UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE

Jozef Fulier, Peter Vrábel

Nekonečné rady a diferenciálne systémy

NITRA 2014

Názov: Nekonečné rady a diferenciálne systémy Autori: prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc. doc. RNDr. Peter Vrábel, CSc. Recenzenti: doc. RNDr. Oleg Palumbíny, CSc. PaedDr. Marek Varga, PhD. Obálka: autor Mgr. Štefan Havrlent

(na obálke je štylizovaná podobizeň jedného z najväčších matematikov Leonharda Eulera (1707 – 1783) a veľké grécke písmeno (sigma), ktoré Euler zaviedol pre symbolické označenie súčtu konečného (resp. nekonečného) počtu sčítancov.

Edícia: Prírodovedec č. 546 Vydavateľ: Fakulta prírodných vied UKF v Nitre

Schválené vedením FPV UKF v Nitre dňa 6. 9. 2013 v edičnom rade VYSOKOŠKOLSKÉ UČEBNICE

© UKF v Nitre 2014 ISBN 978-80-558-0429-3 EAN 9788055804293

Predhovor

Táto učebnica je istým zavŕšením našich vysokoškolských učebných textov

Diferenciálny počet (1. vydanie v roku 1997, druhé vydanie v elektronickej forme

na CD nosiči z roku 2006) a učebnice Integrálny počet a diferenciálne rovnice

(1. vydanie v roku 2011, druhé doplnené vydanie v elektronickej forme na CD

nosiči z roku 2013). Učebnica pozostáva z dvoch základných častí. Prvá časť

obsahuje teóriu nekonečných radov a pojednáva v prvej kapitole o nekonečných

číselných radoch a v druhej kapitole o funkcionálnych postupnostiach a

nekonečných funkcionálnych radoch. Druhá časť je obsiahnutá v tretej a štvrtej

kapitole a je venovaná dôležitému spôsobu riešenia diferenciálnych rovníc

pomocou mocninných radov, základom teórie diferenciálnych systémov a ich

aplikáciám, pričom hlavný dôraz je kladený najmä na lineárne diferenciálne

systémy.

Prvá časť učebnice je určená pre študentov učiteľského (Učiteľstvo

akademických predmetov) i neučiteľského štúdia matematiky. Druhá časť je určená

najmä pre študentov neučiteľského študijného programu Matematické a informačné

metódy v ekonómii, ale určite môže byť užitočnou pomôckou pre každého, kto chce

študovať rozšírené základy matematickej analýzy.

Keďže teória nekonečných radov a diferenciálnych systémov úzko súvisí

s viacerými partiami matematickej analýzy, nemožno sa pri ich štúdiu zaobísť bez

istých základných poznatkov z diferenciálneho a integrálneho počtu i z teórie

obyčajných diferenciálnych rovníc.

Svedomité prepočítanie úloh v cvičeniach, ktoré sú takmer za každým odsekom,

je nevyhnutné. Výrazne to pomôže nielen k hlbšiemu pochopeniu textu, ale hlavne

to kladne ovplyvní formovanie schopností aplikovať získané teoretické vedomosti.

Spôsob odvolávania sa na vety, definície, poznámky a príklady je štandardný.

Teda napríklad veta 2.3.1 znamená vetu 1 z tretieho odseku druhej kapitoly. Tá

istá veta sa cituje len ako veta 3.1, ak sa na ňu odvolávame v druhej kapitole. Ak sa

na túto vetu odvolávame v treťom odseku 2. kapitoly , tak o nej hovoríme ako

o vete 1.

Zo zoznamu literatúry si čitateľ prípadne môže vybrať ďalšie zdroje na

rozšírenie poznatkovej bázy uvedenej problematiky.

Je našou milou povinnosťou sa poďakovať recenzentom

doc. RNDr. Olegovi Palumbínymu, CSc. a PaedDr. Marekovi Vargovi, PhD.

za starostlivú recenziu a mnohé cenné pripomienky a návrhy, ktoré významne

pomohli zlepšiť pôvodné znenie rukopisu.

V Nitre, január 2014 Autori

Obsah

I. NEKONEČNÉ ČÍSELNÉ RADY

1. Pojem nekonečného číselného radu a jeho súčtu 7

2. Konvergencia a divergencia niektorých radov 9

Cvičenia 11

3. Základné vety o radoch a operácie s radmi 12

Cvičenia 18

4. Kritériá pre konvergenciu a divergenciu radov s nezápornými členmi 19

Cvičenia 25

5. Rady so striedavými znamienkami 27

Cvičenia 28

6. Premiestňovanie členov nekonečných radov 28

Cvičenia 30

7. Poznámky o radoch komplexných čísel 31

II. FUNKCIONÁLNE POSTUPNOSTI A RADY

1. Bodová a rovnomerná konvergencia funkcionálnych postupností a radov 33

Cvičenia 59

2. Mocninné rady 63

Cvičenia 68

3. Taylorove rady funkcií 70

Cvičenia 80

III. RIEŠENIE DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC POMOCOU NEKONEČNÝCH

RADOV

1. Úvodná poznámka 81

2. Riešenie diferenciálnej rovnice v tvare Taylorovho radu 83

3. Riešenie diferenciálnej rovnice v tvare mocninného radu 85

4. Riešenie diferenciálnej rovnice v tvare zovšeobecneného

mocninného radu 90

5. Besselova diferenciálna rovnica 98

6. Gaussova diferenciálna rovnica 106

Cvičenia 108

IV. SYSTÉMY DIFERENCIÁLNYCH ROVNÍC

1. Systémy diferenciálnych rovníc: základné pojmy 109

2. Eliminačná metóda riešenia systémov diferenciálnych rovníc 112

Cvičenia 115

3. Vektorový zápis systému diferenciálnych rovníc. Veta o existencii

a jednoznačnosti pre riešenie začiatočnej úlohy 116

4. Lineárny diferenciálny systém 119

Cvičenia 136

5. Lineárny diferenciálny systém s konštantnými koeficientami 137

Cvičenia 157

6. Nelineárny diferenciálny systém. Aplikácie diferenciálnych systémov 159

Cvičenia 188

LITERATÚRA 189

7

I. Nekoneč ne č í selne rady

Najpozoruhodnejšie na človeku je jeho schopnosť

myslieť... Matematika pozoruje veci, nevnímajúc

zmyslové, zaujímajúc sa o vlastnosti množstva

a súvislostí... Ak sa pripustí jeden nezmysel, ostatné

vyplynú z neho.

Aristoteles (asi 384 – 322 pred n.l.)

Prírodu môžeme ovládnuť iba tým, že sa podrobíme

jej zákonom... Chcel by som vysloviť predpoveď, že

čím viac záhad prírody rozriešime, tým viac odvetví

matematiky budeme nútení používať.

Francis Bacon(1561 - 1626)

Som natoľko za aktuálne nekonečno, že namiesto,

aby som pripustil, že sa ho príroda desí, ako sa

bežne hovorí, som presvedčený, že ho má v obľube

všade, aby lepšie zdôraznila dokonalosti svojho

tvorcu.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)

1. Pojem nekonečného číselného radu a jeho súčtu

Teória nekonečných radov je jednou z disciplín matematickej analýzy. Základom tejto

disciplíny sú nekonečné číselné rady, teda rady s konštantnými (číselnými) členmi.

V tomto odseku sa budeme zaoberať, ako vhodne definovať súčet členov postupnosti,

teda súčet nekonečne veľa čísel. Je treba si uvedomiť, že v aritmetike sme definovali

a pracovali len so súčtom konečného počtu sčítancov. Úlohy vedúce k súčtu

nekonečného počtu sčítancov sa začali objavovať už v starogréckej matematike pri

použití tzv. exhaustačnej metódy v geometrii. Použil ju Archimedes (287-212 pred n.l.)

pri výpočte obsahu útvaru U ohraničeného v dnešnom ponímaní grafom funkcie

a priamkou Archimedes vpisoval do U neprekrývajúce sa útvary zložené

z trojuholníkov a takto pri neobmedzenom pokračovaní pokryl celý útvar U s výnimkou

niektorých bodov na časti paraboly (podrobné riešenie možno nájsť napr. v [ ] . Obsah

tých útvarov sa postupne rovnal číslam

(A)

.

Nekonečné rady a diferenciálne systémy

8

Takže obsah útvaru U by sa mal rovnať súčtu nekonečne veľa uvedených čísel. Taktiež

je zrejmé, že obsah útvaru U je tým presnejšie určený, čím sčítame prvých členov

postupnosti (A) viac.

Obr. 1.1

Ak by aj pre sčítanie nekonečne veľa čísel platil distributívny zákon, tak by súčet čísel v

(A) sa rovnal súčtu čísel

(B)

, ,

vynásobeného číslom

Súčtom čísel v (B) by podľa geometrickej interpretácie na

obr.1.1 malo byť číslo

. Totiž každé číslo v (B) je geometricky reprezentované súčtom

obsahov troch zhodných štvorcov (akési otočené hrubé písmená L). Všetky tieto útvary

pokrývajú celý štvorec(okrem spodného pravého vrcholu) zloženého zo štyroch štvorcov

s obsahom

.

Zavedieme teraz pojem nekonečného číselného radu i jeho súčtu.

Definícia 1. Nech { } je postupnosť reálnych čísel. Nekonečným číselným radom

(stručne radom)

(1) ∑

nazývame postupnosť { } , kde

(2) .

Čísla nazývame členmi radu (1) a čísla jeho čiastočnými súčtami. Postupnosť (2)

nazývame postupnosť čiastočných súčtov radu (1).

I. Nekonečné číselné rady

9

Definícia 2. Rad (1) nazývame konvergentným (hovoríme tiež, že konverguje), ak existuje

vlastná limita

.

Číslo s nazývame potom súčtom radu (1) a označujeme ho aj tým istým znakom ako

samotný rad , teda píšeme ∑ Ak rad (1) nie je konvergentný, nazývame ho

divergentným (hovoríme tiež, že diverguje). V prípade divergencie radu sú možné tieto tri

prípady: ak , hovoríme, že rad (1) diverguje k ; ak ,

hovoríme, že rad (1) diverguje k ; ak neexistuje (vlastná ani nevlastná), tak

hovoríme, že rad (1) osciluje.

Rad ∑

konverguje a jeho súčet sa rovná číslu 2, pretože

(

)

( (

) ) a Rad ∑

∑ ) diverguje k

, pretože n-tý člen jeho postupnosti čiastočných súčtov ( )

a zrejme Príklad radu, ktorý osciluje, je napríklad rad

∑ , pretože pre jeho postupnosť čiastočných súčtov { }

platí: ak n

je nepárne a , ak n je párne, takže neexistuje1.

2. Konvergencia a divergencia niektorých radov

Explicitne určiť postupnosť čiastočných súčtov radu je možné len v niektorých

prípadoch.

Príklad 1. Vypočítajte súčet radu ∑

.

Riešenie. Ľahko nahliadneme, že pre každé prirodzené číslo k platí

. Potom pre každé

prirodzené číslo n platí

∑

∑ (

)

(

) (

) (

) (

)

.

Keďže (

) , tak daný rad konverguje a jeho súčet sa rovná číslu 1.

Rad z príkladu 1 je ukážkou tzv. teleskopických radov. Teleskopickým radom ∑

rozumieme taký rad, ktorého členy sa dajú vyjadriť v tvare ,

(prípadne Pre postupnosť čiastočných súčtov { } takéhoto radu

potom platí . Odtiaľ už vyplýva, že takýto rad konverguje práve vtedy, keď

konverguje postupnosť { } .

Veľmi často používaným radom je nekonečný geometrický rad. Nech sú čísla.

1 Rad ∑

sa často nazýva Grandiho rad. Quido Grandi (1671-1742)

bol taliansky mních a matematik, ktorý sa pokúsil (s využitím uvedeného radu) dokázať stvorenie

sveta z „ničoho“.

Nekonečné rady a diferenciálne systémy

10

Geometrický rad je každý rad tvaru

.

Číslo q nazývame jeho kvocientom. Vyšetríme teraz konvergenciu tohto radu. Ak

tak geometrický rad má tvar pre ľubovoľné q a teda v tomto prípade

konverguje a jeho súčet sa rovná 0. Nech v ďalšom Ak , tak súčet prvých n

členov geometrického radu sa rovná . Potom pre

, teda rad diverguje k .

Nech . Potom

.

Ak , tak neexistuje. Potom neexistuje ani

a teda

v tomto prípade (pre a ) geometrický rad osciluje.

Ak , tak . Potom limita

, ak

a rovná sa , ak . Teda geometrický rad pre a diverguje k

a v prípade a diverguje k .

Zostal nám prípad | | , teda keď . V takomto prípade a

. Teda geometrický rad v prípade a

konverguje a jeho súčet sa rovná číslu

.

Ďalším dôležitým radom je harmonický rad, ktorý má tvar

∑

.

Harmonickým radom sa nazýva preto, lebo každý jeho člen okrem prvého sa rovná

harmonickému priemeru susedných členov:

,

.

Dokážeme, že harmonický rad diverguje2. Jeho postupnosť čiastočných súčtov { }

je

zrejme rastúca. Stačí dokázať, že nie je zhora ohraničená. Využijeme nerovnosť, ktorá platí

pre každé prirodzené číslo n väčšie ako 1:

.

2 Využijeme postup, ktorý použil francúzsky matematik a biskup Nicole Oresme (1320/1322 - 1382).