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Casos Especiales de Problemas de
Programación Lineal
Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal
Universidad Nacional Mayor de San MarcosFacultad de Ingeniería de Sistemas e Informática
Investigación Operativa I
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I2
Casos Especiales
Según laregión factible que
se forma
2
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I3
REGION FACTIBLE ACOTADA:Una región factible es acotada si queda representadapor una región cerrada.
Ejemplo
Graficar el siguiente conjunto de restricciones:
Casos Especiales
16xx2 21 ≤+
04x5x2 21 ≤+
0x,x 21 ≥
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I4
Casos Especiales
REGIONFACTIBLEACOTADA
X2
X1
85
6
8
3
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I5
REGION FACTIBLE NO ACOTADA:Una región factible es no acotada si quedarepresentada por una región abierta.
Ejemplo
Graficar el siguiente conjunto de restricciones:
Casos Especiales
50x7x2- 21 ≤+
12x3x4- 21 ≤+
0x,x 21 ≥
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I6
Casos Especiales
REGIONFACTIBLE
NO ACOTADAX2
X1
(10,10)
3
4
8
4
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I7
Ejemplo
Graficar el siguiente conjunto de restricciones:
Casos Especiales
7xx2 21 ≥+
27x7x3 21 ≥+
0x,x 21 ≥
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I8
Casos Especiales
X2
X1
REGIONFACTIBLE
NO ACOTADA
3
7
92
5
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I9
NO SE FORMA REGION FACTIBLE:El conjunto de restricciones no forma una regiónfactible. Decimos que la región factible es un conjuntovacío.
Ejemplo
Graficar el siguiente conjunto de restricciones:
Casos Especiales
40x8x5 21 ≤+
72x9x8 21 ≥+
0x,x 21 ≥
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I10
Casos Especiales
NO SE FORMAREGION
FACTIBLEX2
X18
5
8
9
6
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I11
RESTRICCION REDUNDANTE:Una restricción es redundante cuando no participa en ladelimitación de la región factible. El sistema puede serresuelto sin esta restricción.
Ejemplo
Graficar el siguiente conjunto de restricciones:
Casos Especiales
40x8x5 21 ≤+
72x9x8 21 ≤+
0x,x 21 ≥
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I12
Casos Especiales
X2
X1
RESTRICCIÓNREDUNDANTE
8
5
8
9
7
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I13
Casos Especiales
Según lasolución del
P.P.L.
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I14
SOLUCION UNICA:El P.P.L. presenta una única solución óptima.
Ejemplo
Determinar la solución óptima de:
Casos Especiales
0x,x 21 ≥
21 x5x5ZMax +=sujeto a
16xx2 21 ≤+04x5x2 21 ≤+
8
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I15
Casos Especiales
X2
X1
SOLUCIÓNÚNICA
85
6
8
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I16
Casos Especiales
Z x1 x2 x3 x4 Sol.Z 1 -5 -5 0 0 0x3 0 2 5 1 0 40 20x4 0 2 1 0 1 16 8
1 0 -5/2 0 5/2 40x3 0 0 4 1 -1 24 6x1 5 1 1/2 0 1/2 8 16
1 0 0 5/8 15/8 55x2 5 0 1 1/4 -1/4 6x1 5 1 0 -1/8 5/8 5
Θ
9
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I17
Casos Especiales
5x1 =Solución:
6x2 =0x3 =0x4 =
55Z =
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I18
Ejemplo
Determinar la solución óptima de:
Casos Especiales
7xx2 21 ≥+27x7x3 21 ≥+
0x,x 21 ≥
21 x5x5ZMin +=sujeto a
10
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I19
Casos Especiales
X2
X1
3
7
92
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I20
Casos Especiales
Primera Fase:
Z x1 x2 x3 x4 w1 w2 Sol.Z 1 0 0 0 0 -1 -1
w1 1 3 7 -1 0 1 0 27w2 1 2 1 0 -1 0 1 7
1 5 8 -1 -1 0 0 34w1 1 3 7 -1 0 1 0 27 3,86w2 1 2 1 0 -1 0 1 7 7,00
1 11/7 0 1/7 -1 -8/7 0 22/7x2 0 3/7 1 -1/7 0 1/7 0 27/7 9,00w2 1 11/7 0 1/7 -1 -1/7 1 22/7 2,00
1 0 0 0 0 -1 -1 0x2 0 0 1 -2/11 3/11 2/11 -3/11 3x1 0 1 0 1/11 -7/11 -1/11 7/11 2
Θ
11
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I21
Casos Especiales
Segunda Fase:
Z x1 x2 x3 x4 Sol.Z 1 -5 -5 0 0x2 5 0 1 -2/11 3/11 3x1 5 1 0 1/11 -7/11 2
1 0 0 -5/11 -20/11 25x2 5 0 1 -2/11 3/11 3x1 5 1 0 1/11 -7/11 2
Θ
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I22
Casos Especiales
2x1 =Solución:
3x2 =0x3 =0x4 =
25Z =
12
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I23
MÚLTIPLES SOLUCIONES:El P.P.L. presenta más de una solución óptima.
Ejemplo
Determinar la solución óptima de:
Casos Especiales
0x,x 21 ≥
21 x10x4ZMax +=sujeto a
16xx2 21 ≤+04x5x2 21 ≤+
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I24
Casos Especiales
X2
X1
MÚLTIPLESSOLUCIONES
85
6
8
13
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I25
Casos Especiales
Z x1 x2 x3 x4 Sol.Z 1 -4 -10 0 0 0x3 0 2 5 1 0 40 8,00x4 0 2 1 0 1 16 16,00
1 0 0 2 0 80x2 10 2/5 1 1/5 0 8x4 0 8/5 0 -1/5 1 8
1 0 0 2 0 80x2 10 0 1 1/4 -1/4 6x1 4 1 0 -1/8 5/8 5
Θ
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I26
Casos Especiales
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
0065
λ)(1
8080
λ
xxxx
4
3
2
1
Solución:
1λ0 ≤≤donde
14
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I27
Casos Especiales
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
407
2.5
0065
)5.0(1
8080
5.0
Ejemplo:0.5λ =
80)4(0)0(0)7(10)5.2(4Z =+++=
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I28
Casos Especiales
SOLUCIÓN NO ACOTADA:La solución del P.P.L. crece indefinidamente debido aque la búsqueda se realiza sobre una región noacotada. Este modelo no tiene solución.
Ejemplo
Determinar la solución óptima de:
21 x5x5ZMax +=sujeto a
50x7x2- 21 ≤+12x3x4- 21 ≤+
0x,x 21 ≥
15
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I29
Casos Especiales
X2
X1
SOLUCIÓNNO ACOTADA
(10,10)
3
4
8
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I30
Casos Especiales
Z x1 x2 x3 x4 Sol.Z 1 -5 -5 0 0 0x3 0 -4 3 1 0 12 4,00x4 0 -2 7 0 1 50 7,14
1 -35/3 0 5/3 0 20x2 5 -4/3 1 1/3 0 4x4 0 22/3 0 -7/3 1 22
1 0 0 -45/22 35/22 55x2 5 0 1 -1/11 2/11 8x1 5 1 0 -7/22 3/22 3
Θ
16
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I31
Casos Especiales
La variable que debe ingresar a la base es x3, severifica la condición de optimalidad, pero no es posibleseleccionar una variable de salida, no se cumple lacondición de factibilidad. El modelo planteado nopresenta solución.
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I32
Casos Especiales
SOLUCIÓN SIN REGION FACTIBLE:El conjunto de restricciones no forma una regiónfactible. Este modelo no tiene solución.
Ejemplo
Determinar la solución óptima de:
21 x5x5ZMax +=sujeto a
40x8x5 21 ≤+72x9x8 21 ≥+
0x,x 21 ≥
17
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I33
Casos Especiales
X2
X18
5
8
9
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I34
Casos Especiales
Z x1 x2 x3 x4 w1 Sol.Z 1 0 0 0 0 -1 0w1 1 8 9 -1 0 1 72x4 0 5 8 0 1 0 40Z 1 8 9 -1 0 0 72w1 1 8 9 -1 0 1 72 8,00x4 0 5 8 0 1 0 40 5,00Z 1 19/8 0 -1 -9/8 0 27w1 1 19/8 0 -1 -9/8 1 27 11,37x2 0 5/8 1 0 1/8 0 5 8,00Z 1 0 -19/5 -1 -8/5 0 8w1 1 0 -19/5 -1 -8/5 1 8x1 0 1 8/5 0 1/5 0 8
Θ
Primera Fase:
18
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I35
Casos Especiales
Se alcanza un tablero óptimo, pero la variable artificialno ha salido de la base. El modelo planteado nopresenta región factible.
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I36
SOLUCIÓN DEGENERADA:Una vez localizada la variable que ingresa, (condiciónde optimalidad, para casos de empate, se eligearbitrariamente cualquiera de ellas).
Para la variable de salida, (condición de factibilidad), siocurre un empate en los cocientes entre 2 o másvariables básicas, puede ocasionar un problema deciclaje, o el retorno a una solución anterior.
También origina que algunas variable básicas tomen elvalor cero.
Casos Especiales
19
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I37
Ejemplo
Determinar la solución óptima de:
21 10xx4ZMax +=
40x8x5 21 ≤+30x6x5 21 ≤+
0x,x 21 ≥
sujeto a
Casos Especiales
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I38
Casos Especiales
2
1
X2
X1
20
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I39
Casos Especiales
La solución óptima resulta:
0x1 =5x2 =0x3 =0x4 =
50Z =
Z x1 x2 x3 x4 Sol.Z 1 -4 -10 0 0 0x3 0 5 6 1 0 30 5
x4 0 5 8 0 1 40 5Z 1 4.333 0 1.667 0 50x2 10 0.833 1 0.167 0 5
x4 0 -1.667 0 -1.333 1 0
Θ
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I40
Casos Especiales
La solución óptima resulta:
0x1 =5x2 =0x3 = 0x4 =
50Z =
Z x1 x2 x3 x4 Sol.Z 1 -4 -10 0 0 0x3 0 5 6 1 0 30 5x4 0 5 8 0 1 40 5Z 1 2.25 0 0 1.25 50x3 0 1.25 0 1 -0.75 0x2 10 0.625 1 0 0.125 5
Θ
21
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I41
Ejemplo de E.M.L. Beale
Determinar la solución óptima de:
4321 x6x5.0x02x75.0ZMax −+−=
0x3x0.5x12x0.5 4321 ≤+−−0x9xx8x0.25 4321 ≤+−−
0x,x,x,x 4321 ≥
sujeto a
Casos Especiales
1x3 ≤
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I42
Casos Especiales
Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Sol. ΘZ 1 -0.75 20 -0.5 6 0 0 0 0x5 0 0.25 -8 -1 9 1 0 0 0 0x6 0 0.5 -12 -0.5 3 0 1 0 0 0x7 0 0 0 1 0 0 0 1 1Z 1 0 -4 -3.5 33 3 0 0 0x1 0.75 1 -32 -4 36 4 0 0 0x6 0 0 4 1.5 -15 -2 1 0 0x7 0 0 0 1 0 0 0 1 1Z 1 0 0 -2 18 1 1 0 0x1 0.75 1 0 8 -84 -12 8 0 0 0x2 -20 0 1 0.375 -3.75 -0.5 0.25 0 0 0x7 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1
22
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I43
Casos Especiales
Z 1 0.25 0 0 -3 -2 3 0 0x3 0.5 0.125 0 1 -10.5 -1.5 1 0 0x2 -20 -0.047 1 0 0.188 0.063 -0.125 0 0 0x7 0 -0.125 0 0 10.5 1.5 -1 1 1 0.095Z 1 -0.5 16 0 0 -1 1 0 0x3 0.5 -2.5 56 1 0 2 -6 0 0 0x4 -6 -0.250 5.333 0 1 0.333 -0.667 0 0 0x7 0 2.5 -56 0 0 -2 6 1 1Z 1 -1.75 44 0.5 0 0 -2 0 0x5 0 -1.25 28 0.5 0 1 -3 0 0x4 -6 0.167 -4 -0.167 1 0 0.333 0 0x7 0 0 0 1 0 0 0 1 1Z 1 -0.75 20 -0.5 6 0 0 0 0x5 0 0.25 -8 -1 9 1 0 0 0x6 0 0.5 -12 -0.5 3 0 1 0 0x7 0 0 0 1 0 0 0 1 1
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I44
Casos Especiales
Después de 6 iteraciones se alcanza el tablero inicial.Decimos que ha ocurrido un ciclaje. Para resolver elciclaje se utilizan las reglas lexicográficas.