UNIVERZA V MARIBORU - COnnecting REpositoriesmateriala za AB konstrukcije predstavljena beton in jeklo, ter njuno obnašanje skozi čas.V tretjem delu so teoretično opisana področja

UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA GRADBENIŠTVO

Tomi Kresnik

MEJNO STANJE UPORABNOSTI ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ

Projektna naloga

Diplomski izpit univerzitetnega študijskega programa 1. stopnje

Celje, avgust 2013

I

FAKULTETA ZA GRADBENIŠTVO Smetanova ulica 17 2000 Maribor, Slovenija www.fg.um.si

Diplomski izpit univerzitetnega študijskega programa 1. stopnje


Študent: Tomi KRESNIK

Študijski program: univerzitetni, Gradbeništvo

Smer: Gradbeništvo UN

Mentor: doc. dr. Milan Kuhta, univ.dipl.inž.grad.

Celje, avgust 2013

II

FAKULTETA ZA GRADBENIŠTVO Smetanova ulica 17 2000 Maribor, Slovenija www.fg.um.si

ZAHVALA

Zahvaljujem se mentorju dr. Milanu Kuhti za

idejo, pomoč, in vodenje pri opravljanju

diplomskega dela. Hvala tudi dr. Matjažu

Skrinar, kateri je imel vedno čas in odgovore na

zastavljena vprašanja, kot vsem, ki so mi v času

študija kakorkoli pomagali in mi stali ob strani.

Posebna zahvala velja staršem, ki so mi

omogočili študij.

III


Ključne besede: mejno stanje uporabnosti, armirani beton, napetosti, razpoke, povesi

Povzetek

Projektna naloga obravnava mejno stanje uporabnosti – MSU – armiranobetonskih

konstrukcij. Predstavljena sta glavna materiala beton in jeklo. MSU je na splošno

opisano po slovenskem standardu SIST EN 1992-1-1. Na koncu so podani računski

primeri dimenzioniranja po tej metodi.

IV

SERVICEABILITY LIMIT STATE OF REINFORCED CONCRETE STRUCTURES

Key words: serviceability limit state, reinforced concrete, strains, cracks, deflections

Abstract

Project work discusses about – SLS – servieability limit state method of reinforced

concrete structures. Concrete and steel are main materials, which are presented. SLS is

generally described after Slovenian standard SIST EN 1992-1-1. At the end numerical

examples of design according to this method are given.

V

VSEBINA

1 UVOD ...................................................................................................................... 1

1.1 SPLOŠNO O PODROČJU DIPLOMSKEGA DELA ....................................................... 1

1.2 NAMEN IN CILJI DIPLOMSKEGA DELA ................................................................. 2

1.3 STRUKTURA DIPLOMSKEGA DELA ...................................................................... 2

2 BETON IN JEKLO ................................................................................................ 3

2.1 BETON ............................................................................................................. 3

2.1.1 Delovni diagram betona ............................................................................... 3

2.1.2 Trdnost betona .............................................................................................. 6

2.1.3 Časovni razvoj tlačne trdnosti betona .......................................................... 7

2.1.4 Lezenje betona .............................................................................................. 8

2.1.5 Krčenje betona ............................................................................................ 14

2.2 ARMATURA ................................................................................................. 17

2.2.1 Delovni diagram jekla ................................................................................ 17

2.2.2 Duktilnost in zahteve jekla .......................................................................... 18

2.2.3 Trdnost jekla ............................................................................................... 18

3 MSU PO SIST EN 1992 ....................................................................................... 19

3.1 SPLOŠNO O PODROČJU MSU .................................................................... 19

3.1.1 Kombinacije vplivov ................................................................................... 20

3.2 OMEJITVE NAPETOSTI .............................................................................. 22

3.2.1 Omejitve napetosti betona .......................................................................... 24

3.2.2 Omejitve napetosti jekla ............................................................................. 24

3.3 OMEJITVE RAZPOK .................................................................................... 25

3.3.1 Splošno o širini razpoke ............................................................................. 26

3.3.2 Najmanjši prerez armature za omejitev širine razpok ............................... 26

3.3.3 Omejitev širine razpok brez neposrednega računa .................................... 28

3.3.4 Račun širine razpok .................................................................................... 31

3.4 OMEJITVE POVESOV ................................................................................. 34

3.4.1 Ocena povesov z razmerjem l/d .................................................................. 34

VI

3.4.2 Račun povesov ............................................................................................ 37

3.4.3 Aproksimativna metoda .............................................................................. 39

3.4.4 Direktna kalkulacijska metoda ................................................................... 41

4 PRIMERI DIMENZIONIRANJA PO MSU ...................................................... 45

4.1 AB NOSILEC 1 .............................................................................................. 45

4.1.1 Kontrola napetosti ...................................................................................... 47

4.1.2 Kontrola razpok .......................................................................................... 48

4.1.3 Kontrola povesov ........................................................................................ 50

4.2 AB NOSILEC 2 .............................................................................................. 56

4.2.1 Ocena povesa z razmerjem ......................................................................... 57

4.3 AB PLOŠČA .................................................................................................. 59


4.4 AB KONZOLA .............................................................................................. 62

4.4.1 Kontrola razpok .......................................................................................... 63


4.4.3 Direktna kalkulacijska metoda- diferenčna metoda ................................... 68

4.4.4 Aproksimativna metoda .............................................................................. 80

5 ZAKLJUČEK ....................................................................................................... 82

6 VIRI IN LITERATURA ...................................................................................... 83

7 PRILOGE .............................................................................................................. 84

7.1 SEZNAM SLIK ................................................................................................... 84

7.2 SEZNAM PREGLEDNIC ...................................................................................... 85

7.3 NASLOV ŠTUDENTA ......................................................................................... 86

7.4 KRATEK ŽIVLJENJEPIS...................................................................................... 86

VII

UPORABLJENI SIMBOLI

- deformacijski parameter (pomiki, povesi, deformacije…)

e - razmerje modula elastičnosti jekla in betona

- koeficient, ki upošteva vpliv trajanja obremenitve

c - trenutna (začetna) deformacija betona

cc - deformacija lezenja betona

- srednja deformacija betona med razpokami

cs - deformacija krčenja betona

- srednja deformacija armature

0, t - koeficient linearnega lezenja betona

- zahtevana stopnja armiranja z natezno armaturo

0 - referenčna stopnja armiranja

c - tlačna napetost betona

- razdelitveni koeficient

b - širina prereza

d - statična višina

- karakteristična tlačna trdnost betona

ctmf - srednja natezna trdnost betona pri centričnem nategu

skf - karakteristična meja elastičnosti jekla

- višina prereza

,c effh - višina natezne cone neposredno pred nastankom razpoke

l - razpon elementa

cm

sm

ckf

h

VIII

- največja razdalja med razpokami

x - višina tlačne cone

kw - izračunan poves

maxw - maksimalni omejen poves

- učinkoviti prerez natezne armature

sA - količina natezne armature

'sA - količina tlačne armature

- najmanjši potrebni prerez jekla

- sekantni modul elastičnosti betona

- efektivni modul elastičnosti betona

I - vztrajnostni moment prereza

- upogibni moment, ki povzroči prvo razpoko

M - upogibni moment

N - osna sila

S - statični moment prereza

cW - odpornostni moment betonskega prereza

1

totr - skupna ukrivljenost elementa

1

Mr - zakrivljenost zaradi obremenitve, lezenja betona

1

csr - zakrivljenost zaradi krčenja betona

,maxrs

ctA

,minsA

cmE

,c effE

crM

IX

UPORABLJENE KRATICE

MSU - mejno stanje uporabnosti

AB - armirani beton

VUT - varnost, uporabnost, trajnost konstrukcije

Mejno stanje uporabnosti armiranobetonskih konstrukcij Stran 1

1 UVOD

1.1 Splošno o področju diplomskega dela

V gradbeništvu se za dimenzioniranje nosilnih gradbenih elementov v splošnem

uporabljata koncepta mejnih stanj in koncept dopustnih napetosti oziroma:

mejno stanje nosilnosti – MSN,

mejno stanje uporabnosti – MSU,

metoda dopustnih napetosti.

Metoda dopustnih napetosti je star, klasičen način dimenzioniranja v elastičnem območju

glede na izkoriščenost prerezov predvsem lesenih elementov in je za armiranobetonske

konstrukcije danes nedopustna. Metodi, ki se danes uporabljata za dimenzioniranje

gradbenih konstrukcij po evropskih standardih sta le MSN in MSU.

Danes je potrebno vsako konstrukcijo dimenzionirati tako, da ta pri danih napetostnih

pogojih zagotovlja varnost ljudi ter varnost konstrukcije kot same. Pri metodi mejnega

stanja nosilnosti, ki jo predpisujejo standardi SIST EN, prerez pod navidezno povečano

obremenitvijo ne obravnavamo samo v elastičnem območju ampak preide prerez zaradi

nelinearnega obnašanja materiala v t.i. plastično območje. V grobem pri MSN obremenitve

na konstrukcijo zaradi varnosti navidezno povečamo, odpornost prereza pa varnostno

zmanjšamo, saj se materiali, vplivi, karakteristike na konstrukcijo spreminjajo skozi čas.

Zato se metoda podrobno ukvarja z nosilnostnjo, stabilnostjo konstrukcije, utrujanjem

materialov in reologijo.

Projektna naloga obravnava metodo mejnega stanja uporabnosti, ki jo pravtako

predpisujejo standardi SIST EN. Metoda po MSU mora zadostiti tako metodi MSN, kot

tudi dejstvu, da konstrukcija, konstrukcijski element iz kakršnegakoli materiala že je, v

določenem času (eksploatacijska doba) po nekih uporabnostnih kriterijih zadrži svojo


uporabno vrednost in izgled. Da konstrukcija služi v celoti svojemu namenu mora biti

varna, uporabna in trajna. Konkretno se projektna naloga z računskimi primeri nanaša na

konstrukcije iz armiranega betona zato je najbolj pomemben standard SIST EN 1992-1-1

(sl) - Evrokod 2: Projektiranje betonskih konstrukcij-1-1. del: Splošna pravila in pravila za

stavbe, in se smatra kot osnovna literatura [2].

1.2 Namen in cilji diplomskega dela

Namen diplomskega dela je spoznati MSU in potrebne kontrole po tej metodi.

Cilj diplomskega dela je razumevanje in kratka predstavitev metode MSU ter njena

uporaba na računskih primerih.

1.3 Struktura diplomskega dela

V uvodnem delu je predstavljena zasnova diplomskega dela. V drugem delu sta kot glavna

materiala za AB konstrukcije predstavljena beton in jeklo, ter njuno obnašanje skozi čas.V

tretjem delu so teoretično opisana področja MSU, v četrtem delu pa so prikazani računski

primeri dimenzioniranja po MSU.

V jedru je področje MSU opisano po predpisih, ki jih določa SIST EN 1992-1-1. Za tri

kriterije MSU so zapisane najrazličnejše uporabne formule, ki dobijo svojo pomembno

vrednost v zadnjem delu.

Zadnji del je sestavljen iz računskih primerov armiranobetonskih konstrukcijskih

elementov, izbranih iz različne strokovne literature. Primerom se na koncu poda sklep, v

katerem se stvar pravilno interpertira in doda mnenje.


2 BETON IN JEKLO

2.1 BETON

Beton je časovno spremenljiv material, ki je sestavljen iz zrn kamenega agregata, cementa,

kemijsko nevezane vode in por. S staranjem betona in procesom hidratacije se betonu

povečujeta trdnost in elastični modul. Količnik lezenja pa se s staranjem betona ob nanosu

obtežbe zmanjšuje. Pri nizkih napetostih je lezenje v betonu skoraj neodvisno od napetosti,

pri visokih napetostih pa se obravnava po teoriji nelinearnega lezenja. Krčenje betona je v

največji meri posledica oddajanja kemijsko vezane vode neodvisno od napetosti. [4]

2.1.1 Delovni diagram betona

V SIST EN 1992-1-1 so podani štirje različni delovni diagrami betona. Za analizo se

uporablja prvi, ki je shematski, za dimenzioniranje oz. analizo prerezov delov konstrukcij

pa drugi trije. Pri drugem je odnos med napetostjo in deformacijo po paraboli in premici,

pri tretjem bilinearnem pa po premici. Zadnji upošteva konstantne napetosti na zmanjšani

višini tlačne cone. Vsi imajo skupen odnos med napetostjo in deformacijo in zavzemajo

enako površino pod krivuljo. Za vse tri so dane pri določeni napetosti drugačne

vrednosti deformacij in .

c

c cu


Slika 2.1: Delovni diagram betona za nelinearno analizo konstrukcij [4]

Slika 2.2: Delovni diagram betona za mejne nosilnosti prerezov [4]


Slika 2.3: Bilinearni delovni diagram betona [4]

Slika 2.4: Konstantna napetost na zmanjšani višini tlačne cone betona [4]

Tretji bilinearni delovni diagram betona je posebej posplošen, saj se odnos spreminja

linearno po Hookovem zakonu:

- sekantni modul elastičnosti betona v GPa

- deformacija pri doseženi največji napetosti

Zato velja, da je deformacija betona na meji elastičnega območja enaka:

3c cm cE

cmE

3c

3c

c

cmE


Za vse delovne diagrame betona se vrednosti največjih in mejnih deformacij odčita iz

Tabela 2.2 v poglavju 2.1.3.

2.1.2 Trdnost betona

Tlačna trdnost betona

- projektna tlačna trdnost betona

- karakteristična tlačna trdnost betona

- koeficient, ki upošteva dolgotrajne učinke obtežbe in neugodne učinke

nanosa obtežbe na tlačno trdnost betona.1

1,0cc

Natezna trdnost betona

- projektna natezna trdnost betona

- karakteristična natezna trdnost betona

ct - koeficient, ki upošteva dolgotrajne učinke obtežbe in neugodne učinke

nanosa obtežbe na natezno trdnost betona

1,0ct

Pri razpokah je bolj pomembna srednja natezna trdnost pri centričnem nategu ctmf : 2

2

30,3ctm ckf f

1 Po DIN standardu je vrednost .

2 Srednja vrednost natezne trdnosti: .

ckcd cc

c

ff

cdf

ckf

cc

,0.05ctk

ctd ct

c

ff

ctdf

,0.05ctkf


2.1.3 Časovni razvoj tlačne trdnosti betona

Srednja vrednost tlačne trdnosti »t« dni starega betona:

- srednja vrednost tlačne trdnosti 28 dni starega, negovanega betona

- funkcija časovnega naraščanja tlačne trdnosti betona

kjer je:

- koeficient odvisen od vrste cementa

Karkateristična tlačna trdnost betona:

Srednja vrednost natezne trdnosti »t« dni starega betona:

- srednja vrednost natezne trdnosti 28 dni starega, negovanega betona pri 100 %

vlagi in temperaturi 20°C. Pri tem je podan v tabeli:

Tabela 2.1: Koeficient [4]

Starost betona

1,0

2/3

Srednja vrednost sekantnega modula »t« dni starega betona je določena z izrazom:

cm cc cmf t t f

cmf

cc t

0,528

1st

cc t e

s

8 3 28ck cmf t f t MPa za t dni

28ck ckf t f za t dni

ctm cc ctmf t t f

ctmf

28t dni

28t dni

0,3

cm

cm cm

cm

f tE t E

f


Za različne kvalitete betona so v spodnji tabeli prikazane vse trdnostne in deformacijske

lastnosti.

Tabela 2.2: Trdnostne in deformacijske lastnosti betona [4]

2.1.4 Lezenje betona

Lezenje betona je časovno povečanje trenutnih deformacij betona zaradi trajne

obremenitve. Zaradi obremenitev lahko beton pri povečani konstantni napetosti leze

linerano bodisi nelinearno zato je končna deformacija betona odvisna od trenutne (začetne)

deformacije a različnega koeficienta lezenja.

, 1c fin c cc c

c - trenutne (začetne) deformacije betona

cc - deformacije zaradi lezenja betona


Slika 2.5: Trenutne deformacije in deformacije zaradi lezenja [3]

Lezenje betona je odvisno od starosti betona ob nanosu obtežbe, vlage, temperature,

konsistence in trdnostnega razreda betona. Odvisno je tudi od dimenzij prereza, deleža

cementa v betonu, trajanja obtežbe in od velikosti napetosti.

Linearno lezenje betona

Če je napetost betona na začetku nanosa obtežbe manjša od vpliv ravni

napetosti na koeficient lezenja 0, t zanemarimo. Pri spodnji enačbi je končni prirastek

k deformaciji linearna funkcija napetosti in govorimo kar o linearni teoriji lezenja

betona: [4]

0, ccc

c

tE

- deformacija lezenja betona pri konstantni tlačni napetosti

0, t - koeficient linearnega lezenja betona

Koeficient lezenja je normiran glede na tangentni modul elastičnosti betona pri starosti

28 dni le tega pa določimo na podlagi sekantnega modula po izrazu:

c 00,45 ckf t

cc c

cc

cE

cmE

1,05c cmE E


Za hitro oceno koeficienta linearnega lezenja betona 0, t je pri temperaturi T=20°C

podan pomožen diagram za primer vlažnosti RH= 50%.1

Slika 2.6: Količnik linearnega lezenja betona 0, t [2]

Drugače pa so v SIST EN 1992-1-1 - Dodatek B tudi osnovne enačbe za določanje

koeficienta lezenja, pri čemer se koeficient lezenja izračuna kot zmnožek nazivnega

koeficienta lezenja in koeficienta za opis časovnega razvoja lezenja po nanosu obtežbe

0,t t : [2]

0 0 0, ,t t t t

Nazivni koeficient je sestavljen in dan kot:

- faktor za upoštevanje relativne vlažnosti zraka

1 SIST EN 1992-1-1 ponuja za hitro oceno količnika linearnega lezenja še graf za primer vlažnosti 80 %.

0

0 0RH cmf t

RH

30

11001 35

0,1RH cm

RH

za f MPah

1 23

0

11001 35

0,1RH cm

RH

za f MPah


- relativna vlažnost okolja v %

- faktor za upoštevanje učinka starosti betona

- faktor za upoštevanje učinka starosti betona ob obremenitvi

- nazivna velikost elementa v mm

- ploščina prečnega prereza

- obseg elementa v prerezu v stiku z ozračjem

Koeficient za opisovanje časovnega razvoja lezenja po nanosu obtežbe je dan kot:

- starost betona v obravnavanem času v dnevih

- starost betona ob nanosu obtežbe v dnevih

- koeficient, ki je odvisen od relativne vlažnosti okolja in nazivne velikosti

elementa

Pri tem so koeficienti za upoštevanje vpliva trdnosti betona:

RH

cmf

16,8

,cm cm

cm

f f MPaf

0t

0 0,2

0

1

0,1t

t

0h

0

2 cAh

u

cA

u

0,3

0

0

0

,H

t tt t

t t

t

0t

H

18

01,5 1 0,012 250 1500 35H cmRH h za f MPa

18

0 3 31,5 1 0,012 250 1500 35H cmRH h za f MPa

0,7 0,2 0,5

1 2 3

35 35 35, ,

cm cm cmf f f


Učinek vrste cementa se lahko upošteva z korigirano starostjo ob nanosu obtežbe 0t , ki se

določi kot:

0 0, 1,2

0,

91 0,5

2T

T

t tt

kjer sta:

0,Tt - spremenjena starost glede na temperaturo ob nanosu obtežbe v dnevih

- potenca odvisna od vrste cementa

Tabela 2.3: Potenca [2]

Razred cementa

S -1

N 0

R 1

Na zrelost betona pa se lahko upošteva še učinek spremembe temperatur od 0°C do 80°C

po izrazu:1

400013,65

273

1

i

nT t

T i

i

t te

kjer so:

Tt - glede na temperaturo korigirana starost betona, ki zamenja v enačbah t

iT t - temperatura v °C znotraj intervala it

it - število dni prevladujoče temperature

1 Za manjšo natančnost ocene, se lahko za lezenje betona privzamejo kar vrednosti iz grafov v SIST EN 1992

na sliki 2.6, podpoglavje 2.1.4.


Nelinearno lezenje betona

V primerih, ko pa je napetost betona na začetku nanosa obtežbe večja od ,

pa je vpliv ravni napetosti na koeficient lezenja 0,nl t takšen, da ga moramo upoštevati

v računu. Zato je časovni prirastek deformacije betona nelinearna funkcija napetosti

in govorimo o nelinearni teoriji lezenja betona:1

0, ccc nl

c

tE

0,nl t - koeficient nelinearnega lezenja betona

kjer je:

1,5 0,45

0 0, ,k

nl t t e

- razmerje tlačnih napetosti betona in karakteristične trdnosti v začetnem času 0t

1 V MSU armiranobetonskih konstrukcij je trajna napetost betona praviloma manjša od tako,

da zadošča upoštevanje lezenja betona po linearni teoriji.

c 00,45 ckf t

cc

c

0

c

ck

kf t

k


2.1.5 Krčenje betona

Beton ima zelo nizek koeficient toplotnega raztezka in ko zori, se krči, znotraj betona pa

prihaja do nastanka deformacij, ki povzročajo razpoke.

Na deformacijo krčenja betona razen napetosti vplivajo vsi ostali enaki parametri kot pri

lezenju. Celotno krčenje betona je sestavljeno iz krčenja zaradi sušenja in

avtogenega krčenja , ki se razvije z vezanjem cementa: [4]

Časovni razvoj deformacije krčenja z sušenjem betona je podan z izrazom:

Časovni razvoj deformacije zaradi avtogenega krčenja betona pa:

pri tem so:

- čas v dnevih

- čas na začetku krčenja zaradi sušenja

- funkcija časovnega razvoja krčenja zaradi sušenja

- koeficient nazivne velikosti prereza odvisen od

Tabela 2.4: Koeficient nazivne velikosti prereza [4]

100 1,0

200 0,85

300 0,75

>500 0,7

cs cd

ca

cs cd ca

,0,cd ds s h cdt t t k

ca as cat t

t

st

,ds st t

3

0

,0,04

sds s

s

t tt t

t t h

hk 0h

0h mm hk


- funkcija časovnega razvoja avtogenega krčenja

- končna vrednost krčenja betona

Tabela 2.5: Nazivne vrednosti neoviranega krčenja betona iz cementa razreda N zaradi

sušenja v [4]

as t

0,50,2

1t

as t e

ca

62,5 10 10ca ckf


Osnovna deformacija krčenja zaradi sušenja ,0cd se po SIST EN 1992-1-1 lahko tudi

izračuna:

kjer so:

- koeficienta, odvisna od vrste cementa1

Tabela 2.6: Koeficienta ,

Cement razreda: S N R

3 4 6

0,13 0,12 0,11

1 Glej Slika 2.6 v poglavju 2.1.4.

2

6

,0 10,85 220 110 10

cmds

cmo

f

f

cd ds RHe

3

0

1,55 1RH

RH

RH

10cmof MPa

0 100%RH

1 2,ds ds

1ds

2ds


2.2 ARMATURA

Armatura je nujna pri armiranobetonskih prerezih, saj betonu pomaga prenašati natezne

obremenitve. Zato je pri jeklu pomembna predvsem natezna trdnost in duktilnost, kar

pomeni, da mora biti ta ustrezne kakovosti in načina obdelave.

Pomembna je tudi relaksacija jekla, ki je odvisna od ravni začetne napetosti. Če je začetna

trajna napetost manjša ali enaka polovični vrednosti trdnosti jekla se ta zanemari in pri

armiranobetonskih konstrukcijah ne igra bistvene vloge. [4]

2.2.1 Delovni diagram jekla

Za dimenzioniranje armiranobetonske konstrukcije se uporablja poenostavljen bilinearni

delovni diagram jekla brez utrditve pri čemer je in mejna deformacija ni

omejena, lahko pa se uporablja tudi zakon z utrditvijo kjer je:

0,94ud uk

Slika 2.7: Delovni diagram za jeklo [4]

s sdf ud

1,0tk

sk

fk

f


2.2.2 Duktilnost in zahteve jekla

Armatura mora imeti ustrezno duktilnost, ki je določena z raztezkom pri največji sili in z

razmerjem med natezno trdnostjo in napetostjo na meji elastičnosti. SIST EN 1992-1-1

obravnava vročevaljano in hladno obdelano jeklo.

Tabela 2.7: Podatki za armaturo z utrditvijo glede na razred duktilnosti [4]

2.2.3 Trdnost jekla

sk ykf f - karakteristična meja elastičnosti jekla

Natezna trdnost jekla

- projektna natezna trdnost jekla

- karakteristična natezna trdnost jekla

tktd

s

ff

tdf

tkf


3 MSU PO SIST EN 1992

3.1 SPLOŠNO O PODROČJU MSU

Glavna stvar pri projektiranju armiranobetonske konstrukcije je, da bo ta v svoji življenjski

dobi nosilna, varna in s tem, da služi svojemu prvotnemu namenu tudi uporabna. Takšna

konstrukcija pa mora biti projektirana tudi tako, da bo trajna.

Torej VUT (varnost, uporabnost in trajnost) so osnovne zahteve konstrukcije, ki jih s

pomočjo predpisov projektiranja gradbenih konstrukcij inženir mora zagotoviti. Pri nas so

ti predpisi podani v evropskih standardih, Evrokodih. Če pa kakorkoli tem zahtevam in

predpisom ni zadoščeno, potem takšna konstrukcija ne zagotavljala varnosti in je za

uporabnika popolnoma neuporabna. [3]

Pri preverjanju konstrukcije po MSN in MSU so med njima bistvene razlike, a obe mejni

stanji postavljata konstrukciji dogovorjene kriterije in pogoje, ki jih ta ne sme prekoračiti

Ni vedno potrebno preverjati po obeh mejnih stanjih, je pa nujno za razumevanje MSU in

pravilno uporabo predpisa poznati teoretične osnove področja MSU

Pri projektiranju armiranobetonskih gradbenih konstrukcij je potrebno poleg napetostnih

kriterijev, ki zagotavljajo varnost proti porušitvi, zagotoviti še kriterijem uporabnosti. Pri

MSU se ti pogoji po Evrokod standardih nanašajo na normalno uporabo, trajnost, videz

konstrukcije ter na udobje ljudi. Torej mejno stanje uporabnosti je doseženo, ko

konstrukcija zaradi prevelikih deformacij, razpok, vibracij, prekoračenih napetosti itd. ni

več uporabna a še vedno varna.

Kriteriji uporabnosti za katere izvajamo kontrole so:

napetosti,

razpoke,

povesi, deformacije.


V mejnem stanju uporabnosti moramo preveriti pogoj:

kjer je projektna vrednost učinkov vplivov, ki je določena na podlagi ustrezne

kombinacije vplivov, pa projektna vrednost ustreznega kriterija uporabnosti. [4]

3.1.1 Kombinacije vplivov

karakteristična,

pogosta,

navidezno stalna.

V primeru ene spremenljive obremenitve pa velja:

kjer so:

- stalna obtežba

- spremenljiva obtežba

, , - redukcijski faktorji za kombinacijo vplivov

d dE C

dE

dC

1 0

1 2

n n

d kj k i ki

j i

E G Q Q

1 1 2

1 2

n n

d kj l k i ki

j i

E G Q Q

2

1 2

n n

d kj i ki

j i

E G Q

1

n

d kj ki

j

E G Q

kjG

kiQ

0i 1l 2i


Tabela 3.1: Priporočene vrednosti redukcijskih faktorjev za stavbe [1]


3.2 OMEJITVE NAPETOSTI

Pri omejitvah napetosti se koristi linearna razporeditev napetosti v betonu in jeklu, kjer je

konstanten odnos med modulama elastičnosti. Pri računu napetosti betona in jekla moramo

izključiti natezno cono betona. Za beton in armaturo upoštevamo Hookov zakon.

Z omejitvijo napetosti betona se prepreči zmanjševanje tlačne cone betona in odpiranje

novih mikro razpok, ki nastanejo zaradi nateznih napetosti in plastifikacije betona.

Pravtako se z omejitvijo napetosti prepreči raztezanje jekla in s tem nastanek širokih

razpok.

Linearen potek napetosti in deformacij v MSU je prikazan na sliki 3.1.

Slika 3.1: Potek napetosti in deformacij v MSU [13]

Višina tlačne cone oz. lega nevtralne osi v prerezu se izračuna na podlagi statično

momentnega pogoja:

0yS

Za enojno armiran pravokotni prerez je višina tlačne cone: [12]

1

1

21 1e s

e s

A b dx

b A


kjer je:

effb b - efektivna širina prereza

h - višina prereza

e - razmerje modulov elastičnosti med jeklom in betonom

1sA - količina natezne armature

d - statična višina (statična višina d je razdalja od vrha roba tlačne cone do

težišča natezne armature)

Za dvojno armiran pravokotni prerez višino tlačne cone pri obremenitvi z upogibnim

momentom, brez osne sile določimo kot: [4]

1

2 2 2

2 1 2 2 1 2 1

2

' ' 'e s e s e s e s e s e sA A A d A d A A

xb b b

kjer sta:

2 'sA - količina tlačne armature

2d - odmik od tlačne cone do tlačne armature

Ko poznamo statično višino lahko izračunamo ostale iskane količine.

Vrednost napetosti v tlačni armaturi lahko pri znani statični višini tlačne cone izrazimo z

napetostjo v natezni armaturi:

2

's s

x d

d x

se

cm

E

E


Z momentnim ravnotežjem glede na rezultanto tlačnih napetosti betona določimo napetost

v natezni armaturi kot:

2

1 2 2

3

3 ' 3

Eds

s s

M

x dA d x A x d

d x

Tlačna napetost betona je tako:

3.2.1 Omejitve napetosti betona

Tlačne napetosti pri betonu je treba v primeru razredov izpostavljenosti konstrukcije XD,

XF in XS primerno omejiti na vrednost.1

Če je pri navidezno stalni obtežni kombinaciji napetost betona manjša od potem se

predpostavi linearno lezenje, drugače je lezenje nelinearno in velja:

3.2.2 Omejitve napetosti jekla

Če ta pod vplivom karakteristične kombinacije obtežbe ne prekoračijo spodnje vrednosti

potem ni nesprejemljivih razpok in deformacij. Velja:

Kadar so napetosti posledica vsiljenih deformacij, napetosti ne smejo prekoračiti:

1 Če je beton objet s stremeni ali pa se krovni sloj armature poveča ta pogoj ni obvezen.

s

c

e

x

d x

0,6c ckf

2 ckk f

0,45c ckf

0,8s skf

1,0s skf


3.3 OMEJITVE RAZPOK

Pri armiranobetonskih konstrukcijah so razpoke običajna stvar, a jih je potrebno zaradi

posledic pokanja betona omejiti tako, da bo konstrukcija čimbolj trajna. Pri tem ne sme

priti do zmanšanja funkcij trajnosti in nespremenjenega videza konstrukcije. Razpoke

nastanejo zaradi obremenitev upogiba, prečne sile, torzije, natega neposredne obtežbe,

preprečenih vsiljenih deformacij. Vzroka za razpoke pa sta tudi plastično nabrekanje in

krčenje pri strjevanju betona. [2]

Slika 3.1: Razpoke zaradi plastičnega krčenja betona [11]

Torej razpoke nastanejo kadar natezna napetost v prerezih konstrukcij preseže natezno

trdnost betona ctmf .


3.3.1 Splošno o širini razpoke

Največja dovoljena računska širina razpoke je določena na podlagi okolja, funkcije

konstrukcije in stroškov omejitve razpokanosti. Na podlagi razredov izpostavljenosti so v

tabeli prikazane priporočene vrednosti za .

Tabela 3.2: Omejitve največjih povesov na podlagi razreda izpostavljenosti [2]

3.3.2 Najmanjši prerez armature za omejitev širine razpok

Kadar je potrebno širino razpok omejiti, izvesti kontrolo, se v območjih nategov zahteva

minimalna količina armature sprijete z betonom. Količina te armature se določi na podlagi

ravnotežja med natezno silo v betonu tik pred nastankom razpok in natezno silo v armaturi

pri napetosti vse do meje elastičnosti . [4]

Pri razčlenjenih prerezih (T, U, L, O…) armiranobetonskih profilih se najmanjši potrebni

prerez armature določi za pasnice in stojine posebej. Potrebni najmanjši prerez armature se

izračuna na naslednji način:

kjer so:

- najmanjši potrebni prerez jekla znotraj natezne cone pred nastankom razpok

- absolutna vrednost največje dovoljene napetosti armature

maxw

maxw

skf

,min ,ct

s c ct eff

s

AA k k f

,minsA

s skf


- efektivna natezna trdnost betona v času nastanka prve razpoke ( ,

če se razpoke pričakujejo prej kot pri starosti 28 dni)

- ploščina betona v nategu neposredno pred nastankom prve razpoke

- parameter

Parameter zavzame v tabeli vrednost pod pogojem za stojine ali pasnice. Ostale

vrednosti se interpolirajo:

Tabela 3.3: Parameter [2]

stojine pasnice

ali 1,0

ali 0,65

- koeficient, ki upošteva razporeditev napetosti prereza pred nastankom razpok

Koeficient zavzema vrednost 1,0 pri čistem nategu armiranega betona. Pri upogibu ali

pri upogibu v kombinaciji z osnimi silami pa se izračuna:

za pravokotne prereze in stojine škatlastih ter T- prerezov,

za pasnice škatlastih prerezov in T- prerezov.

kjer so:

- srednja vrednost napetosti betona

,ct efff ,ct eff ctmf f

ctA

k

k

h mm b mm k

300h 300b

800h 800b

ck

ck

1 , *

0,4 1 1,0cc

ct eff

kh

k fh

,

0,9 0,5crc

ct ct eff

Fk

A f

c

Edc

N

b h


- osna sila v MSU, ki deluje na obravnavani del prečnega prereza (tlačna sila je

pozitivna) in jo je potrebno določiti ob upoštevanju karakteristične vrednosti prednapetja in

osnih sil pri ustrezni kombinaciji vplivov.

Določitev :

Določitev koeficienta , ki upošteva vplive osnih sil na razporeditev napetosti:

če je tlačna sila

če je natezna sila

- absolutna vrednost sile v natezni coni zaradi upogibnega momenta, ki

povzroči prvo razpoko

3.3.3 Omejitev širine razpok brez neposrednega računa

Pri armiranih ploščah stavb, obremenjenih na upogib, ukrepi za omejitev razpok niso

potrebni, če višina plošče ne presega 200 mm.

Kadar se zagotovi minimalna armatura , širine razpok pri elementu verjetno niso

prekomerne, morata pa veljati dva pogoja:

pri razpokah, ki jih pretežno povzroča preprečitev deformiranja velikosti premerov

palic niso prekoračene. Napetost jekla je enaka neposredno po nastanku razpok;

pri razpokah, ki jih povzroča obtežba so izpolnjene zahteve vsaj iz ene tabele

(Tabela 4.2, Tabela 4.3). Napetosti jekla je potrebno izračunati na razpokanem

prerezu z merodajno kombinacijo vplivov.

EdN

*h

* 1,0h h za h m

* 1,0 1,0h m za h m

1k

1 1,5k EdN

*

1

2

3

hk

h EdN

crF

,minsA

s


Spodaj sta podani tabeli s podatki za omejitev največjega premer in medosne

oddaljenosti armaturnih palic.

Tabela 3.4: Omejitev največjega premera armaturne palice [2]

Napetost jekla Največji premer palice [mm]

[MPa]

160 40 32 25

200 32 25 16

240 20 16 12

280 16 12 8

320 12 10 6

360 10 8 5

400 8 6 4

450 6 5 -

Tabela 3.5: Omejitev največje medosne oddaljenosti palic [2]

Napetost jekla Največja medosna oddaljenost palic [mm]

[MPa]

160 300 300 200

200 300 250 150

240 250 200 100

280 200 150 50

320 150 100 -

360 100 50 -

- premer armaturne palice

0,4kw mm 0,3kw mm 0,2kw mm

0,4kw mm 0,3kw mm 0,2kw mm


Pri armiranem betonu se maksimalni premer armaturne palice priredi za:

upogib (vsaj del prereza je tlačen),

nateg.

kjer so:

- prirejen največji premer palice

- največji premer palice iz tabele

- celotna višina prereza

- višina natezne cone neposredno pred nastankom razpok

Kadar je pri nosilcih z višino h večjo od 1 m glavna armatura skoncentrirana na

sorazmerno majhnem delu višine je potrebno omejitev razpok zagotoviti še z dodatno

površinsko armaturo oz. konstrukcijsko pomožno armaturo ob straneh nosilca. Ta mora biti

znotraj stremen razporejena vsaj med natezno armaturo in nevtralno osjo. Prerez povšinske

konstrukcijsko pomožne armature se izračuna po enačbi za najmanjši prerez armature za

omejitev širine razpok, pri čemer se za vzame vrednost 0,5, za pa vrednost .

Pravtako se izračunata še medosna oddaljenost in ustrezen premer armaturnih palic. [2]

Široke razpoke se lahko pojavijo in povzročajo posebne nevarnosti:

pri spremembah prereza,

v bližini koncentriranih obtežb,

na mestih sprememb prereza armature,

in v območjih visokih sprijemnih napetosti (npr. na koncih prekrivanja armature).

Zato je potrebno, če je možno, da se v takšnih območjih napetosti zmanjšajo z ustreznim

navedenimi pravili za omejitev razpok in ustreznim detajliranjem armature.

s

,*

2,9 2

ct eff c crs s

f k h

h d

,*

2,9 24

ct eff crs s

f h

h d

s

*

s

h

crh

k s skf


3.3.4 Račun širine razpok

Z izračunom širine razpoke se je ukvarjal anglež Beeby(1979) in postavil temelj za izračun

širine razpoke . Ta se lahko izračuna z naslednjim izrazom:

kjer so:

- največja razdalja med razpokami

- srednja deformacija armature

- srednja deformacija betona med razpokami

Pri tem se efektivna deformacija lahko izračuna kot:

kjer so:

- napetost v natezni armaturi pri razpokanem prerezu

- faktor, ki ima pri kratkotrajni obtežbi vrednost 0,6, pri dolgotrajni pa 0,4.

'pA - prerez predhodno ali naknadno napetih kablov znotraj1

- prirejeno razmerje sprijemne trdnosti različnih premerov jekla za armiranje

Za uporabo formule izračuna širine razpoke je pri upogibih zaradi momentov za določitev

efektivnega dela betonskega prereza , ki obdaja armaturo v natezni coni, potrebno

1 Pri AB konstrukcijah, kjer ni prednapetja je .

kw

,maxk r sm cmw s

,maxrs

sm

cm

sm cm

,

,

,

1

0,6

ct eff

s t e p eff

p eff ssm cm

s s

fk

E E

s

tk

'

2

1

,

,

s

p eff

c eff

A A

A

1

,c effA


definirati še efektivno višino . Ta je pri nosilcih manjša od vrednosti ali

ali . [2]

Slika 3.2: Efektivna natezna površina pri armiranobetonskih nosilcih [7]

Slika 3.3: Efektivna natezna površina pri armiranobetonskih ploščah [7]

Pri bližje razporejeni armaturi sprijeti z betonom znotraj natezne cone npr. pri ploščah, kjer

je efektivna višina manjša od vrednosti ali se največja

medsebojna razdalja med razpokami izračuna kot:

kjer so:

- krovni sloj betona vzdolžne armature

- koeficient, ki je odvisen od sidranja. Palice z dobro sprijemnostjo zavzamejo

vrednost 0,8.

,c effh 2,5 h d

/ 3h x2

h

,c effh 52

c

/ 3h x

,max 1 2

,

3,4 0,425r

p eff

s c k k

c

1k


- koeficient, ki je odvisen od razporeditve deformacij po prerezu in zavzame vrednost

0,5 za upogib in vrednost 1,0 za čisti nateg. Pri ekscentričnem nategu pa se upoštevajo

vmesne vrednosti koeficienta:

, - večja in manjša vrednost robne natezne deformacije obravnavanega dela

določena po razpokanem prerezu.

Kadar pa razdalja z betonom sprijetih palic armature prekorači vrednost , ali

kadar armatura znotraj natezne cone ni sprijeta z betonom, se zgornja meja širine razpoke

določi kot:

Pri stenah, kjer prerez vodoravne armature ne izpolnjuje zahtev, se lahko širina razpoke

vzame kar kot 1,3- kratna višina razpoke.

Slika 3.4: Prekomerne razpoke betonskega zidu [8]

Kadar so v prerezu različni premeri armaturnih palic , je potreben nadomestni premer

po enačbi: [2]

2k

1 2

2

12k

1 2

52

c

,max 1,3 ( )rs h x

sA

,maxrs

1 2

eq

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

eq

n n

n n


3.4 OMEJITVE POVESOV

3.4.1 Ocena povesov z razmerjem l/d

Povesov ni potrebno vedno izračunati, saj veljajo po SIST EN 1992-1-1 enostavna pravila

kdaj račun povesov ni potreben. Po oceni iz razmerja med razpetino in statično višino

elementa, približno izračunamo ali je element (plošča, greda, nosilec,...) ustrezen. Za

primere, ko povesi ustrezajo spodnjima dvema enačbama in K- preglednici, dejanski račun

povesov ni potreben.

Za splošno razmerje sta glede na napetost betona dani enačbi (1) in (2):

(pri nizki napetosti betona),

(1)

0 .

'

01 2 3 '

111 1,5 3,2

12ck ck

lF F F K f f

d

(2)

kjer so:

- faktor vpliva različnih statičnih sistemov

- potrebna stopnja armiranja z natezno armaturo

' - potrebna stopnja armiranja z tlačno armaturo

- referenčna stopnja armiranja

- faktorji

Referenčna stopnja armiranja je odvisna od karakteristične tlačne trdnosti betona

po enačbi:

l

d

0

1,5

0 01 2 3 11 1,5 3,2 1ck ck

lF F F K f f

d

K

0

1 2 3, ,F F F

0 ckf

0 0,001 ckf


V tabeli so podane za dve stopnji armiranja 15% in 0,5% mejne vrednosti

razmerij /l d , ki so odvisne od statičnega sistema, faktorja K.

Tabela 3.6: Faktor K [6]

Statični sistem K Visoka

napetost betona

Nizka

napetost

betona

Prostoležeči nosilci in vrtljivo podprte plošče

nosilne v eni ali dveh smereh 1,0 14 20

Končno polje neprekinjenih nosilcev in plošč,

nosilnih v eni smeri oz. plošč nosilnih v dveh

smereh, ki so neprekinjene vzdolž ene stranice

1,3 18 26

Notranje polje nosilca oz. v eni ali v dveh

smereh nosilnih plošč 1,5 20 30

Plošča na stebrih brez nosilcev

(gladka plošča na stebrih 1,2 17 24

Konzole 0,4 6 8

Enačbi (1) in (2) upoštevata napetost jekla kot 310 MPa, kar približno odgovarja jeklu s

= 500 MPa. Kadar se uporabljajo drugačni nivoji napetosti (drugačna jekla) je potrebno

dobljene vrednosti pomnožiti s oz. smo na varni strani, če se upošteva: [2]

kjer so:

,s provA - dejanski prerez natezne armature v obravnavanem prerezu

,s reqA - potreben prerez natezne armature v obravnavanem prerezu po MSN

- natezna napetost jekla na sredini razpona oz. na koncih konzole po MSN

skf

310 / s

,

1

,

310 500 s prov

s sk s req

AF

f A

s


Za prereze s pasnicami pri katerih razmerje med širino pasnice in širino reber preseže

vrednosti 3, moramo vrednosti iz enačb (1) in (2) pomnožiti z .

Pri nosilcih in ploščah z razpetinami, ki so večje od 7 m in nosijo predelne stene je

potrebno vrednosti iz enačb (1) in (2) pomnožiti z . Pri gladkih ploščah na

stebrih, katerih večja razpetina preseže 8,5 m in nosijo predelne stene pa je potrebno

vrednosti iz enačb (1) in (2) pomnožiti z .

- efektivna razpetina elementa

Če ocene povesa ne ustrezajo enačbama (1) in (2), je potreben račun povesov.

Slika 3.5: Armiranobetonska plošča in razpon [9]

l

d2 0,8F

l

d3 7 / effF l

l

d3 8,5/ effF l

effl


3.4.2 Račun povesov

Kadar elementu po oceni povesov kakorkoli ni zadoščeno je izračun povesov potreben. Pri

tem moramo glede na obtežno kombinacijo ločiti nerazpokane elemente pri katerih je v

vsakem delu elementa natezna napetost betona manjša od natezne trdnosti in ločiti

elemente, kjer se le v določenem delu elementa pojavljajo razpoke. Za elemente, kjer se

pričakuje obnašanje razpok med nerazpokanim in razpokanim stanjem vendar ne po

celotnem elementu, se račun povesov omeji z: [4]

kjer so:

- deformacijski parameter (pomiki, povesi, deformacije…)

- vrednost količin z upoštevanjem nerazpokanega oz. razpokanega stanja

- razdelitveni koeficient

Razdelitveni koeficient omogoča upoštevanje sodelovanja betona pri prevzemu nateznih

sil. Za nerazpokane prereze znaša = 0,0 drugače pa se izračuna kot:1

kjer so:

- napetost natezne armature, izračunana na podlagi razpokanega prereza

- napetost natezne armature, izračunana pri obtežbi, ki povzroči prvo razpoko

- upogibni moment, ki povzroči prvo razpoko

- osna natezna sila, ki povzroči prvo razpoko

1 Pri čistem upogibu, nategu se lahko razmerje nadomesti z , .

ІІ І1

І ІІ,

2

1 sr

s

s

sr

crM

crN

sr

s

crM

M

crN

N


- upogibni moment in osna sila pri obtežni kombinaciji MSU

- koeficient, ki upošteva vpliv trajanja obtežbe na povprečno deformacijo jekla

Tabela 3.7: Koeficient vpliva trajanja obtežbe na povprečno deformacijo jekla [5]

Vpliv/trajanje obtežbe β

enkratna, kratkotrajna 0,5

trajna oz. ponavljajoča 1,0

Ko je beton zrel in se stara se povesi povečujejo z vplivi obtežb, vlago okolja, dimenzijami

elementa in mehansko-reološkimi lastnostmi betona. Zaradi tega se modul elastičnosti

betona cmE s časom zmanjšuje:

0,3

,

0 0

822

10

1 , 1 ,

ck

cmc eff

f

EE

t t

- efektivni modul elastičnosti betona

Za račun povesov pa se zaradi konstantnega krčenja betona upošteva še ukrivljenost v

nerazpokanem, kot tudi razpokanem stanju:

- deformacija neoviranega krčenja betona

- statični moment prereza jekla glede na težišče

- vztrajnostni moment prereza

Za račun povesov se lahko poslužujemo dveh načinov oz. izbranih poti:

z aproksimativno metodo,

z direktno kalkulacijsko metodo.

,M N

,c effE

1

cs e

cs

S

r I

cs

S

I


3.4.3 Aproksimativna metoda

Za elemente, ki so konstantnih višin se izračuna zakrivljenost na mestu maksimalnega

momenta EdM , poves pa se pri tem izračuna po izrazu: [12]

2 1tot

tot

w k lr

k - faktor odvisen od statičnega sistema in obremenitev (odčitamo)

l - razpon elementa

1

totr - skupna ukrivljenost elementa

Skupna ukrivljenost elementa je vsota ukrivljenosti zaradi obremenitve, lezenja ter krčenja

betona.

1 1 1

tot M csr r r

kjer je:

1

Mr - zakrivljenost zaradi obremenitve in lezenja betona

1

csr - zakrivljenost zaradi krčenja betona

Srednja ukrivljenost zaradi obremenitve in lezenja je sestavljena iz stanja obremenitve pri

nerazpokanih elementih označen z І in stanja obremenitve pri razpokanih elementih,

označen z ІІ in se poenostavi: [12]

І ІІ

1 1 11

totr r r

Ukrivljenost za obremenjeno stanje I se izračuna po izrazu:

І , І

1 Ed

c eff

M

r E I

ІI - vztrajnostni moment prereza (nerazpokano stanje)

Ukrivljenost za obremenjeno stanje ІІ se izračuna kot:


1

ІІ ІІ , ІІ

1 s Ed

c eff

M

r d x E I

ІІI - vztrajnostni moment prereza (razpokano stanje)

ІІx - oddaljenost nevtralne osi od zgornjega roba preseka v stanju ІІ

1s - relativna deformacija armature

kjer sta:

1

ss

sE

1

Eds

s

M

z A

Moment, pri katerem nastane prva razpoka se izračuna kot:

2

6cr ctm

b hM f

Kadar je Ed crM M potem je razporeditveni koeficient enak 0,0 . Konstrukcijski

element je v elastičnem stanju. [12]

Ukrivljenost zaradi krčenja za stanje obremenenja І in ІІ je:

І

,І І

1cs e

cs

S

r I

ІІ

,ІІ ІІ

1cs e

cs

S

r I

kjer so:

ІS , ІІS - statična momenta površine armature za stanje І in ІІ

cs - relativna deformacija krčenja (konstantna)


e - razmerje modula elastičnosti jekla in betona1

3.4.4 Direktna kalkulacijska metoda

Za določanje povesov po metodi je pomembna ukrivljenost tako razpokanega kot

nerazpokanega stanja in se določi na podlagi integracije momentne linije po korakih.

Pomembna predpostavka je, da beton v razpokanem delu elementa natezno ne nosi ničesar

v nerazpokanem delu pa nosi tlačno kot tudi natezno in se vede elastično vse do kvalitete

betona C50 zato je element potrebno obravnavati kot: [5]

nerazpokan,

razpokan.

V nerazpokanih delih armirano-betonskega elementa se beton kot material obnaša linearno

elastično tako v tlaku kot tudi v nategu. Jeklo se obnaša linearno elastično. [5]

Pri tem je (bruto)vztrajnostni moment nerazpokanega prereza:

kjer je:

grossI - bruto vztrajnostni moment prereza2

Razmerje je dano kot:

Moment pri nerazpokanem delu elementa:

1 Pri razpokanih prerezih je potrebno v enačbi za upoštevati .

2 Bruto vztrajnostni moment prereza je enak vztrajnostnemu prereza v nerazpokanem stanju: .

23 3 2''

3

1 11

3 3

gross

e e

I x h x x d x

b d d d d d d d

x

d

2 ´´

´

0,5 e

e

h d

d dx

hd

d


Ukrivljenost pri nerazpokanem delu elementa pa:

Če pa želimo dobiti moment in ukrivljenost pri razpokanem delu elementa

potem v prejšnji dve enačbi vstavimo zvezo in dobimo:

kjer je:

cW - odpornostni moment prereza

Pri razpokanih delih armiranobetonskega elementa se beton kot material obnaša linearno

elastično in sicer samo v tlaku. V nategu prihaja do razpok, ki zmanjšujejo nosilnost

elementa. Jeklo se obnaša linearno elastično. [5]

Pri tem je vztrajnostni moment razpokanega prereza:

crI - vztrajnostni moment razpokanega prereza1

'd - razdalja od tlačnega roba do težišča tlačne armature


1 Vztrajnostni moment razpokanega prereza je enak vztrajnostnemu prereza v razpokanem stanju: .

ct gross

uncr

f IM

h x

, ,

1 1 ct

M uncr c eff

f

r h x E

crM,

1

M crr

ct ctmf f

ctm gross

cr c ctm

f IM W f

h x

, ,

1 1 ctm

M cr c eff

f

r h x E

23 2´´

3

11

3

cre e

I x x d x

b d d d d d

x

d


Moment pri razpokanem delu elementa:

Ukrivljenost pri razpokanem delu elementa pa kot:

Po direktni kalkulacijski metodi povesov si AB element nekako razdelimo na enake dele,

ki so omejeni s točkami. Ko imamo dano skupno ukrivljenost za vsako točko posebej lahko

izračunamo poves v vsaki točki in to na dva načina: [5]

z integracijo,

kjer se z dvojnim integriranjem skupne ukrivljenosti vzdolž elementa za vsako točko poves

izračuna kot:

2

2

1

tot

d w

r dx

z diferenčno metodo.

kjer se povesi izračunajo s pomočjo diferenc:

1 1

2

21 x x x

tot

w w w

r x

2 213

2

1Ed

tot

M xkl k l

k E I r

S pretvarjanjem v numerične vrednosti pa se dobi v poves v vsaki točki z matrično enačbo:

1 2 1

tot

W A xr

0,5

´2

´ 2 ´ ´2e e e

x d

d d

cs crcr

f IM

x

, ,

1 1 cs

M cr c eff

f

r x E


Tabela 3.8: Koeficient za izračun povesa [5]


4 PRIMERI DIMENZIONIRANJA PO MSU

4.1 AB NOSILEC 1

Primer je povzet po [12] in rešen po priporočilih SIST EN 1992-1-1. Na sliki je prikazan

armiranobetonski nosilec. ki je upogibno obremenjen in razpet čez dve polji. Prikazan je

potek kontrol napetosti, razpok in povesov po MSU.

Slika 4.1: Diagram upogibnih momentov pri navideznostalni kombinaciji vplivov [12]

Slika 4.2: Prerez armiranobetonskega nosilca cm [12]


Podatki:

Beton: 40ckf MPa , 40 / 50C , 35cmE MPa

Armatura: 500skf MPa , jeklo , 200sE GPa

Moment v polju: 43,90 4390EdM kNm kNcm

Odmik armature spodaj in zgoraj: 1 2 4d d cm

Statična višina: 1 40d h d cm

Ploščina prečnega prereza 230 44 1320cA b h cm

Količina tlačne armature : 2

2 ' 2,26 2 12sA cm

Količina natezne armature: 2

1 6,03 3 16sA cm

Razmerje modulov elastičnosti:

2005,71

35

se

cm

E

E

Izračun višine tlačne cone po enačbi:

1

2 2

2 1 2 2 1 2 1

2

' 2 ' 'e s e s e s e s e s e sA A A d A d A A

xb b b

1

2 2

2

5,71 2,26 5,714 6,03 2 5,71 2,26 4 5,71 6,03 40 5,71 2,26 5,71 6,03

30 30 30

8,31x cm

500S


4.1.1 Kontrola napetosti

V polju:

2 '

22,26 2 12zg

s sA cm A

2

16,03 3 16sp

s sA cm A

a) Beton (navidezno stalna kombinacija vplivov)

, 43,9Ed Ed nsM M kNm

2439020,22 /

0,9 0,9 40 6,03

Eds

s

MkN cm

d A

ІІ,ІІ

ІІ

20,22 8,310,45

5,71 40 8,31

sc ck

e

xf

d x

2 2

,ІІ 0,929 / 1,8 /c kN cm kN cm

Napetost betona ustreza predpisu.

b) Armatura (karakteristična kombinacija vplivov)

, 57,5Ed Ed karM M kNm

5750

0,80,9 0,9 40 6,03

Eds sk

s

Mf

d A

2 226,49 / 40 /s kN cm kN cm

Tudi napetost armature ne presega pogoja omejitve napetosti.


4.1.2 Kontrola razpok

Račun širine razpoke:

,maxk r sm cmw s

Največja razdalja med razpokami:

,max 1 2

,

163,4 0,425 3,4 40 0,425 0,8 0,5

0,0201r

p eff

s c k k

,max 271,323rs mm

(rebraste palice)

(čisti upogib)

16mm (premer najdebelejše armaturne palice)

2

,

,

' 6,03 00,0201

300

s p

p eff

c eff

A A

A

' 0pA

2

, , 30 10 300c eff c effA b h cm

, min 2,5 , / 3, / 2 min 2,5 44 40 , 44 8,31 / 3,44 / 2c effh h d h x h

, 10c effh cm

Razlika deformacij:

,

,

,

1

0,6

ct eff

s t e p eff

p eff ssm cm

s s

fk

E E

3,5

195,88 0,4 1 5,714 0,0201195,880,0201

0,6200000 200000

sm cm

0,000591 0,000588sm cm

1 0,8k

2 0,5k


Napetost natezne armature:

2

1 2 2

3

3 ' 3

Eds

s s

M

x dA d x A x d

d x

23 439019,588 /

8,31 46,03 3 40 8,31 2,26 8,31 3 4

40 8,31

s kN cm

2 2

3 3, 0,3 0,3 40ct eff ctm ckf f f

3,5ctmf MPa (lahko tudi odčitamo)

0,4tk (dolgotrajna obtežba)

Računsko največja razpoka torej je:

,max 271,323 0,000591k r sm cmw s

0,16 0,3kw mm mm

Torej je armiranobetonski nosilec po kontroli razpok na podlagi primerjanja med računsko

največjo razpoko in odčitano največjo dovoljeno razpoko ustrezen. Širina razpoke ustreza

predpisu!


4.1.3 Kontrola povesov

460l cm

Omejitev povesa:

max

4601,84

250 250

lw cm

35cmE MPa

3,5ctmf MPa

200sE GPa

2005,71

35

se

cm

E

E

Skupen poves:

2 1tot

tot

w k lr

Ker je nosilec razpet čez dva polja veljata za izračun faktorja k enačbi v tabeli:

Tabela 4.1: Faktor k za nosilec razpet čez dve polji [12]

5 5(1 0,1 ) (1 0,1 1,31) 0,091

48 48k

0 57,51,31

43,9

A B

F

M M

M


Slika 4.3: Prerez v polju [12]

2

22,26 2 12 'zg

s sA cm A

2

16,03 3 16sp

s sA cm A

2 23

І 1 2 2 1'12 2 2

e s s

b h h hI A d A d

2 23

І

30 44 44 445,71 6,03 4 2,26 4

12 2 2I

4

І 212960,0 15336,8 228296,8I cm

Ukrivljenost za nerazpokano stanje I:

5 1

І , І

1 43900,549 10

3500 228296,8

Ed

c eff

Mcm

r E I

І 22x cm (tlačna cona sovpada z težiščem prereza)

Ukrivljenost za obremenjeno stanje ІІ se izračuna kot:

5 11

ІІ ІІ , ІІ

1 0,0009783,086 10

40 8,31

s Ed

c eff

Mcm

r d x E I


5 1

ІІ

1 43903,093 10

3500 40556,1cm

r

(kontrola)

ІІ 8,31x cm

23

2 2

ІІ 1 2 2'12 2

e s s

b x xI b x A d x A x d

23

2 2

ІІ

30 8,31 8,3130 8,31 5,71 6,03 40 8,31 2,26 8,31 4

12 2I

3

ІІ 40556,1I cm

Slika 4.4: Višina tlačne cone pri razpokanem prerezu [12]

Natezna napetost jekla:

11

4390

8,3140 6,03

3 3

Ed Eds

ss

M M

xz Ad A

219,555 /s kN cm (kontrola)

1

195,550,000978

200000

ss

sE


Moment in prva razpoka:

2 230 44

0,35 3388 33,886 6

cr ctm

b hM f kNcm kNm

Ker je Ed crM M velja:

2 233,88

1 1 0,5 0,70243,90

cr

Ed

M

M

0,5 (kratkotrajna obremenitev na deformacijo jekla)

Urivljenost zaradi upogibnega momenta:

5 5

І ІІ

1 1 11 0,702 0,549 10 1 0,702 3,086 10

mr r r

5 111,305 10

m

cmr

Skupen poves na začetku obremenitev je:

2 2 510,091 460 1,305 10 0,25 1,84m

m

w k l cm cmr

Lezenje

0, 2,4t (predpostavimo)

,eff

0

3510,3

1 , 1 2,4

cmc

EE GPa

t

,eff

20019,42

10,3

se

c

E

E

2 23

І 1 2 2 112 2 2

e s s

b h h hI A d A d

2 234

І

30 44 44 4419,42 6,03 4 2,26 4 265121,34

12 2 2I cm


Ukrivljenost za nerazpokano stanje I:

5 1

І , І

1 43901,608 10

1030 265121,34

Ed

c eff

Mcm

r E I

Tlačna cona:

1

1

2 19,42 6,03 2 30 401 1 1 1

30 19,42 6,03

e s

e s

A b dx

b A

ІІ 14,2x cm

Ukrivljenost stanja ІІ je:

5 11

ІІ ІІ , ІІ

1 0,0010334,004 10

40 14,2

s Ed

c eff

Mcm

r d x E I

5 1

ІІ

1 43903,835 10

1030 111147,29cm

r

(kontrola)

23

2 2

ІІ 1 2 2'12 2

e s s

b x xI b x A d x A x d

23

2 2

ІІ

30 14,2 14,230 14,2 5,71 6,03 40 14,2 2,26 14,2 4

12 2I

4

ІІ 111147,29I cm

Natezna napetost jekla:

11

4390

14,240 6,03

3 3

Ed Eds

ss

M M

xz Ad A

220,644 /s kN cm

1

206,640,001033

200000

ss

sE


Moment in prva razpoka:

2 230 44

0,35 3388 33,886 6

cr ctm

b hM f kNcm kNm

Ker je Ed crM M velja:

2 233,88

1 1 0,5 0,70243,90

cr

Ed

M

M

0,5 (kratkotrajna obremenitev na deformacijo jekla)

Urivljenost zaradi lezenja:

5 5

І ІІ

1 1 11 0,702 1,608 10 1 0,702 4,004 10

mr r r

5 112,322 10

m

cmr

Skupen poves zaradi lezenja:

2 2 510,091 460 2,322 10 0,45 1,84m

m

w k l cm cmr

Sklep:

Poves zaradi obremenitve je ustrezen. Skozi čas trajanja obremenitve pride do lezenja

betona (povečanje deformacij) a večji poves zaradi tega še vedno ustreza in je manjši od

dovoljenega.

Nasplošno je armiranobetonski nosilec ustrezen po kontroli napetosti, razpok in povesov

(brez upoštevanja krčenja betona). Tak nosilec je lahko obremenjen še tudi bolj.


4.2 AB NOSILEC 2

Primer je povzet po [6] in rešen po priporočilih SIST EN 1992-1-1. Na sliki je prikazan

armiranobetonski prostoležeči nosilec z razponom 6 m in prerezom dimenzij 250 x 475

mm. Z danimi podatki za nosilec, preveri ustreznost povesov, po MSU.

Slika 4.5: Razpon in največji upogibni moment nosilca

Podatki:

Beton: 40ckf MPa ,

Armatura: 500skf MPa , jeklo

Moment na sredini razpona:

Odmik armature spodaj:

40/50C

500S

150EdM kNm

50x mm


4.2.1 Ocena povesa z razmerjem

Statična višina:

Velja:

Projektna trdnost betona:

Projektna trdnost jekla:

Brezdimenzijski faktor (tabela):

Mehanski koeficient armiranja:

Gre za enojno armiran prerez prostoležečega nosilca spodaj!

Potrebna natezna armatura je ( ni osne sile, in ):

Izbrana dejanska armatura iz tabele pa:

Referenčna stopnja armiranja:

Ker ni tlačne armature je:

Potrebna stopnja armiranja z natezno armaturo:

(475 50) 425 42,5d mm cm

/ / 25/ 47,4 / 42,5b h d cm

400,85 22,667

1,5

ckcd cc

m

ff MPa

500434,783

1,15

sksd

m

ff MPa

2 2

1500000,146548

25 42,5 22,667

EdsEds

cd

M

b d f

1 0,159692

0EdN sd sdf

1,

cd Eds req

sd

b d f NA

2

,

0,159692 25 42,5 22,6678,85

434,783s reqA cm

2

, 3 20 9,42s provA cm

0 0,001 0,001 40 0,00632ckf

' 0

, 8,850,00833

25 42,5

s reqA

b d


Ker je velja:

Kaktor vpliva različnih statičnih sistemov:

Koeficienti :

(pravokotni prerez, brez pasnic)

(efektivni razpon je manjši od 7 m)

Največje možno razmerje na meji še uporabnega:

Dejansko razmerje :

Sklep:

Ker je dejansko razmerje manjše od največjega možnega je takšen

armiranobetonski nosilec po oceni povesa z razmerjem sprejemljiv. Izračun povesa

zagotovo ni potreben.

0

'

01 2 3 '

111 1,5 3,2

12ck ck

lF F F K f f

d

1,0K

1 2 3, ,F F F,

1

,

310 500 s prov

s sk s req

AF

f A

1

500 9421,06 1,5

500 885F

2 1,0F

3 1,0F

max

l

d

max

0,006321,06 1,0 1,0 1,0 11 1,5 40 19,29

0,00833

l

d

l

d

60014,12 19,29

42,5

l

d

l

d max

l

d


4.3 AB PLOŠČA

Primer je povzet po [6] in rešen po priporočilih SIST EN 1992-1-1. Na sliki je prikazana

armiranobetonska ploščaz z razponom 5,0 m med podporama A in B. Z danimi podatki za

ploščo preveri ustreznost povesov po MSU.

Slika 4.6: Razpon armiranobetonske plošče

Podatki:

Beton: 30ckf MPa ,


Potrebna količina natezne armature:

Dejanska količina natezne armature:

Statična višina:

30/35C

500S

2

, 508s reqA mm

2

, 523s provA mm

260 26d mm cm





Ker ni tlačne armature je:

Ker je velja po enačbi (1.3):

Faktor vpliva različnih statičnih sistemov:

Koeficienti :




Omejeno razmerje na meji še uporabnega:

0 0,001 0,001 30 0,00548ckf

, 5080,00195

1000 260

s reqA

b d

' 0

0

1,5

0 01 2 3 11 1,5 3,2 1ck ck

lF F F K f f

d

1,0K

1 2 3, ,F F F,

1

,

310 500 s prov

s sk s req

AF

f A

1

500 5231,03 1,5

500 508F

2 1,0F

3 1,0F

max

l

d

1,5

max

0,00548 0,005481,03 1,0 1,0 1,0 11 1,5 30 3,2 30 1 79,08

0,00195 0,00195

l

d

l

d

max

500019,23 79,08

260

l

d


Absolutno omejeno razmerje :

Dejansko omejeno razmerje :

Sklep:

Ker je dejansko razmerje manjše od dovoljenega je armiranobetonska plošča po

oceni povesov z razmerjem po MSU ustrezna. Preverjanje povesov po direktni

kalkulacijski zagotovo ni potrebno.

effl

d

40 40 1 40effl

Kd

l

d

19,23 40l

d

actual

l

d


4.4 AB KONZOLA

Primer je povzet po [5] in rešen po priporočilih SIST EN 1992-1-1. Na sliki je prikazana

armiranobetonska konzola. Prerez je dimenzij , razpon konzole pa

znaša . Po MSU izračunaj širino razpok. Kritična cona je v podpori. Izračunaj tudi

kontrolo povesov po direktni kalkulacijski in aproksimativni metodi!

Slika 4.7: Obremenitve na armiranobetonsko konzolo

Podatki:

Beton: 25ckf MPa ,


Stalna obtežba:

Spremenljiva obtežba:

Odmik armature spodaj in zgoraj:

Statična višina:

Ploščina prečnega prereza

Premer armaturnih palic

Krovni sloj:

370 700b h mm

4l m

25/30C

500S

30 /dg kN m

40 /dp kN m

64x mm

635 63,5d mm cm

2 2259000 2590cA mm cm

40mm

45c mm


4.4.1 Kontrola razpok

Ker imamo podani lastno in eno spremenljivo obtežbo, se za nastanek razpok izračuna

najmanjši možen upogibni moment na začetku konzole. Ta je dan po navidezno stalni

kombinaciji:

(bivalni prostor)

Slika 4.8: Največji upogibni moment v podpori

Največji upogibni moment:

Priporočena vrednost razpok za navidezno stalno kombinacijo:

Oddaljenost armaturnih palic je:

(med dvema armaturnima palicama)

Če je oddaljenost manjša od pogoja:

Potem je največja medsebojna razdalja med razpokami:

2

1 2

n n

d kj i ki

j i

E G Q

2 0,3

30 0,3 40 42 /Edq kN m

2 242 4336

2 2

EdEd

q lM kNm

max 0,3w mm

370 2 45 4 4040

4s mm

405 5 45 325 40

2 2c mm mm

,max 1 2

,

403,4 0,425 3,4 45 0,425 0,8 0,5 216

0,108r

p eff

s c k k mm


(dobra sprijemnost palic)

(upogib)

Iz primera povesov armiranobetonske konzolo privzamemo:

oz.

Efektivna višina za konzolo:

1 0,8k

2 0,5k

2 41,4058 10crI m

322,5 32,3x mm cm

16,6e

25026sA mm

' 0sA

6

9

16,6 336 10 635 323123,8

14,058 10

e Ed

s

cr

M d xMPa

I

63 3 336 10126,8

5026 3 635 323 0'3 ' 3 '

Eds

s s

MMPa

x aA d x A x a

d x

,c effh

, min 2,5 ,( ) / 3, / 2 min 2,5 70 63,5 ,(70 32,3) / 3,70 / 2c effh h d h x h

, 12,6 126c effh cm mm

2

, , 370 126 46620c eff w c effA b h mm

'

2

1

,

,

5026 00,108

46620

s

p eff

c eff

A A

A

' 0A


Efektivna deformacija je:

kjer je:

(dolgotrajna obtežba)

Širina razpoke pa:

Sklep:

Ker je širina razpok na začetku konzole manjša od maksimalne možne, torej konzola

zadosti pogojem in je sprejemljiva. V kolikor se upošteva karakteristična kombinacija

vplivov pri kateri je , je širina razpok še vedno manjša od maksimalne

možne in konzola tudi takrat zadosti MSU razpok. Zato je v tem primeru možna redukcija

premera armaturnih palic .

sm cm

,

,

,

1

0,6

ct eff

s t e p eff

p eff ssm cm

s s

fk

E E

2,56

126,8 0,4 1 16,6 0,1081260,108

0,6200000 200000

sm cm

6 6502 10 378 10sm cm

2 2

3 3, 0,3 0,3 25 2,56ct eff ctm ckf f f MPa

0,4tk

6

,max 216 502 10k r sm cmw s

0,108 0,3kw mm mm

560EdM kNm



Ker imamo podani lastno in eno spremenljivo obtežbo, se najprej izračuna največji

upogibni moment na začetku konzole po merodajni kombinaciji!

Največji upogibni moment:

In velja:

Projektna trdnost betona:

Projektna trdnost jekla:

Brezdimenzijski faktor (tabela):

Z interpolacijo dobimo mehanski koeficient armiranja:

Prerez konzole mora biti enojno armiran in sicer zgoraj!

Potrebna samo natezna armatura zgoraj je ( , in ):

Izbrana dejanska armatura iz tabele pa:


40 30 70 /Edq kN m

2 270 4560

2 2

EdEd

q lM kNm

/ / 37 / 70/ 63,5b h d cm

250,85 14,167

1,5

ckcd cc

m

ff MPa

500434,783

1,15

sksd

m

ff MPa

2 2

5600000,26495

37 63,5 14,167

EdsEds

cd

M

b d f

1 0,31642

' 0 0EdN 1sd sdf

1,

cd Eds req

sd

b d f NA

2

,

0,31642 37 63,5 14,16724,22

434,783s reqA cm

2

, 5 25 24,54s provA cm

0 0,001 0,001 25 0,005ckf



Ker je velja po enačbi:

Faktor vpliva različnih statičnih sistemov:

Koeficienti :




Dejansko razmerje :

Sklep:

Kot vidimo je dejansko razmerje večje od največjega možnega zato je v tem

primeru armiranobetonska konzola po oceni povesa z razmerjem nesprejemljiva. Direkten

izračun povesov je potreben in tudi prikazan.

, 24,220,01031

37 63,5

s reqA

b d

0

'

01 2 3 '

111 1,5 3,2

12ck ck

lF F F K f f

d

0,4K

1 2 3, ,F F F,

1

,

310 500 s prov

s sk s req

AF

f A

1

500 24541,013 1,5

500 2422F

2 1,0F

3 1,0F

max

l

d

max

0,0051,013 0,4 11 1,5 25 5,93

0,01031

l

d

l

d

4006,30 5,93

63,5

l

d

l

d max

l

d


4.4.3 Direktna kalkulacijska metoda- diferenčna metoda

Določi dejanski poves armiranobetonskega nosilca, ki se nahaja v okolju z relativno

vlažnostjo 40 %. Sušenje betona se konča po 3 dnevih in se obteži, po 28 dneh pa nosilec

doseže svojo največjo trdnost in nosilnost. Ostali podatki so identični kot prej!

Rešitev:

Srednja natezna trdnost betona:

Srednja tlačna trdnost betona: (tabela)

Sekantni modul elastičnosti betona(GPa):

Lezenje:

Da dobimo efektivni modul elastičnosti betona in razmerje modulov potrebujemo

izračunati koeficient lezenja betona !

Koeficient lezenja pri danih podatkih je:

Nazivni koeficient je:

Faktor upoštevanja relativne vlažnosti zraka:

,

Faktor upoštevanja učinka starosti betona:

2 2

3 30,3 0,3 25 2,565ctm ckf f MPa

33cmf MPa

0,38

22 31,510

ckcm

fE GPa

,c effEe

0 ,t

0 0 0, , 4,266 0,378 1,613t t t t

0 0 1,963 2,925 0,743RH cmf t

0 4,266

3 30 0

401 1

100 1001 1 1,9630,1 0,1

RH

RH

h h

0

2 2 259000242

2 700 370

cAh mm

u


Faktor upoštevanja učinka starosti betona ob obremenitvi:

Koeficient za opisovanje časovnega razvoja lezenja po nanosu obtežbe pa je sestavljen in

dan kot:

koeficient:

In končno dobimo:

16,8 16,8

2,92533

cm

cm

ff

0( 3 )t dni

0 0,2 0,2

0

1 10,743

0,1 0,1 3t

t

( 28 )t dni

0,3 0,3

0

0

0

28 3,

613 28 3H

t tt t

t t

0, 0,378t t

H

18

0

18

1,5 1 0,012 250 1500

1,5 1 0,012 40 242 250 1500

613 1500

H

H

H

RH h

,

0

31,512,06

1 , 1 1,613

cmc eff

EE GPa

t t

20016,6

12,06

se

c

E

E


Krčenje:

Deformacija krčenja z sušenjem betona:

Deformacije zaradi avtogenega krčenja betona

Funkcija časovnega razvoja krčenja zaradi sušenja:

(interpolacija)

pri 40% vlažnosti kar privzamemo kot:

(lahko jo tudi odčitamo, interpoliramo ali direktno izračunamo)

Funkcija časovnega razvoja avtogenega krčenja:

Končna vrednost krčenja betona:

Sedaj ločimo nerazpokani in razpokani element prereza, če so stopnje armiranja podane

kot:

6 669 24,5 10 93,5 10cs cd ca

3 6

,0, 0,142 0,808 0,6 10 69 10cd ds s h cdt t t k

6 60,653 37,5 10 24,5 10ca as cat t

3 3

0

28 3, 0,142

0,04 28 3 0,04 242

sds s

s

t tt t

t t h

0,808hk

,0cd

3

,0 0,6 10cd

0,5 0,50,2 0,2 28

1 1 0,653t

as t e e

6 6 62,5 10 10 2,5 25 10 10 37,5 10ca ckf

' 1608' 0,0068

370 635

sA

b d

50260,0214

370 635

sA

b d

' 640,101

635

d

d


Nerazpokan element prereza:


Bruto vztrajnostni moment nerazpokanega prereza:

Če je , potem je nominalen moment pri prvi razpoki:

7001,102

635

h

d

x

d

2

2'

0,5 '0,5 1,102 16,6 0,0068 0,101 0,0214

1,102 16,6 0,0068 0,0214'

e

e

h d

d dx

hd

d

0,62x

d

0,62 635 394 39,4x mm cm

23 3 2''

3

1 11

3 3

gross

e e

I x h x x d x

b d d d d d d d

3 3 2 2

3

1 10,62 1,102 0,62 0,0068 16,6 0,62 0,101 0,0214 16,6 1 0,62

3 3

grossI

b d

30,198472

grossI

b d

3 2 40,198472 0,37 0,635 1,880 10grossI m

ct ctmf f

6 22,565 10 1,88 10157611 157,611

0,7 0,394

ctm gross

cr

f IM Nm kNm

h x


Razpokan element prereza:


Pri tem je vztrajnostni moment razpokanega prereza:

Parameter krčenja betona:

Izračun :

Nerazpokan prerez:

x

d

0,5

22 '' ' 2 'e e e

x d

d d

0,5

2216,6 0,0068 0,0214 16,6 0,0068 0,0214 2 16,6 0,0068 0,101 0,0214x

d

0,5078x

d

0,5078 635 322,5 32,3x mm cm

3 2 2

3

1 '' 1

3

cre e

I x x d x

b d d d d d

3 2 2

3

10,5078 0,0068 16,6 0,5078 0,101 0,0214 16,6 1 0,5078 0,14839

3

crI

b d

3 2 40,14839 0,37 0,635 1,4058 10crI m

6 393,5 10 16,6 1,552 10cs e

2

S

b d

2

'1 ' 0,0214 1 0,62 0,0068 0,101 0,62 0,01166

S x d x

b d d d d

2 3 30,01166 0,37 0,635 1,74 10S m

31

2

1,74 100,09255

1,88 10gross

Sm

I


Razpokan prerez:

2

'1 ' 0,0214 1 0,5078 0,0068 0,101 0,5078 0,0133

S x d x

b d d d d

2 3 30,0133 0,37 0,635 1,984 10S m

31

2

1,984 100,14113

1,4058 10cr

Sm

I


Ukrivljenost zaradi krčenja:

Ukrivljenost zaradi krčenja je tako pri nerazpokanem kot pri razpokanem delu prereza

konstantna vzdolž nosilca in jo ločimo posebej za:

Nerazpokan prerez:

Razpokan prerez:

Integracija:

Konzolo razdelimo na 4 enake dele, ki so dolgi po 1 m. Na koncu konzole je x=0.

Maksimalni moment konzole:

Točka 1 ( ): ni ukrivljenosti!

Točka 2 ( ):

Nerazpokan prerez:

Ukrivljenost zaradi upogiba:

3 4 1

,

11,552 10 0,09255 1,44 10cs e

uncrcs uncr

Sm

r I

3 4 1

,

11,552 10 0,14113 2,19 10cs e

crcs cr

Sm

r I

2270

352

Ed

xM x

0x

1x

35 , 0Ed crM kNm M

2

0,7 0,39435000 0,570

1,88 10ct Ed

gross

h xf M MPa

I

4 1

3

2, ,

1 1 0,570 11,545 10

12,06 10 0,7 0,394

ct

M uncr c eff

fm

r E h x


Skupna ukrivljenost nerazpokanega prereza v točki 2:

Točka 3 ( ):

Nerazpokan prerez:



Točka 4 ( ):


4 4 1

2 , 2,

1 1 11,44 1,545 10 2,985 10

cs uncr M uncr

mr r r

2x

140 , 0Ed crM kNm M

2

0,7 0,394140000 2,279

1,88 10ct Ed

gross

h xf M MPa

I

4 1

3

3, ,

1 1 2,279 16,175 10

12,06 10 0,7 0,394

ct

M uncr c eff

fm

r E h x

4 4 1

3 , 3,

1 1 11,44 6,175 10 7,615 10

cs uncr M uncr

mr r r

3x

315 , 0Ed crM kNm M

3151,999

157,611

s Ed

sr cr

M

M

0,5

2 2157,611

1 1 0,5 0,875315

sr

s


Nerazpokan prerez:



Razpokan prerez:


Skupna ukrivljenost razpokanega prereza v točki 4:

Totalna skupna ukrivljenost v točki 4:

2

0,7 0,394315000 5,127

1,88 10ct Ed

gross

h xf M MPa

I

4 1

3

4, ,

1 1 5,127 113,893 10

12,06 10 0,7 0,394

ct

M uncr c eff

fm

r E h x

4 4 1

І,4 , 4,

1 1 11,44 13,893 10 15,333 10

cs uncr M uncr

mr r r

2

0,323315000 7,238

1,4058 10cs Ed

cr

xf M MPa

I

4 1

3

4, ,

1 1 7,238 118,581 10

12,06 10 0,323

cs

M cr c eff

fm

r E x

4 4 1

ІІ,4 , 4,

1 1 12,19 18,581 10 20,771 10

cs cr M cr

mr r r

1

totr

4 4

,4 ІІ 4 І 4

1 1 11 0,875 20,771 10 1 0,875 15,333 10

totr r r

4 1

,4

120,09 10

tot

mr


Točka 5 ( ):


Nerazpokan prerez:



Razpokan prerez:


4x

560 , 0Ed crM kNm M

5603,553

157,611

s Ed

sr cr

M

M

0,5

2 2157,611

1 1 0,5 0,96560

sr

s

2

0,7 0,394560000 9,115

1,88 10ct Ed

gross

h xf M MPa

I

4 1

3

5, ,

1 1 9,115 124,67 10

12,06 10 0,7 0,394

ct

M uncr c eff

fm

r E h x

4 4 1

І,5 , 5,

1 1 11,44 24,67 10 26,11 10

cs uncr M uncr

mr r r

2

0,323560000 12,867

1,4058 10cs Ed

cr

xf M MPa

I

4 1

3

5, ,

1 1 12,867 133,031 10

12,06 10 0,323

cs

M cr c eff

fm

r E x


Skupna ukrivljenost razpokanega prereza v točki 5:

Totalna skupna ukrivljenost v točki 5:

Izračun pomikov po diferenčni metodi:

Slika 4.9: Povesi armiranobetonske konzole [5]

Tabela 4.2: Parametri povesov

Točka

1 0

2 0,299

3 0,762

4 2,009

5 3,486

4 4 1

ІІ,5 , 5,

1 1 12,19 33,031 10 35,221 10

cs cr M cr

mr r r

1

totr

4 4

,5 ІІ 5 І 5

1 1 11 0,96 35,221 10 1 0,96 26,11 10

totr r r

4 1

,5

134,857 10

tot

mr

1 2 1

tot

W A xr

2 1

tot

x mmr


Kjer z substitucijo v numerične vrednosti dobimo:

Oziroma povese:

Omejitev povesov:

Sklep:

Tako je največji poves na prostem koncu konzole enak in manjši od

omejitve. Takšna armiranobetonska konzola je torej glede tega ustrezna.

1

2

3

4

0 0 0 2 3,486

0 0 1 2 2,009

0 1 2 1 0,762

1 2 1 0 0,299

w

w

w

w

1

1

2

3

4

14,8

10,0

5,5

1,7

w

wmm

w

w

250

lw

400016,0

250w mm

1 14,8w mm


4.4.4 Aproksimativna metoda

Velja:

Pri aproksimativni metodi je potrebno iz tabele faktor posebej ločeno izačunati za

obremenitve in krčenje.

Zaradi obremenitve (upogib) v nerazpokanem in razpokanem elementu sta v podpori

(točka 5) ukrivljenosti izračunani kot:

Rezultantna ukrivljenost zaradi obremenitve:

Poves zaradi obremenitve:

Tabela 4.3: Faktor k za konzolo [12]

ІІ І1

3k

4 1

5,

124,67 10

M uncr

mr

4 1

5,

133,031 10

M cr

mr

0,96

4 4 4 110,96 33,031 10 1 0,96 24,67 10 32,697 10

res

mr

3 0,25k

2 40,25 4 32,697 10 13,1w mm


Zaradi krčenja v nerazpokanem in razpokanem elementu pa sta v podpori (točka 5)

ukrivljenosti izračunani kot:

Spet velja splošna enačba in je rezultantna ukrivljenosti zaradi krčenja:

Poves zaradi krčenja:

(izračunan iz Tabela 4.3 za konzolo za krčenje)

Končni dejanski poves na koncu konzole:

Tabela 4.4: Primerjava izračuna končnega povesa konzole

Metoda Končni poves konzole

Direktna kalkulacijska-diferenčna metoda 14,8

Aproksimativna metoda 14,8

Sklep:

Kot vidimo je končni poves konzole pri direktni kalkulacijski in aproksimativni metodi

identično enak. Takšen poves ustreza po MSU, ker je manjši od omejitve.

4 1

,

11,44 10

cs uncr

mr

4 1

,

12,19 10

cs cr

mr

0,96

4 4 4 1

,

10,96 2,19 10 1 0,96 1,44 10 2,16 10

cs res

mr

3 0,5k

2 40,5 4 2,16 10 1,7w mm

13,1 1,7 14,8totw mm

totw mm


5 ZAKLJUČEK

Projektna naloga je podrobno po SIST EN 1992-1-1 obravnavala metodo mejnega stanja

uporabnosti – MSU. Predstavljena sta bila oba glavna materiala beton in jeklo predvsem

zaradi različnih mehansko-reoloških lastnosti, kot so trdnost, modul elastičnosti, trenutne

deformacije ter deformacije zaradi lezenja in krčenja betona, ki so bistveni za MSU.

Konkretno smo po MSU preverjali napetosti, razpoke in povese. Po merodajni kombinaciji

vplivov smo naredili kontrolo napetosti AB nosilca 1 in pri tem ugotovili, da so bile

napetosti betona in jekla omejene po predpisih. Zaradi tega tudi ni prišlo do prevelikih

razpok ali povesov. V primerih smo ugotovili še, da je pri kontroli razpok možna redukcija

premera armaturnih palic, pri kontroli povesov pa da, račun povesov ni vedno potreben, če

AB konstrukcija ustreza oceni povesa z razmerjem.

Pri zadnjem primeru konzole je bil izračun povesa potreben. Poleg obremenitev je na

skupen poves AB konstrukcije bistveno vplivalo še nerazpokano oz. razpokano stanje

prereza in vpliv krčenja, lezenja betona. Potreben izračun povesa smo prikazali z

diferenčno in aproksimativno metodo in dokazali ter podali identični rezultat.

S te projektne naloge lahko povzamemo, da je po MSU pri neki obremenitvi

armiranobetonskega prereza za izračun napetosti, razpok, povesov ključno poznavanje in

razumevanje standardov, predpisov ter obnašanje materialov betona in jekla.


6 VIRI IN LITERATURA

[1] SIST EN 1990 - Evrokod 0 - Osnove projektiranja, 2004

[2] SIST EN 1992 - 1-1 (sl) - Evrokod 2: Projektiranje betonskih konstrukcij – 1 1.

del: Splošna pravila in pravila za stavbe, 2005

[3] M.Kuhta, Armirani beton 1, delovna verzija skripte, 2013

[4] D.Beg, A.Pogačnik, Priročnik za projektiranje gradbenih konstrukcij po evrokod

standardih, Inženirska zbornica Slovenije, 2009

[5] L.H.Martin, J.A.Purkiss, Concrete design to EN 1992, London, 2006

[6] W.M.C.Mckenzie, Design of Structural Elements to Eurocodes, London, 2013

[7] Eurocode 2: Design of concrete structures 2008. Dostopno na:

< http://bit.ly/15BdeCO-> [2.9.2013]

[8] Članek: How to repair cracks in concrete walls. Dostopno na:

< http://bit.ly/oeuYvC > [3.9.2013]

[9] Vpliv lezenja, krčenja in modula elastičnosti betona na povese za pomembnejše

betonske konstrukcijske elemente z armaturo ali vgrajenimi kabli. Dostopno na:

< http://bit.ly/1ehK3ML> [3.9.2013]

[10] 9. slovenski kolokvij o betonih: Razpoke v betonu. Dostopno na:

< http://bit.ly/17Rnj5i > [3.9.2013]

[11] P.Uno, Cracks in Freshly Placed Concrete. Dostopno na:

< http://bit.ly/18vZwUO > [3.9.2013]

[12] J.Radnić, A.Harapin, Osnove betonskih konstrukcija, Split, 2007. Dostopno na:

< http://bit.ly/17Dk0w > [3.9.2013]

[13] Goris. A, Stahlbetonbau-Praxis nach Eurocode 2, 2011.

http://bit.ly/15BdeCO-

http://bit.ly/1ehK3ML

http://bit.ly/17Rnj5i

http://bit.ly/18vZwUO

http://bit.ly/17Dk0w


7 PRILOGE

7.1 Seznam slik

Slika 2.1: Delovni diagram betona za nelinearno analizo konstrukcij [4] ............................ 4

Slika 2.2: Delovni diagram betona za mejne nosilnosti prerezov [4] ................................... 4

Slika 2.3: Bilinearni delovni diagram betona [4] .................................................................. 5

Slika 2.4: Konstantna napetost na zmanjšani višini tlačne cone betona [4] ......... 5

Slika 2.5: Trenutne deformacije in deformacije zaradi lezenja [3] ....................................... 9

Slika 2.6: Količnik linearnega lezenja betona 0, t [2] ................................................ 10

Slika 2.9: Delovni diagram za jeklo [4] .............................................................................. 17

Slika 3.1: Razpoke zaradi plastičnega krčenja betona [11] ................................................. 25

Slika 3.2: Efektivna natezna površina pri armiranobetonskih nosilcih [7] ......................... 32

Slika 3.3: Efektivna natezna površina pri armiranobetonskih ploščah [7] .......................... 32

Slika 3.4: Prekomerne razpoke betonskega zidu [8] ........................................................... 33

Slika 3.5: Armiranobetonska plošča in razpon [9] .............................................................. 36

Slika 4.1: Diagram upogibnih momentov pri navideznostalni kombinaciji vplivov [12] ... 45

Slika 4.2: Prerez armiranobetonskega nosilca cm [12] ................................ 45

Slika 4.3: Prerez v polju [12] .............................................................................................. 51

Slika 4.4: Višina tlačne cone pri razpokanem prerezu [12] ................................................ 52

Slika 4.7: Razpon in največji upogibni moment nosilca ..................................................... 56

Slika 4.8: Razpon armiranobetonske plošče ....................................................................... 59

Slika 4.5: Obremenitve na armiranobetonsko konzolo ....................................................... 62


Slika 4.6: Največji upogibni moment v podpori ................................................................. 63

Slika 4.10: Povesi armiranobetonske konzole [5] ............................................................... 78

7.2 Seznam preglednic

Tabela 2.1: Koeficient [4] ................................................................................................. 7

Tabela 2.2: Trdnostne in deformacijske lastnosti betona [4]................................................. 8

Tabela 2.3: Potenca [2] ................................................................................................... 12

Tabela 2.4: Koeficient nazivne velikosti prereza [4] ........................................................... 14

Tabela 2.5: Nazivne vrednosti neoviranega krčenja betona iz cementa razreda N zaradi

sušenja v [4] .............................................................................................. 15

Tabela 2.6: Koeficienta , ............................................................................... 16

Tabela 2.7: Podatki za armaturo z utrditvijo glede na razred duktilnosti [4] ...................... 18

Tabela 3.1: Priporočene vrednosti redukcijskih faktorjev za stavbe [1] ......................... 21

Tabela 3.2: Omejitve največjih povesov na podlagi razreda izpostavljenosti [2] ............... 26

Tabela 3.3: Parameter [2] ................................................................................................ 27

Tabela 3.4: Omejitev največjega premera armaturne palice [2] .......................................... 29

Tabela 3.5: Omejitev največje medosne oddaljenosti palic [2] ........................................... 29

Tabela 3.6: Faktor K [6] ...................................................................................................... 35

Tabela 3.7: Koeficient vpliva trajanja obtežbe na povprečno deformacijo jekla [5] .......... 38

Tabela 3.8: Koeficient za izračun povesa [5] ......................................................... 44

Tabela 4.1: Faktor k za nosilec razpet čez dve polji [5] ..................................................... 50

Tabela 4.2: Parametri povesov ............................................................................................ 78

Tabela 4.3: Faktor k za konzolo [5] ................................................................................... 80

Tabela 4.4: Primerjava izračuna končnega povesa konzole ................................................ 81


7.3 Naslov študenta

Tomi Kresnik

Gorica pri Šmartnem 47

3000 Celje

Slovenija

Tel.: (03) 5471 125

e-mail: [email protected]

7.4 Kratek življenjepis

Rojen: 17.10.1991, Celje

Šolanje: 1998. – 2006. osnovna šola Petrovče

2006 – 2010 ŠCC – Splošna in strokovna gimnazija Lava

2010 – 2013 Fakulteta za gradbeništvo – Gradbeništvo UN

mailto:[email protected]

Documents

UNIVERZA V MARIBORU - COnnecting REpositoriesmateriala za AB konstrukcije predstavljena beton in jeklo, ter njuno obnašanje skozi čas.V tretjem delu so teoretično opisana področja