Generador Nmeros aleat.

Nmeros aleatorios

Uniformidad

Aleatoriedad

Nmeros aleatorios

OK

1

2

Dcima hiptes

is

Datos histricos

2

Nmeros aleatorios

OK

Histograma Forma f. d. p.

Generador de procesos aleatorios

Variables aleatorias

3

Variable aleatoria (v.a.).- es una variable que tiene algn tipo de distribucin, es decir tienen un comportamiento probabilstico.

1. La suma de todas las probabilidades asociadas a todos los valores posibles de la v.a. Es 1

2. P(x) >=0 3. El valor esperado de la distribucin de la v.a. Es la media

aritmtica, que estima a la verdadera media de la poblacin. 4. Si la distribucin de probabilidad de una v.a. Esta definida por

mas de un parmetro , stos se pueden obtener por un estimador no sesgado, as:

Ejemplos: en un hospital, la afluencia de pacientes en mayor en las maanas que en las tardes, los fines de semana asisten mas pacientes a emergencia que a otras especialidades, cuando hay epidemias, el hospital se llena

Tipos de v.a. v.a. discretas.- asociadas a distribuciones de probabilidad, deben cumplir con:

Uniforme discreta, binomial, Bernoulli, hipergeomtrica, Poisson, etc.

Tipos de v.a. v.a. continuas.- asociadas a funciones de densidad de probabilidad, deben cumplir con:

Uniforme continua, normal, exponencial, chi-cuadrada, weibull, Erlang, etc.

Determinar el tipo de distribucin de una coleccin de datos

Prueba Chi-cuadrado

1. Tener una coleccin de al menos 30 datos 2. Calcular la media y la varianza 3. Crear un histograma, obtener la frecuencia observada Oi 4. Plantear la hiptesis nula segn se parezca al histograma 5. Calcular la frecuencia esperada Ei segn la funcin de probabilidad propuesta 6. Calcular el estadstico de prueba:

7. Definir el nivel de significancia alpha y hallar el valor critico

8. Comparar el estadstico de prueba con el valor critico de la tabla, si el estadstico es menor que el valor critico no se puede rechazar la hiptesis nula

Ejemplo: determine la distribucin de probabilidad con un nivel de significancia de 5%, considere 11 intervalos

16 14 7 13 16 16 13 14 17 15

12 13 15 10 15 16 14 12 18 14

18 13 20 8 17 19 18 12 17 9

11 20 10 18 15 13 16 24 18 16

17 12 14 20 15 10 13 21 23 15

0 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 oo

16 14 7 13 16 16 13 14 17 15

12 13 15 10 15 16 14 12 18 14

18 13 20 8 17 19 18 12 17 9

11 20 10 18 15 13 16 24 18 16

17 12 14 20 15 10 13 21 23 15

N = 50

n = 11

Media = 15,04

varianza = 13,141224

49

Ho: Poisson (Lambda = 15)

H1: otra distribucin

i Xi Xi+1 Oi Oai p(x) Ei = 50*p(x) c

1 0 7 1 1 2,93908E-07 0,010151152 0,0102 0,5076 0,4777

2 8 9 2 3 0,019084165 0,03189176 0,0510 2,5488 0,1182

3 10 11 4 7 0,047965207 0,065581519 0,1135 5,6773 0,4956

4 12 13 10 17 0,082195504 0,095093875 0,1773 8,8645 0,1455

5 14 15 11 28 0,102157992 0,102430413 0,2046 10,2294 0,0580

6 16 17 10 38 0,096284588 0,085183542 0,1815 9,0734 0,0946

7 18 19 6 44 0,071175582 0,056341092 0,1275 6,3758 0,0222

8 20 21 4 48 0,042368501 0,030343917 0,0727 3,6356 0,0365

9 22 23 1 49 0,020744205 0,013564906 0,0343 1,7155 0,2984

10 24 25 1 50 0,008500675 0,005114006 0,0136 0,6807 0,1497

11 26 100 0 50 0,002958256 1,67106E-47 0,0030 0,1479 0,1479

50 0,9891 49,4566 2,0443 1 50

no se puede rechazar la hiptesis de que los datos tiene una distribucin poisson con lambda = 15

Determinar el tipo de distribucin de una coleccin de datos

Prueba Kolmogorov-Smirnov

1. Tener una coleccin de al menos 30 datos 2. Calcular la media y la varianza 3. Crear un histograma. Plantear la hiptesis nula segn se parezca el histograma 4. obtener la frecuencia observada Oi, y la probabilidad observada en c/intervalo

POi = Oi/n, acumular las probabilidades observadas POai 5. Calcular la probabilidad esperada Ei segn la funcin de probabilidad propuesta,

calcular la probabilidad esperada acumulada PEai 6. Calcular el estadstico de prueba:

1. Definir el nivel de significancia alpha y hallar el valor critico

2. Comparar el estadstico de prueba con el valor critico de la tabla, si el estadstico es menor que el valor critico no se puede rechazar la hiptesis nula

Ejemplo: determine la distribucin de probabilidad con un nivel de significancia de 5%, parmetro de forma de 1,38 y parmetro de escala de

5,19 considere 8 intervalos

4,33 1,61 2,16 2,88 0,7 0,44 1,59 2,15 8,59 7,36

9,97 7,85 5,49 0,98 4,52 2,12 4,44 0,82 6,96 3,04

2,81 14,39 3,44 9,92 4,38 8,04 2,18 6,19 4,48 9,66

4,34 1,76 2,3 5,24 11,65 10,92 12,16 6,6 0,85 4,82

1,36 3,53 6,58 1,45 8,42 3,69 2,44 0,28 1,9 2,89

0 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 14 oo

no se puede rechazar la hiptesis de que los datos tiene una distribucin Weibull con alpha = 1,38 y beta = 5,19

N = 50

n = 8

Media = 4,733

4 1,38

varianza =

12,197794

33 5,19

Ho: Weibull (alpha=1,38, Beta=5,19)

H1: otra distribucin

Oi/n

i Xi Xi+1 Oi Oai POi POai PEai /POai -PEai/

1 0 2 12 12 0,24 0,24 0,2353 0,0047

2 2 4 13 25 0,26 0,50 0,5025 0,0025

3 4 6 9 34 0,18 0,68 0,7052 0,0252

4 6 8 6 40 0,12 0,80 0,8375 0,0375

5 8 10 6 46 0,12 0,92 0,9156 0,0044

6 10 12 2 48 0,04 0,96 0,9584 0,0016

7 12 14 1 49 0,02 0,98 0,9804 0,0004

8 14 100 1 50 0,02 1,00 1,0000 0,0000

50 1,00 6,1348 0,0375

mx.

Algunas tablas del test Kolmogorov-Smirnov, traen menos de n=50, Por lo que se debe aplicar la formula que esta al final de la tabla, segn el parmetro alfa, ej-. Si alfa = 0.05 n = 50

19,050

36.136.150,05.0

nD n

ejercicio

En los ejercicios 1, 2 y3, aplique los dos test para determinar la funcin de densidad de probabilidad a la que pertenecen.