22D Ax Bxy Cy

in lahko zapišemo

2 2 0x y D .

Lagrangeev multipliktor lahko iz gornje enačbe izrazimo kot

22 2

ekstremdx y

D D

.

Oglejmo si še naslednji homogen sistem dveh enačb z dvem neznankama:

(1 ) 0,

(1 ) 0.

A x By

Bx C y

Ta sistem ima trivialno rešitev

( , ) (0,0)x y ,

ki pa ni rešitev problema, saj ne reši tretje enačbe sistema

2 22 0Ax Bxy Cy D .

Iz linearne algebre pa vemo, da ima sistem prvih dveh enačb,

0,

0,

x Ax By

y Bx Cy

netrivialno rešitev, če je determinanta koeficientov enaka nič:

54

10,

1

A B

B C

2 2

2 2 2

(1 )(1 ) 0,

1 0.

A C B

C A AC B

Enačbo preuredimo v kvadratno enačbo

2 2( ) ( ) 1 0.AC B A C

Z izračunom rešitev kvadratne enačbe dobimo dve vrednosti Lagrangeevega množitelja,

za katerega smo ugotovili, da je v naslednji odvisnosti z :ekstremd

2

.ekstremd

D

Za množitelj manjše vrednosti min velja povezava

2

min min .d D

Iz tega izraza lahko izračunamo manjšo polos Hookove elipse mind b

min mind D .

Podobno je za množitelj večje vrednosti max velika polos Hookove elipse maxd a in

velja

2

max max

max max

,

.

d D

d D

Torej poznamo vrednosti velike in male polosi Hookove elipse, ki ju potrebujemo za

izračun ploščine elipse:

,S ab

max min ,S d d

55

max min ,S D D

max min .S D

Produkt max min izračunamo po Viètovem pravilu, ki za lastnosti korenov kvadratne

enačbe pravi, da je produkt rešitev enačbe max min enak količniku konstantnega člena

in vodilnega koeficienta

max min 2

1

AC B

.

Torej je izraz za izračun ploščine Hookovih elips

2

2

2

2

2

2

,

( ),

( )

( ),

( )

( ),

.

DS

AC B

S

S

S

S

Formula je primerna tudi za degenerirane Hookove elipse, ko je vrednost izraza

0.

Takrat je elipsa stisnjena v daljico in je njena ploščina enaka

0.S

(M. Razpet, 2009)

56

6 Zaključek

V času pisanja diplomskega dela sem veliko izvedela o vsestranskem delovanju Roberta

Hooka, ki je prevečkrat prezrt in pogosto poleg Hookovega zakona, ki se imenuje po

njem, včasih omenjen le še v zvezi s konfliktom z Newtonom. Prvi je poimenoval celico,

ki je najmanjši živi del organizmov in s katero smo se srečali že v osnovni šoli.

Tudi sama sem o Hooku komaj slišala kaj več, kot pri fiziki, ko smo govorili o zakonu o

sorazmernosti raztezka s silo. Raziskovanje Hookovih elips mi je bilo zelo zanimivo.

Vesela sem, da moje diplomsko delo vsebuje njegovo ime, saj je njegovo življenje dokaz,

da z voljo in trdim delom lahko dosežemo in se ukvarjamo s tistim, kar nas zanima in

veseli, ne glede na naše življenjske predispozicije.

Diplomsko delo prepleta fizikalne pojave z matematiko. Postopoma nam preko

primerov, ki so vsem blizu, in matematičnih izpeljav, predstavi ter dokaže, kako

Hookove elipse nastanejo. Diplomsko delo zajema tudi lastnosti Hookovih elips in

njihovo ploščino.

V naravi smo priča lepim matematičnim pojavom pogosteje, kot bi morda pričakovali.

Lepim že v primerih, da nam nihalo tudi takrat, ko ga ne zanihamo proti ravnovesni legi,

opiše matematično krivuljo, ki jo enostavno definiramo, opišemo in opazimo njene

geometrijske lastnosti.

57

Literatura in viri

W. P. Berlinghoff in F. Q. Gouvêa, Matematika skozi stoletja. 1. izd. Ljubljana:

Modrijan, 2008. ISBN 978-961-241-230-2

I. N. Bronštejn et al., Matematični priročnik. Popravljena izd., 1. natis. Ljubljana:

Tehniška založba Slovenije, 2009. ISBN 978-691-251-189-0.

M. Cencelj, Geometrija, Skripta predavanj. Ljubljana, 2008.

I. Drevenšek-Olenik, Fizika II, predavanja. Ljubljana, 2009.

B. Dvoržak, Matematika na maturi: odgovori na vprašanja in zbirka nalog na

osnovni ravni maturitetnega kataloga. 1. izd. Ljubljana: Gyrus, 2001. ISBN 961-

6340-18-2.

M. Hribar et al., Elektrika, svetloba in snov: fizika z 3. in 4. letnik srednjih šol. 5.

izd. Ljubljana: Modrijan, 2005. ISBN 961-6183-48-6.

A. Mazer, The ellipse: a historical and mathematical journey. Wiley, 2010. ISBN

978-0-470-58718-8

M. Razpet, Analiza II, predavanja. Ljubljana, 2009.

M. Razpet, Hookove elipse in Luneburgova leča. Sodobni pristopi poučevanja

novih generacij: Ljubljana, 2012. ISBN 978-961-93189-6-6

M. Razpet, Ravninske krivulje. Ljubljana: Društvo matematikov, fizikov in

astronomov Slovenije, 1998. ISBN 961-212-090-0.

B. Rovšek, Fizikalni eksperimenti II, eksperimentalne vaje. Ljubljana, 2008.

J. Strnad, Fiziki, 3. del. 1.izd. Ljubljana: Modrijan v sodelovanju s tretjim

programom Radija Slovenija, 2000. ISBN 961-6357-33-6 (zv. 3).

J. Strnad, Razvoj fizike, 1. izd, drugi natis. Ljubljana: DZS, 2003. ISBN 86-341-

1872-X.

I. Vidav, Višja matematika I. 10. nespremenjena izd. Ljubljana: Društvo

matematikov, fizikov in astronomov Republike Slovenije, 1990. ISBN 961-212-

031-5

Spletni viri

[1] Jurij Vega, http://sl.wikipedia.org/wiki/Jurij_Vega (22. 3. 2013)

[2] Keplerjevi zakoni, http://sl.wikipedia.org/wiki/Keplerjevi_zakoni (22. 3. 2013 )

[3] Premica, http://sl.wikipedia.org/wiki/Premica (20 .4. 2013)

58

[4] Risba bolhe iz »Micrographie«, https://encrypted-

tbn3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQUsGzAEgsi0bg2xykF9Li0xsy_Hn9ZmftHoG

ldLGCzU1o1WMQuMw (10. 4. 2013)

[5] Stožernice, https://www.google.si/search?q=sto%C5%BEnice&client=firefox-

a&hs=VNK&rls=org.mozilla:en-

US:official&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=Yh2FUdrnIpGRswbC_4DQAw&ved=

0CAoQ_AUoAQ&biw=1366&bih=596#imgrc=KSQuM7_YpQccyM%3A%3BHF4JKm

mKB0h6tM%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.nauk.si%252Fmaterials%252F178

%252Fout%252FSkupaj_stozec_kr.jpg%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.nauk.si%

252Fmaterials%252F178%252Fslides%3B2392%3B1547 (4. 5. 2013)

[6] Vzmetno nihalo,

https://www.google.si/search?q=spring+pendulum&client=firefox-

a&hs=R3I&rls=org.mozilla:en-

US:official&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=oiiRUdnmHoXAswaNv4GoDA&ved=

0CAoQ_AUoAQ&biw=1366&bih=596#imgrc=zfexhV5jD_ss6M%3A%3BFxpB3SecP

pBOyM%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.alkaad.com%252Fpictures%252Fhtml%

252520goodies%252Fspring%252520pendel.jpg%3Bhttp%253A%252F%252Fww

w.alkaad.com%252Fmisc.html%3B1198%3B1602 (12. 5. 2013)