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W f i r m e - u n d S to f f t ibe r t ragung 8 (1975) 71-86 �9 by S p r i n g e r - V e r l a g 1975
Untersuchung der laminaren Zweistoffgrenzschichtstr6mung 1/ings eines verdunstenden Fltissigkeitsfilms* W. Splettst6J~er, Braunschweig
Zusammenfassun[. Als Beitrag zur Kl~rung der physikalischen Vorg~inge im Verdampferteil einer Film- verdampfungsbrennkammer wird ffir einen ebenen verdunstenden Fliissigkeitsfilm die laminare Zwei- stoffgrenzschichtstr6mung einsehlie~lich des gekoppelten W~rme- und Stoffiibergangs bei temperatur- und konzentrationsabh~ngigen Stoffeigensehaften berechnet und experimentell untersucht. Es wird ana- lytisch und numeriseh nachgewiesen und experimentell best~tigt, dal~ sich f(ir die Impuls-, Energie- und Konzentrationsgleichung "~hnliche L6sungen" ergeben, und dab flit die 6rtliche Verdunstungsgeschwin- digkeit ein I/V~-- Gesetz sowie fiir die Temperatur und Konzentration an der Filmoberfl~iche eine kon- stante Verteilung erhalten wird. Die Grenzschichtparameter und ihre Beeinflussung durch den Stoff- strom werden bereehnet und mit MeBergebnissen verglichen, wobei eine gute tJbereinstimmung fest- gestellt wird.
Investigation on the Binary Laminar Boundary-Layer Flow along a Vaporizing Liquid Layer
Abstract. A contribution for clarifying the physical process in the evaporating part of a film-evaporation com- bustion-chamber is presented. Experimental and theoretical investigations are carried out for a flat va- porizing liquid film. The binary laminar boundary-layer flow including heat and mass transfer is cal- culated taking into account variable fluid properties. It is shown analytically and numerically and con- firmed by the experiments, that the equations for momentum, energy and mass concentration yield "similar solutions" and that furthermore a I/~-- law for the local evaporation velocity and a constant distribution of temperature and mass concentration at the film surface is obtained. The boundary-layer parameters and the influence of evaporation mass-flow are computed. A comparison with the experi- mental results shows good agreement.
B e z e i c h n u n g e n
C Dicht e - Z~ihigkeit s v e r h ~ l t n i s ( C h a p m a n - R u b e s i n - Parameter = ~/o ~)
C ~ Chapman-Rubesin-Parameter (= P2~2/0~) ffJr
Luft bei der iReferenztemperatur Tr
c M a s s e n k o n z e n t r a t i o n , bezogen auf G e m i s c h m a s s e c~ ~ Dimensionsloser Reibungsbeiwert
c Spez i f i s che W~irmekapazit~it bei k o n s t a n t e m Druck P
D12 Di f fu s ionskoe f f i z i en t d e r m o t e k u l a r e n Di f fus ion , d e f i n i e r t d u t c h das F i c k s c h e Gese t z m I = -D12 (dP l /dY)
Ec Eckertzahl (=ul/h)
f Dimensionslose Stromfunktion nach GI. (I0) g Normierte Gesamtenthalpie nach GI. (7)
PI G e s a m t e n t h a l p i e (= h + u 2 / 2 ) h En tha lp i e des G a s g e m i s c h e s nach G1. ( 4 b ) h 1' h2 E n t h a l p i e n d e r E i n z e l k o m p o n e n t e n nach Gln . (4 c )
und (4 d) 1 B e z u g s - P l a t t e n l ~ i n g e (= 0, 1 m) Le Lewiszahl (= 0D12Cp/~) M M o l m a s s e
r}~ 1 M a s s e n s t r o m d i c h t e , v e r d u n s t e n d e M a s s e je F I ~ - c h e n - und Z e i t e i n h e i t
m ~'~ D i m e n s i o n s l o s e M a s s e n s t r o m d i c h t e , V e r d u n - s t u n g s p a r a m e t e r nach G1. (34)
p Druck Pl Partialdruck des Gases I
Pr Prandtlzahl (= ~ep/~)
W~rmestromdichte R G a s k o n s t a n t e Re Reyno ldszah l (--u p x /~ ), geb i lde t mi t d e r Lauf-
x l~inge Re 1 R e y n o l d s z a h l (=u 0 1/~ ), geb i lde t mi t de r P l a t -
t en l~nge r 1 Ve rdampfungswi~rme
S K o n z e n t r a t i o n s g r a d i e n t e n - P a r a m e t e r nach G1. ( 18 ) Sc Schmid tzah l (= ~/~D12 )
St S tan tonzah l nach G1. (35) St S tan tonzah l des S tof f i ibergangs nach G1. (36) m T Abso lu te T e m p e r a t u r T ~r Referenztemperatur (= (T +Tw)/2)
u Geschwindigkeit in x-iRichtung v Geschwindigkeit in y-Richtung, senkrecht zur
Oberfl~iche x L~ngskoordinate, Filml~nge (s. Bild I)
* Auszug aus der vonder Fakult~it f[ir Maschinenbau und Elektrotechnik der Technischen Universit~t Braunschweig zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktor-lngenieurs genehmigte Dissertation fiber "Theoretische und experimentelle Untersuchung der larninaren Zweistoff-GrenzsehichtstrSmung l~ings eines ebenen, verdunstenden F liissigkeitsfilms bei temperatur- und konzentrationsabh~ngigen Stoffeigenschaften" des Diplom-lngenieurs Wolf Splettst6Ber. Berichterstatter Prof. Dr. phil. Dr.-Ing. E.h.H. Schlichting und Prof. Dr.-Ing. D. Hummel. - Die Dissertation wurde am 19. Dezember 1973 bei der Technischen Universit~it eingereicht und durch die Falcult~it fiir Maschinenbau und Elektrotechnik am 15. Februar 1974 angenommen. Tag der Promotion 9. M~rz 1974.
72 W. Splettst6Ber: Untersuchung der lamninaren ZweistoffgrenzschichtstrSmung
X ~
Y Z
e
D 1
Dimensionslose Lgngskoordinate (= x/l ) Querkoordinate (s. Bild I) Normierte Massenkonzentration nach G1. (9) Dimensionslose Verdringungsdieke nach Gl. (28)
Dimensionslose Impulsverlustdicke nach GI. (29)
Transformnierte y-Koordinate, Querstromvariable nach Ol. (6) Normnierte absolute Temperatur naeh GI. (8) Wgrmneleit f~ihigkeit Dynarnische Z~higkeit Dichte Partialdichte des Gases 1
1 �9 Einleitung
Die Verminderung der RuBbildung bei Turbinentriebwer-
ken stellt ein wichtiges Problem dar, an dessen L6sung
vielerorts gearbeitet wird. Eine Mbglichkeit, ruf~arm
zu verbrennen, bietet die Anwendung der Kraftstoff-
F i l m v e r d a m p f u n g . A u s g e h e n d v o m M - V e r f a h r e n ~ [1 ] b e i m
D i e s e l m o t o r e n t s t a n d d ie I d e e , d ie d a b e i v e r w e n d e t e
V e r d a r n p f u n g von f i l m f 6 r m i g v e r t e i l t e m K r a f t s t o f f a u c h
in B r e n n k a m m e r n yon T u r b i n e n t r i e b w e r k e n a n z u w e n d e n
[2, 3 ] . F f i r d ie W e i t e r e n t w i c k l u n g d e r F i l m v e r d a m p f u n g s -
b r e n n k a m m e r zu h 6 h e r e r L e i s t u n g h i n i s t e i n e g e n a u e r e
K e n n t n i s d e r p h y s i k a l i s e h e n V o r g ~ n g e i m V e r d a m p f e r -
t e l l i n s b e s o n d e r e d e s g e k o p p e l t e n W ~ r m e - und S t o f f f i b e r -
g a n g s n o t w e n d i g . D e r au f e i n e r n V e r d a m p f e r e l e m e n t a u f -
getragene Kraftstoffilm verdampft bzw. verdunstet, wenn
seine Siedeternperatur nicht erreieht wird, in einen HeiB-
luftstrom hinein, der vorn Verdichter des Triebwerks
geliefert wird. Dieser Verdampfungs- oder Verdun-
stungsvorgang ist sehr komplex und besteht, physikalisch
betrachtet, aus sigh fiberlagernden Vorggngen wie mole-
kulare und thermische Diffusion, Wirmeleitung und Kon-
vektion in der Grenzschioht iiber einem FiNssigkeitsfilm.
Die Phasengrenzfl~iche zwischen Flfissigkeit und Gas ist
dabei wegen ihrer Luftundurchl~ssigkeit als halbdurch-
l~issige Wand zu betrachten.
Als Modellvorstellung dient im folgenden der klassi-
sehe Fall der !gngsangestrbrnten ebenen Platte, die mit
einem verdunstenden Flfissigkeitsfilmn bedeckt ist, fiber
dem sich eine laminate Zweistoffgrenzschicht ausbildet,
die aus den Komponenten Luft und einem reinen Kohlen-
wasserstoffdampf (Benzol) besteht. Mit den Methoden
der Grenzsehichttheorie wird diese Zweistoffgrenz-
~ Das M-Verfahren ist ein von J.S. Meurer entwickel- tes Verbrennungsverfahren fiir Dieselmotoren, bei dem der Kraftstoff auf die Wandung des Brennraumes filmartig aufgetragen und yon einer mit hoher Ge- sGhwindigkeit vorbeistreichenden Luftstr6mung dutch Verdarnpfung aufgenomnmen wird.
T Schubspannung Stromfunktion nach den Gin. (II) und (12)
Indizes 0 Bezogen auf StrSmnung ohne Stoffiibergang 1 G a s 1 ( B e n z o l d a m p f ) 2 Gas 2 (Luft) ~o U n g e s t 6 r t e r A n s t r b m z u s t a n d d e r Luft c Kennzeichen ftir die Konzentrationsgrenzschicht fl W e r t e f i i r d ie F l f i s s i g k e i t fw W e r t e ff ir d ie f e s t e Wand T K e n n z e i c h e n ffir d i e T e m p e r a t u r g r e n z s c h i c h t t r W e r t e f i i r den T r i p e l p u n k t d e s B e n z o l s (= 2 7 8 , 6 6 K) w W e r t e a n d e r F l i i s s i g k e i t s o b e r f l ~ c h e
s c h i o h t und d a m i t d a s P r o b l e m d e s g e k o p p e l t e n W i r m e -
und Stoffiibergangs grundlegend untersucht.
Eng verwandt mit dem vorliegenden Problem, bei
dem der Stoffstrorn senkreeht zur Wand durGh Verdun-
stung an der Oberfl~iche erzeugt wird, sind Grenzsehicht-
untersuchungen mit Absaugen und Ausblasen. Grenz-
schichten mit Absaugen und Ausblasen des gleichen Ga-
ses wie in der Auf~enstrSrnung wurden yon SchliGhting
und Bussmann [4], Emmnons und Leigh [5] sowie Do-
noughe und Livingood [6] berechnet. Eine lBibliogra-
phie fiber weitere Arbeiten auf diesem Gebiet findet man
bei Sohlichting [7], und einen Uberblick fiber Bereeh-
nungsmethoden solcher Grenzschichten gibt Wuest [8].
Zweistoffgrenzschichten, die dureh Ausblasen eines
Fremdgases entstehen, wurden von Baron [9 ], Hall [I0 ],
W u e s t [11] und in e i n e r R e i h e w e i t e r e r A r b e i t e n [12,
13, 14, 15, 16, 17] b e h a n d e l t . E i n e n v e r g l e i e h e n d e n
U b e r b l i c k f ibe r v e r s c h i e d e n e U n t e r s u c h u n g e n b i n g r e r
P l a t t e n g r e n z s c h i c h t e n g e b e n G r o s s et a l . [ 1 8 ] .
Z w e i s t o f f g r e n z s c h i c h t e n , d i e n i c h t m e h r d u r e h a k t i -
y e s A u s b l a s e n , s o n d e r n d u r c h S u b l i m a t i o n o d e r V e r -
d a m p f u n g e i n e s S to f f e s a n d e r O b e r f l i c h e e n t s t e h e n , w u r -
den von Steinheuer [19], l%enz [20], Orth [21] und Eis-
feld [22] unter Berficksichtigung variabler Stoffeigen-
s e h a f t e n b e r e e h n e t .
In fast allen Arbeiten wurden die Randbedingungen
der Grenzschichtgleichungen so gewghlt, dab sieh sog.
ihnliche L6sungen ergeben. Mit einern Verdunstungsge-
setz analog dem I/V-x-Ausblasegesetz und der Annah-
me, dal~ Temperatur und Konzentration an der Filmober-
fl~ehe unabh~ngig yon der Lauflinge x sind, hat z.B.
Eisfeld [22] die Zweistoffgrenzschicht fiber einem ver-
dunstenden Kraftstoffilm berechnet. Mit Hilfe yon Ahn-
lichkeitsannahmen konnte das partielle Differentialglei-
ohungssystem auf ein System gewShnlicher Differential-
gleichungen zuriickgeffihrt werden. Es ist jedoGh dort
weder experimentell noeh an Hand theoretischer Ergeb-
nisse der Naehweis geffihrt worden, dab sigh die Rand-
bedingungen an der Filmoberfliiehe wirklich so einstel-
W. Splettst6fSer: Untersuchung der laminaren Zweistoffgrenzschichtstr6mung 73
l e n , wie s i e ffir d a s V o r h a n d e n s e i n ~ h n l i c h e r L S s u n g e n
n o t w e n d i g s i n d . E i n w e s e n t l i c h e s Z i e l d e r v o r l i e g e n d e n
A r b e i t w a r e s d a h e r , endg t i l t i g zu k l i i r e n , ob be i d e m
b e t r a e h t e t e n S t r 6 m u n g s p r o b l e m t a t s ~ c h l i e h i i h n l i e h e L6-
s u n g e n d e r G r e n z s c h i o h t g l e i e h u n g e n e x i s t i e r e n .
2. T h e o r e t i s c h e U n t e r s u e h u n [ e n
2 . 1 . A n n a h m e n z u m p h y s i k a l i s c h e n Mode l l
F f i r d a s d e r R e e h n u n [ z u g r u n d e g e l e g t e Mode l l d e r b e -
n e t z t e n e b e n e n P l a t t e w u r d e n f o l g e n d e A n n a h m e n g e t r o f -
f en : Die P l a t t e s e i w ~ r m e u n d u r c h l ~ s s i d . Auf i h r b e f i n d e
s i c h e in gleiehm~i/3ig d f i n n e r F l t i s s i g k e i t s f i l m , d e m die
F 1 / i s s i g k e i t d u r e h d ie p o r 6 s e P l a t t e n o b e r f l ~ c h e z u g e -
f t ihr t w i r d . Die A d h ~ i s i o n s - und K a p i l l a r k r ~ i f t e s e i e n w e -
s e a t l i c h gr68er a l s d ie ~ e i b u n g s k r ~ f t e , so dab s i c h d e r
l a n g s a n g e s t r S m t e F i l m in S t r 6 m u n g s r i c h t u n @ n i e h t f o r t -
b e w e g t und s t a b i l i s t . Die G a s s t r 6 m u n g t i b e r d e m F i l m
se i s t a t i o n & r . F e r n e r w u r d e a n g e n o m m e n , dab die T h e r -
m o d i f f u s i o n @egent iber d e r m o l e k u l a r e n D i f f u s i o n v e r -
n a c h l & s s i g b a r i s t , w as be i m a x i m a l e n T e m p e r a t u r u n t e r -
s c h i e d e n yon 350 K in d e r G r e n z s c h i e h t n o e h z u t r e f f e n
d t i r f t e . Die O b e r f l ~ c h e n t e m p e r a t u r d e s F l t i s s i g k e i t s -
f i l m s w u r d e n iche a l s k o n s t a n t v o r a u s g e s e t z t , s o n d e r n
e b e n s o wie d ie V e r d u n s t u n g s g e s e h w i n d i g k e i t a l s abh&n-
g ig yon d e r Lauf l i inge x b e t r a c h t e t . D as G a s g e m i s c h
w u r d e wie e in G e m i s c h z w e i e r i d e a l e r G a s e b e h a n d e i t .
2 . 2 . D i f f e r e n t i a l g l e i e h u n g s s y s t e m f i i r d ie Z w e i s t o f f -
grenzschicht
Die Grenzschichtgleiehungen ftir eine station~re, zwei-
dimensionale, laminare ZweistoffgrenzschiehtstrSmung
wurden u.a. yon Wuest r11] hergeleitet. Mit den Ver-
einfachungen ftir die Plattenstr6mung sowie mit der Ein-
ftihrung der Gesamtenthalpie H in die Energiegleichung
(vgl. [23 ]) und unter Benutzung der Koordinaten gem~B
B i l d 1 l a u t e t d a s O l e i c h u n g s s y s t e m :
Kont inu i t&t s g l e i c h u n g :
b(ou) 5(~v) = 0 (1) bx + by
I m p u l s g l e i e h u n g :
u~ + ~y! = Tf ~%-f
K o n z e n t r a t i o n s g l e i c h u n g :
p u -g~ + v -g~-- /= y f pDlz y y - - / , (3)
yi
u~
T~ 6T C1=
P~
P~
[xY~ x ~ "
7 / ebene Platte donner Flussigkeitsfitm
Bi ld 1. G r e n z s c h i c h t s t r 6 m u n g ]~ngs e i n e s e b e n e n , p a r a l - l e l a n g e s t r 6 m t e n , v e r d u n s t e n d e n F l i i s s i g k e i t s f i l m s ( s e h e m a t i s c h )
E n e r g i e g l e i c h u n g :
P ~-8-s v-8-9 - : ~ Pr ~ T + ~ 1 - u-@- +
+ ~ - ~ (Lo - 1 ) ( h l - h 2) T "
(4)
Die E n e r g i e g l e i c h u n g , G1. ( 4 ) , en th52t d a s v e r e i n f a c h t e
D i s s i p a t i o n s g l i e d z u r B e r i . i e k s i e h t i g u n g d e r R e i b u n g s w / ~ r -
m e . Die G r e n z s e h i e h t g l e i e h u n g e n , G i n . (1) b i s ( 4 ) , g e l -
t en f / i r i n k o m p r e s s i b l e und k o m p r e s s i b l e S t r 6 m u n g e n .
Im F o l g e n d e n w u r d e n j e d o c h n u r S t r S m u n g e n m i t m/~i3i-
gen G e s c h w i n d i g k e i t e n (b i s 100 m / s ) u n t e r s u e h t , be i d e -
hen s i e h z e i g t e , dab d ie K o m p r e s s i b i l i t ~ t n o e h k e i n e n
n e n n e n s w e r t e n E in f l u~ h a l
In den G ln . (1) h i s (4) w e r d e n s~fmt l i ehe S t o f f b e i w e r -
t e a l s yon d e r T e m p e r a t u r und d e r M a s s e n k o n z e n t r a t i o n
abh i tng ig b e t r a c h t e t . E s b e d e u t e n e 1 d ie M a s s e n k o n z e n -
t r a t i o n d e s v e r d u n s t e n d e n S to f f e s 1 i m G a s g e m i s o h und
H d ie G e s a m t e n t h a l p i e d e s G a s g e m i s e h e s , d ie m i t
H : h + u2/2 (4a)
d e f i n i e r t i s t . D a b e i i s t d ie E n t h a l p i e d e s G a s g e m i s c h e s
e i n e F u n k t i o n yon T e m p e r a t u r und M a s s e n k o n z e n t r a t i o n .
Die Abh~[ngigkei t yon d e r M a s s e n k o n z e n t r a t i o n i s t g e g e -
b e n d u r e h
h : C lh 1 + (1 - C l ) h 2 , ( 4 b )
w~ihrend d ie A b h s yon d e r T e m p e r a t u r t i b e r d ie
s p e z i f i s c h e n E n t h a l p i e n
T
h 1 : j Cpl dT ( 4 c )
T t r
74 W. Splettst6Ber: Untersuchung der laminaren ZweistoffgrenzschichtstrSmung
und
T
h 2 = f ep2 dT ( 4 d )
T t r
b e s t e h t .
Mit d e n G l n . (1 ) b i s (4) s t e h e n v i e r G l e i c h u n g e n z u r T - T e ( x , .~) = w
B e s t i m m u n g d e r v i e r U n b e k a n n t e n u, v , c l u n d H b z w . T~ - Tw '
Temperatur T in der Grenzsohioht zur Verfiigung. Da je-
doch die Stoffbeiwerte Dichte O, dynamische Z&higkeit
c I und Diffusionszahl DI2 sowie die Stoffparameter z(x, ~) - - clw
Prandtlzahl Pr und Lewiszahl Le als yon Temperatur Cl~o- Ciw
und Konzentration abh&ngig zu behandeln sind, mtissen
weitere Gleichungen zur Berechnung dieser GrSBen be-
reitgestellt werden. Die Stoffheiwerte tier einzelnen
K o m p o n e n t e n Luft und B e n z o l d a m p f s i n d r e i n e T e m p e r a - f ( x , "~) - 7 ,
turfunktionen, die verschiedenen Quellen [24, 25, 26, V~~176176
27, 28, 29] entnommen wurden. Ftir die numerisehe
Rechnung wurden diese Funktionen, die teilweise nur als
diskrete Funktionswerte vorlagen, in Polynome ent- bY
w i c k e l t , de ren K o e f f i z i e n t e n in [30 ] angegeben s ind . D ie b~ = pu
D ich te des Gasgem isches e r r e e h n e t s ich aus dem i d e a - und
ten Gasgesetz, das hier die folgende Form erhilt
P~ 0 = [olR 1 , (I - C l ) R 2 ] T ' (5)
wobei p~ den Umgebungsdruck und IR I und R 2 die Gas-
konstanten der beiden Komponenten bedeuten. Die spe-
zifische W~irmekapazitgt e des Gemisches setzt sich P
einfach additiv aus den Werten der Einzelkomponenten
multipliziert mit ihren entsprechenden Massenkonzen-
trationen zusammen. Die TransporteigenschaRen des
Zweistoffgemisches, die W&rmeleitfghigkeit ~ und die
Z~higkeit ~, wurden aus Mischungsformeln nach Brokaw
s. [29] bzw. Wilkes. [23] berechnet, welche die Ab-
hgngigkeit yon der Temperatur und die sehr verwickelte
Abh~ngigkeit yon der Konzentration berQcksichtigen. Der
Diffusionskoeffizient D I2 ist im allgemeinen druckab-
h~ingig, hier jedoch wegen des konstanten Druckes eine
reine Temperaturfunktion (s. [30]).
In Anlehnung an ein von A.M.O. Smith et al. [31]
empfohlenes exaktes numerisches L6sungsverfahren wur-
de eine Transformation der Grenzschiehtgleiohungen vor-
genommen. Die Koordinate in x-Riohtung blieb dabei un-
verLindert, w~ihrend die y-Koordinate duroh
co -~ = ody (6)
0
e r s e t z t w u r d e . N a c h E i n f i i h r u n g von d i m e n s i o n s l o s e n P a -
r a m e t e r n f i i r d i e G e s a m t e n t h a l p i e
H (7) g ( x , ~) = ~- -
bzw. die T e m p e r a t u r
ffir die Massenkonzentration
(8)
( 9 )
s o w i e f t i r d i e S t r o m f u n k t i o n
wobei gem~B der von Misesschen Transformation
(io)
(1~)
b7 - b"-~ = 0 v ( 1 2 )
ist, wurde das Gleichungssystem (I) bis (4) in das x,~-
Koordinatensystem umgeschrieben. Mit den leicht herzu-
leitenden Differentiationsvorschriften
2 u
d u r
dx
Y I ; dy l & 0 2 x + ~ -------
0 (13)
und
V u = ~- ( 1 4 )
ergibt sich filr die Impulsgleichung
bf' _ f,, bf ) I ff,,= x, ~ f' 7 7 ' (cf)' + -~ (15)
ftir die Konzentrationsgleiehung
)' I x,,,( -z' ) {Le C ' S(I z)f' + ~fz' = f, bz bf \Pr z - - ~ ~ - ~
(16)
W. Splettst6Ber: Untersuchung der laminaren Zweistoffgrenzschichtstr6mung 75
und ftir die Energiegleichung
p? f-- - 1 - . ~ E c + I
H z +
1 g, ( f , ~ , bf } (17) + ~ f : x ~ bx~ - g ~ �9
Darin bedeutet ' die Differentiation naeh der unabhiingi-
gen Variablen ~, wiihrend
x~ bClw S : _ bx~ (18)
Cloo Clw
e i n e n P a r a m e t e r f t i r den K o n z e n t r a t i o n s g r a d i e n t e n d a r -
s t e l l t . D u r c h E i n f i i h r u n g d e r S t r o m f u n k t i o n Y n a e h den
G ln . (11) und (12) w u r d e d ie K o n t i n u i t i i t s g l e i c h u n g i d e n -
t i s c h e r f i l l l t , und d ie G r e n z s e h i e h t g l e i c h u n g e n r e d u z i e r e n
s i c h auf e i n S y s t e m yon d r e i p a r t i e l l e n D i f f e r e n t i a l g l e i -
e h u n g e n , d ie t i b e r d ie T e m p e r a t u r und die K o n z e n t r a t i o n
b z w . d ie t e m p e r a t u r - und k o n z e n t r a t i o n s a b h ~ n g i g e n S t o f f -
b e i w e r t e m i t e i n a n d e r g e k o p p e l t s i n d . Z u s a m m e n n i t den
n o c h zu s p e z i f i z i e r e n d e n R a n d b e d i n g u n g e n l a s s e n s i c h
d a r a u s d ie d r e i u n b e k a n n t e n d i m e n s i o n s l o s e n V a r i a b l e n
S t r o m f u n k t i o n f, K o n z e n t r a t i o n z und E n t h a l p i e g b e -
rechnen.
DieGln.(15), (16)und(17)zeigen bereits einen Vor-
tell dieser Art der Transformation: Am Plattenanfang
(ffir x ~ -~ 0) verschwinden die x-abhingigen Glieder in
den Gin. (15), (16) und (17), so dab die Anfangsprofile
ffir eine numerische Rechnung aus einem System yon ge-
w6hnliehen Differentialgleichungen ermittelt werdenkSn-
nen, vgl. hierzu die Untersuchungen yon A.M.O. Smith
et al. [31, 34].
2 . 3 . I ~ a n d b e d i n g u n g e n
Die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n ( 1 5 ) , (16) und (17) s i n d in
d e r a n g e g e b e n e n R e i h e n f o l g e yon d r i t t e r , z w e i t e r und
z w e i t e r O r d n u n g . Zu i h r e r e i n d e u t i g e n L 6 s u n g s i n d s i e -
b e n R a n d b e d i n g u n g e n e r f o r d e r l i e h . S ie e r g e b e n s i c h a u s
d e r H a f t b e d i n g u n g an d e r F i l m o b e r f l ~ e h e , d i e a l s r u h e n d
v o r a u s g e s e t z t w u r d e , f e r n e r a u s den V e r t e i l u n g e n fLiP d ie
V e r d u n s t u n g s g e s c h w i n d i g k e i t , d ie T e m p e r a t u r und d ie
K o n z e n t r a t i o n f i be r d e r F i l m l S n g e . A m ~ u B e r e n G r e n z -
s e h i e h t r a n d m i i s s e n d ie G e s c h w i n d i g k e i t , d ie T e m p e r a t u r
und d ie K o n z e n t r a t i o n g l e i c h d e n W e r t e n in d e r A u g e n -
s t r t i m u n g s e i n . M a t h e m a t i s c h f o r m u l i e r t l a u t e n d i e s e
R a n d b e d i n g u n g e n in d i m e n s i o n s b e h a f t e t e r s o w i e in d i -
m e n s i o n s l o a e r S e h r e i b w e i s e :
An der Fldssigkeitsoberflache, y = 0, (~ = 0), gilt:
u = 0, f ' = 0, (19)
v -- V w ( X ) , f = f ( x ) , ( 2 o ) W
H = Hw(X ) bzw . g = gw(X) b z w . [ (21) / T = Tw(X) , 0 = 0,
c 1 = e l w ( X ) ; z = z = 0; (22) W
und a m G r e n z s c h i e h t r a n d , y = y~, (-q = - ~ ) :
u : uoo, f' : I, (23)
H : H bzw. g : 1 b z w . ] / (24)
T = T ~ 0 = 1,
01 = Olo 0 = 0 . z = 1. (25)
Die R a n d w e r t e in G i n . (20) und (21) s i n d z u n ~ e h s t u n b e -
k a n n t und m i t e i n a n d e r g e k o p p e l t , was d ie LSsung d e s P r o -
b l e m s s e h r k o m p l i z i e r t . I h r e B e s t i m m u n g i s t n u r d u r e h
i t e r a t i v e A n n ~ h e r u n g m 6 g l i e h . Daff i r s t e h e n zwe i z u s ~ t z -
l i e h e G l e i e h u n g e n z u r V e r f t i g u n g . Aus d e r D e f i n i t i o n s -
g l e i e h u n g d e r S t r o m f u n k t i o n n a c h G1. (12) und d e r D i f f e -
r e n t i a t i o n s v o r s c h r i f t n a e h G1. (13) s o w i e d e r E c k e r t -
S o h n e i d e r - B e z i e h u n g [ 3 2 ] , m i t d e r e n Hi l fe d ie V e r d u n -
s t u n g s g e s c h w i n d i g k e i t an e i n e r h a l b d u r c h I ~ s s i g e n Wand
zu b e r e c h n e n i s t , e r h ~ I t m a n f t i r den W a n d w e r t d e r d i -
m e n s i o n s l o s e n S t r o m f u n k t i o n
- bf w fw(X) = 2 el~ Clw Cw z ' - 2 x ~ -- (26)
1 - C lw Sc w w bx ~ '
w o r i n Se d ie S c h m i d t z a h l b e d e u t e t . Das E n t h a l p i e v e y -
h&itnis gw in der Randbedingung, GI. (21), kann aus ei-
ner Energiebilanzgleiehung berechnet werden, die ffir je-
de Laufl~nge x gem~B Bild 2 angesetzt wird. Ftir den
(9 Q |
�9 | B i l d 2. W ~ i r m e b i l a n z und T e m p e r a t u r v e r t e i l u n g a n e i n e m i n f i n i t e s i m a l e n E l e m e n t d e s F l i i s s i g k e i t s f i l m s W i i r m e t r a n s p o r t d u r e h : (~)- L e i t u n g , Q - D i f f u s i o n d e s S to f fes 1, (~)- D i f f u s i o n d e s S t o f f e s 2, (~)- L e i t u n g an d ie f e s t e Wand ( i n s t a t i o n i r e n Z u s t a n d f i i r d i e w i r m e u n - d u r c h l ~ s s i g e P l a t t e -= 0 ) , (~)- E r g g n z e n d e r v e r d u n s t e n - den F l i i s s i g k e i t s m e n g e
76 W. Splettst6Ber: Untersuchung der laminaren Zweistoffgrenzschicht~trbmung
betraehteten Fall der wirmeundurchl~ssigen Platte lau-
tel diese Energiebilanzgleichung in dimensionsloser Form
Le (hl-h2)w I ' r l w = 0 gw' + ( e l ~ - e l w ) 1-C~w H H Zw "
(27)
Gleichung (27) verkntipft den Temperaturgradienten nit
den Konzentrationsgradienten, d.h. sie stellt die Be-
ziehung zwischen den W~rmefibergang und den daraus
resultierenden Stofffibergang her. Zur Berechnung des
Enthalpieverh~Itnisses gw oder der Filmoberfl~chen-
temperatur Tw, die beide nieht explizit in GI. (27) vor-
kommen, wurde ein iteratives Verfahren (regula falsi)
verwendet.
2.4. Grenzschichtparameter
Es werden bier die Definitionsgleiehungen und Formeln
ffir die wichtigsten Grenzschiohtparameter einschlieBlich
der Kennzahlen fiir den Wirme- und Stofffibergang be-
reitgestellt.
Ausgehend yon den bekannten Gleichungen fiir die
Verdr~ngungsdicke 51 und die Impulsverlusfdicke 62
der Grenzschicht wurden unter Einffihrung der nit der
Plattenlinge i gebildeten Reynoldszahl Re I eine dimen-
sionslose Verdringungsdicke
6~ 61 = 7- ~ (28)
und eine d i m e n s i o n s l o s e I m p u l s v e r l u s t d i c k e
6~ ~2 : TRf (29)
definiert. Mit den Newtonschen Ansatz ffir die Schub-
spannung wurde ein dimensionsloser Reibungsbeiwert
w 1 - (h I - h 2) = qw= w mlrl " (31)
Unter Benutzung des Fickschen Ansatzes fiir die mole-
kulare Diffusion und unter Beaehtung der Tatsache, dab
die Filmoberfliche eine halbdurchlissige Wand darstellt,
wurde fiir die 6rtliche Massenstromdichte des verdun-
stenden Stoffes erhalten
( P D 1 2 bCl ) m l = - 1 - c 1 by w" ( 3 2 )
Zur Berechnung der 6rtlichen Verdunstungsgeschwindig-
keit wurde die sog. Eckert-Sehneider-Beziehung
( : m l / % (33) Vw = - \ 1 - c I by w
he rangezogen .
Analog den aus der Literatur bekannten Ausblasepa-
rameter wurde ein Verdunstungsparameter definiert
PwVw m 1 m* - ~ e = ~ R ~ - ~ x , ( 3 4 )
oooUco X PooU
d e r e ine d i m e n s i o n s l o s e 6 r t l i che M a s s e n s t r o m d i c h t e d a r -
stellt.
Als eharakteristisohe Kennzahlen ftir den W~irme-
und Stoffiibergang wurden sehlieBlioh die Stantonzahl des
W~r mefibergangs
-qw (3s) St = p u (H _Hw )
und die Stantonzahl des Stoffdbergangs
-m 1 : ( 3 6 )
Stm 0 u ( c 1 ~ - Clw)
e ingef i ihr t , d ie s ich b e s o n d e r s fiir e ine d i m e n s i o n s l o s e
Darstellung der Ergebnisse eignen.
%v ~ ( ~ ) w (30) C ~ = - - = 1 2 1 2
berechnet, der die 6rtliche Schubspannung an der Film-
oberfliche kennzeichnet.
Fiir den hier behandelten Fall der w~rmeundurchlis-
sigen Platte wird die vorn Gas an die Filmoberfl~che durch
Leitung herantransportierte W~rme vollst&ndig als Ver-
dampfungsw~irme verbraucht. Nach Einfiihrung der Ge-
samtenthalpie anstelle der Temperatur l~/~t sich der Fou-
riersehe Ansatz fiir die 5rtliche Wirmestromdichte
schreiben
2.5 . LSsungsve r fah ren
Zur n u m e r i s c h e n LSsung des vor l i egenden p a r t i e l l e n Dif-
f e r e n t i a l g l e i e h u n g s s y s t e m s veto p a r a b o l i s e h e n Typus wur -
de ein a l l g e m e i n e s exak tes Ver fah ren nach A. M. O. Smith
et a l . [31, 33, 34, 35] gew~hlt u n d d e n E r f o r d e r n i s s e n
d i e s e r Arbe i t angepaBt. Die grundlegende Idee d i e s e r
L6sungsmethode geht auf e inen Vorsch lag yon H a r t r e e
und W o m e r s l e y [36] zurf iek. Sie bes teh t da r in , die Ab-
le i tungen nach de r Koord ina te x in S t r6mungsr i eh tung
durch Dif ferenzenquot ien ten zu e r s e t z e n , w~ihrend die
Ablei tungen naoh d e r wandsenkrech ten Koord ina le ~ b e i -
behal ten werden , so dab die p a r t i e l l e n D i f f e r e n t i a l g l e i -
W. Splettst6~er: Untersuchung der laminaren Zweistoffgrenzschichtstr6mung 77
chungen formal in die Form yon gew6hnlichen Differen-
tialgleichungen ttbergeftihrt werden.
Die L6sung ist dann im wesentlichen ein Integrations-
problem. Es wurde das yon A. M. O. Smith et al. empfoh-
lene Prediktor-Korrektor-Verfahren gew~ihlt, das mit
Falknerschen Mehrfachintegrations-Ext rapolationsfor-
meln und Adamsschen Mehrfachintegrations-lnterpola-
tionsformeln (s. [37]) arbeitet. Fiir die wegen der un-
bekannten Randbedingungen an der Filmoberfl~iche sehr
umfangreiohen Rechnungen wurde ein Fortranprogramm
f[ir die elektronische Reohenanlage Siemens 4004/60 er-
stellt. Erste Beispielrechnungen, wobei Grenzschichten
mit Absaugen und Ausblasen yon Luft berechnet wurden,
dienten zum Testen des Programms und des iRechenver-
fahrens. Ein Vergleich mit den fr~iher und auf anderen
W e g e n e r z i e l t e n E r g e b n i s s e n yon S o h l i c h t i n g und B u s s -
m a n n [4] s o w i e yon E m m o n s und Le igh [5 ] e r g a b e i n e
s e h r gu te n u m e r i s c h e [ i b e r e i n s t i m m u n g ( b i s z u r v i e r t e n
ter Variation der Anstr6mtemperatur T von 373K bis co
673 K und d e r au f d ie F i l m l i n g e 1 b e z o g e n e n R e y n o l d s -
zah l yon 8 �9 103 b i s 5 - 105 d u r e h g e f t i h r t .
3. E x p e r i m e n t e l l e U n t e r s u c h u n g e n
3 . 1 . V e r s u c h s a n l a g e
Die t h e o r e t i s e h - r e e h n e r i s c h e n E r g e b n i s s e w u r d e n m i t
Hi l fe e i n e r s p e z i e l l fear W~i rme- und S t o f f i i b e r g a n g s u n -
t e r s u c h u n g e n e n t w i c k e l t e n V e r s u o h s a n l a g e t i b e r p r f i f t . S ie
b e s t e h t au s e i n e m H e i g l u f t w i n d k a n a l , v e r s c h i e d e n e n V e r -
s u c h s m o d e l l p l a t t e n , d ie den e b e n e n F H i s s i g k e i t s f i l m v e r -
w i r k l i c h e n , f e r n e r a u s s p e z i e l l e n M e B s o n d e n und H i l f s -
e i n r i c h t u n g e n s o w i e e i n e r D a t e n e r f a s s u n g s - und D a t e n -
verarbeitungsanlage. Bild 3 zeigt schematiseh den Ver-
suchsaufbau zur Messung der Grenzschichtprofile und
der Stoffiibergangsraten.
Der Heigluftwindkanal ist yon offener Bauart und hat
D e z i m a l s t e l l e ) . Die a n s c h l i e f S e n d e B e r e c h n u n g d e r Z w e i - e i n e A n t r i e b s l e i s t u n g yon 2kW s o w i e e i n e H e i z l e i s t u n g
stoffgrenzschicht [iber dem verdunstenden Benzolfilm von 75kW. Beide sind stufenlos regelbar, so dab bei ei-
einschlieglich des W~rme- und Stoffttbergangs wurde un- ner Diisen6ffnung yon 180 mm Durehmesser Austritts-
[
I I I g
I I 6,7,8
\ \ \ \ \ " \ \ \ \ ' , : = I I I 1 I 1
1
I
9,10,11 _12,13..,14~
I . J
Versuchsprotoko[I 4U~
I I I
I ~
J
1 23 Mel3wertgeber 181920 . . . . ooooFT
Mel3s~:ellen - umschol~er
Dig. Voltmeter
Dig. Uhr
Koppler
Lochstreifenstenzer
I
Bild 3. Versuchsaufbau (schematisch). a - Diise des HeiBluftwindkanals, b - beidseitig benetztes Plattenmodell im Freistrahl, c- Kamin, d- wassergektihlte Thermo-/Gesamtdrucksonde, e- Differenzdruckaufnehmer, f- Wiir- metauscher zum Vorw~rmen der Testfl(issigkeit, g - Niveauregler, h - Testfltissigkeit, i - Feinwaage mit Analog- ausgang, k - Umw~ilzthermostate, l - Megdatenerfassungs- und Datenverarbeitungsanlage. Ziffern 1 bis 14 - Megstellen, �9 Thermoelemente
78 W. SplettstSBer: Untersuchung der laminaren ZweistoffgrenzschichtstrSmung
geschwindigkeiten bis 30 m/s und Lufttemperaturen bis
700 K eingestellt werden kbnnen. Besondere Sorgfalt
wurde auf die Auslegung der Heizstrecke verwandt, um
eine mSglichst gleichmi~ige Temperaturverteilung tiber
dern Strahlquerschnitt zu erzielen. Bei der Vermessung
des Freistrahls betrugen die ~Srtliohen Abweichungen yon
der mittleren absoluten Temperatur etwa • Prozent.
Die 5rtlichen Geschwindigkeitsabweichungen vom Mit-
telwert sind nicht grSf3er als +-0, 25 Prozent, wihrend
tier Turbulenzgrad kleiner als 0, 5 Prozent ist. Weitere
Einzelheiten sind in einer DLR-Mitteilung [38 ] enthalten.
Die Versuchsmodellplatten, die den ebenen Fliissig-
keitsfilm realisieren, sind 60ram breit, 2ram dick und
yon verschiedener L~nge (5 bis I00 ram), um den Ein-
fluB der Filmlgnge auf die Stofftibergangsraten und die
Verdunstungsgeschwindigkeit festzustellen. Ein Rohrrah-
men aus Edelstahlr6hrchen bildet das Skelett der Platte.
Der Zwischenraum zwischen den mit Bohrungen verse-
henen R6hrchen wurde mit saugf~higen Papierstrei-
fen aufgefiillt, die den aus den Bohrungen austretenden
Kraftstoff aufnehmen, verteilen und speichern. Der Rohr-
rahmen ist abschlief~end mit einern sehr feinen Drahtge-
webe (25 ~m Drahtdurchmesser) bespannt, auf dem sich
ein zusammenhingender, sehr dtinner Fltissigkeitsfilm
ausbildet, wie Beobachtungen unter einem Stereomikro-
skop zeigten. Zur Laminarhaltung der Grenzschicht
wurde die Plattenvorderkante analog der Nase eines sym-
metrischen NACA-Profils gestaltet. Auch die Platten-
nase ist gleichmif~ig benetzbar, so dab eine Verfilschung
der Mef~ergebnisse dutch eine trockene Anlaufstrecke
nicht zu beftirchten war. Zur Messung der Filmtempera-
tur und ihrer Verteilung in StrSmungsrichtung wurde ei-
ne Reihe sehr feiner NiCr-Ni-Thermoelemente in den Mo-
dellplatten installiert.
Ftir die Messung der Geschwindigkeits- und der Tem-
peraturgrenzschicht wurde eine wassergektthlte kombi-
nierte Thermo-/Gesamtdrucksonde entwickelt, bei der
die MeJ~stellen nebeneinander angeordnet sind. Die sehr
klein gehaltene Gesamtdrucksonde besitzt eiue Fisch-
maulSffnung mit den Abmessungen 0,7 mm mal 0,07 ram,
w~hrend die miniaturisierte Temperaturme2stelle aus
einem flachgedrtickten NiCr-Ni-Thermoelement mit ei-
her Stirnfliche yon 0, I mm real 0,7 mm besteht. Der
verdunstende Massenstrom wurde durch Wigung und
gleichzeitige Zeitmessung bestimmt.
3.2 Versuchsdurchftihrung und Auswertung
Die Messungen wurden in zwei verschiedenen Versuchs-
reihen durchgeftihrt. In einer ersten Versuchsserie er-
folgte die Messung der W/rme- und Stoffiibergangsraten
unter Variation der AnstrSmtemperatur yon 323 K bis
673K, der AnstrSmgeschwindigkeit von 5m/s bis
20 m/s sowie der Filmlinge yon 5ram bis 100 ram. Der
dadurch tiberdeckte Bereich yon Reynoldszahlen umfaBte
4 - 10 2 _<- ire < 8,7. 104 . Von grb/~tem Interesse war ei- x
ne genaue Bestimmung der 5rtlichen Massenstromdich-
te m I des verdunstenden Stoffes, da hieraus nach Gl.
( 31 ) die 5rtliche Wiirmestromdichte und nach Gl. ( 33 ) die
ftir die Grenzschichtrechnungen wichtige 5rtliche Ver-
dunstungsgeschwindigkeit berechnet werden kann. Aus
versuchstechnischen Grtinden war jedoch nur eine Mes-
sung der tiber die Filmoberfliche gemittelten Verdun-
stungsraten mSglich. Da jedoch die Abhingigkeit dieser
mittleren Massenstromdichte yon der Filmlinge durch
Messungen an den verschieden langen Modellplatten be-
stimmt wurde, konnte auf ~Srtliche Werte umgerechnet
werden, die nichts anderes als die Gradienten der ge-
messenen Funktion darstellen.
In einer weiteren Versuchsserie wurden die Grenz-
schichtprofile, d.h. die Geschwindigkeits- und Tempe-
raturprofile in dem genannten IReynoldszahlbereich ver-
messen. Zum Testen der kombinierten Grenzschichtson-
de und der Modellplatten wurde auch die Geschwindigkeits-
grenzschicht tiber einer unbenetzten Modellplatte ausge-
messen, wobei sich eine sehr gute tTbereinstimmung mit
tier Blasiuslbsung ergab (s. [303).
Da zu erwarten war, da~ die Grenzschichtprofile wie
diejenigen beim Ausblasen einen Wendepunkt aufweisen
und daher eine starke Neigung der Grenzschicht zum Urn-
schlagen in die turbulente StrSmungsform besteht, muf~te
die Laminaritit der Grenzschicht nachgeprtift werden.
Mit Hilfe eines Hitzdrahtanemometers und unter Ver-
wendung quarzbedeckter Geberdrihte konnte in dem un-
tersuchten Reynoldszahlbereich die laminare StrSmungs-
form zweifelsfrei nachgewiesen werden.
4. E r g e b n i s s e
4 . 1 . A h n l i c h k e i t d e r G r e n z s c h i c h t p r o f i t e
Als u n m i t t e l b a r e E r g e b n i s s e d e r G r e n z s c h i c h t r e c h n u n -
gen ftir d ie l a m i n a r e Z w e i s t o f f g r e n z s c h i o h t f ibe r e i n e m
e b e n e n , v e r d u n s t e n d e n B e n z o l f i l m w u r d e n die G r e n z -
s c h i c h t p r o f i l e in d i m e n s i o n s l o s e r F o r m e r h a l t e n . Die
G e s c h w i n d i g k e i t s v e r t e i l u n g in d e r G r e n z s c h i c h t i s t in
Bi ld 4, d ie T e m p e r a t u r v e r t e i l u n g in Bi ld 5 und die K o n -
z e n t r a t i o n s v e r t e i l u n g in B i ld 6 d a r g e s t e l l t . In den B i l -
d e r n 4 und 5 s i n d auch die E r g e b n i s s e d e r G r e n z s c h i c h t -
messungen enthal/en. Es ist eine sehr befriedigende
W. Splettst6Ber: Untersuchung der laminaren Zweistoffgrenzschichtstrbmung 79
1,o / / ~ ~ ~ 1,o
0 I
| n N !
0,2 f ~ . .. I
O0 I 2 3 L 5 6 7 n
0,8
u
0,6'
0,L
Bild 4. Geschwindigkeitsprofile in der Zweistoffgrenz- schicht (Benzoldampf/Luft) ffir verschiedene Werte des Verdunstungsparameters m r = p,v,, ~ Rex~r~---/p u ~. Ver- gleich von Theorie mit Messungen Numerische Lbsung: (~)m ~ = 0 (Blasius-L6sung), Q m ~ = 0 , 0 6 9 (T = 3 7 3 K ) Q m - ~ = 0 ,194 (T~ = 573K) Q m ~ = 0 , 1 3 5 ( T = 4 7 3 K ) @ m ~ = 0 ,247 ( T 673K) E x p e r i m e n t e l l e W e r t e ffir u~ = 10 m / s : �9 Too = 373K, x/1 = 0 , 5 , Rex = 21700 O T -~ 3 7 3 K , x/1 = 0 , 9 , Rex = 39000 �9 T = 573K, x/1 = 0 , 5 , Bex = 10400 OT = 573K, x/1 = 0 , 9 , Rex = 18800
1,0
qq08-- | ~ ;,/
& o,6
o,2i ,~ ~ , 5 "
0 I 2 3 4 5 6
Bild 5. Temperaturprofile in der Zweistoffgrenzschieht (Benzoldampf/Luft) ffir versehiedene Werte des Verdun- stungsparameters m ~,~. Vergleich von Theorie mit Mes- sungen. Erliiuterungen wie unter Bild 4
U b e r e i n s t i m m u n g z w i s e h e n den g e m e s s e n e n und den b e -
r e c h n e t e n P r o f i l e n v o r h a n d e n . S i imt t i che P r o f i l e w e i s e n
wie d i e j e n i g e n bei P l a t t e n g r e n z s e h i c h t e n mi t A u s b l a s e n
e i n e n Wendepunk t auf , d e r mi t s t e i g e n d e r A n s t r 6 m t e m -
p e r a t u r yon d e r Wand f o r t w a n d e r t . I h r e F o r m i s t n u r
abh~ngig yon d e r A n s t r 6 m t e m p e r a t u r b z w . yon e i n e m
d i e s e r e i n d e u t i g z u g e o r d n e t e n Y e r d u n s t u n g s p a r a m e t e r
m ~, d e r ana log d e m b e k a n n t e n A u s b t a s e p a r a m e t e r d u r e h
G1. (34) d e f i n i e r t i s t .
O,Z.
0,2 /
07
/
9"
Y
0 I 2 3 /, 5 6 -q
Bild 6. Massenkonzentrationsprofile in der Zweistoff- grenzsehicht (Benzoldampf/Luft) f[ir versehiedene Wet- te des Verdunstungsparameters m~% Erl~uterungen wie unter ]9ild 4
Die E c k e r t z a h l i s t in a l l en R e c h e n b e i s p i e l e n s e h r v ie l
k l e i n e r a l s e i n s , so dab d ie T e m p e r a t u r e r h 6 h u n g d u r c h
Re ibung n u r e i n e n v e r n a c h l ~ i s s i g b a r g e r i n g e n EinfluB
auf d a s T e m p e r a t u r f e l d h a t .
Die G r e n z s o h i c h t p r o f i l e e r w e i s e n s i c h bei f e s t g e h a l -
t e n e r A n s t r 6 m t e m p e r a t u r a l s u n a b h g n g i g yon d e r t~ey-
n o l d s z a h l , d . h . in d e r d i m e n s i o n s l o s e n F o r m s i n d s o -
wohl die G e s e h w i n d i g k e i t s p r o f i l e a l s auch die K o n z e n -
t r a t i o n s - und T e m p e r a t u r p r o f i l e fiir a l l e F i l m l ~ n g e n x
i d e n t i s c h , was d u r c h d ie G r e n z s c h i c h t m e s s u n g e n in
[iberzeugender Weise best~tigt wurde. Damit ist als er-
stes wichtiges Ergebnis der numerisehe und experimen-
telle Naehweis ffir die Existenz yon ~ihnliehen L6sungen
der Zweistoffgrenzsehichtgleiehungen bei dem betraeh-
t e t e n S t r S m u n g s p r o b l e m e r b r a e h t .
D a r i i b e r h i n a u s e r g e b e n s i e h k o n k r e t e E r k e n n t n i s s e
fCir die z u n ~ c h s t u n b e k a n n t e n V a r i a b l e n in den R a n d b e -
d ingungen an d e r F l i i s s i g k e i t s o b e r f l ~ e h e ( s . Gin . 20, 21
und 22) . So erh~ilt man e in 1/V-x-- V e r d u n s t u n g s g e s e t z
fi ir d ie w a n d s e n k r e e h t e V e r d u n s t u n g s g e s c h w i n d i g k e i t Vw,
d ie in Bi ld 7 ffir v e r s c h i e d e n e W e r t e d e s V e r d u n s t u n g s -
p a r a m e t e r s m ~ d a r g e s t e l l t und mi t M e B w e r t e n v e r g l i -
chen i s t . Die F i l m o b e r f l ~ c h e n t e m p e r a t u r Tw, d ie bei
d e r w~ i rmeundureh l~ i s s igen P l a t t e g l e i e h d e r F i l m t e m -
p e r a t u r s e l b s t i s t , e r w e i s t s i c h bei f e s t g e h a l t e n e r A n -
s t r 6 m t e m p e r a t u r a l s unabh~ngig yon d e r R e y n o l d s z a h t
und i s t e ine r e i n e F u n k t i o n d e r A n s t r 6 m t e m p e r a t u r . D i e -
s e Abh~ng igke i t i s t in Bi ld 8 w i e d e r g e g e b e n . D a r i n s i n d
auch die e x p e r i m e n t e l l e n W e r t e e i n g e t r a g e n , d ie s i c h
mi t n u r g e r i n g e r S t r e u u n g yon • 3 P r o z e n t d e r a b s o -
lu ten T e m p e r a t u r auf d e r t h e o r e t i s e h v o r a u s b e r e c h n e -
t en K u r v e a n o r d n e n . D a m i t i s t n a c h g e w i e s e n , dab die
80 W. SplettstSf~er: Untersuchung der laminaren Zweistoffgrenzschichtstr6mung
0,7
0,6
0.5
0 ,3 m
0 ,2 L
0,1
z
0,2 0,,'- 0 ,6 " 0 ,8 1,0 x/I
Bild 7. Verteilung der Verdunstungsgeschwindigkeit vw i]ber der Film- l~nge x for verschiedene Werte des Verdunstungsparameters m*. Ver- gleioh yon Theorie mit Messungen. Numerische L6sung: Qm* = 0 , 0 6 9 , (T: o = 3 7 3 K ) Qm* = 0,194 (To: , : 5 7 3 K ) Q r n * 0 , 1 3 5 , (%= 4 7 3 K ) Q m * 0 , 2 4 7 (To 6 7 3 K ) Experimentelle Werte fiir uo~ : I0 m/s : �9 T = 373K OT = 573K VT~= 473K AT~ = 673K
330
K
320
310
%
300
290
280
A
0
0 100 200 300 0 i i i i
/ /
/
zOO ~ 500
'I oC
50
z.0
30
20
300 L00 500 600 700 K 800 %
Bild 8. Filmoberflgchentemperatur T~ als Funkt ion der Anstr6mtemperatur T~ bei w~irmeundurohl~issiger Plat- te. Vergleioh yon Theorie mit Messungen. Numerische L6sung . Experimentelle Werte fkir:
x/1 u~ 1~0 0,5 0,2 0,I 0,05
10 m / s A o V �9 |
zo m/s ~ ~ 9 O" o"
r ~8
I I
:*E
0.25
0,20
0,15
0.10
0,05 /
100 200 300 /,00 ~ 500
,l/
300 &00 500 600 700 K 800 %
Bild 9. Verdunstungsparameter m ~ als Funktion der An- str6mtemperatur T~o. Vergleich yon Theorie mi~ Messun- gem. Erliuterung der Symbole wie unter Bild 8
W. Splettst6~er: Untersuchung der laminaren Zweistoffgrenzsehichtstr6mung 81
Temperatur und folglich auch die Konzentration an der
Filmoberflgche unabh~ngig von der Laufl~nge x sind.
Mit diesen nun bekammten Eigenschaften der Randbe-
dingungen an der Oberfl&che des Fl(issigkeitsfilms kann
duroh eine Neuinterpretation der Rechnumgen von Eis-
feld [22] gezeigt werder: [30], daf~ sioh das partielle
Differentialgleichungssystem der Ausgangsgleiohungen
durch eine ]4hnlichkeitstransformation in ein System ge-
w6hnlicher Differentialgleichungen umwandeln l~Bt, wo-
fiir dann stets ~hnliohe LSsungen erhalten werden. Da-
bei entspreehen die Ausgangsgleichungen in [22] den
Gln. (I) his (4) dieser Arbeit, sofern deft in die Ener-
giegleiohung die Gesarntenthalpie eingeftihrt wird.
Damit ist erstens an Hand eines ohne Ahnlichkeits-
ans~tze arbeitenden, exakten numerischen Verfahrens
der numerisohe Naohweis, zweitens mit Hilfe umfang-
reieher Messungen der experimentelle Nachweis und
drittens, wie in [30] gezeigt, durch eine Neubewertung
der Arbeit yon Eisfeld [22] auch der analytisohe Nach-
weis erbracht, dab bei dem behandelten Str6mungspro-
blem ~hnliche L6sungen der Zweistoffgrenzschichtglei-
ehungen existieren.
Da auch fiir konstante Stoffbeiwerte in der Orenz-
schioht naeh [22] ein gew6hnliches Differentialglei-
chungssystem erhalten wird, ist die Existenz von ithn-
lichen L6sungen nieht auf die Stoffpaarung Benzol-Luft
besohri~nkt. Man wird daher stets ffir einen l~ngsange-
str6mten Fliissigkeitsfilm, der auf einer w~rmeundurch-
l~issigen Platte ruht, ]~hnlichkeit der Grenzsohichtpro-
file, das I/~-x- Verdunstungsgesetz und eine yon der
Laufl~inge x unabh~ngige Temperatur und Konzentration
an der Filmoberfl:iohe erwarten diirfen.
4 . 2 . G r e n z s c h i c h t p a r a m e t e r - EinfluB d e s S t o f f i i b e r g a n g s
Die aus den E r g e b n i s s e n d e r G r e n z s c h i e h t r e c h n u n g e n
b e s t i m r n t e n G r e n z s e h i c h t p a r a m e t e r , wie d e r V e r d u n -
s t u n g s p a r a m e t e r , d e r R e i b u n g s b e i w e r t s o w f e die den
W~irme- und S to f f t i be rgang e h a r a k t e r i s i e r e n d e n S t a n t o n -
z a h l e n s i n d in den B i l d e r n 9 b i s 12 a u f g e t r a g e n und s o -
wel t wie m 6 g l i e h mi t M e ~ w e r t e n v e r g l i e h e n . D e r V e r -
l auf d e s V e r d u n s t u n g s p a r a m e t e r s , d e r aueh a l s d i m e n -
s i o n s l o s e 5 r t l i e h e M a s s e n s t r o m d i c h t e aufgefaBt w e r d e n
kann , i s t in Abh~tngigkeit yon d e r A n s t r S m t e m p e r a t u r
fiir v e r s e h i e d e n e F i l m l f i n g e n und v e r s c h i e d e n e A n s t r 6 m -
g e s e h w i n d i g k e i t e n , d . h . fiir v e r s c h i e d e n e R e y n o l d s z a h -
l en in Bi ld 9 d a r g e s t e l l t . Nach den G r e n z s e h i c h t r e e h n u n -
gen ist der Verdunstungsparameter unabh~ngig vonder
bei konstanter Anstr6mtemperatur gebildeten Reynolds-
zahl Re und damit nur eine Funktion der Anstr6mtem- X
peratur selbst. Die numerisehe L6sung wird durch die
experimentelle Bestimmung des Verdunstungsparame-
ters in ausgezeiohneter Weise best~itigt. Die maximale
Streuung der MeBwerte yon • 3 Prozent ist ftir Stoffiiber-
gangsmessungen sehr gering. Die Abh~ngigkeit des Ver-
dunstungsparameters vonder Anstr6mtemperatur kann
in erster N~iherung als linear bezeiehnet werden.
Aus der Definitionsgleiohung ftir den Verdunstungspa-
rameter m* nach Gl. (34) und der Tatsache, daJ~ rn* bei
festgehaltener Anstr6mtemperatur eine Konstante ist,
ergeben sich weitere interessante Ergebnisse. Man er-
kennt, dab die 6rtliehe Massenstromdichte des verdun-
stenden Stoffes und damit auch die 5rtliche Verdunstungs-
geschwindigkeit proportional zu ~ sind (vergleiehe
Bild 7). Die Absolutwerte der Verdunstungsgesohwindig-
keit sind gering und liegen in der Gr~SBenordnung yon we-
nigen Zentimetern pro Sekunde. Trotzdem ist der Ein-
fluf3 auf die Ausbildung der Grenzsehichtprofile beacht-
lich. Wegen der Proportionalit~it der W&rmestromdiehte
rnit der Massenstromdiohte nach Gl. (31) ist aueh die
6rtliehe Wiirmestromdichte an der Filmoberfl~ehe pro-
portional zu }u~.
Die Bilder 10, 11 und 12 zeigen in Abh~ngigkeit yon
der Reynoldszahl in einer doppelt logarithmischen Auf-
tragung den 6rtlichen Reibungsbeiwert an der Filmober-
fl&ehe, die 6rtliehe Stantonzahl des W~irmeLibergangs so-
wie die 5rtliche Stantonzahl des Stoffiibergangs bei ver-
schiedenen Werten des Verdunstungsparameters. Es er-
geben sieh Soharen yon Geraden mit dem ftir die lami-
nate Grenzsehicht typischen Anstieg yon -1/2, d.h. al-
le drei Kelmzahlen sind proportional zu 1/~Re - . Der X
Reibungsbeiwert nimmt mit abnehmendem Wert des Ver-
dunstungsparameters, d.h. mit sinkender Anstr6mtem-
peratur, zu und geht ftir niedrige Gastemperaturen und
damit versehwindende Verdunstungsraten (m* : 0) in
die bekannte Blasiussche Beziehung
c~ 0,3322e -1/2 (37) 2 x
tiber, die in Bild I0 mit eingetragen ist.
Ausgehend vonder in Bild 11 gestriehelt dargestellten
Pohlhausen-Beziehung
-1/2pr -2/3 (38) St = 0,332Re x
die sieh ftir verschwindenden Stoffstrom (m* = 0) ergibt,
nirnmt die 5rtliche Stantonzahl rnit steigenden Anstr6m-
82 W. SplettstS/~er: Untersuchung der l a m i n a r e n Zweis tof fgrenzschich ts t r6mung
.10-2
10 -3
10 -4 102 103 104 10 s 106 Rex
Bild I0. (Jrtlicher Reibungsbeiwert c~ "~ in Abh/ngigkeit von der Reynoldszahl Rex fiir verschiedene Werte des Verdunstungsparameters m*. @m* = 0:0~/2 = 0,332F{ex -r (Blasius-L6sung) Q m * = 0 ,069 , (T~o = 373K) Q m * = 0 ,194 , (T o = 573K) Qm* 0,135, (Too 473K) Q m* 0,247, (T~ 673K)
St
10 *2
10 -3
10-4102 103 104 105 10 ~ Rex Bild 11. (Jrtliche Stantonzahl St in Abh~ngigkeit von der Reynoldszahl Re~ fiir verschiedene Werte des Verdunstungsparameters m*. Vergleich yon Theorie mit Messungen Numerische L6sung : (~)m* = 0 : St = 0,332Rex -~/2 Pr -2/a (Pohlhausen) Qm* = 0,069, (T~ = 373K) @m* = 0,194, (T.~ = 573K) Qm* 0,135, (T~= 473K)Qm* =0,247, (T = 673K) Experimentelle Werte fttr verschiedene Anstr6mtemperaturen Too:
O 373 K 0 573 K V 473K A 673K
W. Splettst6J~er: Untersuchung der laminaren Zweistoffgrenzschichtstr6mung 83
Stm
10-2 '-, ~-~
.- ,| [
1 >:
10 -~ 10 2 10 3 10" 10 5 10 5
Rex
Bi ld 12. (Drtl iche S tan tonzah l des S to f f t ibe rgangs Stm in A b h i n g i g k e i t yon d e r R e y n o l d s z a h l Rex ftir v e r s c h i e d e n e W e r t e des V e r d u n s t u n g s p a r a m e t e r s m ~. V e r g l e i c h yon T h e o r i e n i t M e s s u n g e n . ( ~ n ~'~ -~ 0 : St~ = 0 , 3 3 2 R e x -• Sc -2/s ( P o h l h a u s e n ) t ib r ige E r l i u t e r u n g e n wie u n t e r Bi ld 11
T~ 373,16 473,16 573,16 673,16K
%0 , ,
. / Stm s,m /
1,6 /
/ 1,4 / 52
/ - 1,2 / ~ ~
Sto 0,6 - ~
cf'~ 0,4
0,2
0 0,05 0,10 0,15 Q20 Q25
B i l d 13. Abhgng igke i t v e r s c h i e d e n e r G r e n z s c h i c h t p a r a - m e t e r v o m r e d u z i e r t e n V e r d u n s t u n g s p a r a m e t e r m~/CV-C -g~
t e m p e r a t u r e n und dami t z u n e h m e n d e m , aus d e r O b e r f l ~ -
che a u s t r e t e n d e m D a m p f s t r o m ab . D ie n i t e i n g e t r a g e n e n
Mef~werte best~i t igen d i e s e A u s s a g e s e h r gut .
Die 6 r t l i c h e S tan tonzah l des S to f fEbe rgangs in Bi ld 12
ze ig t e in g e g e n s ~ t z l i c h e s V e r h a l t e n . S ie n i m m t mi t s t e i -
g e n d e r A n s t r 6 m t e m p e r a t u r zu . G e s t r i c h e l t mi t e i n g e -
z e i c h n e t i s t d ie aus ] ~ h n l i c h k e f t s b e t r a c h t u n g e n g e w o n n e -
ne P o h l h a u s e n - B e z i e h u n g
- 1 / 2 So - 2 / 3 ( 3 9 ) St m = 0 , 3 3 2 R e x
d ie mi t d e m G r e n z f a l l v e r s c h w i n d e n d e n S t o f f s t r o m s
(m ~ = 0) t i b e r e i n s t i m m t . Die M e B w e r t e b e s t g t i g e n in
s e h r b e f r i e d i g e n d e r W e i s e d ie aus d e r n u m e r i s c h e n L6-
sung d e r G r e n z s c h i c h t g l e i c h u n g e n gewonnenen E r g e b n i s -
s e .
D e r s t a r k e EinfluB des v e r d u n s t e n d e n S t o f f s t r o m s auf
die G r e n z s c h i o h t p a r a m e t e r w i r d s e h r a n s c h a u l i c h in
B i ld 13 v e r d e u t l i c h t . Dor t s ind die n o r m i e r t e n K e n n z a h -
l en ftir den W g r m e - und S tof f t ibe rgang (S t /S t 0 und S t m /
S tm0) ffir die O b e r f l i c h e n r e i b u n g ( c f / c f 0 ) s o w i e f t i r d i e
Ve dr ngu.gs undImpulsverlustdioke (6t/6 0 _ _ . r id
62/620) t iber d e m reduz ie r f i en V e r d u n s t u n g s p a r a m e t e r
m ~ / ~ a u f g e t r a g e n . Die mi t d e n Index 0 v e r s e h e n e n
P a r a m e t e r k e n n z e i c h n e n dabei d i e j e n i g e n W e r t e , die ftir
v e r s c h w i n d e n d e n S t o f f s t r o m , a b e t bei g l e i c h e n T e m p e r a -
84 W. Splettst6J~er: Untersuchung der laminaren Zweistoffgrenzschichtstr6mung
4# i i
1.0
0,8
0,6 i
%0 = 373 K / . , 0,4 ~ ' / , ~ , i / 0.2 -
0 1 2
/ ~'573 K
~ r
3 4 5 6 7
Bild 14. Vergleieh der berechneten Geschwindigkeitspro- file nit den LSsungen yon F. Eisfeld [22] fiir zwei ver- schiedene AnstrSmtemperaturen. - - Numerische L6sung ..... L6sung nach F. Eisfeld [22]
turverh~itnissen wie im Fall der Verdunstung, erhalten
werden. Der reduzierte Verdunstungsparameter wurde
in Anlehnung an den von Gross et al. [18] benutzten re-
duzierten Ausblasepararneter PwVw 1~Rex/C**/0 u ~ ein-
gefiihrt. Dabei stellt die Chapman-Rubesin-Konstante
C** = ~2P2/~0c ~ das Dichte-Z~higkeitsverh~ltnis nur
fiir Luft dar, das fiir die Eekertsehe Bezugsternperatur
T** [12] bereehnet wird, die sioh hier als arithmetisehes
Mittel zwisehen Anstr6m- und Oberfl~chentemperatur
ergibt. Bild 13 l~J~t deutlieh erkennen, dab die hornier-
te Stantonzahl des Stoffiibergangs Stm/Stm0 und die
normierte Impulsverlustdicke a*/~* nit waehsendem ~2-~20
Stoffstrom, d.h. nit steigenden Anstr6mternperaturen
stark zunehmen, w~ihrend die bezogenen Kennzahlenftir
den W~rmeiibergang St/St0, die Oberfl~chenreibung
~*/~* merklieh ab- c,*/~* und die Verdr~ingungsdicke ~i,~i0 ~f~f0 nehmen. Wegen der bestehenden festen Zuordnung zwi-
schen der AnstrSmtemperatur und dem Verdunstungs-
parameter ist T als zweite Abszisse in Bild 13 mit an-
gegeben.
4.3. Vergleieh mit den Ergebnissen anderer Verfahren
Ein Vergleich nit den Ergebnissen der Arbeit yon Eis-
feld [22] zeigt nur teilweise eine gute tJbereinstimmung.
Eisfeld ibste die Zweistoffgrenzsehichtgleiehungen fiir
den parallel angestrbmten Benzolfilrn mit Hilfe yon Ahn-
liehkeitsans~tzen und gewissen Voraussetzungen f~ir die
Randbedingungen. Durch Anwendung der Analogreehen-
technik erhielt er die ~ihnliehen Lbsungen graphisch, wo-
bei keine allzu hohen Anspriiehe an die Genauigkeit ge-
stellt werden d~irfen. AuBerdem enthglt die Energiebi-
0,25
0,20
m
0.15
0,10
0,05 _ A 0 300
/ /
i
/
600 700 K %
Bild 15. Verdunstungsparameter m* als Funktion der Anstr6mtemperatur T~. Vergleich der numerischen L6- sung mit dem Ergebnis nach D.B. Spalding [39]. - - Numerische L6sung ..... L6sung nach D.B. Spalding aus [40 ]
lanzgleichung in E22] ein ffir eine halbdurchl~ssige Wand
(wie sie die Filmoberfl~che darstellt) unzul~issiges
Glied, das etwa proportional zur Anstr6mtemperatur
w~chst. Dadurch stimmen die Geschwindigkeitsprofile
bei der niedrigen Anstr6mtemperatur in Bild 14 noch gut
iiberein, w~hrend sie bei der hbheren Anstr6mtempera-
tur infolge einer nicht mehr korrekten Filmtemperatur
beaehtlieh voneinander abweiehen.
Ein Vergleieh der aus den Lgsungen der Grenzschicht-
gleiehungen berechneten Stoffiibergangsraten mit den Er-
gebnissen eines einfachen, yon Spalding [39 ] vorgesehla-
genen und veto Verfasser in einer friiheren Arbeit [40 ]
angewandten Berechnungsverfahrens, ergibt eine iiber-
raschend gute Ubereinstimmung, wie an Hand des Ver-
dunstungsparameters in Bild 15 gezeigt wird. Die 6rtli-
ehe Massenstromdiehte wird dabei nach der einfachen,
halbempirischen Bereehnungsformel
i m 1 = 0,332 f R ' - ex l /2pT-2 /31n 1 + r l w (40)
b e s t i m m t , deren Gtiltigkeit dureh die vor l iegende Unter -
suchung gut best~t igt wird und die fiir viele p rak t i sehe
Anwendungsf~lle geniigend genaue Ergebnisse liefern
dttrfte. Der Querstrich bezeichnet dabei das arithmeti-
sche Mittel der Stoffparameter an der Oberfl~iche und am
Grenzschichtrand. Die zur Auswertung in Gl. (40) benb-
tigte Filmoberfl~fchentemperatur kann aus der einfachen
Gleiehung (s. [40])
M1 (P- -~ /1 /2 r l w Plw (41)
T w = T - ~ ~ / Cp2 P~-Plw
W. Splettst6f~er: Untersuchung der laminaren Zweistoffgrenzsehichtstr6mung 85
iterativ errechnet werden. Die Ubereinstimmung mit den
exakten Temperaturwerten ist nit < 1 Prozent der abso-
luten Oberfl~ichentemperatur befriedigend.
5. Schlui3betrachtun ~
Die t heo re t i s chen und e x p e r i m e n t e l l e n Untersuchungen
der l a m i n a r e n Zwe i s to f fg renzsch i ch t s t r6mung l~ngs e i -
nes ebenen, verduns tenden F l i i s s i g k e i t s f i l m s , de r auf
e ine r w~rmeundurchl~iss igen P la t t e ruht , haben geze ig t ,
dab wie bei de r P l a t t en s t r6mung ohne Verdunstung iihn-
l iche Ld;sungen der Grenzsch ich tg le ichungen vorhanden
sind. Darf iber hinaus e rgab sieh ein 1/V-x--Gesetz fiJr
die Ver te i lung der 6 r t l i chen Verduns tungsgeschwind ig-
keit sowie eine konstante Ver te i lung yon Tempera tu r und
Konzentra t ion an de r F i l m o b e r f l ~ c h e . Diese E r g e b n i s s e
sind nieht auf die Stoffpaarung Benzol-Luft beschr~nkt ,
sondern gel ten ffir jeden l~ngsanges t rSmten F l t i s s i g k e i t s -
f i lm, de r auf e ine r wiirmeundurchl~issigen P la t t e ruht .
Wird d e n verduns tenden F l t i s s igke i t s f i lm jedoch W~r-
me auch yon der Wandseite he r zugefi lhrt , was in de r
Technik h~ufig der Fal l se in wird, so werden im a l l g e -
meinen keine ilhnliehen Ldisungen der G r e n z s c h i c h t g l e i -
chungen m e h r auf t re ten . Man wird dann, wie in d i e s e r
Arbei t benutzt , ein ohne Ahnlichkeitsans~itze a rbe i t endes
Ver fahren zur L6sung des pa r t i e l l en D i f f e r en t i a lg l e i -
chungssys t ems ve rwenden mi i s sen .
Die iiblichen G r e n z s o h i c h t p a r a m e t e r einschlie/~lich
der Kennzahlen ftir den W~irme- und StoffiJbergang so -
wie ihre Bee inf lussung durch den Stof fs t rom wurden be-
rechnet und n i t Mel3ergebnissen ve rg l i chen , wobei eine
gute Ubere ins t immung fe s tges t e l l t wurde . Ein zu r e a l i -
s i e r e n d e s V e r d a m p f e r e l e m e n t de r dem P r o b l e m k r e i s
zugrunde l iegenden Filmverdampfungsbrennkammer s o i l -
te zur E r z i e l u n g hoher 6 r t l i c h e r Verdampfungs ra ten in
Str6mungsrichtung m6gl iehs t kurz se in umd n i t hoher
Tempera tu r und groBer Geschwindigkei t anges t r6mt w e r -
den.
Dureh die Bereehnung der Geschwind igke i t s - , Tem-
peratur- und Konzen t r a t i ons fe lde r sind die phys ika l i -
sehen Gegebenhei ten in u n m i t t e i b a r e r N~[he des ve rdun -
s tenden F l i i s s i gke i t s f i tms bekannt. Zur Ver t iefung de r
Kenntnisse fiber die Vorg~inge in e i n e r F i l m v e r d a m p -
f u n g s b r e n n k a m m e r so l l ten die Arbe i t en un te r E i n b e -
ziehung r eak t i onsk ine t i s che r Bet raehtungen fortgeffihrt
werden.
Literatur
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