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Unternehmensfinanzierung Wintersemester 2011/12Prof. Dr. Alfred Luhmer

II. Wertvergleich von Zahlungsströmen durch Diskontierung

Gegenwartswerte und Zukunftswerte – KalkulationszinsfußBewertung konstanter Zahlungsströme: Annuitäten und ewige Renten

RenditenUnterjährige und kontinuierliche Verzinsung

Darlehenstypen verschiedener Amortisationsstruktur

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Annahmen über den KapitalmarktDer Kapitalmarkt ist 1. vollständig und liquide

d.h. beliebige Zahlungsströme sind handelbar, für jede Nachfrage und jedes Angebot findet sich jederzeit ein Marktpartner, der zum Marktpreis verkauft bzw. kauft.

2. vollkommen Transaktionskosten, Bonitätsprobleme und

persönliche Präferenzen spielen keine Rolle das Marktentgelt für 1. eine Zahlung ist proportional zum Betrag2. ein Bündel von Zahlungen ist gleich der Summe der

Marktentgelte für die einzelnen Zahlungen

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Zeitwert des Geldes Der Wert einer Zahlung von bestimmtem Betrag ist

umso geringer, je weiter der Zahlungszeitpunkt in der Zukunft liegt.

Man kann am heutigen Kapitalmarkt in zukünftigen Zeitpunkten fällige Beträge gegen bar kaufen und verkaufen.

Beispiel: Man verkauft heute 1000 RON fällig zum Zeitpunkt t und erhält dafür 1000 Rt bar. Dafür kauft man Geld fällig in t + 1. Je Einheit zahlt man heute Rt+1.

0 t t+11000 Rt 1000 1000Rt /Rt+1

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Forward-Zinssatz 0 t t+11000 Rt 1000 1000Rt /Rt+1

Im Effekt (roter Pfeil) hat man also in t 1000 RON verkauft und erhält dafür in t + 1: 1000Rt /Rt+1

Das ist gleichbedeutend mit einer Anlagerendite (siehe Vorlesung 1 Folie 22) von

Man kann also auf dem heutigen Kapitalmarkt (Terminmarkt) – praktisch nicht für beliebige Zeitpunkte – schon Kreditgeschäfte für zukünftige Zeiten abschließen; rt ist der Zinssatz für Kredite von t bis t+1 und wird als Forward-Zinssatz für Periode t auf dem heutigen Markt bezeichnet.

11000

10001000

1

1

t

tt

t

t R

RRR

r

5

Vereinfachende Annahmen1. Zahlungen erfolgen nur zu ganzzahligen

Zeitpunkten t. Die Periodenlänge beträgt ein Jahr oder ist kürzer,

so dass ein Jahr aus einer ganzzahligen Anzahl von Perioden besteht.

2. Die einperiodigen Forwardzinssätze rt sind konstant, d.h. Rt /Rt+1 – 1 = r für alle t. r wird als Diskontrate bezeichnet; es gilt R1 heißt auch Diskontfaktor.

3. Alle Zahlungen sind nach Betrag und Zeitpunkt sicher.

tt

rR

)1(

1

6

Barwert, ZukunftswertZahlungsreihe: z0, z1, …, zT

Zahlung des Betrags zt erfolgt zum Zeitpunkt t.

Diskontierungszinsfuß: r; R = 1/(1 + r)Gegenwartswert (Barwert) im Zeitpunkt 0:

Zukunftswert im Zeitpunkt T:

T

t

tt

T

tt

t Rzr

zW

000 )1(

T

tt

tTT zrW

0

)1(

7

Beispiel 1Die Anleihe von Griechenland (WKN A1ASOK)

läuft bis 20. August 2015 und hat einen 6.10% Kupon (fällig 20. August).

Bekanntlich sind Zins- und Rückzahlungsan-sprüche von Staatsanleihen sicher. Der Marktzinssatz für sichere Anlagen betrage 3% pro Jahr.

Wie hoch ist der Gegenwartswert von nominal 1 000 € dieser Anleihe am 20. August 2011 (ex Kupon)?

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Lösung Zahlungsstrom:

2012 2013 2014 2015 61 61 61 1061

Berechnung mit einfachem Taschenrechner:0. Den Diskontfaktor R1 in den Speicher eingeben1. die letzte Zahlung eingeben2. RM (mit dem Diskontfaktor aus dem Speicher multiplizieren)3. addieren der nächsten Zahlung, “=“ drücken

Schritte 2 und 3 wiederholen bis alle Zahlungen berücksichtigt sind. Im Beispiel:

1/1.03 = → Speicher; 1061 * RM = + 61 * RM = + 61 * RM = + 61 * RM =

Im Effekt:(((1061/1.03 + 61)/1.03 + 61)/1.03 + 61)/1.03 = 1115.23

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• 2011

• 2012

• 2013

• 2014

• 2015

• 61

• 61

• 61

• 1061• 59.2

2• 57.5

0• 55.8

2• 943.

69• 1115.23

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Beispiel 2 Ioanas Vater hatte im Gründungsjahr 1995 ein Darlehen im Wert von 2

mill. RON aufgenommen, das Ende 2013 in einem Betrag zurückzuzahlen und bis dahin mit 6% jährlich zu verzinsen ist, Zinsen zahlbar zum Jahresende.

Ioana hat keinen Zugang zum Kapitalmarkt. Im Rahmen eines Existenzgründerförderprogramm kann sie Mittel für die Zins- und Tilgungszahlungen aufnehmen, rückzahlbar zuzüglich 4% p.a. Zinseszinsen zum Ende 2013. Ihr Bankkonto, aus dem sie die Darlehenszinsen bezahlen muss, wenn sie die Mittel aus dem Förderprogramm nicht in Anspruch nimmt, weist dauerhaft Schuldsalden auf, die Bankzinsen betragen 10%.

1. Welchen Wert hat das Existenzgründerprogramm für Ioana per Ende 2013?

2. Angenommen nun, der Darlehensgeber ist bereit, eine sofortige Ablösung hinzunehmen. Auch das würde das Förderprogramm zu den obigen Bedingungen finanzieren. Wie hoch ist für Ioana die Obergrenze für die Ablösesumme?

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Kapitalkosten Jede Einzahlung, die Ioana erhält entlastet ihr Bankkonto, jede Zahlung die sie

leisten muss, erhöht ihren Schuldsaldo, den sie mit 10% verzinsen muss. Ihr Kapitalkostensatz beträgt als 10%; mit diesem Satz wird sie die künftigen

Zahlungen diskontieren.

zu 1: Abgesehen von der Möglichkeit der Ablösung ist die Zahlungsreihe, die ihr das Existenzgründerprogramm gewährt, die folgende:2011 2012 20136% von 2 mill. 6% von 2 mill. 106% von 2 mill.= 120 000 = 120 000= 2 120 000

Zu Vergleichszwecken berechnen wir die Auswirkungen auf den Stand des Bankkontos per Ende 2013. (Zukunftswert) Der Zukunftswert der Zahlungen zum Kalkulationszinsfuß beträgt:

120 000 ∙ 1.1² + 120 000 ∙ 1.1 + 2 120 000 = 2 397 200

Diesen Zukunftswert tauscht sie ein gegen die Zahlung die sie Ende 2013 an das Existenzgründerprogramm leisten muss:

120 000 ∙ 1.04² + 120 000 ∙ 1.04 + 2 120 000 = 2 374 592 Der Wert des Förderprogramms per Ende 2013 beträgt also: 22 608

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…zu 2. Wenn Ioana das Darlehen Ende 2011 ablöst, wird die Bank eine

Vorfälligkeitsentschädigung verlangen. Die Frage ist, wie hoch der Ablösebetrag x maximal sein darf, damit Ioanas Bankkonto Ende 2013 keinen höheren Schuldsaldo aufweist als wenn sie Zins und Tilgung aus dem Förderprogramm finanziert, ohne das Darlehen abzulösen.

Bei Ablösung zahlt Ioana Ende 2013 an das Förderprogramm: 1.04² (x + 120 000)das Förderprogramm finanziert wie bisher auch die Zinszahlung zum Ende

von 2011 Der Betrag von 1.04² (x + 120 000) tritt bei Ablösung an die Stelle

der Zahlung von 2 374 592 an das Förderprogramm, wenn das Bankdarlehen nicht abgelöst wird.

Es gilt also: x + 120 000 = 2 374 592 / 1.04² x = 2 075 443

Die Vorfälligkeitsentschädigung darf also 75 443 RON nicht übersteigen, wenn die Ablösung vorteilhaft sein soll.

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Berechnung mit Tabellenkalkulation

NBW(r; z1; z2; …; zT) =

hierbei wird schon z1 abgezinst. Soll das vermieden werden, ist das Ergebnis mit (1 + r) zu multiplizieren

Der Zukunftswert zum Zeitpunkt T ergibt sich als NBW(…)*(1 + r)^T Für regelmäßig erfolgende gleichmäßige Zahlungen

gibt es weitere Funktionen.

T

tt

t

r

z

1 )1(

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Regelmäßige konstante ZahlungenAnnuitäten

gewöhnlich: Zahlungen erfolgen am Periodenendefalls Zahlung am Periodenanfang: „annuity due“Sonderfall unbefristet: „Ewige Rente“

Barwert:

Mathematik: Bestimmung der Summe R + R² + … + RT

– R² – R³ – …– RT– RT+1

R – RT+1 = (1 – R) (R + R² +…+ RT )

T

t

tT

t

tt RzRzW

110

T

t

tR1

R

RRRRR

TT

1

)1()...²(

15

Rentenbarwert (nachschüssig)Diskontrate r; Diskontfaktor: R:= 1/(1+ r)T jährliche Zahlungen z

Grenzfall ewige Rente: T →∞ also W0 = z/r

)1(1

11

11

11

1

1

10

TTT

TTT

t

t

Rr

z

R

Rz

RR

Rz

RR

Rz

R

RzRRzW

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Rentenbarwert (vorschüssig) Ist der Betrag z jeweils am Periodenanfang fällig, so

ist der Barwert V0 der Rente gleich dem Barwert der nachschüssigen Rente plus einer Zahlung in Höhe von z im Zeitpunkt t = 0.

Die zu einer nachschüssigen Rente von zN äquivalente vorschüssige Rentenhöhe zV ergibt sich folglich aus:

)1()1(0TT Rr

r

zzR

r

zV

NT

T

V

TNTV

zRr

Rz

Rr

zRr

r

z

1

1

)1()1(

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Ewige Renten?Gibt es dergleichen in der Praxis?

der britische Schatzkanzler hat 1752 tatsächlich etwas ähnliches eingeführt, um die aus dem Krieg gegen Frankreich resultierenden Staatsschulden zu „konsolidieren“. Daher heißen diese Papiere „Consols“. Allerdings war die Bedingung, dass das Parlament den Rückkauf zum Nennwert beschließen konnte. Da der Zins sehr niedrig ist, besteht daran aber kaum Interesse.

Stiftungen sind kein gutes Beispiel. Hier gibt es meist ein Finanzmanagement, das versucht, die Mittel so anzulegen, dass die ausgelobte Leistung nicht von der Inflation ausgehöhlt wird.

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Der amerikanische Hauskäufer Ein Arbeiter bei GM hat $20 000 gespart und will ein

Haus kaufen. Er verdient $36 000 im Jahr und die Bank bietet ihm ein Hypothekendarlehen mit 6% p.a. Festzinszusage (Zinszuschreibung monatlich, d.h. 0.5% Zinseszins pro Monat) auf 30 Jahre.

Tilgung und Verzinsung sollen in monatlichen Raten von bis zu 28% des Monatseinkommens erfolgen.

Zusätzlich behält die Bank eine „Bearbeitungsgebühr“ (Disagio) von 4% des Darlehensbetrages ein.

1. Wieviel wird ihm die Bank maximal leihen?2. Was bleibt ihm für den Hauskauf übrig?

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LösungMonatseinkommen: 36 000 /12 = 3 000

davon 28% = 840 (Monatliche Rate für Zins und Tilgung)es sind 30 mal 12 = 360 Raten.

Darlehenshöhe = Barwert der Annuität zu 6%:

Bearbeitungsgebühr: 5 604.20zu 1. Auszahlung: 140 000 – 5 604.20 = 134 395.80zu 2. Verfügbare Mittel: 20 000 + 134 400 = 154 400.

105140)005.1/11(005.0

840)1( 360

0 TRr

zW

20

…mit Tabellenkalkulationr = Jahreszinsn = Zahlungszeitpunkte pro Jahr, T = Dauer in Jahren

1/n = KontoabschlussperiodeF = 1 bei vorschüssiger, F = 0 bei nachschüssiger ZahlungBarwert = BW(r/n; n*T; z; 0; F)

Im Beispiel: BW(0,006; 360; 840; 0; 0)

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Beispiel 3 Ioana überlegt, eine neue Verpackungsmaschine zu leasen. Die

Vertragsdauer ist 5 Jahre, danach gehört die Maschine ihr. Der Barpreis der Maschine ist 80 000 RON.

Die Leasinggesellschaft rechnet mit einem Kalkulations-zinssatz von 8% p.a. und verlangt monatliche Raten bei monatlichem Kontoabschluss.

Wie hoch ist die monatliche Leasingrate?

Ansatz: Lösung der Barwertgleichung nach der unbekannten Teilzahlung.

Excel®-Funktion: RMZ(r/n; n*T;BW;0,0)

)1(0TR

r

zW

64.1623

0067.11

1

0067.080000

160

0

TR

rWz

22

Beispiel 4 Ioana glaubt, sie kann sich höchstens eine monatliche Teilzahlung von

1200 RON leisten. Sie möchte daher den Leasingvertrag zeitlich strecken. Die Leasinggesellschaft hat nichts dagegen, weil die Verpackungsmaschine

auch nach zehn Jahren noch einen erheblichen Restwert hat. Wie lange muss Ioana die Maschine abstottern, wenn sie nur 1200 RON

monatlich erübrigen kann? Ansatz: Lösung der Barwertgleichung nach T.

Excel-Funktion: ZZR(r/n; z;-W0;0;0)

62.88)0067.1ln(

)1200/800000067.01ln(

ln/1ln1lnln

11)1(

00

000

T

Rz

rWT

z

rWRT

z

rWRR

z

rWR

r

zW TTT

23

EffektivrenditeBeispiel 1 : Am 20.8.2011 betrug der Kurs 54%. Wie

hoch war die die Rendite r?Ansatz: Lösen der Wertgleichung nach r.

das geht nicht in geschlossener Form, man muss probieren.

Excel®-Funktion: IKV(Z;Schätzwert) Z = ein Zellenbereich, in dem die Zahlungen stehen.

oder (speziell für Annuitäten mit Abschlusszahlung ZW): Zins(T;z;-W0;ZW;0)

Für Beispiel 1:Zins(4;6,1;-54;100;0) = 25.8864%

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Interne Rendite Definition: Die Diskontierungsrate, bei der der Barwert der ausstehenden

Zahlungen gleich dem Investitionsbetrag wird. Graph der Funktionen -BW(r;4;6,1; 100;0) – 54 (Griechenlandanleihe)

und -BW(r;4;3,25;100;0) – 108,245(Bundesanleihe 4.7.2005-2015)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

-40.00

-20.00

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

Diskontfaktor r

Barw

ert –

Kau

fpre

is

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Idee Auf dem vollkommenen Kapitalmarkt kann der Barwert sich nicht

vom Kaufpreis P des Zahlungsstroms unterscheiden. Deshalb muss die Marktrendite r des Zahlungsstroms die Gleichung

BW(r;T;z;ZW;0) = P erfüllen Die Marktrendite ist je höher desto größer der Markt das Risiko

einschätzt.Bei den zu diskontierenden Zahlen handelt es sich nicht um

Erwartungswerte, sondern um kontraktbestimmte Zahlungen. In hohen Renditen kommt eine Risikoanpassung zum Ausdruck.

Leider beobachtet man am Markt verschieden hohe Renditen für verschiedene Laufzeiten, sonst hätte man eine Methode, Sicherheitsäquivalente für die kontraktbestimmten Zahlungen zt , fällig in t Jahren, zu bestimmen: SÄ(zt) = zt(1 + r0)t/(1 + r)t; (r0 = Zinssatz für risikofreie Anlagen).

Für den Schuldner ist die Rendite ein approximatives Maß der Fremdkapitalkosten für Umschichtungen im Sinne einer einzuräumenden konstanten jährlichen Verzinsung über die Laufzeit

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Unterjährige VerzinsungErfolgt der Zinsabschluss regelmäßig nach einer

kürzeren Periode als nach einem Jahr, (z.B. 100 x% monatliche Zinseszinsen bei Ratenkaufverträgen), so gilt für den effektiven Jahreszinssatz r: 1 + r = (1 + x)12

Beispiel: x = 1% ; r = 12.6825%Grenzfall: Kontinuierliche Verzinsung

Anfang des Jahres beträgt der Schuldenstand 1, dann beträgt der Schuldenstand (ohne Umsätze) am Jahresende

Für den kontinuierlichen Zinssatz x, auch Zinsenergie genannt, ist die Bezeichnung r (rho) üblich.

)1ln(

)/1(lim1

rx

enxr xn

n

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DarlehenstypenEndtilgung, Zinsen werden am Jahresende

bezahlt (Beispiel Coupon-Anleihe); Betrag: zT

Bewertung als Annuität + Endzahlung

• bei unterjähriger Zinszahlung sind T, R und r entsprechend anzupassen (Vorlesung 1, S. 33).

Tilgung in gleichen Raten, Zins auf Restschuldanders: Beispiel 3Wie würde man eine Abschlusszahlung

behandeln?

rRR

r

zRz

r

z

r

zW TT

T

T

t tTT

1

1)1(

1)1( 1 mit

28

Darlehen mit Zins- und regelmäßiger fester Tilgungszahlung

50 000 RON werden auf 10 Jahre ausgeliehen, Zinssatz 8%, zu jedem Jahresende sind die Zinsen und eine Tilgung von 5000 RON fällig.

Anfangs- Zins- Tilgungs- Gesamt- End- Zins: 8%Jahr Kontostand zahlung zahlung zahlung Kontostand

1 50.000 4.000 5.000 9.000 45.0002 45.000 3.600 5.000 8.600 40.0003 40.000 3.200 5.000 8.200 35.0004 35.000 2.800 5.000 7.800 30.0005 30.000 2.400 5.000 7.400 25.0006 25.000 2.000 5.000 7.000 20.0007 20.000 1.600 5.000 6.600 15.0008 15.000 1.200 5.000 6.200 10.0009 10.000 800 5.000 5.800 5.000

10 5.000 400 5.000 5.400 0

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ZusammenfassungKernpunkt der Vorlesung: Die Rentenbarwertformel

für nachschüssige Annuitäten mit Abschlusszahlung zT:

Kann nach verschiedenen Parametern aufgelöst werden:direkt durch Umstellen nach zT oder nach z,

durch Umstellen, Ziehen der T-ten Wurzel und anschließendes Logarithmieren nach T. (→S. 22)

nur numerisch durch Näherungsrechnung nach r.Aufg2.xlsm

rRR

r

zRzW TT

T

1

1)1( mit

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Übungsaufgaben1. Angenommen, Sie haben am 20. 8. 2011

nominal 1000€ der Griechenlandanleihe (s. Seite 7) gekauft, als der Marktzins 10% betrug.

a. Was mussten Sie bezahlen (ohne Gebühren)b. Angenommen, unmittelbar danach kommt plötzlich

die Nachricht, EFSF steht für die Anleihe ein und der Marktzins sinkt plötzlich auf 5%. Wie hoch ist Ihr sofortiger Gewinn?

c. Angenommen nun, die Nachricht ist statt der in b. beschriebenen, dass die Deutschen sich weigern, so dass der Marktzins auf 15% steigt. Was ist die Anleihe nun noch wert?

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Übungsaufgaben2. Der Barwert des Zahlungsstroms →

ist 5979 RON bei einem Zinssatz von 10% jährlich. Wie groß ist die fehlende Zahlung?(Zahlungen erfolgen jeweils zum Jahresende)

3. Eine Schiffswerft hat den Auftrag für 115 Billionen Won ein Schiff zu bauen. Es soll in 3 Jahren geliefert werden; der Barwert der Produktionskosten zu einem Kalkulationszins von 12% beträgt 72 Billionen Won.

a. Wird die Werft einen Gewinn machen?b. Bei welchem Kalkulationszinsfuß würde sie gerade ohne

Gewinn und Verlust herauskommen?

Jahr Zahlung1 RON 1,0002 ?3 2,0004 2,000

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Übungsaufgaben4. Ein Vater hat in der Lotterie gewonnen und

verspricht seinem 10-jährigen Sohn eine monatliche Unterhaltsbeihilfe in Höhe von 1000 RON für 5 Jahre, wenn er in acht Jahren ein Physikstudium aufnimmt. Eine Bank bietet „Ausbildungssparen“ zu 6% Zinsen an.

Auf das jeweilige Guthaben gibt es 0.5% Zinsen pro Monat (monatliche Abrechnung).

a. Wieviel von seinem Gewinn muss er jetzt einzahlen, um sein Versprechen aus dem Konto bestreiten zu können?

b. Wieviel müsste er 3 bzw. 5 Jahre später einzahlen?

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Übungsaufgaben5. Ein Geldverleiher verlangt 3% Bearbeitungs-

gebühr für die Kreditprüfung (fällig bei Dar-lehensauszahlung) und 10% Zinsen pro Jahr. Wie hoch ist der wirkliche Jahreszins bei einer Laufzeit des Kredits von

a. einemb. drei

Jahren, wenn die Zinsen jeweils am Jahresende fällig sind?