Modelos de urnas:

Urna de Plya Presentan: Jannet vila Huerta. Daniel R. Tlaxcala Snchez.

Mayo 06, 2015

LOS MODELOS DE URNAS Descripcin y clasificacin.

El modelo de urnas

Descripcin Un modelo de urnas se construye

a partir de un conjunto de urnas que contengan bolas de diferentes colores.

Dentro de los modelos de urnas tienen una importancia especial los llamados Modelos por Contagio, esto es, modelos donde la ocurrencia de un suceso tiene el efecto de cambiar la probabilidad de las posteriores ocurrencias de ese mismo suceso.

Diseo del modelo Una urna contiene bolas,

blancas y negras; se extrae al azar una bola, se reemplaza y se aaden bolas del mismo color y bolas del color contrario. Se hace una nueva extraccin aleatoria de la urna (que ahora contiene + + + bolas) y se repite el procedimiento sucesivamente.

Se utilizan, de esta manera, cuatro parmetros para describir el modelo: , , . El nmero de bolas que la urna contiene inicialmente se deduce a partir de los dos primero: = + .

El procedimiento que lleva al cese del experimento puede proporcionar un nuevo parmetro, cuando se establece un nmero de repeticiones . En cualquier caso debe entenderse que se trata de una regla ms del modelo, la que establece el final del proceso, y tambin sirve para diferenciar los modelos de urnas entre s.

Modelo Directo Se tiene un nmero mximo

de repeticiones . El experimento puede pararse antes de llegar a esta cantidad si la composicin de la urna va a proporcionar un experimento determinista.

Se obtiene un modelo que viene definido por cinco parmetros: (, , ,,).

Modelo Inverso Consiste en parar el

experimento despus de haber obtenido un nmero, k, de bolas de un determinado color. En este caso, el modelo que se plantea tambin tiene cinco parmetros: , , ,, .

LA URNA DE PLYA Descripcin y funcionamiento.

Definicin

I. La urna de Plya es un modelo que deriva a una distribucin particular del modelo anterior, con la particularidad de que = 0, quedando el modelo: (, , , 0,).

II. El esquema de urna de Polya es definido como sigue: inicialmente, una urna contiene bolas blancas y bolas negras, un total de + bolas. Una bola se extrae al azar de entre todas las bolas en la urna. Esta, junto con bolas ms de su color, es regresada a la urna, as que despus de la primera extraccin, la urna tiene + + bolas. Este proceso es repetido veces.

Generalizacin

I. es el evento que la -va bola extrada en el esquema de urna de Polya es blanca, es el indicador del evento , y, para dada 1, = 1 + + , que es el nmero total de veces que una bola blanca ha sido extrada en los primeros intentos.

II. Dependiendo del factor que otorguemos, las distribuciones generadas variarn, por tanto, es importante determinar si nuestro modelo acepta reemplazos o no.

Casos

En funcin de los valores que reciba el parmetro c, Plya(1954) interpret los siguientes casos particulares: I. Cuando c < 0: Interpreta que cada extraccin va a originar un revs

de la fortuna, en el sentido en que el xito disminuye a su vez la probabilidad de obtener un nuevo xito (del mismo modo el fracaso disminuye tambin la probabilidad de un nuevo fracaso).

II. Cuando c = 0: Entonces los sucesos son independientes. III. Cuando > 0: Interpreta que el xito y el fracaso son contagiosos

en el sentido de que un xito o un fracaso aumenta la probabilidad de xito o de fracaso, respectivamente.

Casos

En funcin de los valores particulares de los parmetros, se obtienen distribuciones notables como casos particulares de la distribucin de Plya. As, cuando:

(1) = 1: Distribucin hipergeomtrica, con parmetros , = , = + (2) c = 0: Distribucin binomial, con parmetros y =

+.

(3) c = 1: Distribucin beta binomial o hipergeomtrica negativa, con parmetros y .

Procedimiento general

Para comenzar, evidentemente 1 = 1 = +

Despus, 2 = 1 = 2 = 1|1 = 1 1 = 1 =

+ + + + Precisamente,

= 3 = 1|1 = 1,2 = 1 1 = 1,2 = 1 = + + + + + 2 + + 2

Generalizando, tendremos que para algn dado, sta es una distribucin de los enteros 0,1, ,, con parmetros y . Para un determinado, la frmula se define como:

= = ( + ) + 1 ( + ) ( + 1 )( + )( + + ) ( + + 1 )

sta es la famosa distribucin de Plya o distribucin de Plya-Eggenberger, con parmetros , y .

Ejemplo De una urna con bolas azules y blancas se extrae una al azar y se la repone

agregando adems bolas de mismo color que la extrada. Luego se repite el procedimiento. Cul es la probabilidad de sacar bolas azules en las dos primeras extracciones? y de que sean azules las tres primeras?

Supongamos para este caso que los parmetros iniciales son = 1, = 1y c = 1.

= 12 = 12

= 23 = 13

= 13 = 23

= 34 = 14

= 24 = 24

= 14 = 34

= 45 = 15 = 35 = 25

= 25 = 35 = 15 = 45

Resultados particulares

Para comenzar, evidentemente 1 = 1 = +

Despus, 2 = 1 = 2 = 1|1 = 1 1 = 1 + 2 = 1|1 = 0 1 = 0 =

+ + + + + + + + = 2 + + ( + )( + + ) = ( + + )( + )( + + ) = +

Notamos que 2 = 1 y 1 = 1 son iguales. Veamos que 3 = 1 . Esto tiene que encontrarse por el condicionamiento de los colores de las bolas elegidas en los primeros dos sorteos.

Precisamente, 3 = 1 =

3 = 1|1 = 1,2 = 1 1 = 1,2 = 1+ 3 = 1|1 = 1,2 = 0 1 = 1,2 = 0+ 3 = 1|1 = 0,2 = 1 1 = 0,2 = 1+ 3 = 1|1 = 0,2 = 0 1 = 0,2 = 0 = + + + + + 2 + + 2 + + + + + + + 2+ + + + + + + 2 + + + + + + + 2 = + + 2 + 2 + + ( + )( + )( + + )( + + 2) = +

Factorizando el numerador en la ltima lnea como ( + + )( + + 2). As, ahora vemos que 3 = 1 , 2 = 1 y 1 = 1 son iguales. De hecho, las siguientes frmulas generales se mantienen, no importando las combinaciones.

Aplicaciones: Modelos fsicos relacionados con los quants. Importantes modelos probabilsticos de contagio. Modelos econmicos y financieros orientados a riesgo y a

estabilidad.

Aplicaciones en la tecnologa de materiales, con nfasis en la influencia de resistencia y/o reacciones en cadena.

LA URNA DE PLYAA PLI CACI N EN ACT UA R A

Aplicaciones de la distribucin de plya o distribucin de polya-eggenberger.

Estadstica actuarial ,

(modelos estocsticos de contagio).

Se trata de un modelo discreto de gran utilidad en la ciencia actuarialdado que tambin es conocida como distribucin de contagio. Su utilidadradica precisamente en que es capaz de medir la aleatoriedad de"contagio.

Es decir, la extensinpropagacin de la informacin sobre cualidades delos productos o servicios.

En la mayora de los casos puede modelizar el comportamiento de la v.a.como nmeros de siniestros.

Tiene las siguientes caractersticas:

El proceso consta de n pruebas , separadas o separables dentrode un conjunto de N pruebas posibles.

Cada una de las pruebas puede dar nicamente dos resultadosmutuamente excluyentes: A y no A.

En la primera prueba las probabilidades son: P(A)= p y P(A)= q;con p+q=l.

Las probabilidades de obtener un resultado A y de obtener un resultadono A varan en las sucesivas pruebas, dependiendo de los resultadosanteriores.De manera que aumentan las probabilidades del suceso que haya ocurridoen la prueba anterior , dado que si el resultado es A se aumenta laprobabilidad de A para la siguiente prueba en un factor que denominamosde contagio (que se denota como c) .En el caso de que el resultado fuera no A se procedera de la misma manera(aumentando las probabilidades de no A)

LA URNA DE PLYAA PLI CACI N Y PLA N T EA MI EN TO

Si estas circunstancias las aleatorizamos de forma que lavariable aleatoria X sea el nmero de resultados Aobtenidos en n pruebas la distribucin de X ser una Plyade parmetros N,n,p,c:

Aplicacin

PLANTEAMIENTO

En una urna existen N elementos N1 de carcter A y N2 de carcter no A

Evidentemente N= N1+N2

El experimento (prueba) consiste en la visualizacin del carcter de un elemento extrado

En la primera ocasin la

Si el resultado es A se introducen en la urna C elementos de carcterA

Si el resultado es no A se introducen en la urna C elementos de carcter no A

Planteemos un proceso como ejemplo::

Las probabilidades habrn variado .AsLa probabilidad de obtener x resultados A en x pruebas sera:

Dado que se realizan n pruebas , debemos considerar tambin las n-x restantes ycuyo resultado sera "no A" . As

evidentemente realizaremos todas las n pruebas, luego tendramos:

ESTA ES LA DISTRIBUCIN DE PLYA O DISTRIBUCIN DE POLYA- EGGENBERGER.

Dado que no tendran porqu darse los resultados en ese determinado orden. La

funcin de cuanta quedara:

La esperanza matemtica de esta distribucin quedar como:

Siendo la varianza.

al cociente c/N se le conoce como fraccin inicial de contagio. Proporcin de

individuos que se reponen o alcanzan el valor del resultado de la prueba anterior

Puede comprobarse que si C ( nmero de individuos que se introducen en la urna con la caracterstica

del resultado anterior) es (-1).Estaramos "no reponiendo" la extraccin , estaramos , por tanto, ante

una distribucin hipergeomtrica.

Lo que podemos comprobar con su varianza.

As la varianza de la hipergeomtrica es:

mientras que varianza de la Plya hemos visto que era

si hacemos c = -1 tendremos

que es la varianza de la hipergeomtrica

CONCLUSIN

Donde p representa la probabilidad inicial de siniestro , q = 1-p, c es la probabilidadde contagio.

Es decir el efecto de contagio , modelizado en esta distribucin produce una mediaindependiente de dicho efecto, e igual a la media en una distribucin binomial, en laque el contagio es nulo. Sin embargo la varianza aumenta en medida que aumenta laprobabilidad de contagio.

Este tipo de distribuciones se emplea en los estudios estadsticos mdicos, sobreposibles contagios de enfermedades.

Nosotros los actuarios, la utilizaremos para modelizar propagacin de siniestros encontratos de seguros , de incendios, por ejemplo.

CONCLUSIN: Los modelos de urna de Plya, son un mtodo flexible y potente para el

anlisis de una variedad de problemas de probabilidad. Slo hemos presentado una breve introduccin a algunos de los resultados y tcnicas en este amplio campo. Hay muchas extensiones interesantes a los problemas que hemos cubierto en esta exposicin, como los esquemas de urna con entradas aleatorias, modelos en los que mltiples bolas son extradas en cada paso, las aplicaciones a las biociencias, y muchos otros casos.

Trabajos Citados: Almorza Gomar, D., Castao Martnez, A., & Garca Ramos, J. A.

(2008). La familia de distribuciones de Plya. En Familia de distribuciones probabilsticas (I) (pgs. 19-41). Cdiz: Universidad de Cdiz: Departamento de Estadstica e Investigacin Operativa.

DasGupta, A. (2010). Plya's Urn. En Fundamentals of Probability: A First Course (pgs. 388-391). New York: Springer.

Page, S. E. (Direccin). (2012). Mathematics on Urn Models [Pelcula].

Gracias por su atencin.

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