LOGIKA• Logika je veština i metoda pravilnog mišljenja.• Logika je nauka o zaključivanju i kao takva koristi se u najrazličitijim oblastima nauke, apogotovo u matematici.• Osnova je celokupnog matematičkog rezonovanja.• Nastala je u 4 veku p.n.e.

• Osnivač logike je grčki filozof Aristotel (384-322 p.n.e.). Rođen u Stagiri, grčkoj kolonijina makedonskom poluostrvu.• Od 18. do 37. godine pohađa Akademiju kao Platonov učenik.• Na poziv kralja Filipa Makedonskog postaje tutor Aleksandra Velikog, koji je tada imao13 godina .• Prvi je podrobno obradio zakone logike i pravila zaključivanja u delu Organon, što uprevodu znači oruđe. U ovom delu sačinio je prvi skup pravila deduktivnog zaključivanja.

• Logika je veština i metoda pravilnog mišljenja.• Logika je nauka o zaključivanju i kao takva koristi se u najrazličitijim oblastima nauke, apogotovo u matematici.• Osnova je celokupnog matematičkog rezonovanja.• Nastala je u 4 veku p.n.e.

• Osnivač logike je grčki filozof Aristotel (384-322 p.n.e.). Rođen u Stagiri, grčkoj kolonijina makedonskom poluostrvu.• Od 18. do 37. godine pohađa Akademiju kao Platonov učenik.• Na poziv kralja Filipa Makedonskog postaje tutor Aleksandra Velikog, koji je tada imao13 godina .• Prvi je podrobno obradio zakone logike i pravila zaključivanja u delu Organon, što uprevodu znači oruđe. U ovom delu sačinio je prvi skup pravila deduktivnog zaključivanja.

MATEMATIČKA LOGIKA• Matematička logika se razvija veoma intenzivno od sredine 19 veka.• To je matematička disciplina koja je uvela strogost u definisanje pojmova.• Obezbeđuje teorijske osnove mnogih matematičkih disciplina, a pre svega računarskihnauka.• Omogućila je nastanak i razvoj digitalnih elektronskih računara.ISKAZNA LOGIKA• Polazni pojam u matematičkoj logici je iskaz.• To afirmativna rečenica koja ima smisla i koja je ili tačna ili netačna• Iskaz ili sud je rečenica koja ima istinitosnu vrednost.• Iskazi se obeležavaju malim slovima p,q,r,…..i nazivaju se iskazna slova• Istinitosna vrednost iskaza je

• Matematička logika se razvija veoma intenzivno od sredine 19 veka.• To je matematička disciplina koja je uvela strogost u definisanje pojmova.• Obezbeđuje teorijske osnove mnogih matematičkih disciplina, a pre svega računarskihnauka.• Omogućila je nastanak i razvoj digitalnih elektronskih računara.ISKAZNA LOGIKA• Polazni pojam u matematičkoj logici je iskaz.• To afirmativna rečenica koja ima smisla i koja je ili tačna ili netačna• Iskaz ili sud je rečenica koja ima istinitosnu vrednost.• Iskazi se obeležavaju malim slovima p,q,r,…..i nazivaju se iskazna slova• Istinitosna vrednost iskaza je

,

,

T p je tačan iskazp

p je netačan iskaz

PrimeriPrimer 1: Rečenica p: 2-1=1 je iskaz i ima tačnu istinitosnu vrednost, tj.Primer 2 : Rečenica p: 2-1=-1 je iskaz i ima netačnu istinitosnu vrednost, tj.Primer 3: Rečenica nije iskaz jer nema definisanu istinitosnu vrednost.Za neke vrednosti promenljive x , tj za formula je tačna, a zasve ostale je netačna.

p T

p

Primer 1: Rečenica p: 2-1=1 je iskaz i ima tačnu istinitosnu vrednost, tj.Primer 2 : Rečenica p: 2-1=-1 je iskaz i ima netačnu istinitosnu vrednost, tj.Primer 3: Rečenica nije iskaz jer nema definisanu istinitosnu vrednost.Za neke vrednosti promenljive x , tj za formula je tačna, a zasve ostale je netačna.

p

2 1x 1x

OSNOVNE LOGIČKE OPERACIJE• U svakodnevnom jeziku, rečenice se kombinuju u složene rečenice, korišenjem veznikai, ili, ne, ako onda i mnogih drugih.• Istinitosna vrednost složene rečenice uslovljena je istinitošću njenih delova.• Ove reči su u vezi sa logičkim operacijama.• Primer:p: Danas pada kišaq: Danas je novembar.Složena rečenica glasiDanas pada kiša i danas je novembar• Sastoji se od 2 dela spojenih veznikom i. Ova rečenica se može napisati kao p i q.

• U svakodnevnom jeziku, rečenice se kombinuju u složene rečenice, korišenjem veznikai, ili, ne, ako onda i mnogih drugih.• Istinitosna vrednost složene rečenice uslovljena je istinitošću njenih delova.• Ove reči su u vezi sa logičkim operacijama.• Primer:p: Danas pada kišaq: Danas je novembar.Složena rečenica glasiDanas pada kiša i danas je novembar• Sastoji se od 2 dela spojenih veznikom i. Ova rečenica se može napisati kao p i q.

• Razlikujemo unarne (jedna promenljiva) i binarne (dve promenljive) logičke operacije.Osnovne logičke operacije su:• konjukcija (i), u oznaci To je rečenica oblika p i q.• disjunkcija (ili), u oznaci To je rečenica oblika p ili q.• implikacija (ako - onda), To je rečenica oblika ako p onda q.• ekvivalencija (ako i smo ako) To je rečenica oblika ako p onda q, i ako q onda p.Čita se i u obliku p ako i samo ako q i piše p akko q.• negacija (ne) To je rečenica oblika nije p.

• Razlikujemo unarne (jedna promenljiva) i binarne (dve promenljive) logičke operacije.Osnovne logičke operacije su:• konjukcija (i), u oznaci To je rečenica oblika p i q.• disjunkcija (ili), u oznaci To je rečenica oblika p ili q.• implikacija (ako - onda), To je rečenica oblika ako p onda q.• ekvivalencija (ako i smo ako) To je rečenica oblika ako p onda q, i ako q onda p.Čita se i u obliku p ako i samo ako q i piše p akko q.• negacija (ne) To je rečenica oblika nije p.

.Istinitosna vrednost logičkih operacija data je sledećom tablicom. p q p q p q p q p q p

T

T

T

T

T

T T

T

T

T

T

T

T

T

T

• Istinitosna vrednost u tablici je u saglasnosti sa svakodnevnom logikom.• Jedino kod implikacije naizgled nelogičnost vidimo u slučaju kada je• Znači, impikacija je tačna bez obzira na vrednost iskaznog slova q.• Primer 1 :Ako je Srbija najveća na svetu, veća je od Crne Gore.Složena rečenica je tačna, jer ako je Srbija najveća na svetu, veća je od Crne Gore koja jemanja od nje.• Primer 2 :Ako je Srbija najveća na svetu, veća je od SAD.Složena rečenica je tačna, jer ako je Srbija najveća na svetu, veća je od svake drugedržave.

p • Istinitosna vrednost u tablici je u saglasnosti sa svakodnevnom logikom.• Jedino kod implikacije naizgled nelogičnost vidimo u slučaju kada je• Znači, impikacija je tačna bez obzira na vrednost iskaznog slova q.• Primer 1 :Ako je Srbija najveća na svetu, veća je od Crne Gore.Složena rečenica je tačna, jer ako je Srbija najveća na svetu, veća je od Crne Gore koja jemanja od nje.• Primer 2 :Ako je Srbija najveća na svetu, veća je od SAD.Složena rečenica je tačna, jer ako je Srbija najveća na svetu, veća je od svake drugedržave.

T T

T

• Implikaciji među logičkim operacijama pripada istaknuto mesto.• Najveći broj matematičkih tvrđenja su u vezi sa implikacijom i zato se razvio čitav nizjezičkih izračavanja implikacije.Implikacija može da se čitata na sledeće načine:• Ako p, onda q,• q , samo ako p ,• p je pretpostavka posledice q,• p povlači q,• iz p sledi q ,• p je dovoljan uslov za q .• q je potreban uslov za p,• q ako p,Primer:Ako je broj deljiv sa 6, deljiv je i sa 2.Pročitati na razne načine.

• Implikaciji među logičkim operacijama pripada istaknuto mesto.• Najveći broj matematičkih tvrđenja su u vezi sa implikacijom i zato se razvio čitav nizjezičkih izračavanja implikacije.Implikacija može da se čitata na sledeće načine:• Ako p, onda q,• q , samo ako p ,• p je pretpostavka posledice q,• p povlači q,• iz p sledi q ,• p je dovoljan uslov za q .• q je potreban uslov za p,• q ako p,Primer:Ako je broj deljiv sa 6, deljiv je i sa 2.Pročitati na razne načine.

Za implikaciju , vezane su 3 dodatne vrste iskaza:

• konverzija

• inverzija

• kontrapozicijaPrimer:

• Ako je ona glumica, onda je ona popularna. -implikacija

• Ako je ona popularna, onda je ona glumica. - konverzija

• Ako je ona nije glumica, onda je ona nije popularna. - inverzija

• Ako je ona nije popularna, onda je ona nije glumica. - kontrapozicija

p q

q p

p q

q p

Za implikaciju , vezane su 3 dodatne vrste iskaza:

• konverzija

• inverzija

• kontrapozicijaPrimer:

• Ako je ona glumica, onda je ona popularna. -implikacija

• Ako je ona popularna, onda je ona glumica. - konverzija

• Ako je ona nije glumica, onda je ona nije popularna. - inverzija

• Ako je ona nije popularna, onda je ona nije glumica. - kontrapozicija

q p

• Ekvivalencija je dvostruka implikacija, odnosnoEkvivalencija se čita na sledeće načine:• Ako p, onda q i obrnuto,• p ako i samo ako q,• p je potrebno i dovoljno da je q ,• p je potreban i dovoljan uslov za q.Reči ako i samo ako pišemo često u sledećem obliku akko.• Primer:Ako je neki ceo broj jednak 2, onda je njegov kvadarat jednak 4.• Primer:Trougao je pravougli, ako i samo ako, je zbir kvadrata nad katetama jednak kvadratu nadhipotenuzom.• Primer:Broj je deljiv sa 6, akko je deljiv sa 2 i sa 3.

p q p q q p

• Ekvivalencija je dvostruka implikacija, odnosnoEkvivalencija se čita na sledeće načine:• Ako p, onda q i obrnuto,• p ako i samo ako q,• p je potrebno i dovoljno da je q ,• p je potreban i dovoljan uslov za q.Reči ako i samo ako pišemo često u sledećem obliku akko.• Primer:Ako je neki ceo broj jednak 2, onda je njegov kvadarat jednak 4.• Primer:Trougao je pravougli, ako i samo ako, je zbir kvadrata nad katetama jednak kvadratu nadhipotenuzom.• Primer:Broj je deljiv sa 6, akko je deljiv sa 2 i sa 3.

ISKAZNE FORMULE• Kombinovanjem iskaznih slova i znakova za logičke operacije dobijamo složene formule.• Definicija:• Iskazna slova čine iskaznu formulu.• Iskaznu formulu čine i iskazna slova p,q ,r i znaci za osnovne logičke operacije.• Primer:Formule su:

Istinitosnu vrednost iskazne formule moguće je odrediti istinitosnom tablicom.

• Kombinovanjem iskaznih slova i znakova za logičke operacije dobijamo složene formule.• Definicija:• Iskazna slova čine iskaznu formulu.• Iskaznu formulu čine i iskazna slova p,q ,r i znaci za osnovne logičke operacije.• Primer:Formule su:

Istinitosnu vrednost iskazne formule moguće je odrediti istinitosnom tablicom. , , , .......p q p p q p r p q p q

• Primer:Odrediti istinitosnu tabicu formule p q p

p q p q p q p

T T T T

T T T T

T

T T

T

• Prilikom pisanja iskaznih formula, ako se izostave zagrade, važno je znati prioritetlogičkih operacija, koji možemo videti iz sledeće tablice.

logički operator prioritet

1

,

,

2

3

• Prevod sadržaja iz običnog jezika u zapis matematičke logike je jedan od najvažnijihproblema hardverskih i softverskih poslova.• Problem se svodi da se sadržaj običnog jezika svede na tačan i nedvosmislen logičkizapis koji može da bude predmet daljeg proučavanja.Primer:• Automatski, odgovor ne može biti poslat ako je unutrašnja memorija puna .• Neka je rečenica p : Odgovor se automatski šalje.• Neka je rečenica q : Unutrašnja memorija je puna.• Onda p je rečenica : Odgovor se ne šalje automatski.• Logički zapis bi bio :

• Prevod sadržaja iz običnog jezika u zapis matematičke logike je jedan od najvažnijihproblema hardverskih i softverskih poslova.• Problem se svodi da se sadržaj običnog jezika svede na tačan i nedvosmislen logičkizapis koji može da bude predmet daljeg proučavanja.Primer:• Automatski, odgovor ne može biti poslat ako je unutrašnja memorija puna .• Neka je rečenica p : Odgovor se automatski šalje.• Neka je rečenica q : Unutrašnja memorija je puna.• Onda p je rečenica : Odgovor se ne šalje automatski.• Logički zapis bi bio :

q p

• Iskazna formula koja je uvek tačna naziva se tautologija.• Iskazna formula koja je uvek netačna naziva se kontrapozicija.• Tautologije u običnom jeziku predstavljaju zakone mišljenja.

Osnovni logički zakoni su :• Zakon idempotencije• Dvostruka negacijaKomutativnost• Asocijativnost• Distributivnost• De Morganovi zakoni

p p p

p p p

p p

p q q p

p q q p

Osnovni logički zakoni su :• Zakon idempotencije• Dvostruka negacijaKomutativnost• Asocijativnost• Distributivnost• De Morganovi zakoni

p q q p

p q q p

p q r p q r

p q r p q r

p q p r p q r

p q p r p q r

p q p q

p q p q

PITANJA ZA PONAVLJANJE• Šta je iskaz?• Šta je iskazna formula?• Šta su unarne, a šta binarne logičke operacije?• Kakva može da bude istinitosna vrednost iskazne formule?• Navesti osnovne logičke operacije.• Pročitati proizvoljnu implikaciju na više načina.• Pročitati proizvoljnu ekvivalenciju na više načina.• Šta je konverzija?• Šta je inverzija?• Šta je kontrapozicija?• Šta je tautologija?• Šta je kontradikcija?• Kakav je prioritet logičkih operacija?• Navesti osnovne logičke zakone.

• Šta je iskaz?• Šta je iskazna formula?• Šta su unarne, a šta binarne logičke operacije?• Kakva može da bude istinitosna vrednost iskazne formule?• Navesti osnovne logičke operacije.• Pročitati proizvoljnu implikaciju na više načina.• Pročitati proizvoljnu ekvivalenciju na više načina.• Šta je konverzija?• Šta je inverzija?• Šta je kontrapozicija?• Šta je tautologija?• Šta je kontradikcija?• Kakav je prioritet logičkih operacija?• Navesti osnovne logičke zakone.

OSNOVNI POJMOVI TEORIJE SKUPOVA

• Svakodnevno, u različitim prilikama radimo sa skupovima.• Korpa jabuka, stado ovaca, skup kontinenata, populacija bakterija, skup tačaka na

kružnici, skup prirodnih brojeva, sve su to primeri skupova.• Skoro svaka delatnost čoveka odnosi se na neke skupove.

• U drugoj polovini 19. veka matematičari su počeli da se interesuju za apstraktneosobine skupova.

• Tako je nastala nova matematička disciplina, apstraktna teorija beskonačnihskupova, koja je postala odlučujući korak u sintetizovanju matematičkih

• Njen tvorac je nemački matematičar

Džorž Kantor (Georg Kantor 1845.-1918.).

• Svakodnevno, u različitim prilikama radimo sa skupovima.• Korpa jabuka, stado ovaca, skup kontinenata, populacija bakterija, skup tačaka na

kružnici, skup prirodnih brojeva, sve su to primeri skupova.• Skoro svaka delatnost čoveka odnosi se na neke skupove.

• U drugoj polovini 19. veka matematičari su počeli da se interesuju za apstraktneosobine skupova.

• Tako je nastala nova matematička disciplina, apstraktna teorija beskonačnihskupova, koja je postala odlučujući korak u sintetizovanju matematičkih

• Njen tvorac je nemački matematičar

Džorž Kantor (Georg Kantor 1845.-1918.).

• Skup je osnovni pojam koji se ne definiše. Čine ga elementi koji imaju bar jednuzajedničku osobinu.

• Objekti skupa nazivaju se njegovim elementima.• Skupovi se obeležavaju najčešće velikim slovima A,B,C,…a njegovi elementi malim

slovima a,b ,c , ...• Neki element a može pripadati datom skupu A, što se označava sa , ili ne

pripadati istom skupu, što se označava sa .• Skup koji nema elemenata naziva se prazan skup i obeležava sa .• Za grafičko predstavljanje skupova koriste se Venovi dijagrami.

a Aa A

• Skup je osnovni pojam koji se ne definiše. Čine ga elementi koji imaju bar jednuzajedničku osobinu.

• Objekti skupa nazivaju se njegovim elementima.• Skupovi se obeležavaju najčešće velikim slovima A,B,C,…a njegovi elementi malim

slovima a,b ,c , ...• Neki element a može pripadati datom skupu A, što se označava sa , ili ne

pripadati istom skupu, što se označava sa .• Skup koji nema elemenata naziva se prazan skup i obeležava sa .• Za grafičko predstavljanje skupova koriste se Venovi dijagrami.

a A

A

a

• Kažemo da je A podskup skupa B i pišemo , ako svaki element skupa A

pripada istovremeno i skupu B.

• Dva skupa A i B su jednaka, ako svaki element skupa A pripada i skupu B i ako svakielement skupa B istovremeno pripada i skupu A.

• Partitivni skup P(A) datog skupa A, je skup svih podskupova datog skupa, tj.

Primer:

A B

B A

A B x x A x B

• Kažemo da je A podskup skupa B i pišemo , ako svaki element skupa A

pripada istovremeno i skupu B.

• Dva skupa A i B su jednaka, ako svaki element skupa A pripada i skupu B i ako svakielement skupa B istovremeno pripada i skupu A.

• Partitivni skup P(A) datog skupa A, je skup svih podskupova datog skupa, tj.

Primer:

A B x x A x B

P A X X A

A B

B A

, , , P A , , , , , , , , , , , ,A a b c a b c a b b c a c a b c

OPERACIJE SA SKUPOVIMA

• Unija dva skupa A i B je skup

Primer:

• U opštem slučaju, kada imamo konačno mnogo skupova , njihova unija je:

A B x x A x B

A B

BA

• Unija dva skupa A i B je skup

Primer:

• U opštem slučaju, kada imamo konačno mnogo skupova , njihova unija je:

1,2 , 2,3,6,7 , 1,2,3,6,7A B A B

1 21

n

i ni

A A A A

• Presek skupova A i B je skup

Primer:

• Ako je presek dva skupa A i B prazan, tada kažemo da su oni disjunktni .

• Ako je dato konačno mnogo skupova njihov presek je:

A B x x A x B

A BA B

• Presek skupova A i B je skup

Primer:

• Ako je presek dva skupa A i B prazan, tada kažemo da su oni disjunktni .

• Ako je dato konačno mnogo skupova njihov presek je:

1,2 , 2,3,6,7 , 2A B A B

1 21

n

i ni

A A A A

• Razlika skupova A i B je skup

• Primer:

• Simetrična razlika skupova A i B je

• Komplement skupa A u odnosu na skup B (ili dopuna skupa A do skupa B ) gde je,

je skup

\A B x x A x B

\A B

A

B

1,2 , 2,3,6,7 , \ 1 , \ 3,6,7A B A B B A

• Razlika skupova A i B je skup

• Primer:

• Simetrična razlika skupova A i B je

• Komplement skupa A u odnosu na skup B (ili dopuna skupa A do skupa B ) gde je,

je skup

1,2 , 2,3,6,7 , \ 1 , \ 3,6,7A B A B B A

( \ ) ( \ )A B A B B A

A B

\BC A B A

• Par elemenata (a,b) nazivamo uređenim parom (ili uređenom dvojkom) ako je tačnoodređeno koji je element na prvom, a koji na drugom mestu.

• Uređeni parovi (a,b) i (c,d) su jednaki ako i samo ako je a=c i b=d .• Dekartovim proizvodom skupova A i B naziva se skup

Primer:Dati su skupovi

• Očigledno je , što znači da za Dekartov proizvod skupova ne važizakon komutacije.

• Dekartov proizvod se označava sa . Dekartov proizvodpredstavlja realnu ravan.

( , )A B a b a A b B

• Par elemenata (a,b) nazivamo uređenim parom (ili uređenom dvojkom) ako je tačnoodređeno koji je element na prvom, a koji na drugom mestu.

• Uređeni parovi (a,b) i (c,d) su jednaki ako i samo ako je a=c i b=d .• Dekartovim proizvodom skupova A i B naziva se skup

Primer:Dati su skupovi

• Očigledno je , što znači da za Dekartov proizvod skupova ne važizakon komutacije.

• Dekartov proizvod se označava sa . Dekartov proizvodpredstavlja realnu ravan.

1,2,3 ,A i B x y

(1, ), (2, ), (3, ), (1, ), (2, ), (3, ) ,

( ,1), ( ,2), ( ,3), ( ,1), ( ,2), ( ,3)

A B x x x y y y

B A x x x y y y

A B B A

A A 2A 2R R R

• Dekart Rene (Descartes René, 1596.-1650.) Bio je matematičar, filozof i naučnik čije je deloGeometrija (La geometrie) postavilo osnove današnjoj analitičkoj geometrij.

• Dekart je bio prvi koji je upotrebio poslednja slova alfabeta da označi nepoznate veličine. Označenju tog otkrića Engels je rekao: "Dekartova promenljiva veličina bila je prekretnica umatematici. Zahvaljujući tome ušli su u matematiku kretanje i dijalektika, a isto se tako odmahnužno došlo do diferencijalnog i integralnog računa, koji se odmah i javlja, te su ga Njutn i Lajbnicuglavnom dovršili, a nisu ga otkrili."

• Začetnik je novog filozofskog pravca Racionalizma. Metodskim skeptičkim raščišćavanjem sveganejasnog i nesigurnog i izdvajanjem i odbacivanjem nepouzdanog, Dekart dolazi do osnovneistine, koja je po njegovom mišljenju potpuno pouzdana, i iz koje će nastojati da izvede čitav svojfilozofski sistem. Ta istina je sadržana u njegovoj poznatoj rečenici "Mislim, dakle postojim"(Cogito, ergo sum).

• 1649. godine Dekarta je u Stokholm pozvala švedska kraljica Kristina da bi je podučavao.Dvadesettrogodišnja kraljica je želela da crta tangente u pet sati ujutru, tako da je Dekart razbiosvoju životnu naviku ustajanja u jedanaest sati. Želeći da svojim savetima utiče na ćudljivuvladarku tada moćne zemlje kako bi time učinio nesto za mir u svetu, Dekart je podnosio suroveuslove u zemlji stena i glečera i svako jutro hodao do palate. Ne naviknut na hladnoću švedskihzima umro je 1650. godine od zapaljenja pluća.

• Dekart Rene (Descartes René, 1596.-1650.) Bio je matematičar, filozof i naučnik čije je deloGeometrija (La geometrie) postavilo osnove današnjoj analitičkoj geometrij.

• Dekart je bio prvi koji je upotrebio poslednja slova alfabeta da označi nepoznate veličine. Označenju tog otkrića Engels je rekao: "Dekartova promenljiva veličina bila je prekretnica umatematici. Zahvaljujući tome ušli su u matematiku kretanje i dijalektika, a isto se tako odmahnužno došlo do diferencijalnog i integralnog računa, koji se odmah i javlja, te su ga Njutn i Lajbnicuglavnom dovršili, a nisu ga otkrili."

• Začetnik je novog filozofskog pravca Racionalizma. Metodskim skeptičkim raščišćavanjem sveganejasnog i nesigurnog i izdvajanjem i odbacivanjem nepouzdanog, Dekart dolazi do osnovneistine, koja je po njegovom mišljenju potpuno pouzdana, i iz koje će nastojati da izvede čitav svojfilozofski sistem. Ta istina je sadržana u njegovoj poznatoj rečenici "Mislim, dakle postojim"(Cogito, ergo sum).

• 1649. godine Dekarta je u Stokholm pozvala švedska kraljica Kristina da bi je podučavao.Dvadesettrogodišnja kraljica je želela da crta tangente u pet sati ujutru, tako da je Dekart razbiosvoju životnu naviku ustajanja u jedanaest sati. Želeći da svojim savetima utiče na ćudljivuvladarku tada moćne zemlje kako bi time učinio nesto za mir u svetu, Dekart je podnosio suroveuslove u zemlji stena i glečera i svako jutro hodao do palate. Ne naviknut na hladnoću švedskihzima umro je 1650. godine od zapaljenja pluća.

BROJ ELEMENATA SKUPA-KARDINALNI BROJ

• Određivanje broja elemenata konačnih skupova svodi se na njihovo prebrojavanje .• Međutim, kada se radi o beskonačnim skupovima ,stvar je mnogo složenija. Tada se

srećemo sa dosta neočekivanim situacijama.• Pojam kardinalnog broja je uveden da bi se pomoću njega skupovi mogli upoređivati

po veličini.• Još u 17. veku čuveni fizičar i matematičar Galileo Galilej ( Galileo Galilei 1564-1642

)je primetio da kod beskonačnog skupa, njegov pravi podskup može biti iste veličinekao i ceo skup.

• Kasnije u 19. veku je uočeno da svi beskonačni skupovi nisu iste veličine, da nekibeskonačni skupovi mogu biti veći od drugih beskonačnih skupova.

Primer:Skup N- prirodnih brojeva i 2N parnih brojevaSkup N- prirodnih brojeva i Z celih brojeva

• Određivanje broja elemenata konačnih skupova svodi se na njihovo prebrojavanje .• Međutim, kada se radi o beskonačnim skupovima ,stvar je mnogo složenija. Tada se

srećemo sa dosta neočekivanim situacijama.• Pojam kardinalnog broja je uveden da bi se pomoću njega skupovi mogli upoređivati

po veličini.• Još u 17. veku čuveni fizičar i matematičar Galileo Galilej ( Galileo Galilei 1564-1642

)je primetio da kod beskonačnog skupa, njegov pravi podskup može biti iste veličinekao i ceo skup.

• Kasnije u 19. veku je uočeno da svi beskonačni skupovi nisu iste veličine, da nekibeskonačni skupovi mogu biti veći od drugih beskonačnih skupova.

Primer:Skup N- prirodnih brojeva i 2N parnih brojevaSkup N- prirodnih brojeva i Z celih brojeva

• Ako postoji bijektivna funkcija f skupa A na skup B , onda se za skupove A i B kažeda imaju isti kardinalni broj, u oznaci kA=kB.

• Kod konačnih skupova, kardinalni broj predstavlja broj elemenata skupa.

• Ako skup A ima isti kardinalni broj kao skup prirodnih brojeva N, onda za skupkažemo da je prebrojiv.

• Skup A je prebrojiv ako se može poređati u niz.

• Kardinalni broj skupa prirodnih brojeva označava se sa hebrejskim slovom i čitase alef nula

• Ako postoji bijektivna funkcija f skupa A na skup B , onda se za skupove A i B kažeda imaju isti kardinalni broj, u oznaci kA=kB.

• Kod konačnih skupova, kardinalni broj predstavlja broj elemenata skupa.

• Ako skup A ima isti kardinalni broj kao skup prirodnih brojeva N, onda za skupkažemo da je prebrojiv.

• Skup A je prebrojiv ako se može poređati u niz.

• Kardinalni broj skupa prirodnih brojeva označava se sa hebrejskim slovom i čitase alef nula

0kN

Primer:Kardinalni broj skupa prirodnih brojeva jednak je kardinalnom broju skupa svih parnihprirodnih brojeva.Ta jednakost se vidi iz preslikavanja

Dakle

Primer:Skup celih brojeva je prebrojiv, jer se brojevi mogu poređati u nizDakle

1 2 3 4

2 1 2 2 2 3 2 4 2

n

n

Primer:Kardinalni broj skupa prirodnih brojeva jednak je kardinalnom broju skupa svih parnihprirodnih brojeva.Ta jednakost se vidi iz preslikavanja

Dakle

Primer:Skup celih brojeva je prebrojiv, jer se brojevi mogu poređati u nizDakle

2kN k N

0, 1,1, 2,2,

kN kZ

Primer:Skup racionalnih brojeva je prebrojiv, jer se brojevi mogu poređati u niz,

Dakle

0

1

1

21 2

3 31 2 3

4 4 4

Primer:Skup racionalnih brojeva je prebrojiv, jer se brojevi mogu poređati u niz,

Dakle

0

1

1

21 2

3 31 2 3

4 4 4

cardN cardQ

• Skup realnih brojeva R je neprebrojiv, cardR=c ( kontinum ).

Primer:

Skup svih tačaka prave ima kardinalni broj c.Skup svih realnih brojeva između 0 i 1 ima takođe kardinalni broj c.

Primer:Koliki je kardinalni broj praznog skupa?

• Skup realnih brojeva R je neprebrojiv, cardR=c ( kontinum ).

Primer:

Skup svih tačaka prave ima kardinalni broj c.Skup svih realnih brojeva između 0 i 1 ima takođe kardinalni broj c.

Primer:Koliki je kardinalni broj praznog skupa?

1k

RASELOV PARADOKS

• Jasno je da je teorija beskonačnih skupova početku svoga nastanka imala veliki brojprotivnika.

• Međutim, početkom ovog veka teorija skupova doživljavala svoj procvat i nalaziširoku primenu u matematici i nauci uopšte.

• Nažalost, istovremeno, uočene su i prve protivrečnosti, odnosno paradoksi• Najčuveniji je Raselov paradoks nastao 1902 godine.• Postoje razne interpretacije Raselovog paradoksa, paradoks brijača, paradoks

biblioteke i mnogi drugi.Primer:Paradoks brijačaU nekom selu živeo je brijač, koji je brijao sve one stanovnike sela , koji se nisu brijalisami. Da li je brijač brijao samog sebe?

Ako bi se brijač brijao sam, on bi bio jedan od stanovnika koji se briju sami, pa se nebi smeo brijati kod brijača. Ako se pak brijač ne bi brijao, bio bi jedan od stanovnikasela koji se ne briju sami, pa bi se morao brijati kod brijača.

• Jasno je da je teorija beskonačnih skupova početku svoga nastanka imala veliki brojprotivnika.

• Međutim, početkom ovog veka teorija skupova doživljavala svoj procvat i nalaziširoku primenu u matematici i nauci uopšte.

• Nažalost, istovremeno, uočene su i prve protivrečnosti, odnosno paradoksi• Najčuveniji je Raselov paradoks nastao 1902 godine.• Postoje razne interpretacije Raselovog paradoksa, paradoks brijača, paradoks

biblioteke i mnogi drugi.Primer:Paradoks brijačaU nekom selu živeo je brijač, koji je brijao sve one stanovnike sela , koji se nisu brijalisami. Da li je brijač brijao samog sebe?

Ako bi se brijač brijao sam, on bi bio jedan od stanovnika koji se briju sami, pa se nebi smeo brijati kod brijača. Ako se pak brijač ne bi brijao, bio bi jedan od stanovnikasela koji se ne briju sami, pa bi se morao brijati kod brijača.

• Kako se rešava ovaj paradoks.Jednostavno, nije moguće da postoji selo u kome bi brijač mogao da radi ovako kako

je rečeno.

• Suština Raselovog paradoksa svodi se na sledeće:Ako za svaku osobinu postoji skup svih objekata koji sadrže tu osobinu, onda to istovaži i za osobinu ”skup ne pripada samom sebi”, odnosno, pitanje je, da li skup svihskupova koji ne sadrže sebe, sadrži sebe?

• Kako se rešava ovaj paradoks.Jednostavno, nije moguće da postoji selo u kome bi brijač mogao da radi ovako kako

je rečeno.

• Suština Raselovog paradoksa svodi se na sledeće:Ako za svaku osobinu postoji skup svih objekata koji sadrže tu osobinu, onda to istovaži i za osobinu ”skup ne pripada samom sebi”, odnosno, pitanje je, da li skup svihskupova koji ne sadrže sebe, sadrži sebe?

PITANJA ZA PONAVLJANJE

• Šta je skup?• Kako obeležavamo skupove?• Šta su Venovi dijagrami?• Navesti i definisati skupovne relacije.• Navesti i definisati skupovne operacije.• Koji su skupovi disjunktni?• Šta je Dekartov proizvod skupova?• Šta je partitivni skup?• Definisati kardinalni broj skupa?• Šta je alef nula?• Koliki je kardinalni broj skupa realnih brojeva?• Kako glasi Raselov paradoks?

• Šta je skup?• Kako obeležavamo skupove?• Šta su Venovi dijagrami?• Navesti i definisati skupovne relacije.• Navesti i definisati skupovne operacije.• Koji su skupovi disjunktni?• Šta je Dekartov proizvod skupova?• Šta je partitivni skup?• Definisati kardinalni broj skupa?• Šta je alef nula?• Koliki je kardinalni broj skupa realnih brojeva?• Kako glasi Raselov paradoks?

RELACIJE I FUNKCIJERELACIJE I FUNKCIJE( 3 časa)

DEFINICIJA RELACIJADEFINICIJA RELACIJA Šta je relacija? Relacija je odnos, veza između dva objekta- To su, na primer: jednako, paralelno, normalno, slično i mnoge druge. Relacija je povezivanje elemenata skupa A sa elementima skupa B. Znači ako i i pri tome su u datoj relaciji, onda svakom parupridružujemo vrednost T, a ako to nije slučaj vrednost Relacija je bilo koji podskup Dekartovog proizvoda skupova A i B Ako je A=B , onda se skup naziva Dekartovim kvadratom. Relacije se predstavljaju: uređenim parovima, tablicama, graficima i td.

,x y

x y Šta je relacija? Relacija je odnos, veza između dva objekta- To su, na primer: jednako, paralelno, normalno, slično i mnoge druge. Relacija je povezivanje elemenata skupa A sa elementima skupa B. Znači ako i i pri tome su u datoj relaciji, onda svakom parupridružujemo vrednost T, a ako to nije slučaj vrednost Relacija je bilo koji podskup Dekartovog proizvoda skupova A i B Ako je A=B , onda se skup naziva Dekartovim kvadratom. Relacije se predstavljaju: uređenim parovima, tablicama, graficima i td.

x A y B

A B

,x y

2A A A

PrimerRelaciji , odgovara tablica i grafik. 1,1 , 2, 2 , 2,1 , 1, 2 , 3,3 , 4, 4

1 2 3 4

1 T T

1 T T

2 T T

3 T

4 T

1 2

3 4

OSOBINE RELACIJAOSOBINE RELACIJA Neka je (R) refleksivnost akko (S) simetričnost akko (AS) antisimetričnost (T) tranzitivnost

2A

x A x x

Neka je (R) refleksivnost akko (S) simetričnost akko (AS) antisimetričnost (T) tranzitivnost

,x y A x y y x

,x y A x y y x x y

, ,x y z A x y y z x z

Primer:Primer:U skupu definisana je relacijaNapisati tablicu, prikazati je grafički, ispisati parove i ispitati osobinerelacije.

1, 2,3, 4,5A : , : 1x y A x y y x

1 2 3 4 5

1 T

1 T

2 T

3 T

4 T

5

VRSTE RELACIJAVRSTE RELACIJA Relacija ekvivalencije : refleksivna, simetrična i tranzitivna . Relacija poretka : refleksivna, antisimetrična i tranzitivna.Primer:Relacije ekvivalencije: jednako, podudarno, slično i td, a relacije poretka: i tdRelacija ekvivalencije može da se razlaže na klase ekvivalencije Klasa ekvivalencije , elementa x i relacije Količnički skupSve klase ekvivalencije jednog skupa čine njegovo razlaganje na disjunktnepodskupove, a njihova unija je sam polazni skup.

, ,

Relacija ekvivalencije : refleksivna, simetrična i tranzitivna . Relacija poretka : refleksivna, antisimetrična i tranzitivna.Primer:Relacije ekvivalencije: jednako, podudarno, slično i td, a relacije poretka: i tdRelacija ekvivalencije može da se razlaže na klase ekvivalencije Klasa ekvivalencije , elementa x i relacije Količnički skupSve klase ekvivalencije jednog skupa čine njegovo razlaganje na disjunktnepodskupove, a njihova unija je sam polazni skup.

xC y x y

xC

PrimerPrimerU skupu definisana je relacijaOdrediti elemente relacije i prikazati je.Dokazati da je ova relacija, relacija ekvivalencije, odrediti klase ekvivalencije Ikoličnički skup.

1 1 11,2, , ,3, ,4

2 3 4A

: , :x y A x y x Z y Z x Z y Z

U skupu definisana je relacijaOdrediti elemente relacije i prikazati je.Dokazati da je ova relacija, relacija ekvivalencije, odrediti klase ekvivalencije Ikoličnički skup.

: 1,1 , 1,2 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,2 , 2,4 , 4,2 , 1,3 , 3,1 ,

1 1 1 1 1 1 1 11,4 , 3,3 , 3,4 , 4,4 , 4,3 , 4,1 , , , , , , , , ,

2 3 2 2 3 3 3 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , ,

2 4 4 2 4 4 3 4 4 3

Tabela1

2

1

3

1

4

1 2 3 4

1 1 1 1 1 0 0 0

2 1 1 1 1 0 0 0

3 1 1 1 1 0 0 0

PrimerPrimer -- tabelatabela

1

2

1

3

1

4

3 1 1 1 1 0 0 0

4

0 0 0 0 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1

OSOBINE RELACIJAOSOBINE RELACIJA* (R) Relacija je refleksivna , jer* (S) Relacija je simetrična , jer* (T) Relacija je tranzitivna , jer* Ovo je relacija ekvivalencije.* Data relacija rastavlja skup A na 2 podskupa (klase)* Količnički skup je

x x x Z x Z x Z x Z

x y y x x Z y Z x Z y Z y Z x Z y Z x Z

* (R) Relacija je refleksivna , jer* (S) Relacija je simetrična , jer* (T) Relacija je tranzitivna , jer* Ovo je relacija ekvivalencije.* Data relacija rastavlja skup A na 2 podskupa (klase)* Količnički skup je

x y x Z y Z x Z y Z y Z z Z y Z z Z

x Z z Z x Z z Z

1 2

1 1 11,2,3,4 , , , .

2 3 4A A

1 2/ ,A A A

PrimerPrimerU skupu definisana je relacijaPokazati da je zadata relacija relacija ekvivalencije. Odrediti klase ekvivalencije ikoličnički skup.Relacija je refleksivnaRelacija je simetričnaRelacija je tranzitivnaZnači radi se o relaciji ekvivalencijeData relacija rastavlja skup S na 3 podskupa.Količnički skup je

12S x x N x , : 3x y S x y x y

: 3 3 0x S x x

, : 3 3

3

3 3

x y S x y x y k

y x x y k

x y y x

U skupu definisana je relacijaPokazati da je zadata relacija relacija ekvivalencije. Odrediti klase ekvivalencije ikoličnički skup.Relacija je refleksivnaRelacija je simetričnaRelacija je tranzitivnaZnači radi se o relaciji ekvivalencijeData relacija rastavlja skup S na 3 podskupa.Količnički skup je

, : 3 3

3

3 3

x y S x y x y k

y x x y k

x y y x

, : 3 3

3 3

3 3 3 3

x y S x y x y z

x y k y z m

x z x y y z k m k m n

0

1

2

3,6,9,12 3

1,4,7,10 3 1

2,5,8,11 3 2

S x x S x k

S x x S x k

S x x S x k

0 1 2/ , ,S S S S

FUNKCIJEFUNKCIJE Pojam funkcije ili preslikavanja spada u osnovne matematičke kategorije. Jasna predstava o pojmu funkcije stvorena je tek u 17. veku. Kod funkcija, kao i kod relacija, uspostavlja se veza između elemenata dvaskupa, ali dok kod relacija jednom elementu x skupa A mogu odgovarati višeelemenata skupa B, kod funkcija jednom elementu x skupa A može odgovaratismo jedan elemenat y skupa B.

Pojam funkcije ili preslikavanja spada u osnovne matematičke kategorije. Jasna predstava o pojmu funkcije stvorena je tek u 17. veku. Kod funkcija, kao i kod relacija, uspostavlja se veza između elemenata dvaskupa, ali dok kod relacija jednom elementu x skupa A mogu odgovarati višeelemenata skupa B, kod funkcija jednom elementu x skupa A može odgovaratismo jedan elemenat y skupa B.

x

f

y

DEFINICIJA I OSOBINEDEFINICIJA I OSOBINE⇛ Preslikavanje ili funkcija skupa A u skup B, u oznaci je relacija , kojaima osobinu da je svaki elemenat skupa A u relaciji tačno sa jednim elementomskupa B, tj⇛ Kod funkcija uobičajeno je da umesto pišemo i kažemo dafunkcija f preslikava x u y.⇛ Tada x nazivamo originalom, y njenom slikom.⇛ Skup onih elemenata iz kojima su korespondirani elementi skupanaziva se oblast definisanosti ili domen funkcije.⇛ Skup onih elemenata iz kojima su korespondirani elementi skupanaziva se oblast vrednosti ili kodomen funkcije.

:f A B

,

, , ,

x A y B x y f

x A y z B x y f x z f y z

,x y f y f x

⇛ Preslikavanje ili funkcija skupa A u skup B, u oznaci je relacija , kojaima osobinu da je svaki elemenat skupa A u relaciji tačno sa jednim elementomskupa B, tj⇛ Kod funkcija uobičajeno je da umesto pišemo i kažemo dafunkcija f preslikava x u y.⇛ Tada x nazivamo originalom, y njenom slikom.⇛ Skup onih elemenata iz kojima su korespondirani elementi skupanaziva se oblast definisanosti ili domen funkcije.⇛ Skup onih elemenata iz kojima su korespondirani elementi skupanaziva se oblast vrednosti ili kodomen funkcije.

,x y f y f x

xD A

yD B

Primer:Primer:Kod funkcija na konačnim skupovima koristimo sledeće zapise:Ako su dati skupovi i onda jedna od mogućih funkcija jeili zapisana korišenjem uređenih parova

Relacija nije funkcija, jer bi se element b preslikavao u dva različitelementa 2 i 3.

, ,A a b c 1,3B

1 3 1

a b cf ,1 , ,3 , ,1f a b c

Kod funkcija na konačnim skupovima koristimo sledeće zapise:Ako su dati skupovi i onda jedna od mogućih funkcija jeili zapisana korišenjem uređenih parova

Relacija nije funkcija, jer bi se element b preslikavao u dva različitelementa 2 i 3. , 2f b

• Funkcija , naziva se binarnom operacijom.• Poznate binarne operacije su sabiranje, oduzimanje, množenje i sl.• Funkcija se naziva “” ili injektivna ako• Funkcija se naziva “na” ili surjektivna ako• U suštini• Ako je preslikavanje “1-1” i “na” takvo preslikavanje ili funkciju nazivamobijektivnim, (obostrano jednoznačno preslikavanje).

2:f A A

:f A B

1 2 1 2 1 2,x x A x x f x f x

DEFINICIJA I OSOBINEDEFINICIJA I OSOBINE• Funkcija , naziva se binarnom operacijom.• Poznate binarne operacije su sabiranje, oduzimanje, množenje i sl.• Funkcija se naziva “” ili injektivna ako• Funkcija se naziva “na” ili surjektivna ako• U suštini• Ako je preslikavanje “1-1” i “na” takvo preslikavanje ili funkciju nazivamobijektivnim, (obostrano jednoznačno preslikavanje).

1 2 1 2 1 2,x x A x x f x f x

,y B x A y f x

yD B

Primer:Primer:Ispitati da li je funkcija bijekcija.Ako je ispunjeno preslikavanje je “1-1”.Izrazi koji u sebi sadrže nejednakosti se teško dokazuju i jednostavnije jekoristiti kontrapoziciju predhodnog izraza koja glasi .

Dakle čime smo dokazali da je preslikavanje “1-1”.Da bismo dokazali da je preskikavanje “na” rešimo polaznu jednačinu po y.Dobićemo izrazOnda i zaključujemo da je preslikavanje “na”.Pošto je preslikavanje “1-1” i “na”, ono je odnosno bijekcija.

2 1f x x

1 2 1 2 1 2,x x R x x f x f x

1 2 1 2f x f x x x

1 2 1 22 1 2 1x x x x

Ispitati da li je funkcija bijekcija.Ako je ispunjeno preslikavanje je “1-1”.Izrazi koji u sebi sadrže nejednakosti se teško dokazuju i jednostavnije jekoristiti kontrapoziciju predhodnog izraza koja glasi .

Dakle čime smo dokazali da je preslikavanje “1-1”.Da bismo dokazali da je preskikavanje “na” rešimo polaznu jednačinu po y.Dobićemo izrazOnda i zaključujemo da je preslikavanje “na”.Pošto je preslikavanje “1-1” i “na”, ono je odnosno bijekcija.

1 2 1 22 1 2 1x x x x

1 1

2 2x y

1 1,

2 2y R x R x y

KOMPOZICIJA FUNKCIJAKOMPOZICIJA FUNKCIJANeka su date i funkcije. Tada izraz predstavljaproizvod ili kompoziciju ili slaganje preslikavanja f i g, a definiše se kaoPrimer:Ako su dati skupoviTada glasi

:f A B :g B C g f

x A g f x g f x

Neka su date i funkcije. Tada izraz predstavljaproizvod ili kompoziciju ili slaganje preslikavanja f i g, a definiše se kaoPrimer:Ako su dati skupoviTada glasi

1,2,3 , , , , 5,6,7A B a b c C : , :f A B g B C

1 2 3,

7 6 5

a b cf g

a b c

:g f A C1 2 3

7 6 5g f

PrimerPrimerNeka su funkcije zadate formulamaTada je:

22 1, 1f x x g x x x

2 2

2 2

22 2 2 4 3 2

2

2 1 2 1 1 4 6 3

2 1 1 2 2 2

1 1 1 2 4 3 3

2 2 1 1 4 3

g f x g f x x x x x

f g x f g x x x x x

g g x g x x x x x x x x x

f f x f x x x

2 2

2 2

22 2 2 4 3 2

2

2 1 2 1 1 4 6 3

2 1 1 2 2 2

1 1 1 2 4 3 3

2 2 1 1 4 3

g f x g f x x x x x

f g x f g x x x x x

g g x g x x x x x x x x x

f f x f x x x

INVERZNA FUNKCIJAINVERZNA FUNKCIJA• Ako je bijekcija, onda je inverzna funkcija skupa B u skup

A sa osobinom , gde je I identičko preslikavanje, tj.• Možemo i pisati• Grafici funkcija f i su simetrični u odnosu na pravu y=x.

:f A B 1f

1f f I x A I x x

1f f x x

• Ako je bijekcija, onda je inverzna funkcija skupa B u skupA sa osobinom , gde je I identičko preslikavanje, tj.

• Možemo i pisati• Grafici funkcija f i su simetrični u odnosu na pravu y=x.1f

yx

y f x

1y f x

PrimerPrimerNaći inverzno preslikavanje odPokazali smo da je funkcija bijekcija, odnosno zadovoljava da je 1-1 i na.Dakle postoji inverzno preslikavanjeGrafici ovih funkcija su simetrični u odnosu na pravu y=x

Primer:Odrediti inverznu funkciju funkcijeKako i za x=-1 i x=1 dobijamo istu vrednost funkcije y=1 , zaključujemo dafunkcija nije “1-1” , odnosno bijekcija, pa ne postoji inverzna funkcija.

2 1f x x

1 1

2

xf x y

yx

Naći inverzno preslikavanje odPokazali smo da je funkcija bijekcija, odnosno zadovoljava da je 1-1 i na.Dakle postoji inverzno preslikavanjeGrafici ovih funkcija su simetrični u odnosu na pravu y=x

Primer:Odrediti inverznu funkciju funkcijeKako i za x=-1 i x=1 dobijamo istu vrednost funkcije y=1 , zaključujemo dafunkcija nije “1-1” , odnosno bijekcija, pa ne postoji inverzna funkcija.

yx

y f x

1y f x

2f x x

PITANJA ZA PONAVLJANJEPITANJA ZA PONAVLJANJE1. Definisati pojam relacija.2. Navesti osobine relacija.3. Šta je relacija ekvivalencije?4. Šta je relacija poredka?5. Šta je funkcija?6. Koja je osnovna razlika između relacija i funkcija?7. Koje je preslikavanje 1-1?8. Koje je preslikavanje na?9. Šta je bijekcija?10. Definisati inverzno preslikavanje.11. Definisati kompoziciju preslikavanja.

1. Definisati pojam relacija.2. Navesti osobine relacija.3. Šta je relacija ekvivalencije?4. Šta je relacija poredka?5. Šta je funkcija?6. Koja je osnovna razlika između relacija i funkcija?7. Koje je preslikavanje 1-1?8. Koje je preslikavanje na?9. Šta je bijekcija?10. Definisati inverzno preslikavanje.11. Definisati kompoziciju preslikavanja.

PrimerPreslikavanja f i g definisana su sa f(x)=4x+5 i g(x)=x-5. OdreditiRešenje:Prvo mora da se proveri da li je preslikavanje g bijekcija.

1g f

1 5g x x 1 5g x x

1 1 4 5 5 4 10g f x g f x x x

KOMBINATORIKAKOMBINATORIKA

KKOMBINATORIKOMBINATORIKAARaspoređivanje elemenata u konačnim skupovima iOdređivanje broja takvih rasporeda.Primer:Dat je skup {1,2,3}. Koliko ima trocifrenih brojeva koji počinju cifrom 2, a da secifre ne ponavljaju?Sa zadatim ciframa možemo da formirama samo 2 broja koji počinju cifrom 2,a to su 213 i 231.Razlikujemo tri vrste različitih rasporeda i to su:1) permutacije,2) arijacije,3) kombinacije.

Raspoređivanje elemenata u konačnim skupovima iOdređivanje broja takvih rasporeda.Primer:Dat je skup {1,2,3}. Koliko ima trocifrenih brojeva koji počinju cifrom 2, a da secifre ne ponavljaju?Sa zadatim ciframa možemo da formirama samo 2 broja koji počinju cifrom 2,a to su 213 i 231.Razlikujemo tri vrste različitih rasporeda i to su:1) permutacije,2) arijacije,3) kombinacije.

PERMUTACIJE BEZ PONAVLJANJAPERMUTACIJE BEZ PONAVLJANJA• Permutacija je bilo koji raspored svi elemenata skupa• Permutacije bez ponavljanja elemenata je broj svih bijektivnih preslikavanjaskupa A u samog sebe.

Primer:Jedna od permutacija skupa bez ponavljanja elemenata, jepreslikavanje

1 2, , , nA a a a • Permutacija je bilo koji raspored svi elemenata skupa• Permutacije bez ponavljanja elemenata je broj svih bijektivnih preslikavanjaskupa A u samog sebe.

Primer:Jedna od permutacija skupa bez ponavljanja elemenata, jepreslikavanje 1, 2,3, 4,5A

1 2 3 4 5

2 5 4 3 1

• Broj permutacija skupa od elemenata iznosi• Simbol n! čita se faktorijel.

Po definiciji se uzima da je 0!=1Primer:5!=5.4.3.2.1=120.

1 2 1 !P n n n n n N

PERMUTACIJE BEZ PONAVLJANJAPERMUTACIJE BEZ PONAVLJANJA• Broj permutacija skupa od elemenata iznosi• Simbol n! čita se faktorijel.

Po definiciji se uzima da je 0!=1Primer:5!=5.4.3.2.1=120.

PrimerPrimerDat je skup . Koliko ima permutacija elemenata ovoga skupa , a da seelementi ne ponavljaju?• Ima ih dve. To su: 1 2,A a a

2 2 1 2 1 2P P 1 2 2 1a a i a aPrimerPrimerDat je skup . Koliko ima permutacija elemenata ovoga skupa, a da seelementi ne ponavljaju?• Ima ih šest. To su: 1 2 3, ,A a a a

3 3 2 3 2 1 3 2 1 6P P P 1 2 3 2 1 3 3 1 2

1 3 2 2 3 1 3 2 1

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

PrimerPrimer

Na koliko načina se mogu rasporediti 6 različitih knjiga na policu? 6 6! 6 5 4 3 2 1 720P

PrimerPrimerPrimerPrimer

Pčela treba da skupi polen sa 7 različitih cvetova. Kada uzme polen sa cveta onase na njega više ne vraća. Na koliko načina pčela može da obiđe svih 7 cvetova? 7 7! 7 6 5 4 3 2 1 5040P

PrimerPrimer

PERMUTACIJE SA PONAVLJANJEMPERMUTACIJE SA PONAVLJANJEMBroj permutacija sa ponavljanjem, skupa među kojima imajednakih , iznosi

Primer:Napisati sve permutacije elemenataPrimer:Odrediti broj permutacija elemenata

Broj permutacija je

1 2, , , mk k k

1 2

1 31, ,

31 2 1 2

!

! ! !m

mk k k

m m

n k k kn n k nP n

k kk k k k k

1 2, , , nA a a a Broj permutacija sa ponavljanjem, skupa među kojima imajednakih , iznosi

Primer:Napisati sve permutacije elemenataPrimer:Odrediti broj permutacija elemenata

Broj permutacija je

1 2

1 31, ,

31 2 1 2

!

! ! !m

mk k k

m m

n k k kn n k nP n

k kk k k k k

, ,a b b

, ,abb bab bba

0,0,0,1,1,1,1

3,4

7 7 3 7! 7 6 5 4!7 35

3 4 3!4! 3!4!P

VARIJACIJEVARIJACIJE ILI UREĐENI IZBORI BEZ PONAVLJANJAILI UREĐENI IZBORI BEZ PONAVLJANJAELEMENATAELEMENATA –– k permutacijek permutacijeVarijacija k klase od n elemenata je bilo koja k-torka različitih elemenataskupa on n elemenata

• Broj varijacija iznosi• Varijacije bez ponavljanja elemenata su injektivnih preslikavanja (1-1) skupa Aod n elemenata u skup B od k elemenata

1

0

1 1k

nk

i

V n i n n n k

Varijacija k klase od n elemenata je bilo koja k-torka različitih elemenataskupa on n elemenata• Broj varijacija iznosi• Varijacije bez ponavljanja elemenata su injektivnih preslikavanja (1-1) skupa Aod n elemenata u skup B od k elemenata

1

0

1 1k

nk

i

V n i n n n k

:f A B

PrimerPrimerDat je skup . Koliko ima varijacija druge klase elemenata ovogaskupa i kako glase?Ima ih šestTo su:

1 2 3, ,A a a a

32 3 2 6V

1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2a a a a a a a a a a a aPrimerPrimerNa konkurs u firmu javilo se 6 kandidata za radna mesta direktora , sekretara ipotrira. Na koliko načina ih je moguće izabrati?Vršimo izbor 3 od 6 kandidata. Kako je raspored ( funkcija) bitan, u pitanju suvarijacije treće klase od 6 elemenata. 6

3 6 5 4 120V

VARIJACIJE SA PONAVLJANJEMVARIJACIJE SA PONAVLJANJEM• Varijacija sa ponavljanjem k klase od n elemenata je bilo koja k-torkaelemenata skupa• Broj varijacija iznosi• Varijacije sa ponavljanjem elemenata su preslikavanja skupa A odelemenata, u skup B od elemenata,Primer:Koliko ima dvocifrenih brojeva koji se mogu napisati sa ciframa 1,2,3 i kakoglase?Ima ih To su:

Napomena: Ako je klasa jednaka broju elemenata zadatog skupa, varijacije sesvode na permutacije

1 2, , , nA a a a

n kkV n

1n

• Varijacija sa ponavljanjem k klase od n elemenata je bilo koja k-torkaelemenata skupa• Broj varijacija iznosi• Varijacije sa ponavljanjem elemenata su preslikavanja skupa A odelemenata, u skup B od elemenata,Primer:Koliko ima dvocifrenih brojeva koji se mogu napisati sa ciframa 1,2,3 i kakoglase?Ima ih To su:

Napomena: Ako je klasa jednaka broju elemenata zadatog skupa, varijacije sesvode na permutacije

1n

0k :f A B

3 22 3 9V 11,12,13,21,22,23,31,32,33

KOMBINACIJE ILI NEUREĐENI IZBORI BEZKOMBINACIJE ILI NEUREĐENI IZBORI BEZPONAVLJANJA ELEMENATAPONAVLJANJA ELEMENATA• Kombijacija klase od elemenata je bilo koja neuređena k-torka različitihelemenata skupa A• Broj kombinacija iznosise čita n nad k i to je broj svih poskupova skupa A koji imaju k elemenata.Primer:Dat je skup . Koliko ima kombinacija druge klase elemenata ovogaskupa i kako glase?Ima ih To su

1 1

! !

nn kk

n n n n kVC

kk k

n

k

1 2, , , nA a a a

• Kombijacija klase od elemenata je bilo koja neuređena k-torka različitihelemenata skupa A• Broj kombinacija iznosise čita n nad k i to je broj svih poskupova skupa A koji imaju k elemenata.Primer:Dat je skup . Koliko ima kombinacija druge klase elemenata ovogaskupa i kako glase?Ima ih To su

n

k

1 2 3, ,A a a a

32

3 3 23

2 2!C

1 2 1 3 2 3a a a a a a

PrimerPrimerKoliko ima dvocifrenih brojeva koji se mogu napisati sa ciframa1,2,3 ?Kako je u broju bitan raspored cifara, ovo su varijacijeIma ih 32 3 2 6V

Koliko ima dvocifrenih brojeva koji se mogu napisati sa ciframa1,2,3 ?Kako je u broju bitan raspored cifara, ovo su varijacijeIma ihKoliko ima pravih koji se mogu povući kroz nekolinearne tačke A,B,C?Kako je sada nije bitan raspored tačaka na pravoj, ovo su kombinacije.Ima ih To su prave AB, BC i AC.3

2

3 3 2 3 23

2 2! 2 1C

PrimerPrimer

KOMBINACIJEKOMBINACIJE SA PONAVLJANJEMSA PONAVLJANJEMNeka je dat skup• Kombijacija k klase sa ponavljanjem skupa jePrimer:Na koliko načina se 12 istih loptica može rasporediti u 6 različitih kutija.Ima ih

1 2, , , nA a a a

1nk

n kC

k

Neka je dat skup• Kombijacija k klase sa ponavljanjem skupa jePrimer:Na koliko načina se 12 istih loptica može rasporediti u 6 različitih kutija.Ima ih 12

6

6 12 16188

12C

BINOMNA FORMULABINOMNA FORMULAIz srednje škole znamo neke od ovih obrazaca

0

1

2 2 2

3 3 2 2 3

4 4 3 2 2 3 4

1

2

3 3

4 6 4

a b

a b a b

a b a ab b

a b a a b ab b

a b a a b a b ab b

0

1

2 2 2

3 3 2 2 3

4 4 3 2 2 3 4

1

2

3 3

4 6 4

a b

a b a b

a b a ab b

a b a a b ab b

a b a a b a b ab b

Binomni koeficijenti čine takozvani Paskalov trougao:1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Binomna formulaBinomna formula 1 2 2 1

0

0 1 2 1

,

n n n n n n

nn k k

k

n n n n na b a a b a b ab b

n n

na b n k N

k

1 2 1 !

! ! !

n n n n n k n

k k k n k

1 2 1 !

! ! !

n n n n n k n

k k k n k

1

1

n n n

k k k

10

n n

n

n n

k n k

1n k k

k

nT a b

k

PrimerPrimerRazviti po binomnoj formuli 6

1

xx

66 4 2

2 4 6

6 4 22 4 6

6 6 6 6 61 1 1 1

1 2 3 4 5

15 6 16 15 20

x x x xx x x x

x x xx x x

66 4 2

2 4 6

6 4 22 4 6

6 6 6 6 61 1 1 1

1 2 3 4 5

15 6 16 15 20

x x x xx x x x

x x xx x x

Odrediti peti član u razvijenom obliku binoma 122132x x

412 4 2 201

3 325

12495

4T x x x

1n k k

k

nT a b

k

PrimerPrimer

PrimerPrimerZbir koeficijenata prvog, drugog i trećeg člana binoma je 46. Odreditičlan koji ne sadrži x. 2 1

n

xx

146 1 46 9

0 1 1 2

n n n n nn n

.9

2 1x

x

92 18 2 18 31

9 9 91 1

18 3 0 6

kk k k

k kT x x x

k k kx x

k k

6 1 7

9 9 9 8 784

6 3 1 2 3T T

PRAVILA ZAKLJUCIVANJA I DOKAZI

• Zašto pravila zaključivanja?• Za nauku je izezuzetno važno pravilno zaključivati.• Računar je mašina.• Mašina radi samo ono što joj kažemo.• Zato pravila zaključivanja moraju biti jasna i nedvosmislena.

• Logička zaključivanja često mogu biti pogrešna što je posledica primene pravilaograničenog prostora dejstva.

• U veštačkoj inteligenciji ‘prostor stanja’ definiše sva stanja nekog problema, iskustva,činjenice i kako ih povezati.

• Pogrešna predpostvaka ne može da dovede do tačnog zaljučka .• Tačna predpostavka ne mora da dovede do tačnog zaključka.

• Zašto pravila zaključivanja?• Za nauku je izezuzetno važno pravilno zaključivati.• Računar je mašina.• Mašina radi samo ono što joj kažemo.• Zato pravila zaključivanja moraju biti jasna i nedvosmislena.

• Logička zaključivanja često mogu biti pogrešna što je posledica primene pravilaograničenog prostora dejstva.

• U veštačkoj inteligenciji ‘prostor stanja’ definiše sva stanja nekog problema, iskustva,činjenice i kako ih povezati.

• Pogrešna predpostvaka ne može da dovede do tačnog zaljučka .• Tačna predpostavka ne mora da dovede do tačnog zaključka.

DEDUKCIJA I INDUKCIJA

• Znanja u nauci dele se na:empirijska iapriorna.

• Empiriska znanja su bazirana na iskustvu.• Aprioriorna znanja se ne moraju opravdati iskustvom, ona postoje i bez iskustva.

• U otkrivanju znanja, čovek se mora koristiti nekim metodama zaključivanja.

• Zaključivanje je misaoni proces u kome izvodimo jedno tvrđenje na osnovu jednog iliviše drugih.

• U suštini postoje da osnovna principa zaključivanja:to su dedukcija i

indukcija.

• Znanja u nauci dele se na:empirijska iapriorna.

• Empiriska znanja su bazirana na iskustvu.• Aprioriorna znanja se ne moraju opravdati iskustvom, ona postoje i bez iskustva.

• U otkrivanju znanja, čovek se mora koristiti nekim metodama zaključivanja.

• Zaključivanje je misaoni proces u kome izvodimo jedno tvrđenje na osnovu jednog iliviše drugih.

• U suštini postoje da osnovna principa zaključivanja:to su dedukcija i

indukcija.

DEDUKTIVNA METODA

• Dedukcija je princip zaključivanja od od poznatog ka nepoznatom, od opšteg kaposebnom.

• Deduktivnom metodom do zaključka dolazimo na osnovu drugih ranije poznatihstavova koje zovemo predpostavke , hipoteze ili premise.

• Deduktivnost znači izvodljivost.

• Deduktivni zaključak oslanja se na pravila i zakonitosti matematilče logike.

• Važna napomena: kod dedukcije nas u principu ne interesuje da li su predpostavke izaključci istiniti, već nas jedino interesuje da li se iz datih predpostavki može izvestizaključak, odnosno da li je tačan princip zaključivanja.

• Matematika je u suštini deduktivna nauka.• U deduktivne ili teorijske metode spadaju:• metoda dokazivanja,• metoda analize,• metoda sinteze, i dr.

• Dedukcija je princip zaključivanja od od poznatog ka nepoznatom, od opšteg kaposebnom.

• Deduktivnom metodom do zaključka dolazimo na osnovu drugih ranije poznatihstavova koje zovemo predpostavke , hipoteze ili premise.

• Deduktivnost znači izvodljivost.

• Deduktivni zaključak oslanja se na pravila i zakonitosti matematilče logike.

• Važna napomena: kod dedukcije nas u principu ne interesuje da li su predpostavke izaključci istiniti, već nas jedino interesuje da li se iz datih predpostavki može izvestizaključak, odnosno da li je tačan princip zaključivanja.

• Matematika je u suštini deduktivna nauka.• U deduktivne ili teorijske metode spadaju:• metoda dokazivanja,• metoda analize,• metoda sinteze, i dr.

• Prvi koji je koristio deduktivni način zaključivanja bio je grčki filozof Tales iz Mileta( 624-542 pre nove ere).

• Tales je dedukciju upotrebio u dokazivanju podudarnosti trouglova.• Kasnije ovu metodu je prihvatio Pitagora ( 569-475 pre nove ere).• Pitagorejci uočavaju zakonitost među zaključcima, izvode jedne iz drugih.• Svima znana, Pitagorina teorema, bila je poznata i ranije, ali ju je Pitagora prvi

dolazao deduktivnim putem.• Osnovne principe deduktivne organizacije matematike postavio je grčki matematičar

Euklid ( 325-265 pre naše ere ).• U svom čuvenom delu Elementi izložio je aksiomatski princip definisanja pre svega

geometrije, a samim tim i matematike uopšte.

• Prvi koji je koristio deduktivni način zaključivanja bio je grčki filozof Tales iz Mileta( 624-542 pre nove ere).

• Tales je dedukciju upotrebio u dokazivanju podudarnosti trouglova.• Kasnije ovu metodu je prihvatio Pitagora ( 569-475 pre nove ere).• Pitagorejci uočavaju zakonitost među zaključcima, izvode jedne iz drugih.• Svima znana, Pitagorina teorema, bila je poznata i ranije, ali ju je Pitagora prvi

dolazao deduktivnim putem.• Osnovne principe deduktivne organizacije matematike postavio je grčki matematičar

Euklid ( 325-265 pre naše ere ).• U svom čuvenom delu Elementi izložio je aksiomatski princip definisanja pre svega

geometrije, a samim tim i matematike uopšte.

INDUKTIVNA METODA

• Indukcija je metod zaključivanja kojim se iz stavova koji se odnose na određen brojpojedinačnih slučajeva izvodi stav koji se odnosi na sve slučajeve te vrste.

• Ovaj metod zaključivanja često se koristi u prirodnim naukama, gde se posmatranjemili eksperimentom dolazi do određenih saznanja o nekoj pojavi, pa se na osnovu ovihpojedinačnih slučajeva izvodi opšti stav.

• Takva indukcija se naziva nepotpuna ili empirijska indukcija. Ovakav načinzaključivanja nije dobar, jer se često na osnovu određenog broja tačnih pojedinačnihslučajeva ne dobija tačan zaključak u oštem slučaju.

• Primer:Fermaov problem: Da li su prosti brojevi oblika ?

Zamenom za n=1,2,3,4 dobijaju se prosti brojevi.To bi moglo da dovede do zaključka da su brojevi zaista prosti.Međutim za n=5, dobija se broj deljiv sa 641, znači broj koji nije prost.

• Indukcija je metod zaključivanja kojim se iz stavova koji se odnose na određen brojpojedinačnih slučajeva izvodi stav koji se odnosi na sve slučajeve te vrste.

• Ovaj metod zaključivanja često se koristi u prirodnim naukama, gde se posmatranjemili eksperimentom dolazi do određenih saznanja o nekoj pojavi, pa se na osnovu ovihpojedinačnih slučajeva izvodi opšti stav.

• Takva indukcija se naziva nepotpuna ili empirijska indukcija. Ovakav načinzaključivanja nije dobar, jer se često na osnovu određenog broja tačnih pojedinačnihslučajeva ne dobija tačan zaključak u oštem slučaju.

• Primer:Fermaov problem: Da li su prosti brojevi oblika ?

Zamenom za n=1,2,3,4 dobijaju se prosti brojevi.To bi moglo da dovede do zaključka da su brojevi zaista prosti.Međutim za n=5, dobija se broj deljiv sa 641, znači broj koji nije prost.

22 1,n

n N

• U induktivne ili empiriske metode spadaju:• metoda eksperimenta,• metoda posmatranja,• metoda merenja,• metoda analogije i dr.

• Napomena:• Dedukciju i indukciju je u praksi često teško razdvojiti, ali to su dve različite metode i

one se u suštini međusobno isključuju.

• Ako bi ih upoređivali, možemo reći da dedukcija vodi za nužnim zaključcima,dok indukcija ka verovatnim zaključcima.

• Deduktivne metode se bave isključivanjem pogrešnih pretpostavki, ali ne iutvrđivanjem istinitosti

• Induktivne metode se bave utvrđivanjem činjenične istinitosti.

• U induktivne ili empiriske metode spadaju:• metoda eksperimenta,• metoda posmatranja,• metoda merenja,• metoda analogije i dr.

• Napomena:• Dedukciju i indukciju je u praksi često teško razdvojiti, ali to su dve različite metode i

one se u suštini međusobno isključuju.

• Ako bi ih upoređivali, možemo reći da dedukcija vodi za nužnim zaključcima,dok indukcija ka verovatnim zaključcima.

• Deduktivne metode se bave isključivanjem pogrešnih pretpostavki, ali ne iutvrđivanjem istinitosti

• Induktivne metode se bave utvrđivanjem činjenične istinitosti.

DOKAZ MATEMATIČKIH POJMOVA

definicije, aksiome i dokazi• U matematici postoje pojmovi koji se ne definišu. Oni se shvataju uz pomoć intuicije,

iskustva ili dogovora.• Njih nazivamo osnovnim ili primitivnim pojmovima.

• Naprimer, pojmovi tačka, skup ili prirodni broj 1 su osnovni pojmovi. Svima su tipojmovi intuitivno jasni i svaki pokušaj njihovog definisanjia kroz istoriju matematikenisu doveli do rezultata. Veliki matematičar Euklid u svome delu Elementi dao jedefiniciju tačke. Rekao je „ tačka je ono čiji je deo ništa “. Naravno ovo je nepotrebnadefinicija, koja je nasmejala ne samo matematičare i koja je vremenom nestala.

• Svi ostali novi pojmovi se moraju definisati, koristeći samo osnovne pojmove ili onekoje smo već definisali.

• Definicije služe da bi se pojmovi precizno odredili.• Definicija je iskaz ili sud kojim se nedvoslismeno određuje sadržaj pojma.

Primer:• Definicija: Za svake dve prave a i b kažemo da se seku ako imaju tačno jednu

zajedničku tačku.• Definicija: Dve prave su paralelne, ako leže u istoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka

ili se poklapaju.

• U matematici postoje pojmovi koji se ne definišu. Oni se shvataju uz pomoć intuicije,iskustva ili dogovora.

• Njih nazivamo osnovnim ili primitivnim pojmovima.

• Naprimer, pojmovi tačka, skup ili prirodni broj 1 su osnovni pojmovi. Svima su tipojmovi intuitivno jasni i svaki pokušaj njihovog definisanjia kroz istoriju matematikenisu doveli do rezultata. Veliki matematičar Euklid u svome delu Elementi dao jedefiniciju tačke. Rekao je „ tačka je ono čiji je deo ništa “. Naravno ovo je nepotrebnadefinicija, koja je nasmejala ne samo matematičare i koja je vremenom nestala.

• Svi ostali novi pojmovi se moraju definisati, koristeći samo osnovne pojmove ili onekoje smo već definisali.

• Definicije služe da bi se pojmovi precizno odredili.• Definicija je iskaz ili sud kojim se nedvoslismeno određuje sadržaj pojma.

Primer:• Definicija: Za svake dve prave a i b kažemo da se seku ako imaju tačno jednu

zajedničku tačku.• Definicija: Dve prave su paralelne, ako leže u istoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka

ili se poklapaju.

• Definicije su često oblika:

• ekvivalencije, A ako i samo ako B, u oznaci ,

• jednakosti, A jednako B, u oznaci

Primer:

def

A B

def

A B

• Definicije su često oblika:

• ekvivalencije, A ako i samo ako B, u oznaci ,

• jednakosti, A jednako B, u oznaci

Primer:

! 1 2

,

def

defn

n

n n

a a a a n N a R

Isto tako postoje i tvrđenja koja nije potrebno dokazivati. To su aksiome. Pomoću njihizgrađuju se matematičke teorije.

• Aksiome ili postulati su trvđenja koja se ne dokazuju, koja su sama po sebi uvekistinita.

• Prvi sistem aksioma definisao je Euklid u 3 v.p.e.

Primer:• Aksioma: Za bilo koje dve različite tačke postoji tačno jedna prava koja ih sadrži.• Aksioma: Za svaku pravu p i tačku A van nje, postoji tačno jedna prava koja sadrži

tačku A i paralelna je pravoj p.Druga navedena aksioma je poznata aksioma paralelnosti. Nju je definisao još Euklidi poznata je pod imenom 5 postulat. Vekovima su matematičari pokušavali da jedokažu, sve dok u prvoj polovini 19. veka matematičar Lobačevski nije dokazao da jeto aksioma koja je neophodna skupu aksioma euklidske geometrije.Lobačevski i Gaus su postavili pitanje koja od ovih geometrija predstavlja stvarnusliku sveta, obavili su i par eksperimenata, ali pitanje je ostalo bez odgovora.

• Aksiome treba izabrati da nisu protivrečne i da ih ima dovoljno za dokazivanjeteorema.

Isto tako postoje i tvrđenja koja nije potrebno dokazivati. To su aksiome. Pomoću njihizgrađuju se matematičke teorije.

• Aksiome ili postulati su trvđenja koja se ne dokazuju, koja su sama po sebi uvekistinita.

• Prvi sistem aksioma definisao je Euklid u 3 v.p.e.

Primer:• Aksioma: Za bilo koje dve različite tačke postoji tačno jedna prava koja ih sadrži.• Aksioma: Za svaku pravu p i tačku A van nje, postoji tačno jedna prava koja sadrži

tačku A i paralelna je pravoj p.Druga navedena aksioma je poznata aksioma paralelnosti. Nju je definisao još Euklidi poznata je pod imenom 5 postulat. Vekovima su matematičari pokušavali da jedokažu, sve dok u prvoj polovini 19. veka matematičar Lobačevski nije dokazao da jeto aksioma koja je neophodna skupu aksioma euklidske geometrije.Lobačevski i Gaus su postavili pitanje koja od ovih geometrija predstavlja stvarnusliku sveta, obavili su i par eksperimenata, ali pitanje je ostalo bez odgovora.

• Aksiome treba izabrati da nisu protivrečne i da ih ima dovoljno za dokazivanjeteorema.

• Posledice aksiome su teoreme.• Svaka teorema sastoji se od pretpostavke – hipoteze i zaključka –posledice.• Sve teoreme (tvrđenja, stavove) moramo dokazati.

• Logičko rasuđivanje pomoću koga dolazimo do zaključaka je dokaz.• Dokaz se sastoji od niza koraka i sadrži:

a) Definicije, aksiome i već dokazane teoremeb) pravila izvođenja i logičke zakone zaključivanja.

• Svaka terema ima bar 1 dokaz.• Dokazi mogu biti direktni i indirektni:• Da iz uslova A,B,C,…. sledi posledica F i koristimo se simbolikom u pisanju

• Dokaz prestavlja zaštitni znak matematike. Pravilna upotreba dokaza je odsuštinskog značaja za matematiku.

• Posledice aksiome su teoreme.• Svaka teorema sastoji se od pretpostavke – hipoteze i zaključka –posledice.• Sve teoreme (tvrđenja, stavove) moramo dokazati.

• Logičko rasuđivanje pomoću koga dolazimo do zaključaka je dokaz.• Dokaz se sastoji od niza koraka i sadrži:

a) Definicije, aksiome i već dokazane teoremeb) pravila izvođenja i logičke zakone zaključivanja.

• Svaka terema ima bar 1 dokaz.• Dokazi mogu biti direktni i indirektni:• Da iz uslova A,B,C,…. sledi posledica F i koristimo se simbolikom u pisanju

• Dokaz prestavlja zaštitni znak matematike. Pravilna upotreba dokaza je odsuštinskog značaja za matematiku.

, , ,, ,

A B Cili A B C F

F

PRAVILA ZAKLJUČIVANJAMODUS PONENS

• Modus ponens je najčešće primenjivano, a ujedno i najjednostavnije pravilodokazivanja.

• Naziv je latinski i u prevodu znači metod potvrđivanja.• Ovo je primer direktnog dokaza

• Može da se čita, ako iz A i A sledi B, onda B.• Ovo pravilo zaključivanja opravdava tautologija

• Primer:• A : Napolju pada kiša.• Ako napolju pada kiša, poneću kišobran.• B: Poneću košobran

• Primer:• A: 2000 je deljivo da 5,• Ako je N deljivo sa 5, onda je N prestupna godina.• B: 2000 je prestupna godina.

,A A B

B

p p q q

• Modus ponens je najčešće primenjivano, a ujedno i najjednostavnije pravilodokazivanja.

• Naziv je latinski i u prevodu znači metod potvrđivanja.• Ovo je primer direktnog dokaza

• Može da se čita, ako iz A i A sledi B, onda B.• Ovo pravilo zaključivanja opravdava tautologija

• Primer:• A : Napolju pada kiša.• Ako napolju pada kiša, poneću kišobran.• B: Poneću košobran

• Primer:• A: 2000 je deljivo da 5,• Ako je N deljivo sa 5, onda je N prestupna godina.• B: 2000 je prestupna godina.

p p q q

A B

A B

MODUS TOLENS

Ovo je takođe primer direktnog dokaza

• Naziv je takođe latinski i znači metoda opovrgavanja.

• Ovo pravilo zaključivanja opravdava tautologija

• Primer:• : Nisam izvršio zločin• Ako izvršim zločin, biću uhapšen.

• : Nisam uhapšen.

,A A B

B

p p q q

Ovo je takođe primer direktnog dokaza

• Naziv je takođe latinski i znači metoda opovrgavanja.

• Ovo pravilo zaključivanja opravdava tautologija

• Primer:• : Nisam izvršio zločin• Ako izvršim zločin, biću uhapšen.

• : Nisam uhapšen.

A B

A

B

PRAVILO KONTRADIKCIJE

• Dokaz svođenja na protivrečnost, kontradikcijom, (reducio ad absurdum ) je oblika

• Ovo pravilo zaključivanja opravdava tautologija• Ovo je primer indirektnog dokaza. Za dokaz tvrđenja A dovoljno je dokazati da iz

možemo izvesti protivrečnost ili kontradikciju.Primer:

nije racionalan broj.• Ako ovo tvrđenje želimo da dokažemo kontradikcijom, predpostavićemo da jeste

racionalan broj. Onda se on može napisati u obliku razlomka, tj.

gde su p i q uzajamno prosti brojevi, (nemaju zajedničkog delioca).Odavde je

odnosno da je paran broj, pa sami time i p je paran broj i može se napisati p=2n,odnosno .To znači i da je q paran broj.Ako su oba broja parna, oni nisu uzajamno prosti.Znači polazna predpostavka da je racionalan broj nije održiva.

A B B

A

p q q p A

• Dokaz svođenja na protivrečnost, kontradikcijom, (reducio ad absurdum ) je oblika

• Ovo pravilo zaključivanja opravdava tautologija• Ovo je primer indirektnog dokaza. Za dokaz tvrđenja A dovoljno je dokazati da iz

možemo izvesti protivrečnost ili kontradikciju.Primer:

nije racionalan broj.• Ako ovo tvrđenje želimo da dokažemo kontradikcijom, predpostavićemo da jeste

racionalan broj. Onda se on može napisati u obliku razlomka, tj.

gde su p i q uzajamno prosti brojevi, (nemaju zajedničkog delioca).Odavde je

odnosno da je paran broj, pa sami time i p je paran broj i može se napisati p=2n,odnosno .To znači i da je q paran broj.Ako su oba broja parna, oni nisu uzajamno prosti.Znači polazna predpostavka da je racionalan broj nije održiva.

2

2p

q

22 2

22 2

pp q

q

2p2 24 2 2n q q n

2

• Primer:Ako je 3n+2 neparan broj, tada je n neparan broj.

Dokaz metodom kontradikcije.

Predostavimo da:Ako je 3n+2 neparan broj, tada je n paran broj.

Ako je n paran broj, može se napisati kao n=2k, onda3n+2=3(2k)+2=6k+2=2(3k+1), odnosno dobijamo paran broj, što je suprotnopredpostavci zadatka.Zanči naša predpostavla nije dobra, i time dokazujemo polazno trvtđenje.

• Primer:Ako je 3n+2 neparan broj, tada je n neparan broj.

Dokaz metodom kontradikcije.

Predostavimo da:Ako je 3n+2 neparan broj, tada je n paran broj.

Ako je n paran broj, može se napisati kao n=2k, onda3n+2=3(2k)+2=6k+2=2(3k+1), odnosno dobijamo paran broj, što je suprotnopredpostavci zadatka.Zanči naša predpostavla nije dobra, i time dokazujemo polazno trvtđenje.

Primer:U pokušaju da dokažu 5. postulat koji je definisao Euklid u 4 veku p.n.e. , Lobačevskije kreunuo od kontradikcije toga stava, odnosno predpostavio je da kroz tačku A kojase nalazi van prave p je moguće postaviti dve prave koje su paralelne sa pravom p, asamim tim i beskonačno mnogo.

Međutim, ova predpostavka ga nije dovela do kontradikcije i to je ukazalo napostojanje neke nove neeuklidske geometrije, koja se zove geometrija Lobačevskogu kojoj važe drugačija shvatanja odnosa u prostoru. ( Napr. Zbir uglova u trouglu jemanji od 2 prava ugla)

Primer:U pokušaju da dokažu 5. postulat koji je definisao Euklid u 4 veku p.n.e. , Lobačevskije kreunuo od kontradikcije toga stava, odnosno predpostavio je da kroz tačku A kojase nalazi van prave p je moguće postaviti dve prave koje su paralelne sa pravom p, asamim tim i beskonačno mnogo.

Međutim, ova predpostavka ga nije dovela do kontradikcije i to je ukazalo napostojanje neke nove neeuklidske geometrije, koja se zove geometrija Lobačevskogu kojoj važe drugačija shvatanja odnosa u prostoru. ( Napr. Zbir uglova u trouglu jemanji od 2 prava ugla)

PRAVILO KONTRAPOZICIJE

• Dokaz kontrapozicijom

• Ovo pravilo zaključivanja opravdava tautologija

Primer:• Potrebno je biti jak da bi bio bokser,

kontrapozicija glasi:• Ako nisi bokser nije potrebno biti jak.

B A

A B

p q q p

• Dokaz kontrapozicijom

• Ovo pravilo zaključivanja opravdava tautologija

Primer:• Potrebno je biti jak da bi bio bokser,

kontrapozicija glasi:• Ako nisi bokser nije potrebno biti jak.

Primer:• Ispitati da li je funkcija preslikavanje 1-1.

• Ako je ispunjeno preslikavanje je “1-1”.

• Izrazi koji u sebi sadrže nejednakosti se teško dokazuju i jednostavnije je koristitikontrapoziciju predhodnog izraza koja glasi

.

Dakle , čime smo dokazali da je preslikavanje “1-1”.

2 1f x x

1 2 1 2 1 2,x x R x x f x f x

Primer:• Ispitati da li je funkcija preslikavanje 1-1.

• Ako je ispunjeno preslikavanje je “1-1”.

• Izrazi koji u sebi sadrže nejednakosti se teško dokazuju i jednostavnije je koristitikontrapoziciju predhodnog izraza koja glasi

.

Dakle , čime smo dokazali da je preslikavanje “1-1”.

1 2 1 2f x f x x x

Primer:• Ako je paran broj, onda je i n paran broj.

• Kontrapozicija bi bila: Ako je n neparan broj, onda je i neparan broj.

• Znači tačna je naša polazna predpostavka

2n

2n

22 2 2

2 1

2 1 4 4 1 2 2 2 1

n n

n n n n n n

Primer:• Ako je paran broj, onda je i n paran broj.

• Kontrapozicija bi bila: Ako je n neparan broj, onda je i neparan broj.

• Znači tačna je naša polazna predpostavka

22 2 2

2 1

2 1 4 4 1 2 2 2 1

n n

n n n n n n

p q q p

PRAVILO TRANZITIVNOSTIIMPLIKACIJE I EKVIVALENCIJE

• Pravilo tranzitivnosti za implikaciju ( pravilo silogizma) i ekvivalenciju:

• Ova pravila zaključivanja opravdavaju tautologije

• Primer:• Ako je čovek umetnik, onda je on je srećan.• Ako je čovek srećan, onda on dugo živi.

Zaključak• Umetnici dugo žive .• Primer:• Ako je broj deljiv sa 18 onda je deljiv sa 6.• Ako je broj deljiv sa 6 onda je deljiv sa 3.• Ako je broj deljiv sa 18 onda je deljiv sa 3.

,A B B C

A C

,A B B C

A C

p q q r p r p q q r p r

• Pravilo tranzitivnosti za implikaciju ( pravilo silogizma) i ekvivalenciju:

• Ova pravila zaključivanja opravdavaju tautologije

• Primer:• Ako je čovek umetnik, onda je on je srećan.• Ako je čovek srećan, onda on dugo živi.

Zaključak• Umetnici dugo žive .• Primer:• Ako je broj deljiv sa 18 onda je deljiv sa 6.• Ako je broj deljiv sa 6 onda je deljiv sa 3.• Ako je broj deljiv sa 18 onda je deljiv sa 3.

p q q r p r p q q r p r

DOKAZ KONTRAPRIMEROM

• Dovoljno je da nađemo neku vrednost promenljive x za koje tvrđenje nije tačno, daoborimo tačnost polaznog tvrđenja.

Primer:• Proizvod svaka dva iracionalna broja je iracionalan.

Kontraprimer: ako su dati iracionalni brojevi i , njihov proizvod

je racionalan broj.

12x 3y

• Dovoljno je da nađemo neku vrednost promenljive x za koje tvrđenje nije tačno, daoborimo tačnost polaznog tvrđenja.

Primer:• Proizvod svaka dva iracionalna broja je iracionalan.

Kontraprimer: ako su dati iracionalni brojevi i , njihov proizvod

je racionalan broj.

36 6xy

• Generalizacija – uopštavanje

• Specijalizacija

• Kod ove vrste zaključivanja postoji višak informacija, nepotrebne se odbacuje , apažnja se usmerava samo ka željenom svojstvu.Primer:

• Želimo da odredimo da li je student položio matematiku, koja je ispit prve godine.• Utvrđujemo da je student položio sve predmete prve godine.• Znači, student je položio matematiku.

• Eliminacija

• Kada imamo dve mogućnosti, a jednu od njih isključimo, druga mora da važi.Primer:

• Naći sva pozitivna rešenja jednačine• Rešavanjem jednačine dobijaju se dva rešenja , ali poto tražimo samo

pozitivna rešenja uzimamo samo x=1.

,A B

A B A B

,A B A B

A B

• Generalizacija – uopštavanje

• Specijalizacija

• Kod ove vrste zaključivanja postoji višak informacija, nepotrebne se odbacuje , apažnja se usmerava samo ka željenom svojstvu.Primer:

• Želimo da odredimo da li je student položio matematiku, koja je ispit prve godine.• Utvrđujemo da je student položio sve predmete prve godine.• Znači, student je položio matematiku.

• Eliminacija

• Kada imamo dve mogućnosti, a jednu od njih isključimo, druga mora da važi.Primer:

• Naći sva pozitivna rešenja jednačine• Rešavanjem jednačine dobijaju se dva rešenja , ali poto tražimo samo

pozitivna rešenja uzimamo samo x=1.

, ,,

A B B A B A

A B

2 1 0x 1x

Modus ponens

• Modus tolens

• Kontrapozicija

• Generalizacija-uopštavanje•• Tranzitivnost implikacije-silogizam• Tranzitivnost ekvivalencije

• Kontradikcija –protivrečnost• Eliminacija-disjunktivni silogizam• Specijalizacija -simplifikacija

,A A B

B

,A A B

B

B A

A B

,A B

A B A B

Modus ponens

• Modus tolens

• Kontrapozicija

• Generalizacija-uopštavanje•• Tranzitivnost implikacije-silogizam• Tranzitivnost ekvivalencije

• Kontradikcija –protivrečnost• Eliminacija-disjunktivni silogizam• Specijalizacija -simplifikacija

,A B

A B A B

, ,,

A B B C A B B C

A C A C

A B B

A

, ,,

A B B A B A

A B

,A B A B

A B

Greške zaključivanja

• Često se pojavljuju greške zaključivanja:1. Ispravnost zaključka nije uslovljena istinitišću predpostavki.

Slatkiši su dobri za linijuČokolada je slatkišČokolada je dobra za liniju

• Greške konverzije:• Svi fudbaleri su sportisti -------ne povlači• Svi sportisti su fudbaleri

Provera ispravnosti zaključivanja

• Greške konverzije:

Primer:• Ispitati da li je sledeće zaključivanje dobro

• Ovom izrazu možemo da pridruzimo iskaznu formulu

• Iz tablice za ispitivanje istinitosti vidi se da u četvrtom redu iz tačnih predpostavki nedobija se tačan zaključak.

,A B A

B

p q p q

p q

p

qp q p

Primer:• Ispitati da li je sledeće zaključivanje dobro

• Ovom izrazu možemo da pridruzimo iskaznu formulu

• Iz tablice za ispitivanje istinitosti vidi se da u četvrtom redu iz tačnih predpostavki nedobija se tačan zaključak.

T T T

T T

T T

qp

TT

TT

• Primer:• Ispitati da li je sledeće zaključivanje dobro•• Ovom izrazu možemo da pridružimo tautologiju• Što znači da je zaključivanje ispravno.•• Do istog zaključka se može doći primenom pravila zaključivanja.

• modus ponens

• kontrapozicija

• modus ponens

, ,p q r q r

p

p q r q r p

• Primer:• Ispitati da li je sledeće zaključivanje dobro•• Ovom izrazu možemo da pridružimo tautologiju• Što znači da je zaključivanje ispravno.•• Do istog zaključka se može doći primenom pravila zaključivanja.

• modus ponens

• kontrapozicija

• modus ponens

,r q r

q

p q

q p

,q p q

p

MATEMATIČKA INDUKCIJA

• Matematika je više deduktivna nauka, tj. metod zaključivanja je od opšteg kaposebnom.

• Međutim, mnoge matematičke probleme moguće je proučavati induktivnommetodom, odnosno istraživački, stvaralački postupak po pravilu je induktivan.

• Princip matematičke indukcije isključuje mogućnost greške, koja može da se pojaviu empirijskoj indukciji, jer se odnosi na sve moguće slučajeve.

• Neka je T(n) teorema, tvrđenje, čija formulacija sadrži prirodni broj .• Ako je teorema tačna za n=1 ,• pod pretpostavkom da je tačna za bilo koji prirodni broj n=k ,• ako dokažemo da važi za n=k+1,• onda je teorema tačna za sve prirodne brojeve.

• Matematika je više deduktivna nauka, tj. metod zaključivanja je od opšteg kaposebnom.

• Međutim, mnoge matematičke probleme moguće je proučavati induktivnommetodom, odnosno istraživački, stvaralački postupak po pravilu je induktivan.

• Princip matematičke indukcije isključuje mogućnost greške, koja može da se pojaviu empirijskoj indukciji, jer se odnosi na sve moguće slučajeve.

• Neka je T(n) teorema, tvrđenje, čija formulacija sadrži prirodni broj .• Ako je teorema tačna za n=1 ,• pod pretpostavkom da je tačna za bilo koji prirodni broj n=k ,• ako dokažemo da važi za n=k+1,• onda je teorema tačna za sve prirodne brojeve.

Primer:• Dokazati da važi jednakost• 1. Za n=1 imamo jednakost je tačna.

• 2. Za n=k imamo . Pretpostavljamo da je jednakosttačna.

• 3. Za n=k+1 je . Treba da dokažemo, pod

pretpostavkom 2, da je jednakost 3 tačna.• Ako obema strana jednakosti dodamo sabirak dobijamo

čime smo dokazali da je pod pretpostavkom 2, jednakost tačna i za n=k+1 , odaklezaključujemo da je formula tačna za sve prirodne brojeve.

11 2 3 , .

2

n nn n N

1 1 11

2

11 2 3

2

k kk

1 21 2 3 1

2

k kk

Primer:• Dokazati da važi jednakost• 1. Za n=1 imamo jednakost je tačna.

• 2. Za n=k imamo . Pretpostavljamo da je jednakosttačna.

• 3. Za n=k+1 je . Treba da dokažemo, pod

pretpostavkom 2, da je jednakost 3 tačna.• Ako obema strana jednakosti dodamo sabirak dobijamo

čime smo dokazali da je pod pretpostavkom 2, jednakost tačna i za n=k+1 , odaklezaključujemo da je formula tačna za sve prirodne brojeve.

1 21 2 3 1

2

k kk

11 2 3 1 1 1

21

1 2 3 1 1 12

1 21 2 3 1

2

k k k k k

k k k k

k kk k

Primer:• Dokazati da je izraz deljiv sa 5• 1. Za n=1 imamo , 6-5+4=5, izraz je deljiv sa 5.• 2. Za n=k imamo , pretpostavljamo da je izraz deljiv sa 5.

• 3. Za n=k+1 jeTreba da ispitamo deljivost sa 5 , pod pretpostavkom 2.

Kako je svaki sabirak deljiv sa 5, proizilazi i da je ceo zbir deljiv sa 5,odakle zaključujemo da je formula tačna za sve prirodne brojeve.

6 5 4n n

6 5 4k k

16 5 1 4k k

Primer:• Dokazati da je izraz deljiv sa 5• 1. Za n=1 imamo , 6-5+4=5, izraz je deljiv sa 5.• 2. Za n=k imamo , pretpostavljamo da je izraz deljiv sa 5.

• 3. Za n=k+1 jeTreba da ispitamo deljivost sa 5 , pod pretpostavkom 2.

Kako je svaki sabirak deljiv sa 5, proizilazi i da je ceo zbir deljiv sa 5,odakle zaključujemo da je formula tačna za sve prirodne brojeve.

16 5 1 4 6 6 5 5 4 6 5 6 4

6 6 5 4 25 25

k k

k

k k k

k k

Primer:• Dokazati Bernulijevu nejednakost• 1. Za n=2 imamo , nejednakost je tačna.

• 2. Za n=k imamo pretpostavljamo da je ova nejednakosttačna.

• 3. Za n=k+1 je .Treba da dokažemo, pod pretpostavkom

• 2, da je nejednakost tačna.• Koristeći nejednakosti 2 dobijamo:

čime smo dokazali da je jednakost tačna i za , odakle zaključujemo da je formulatačna za sve prirodne brojeve.

1 1 , 1, 0 , 2n

h nh h h n

2 21 1 2 1 2h h h h

1 1k

h kh

11 1 1

kh k h

Primer:• Dokazati Bernulijevu nejednakost• 1. Za n=2 imamo , nejednakost je tačna.

• 2. Za n=k imamo pretpostavljamo da je ova nejednakosttačna.

• 3. Za n=k+1 je .Treba da dokažemo, pod pretpostavkom

• 2, da je nejednakost tačna.• Koristeći nejednakosti 2 dobijamo:

čime smo dokazali da je jednakost tačna i za , odakle zaključujemo da je formulatačna za sve prirodne brojeve.

11 1 1

kh k h

1 21 1 1 1 1 1 1 1 1k k

h h h kh h k h kh k h

ZADACI IZ INDUKCIJE

Primenom matematičke indukcije dokazati

2

2 2 2 2

223 3 3 3

2 2 2 1

1 3 2 1

1 2 11 2 3

6

11 2 3

41 2 2 2 2 1n

n n

n n nn

n nn

2

2 2 2 2

223 3 3 3

2 2 2 1

1 3 2 1

1 2 11 2 3

6

11 2 3

41 2 2 2 2 1n

n n

n n nn

n nn

3

1 6 1

24

11 6

9 2 11

1 2 1 6

2 4

1 3 5 2 1 1

2 4 6 2 3 1

n n

n

n n deljivo sa

deljivo sa

n n n deljivo sa

n

n

n n

PITANJA ZA PONAVLJANJE

• Šta je dedukcija ?• Šta je indukcija?• Koja je razlika između empiriske i matematičke indukcije?• Šta sadržava svaka matematička teorija?• Šta su definicije, aksiome, teoreme?• Koja su najvažnija pravila zaključivanja? ( definicija svakog od njih)

• Šta je dedukcija ?• Šta je indukcija?• Koja je razlika između empiriske i matematičke indukcije?• Šta sadržava svaka matematička teorija?• Šta su definicije, aksiome, teoreme?• Koja su najvažnija pravila zaključivanja? ( definicija svakog od njih)

TEORIJA ALGORITAMA

• Najveći broj zadataka danas čovek rešava pomoću računara. Da bi se na taj načinproblemi rešili proces rešavanja treba definisati kroz nekoliko koraka. Najvažniji su :

• Formulacija problema,• definisanje matematičkog oblika problema,• pravljenje algoritama,• programiranje,• izrada test primera,• testiranje problema,• dobijanje i analiza rezultata.

• Ovim i sličnim problemima bave se razne računarske discipline, ali osnova svega jematematika. Jedan od koraka, definisanje algoritama, je veoma složen i zahtevanposao. Teorija algoritama je samostalna oblast koja definiše apstraktne modele zarešavanje problema nezavisno od programskih jezika. Slično kao u ostalimmatematičkim disciplinama, potrebno je proučiti zakonitosti i principe algoritama, a nenjegove konkretne implementacije.

• Najveći broj zadataka danas čovek rešava pomoću računara. Da bi se na taj načinproblemi rešili proces rešavanja treba definisati kroz nekoliko koraka. Najvažniji su :

• Formulacija problema,• definisanje matematičkog oblika problema,• pravljenje algoritama,• programiranje,• izrada test primera,• testiranje problema,• dobijanje i analiza rezultata.

• Ovim i sličnim problemima bave se razne računarske discipline, ali osnova svega jematematika. Jedan od koraka, definisanje algoritama, je veoma složen i zahtevanposao. Teorija algoritama je samostalna oblast koja definiše apstraktne modele zarešavanje problema nezavisno od programskih jezika. Slično kao u ostalimmatematičkim disciplinama, potrebno je proučiti zakonitosti i principe algoritama, a nenjegove konkretne implementacije.

• Prvi algoritam napisao je persijski matematičar Abu Džafar Muhamed ibn Musa alHorezmi ( oko780-850g) i služio je za rešavanje algebarskih problema.

• Rođen je u gradu Horezmi ( današnji Uzbekistan ), ali je najveći deo života proveo uBgdadu radeći u takozvanoj ‘Kući mudrosti’ (velika dvorska biblioteka formitana u 8veku).

• U 8 veku dolazi do širenja islama i velikih osvajanja Arapa. Tako osvajaju Persiju injihova znanja asimiliraju.

• Preko njih dolaze o do znanja starih indusa.• Jedno od najznačajnijih bilo je otkriće pozicionog sistema i deset simbola

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

• U knjizi ‘Al Horezmi o indijskoj veštini računanja’, on u matematiku uvodi indijskecifre i decimalni brojni sistem, koje se vremenom pogrešno počinju da se nazivajuarapskim ciframa.a od lošeg prevoda imena ovog matematicara na latinski, nastaje ime za algoritam.

• Prvi algoritam napisao je persijski matematičar Abu Džafar Muhamed ibn Musa alHorezmi ( oko780-850g) i služio je za rešavanje algebarskih problema.

• Rođen je u gradu Horezmi ( današnji Uzbekistan ), ali je najveći deo života proveo uBgdadu radeći u takozvanoj ‘Kući mudrosti’ (velika dvorska biblioteka formitana u 8veku).

• U 8 veku dolazi do širenja islama i velikih osvajanja Arapa. Tako osvajaju Persiju injihova znanja asimiliraju.

• Preko njih dolaze o do znanja starih indusa.• Jedno od najznačajnijih bilo je otkriće pozicionog sistema i deset simbola

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

• U knjizi ‘Al Horezmi o indijskoj veštini računanja’, on u matematiku uvodi indijskecifre i decimalni brojni sistem, koje se vremenom pogrešno počinju da se nazivajuarapskim ciframa.a od lošeg prevoda imena ovog matematicara na latinski, nastaje ime za algoritam.

• Prvi računarski algoritam je napisala Ada Bajron 1842 godine.• U pitanju je algoritam za računanje Bernulijevih brojeva na analitičkoj mašini Čalsa

Bebidža.• Ta mašina nikada nije proradila, ali je njen algoritam ostavio dubok trag.• U njenu čast jedan od programskih jezika dobio je ime Ada.• Sledeći značajan napredak u formalizaciji uvođenja algoritma u matematiku i logiku

učinio je Alan Tjuring, definišući Tjuringovu mašinu.• To je primitivan automat, ustvari, misaona tvorevina koja poseduje mogućnost

izvođenja operacija koje su dovoljne za izvođenje skoro svih algoritama.• Njegova mašina inicirala je teoriju konačnih automata.• U novije vreme, pojam algoritma se gotovo isključivo vezuje za računarstvo, mada se

algoritmi koriste uvek kada jednostavno, u pojedinačnim koracima, želimo da rešimoneki problem. Na primer, svaki kuvarski recept je jedan algoritam.

• U matematici su poznati Euklidov algoritam za određivanje najvećeg zajedničkogdelioca dva broja, Gausov algoritam za rešavanje sistema linearnih jednačina i mnogidrugi.

• Prvi računarski algoritam je napisala Ada Bajron 1842 godine.• U pitanju je algoritam za računanje Bernulijevih brojeva na analitičkoj mašini Čalsa

Bebidža.• Ta mašina nikada nije proradila, ali je njen algoritam ostavio dubok trag.• U njenu čast jedan od programskih jezika dobio je ime Ada.• Sledeći značajan napredak u formalizaciji uvođenja algoritma u matematiku i logiku

učinio je Alan Tjuring, definišući Tjuringovu mašinu.• To je primitivan automat, ustvari, misaona tvorevina koja poseduje mogućnost

izvođenja operacija koje su dovoljne za izvođenje skoro svih algoritama.• Njegova mašina inicirala je teoriju konačnih automata.• U novije vreme, pojam algoritma se gotovo isključivo vezuje za računarstvo, mada se

algoritmi koriste uvek kada jednostavno, u pojedinačnim koracima, želimo da rešimoneki problem. Na primer, svaki kuvarski recept je jedan algoritam.

• U matematici su poznati Euklidov algoritam za određivanje najvećeg zajedničkogdelioca dva broja, Gausov algoritam za rešavanje sistema linearnih jednačina i mnogidrugi.

• Teško je dati preciznu definiciju algoritma i postoje mnoge ekvivalentene definicije,manje ili više stroge, ali može se opisno reći da:

• Algoritam je skup jasno definisanih pravila koja opisuju rešavanje nekog problema.

• Algoritmi se mogu prestaviti na neki od sledećih načina:

• Dijagram- blok algoritamska šema,• psudo jezici, odnosno, pseudokod. (Pseudokod predstavlja među korak između

svakodnevnog jezika, (srpski, engleski i td. i programskih jezika),• programski jezici,• Prostova mašina ,• Tjuringova mašina,• rekurzivne funkcije i mnogi drugi

• Teško je dati preciznu definiciju algoritma i postoje mnoge ekvivalentene definicije,manje ili više stroge, ali može se opisno reći da:

• Algoritam je skup jasno definisanih pravila koja opisuju rešavanje nekog problema.

• Algoritmi se mogu prestaviti na neki od sledećih načina:

• Dijagram- blok algoritamska šema,• psudo jezici, odnosno, pseudokod. (Pseudokod predstavlja među korak između

svakodnevnog jezika, (srpski, engleski i td. i programskih jezika),• programski jezici,• Prostova mašina ,• Tjuringova mašina,• rekurzivne funkcije i mnogi drugi

DIJAGRAM- BLOK ŠEMA

• Najčešće, algoritam se predstavlja u obliku blok šeme sa jasno definisanim nizomradnji, korak po korak.

• Grafički zapis algoritma naziva se algoritamska blok šema.• Grafički simboli koje se koriste za pravljenje algoritamske šeme su:

• Početak- prvi korak algoritma

• Definiše ulazne veličine algoritma

• Definiše obradu podataka

• Uslovni algoritamski korak

• Definiše izlazne veličine algoritma

• Definiše kraj algoritma

• Najčešće, algoritam se predstavlja u obliku blok šeme sa jasno definisanim nizomradnji, korak po korak.

• Grafički zapis algoritma naziva se algoritamska blok šema.• Grafički simboli koje se koriste za pravljenje algoritamske šeme su:

• Početak- prvi korak algoritma

• Definiše ulazne veličine algoritma

• Definiše obradu podataka

• Uslovni algoritamski korak

• Definiše izlazne veličine algoritma

• Definiše kraj algoritma

• Algoritamske šeme mogu se podeliti u dve kategorije:• Linijske algoritamske šeme,• ciklične algoritamske šeme

• Linijske algoritamske šeme su one šeme kod kojih se svaki algoritamski korakizvršava najviše jedanput u toku izvršavanja algoritma.Mogu biti proste i razgranate.

• Proste linijske algoritamske šeme, su one šeme kod kojih se svaki algoritamskikorak izvršava tačno jednput u toku izvršavanja algoritma.

• Razgranate linijske algoritamske šeme, su one šeme kod kojih se svaki korakizvršava tačno jedanput i obavezno sadrži bar jedan uslovni algoritamski korak. Akoje uslov ispunjen, izlaz iz algoritamskog koraka biće označen sa da, a ako uslov nijeispunjen izlaz će biti označen sa ne.

• Algoritamske šeme mogu se podeliti u dve kategorije:• Linijske algoritamske šeme,• ciklične algoritamske šeme

• Linijske algoritamske šeme su one šeme kod kojih se svaki algoritamski korakizvršava najviše jedanput u toku izvršavanja algoritma.Mogu biti proste i razgranate.

• Proste linijske algoritamske šeme, su one šeme kod kojih se svaki algoritamskikorak izvršava tačno jednput u toku izvršavanja algoritma.

• Razgranate linijske algoritamske šeme, su one šeme kod kojih se svaki korakizvršava tačno jedanput i obavezno sadrži bar jedan uslovni algoritamski korak. Akoje uslov ispunjen, izlaz iz algoritamskog koraka biće označen sa da, a ako uslov nijeispunjen izlaz će biti označen sa ne.

• Grafički prikaz proste linijske šeme dat je na sledećoj slici.

• Primer: Sastaviti algoritamsku šemu za izračunavanje izraza Z=a(b-3c)

• Grafički prikaz razgranate linijske šeme dat je na sledećoj slici.

• Primer:Sastaviti algoritam za računanje vrednosti

,

,

a b a bZ

a b a b

• Ciklične algoritamske šeme su one šeme u kojima se jedan ili više algoritamskihkoraka može izvršavati više od jedanput u toku izvršavanja algoritma. Ovi koraci čineciklus. Ukoliko je uslov ispunjen izlazi se iz ciklusa, u suprotnom ciklus se ponavlja.

• Uslov za izlazak iz ciklusa zove se izlazni kriterijum ciklusa.• Ciklične algoritamske šeme mogu biti konstantne i promenljive.• Konstantne ciklične šeme su šeme kod kojih se zakon obrade tokom ciklusa ne

menja, dok se kod promenljivih menja.PočetakPočetak

P1

P3

P2

Kraj

Uslovda

ne

• Primer:Sastaviti algoritam koji za poznato n izračunava aritmetičku sredinu zadatih brojeva

1 1, , , nx x x 1 1 nx x xP

n

Početak

P=0

x1,x2,....,xn,n

n=0da

P=0

P

i=1

S=0

Kraj

i=nda

ne

n=0

ne

S=S+xi

i=i+1

P=S/n

EKVIVALENTNI ALGORITMI

• Za rešavanje jednog istog zadatka može se sastaviti više algoritama različitihstruktura.

• Za ovakve algoritme kaže se da su ekvivalentni.

• Među ekvivalentnim algoritmima treba izabrati onaj koji najefikasnije dovodi dorezultata.

• Kriterijumi za izbor najefikasnijeg algoritma su različiti:

1. najveća brzina izvršavanja algoritma,2. minimalno angažovanje memorijskog prostora,3. minimalno vreme koje je potrebno za izvršavanje algoritma,4. što jednostavnija struktura i td,

• Za rešavanje jednog istog zadatka može se sastaviti više algoritama različitihstruktura.

• Za ovakve algoritme kaže se da su ekvivalentni.

• Među ekvivalentnim algoritmima treba izabrati onaj koji najefikasnije dovodi dorezultata.

• Kriterijumi za izbor najefikasnijeg algoritma su različiti:

1. najveća brzina izvršavanja algoritma,2. minimalno angažovanje memorijskog prostora,3. minimalno vreme koje je potrebno za izvršavanje algoritma,4. što jednostavnija struktura i td,

OSOBINE ALGORITAMA

Među najvažnije osobine algoritama spadaju:

• Diskretnost :svakom koraku možemo pridružiti diskretan vremenski period u kome se taj korakizvršava.

• Determinisanost:svaki korak sadrži ulazne veličine, na osnovu kojih se jednoznačno dobijaju izlazneveličine.

• Elementarnost:zakon dobijanja izlaznih veličina mora biti jasan i prost.

• Rezultativnost:svakom skupu ulaznih veličina mora biti definisano šta je rezultat.

• Masovnost:algoritam treba tako napraviti da važi za najširi skup ulaznih podataka.

Među najvažnije osobine algoritama spadaju:

• Diskretnost :svakom koraku možemo pridružiti diskretan vremenski period u kome se taj korakizvršava.

• Determinisanost:svaki korak sadrži ulazne veličine, na osnovu kojih se jednoznačno dobijaju izlazneveličine.

• Elementarnost:zakon dobijanja izlaznih veličina mora biti jasan i prost.

• Rezultativnost:svakom skupu ulaznih veličina mora biti definisano šta je rezultat.

• Masovnost:algoritam treba tako napraviti da važi za najširi skup ulaznih podataka.

• Posao sastavljanja algoritma je kreativne prirode i ne postoje univerzalan pravila pokome se posao može formalizovati.

• Samo kod jednostavnih struktura, kao što su linijske strukture, ispravnost se možeutvrditi pažljivim pregledom svijh koraka.

• Za ispitivanje ispravnosti algoritma najčešće se koristi testiranje.• Izabira se izvestan broj primera.• Testiranje može poslužiti samo za dokazivanje prisustva greške, a nikako nije dokaz

da greške nema.• Testiranje algoritamskih šema oduzima mnogo vremena i podložno je greškama koje

čovek može da napravi.• Zato se danas za proveru ispravnosti koriste računari.

• Posao sastavljanja algoritma je kreativne prirode i ne postoje univerzalan pravila pokome se posao može formalizovati.

• Samo kod jednostavnih struktura, kao što su linijske strukture, ispravnost se možeutvrditi pažljivim pregledom svijh koraka.

• Za ispitivanje ispravnosti algoritma najčešće se koristi testiranje.• Izabira se izvestan broj primera.• Testiranje može poslužiti samo za dokazivanje prisustva greške, a nikako nije dokaz

da greške nema.• Testiranje algoritamskih šema oduzima mnogo vremena i podložno je greškama koje

čovek može da napravi.• Zato se danas za proveru ispravnosti koriste računari.

KOMPLEKSNOST ALGORITMA• Kompleksnost algoritma predstavlja vreme rada algoritma, odnosno broj koraka

algoritma koji dovode do traženog rešenja.

• Kako su vreme rada algoritma i broj koraka direktno proporcionalne veličine, nebitnoje koja će se od ovih veličina koristiti za definisanje kompleksnosti.

• Vreme rada zavisi i od ulaznih podataka i oni definišu dimenziju problema.

• Kompleksnost algoritma definisana je funkcijom f(n) koja određuje vreme radaalgoritma u zavisnosti od dimenzije problema za najnepovoljniji ulazni podatak.

• Kompleksnost algoritma može da bude:• konstantna,• linearna,• polinomijalna,• eksponencijalna,

• Kompleksnost algoritma predstavlja vreme rada algoritma, odnosno broj korakaalgoritma koji dovode do traženog rešenja.

• Kako su vreme rada algoritma i broj koraka direktno proporcionalne veličine, nebitnoje koja će se od ovih veličina koristiti za definisanje kompleksnosti.

• Vreme rada zavisi i od ulaznih podataka i oni definišu dimenziju problema.

• Kompleksnost algoritma definisana je funkcijom f(n) koja određuje vreme radaalgoritma u zavisnosti od dimenzije problema za najnepovoljniji ulazni podatak.

• Kompleksnost algoritma može da bude:• konstantna,• linearna,• polinomijalna,• eksponencijalna,

PSEUDO KOD

• Savremeniji način za zapisivanje algoritama je pomoću pseudo kodova.• Problem predstavljen na ovaj način je samo korak do zapisa na nekom od

programskih jezika.• Svaki algoritamski korak je jasno obeležen.• Reči tipa if, end, begin, for, while i druge su rezervisane reči koje se koriste

dogovorno za definisanje isključivo instrukcija.1. Proste linijske strukture se zapisuju na sledeći način:

BEGIN.........END

2. Razgranate linijske strukture pošto sadrže bar jedan uslovni korak, moraju imati izapise oblikaIF p THEN a ELSE b END

3. Ciklične algoritamske šeme sadrže petlje (loop) i mogu biti:Petlje sa brojačem (FOR)Petlje sa uslovnim korakom ( WHILE )

• Savremeniji način za zapisivanje algoritama je pomoću pseudo kodova.• Problem predstavljen na ovaj način je samo korak do zapisa na nekom od

programskih jezika.• Svaki algoritamski korak je jasno obeležen.• Reči tipa if, end, begin, for, while i druge su rezervisane reči koje se koriste

dogovorno za definisanje isključivo instrukcija.1. Proste linijske strukture se zapisuju na sledeći način:

BEGIN.........END

2. Razgranate linijske strukture pošto sadrže bar jedan uslovni korak, moraju imati izapise oblikaIF p THEN a ELSE b END

3. Ciklične algoritamske šeme sadrže petlje (loop) i mogu biti:Petlje sa brojačem (FOR)Petlje sa uslovnim korakom ( WHILE )

• Primer:Izračunati približno kvadratni koren broja z sa zadatom greškom pomoću formule

1 0

1,

2 2n nn

z zx x x

x

,z

0 2

zx

1 00

1

2

zx x

x

1 00

1

2

zx x

x

0 1x x

0 1x x

1x

• Ako bi koristili pseudo jezik za pisanje algoritma imali bi:

0

1 00

1 0

0 1

: ( , )

2

1

2

procedura koren z

zx

loop

zx x

x

if x x then end

x x

end loop

0

1 00

1 0

0 1

: ( , )

2

1

2

procedura koren z

zx

loop

zx x

x

if x x then end

x x

end loop

MATEMATIČKA DEFINICIJA ALGORITMA

• Intuitivno shvatanje algoritma kao postupka za rešavanje problema ne zadovoljavani teorijske ni praktične potrebe.

• Neki autori ograničavaju definiciju algoritma na procedure koje se konačnozavršavaju, odnosno determinističke algoritme.

• Naravno, ostaju otvorena pitanja koja se odnose probleme koji u sebe uključujuslučajnost, zatim dilema je da li je potrebno postavljati uslov da se problem morazavršiti u konačnom vremenu sa zauzećem konačne memorije.

• Pitanje je znači da li za svaki problem možemo sastaviti algoritam za njegovorešavanje, odnosno postoje li zadaci za koje postupak rešavanja ne može bitipredstavljen u obliku algoritma?

• Da li je u tom slučaju u pitanju naše neznanje ili principijelna nemogućnost?

• Svim tim i sličnim pitanjima bavi se matematičko-informatička disciplina Teorija

algoritama.

• Intuitivno shvatanje algoritma kao postupka za rešavanje problema ne zadovoljavani teorijske ni praktične potrebe.

• Neki autori ograničavaju definiciju algoritma na procedure koje se konačnozavršavaju, odnosno determinističke algoritme.

• Naravno, ostaju otvorena pitanja koja se odnose probleme koji u sebe uključujuslučajnost, zatim dilema je da li je potrebno postavljati uslov da se problem morazavršiti u konačnom vremenu sa zauzećem konačne memorije.

• Pitanje je znači da li za svaki problem možemo sastaviti algoritam za njegovorešavanje, odnosno postoje li zadaci za koje postupak rešavanja ne može bitipredstavljen u obliku algoritma?

• Da li je u tom slučaju u pitanju naše neznanje ili principijelna nemogućnost?

• Svim tim i sličnim pitanjima bavi se matematičko-informatička disciplina Teorija

algoritama.

REKURZIVNE FUNKCIJE

• Jedan od načina da se definiše algoritam je pomoću rekurzivnih funkcija.

• Mi ćemo rekurzivne funkcije definisati na skupu celih brojeva, mada se ta definicijamože uopštiti.

• Rekurzija (lat. recursio, recursion od recurrere: vraćanje) u matematici i informaticioznačava postupak ili funkciju koje u svojoj definiciji koriste sopstvene vrednosti.

Sastoje se iz dva koraka:

1. Funkcija je definisana za neku početnu vrednost a ( najčešće 0 ili 1 ),

1. Ako je funkcija definisana za neku vrednost n, (koja je veća ili jednaka a), tada možeda se definiše i za vrednost n+1.

• Jedan od načina da se definiše algoritam je pomoću rekurzivnih funkcija.

• Mi ćemo rekurzivne funkcije definisati na skupu celih brojeva, mada se ta definicijamože uopštiti.

• Rekurzija (lat. recursio, recursion od recurrere: vraćanje) u matematici i informaticioznačava postupak ili funkciju koje u svojoj definiciji koriste sopstvene vrednosti.

Sastoje se iz dva koraka:

1. Funkcija je definisana za neku početnu vrednost a ( najčešće 0 ili 1 ),

1. Ako je funkcija definisana za neku vrednost n, (koja je veća ili jednaka a), tada možeda se definiše i za vrednost n+1.

Rekurzivne definicije su veoma prisutne u matematici.

Primer:Napisati rekurzivnu definiciju prirodnih brojeva:1) 1 je prirodni broj2) Ako je n prirodni broj, onda je to i n+1.

• Rekurzivne funkcije imaju za osobinu da za izračunavanje njenih vrednosti postojiefektivni postupak.

• Nažalost proces izračunavanja može da bude dugotrajan, ali je sigurno uvek jasan iočigledan.

• Do rešenja ćemo uvek doći posle konačno mnogo proveravanja, odnosno koraka.

• Za takve funkcije kažemo da su izračunljive.

Rekurzivne definicije su veoma prisutne u matematici.

Primer:Napisati rekurzivnu definiciju prirodnih brojeva:1) 1 je prirodni broj2) Ako je n prirodni broj, onda je to i n+1.

• Rekurzivne funkcije imaju za osobinu da za izračunavanje njenih vrednosti postojiefektivni postupak.

• Nažalost proces izračunavanja može da bude dugotrajan, ali je sigurno uvek jasan iočigledan.

• Do rešenja ćemo uvek doći posle konačno mnogo proveravanja, odnosno koraka.

• Za takve funkcije kažemo da su izračunljive.

Primer:• Uočimo funkciju , definisanu na skupu nenegativnih celih brojeva.

• Ona se može shvatiti kao proizvod od n vrednosti broja a,

• Isto tako funkcija se može zapisati i rekurzivno na sledeći način

• Izračunati• Kako je

nf n a

n

n

a a a a

00 1 1

1

f znajući da je a

f n a f n

Primer:• Uočimo funkciju , definisanu na skupu nenegativnih celih brojeva.

• Ona se može shvatiti kao proizvod od n vrednosti broja a,

• Isto tako funkcija se može zapisati i rekurzivno na sledeći način

• Izračunati• Kako je

00 1 1

1

f znajući da je a

f n a f n

3f

3

1) 1

2) 3 2 1 0 1

oa

f a f a a f a a a f a a a a

Primer:• Uočimo funkciju , definisanu na skupu nenegativnih celih brojeva.

• Funkcija se može zapisati rekurzivno na sledeći način

!f n n

! 1 2 2 1n n n n

0 1 0! 1

1 1

def

f znajući da je

f n n f n

• Bitno je napomenuti da u savremenim programskim jezicima poput C/C++ i Javesvako rekurzivno rešenje nekog problema ima i svoj iterativni ekvivalent, tj.algoritam koji isti problem rešava bez rekurzije.

• U praktičnom programiranju uglavnom treba izbegavati rekurziju jer takva rešenja uopštem slučaju troše više vremena od iterativnih.

• Rešavanje rekurzivne jednačine omogućava prelazak iz rekurentnog u obični,iterativni, oblik funkcije.

• Obično se odredi nekoliko početnih vrednosti, pa se na osnovu tih podataka izvodiopšti obrazac.

• Dobijeni obrazac treba strogo dokazati matematičkom indukcijom.

• Bitno je napomenuti da u savremenim programskim jezicima poput C/C++ i Javesvako rekurzivno rešenje nekog problema ima i svoj iterativni ekvivalent, tj.algoritam koji isti problem rešava bez rekurzije.

• U praktičnom programiranju uglavnom treba izbegavati rekurziju jer takva rešenja uopštem slučaju troše više vremena od iterativnih.

• Rešavanje rekurzivne jednačine omogućava prelazak iz rekurentnog u obični,iterativni, oblik funkcije.

• Obično se odredi nekoliko početnih vrednosti, pa se na osnovu tih podataka izvodiopšti obrazac.

• Dobijeni obrazac treba strogo dokazati matematičkom indukcijom.

• Primer:• Rešiti rekurentnu jednačinu

• Kako je

• Znači, možemo da zaključimo da je

1 1

2 1 1

f

f k f k

1 1

2 2 1 1 3

3 2 3 1 7

4 2 7 1 15

5 2 15 1 31

f

f

f

f

f

• Primer:• Rešiti rekurentnu jednačinu

• Kako je

• Znači, možemo da zaključimo da je

1 1

2 2 1 1 3

3 2 3 1 7

4 2 7 1 15

5 2 15 1 31

f

f

f

f

f

2 1nf n

• Dokaz se izvodi matematičkom indukcijom.

• Prvo dokazujemo da je za n=1

• Prema tome dobijena formula je tačna za sve prirodne brojeve

1 1f

1

1

2) , 2 1

3) 1, 1 2 1?

1 2 1 2 2 1 1 2 1

k

k

k k

n k f k

n k f k

f k f k

• Dokaz se izvodi matematičkom indukcijom.

• Prvo dokazujemo da je za n=1

• Prema tome dobijena formula je tačna za sve prirodne brojeve

1

1

2) , 2 1

3) 1, 1 2 1?

1 2 1 2 2 1 1 2 1

k

k

k k

n k f k

n k f k

f k f k

REKURZIVNI ALGORITMI

• Algoritam je rekurzivni ako se rešavanje problema svodi na predhodni korak,jednostavnijeg ulaza.

• Da bi se algoritam koji koristi rekurziju završio mora se predvideti uslov izlaska,odnosno uslov završetka.

• Rekurzivni algoritam zahteva jednu ili više ulaznih veličina, a vraća jednu sračunatu.Ta vrednost je iz koraka u korak sve bliža željenoj, iskazanoj u uslovu izlaska.

• Algoritam u sebi sadrži naredbu if koja testira uslov izlaska i naredbu else kojom serekurzivno poziva sama funkcija, odnosno algoritam.

Primer:• Rekurzivni algoritam za izračunavanje stepena

• Algoritam je rekurzivni ako se rešavanje problema svodi na predhodni korak,jednostavnijeg ulaza.

• Da bi se algoritam koji koristi rekurziju završio mora se predvideti uslov izlaska,odnosno uslov završetka.

• Rekurzivni algoritam zahteva jednu ili više ulaznih veličina, a vraća jednu sračunatu.Ta vrednost je iz koraka u korak sve bliža željenoj, iskazanoj u uslovu izlaska.

• Algoritam u sebi sadrži naredbu if koja testira uslov izlaska i naredbu else kojom serekurzivno poziva sama funkcija, odnosno algoritam.

Primer:• Rekurzivni algoritam za izračunavanje stepena

: ( , )

0 , 1

, , 1

procedura stepen a je realan broj n je nenegativan broj

if n then stepen a n

else stepen a n a stepen a n

Primer:• Rekurzivni algoritam za izračunavanje faktorijela

: ( )

0 1

1 1

procedura faktorijel n je nenegativan broj

if n then fak n

else fak n n fak n

: ( )

0 1

1 1

procedura faktorijel n je nenegativan broj

if n then fak n

else fak n n fak n

Primer:• Nerekurzivni algoritam za izračunavanje faktorijela

: ( )

0 1

1

procedura faktorijel n je nenegativan broj

if n then fak

for k to n

fak k fak

: ( )

0 1

1

procedura faktorijel n je nenegativan broj

if n then fak

for k to n

fak k fak

ČERČOVA TEZA

Već smo naglasili:• Rekurzivne funkcije imaju za osobinu da za izračunavanje njenih vrednosti postoji

efektivni postupak, koji neke ulazne podatke uvek preslikava u odgovor.• Do rešenja dolazimo posle konačno mnogo koraka. Proces izračunavanja može da

bude dugotrajan ali je uvek jasan i očigledan.

• Zato, za rekurzivne funkcije kažemo da su izračunljive.• Izračunljive funkcije često se nazivaju i algoritamske funkcije.

• Obrnuto tvrđenje bi bilo - Veruje se da je svaka izračunljiva funkcija rekurzivna.Ovo tvrđenje naziva se Čerčova teza.

• Rekurzivne funkcije su jedna uža klasa funkcija koje zovemo aritmetičke.• Aritmetička funkcija je funkcija oblika

Uzimamo da je skup N proširen sa 0.

• Čerčova teza: Aritmetička funkcija je izračunljiva ako je rekurzivna.

Već smo naglasili:• Rekurzivne funkcije imaju za osobinu da za izračunavanje njenih vrednosti postoji

efektivni postupak, koji neke ulazne podatke uvek preslikava u odgovor.• Do rešenja dolazimo posle konačno mnogo koraka. Proces izračunavanja može da

bude dugotrajan ali je uvek jasan i očigledan.

• Zato, za rekurzivne funkcije kažemo da su izračunljive.• Izračunljive funkcije često se nazivaju i algoritamske funkcije.

• Obrnuto tvrđenje bi bilo - Veruje se da je svaka izračunljiva funkcija rekurzivna.Ovo tvrđenje naziva se Čerčova teza.

• Rekurzivne funkcije su jedna uža klasa funkcija koje zovemo aritmetičke.• Aritmetička funkcija je funkcija oblika

Uzimamo da je skup N proširen sa 0.

• Čerčova teza: Aritmetička funkcija je izračunljiva ako je rekurzivna.

: nf N N

• Nažalost ova teza nije dokazana u matematičkom smislu.• U suštini ona tvrdi da za neki problem postoji algoritam ako se rešavanje problema

svodi na izračunavanje vrednosti adekvatne rekurzivne funkcije.• Problem koji se rešava tada se mora formulisati kao aritmetički problem.• Problem van aritmetike mora se preslikati u aritmetički.• Da bi se to postiglo prvo se problem mora predstaviti nekim univerzalnim jezikom, na

primer, kvantifikatorskog računa, a zatim se to preslikava na jezik aritmetike.

• Dakle:• Rekurzivna funkcija je jedan opšti model algoritma.

• Nažalost ova teza nije dokazana u matematičkom smislu.• U suštini ona tvrdi da za neki problem postoji algoritam ako se rešavanje problema

svodi na izračunavanje vrednosti adekvatne rekurzivne funkcije.• Problem koji se rešava tada se mora formulisati kao aritmetički problem.• Problem van aritmetike mora se preslikati u aritmetički.• Da bi se to postiglo prvo se problem mora predstaviti nekim univerzalnim jezikom, na

primer, kvantifikatorskog računa, a zatim se to preslikava na jezik aritmetike.

• Dakle:• Rekurzivna funkcija je jedan opšti model algoritma.

TJURINGOVA MAŠINA

• Tjuringova mašina otkriva suštinu pojma algoritma razmatranjem postupaka koji seostvariti na mašini i može da posluži za definiciju pojma algoritma.

• Tjuringova mašina je jedan zamišljeni model računara, nastala pre pojaveelektronskih računara.

• Može da obavlja nekoliko operacija, ali one su dovoljne za izvođenje skoro svihalgoritama.

• Čerčova teza tvrdi da svaki dobro definisan algoritam se može izvršiti na Tjuringovojmašini.

• Algoritam je niz instrukcija koje se mogu obaviti pomoću Tjuringove mašine.• Problem je algoritamski rešiv akko se može rešiti na Tjuringovoj mašini.

• Tjuringova mašina otkriva suštinu pojma algoritma razmatranjem postupaka koji seostvariti na mašini i može da posluži za definiciju pojma algoritma.

• Tjuringova mašina je jedan zamišljeni model računara, nastala pre pojaveelektronskih računara.

• Može da obavlja nekoliko operacija, ali one su dovoljne za izvođenje skoro svihalgoritama.

• Čerčova teza tvrdi da svaki dobro definisan algoritam se može izvršiti na Tjuringovojmašini.

• Algoritam je niz instrukcija koje se mogu obaviti pomoću Tjuringove mašine.• Problem je algoritamski rešiv akko se može rešiti na Tjuringovoj mašini.

• Tjuringova mašina oponaša ponašanje čoveka koji računa po strogo utvrđenimpropisima.

• Koristi se za rešavanje problema odlučivanja.• To su problemi kod kojih se rešenje sastoji u utvrđivanju ili opovrgavanju neke

osobine, odnosno rešavanje problema može da se svede na odgovore da ili ne.• Naravno nisu svi problemi problemi odlučivanja, ali se neki mogu svesti na njih.• Mada mogu da budu tehnički mogući, Tjuringove mašine nisu smišljene kao praktična

računarska tehnologija, već kao misaoni eksperiment o granicama mehaničkogračunanja i u praksi ove mašine se ne konstruišu.

• Tjuringova mašina oponaša ponašanje čoveka koji računa po strogo utvrđenimpropisima.

• Koristi se za rešavanje problema odlučivanja.• To su problemi kod kojih se rešenje sastoji u utvrđivanju ili opovrgavanju neke

osobine, odnosno rešavanje problema može da se svede na odgovore da ili ne.• Naravno nisu svi problemi problemi odlučivanja, ali se neki mogu svesti na njih.• Mada mogu da budu tehnički mogući, Tjuringove mašine nisu smišljene kao praktična

računarska tehnologija, već kao misaoni eksperiment o granicama mehaničkogračunanja i u praksi ove mašine se ne konstruišu.

• Tjuringova mašina ima vrlo jednostavnu konstrukciju.• Sastoji se od beskonačne trake, koja ima na sebi polja – ćelije u koje mogu da se

upisuju simboli i glave koja može da čita i piše simbole.• Za Tjuringovu mašinu se definiše azbuka simbola S koja će se u njoj koristiti, i spisak

stanja Q u kojima glava za čitanje i pisanje može da se nalazi.• Definišu se početno stanje, i završno stanje; početno stanje je stanje u kome se

mašina nalazi na početku rada, a kada mašina dođe u završno stanje, prestaje saradom.

• Glava može da se pomera za jedno polje ulevo, za jedno polje udesno, ili da ostane umestu.

• U zavisnosti od stanja u kome se glava nalazi, i od simbola koji se nalazi u kućiciiznad koje je glava postavljena, glava će u tu kućicu upisati određeni simbol, pomeritise levo ili desno (ili ostati u mestu), i promeniti svoje stanje.

• Ovaj proces se ponavlja dok Tjuringova mašina ne stigne u završno stanje.

• Tjuringova mašina ima vrlo jednostavnu konstrukciju.• Sastoji se od beskonačne trake, koja ima na sebi polja – ćelije u koje mogu da se

upisuju simboli i glave koja može da čita i piše simbole.• Za Tjuringovu mašinu se definiše azbuka simbola S koja će se u njoj koristiti, i spisak

stanja Q u kojima glava za čitanje i pisanje može da se nalazi.• Definišu se početno stanje, i završno stanje; početno stanje je stanje u kome se

mašina nalazi na početku rada, a kada mašina dođe u završno stanje, prestaje saradom.

• Glava može da se pomera za jedno polje ulevo, za jedno polje udesno, ili da ostane umestu.

• U zavisnosti od stanja u kome se glava nalazi, i od simbola koji se nalazi u kućiciiznad koje je glava postavljena, glava će u tu kućicu upisati određeni simbol, pomeritise levo ili desno (ili ostati u mestu), i promeniti svoje stanje.

• Ovaj proces se ponavlja dok Tjuringova mašina ne stigne u završno stanje.

• Tjuringova mašina radi nad konačnim skupom simbola.• Ti elementi se mogu poređati u niz.• Dakle, Tjuringova mašina predstavlja prebrojiv skup.• To znači da je skup svih algoritama prebroji.• Naravno skup svih problema odlučivanja je neprebrojiv, što znači da postoje problemi

za koje ne postoje algoritmi.• Jedan od nerešivih problema je problem zaustavljanja Tjuringove mašine.

• Osim Tjuringove mašine postoje i fon Nojmanova mašina, Prostova mašina, algoritmiMarkova, mašine Minskog i mnogi drugi formalizmi.

• Svi ovi sistemi su međusobno ekvivalentni, odnosno simuliraju jedni druge.• U suštini klasa diskretnih funkcija koje te mašine mogu da izračunavaju je ista u svim

slučajevima.• To je jedna robusna klasa funkcija koja je otporna na promene računarskih modela, a

radi se o klasi izračunljivih funkcija, odnosno svi problemi se svode na Čerčovu tezu.

• Tjuringova mašina radi nad konačnim skupom simbola.• Ti elementi se mogu poređati u niz.• Dakle, Tjuringova mašina predstavlja prebrojiv skup.• To znači da je skup svih algoritama prebroji.• Naravno skup svih problema odlučivanja je neprebrojiv, što znači da postoje problemi

za koje ne postoje algoritmi.• Jedan od nerešivih problema je problem zaustavljanja Tjuringove mašine.

• Osim Tjuringove mašine postoje i fon Nojmanova mašina, Prostova mašina, algoritmiMarkova, mašine Minskog i mnogi drugi formalizmi.

• Svi ovi sistemi su međusobno ekvivalentni, odnosno simuliraju jedni druge.• U suštini klasa diskretnih funkcija koje te mašine mogu da izračunavaju je ista u svim

slučajevima.• To je jedna robusna klasa funkcija koja je otporna na promene računarskih modela, a

radi se o klasi izračunljivih funkcija, odnosno svi problemi se svode na Čerčovu tezu.

TJURINGOVA MAŠINA

• Ovu mašinu je 1936 godine opisao Alan Tjuring.

• Alan Matison Tjuring (1912-1954), je bio engleski matematičar, logičar i kriptograf.Smatra se ocem modernog računarstva. Dao je značajan i provokativan doprinosdebati koja se ticala veštačke inteligencije, tj. da li će ikad biti moguće reći da jemašina svesna i da može da misli. 1947 je prešao na Univerzitet u Mančesteru i radioje uglavnom na softveru, na Marku I, za koji se smatra da je jedan od prvih pravihračunara. Tokom Drugog svetskog rata, Tjuring je radio u Blečli parku, britanskomkriptoanalitičkom centru i bio je jedno vreme šef Hut-a 8, odeljenja zaduženog zanemačku mornaricu. Tjuring je razvio više tehnika za razbijanje šifara, uključujućimetod bombe, elektromehaničku mašinu, koja je mogla da otkrije postavke nemačkepodmorničke šifre Enigme. Godine 1952. Tjuring je osuđen za delo „velikenepristojnosti“, pošto je priznao da je bio u vezi sa muškarcem u Mančesteru. Tjuringje umro 1954. pošto je pojeo jabuku napunjenu cijanidom. Njegova smrt se smatrasamoubistvom.

• Ovu mašinu je 1936 godine opisao Alan Tjuring.

• Alan Matison Tjuring (1912-1954), je bio engleski matematičar, logičar i kriptograf.Smatra se ocem modernog računarstva. Dao je značajan i provokativan doprinosdebati koja se ticala veštačke inteligencije, tj. da li će ikad biti moguće reći da jemašina svesna i da može da misli. 1947 je prešao na Univerzitet u Mančesteru i radioje uglavnom na softveru, na Marku I, za koji se smatra da je jedan od prvih pravihračunara. Tokom Drugog svetskog rata, Tjuring je radio u Blečli parku, britanskomkriptoanalitičkom centru i bio je jedno vreme šef Hut-a 8, odeljenja zaduženog zanemačku mornaricu. Tjuring je razvio više tehnika za razbijanje šifara, uključujućimetod bombe, elektromehaničku mašinu, koja je mogla da otkrije postavke nemačkepodmorničke šifre Enigme. Godine 1952. Tjuring je osuđen za delo „velikenepristojnosti“, pošto je priznao da je bio u vezi sa muškarcem u Mančesteru. Tjuringje umro 1954. pošto je pojeo jabuku napunjenu cijanidom. Njegova smrt se smatrasamoubistvom.

• 1936 godina može se smatrati godinom nastanka nove naučne discipline, teorijealgoritama, a ponekad se i koristi termnin teorija izračunljivosti.

• Teorija algoritama se bavi pitanjem postojanja ili nepostojanja algoritama zarešavanje pojedinih problema i kao takva pripada matematičkoj logici.

• Sa stanovišta prakse najinteresantnije pitanje je ne samo egzistencija algoritma, već injegova efikasnost.

• Sa druge strane, implementacija algoritma na nakom računarskom modelu koristinjegove resurse, vremenske i prostorne.

• Ovim pitanjima se bavi analiza algoritama ili teorija računske složenosti.• Analiza algoritama predstavlja osnovu teorijskog računarstva, a od matematičkih

metoda koristi tehnike diskretne matematike, matematičke logike i teoriju formalnihjezika.

• 1936 godina može se smatrati godinom nastanka nove naučne discipline, teorijealgoritama, a ponekad se i koristi termnin teorija izračunljivosti.

• Teorija algoritama se bavi pitanjem postojanja ili nepostojanja algoritama zarešavanje pojedinih problema i kao takva pripada matematičkoj logici.

• Sa stanovišta prakse najinteresantnije pitanje je ne samo egzistencija algoritma, već injegova efikasnost.

• Sa druge strane, implementacija algoritma na nakom računarskom modelu koristinjegove resurse, vremenske i prostorne.

• Ovim pitanjima se bavi analiza algoritama ili teorija računske složenosti.• Analiza algoritama predstavlja osnovu teorijskog računarstva, a od matematičkih

metoda koristi tehnike diskretne matematike, matematičke logike i teoriju formalnihjezika.

PITANJA ZA PONAVLJANJE

• Šta je algoritam?• Navedite različite vrste izražavanja alogoritama ?• Čime se bavi teorija algoritama?• Šta je algoritamsaka šema i iz kojih delova se sastoji?• Linijske algoritamske šeme i primer.• Ciklične algoritamske šeme i primer.• Složene algoritamske šeme i primer.• Osobine algoritama.• Kako se vrši provera ispravnosti algoritma?• Definicija rekurzivne funkcije• Čerč - Tjuringova teza.• Tjuringova mašina• Koji je značaj Tjuringove mašine?

• Šta je algoritam?• Navedite različite vrste izražavanja alogoritama ?• Čime se bavi teorija algoritama?• Šta je algoritamsaka šema i iz kojih delova se sastoji?• Linijske algoritamske šeme i primer.• Ciklične algoritamske šeme i primer.• Složene algoritamske šeme i primer.• Osobine algoritama.• Kako se vrši provera ispravnosti algoritma?• Definicija rekurzivne funkcije• Čerč - Tjuringova teza.• Tjuringova mašina• Koji je značaj Tjuringove mašine?

BULOVA ALGEBRABULOVA ALGEBRABULOVA ALGEBRA

• ??????????????• Matematičari kažu da je 1+1=2, a informatičari da je 1+1=1

• Informatika se zasniva na Bulovoj algebri-teorijska osnova računara• Osnova Bulove algebre:

Zakoni logičkog mišljenja zasnivaju se na tvrđenjima koja mogu biti samo:tačna i netačna.

• Trvđenja nikada ne mogu biti delimično tačna ili delimično netačna.

• Algebra koja analizira ovakva tvrđenja, sažima matematičku logiku i teorijuskupova i daje teorijsku osnovu savremenih računarskih nauka naziva seBulova algebra.

• Služi za dizajniranje elektronskih kola, delova računara.

• ??????????????• Matematičari kažu da je 1+1=2, a informatičari da je 1+1=1

• Informatika se zasniva na Bulovoj algebri-teorijska osnova računara• Osnova Bulove algebre:

Zakoni logičkog mišljenja zasnivaju se na tvrđenjima koja mogu biti samo:tačna i netačna.

• Trvđenja nikada ne mogu biti delimično tačna ili delimično netačna.

• Algebra koja analizira ovakva tvrđenja, sažima matematičku logiku i teorijuskupova i daje teorijsku osnovu savremenih računarskih nauka naziva seBulova algebra.

• Služi za dizajniranje elektronskih kola, delova računara.

• Tvorac ove algebre je Džordž Bul (George Boole, 1815- 1864) engleskimatematičar i filozof.

• Bulova ideja je bila da logiku sažme je u prostu algebru, pretvarajući je umatematiku.

• Na taj način stvorene su nove matematičke discipline:matematička logika ili simbolična logika ialgebra logike koja je nazvana Bulova algebra.

• Tvorac ove algebre je Džordž Bul (George Boole, 1815- 1864) engleskimatematičar i filozof.

• Bulova ideja je bila da logiku sažme je u prostu algebru, pretvarajući je umatematiku.

• Na taj način stvorene su nove matematičke discipline:matematička logika ili simbolična logika ialgebra logike koja je nazvana Bulova algebra.

• Tvorac ove algebre je Džordž Bul (George Boole, 1815- 1864) engleskimatematičar i filozof.

• Nažalost, nije živeo dugo, umro je u 49-oj godini života, od prehlade, koju jedobio tako što je pešačio dve milje po kiši, kako bi stigao na predavanje, ipredavao je u mokroj odeći.

• Sve do kasnih tridesetih godina njegova algebra nije imala nikakvepraktične primene.

• 1937. godine naučnici Nakašima i godinu dana kasnije Šenon su iskoristiliBulovu aglebru za analizu mreža sa relejima.

• Telefonija je tih godina bila u brzom razvoju, pa je bilo potrebno koristiti nekimatematički aparat kojim bi se opisivale željene komunikacije i načinostvarivanja veza.

• Od ovog trenutka Bulova algebra doživljava svoju ekspanziju.

• Tvorac ove algebre je Džordž Bul (George Boole, 1815- 1864) engleskimatematičar i filozof.

• Nažalost, nije živeo dugo, umro je u 49-oj godini života, od prehlade, koju jedobio tako što je pešačio dve milje po kiši, kako bi stigao na predavanje, ipredavao je u mokroj odeći.

• Sve do kasnih tridesetih godina njegova algebra nije imala nikakvepraktične primene.

• 1937. godine naučnici Nakašima i godinu dana kasnije Šenon su iskoristiliBulovu aglebru za analizu mreža sa relejima.

• Telefonija je tih godina bila u brzom razvoju, pa je bilo potrebno koristiti nekimatematički aparat kojim bi se opisivale željene komunikacije i načinostvarivanja veza.

• Od ovog trenutka Bulova algebra doživljava svoju ekspanziju.

DEFINICIJA I AKSIOME

• Neka je neprazan skup u kome su definisane dve binarne operacije + i *, unarna

operacija ’, a 0 i 1 su elementi iz skupa , tada skup

nazivamo Bulovom algebrom, ako za bilo koje elemente skupa a,b,c iz skupa Bvaže aksiome:

• zatvorenosti

• komutativnosti

• distributivnosti

• postojanje neutralnog elementa

• postojanje inverznog elementa

, ,*, ', 0,1B

• Neka je neprazan skup u kome su definisane dve binarne operacije + i *, unarna

operacija ’, a 0 i 1 su elementi iz skupa , tada skup

nazivamo Bulovom algebrom, ako za bilo koje elemente skupa a,b,c iz skupa Bvaže aksiome:

• zatvorenosti

• komutativnosti

• distributivnosti

• postojanje neutralnog elementa

• postojanje inverznog elementa

, *a b B a b B

, * *a b b a a b b a

* * , * * *a b c a b a c a b c a b a c

0 , *1a a a a

1, * 0a a a a

• Element 0 zove se nula element, a element 1 se zove jedinični element.

• zove se komplement od a.

• Operacije + i * zovu se sabiranje i množenje.

• Oznaka za operaciju * se često ne piše, već se koristi oznaka .

• Usvajamo i klasične konvencije prioriteta operacija. Najveći prioritet ima operacijakomplementa , zatim * i najmanjeg prioriteta je operacija +.

a a

• Element 0 zove se nula element, a element 1 se zove jedinični element.

• zove se komplement od a.

• Operacije + i * zovu se sabiranje i množenje.

• Oznaka za operaciju * se često ne piše, već se koristi oznaka .

• Usvajamo i klasične konvencije prioriteta operacija. Najveći prioritet ima operacijakomplementa , zatim * i najmanjeg prioriteta je operacija +.

OSNOVNE TEOREME

• Neka su a,b,c elementi Bulove algebre B, tada važe sledeće teoreme, odnosnozakoni:

• zakon asocijacije

• zakon idempotencije

• zakon nule•• zakon apsorbcije

• zakon involutivnosti

• De Morganovi zakoni

• zakon komplementa za neutralne elemente

• zakon sažimanja

, * * * *a b c a b c a b c a b c

, *a a a a a a

1 1, * 0 0a a

• Neka su a,b,c elementi Bulove algebre B, tada važe sledeće teoreme, odnosnozakoni:

• zakon asocijacije

• zakon idempotencije

• zakon nule•• zakon apsorbcije

• zakon involutivnosti

• De Morganovi zakoni

• zakon komplementa za neutralne elemente

• zakon sažimanja

1 1, * 0 0a a

* , *a a b a a a b a

a a

* , *a b a b a b a b

0 1, 1 0

* * , *a b a b a a b a b a

BINARNA BULOVA ALGEBRA

• Iako Bulova algebra može da bude definisana i na beskonačnom skupu elemenata,njena je primena u digitalnoj tehnici ograničena na algebru na binarnom skupu {0,1}.

• Kako u algebrskoj logici promenljive bilo da su nezavisne ili zavisne, imaju samovrednosti nule (0) ili jedinice(1), iz čega vidimo da se radi o diskretnim promenljivim idiskretnim funkcijama.

• Ako se na skupu B={0,1} definišu operacije +,* ’ , odnosno ‘ , prema tablicama,dobija se Bulova algebra.

• 0’=1, 1’=0

• Iako Bulova algebra može da bude definisana i na beskonačnom skupu elemenata,njena je primena u digitalnoj tehnici ograničena na algebru na binarnom skupu {0,1}.

• Kako u algebrskoj logici promenljive bilo da su nezavisne ili zavisne, imaju samovrednosti nule (0) ili jedinice(1), iz čega vidimo da se radi o diskretnim promenljivim idiskretnim funkcijama.

• Ako se na skupu B={0,1} definišu operacije +,* ’ , odnosno ‘ , prema tablicama,dobija se Bulova algebra.

• 0’=1, 1’=0

+ 1 0

1 1 1

0 1 0

* 1 0

1 1 0

0 0 0

BULOVE FUNKCIJE

• Neka je neka formula .• Iskazna slova p mogu da uzimaju vrednosti 1 i 0.• Bulova funkcija je svako preslikavanje

• Bulove funkcije sa jednom i dve promenljive date su tablicom.

p F1 F2 F3 F4

1 1 1 0 0

1 2, , nF F p p p

: nF B B

1 1 1 0 0

0 1 0 1 0

p q F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

• Tablica za Bulove funkcije ima promenljivih i funkcija ,jer je

• Iz tablice se može videti da su F8, F5, F7 i F10 redom disjunkcija, konjukcija ,implikacija i ekvivalencija.

• Sve Bulove funkcije mogu se predstaviti iskaznim formulama

2n 22n

2 22 2

n n

V

• Tablica za Bulove funkcije ima promenljivih i funkcija ,jer je

• Iz tablice se može videti da su F8, F5, F7 i F10 redom disjunkcija, konjukcija ,implikacija i ekvivalencija.

• Sve Bulove funkcije mogu se predstaviti iskaznim formulama

DISJUNKTIVNA I KONJUKTIVNA FORMA

• Algebarske Bulove funkcije se mogu predstaviti u dva oblika.

• Disjunktivna forma predstavlja logičku sumu logičkih proizvoda (primer):

• Konjunktivna forma predstavlja logički proizvod, logičkih suma (primer):

1 2 1 2 1 2 1 2F F F F F F F F F

• Algebarske Bulove funkcije se mogu predstaviti u dva oblika.

• Disjunktivna forma predstavlja logičku sumu logičkih proizvoda (primer):

• Konjunktivna forma predstavlja logički proizvod, logičkih suma (primer):

1 2 1 2 1 2 1 2F F F F F F F F F

• Primer: Funkcija je zadata tabelom . Napisati konjuktivnu i disjunktivnu formu zadatefunkcije

• Algebarski prikaz funkcije u obliku konjunktivne forme, na osnovu zadate tabele,zapisujemo u vidu logičkog proizvoda onoliko elementarnih suma koliko u tabeli imavrsta sa vrednošću funkcije 0.

p q r F

1 1 1 1

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 1

• Primer: Funkcija je zadata tabelom . Napisati konjuktivnu i disjunktivnu formu zadatefunkcije

• Algebarski prikaz funkcije u obliku konjunktivne forme, na osnovu zadate tabele,zapisujemo u vidu logičkog proizvoda onoliko elementarnih suma koliko u tabeli imavrsta sa vrednošću funkcije 0.

1 0 0 1

0 1 1 1

0 1 0 0

0 0 1 1

0 0 0 1

F p q r p q r p q r

• Primer: Funkcija je zadata tabelom . Napisati konjuktivnu i disjunktivnu formu zadatefunkcije

• Algebarski prikaz funkcije u obliku disjunktivne forme, na osnovu zadate tabele,zapisujemo u vidu logičkog zbira onoliko elementarnih proizvoda koliko u tabeli imavrsta sa vrednošću funkcije 1.

1p2p3pFp q r F1 1 1 1

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 1

• Primer: Funkcija je zadata tabelom . Napisati konjuktivnu i disjunktivnu formu zadatefunkcije

• Algebarski prikaz funkcije u obliku disjunktivne forme, na osnovu zadate tabele,zapisujemo u vidu logičkog zbira onoliko elementarnih proizvoda koliko u tabeli imavrsta sa vrednošću funkcije 1.

1 0 0 1

0 1 1 1

0 1 0 0

0 0 1 1

0 0 0 1

F pqr pqr pqr pqr pqr

PRIMENA U RAČUNARSTVU I TEHNICI

• Računari koriste binarni brojni sistem koji ima dve cifre 0 i 1.• Binarni sistem je izabran zato što računar mora da prikaže bilo koju cifru na

jedinstven način,a postoji veliki broj elektronskih sklopova koji se nalaze u dvajedistvena stabilna stanja.

• Ova stanja mogu biti otvoren-zatvoren, levo-desno, uključen-isključen i slično.• Binarni sistem pogodan za korišćenje primenom matematičke logike.

• Jedna binarna cifra 0 ili 1 predstavlja minimalnu količinu informacija, odnosnonajmanji podatak koji se može obraditi u računaru i zove se bit (bit).

• Bit može da reprezentuje istinu (true) i neistinu (false). Jedinica reprezentuje istinu,a nula neistinu.

• Logičke operacije se predstavlja i kao konjukcija AND, a disjunkcija kao OR, imajući uvidu istinitosne tablice za date logičke operacije.

• U većini računara koristi se grupa od osam bita koja se naziva bajt (byte).

• Računari koriste binarni brojni sistem koji ima dve cifre 0 i 1.• Binarni sistem je izabran zato što računar mora da prikaže bilo koju cifru na

jedinstven način,a postoji veliki broj elektronskih sklopova koji se nalaze u dvajedistvena stabilna stanja.

• Ova stanja mogu biti otvoren-zatvoren, levo-desno, uključen-isključen i slično.• Binarni sistem pogodan za korišćenje primenom matematičke logike.

• Jedna binarna cifra 0 ili 1 predstavlja minimalnu količinu informacija, odnosnonajmanji podatak koji se može obraditi u računaru i zove se bit (bit).

• Bit može da reprezentuje istinu (true) i neistinu (false). Jedinica reprezentuje istinu,a nula neistinu.

• Logičke operacije se predstavlja i kao konjukcija AND, a disjunkcija kao OR, imajući uvidu istinitosne tablice za date logičke operacije.

• U većini računara koristi se grupa od osam bita koja se naziva bajt (byte).

Primer :• Ako primenimo operatore AND i OR

na brojeve 0110110110 i 1100011101 dobićemo:

• 0110110110 0110110110• 1100011101 AND 1100011101 OR• 1110111111 0100010100

Primer :• Ako primenimo operatore AND i OR

na brojeve 0110110110 i 1100011101 dobićemo:

• 0110110110 0110110110• 1100011101 AND 1100011101 OR• 1110111111 0100010100

• Računari moraju imati mogućnosti da memorišu i obrađuju i ne-numeričke, odnosnotekstualne podatke.

• To su ili nizovi ( string) ili znakovi ( charácter data), zatim slova, znakoviinterpunkcije, matematički znaci, specijalni znaci i slično.

• Podaci ovog tipa su memorisani u obliku niza bitova. Danas se koriste ASCII iEBCDIS kod.

• Na primer 1111001 predstavlja slovo b.

• Dakle, binarni brojevi su osnova za funkcionisanje računara.• Digitalna kola kombinuju nule i jedinice, i generišu nove nule i jedinice.• Mašinske instrukcije su takođe prikazane kao nizovi nula i jedinica.• Svi programi napisani u asembleru ili nekom višem jeziku da bi mogli da rade moraju

da budu prevedeni u nizove nula i jedinica.

• Računari moraju imati mogućnosti da memorišu i obrađuju i ne-numeričke, odnosnotekstualne podatke.

• To su ili nizovi ( string) ili znakovi ( charácter data), zatim slova, znakoviinterpunkcije, matematički znaci, specijalni znaci i slično.

• Podaci ovog tipa su memorisani u obliku niza bitova. Danas se koriste ASCII iEBCDIS kod.

• Na primer 1111001 predstavlja slovo b.

• Dakle, binarni brojevi su osnova za funkcionisanje računara.• Digitalna kola kombinuju nule i jedinice, i generišu nove nule i jedinice.• Mašinske instrukcije su takođe prikazane kao nizovi nula i jedinica.• Svi programi napisani u asembleru ili nekom višem jeziku da bi mogli da rade moraju

da budu prevedeni u nizove nula i jedinica.

PREKIDAČKE ŠEME I DIGITALNA LOGIČKA KOLA

• Klod Elvud Šenon (Claude Elwood Shannon; 1916. – 2001.) bio je američki naučniki inženjer.

• Među najznačajnija otkrića ovog naučnika spadaju teorija informacija i dizajndigitalnih računara i kola.

• 1938. godine otkrio vezu između tablica istinitosti i električnih kola.• Šenon je poznat kao utemeljivač informacione teorije sa svojim naučnim radom

objavljenim 1948. godine.• Takođe se smatra utemeljivačem teorije digitalnog računara i teorije dizajna digitalnih

kola, kada je kao 21-godišnji student MIT-a, napisao tezu gdje dokazuje da jeprimjenom Bulove algebre na digitalna električna kola, moguće rešiti bilo koji logički ilinumerički problem.

• Klod Elvud Šenon (Claude Elwood Shannon; 1916. – 2001.) bio je američki naučniki inženjer.

• Među najznačajnija otkrića ovog naučnika spadaju teorija informacija i dizajndigitalnih računara i kola.

• 1938. godine otkrio vezu između tablica istinitosti i električnih kola.• Šenon je poznat kao utemeljivač informacione teorije sa svojim naučnim radom

objavljenim 1948. godine.• Takođe se smatra utemeljivačem teorije digitalnog računara i teorije dizajna digitalnih

kola, kada je kao 21-godišnji student MIT-a, napisao tezu gdje dokazuje da jeprimjenom Bulove algebre na digitalna električna kola, moguće rešiti bilo koji logički ilinumerički problem.

• Prekidačke šeme i digitalna logička kola su tako projektovana da implementirajuprincipe binarne aritmetike i matematičke logike.

• Prekidačke šeme su univerzalne šeme koje ne zavise od tehnologije. Mogu da serealizuju na osnovu mehaničkih prekidača, električnih kola i slično.

• Digitalna električna logička kola su specijalizovane šeme sastavljene od tačnodefinisanih električnih komponenti.

• Iskazne formule u kojima se pojavljuju samo operacije , imaju jednuzanimljivu interpretaciju koja se koristi u tehnici, u projektovanju digitalnih kola inaziva prekidačka algebra.

• Iskazna slova se tretiraju kao otvoreni prekidači, a njihova negacija kao zatvoreniprekidači. Ako iskazno slovo ima vrednost p=1, smatra se da je prekidač zatvoren, tj.da provodi struju, a za p=0, je otvoren, tj. da ne provodi struju.

• Formula se tretira kao šema sa dva kraja sastavljena od prekidača koji su povezaniparalelno ili serijski.

• Tautologijama odgovaraju šeme koje uvek provode struju.

, ,

• Prekidačke šeme i digitalna logička kola su tako projektovana da implementirajuprincipe binarne aritmetike i matematičke logike.

• Prekidačke šeme su univerzalne šeme koje ne zavise od tehnologije. Mogu da serealizuju na osnovu mehaničkih prekidača, električnih kola i slično.

• Digitalna električna logička kola su specijalizovane šeme sastavljene od tačnodefinisanih električnih komponenti.

• Iskazne formule u kojima se pojavljuju samo operacije , imaju jednuzanimljivu interpretaciju koja se koristi u tehnici, u projektovanju digitalnih kola inaziva prekidačka algebra.

• Iskazna slova se tretiraju kao otvoreni prekidači, a njihova negacija kao zatvoreniprekidači. Ako iskazno slovo ima vrednost p=1, smatra se da je prekidač zatvoren, tj.da provodi struju, a za p=0, je otvoren, tj. da ne provodi struju.

• Formula se tretira kao šema sa dva kraja sastavljena od prekidača koji su povezaniparalelno ili serijski.

• Tautologijama odgovaraju šeme koje uvek provode struju.

pp

Primer:• Posmatrajmo prekidačku kolo-šemu koje sadrži prekidač i sijalicu. Vrednost 1

dodeljujemo prekidačima i kada su zatvoreni, tj ako kroz njih protiče struja. Usuprotnom dodeljujemo im vrednost 0. Kada su prekidači redno vezani, sijalica ćesvetleti i kolo će imati vrednost 1 samo ako su oba prekidača p i q zatvorena. Prematome, ovo kolo će odgovarati iskazu p i q, odnosno i zove se AND –i kolo.

Digitalno logičko kolo

p q

Primer:• Posmatrajmo prekidačku kolo-šemu koje sadrži prekidač i sijalicu. Vrednost 1

dodeljujemo prekidačima i kada su zatvoreni, tj ako kroz njih protiče struja. Usuprotnom dodeljujemo im vrednost 0. Kada su prekidači redno vezani, sijalica ćesvetleti i kolo će imati vrednost 1 samo ako su oba prekidača p i q zatvorena. Prematome, ovo kolo će odgovarati iskazu p i q, odnosno i zove se AND –i kolo.

Digitalno logičko kolo

Primer :• Posmatrajmo prekidačko kolo u kome su prekidači i vezani paralelno. Kada su

prekidači paralelno vezani, sijalica će svetleti ako je ili i kolo će imati vrednost 1 akoje bar jedan prekidača i zatvoren. Prema tome, ovo kolo će odgovarati iskazu p ili q,

odnosno i zove se OR- ili kolo

Kolo sa jednim prekidačem , u kome sijalica svetli samo ako je prekidač otvoren.Prema tome kolo će imati vrednost 1 ako je prekidača zatvoren, odnosno ako je pjedako 0. Takvo kolo se zove ne kolo ili invertor.

p q

Primer :• Posmatrajmo prekidačko kolo u kome su prekidači i vezani paralelno. Kada su

prekidači paralelno vezani, sijalica će svetleti ako je ili i kolo će imati vrednost 1 akoje bar jedan prekidača i zatvoren. Prema tome, ovo kolo će odgovarati iskazu p ili q,

odnosno i zove se OR- ili kolo

Kolo sa jednim prekidačem , u kome sijalica svetli samo ako je prekidač otvoren.Prema tome kolo će imati vrednost 1 ako je prekidača zatvoren, odnosno ako je pjedako 0. Takvo kolo se zove ne kolo ili invertor.

p

• Elementi digitalnih logičkih kola osim standardnih navedenih ( i kolo, ili kolo i nekolo ) su i sledeća kola:

• ni kolo , odgovara logičkom izrazu

• nili kolo, odgovara logičkom izrazu

• ekskluzivno ili

p q

• Elementi digitalnih logičkih kola osim standardnih navedenih ( i kolo, ili kolo i nekolo ) su i sledeća kola:

• ni kolo , odgovara logičkom izrazu

• nili kolo, odgovara logičkom izrazu

• ekskluzivno ili

p q

• Datoj formuli pridružiti prekidačku šemu i digitalno logičko kolo.

p

r

p q r s p q r

q p

s

q

p

r

UPROŠĆAVANJE PREKIDAČKIH ŠEMA ILOGIČKIH KOLA

• Minimizacija prekidačkih funkcija je jedan od najvažnijih praktičnih zadataka.Inače metode minimizacije su raznovrsne. Najčešća je podela na grafičke ialgoritamske. Jedan od često korišćenih načina u inženjerskoj praksi suKarnoove mape.

• Najvažnija primena Bulove algebre je da pojednostavi konstrukcijuprekidačkih i logičkih kola.

• Potrebno je da se podsetimo aksioma i teorema koje smo već definisali, apotrebne su nam za dalji rad.

Bulovi zakoni za operaciju i Bulovi zakoni za operaciju ili

• Minimizacija prekidačkih funkcija je jedan od najvažnijih praktičnih zadataka.Inače metode minimizacije su raznovrsne. Najčešća je podela na grafičke ialgoritamske. Jedan od često korišćenih načina u inženjerskoj praksi suKarnoove mape.

• Najvažnija primena Bulove algebre je da pojednostavi konstrukcijuprekidačkih i logičkih kola.

• Potrebno je da se podsetimo aksioma i teorema koje smo već definisali, apotrebne su nam za dalji rad.

Bulovi zakoni za operaciju i Bulovi zakoni za operaciju ili

0 0

1

0

a a a

a

a a

a a

0

1 1

1

a a a

a a

a

a a

• Za operacije i i ili

• Teoreme minimizacije Teoreme inverzije

a b b a

a b b a

a b c a b c

a b c a b c

• Za operacije i i ili

• Teoreme minimizacije Teoreme inverzije

a b a b a

a a b a

a a b a b

a b a b

a b a b

• Primer: Pojednostaviti izraz

0 0

0

p p q q q r q q q r a a

q q q r a a

q q r a a a

q r a a a

q r a a

0 0

0

p p q q q r q q q r a a

q q q r a a

q q r a a a

q r a a a

q r a a

pp

q

q

rq

i

i

ili

PITANJA ZA PONAVLJANJE

• Šta je Bulova algebra?• Šta su DF i KF?• Kako izgledaju prekidačka, a kako digitalna logička kola

TEORIJA GRAFOVA

OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE

• Teorija grafova je samostalna i važna oblast matematike.• Grafovi su posebno zanimljivi jer pomoću njih možemo modelovati razne složene

probleme veoma jednostavno.• Na primer, postavljanje saobraćajnica, električnih mreža, računarskih mreža i sl.

Posebno su interesantni problemi najkraćeg puta, najniže cene, generalno problemioptimizacije.

• Jednostavni, svakodnevni, problemi kao što je pravljenje rasporeda časova koji se,takođe, mogu posmatrati kao grafovski problem.

• Prvi problem i njegovo rešenje, teorije grafova jeste rad Leonarda Ojlera• (Leonhard Paul Euler,1707-1783) pod nazivom Sedam mostova Kenigsberga,

objavljen 1736 godine.

• Kasnije, Frensis Gutri 1852. godine je izložio problem četiri boje koji postavlja pitanjeda li je moguće obojiti zemlje na geografskoj karti sa samo četiri boje, a da se nepojave dve susedne zemlje obojene istom bojom.

• Ovaj problem su rešili tek 1976 godine Kenet Apel i Volfgang Heken, ali sepostavljanje ovog problema smatra rođenjem teorije grafova.

• Tokom pokušaja rešavanja ovog problema otkrivene su mnoge teoreme i definisanimnogi novi pojmovi i koncepti

• Teorija grafova je samostalna i važna oblast matematike.• Grafovi su posebno zanimljivi jer pomoću njih možemo modelovati razne složene

probleme veoma jednostavno.• Na primer, postavljanje saobraćajnica, električnih mreža, računarskih mreža i sl.

Posebno su interesantni problemi najkraćeg puta, najniže cene, generalno problemioptimizacije.

• Jednostavni, svakodnevni, problemi kao što je pravljenje rasporeda časova koji se,takođe, mogu posmatrati kao grafovski problem.

• Prvi problem i njegovo rešenje, teorije grafova jeste rad Leonarda Ojlera• (Leonhard Paul Euler,1707-1783) pod nazivom Sedam mostova Kenigsberga,

objavljen 1736 godine.

• Kasnije, Frensis Gutri 1852. godine je izložio problem četiri boje koji postavlja pitanjeda li je moguće obojiti zemlje na geografskoj karti sa samo četiri boje, a da se nepojave dve susedne zemlje obojene istom bojom.

• Ovaj problem su rešili tek 1976 godine Kenet Apel i Volfgang Heken, ali sepostavljanje ovog problema smatra rođenjem teorije grafova.

• Tokom pokušaja rešavanja ovog problema otkrivene su mnoge teoreme i definisanimnogi novi pojmovi i koncepti

VRSTE GRAFOVA

• Graf je apstraktni matematički objekat.

• Neformalno govoreći, grafovi su sastavljeni od tačaka, odnosno čvorova i linijameđu njima, odnosno grana.

• Skup čvorova obeležavamo sa V (engl.vertices), a skup grana sa E (engl.edge).• Graf G=(V,E) je uređeni par koji se sastoji od skupa čvorova V i skupa grana E .

• Graf je apstraktni matematički objekat.

• Neformalno govoreći, grafovi su sastavljeni od tačaka, odnosno čvorova i linijameđu njima, odnosno grana.

• Skup čvorova obeležavamo sa V (engl.vertices), a skup grana sa E (engl.edge).• Graf G=(V,E) je uređeni par koji se sastoji od skupa čvorova V i skupa grana E .

2

VE

• Primer:Čvorovi mogu biti gradovi, a grane putevi između njih.Čvorovi mogu biti računari, a veze između njih grane.

• Primer:• Za dati skup čvorova i grana nacrtati odgovarajuće grafove.

) , ,

) , , , ,

) , , , , , , ,

a V A B E AB

b V A B C E AB BC

c V A B C D E AB BC AD CD

• Primer:Čvorovi mogu biti gradovi, a grane putevi između njih.Čvorovi mogu biti računari, a veze između njih grane.

• Primer:• Za dati skup čvorova i grana nacrtati odgovarajuće grafove.

) , ,

) , , , ,

) , , , , , , ,

a V A B E AB

b V A B C E AB BC

c V A B C D E AB BC AD CD

• Dva susedna čvora su krajnje tačke svake grane.• Grana koja spaja čvor sa samim sobom naziva se petljom.

• Graf koji nema nijednu petlju nazivaju se prostim grafom.

• Graf koji ima konačan broj čvorova se zove konačan graf. Analogno, graf sabeskonačnim brojem čvorova se zove beskonačan graf.

• Multigraf je graf kod koga između dva čvora postoji više od jedne grane.

• Kompletan ili potpun graf je onaj graf kod koga su svaka dva čvora povezanagranom.

• Ima grana. Obeležava se sa Kn.

• Dva susedna čvora su krajnje tačke svake grane.• Grana koja spaja čvor sa samim sobom naziva se petljom.

• Graf koji nema nijednu petlju nazivaju se prostim grafom.

• Graf koji ima konačan broj čvorova se zove konačan graf. Analogno, graf sabeskonačnim brojem čvorova se zove beskonačan graf.

• Multigraf je graf kod koga između dva čvora postoji više od jedne grane.

• Kompletan ili potpun graf je onaj graf kod koga su svaka dva čvora povezanagranom.

• Ima grana. Obeležava se sa Kn.2

n

• Stepen čvora grafa je broj grana grafa koji imaju kraj u tom čvoru. Ako grana spajačvor sa samim sobom, onda se ona računa dva puta.

• Čvor stepena 0 naziva se izolovani čvor.• Grana koja spaja čvor sa stepenom jedan je viseća grana.• Primer:

Dat je graf na slici. Odrediti susedne čvorove i grane, i stepene čvorova

U grafu na slici čvorovi A i C su susedni, kao i grane AB, AD i AC.Čvorovi A i F nisu susedni, kao ni grane AC i BF.Čvorovi B, C, D su stepena 2, a čvorovi A i F su stepena 3.

• Stepen čvora grafa je broj grana grafa koji imaju kraj u tom čvoru. Ako grana spajačvor sa samim sobom, onda se ona računa dva puta.

• Čvor stepena 0 naziva se izolovani čvor.• Grana koja spaja čvor sa stepenom jedan je viseća grana.• Primer:

Dat je graf na slici. Odrediti susedne čvorove i grane, i stepene čvorova

U grafu na slici čvorovi A i C su susedni, kao i grane AB, AD i AC.Čvorovi A i F nisu susedni, kao ni grane AC i BF.Čvorovi B, C, D su stepena 2, a čvorovi A i F su stepena 3.

A

B C D

E

• Graf je regularan ako su svi čvorovi istog stepena.• Primer.

Regularan graf ( svi čvorovi su stepena 2 ).

Put je niz grana grafa sa osobinom da je kraj k-te grane u nizu, početak naredne k+1-te grane. U opštem slučaju put je niz grana koje su međusobno povezane.

• Graf je regularan ako su svi čvorovi istog stepena.• Primer.

Regularan graf ( svi čvorovi su stepena 2 ).

Put je niz grana grafa sa osobinom da je kraj k-te grane u nizu, početak naredne k+1-te grane. U opštem slučaju put je niz grana koje su međusobno povezane.

• Prost put ili elementarni put je put kod koga se kroz jedan čvor prolazi tačno jedanput.

• Graf je povezan ako postoji put između bilo koja dva različita čvora.• Prvi od grafova sa slike je povezan, a drugi je nepovezan.

• Ako je početni čvor ujedno i krajnji, takav put se naziva ciklus, kontura ili petlja.Dužina puta je broj grana.

F

H

A

BC

• Prost put ili elementarni put je put kod koga se kroz jedan čvor prolazi tačno jedanput.

• Graf je povezan ako postoji put između bilo koja dva različita čvora.• Prvi od grafova sa slike je povezan, a drugi je nepovezan.

• Ako je početni čvor ujedno i krajnji, takav put se naziva ciklus, kontura ili petlja.Dužina puta je broj grana.

DG

I K

BC

A D

CB

• Neorijentisani graf G=(V,E) je uređen skup parova čvorova i grana gde je .Znači on može imati i petlje.

• Orijentisani graf ili digraf je uređen skup parova čvorova i grana gde je

• Znači on ima orijentaciju, grana v=(a,b) ima početni čvor u a i krajnji čvor u b.• Primer:

Digraf koji sadrži skup V={a,b,c} čvorova i skup grana E={(a,b),(b,c),(c,b),(c,a)}

2

VE V

E V V

• Neorijentisani graf G=(V,E) je uređen skup parova čvorova i grana gde je .Znači on može imati i petlje.

• Orijentisani graf ili digraf je uređen skup parova čvorova i grana gde je

• Znači on ima orijentaciju, grana v=(a,b) ima početni čvor u a i krajnji čvor u b.• Primer:

Digraf koji sadrži skup V={a,b,c} čvorova i skup grana E={(a,b),(b,c),(c,b),(c,a)}

A

C

B

• T: Zbir stepena u svih čvorova uvek je paran broj i jednak je dvostrukom brojugrana. Ako su di stepeni čvorova, tada

• Pošto svaka grana u grafu poseduje dve krajnje tačke, svaka grana doprinosi sa 2sumi stepena čvorova i ta suma mora da bude jednaka dvostrukom broju grana.Prema tome suma stepena svih čvorova mora da bude paran broj.

• Primer:Koliko grana ima graf sa 10 čvorova, ako je svaki stepena šest ?

1

2n

ii

d e

A D

CB

• T: Zbir stepena u svih čvorova uvek je paran broj i jednak je dvostrukom brojugrana. Ako su di stepeni čvorova, tada

• Pošto svaka grana u grafu poseduje dve krajnje tačke, svaka grana doprinosi sa 2sumi stepena čvorova i ta suma mora da bude jednaka dvostrukom broju grana.Prema tome suma stepena svih čvorova mora da bude paran broj.

• Primer:Koliko grana ima graf sa 10 čvorova, ako je svaki stepena šest ?

2 10 6 30e e

• U proizvoljnom grafu bez petlji, postoji paran broj čvorova neparnog stepena .

• Ovaj stav zove se, u literaturi i Lema o rukovanju. Odnosno, u svakom društvu brojosoba koje su se rukovale neparan broj puta je paran. Ovde broj osoba koje su serukovale predstavljaju čvorove grafa.

• Graf G'=(V',E') je podgraf grafa G=(V, E) ako je skup njegovih čvorova V' podskupskupa čvorova grafa V, a skup njegovih grana E' je podskup skupa grana E.

• Bipartitivni graf je graf koji se sastoji od dva podskupa čvorova X i Y, tako da svakagrana spaja čvor skupa X sa čvorom skupa Y. Podskupovi X i Y, nazivaju se klase.

• Primer:Nacrtati bipartitivne grafove

• Graf G'=(V',E') je podgraf grafa G=(V, E) ako je skup njegovih čvorova V' podskupskupa čvorova grafa V, a skup njegovih grana E' je podskup skupa grana E.

• Bipartitivni graf je graf koji se sastoji od dva podskupa čvorova X i Y, tako da svakagrana spaja čvor skupa X sa čvorom skupa Y. Podskupovi X i Y, nazivaju se klase.

• Primer:Nacrtati bipartitivne grafove

2,4K3,3K2,3K

• Kompletan bipartitivni graf je graf koji se sastoji iz 2 podskupa čvorova , tako da jesvaki čvor iz prvog skupa susedan sa svakim čvorom iz drugog skupa.

• Primer:

Nacrtati kompletna bipartitivne grafove 2,3 3,3 2,4, ,K K K

2,4K3,3K2,3K

• Planarni grafovi su oni grafovi koji se mogu nacrtati u ravni, a da im se grane neseku, sem u čvorovima.

• On deli ravan na na više konačnih zatvorenih oblasti i jednu u beskonačnosti. Svakazatvorena oblast se naziva ćelija.

• Primer planarnog grafa je mreža puteva ako se isključe nadvožnjaci, odnosnosaobraćajne petlje. U tehničkom projektovanju pojavljuju se zahtevi da grafovi u tomtehničkom zahtevu budu planarni.

• Ojerova teorema:Povezan planarni graf deli ravan na f=e-v+2 oblasti.• Primer:

Nacrtati planarane grafove

Ovi grafovi dele ravan na f=6-4+2=4 oblasti.

• Planarni grafovi su oni grafovi koji se mogu nacrtati u ravni, a da im se grane neseku, sem u čvorovima.

• On deli ravan na na više konačnih zatvorenih oblasti i jednu u beskonačnosti. Svakazatvorena oblast se naziva ćelija.

• Primer planarnog grafa je mreža puteva ako se isključe nadvožnjaci, odnosnosaobraćajne petlje. U tehničkom projektovanju pojavljuju se zahtevi da grafovi u tomtehničkom zahtevu budu planarni.

• Ojerova teorema:Povezan planarni graf deli ravan na f=e-v+2 oblasti.• Primer:

Nacrtati planarane grafove

Ovi grafovi dele ravan na f=6-4+2=4 oblasti.

A AB B

C C

D

D

• T:U planarnom grafu postoji bar 1 čvor stepena manjeg od 6.

• Predhodna teorema ima mnogobrojne primene i posledice. Jedna od njih je poznatateorema iz geometrije:

• Teorema: Konveksni poliedar sa n temena i m ivica ima s=m-n+2 strane.

• Ako temena shvatimo kao čvorove, a ivice kao grane jednog grafa, dobija se planarni• graf koji ima f=e-v+2 oblasti.

• T:U planarnom grafu postoji bar 1 čvor stepena manjeg od 6.

• Predhodna teorema ima mnogobrojne primene i posledice. Jedna od njih je poznatateorema iz geometrije:

• Teorema: Konveksni poliedar sa n temena i m ivica ima s=m-n+2 strane.

• Ako temena shvatimo kao čvorove, a ivice kao grane jednog grafa, dobija se planarni• graf koji ima f=e-v+2 oblasti.

• Najpoznatiji grafovi koji nisu planarni su potpuni pentagraf K5 i kompletan bitrigrafK33.

• Ako bi pentagram bio planaran, po Ojlerovoj teoremi za v=5 i e=10, dobilo bi f=7.• Ali, kako kod pentagrama svaka oblast je određena sa bar 3 grane, moralo bi da je

2e>=3f, odnosno 20>=21, što nije tačno.

• Najpoznatiji grafovi koji nisu planarni su potpuni pentagraf K5 i kompletan bitrigrafK33.

• Ako bi pentagram bio planaran, po Ojlerovoj teoremi za v=5 i e=10, dobilo bi f=7.• Ali, kako kod pentagrama svaka oblast je određena sa bar 3 grane, moralo bi da je

2e>=3f, odnosno 20>=21, što nije tačno.

5K 3,3K

IZOMORFIZAM GRAFOVA• Grafovi se razlikuju samo po tome kako su čvorovi povezani, a ne kako su obeleženi.• Dva grafa i su izomorfni , ako postoji bijekcija

za koju važi da je , ako i samo ako i koristimo oznaku

• Izomorfizam održava susednost čvorova.• Izomorfni grafovi su u stvari isti grafovi, ali različito nacrtani. Obeležavanje čvorova

nema značaja za strukturu grafa, tako da se često i ne obeležavaju.• Ispitivanje da li su dva grafa izomorfna je složeno pitanje i do danas nemamo

egzaktan algoritam za rešavanje ovog problema.• Primer:

Nacrtati dva izomorfna grafa.

Izomorfizam ovih grafova definisan je bijekcijom

1 1 1,G V E 2 2 2,G V E 1 2:f V V 1,u v E 2,f u f v E

1 2G G

• Grafovi se razlikuju samo po tome kako su čvorovi povezani, a ne kako su obeleženi.• Dva grafa i su izomorfni , ako postoji bijekcija

za koju važi da je , ako i samo ako i koristimo oznaku

• Izomorfizam održava susednost čvorova.• Izomorfni grafovi su u stvari isti grafovi, ali različito nacrtani. Obeležavanje čvorova

nema značaja za strukturu grafa, tako da se često i ne obeležavaju.• Ispitivanje da li su dva grafa izomorfna je složeno pitanje i do danas nemamo

egzaktan algoritam za rešavanje ovog problema.• Primer:

Nacrtati dva izomorfna grafa.

Izomorfizam ovih grafova definisan je bijekcijom

A B

CD

1 2

34

1 2 3 4f

A B C D

• Primer:

a

b

d

e

1 2

3

4

6

c f45

1 3 5 2 4 6

a b c d e ff

• Napomena: Obeležavanje čvorova nema značaja za strukturu grafa, tako da sečesto i ne obeležavaju.Izomorfni grafovi imaju isti:

• Broj čvorova,• broj grana,• stepene čvorova,• cikluse istih dužina i td.

• Ispunjenje ovih uslova ne garantuje da su dva grafa izomorfna.• Sledeći grafovi imaju isti broj čvorova, grana, svi čvorovi su istog stepena, pa opet

nisu izomorfni.

• Izomorfni grafovi su od velikog značaja u elektronici, pri konstruisanju štampanihkola, gde grane grafa (strujni vodovi) ne smeju da se seku osim u čvorovima. Zato jebitno da se pronađe izomorfan graf željenom grafu, ali takav da mu se grane ne seku.

• Napomena: Obeležavanje čvorova nema značaja za strukturu grafa, tako da sečesto i ne obeležavaju.Izomorfni grafovi imaju isti:

• Broj čvorova,• broj grana,• stepene čvorova,• cikluse istih dužina i td.

• Ispunjenje ovih uslova ne garantuje da su dva grafa izomorfna.• Sledeći grafovi imaju isti broj čvorova, grana, svi čvorovi su istog stepena, pa opet

nisu izomorfni.

• Izomorfni grafovi su od velikog značaja u elektronici, pri konstruisanju štampanihkola, gde grane grafa (strujni vodovi) ne smeju da se seku osim u čvorovima. Zato jebitno da se pronađe izomorfan graf željenom grafu, ali takav da mu se grane ne seku.

?Primer:

• Da li je moguće spojiti 3 zgrade sa 3 bunara, a da se putevi ne ukrštaju, ako od svake kućevodi po jedna staza do svakog bunara?

• Odgovor je ne i daje ga teorija grafova-Naš graf nije planaran graf.• Prva slika predstavlja preblem, u pitanju je kompletan bipartitivni graf, ali grane ne smeju da

mu se seku.• Lako se dokazuje da naš graf ima izomorfan, prikazan na drugoj slici.• Treba dokazati da taj graf nije planaran.• Ako bi predpostavili da jeste imali bi:

1) imamo da je v=6, e=9, pa je f=e-v+2=5.

2) U svakom grafu, ukupan broj grana, 2e>=gf, gde je g dužina najmanje oblasti.

(Teorijski, kako oblast koju određuje graf u ravni ima najmanje 3 grane, a svaka grana se dvaputa pojavljuje kao granica oblasti, pa je 2e>=3f,)

3) kod našeg grafa svaka oblast je ograničena sa najmanje 4 grane,( nikoja 3 čvora neobrazuju trougao, jer od 3 čvora 2 su kuće, a 1 bunar ili obrnuto, a kuće i bunari nisumeđusobno vezani granama),pa je 2e>=4f, 18>=20 što je nemoguće

a d 1 2

36

Primer:• Da li je moguće spojiti 3 zgrade sa 3 bunara, a da se putevi ne ukrštaju, ako od svake kuće

vodi po jedna staza do svakog bunara?• Odgovor je ne i daje ga teorija grafova-Naš graf nije planaran graf.• Prva slika predstavlja preblem, u pitanju je kompletan bipartitivni graf, ali grane ne smeju da

mu se seku.• Lako se dokazuje da naš graf ima izomorfan, prikazan na drugoj slici.• Treba dokazati da taj graf nije planaran.• Ako bi predpostavili da jeste imali bi:

1) imamo da je v=6, e=9, pa je f=e-v+2=5.

2) U svakom grafu, ukupan broj grana, 2e>=gf, gde je g dužina najmanje oblasti.

(Teorijski, kako oblast koju određuje graf u ravni ima najmanje 3 grane, a svaka grana se dvaputa pojavljuje kao granica oblasti, pa je 2e>=3f,)

3) kod našeg grafa svaka oblast je ograničena sa najmanje 4 grane,( nikoja 3 čvora neobrazuju trougao, jer od 3 čvora 2 su kuće, a 1 bunar ili obrnuto, a kuće i bunari nisumeđusobno vezani granama),pa je 2e>=4f, 18>=20 što je nemoguće

b

c

e

f

3

45

6

OJLEROVI GRAFOVI

• Švajcarskom matematičaru Leonardu Ojleru tokom boravka u Keninsbrgu , današnjiKalinjgrad, građani su postavili pitanje koje ih je mučilo.

• Grad leži na obalama i na dva ostrva na reci Pregel i povezan je sa sedam mostova.Pitanje je bilo da li je moguće početi šetnju iz bilo koje tačke u gradu i vratiti se upolaznu tačku, prelazeći pri tome svaki most tačno jednom.

• 1735.godine Ojler je prezentovao svoj rad dokazujući da je takav prelazak nemoguć,uz napomenu da se razmatranje može proširiti da prozvoljan raspored ostrva imostova.

• Ovaj rad smatra se pretečom teorije grafova.

• Ojler je problem rešio tako što je svakoj obali i ostrvima pridružio čvorove, a mostovisu bili grane između njih. Tako je dobio jedan multigraf.

• Švajcarskom matematičaru Leonardu Ojleru tokom boravka u Keninsbrgu , današnjiKalinjgrad, građani su postavili pitanje koje ih je mučilo.

• Grad leži na obalama i na dva ostrva na reci Pregel i povezan je sa sedam mostova.Pitanje je bilo da li je moguće početi šetnju iz bilo koje tačke u gradu i vratiti se upolaznu tačku, prelazeći pri tome svaki most tačno jednom.

• 1735.godine Ojler je prezentovao svoj rad dokazujući da je takav prelazak nemoguć,uz napomenu da se razmatranje može proširiti da prozvoljan raspored ostrva imostova.

• Ovaj rad smatra se pretečom teorije grafova.

• Ojler je problem rešio tako što je svakoj obali i ostrvima pridružio čvorove, a mostovisu bili grane između njih. Tako je dobio jedan multigraf.

A

C

B

D

• Ojlerov graf je graf koji se može nacrtati ne podižući olovku sa papira.

• Zatvoren kontura koji sadrži sve grane grafa G naziva se Ojlerov ciklus ili kontura.

• Graf koji ima Ojlerovu konturu zove se Ojlerov graf.

• Ojlerov put je put koja sadrži sve grane iz G tačno jedanput. (ne mora biti zatvoren).

• Graf koji ima Ojlerov put se zove poluojlerov graf.

• T: Graf G je Ojlerov akko je povezan i svi čvorovi su parnog stepena.

• T: Graf ima Ojlerov put akko povezan i sadrži najviše 2 čvora neparanog stepena.

• Ojlerov graf je graf koji se može nacrtati ne podižući olovku sa papira.

• Zatvoren kontura koji sadrži sve grane grafa G naziva se Ojlerov ciklus ili kontura.

• Graf koji ima Ojlerovu konturu zove se Ojlerov graf.

• Ojlerov put je put koja sadrži sve grane iz G tačno jedanput. (ne mora biti zatvoren).

• Graf koji ima Ojlerov put se zove poluojlerov graf.

• T: Graf G je Ojlerov akko je povezan i svi čvorovi su parnog stepena.

• T: Graf ima Ojlerov put akko povezan i sadrži najviše 2 čvora neparanog stepena.

• Primer:• Nacrtati jedan Ojlerov graf i jedan koji to nije.

• Prvi graf je Ojlerova kontura, napr : abcdbeca.• U prvom grafu svi čvorovi su parnog stepena.• Znači on je Ojlerov graf.• Drugi graf je samo Ojjlerov put , napr : cabcdba i ima tačno 2 čvora neparnog

stepena.

a

c

d e ad

c

• Primer:• Nacrtati jedan Ojlerov graf i jedan koji to nije.

• Prvi graf je Ojlerova kontura, napr : abcdbeca.• U prvom grafu svi čvorovi su parnog stepena.• Znači on je Ojlerov graf.• Drugi graf je samo Ojjlerov put , napr : cabcdba i ima tačno 2 čvora neparnog

stepena.

bd

b

• Primer:• Dati su grafovi:

• Prvi graf je Ojlerov put, napr : caecba.( ima tacno 2 cvora neparnog stepena )• Drugi graf je Ojjlerova kontura , napr : abdca (svi čvorovi su parnog stepena.)• Znaci on je Ojlerov graf.• Treci graf nije ni Ojlerova kontura ni put.

a

c

e ad

c

a

c

e

• Primer:• Dati su grafovi:

• Prvi graf je Ojlerov put, napr : caecba.( ima tacno 2 cvora neparnog stepena )• Drugi graf je Ojjlerova kontura , napr : abdca (svi čvorovi su parnog stepena.)• Znaci on je Ojlerov graf.• Treci graf nije ni Ojlerova kontura ni put.

bd

b

a

b

e

• Problem Kenisberških mostova se ne može svesti na Ojlerovu konturu, jer graf imastepene čvorova 5, 3, 3, 3 pa samim time se zaključuje da je nemoguće da se svakimost pređe samo jedanput, a da se vratimo u početnu tačku.

• Traženje Ojlerovog puta sreće se u problemima kombinatorna optimizacije, ali i uradu sa laserima, čiji je cilj da se optimalno koristi laser i samim tim pojeftiniproizvodnja laserskih uređaja.

• Ojlerovi putevi su važni za organizaciju poslova u velikom gradu.• Na primer, za raznošenje pošte, naplate računa i slično. Poštar će najracionalnije

razneti poštu ako svaku ulicu obiđe tačno jedanput

A

B

D

• Problem Kenisberških mostova se ne može svesti na Ojlerovu konturu, jer graf imastepene čvorova 5, 3, 3, 3 pa samim time se zaključuje da je nemoguće da se svakimost pređe samo jedanput, a da se vratimo u početnu tačku.

• Traženje Ojlerovog puta sreće se u problemima kombinatorna optimizacije, ali i uradu sa laserima, čiji je cilj da se optimalno koristi laser i samim tim pojeftiniproizvodnja laserskih uređaja.

• Ojlerovi putevi su važni za organizaciju poslova u velikom gradu.• Na primer, za raznošenje pošte, naplate računa i slično. Poštar će najracionalnije

razneti poštu ako svaku ulicu obiđe tačno jedanput

C

HAMILTONOVI GRAFOVI

• Vilijem Hamilton je 1859.godine postavio problem pod nazivom put oko sveta .

• Cilj je bio obići gradove sveta i vratiti se u polazni. Igra je koristila ivice dodekaedra(20) za predstavljanje dozvoljenih puteva između gradova. Kontura koja prolazi krozsve čvorove grafa tačno jednom ( tako da se kroz jednu granu prolazi najvišejedanput) je Hamiltonova kontura.

•• Hamiltonova kontura ili ciklus grafa G je zatvoren put koji sadrži sve čvorove

grafa.•• Graf koji ima Hamiltonovu konturu zove se Hamiltonov graf.•• Hamiltonov put u grafu G je put koji sadrži sve čvorove iz G. ( ne mora da bude

zatvoren)•• Graf koji ima Hamiltonov put se zove poluhamiltonov graf

• Vilijem Hamilton je 1859.godine postavio problem pod nazivom put oko sveta .

• Cilj je bio obići gradove sveta i vratiti se u polazni. Igra je koristila ivice dodekaedra(20) za predstavljanje dozvoljenih puteva između gradova. Kontura koja prolazi krozsve čvorove grafa tačno jednom ( tako da se kroz jednu granu prolazi najvišejedanput) je Hamiltonova kontura.

•• Hamiltonova kontura ili ciklus grafa G je zatvoren put koji sadrži sve čvorove

grafa.•• Graf koji ima Hamiltonovu konturu zove se Hamiltonov graf.•• Hamiltonov put u grafu G je put koji sadrži sve čvorove iz G. ( ne mora da bude

zatvoren)•• Graf koji ima Hamiltonov put se zove poluhamiltonov graf

• Primer:• Nacrtati jedan Hamiltonov graf.

• Hamiltonova kontura je napr: abcdea, pa je u pitanju Hamiltonov graf.• U definiciji Ojlerovih i Hamiltonovih grafova postoji sličnost.• Međutim Ojlerov graf je u potpunosti određen Ojlerovom teoremom, dok za

Hamiltonove grafove to nije slučaj. Nije rešen potreban i dovoljan uslov Hamiltonovoggrafa.

• Grafovi sa čvorovima stepena1 ne mogu biti Hamiltonove konture, dok u H. konturisvaki čvor je susedan sa dve grane u konturi.

a b

c

d

e

• Primer:• Nacrtati jedan Hamiltonov graf.

• Hamiltonova kontura je napr: abcdea, pa je u pitanju Hamiltonov graf.• U definiciji Ojlerovih i Hamiltonovih grafova postoji sličnost.• Međutim Ojlerov graf je u potpunosti određen Ojlerovom teoremom, dok za

Hamiltonove grafove to nije slučaj. Nije rešen potreban i dovoljan uslov Hamiltonovoggrafa.

• Grafovi sa čvorovima stepena1 ne mogu biti Hamiltonove konture, dok u H. konturisvaki čvor je susedan sa dve grane u konturi.

a b

c

d

e

• Primer:• Dat je graf.

• Hamiltonov put je napr: ecab, pa je u pitanju polu Hamiltonov graf.

a b

ce

• Primer:• Dat je graf.

• Hamiltonov put je napr: ecab, pa je u pitanju polu Hamiltonov graf.

• Primer:• Dat je graf.

• Nema ni Hamiltonove konture ni puta. Nije Hamiltonov graf.

a b

ce

• Primer:• Dat je graf.

• Nema ni Hamiltonove konture ni puta. Nije Hamiltonov graf.

d

• Primer:• Svaki kompletan graf Kn, za n>=3 ima Hamiltonovu konturu.

• Hamiltonova kontura se moze formirati pocev od bilo kog cvora, obilazeci svaki cvortacno jedamput, sto je kod kompletnog grafa moguce jer postoji grana izmedju svakadva cvora.

a b

ce

• Primer:• Svaki kompletan graf Kn, za n>=3 ima Hamiltonovu konturu.

• Hamiltonova kontura se moze formirati pocev od bilo kog cvora, obilazeci svaki cvortacno jedamput, sto je kod kompletnog grafa moguce jer postoji grana izmedju svakadva cvora.

• Odrediti grafove koji su:• istovremeno Ojlerovi i Hamiltonovi,• jesu Ojlerovi, a nisu Hamiltonovi,• nisu Ojlerovi, a jesu Hamiltonovi,• nisu ni Ojlerovi, ni Hamiltonovi.

• Odrediti grafove koji su:• istovremeno Ojlerovi i Hamiltonovi,• jesu Ojlerovi, a nisu Hamiltonovi,• nisu Ojlerovi, a jesu Hamiltonovi,• nisu ni Ojlerovi, ni Hamiltonovi.

a b dc

TEŽINSKI GRAF

• Težinski graf je graf u kome nas ne zanimaju samo čvorovi i grane već i mogućnostistizanja iz tačke A u tačku B i to na najbolji mogući način.

• Najbolji način zavisi od problema koji treba rešiti, to je najkraći put, nekada najjeftiniji,najbezbedniji, put na kome se troši najmanje energije i sl.

• Iz tih razloga svakoj grani se dodeljuje realan broj, njegova težina, odnosno mera.• Ako želimo, na primer, da nađemo najkraći put između gradova težina je udaljenost,

ili cena avionske karte koja spaja udaljene gradova i sl.• Težina ne mora da bude pozitivan broj, ali uobičajeno je da se takav koristi, ne

umanjujući opštost razmatranja.• Ako neka grana ne postoji, tada se na pomenutu poziciju stavlja neki poseban simbol

napr.

• Težinski graf je graf u kome nas ne zanimaju samo čvorovi i grane već i mogućnostistizanja iz tačke A u tačku B i to na najbolji mogući način.

• Najbolji način zavisi od problema koji treba rešiti, to je najkraći put, nekada najjeftiniji,najbezbedniji, put na kome se troši najmanje energije i sl.

• Iz tih razloga svakoj grani se dodeljuje realan broj, njegova težina, odnosno mera.• Ako želimo, na primer, da nađemo najkraći put između gradova težina je udaljenost,

ili cena avionske karte koja spaja udaljene gradova i sl.• Težina ne mora da bude pozitivan broj, ali uobičajeno je da se takav koristi, ne

umanjujući opštost razmatranja.• Ako neka grana ne postoji, tada se na pomenutu poziciju stavlja neki poseban simbol

napr.

• Težinski graf G=(V,E.w) je uređena trojka skupova čvorova, grana i težinskefunkcije koja svakoj grani dodeljuje težinu.

• Težinski graf koji je usmeren zove se mreža.

:w E V V

. PRESTAVLJANJE GRAFOVA POMOĆURAČUNARA

• Grafovi se mogu koristiti za rešavanje mnogih praktičnih problema.• Takve probleme rešavamo pomoću računara.• Potrebno je na adekvatan način predstaviti grafove.• Ne postoji neka unverzalna reprezentacija grafova koja bi rešila sve različite

probleme u kojima se oni koriste.Jedan od uobičajenih načina je pomoću:

• listi susedstva,• matrica incidencije i• matrica susedstva.

• Grafovi se mogu koristiti za rešavanje mnogih praktičnih problema.• Takve probleme rešavamo pomoću računara.• Potrebno je na adekvatan način predstaviti grafove.• Ne postoji neka unverzalna reprezentacija grafova koja bi rešila sve različite

probleme u kojima se oni koriste.Jedan od uobičajenih načina je pomoću:

• listi susedstva,• matrica incidencije i• matrica susedstva.

LISTA SUSEDSTVA

• Za svaki čvor grafa G=(V,E) lista susedstva sadrži sve čvorove koji su susedni sanjim u G,

• Primer:Grafu sa slike odgovara sledeća lista susedstva

• Lista susedstva je sa memorijskih resursa najekonomičnija reprezentacija grafova.• Svaka grana grafa ili digrafa predstavlja se sa 2 memorijske jedinice, jedna za

početni čvor, a druga za krajnji čvor grane.• Graf je reprezentovan sa 2m lokacija ( m je broj grana).

,l v V u v E b

ad

, ,

,

,

lu

b c da

ab

a dc

a cd

• Za svaki čvor grafa G=(V,E) lista susedstva sadrži sve čvorove koji su susedni sanjim u G,

• Primer:Grafu sa slike odgovara sledeća lista susedstva

• Lista susedstva je sa memorijskih resursa najekonomičnija reprezentacija grafova.• Svaka grana grafa ili digrafa predstavlja se sa 2 memorijske jedinice, jedna za

početni čvor, a druga za krajnji čvor grane.• Graf je reprezentovan sa 2m lokacija ( m je broj grana).

c

, ,

,

,

lu

b c da

ab

a dc

a cd

MATRICA INCIDENCIJE

• Ako (a,b) predstavlja granu, a čvorovi a i b su krajnje tačke grane, za granu (a,b) sekaže da je incidentna-susedna čvorovima a i b.

• Neka je G=(V,E) graf. Matrica B čije su vrste obeležene čvorovima grafa a kolonegranama grafa naziva se matrica incidencije . Element bij , jednak je 1 ako je i-tičvor incidentan j-toj grani , a jednak nuli u protivnom.

• Primer:Grafu sa slike odgovara sledeća matrica incidencije

• Ako (a,b) predstavlja granu, a čvorovi a i b su krajnje tačke grane, za granu (a,b) sekaže da je incidentna-susedna čvorovima a i b.

• Neka je G=(V,E) graf. Matrica B čije su vrste obeležene čvorovima grafa a kolonegranama grafa naziva se matrica incidencije . Element bij , jednak je 1 ako je i-tičvor incidentan j-toj grani , a jednak nuli u protivnom.

• Primer:Grafu sa slike odgovara sledeća matrica incidencije

b

a

c

d2e

1e

3e4e

1 2 3 4

1 1 1 0

1 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

e e e e

a

b

c

d

• Matrice incidencije mogu da se koristite i kod grafova sa petljama.• Primer:

Grafu sa petljama sa slike, odgovara sledeća matrica incidencije.

• Matrica incidencije za neorijentisane grafove se definiše tako što ako je i-ti čvorsusedan ili incidentan sa j-tom granom pišemo 1, inače je 0.

• Kod digrafova na preseku i-te vrste i j-te kolone stoji -1 ili 1 ako u i-ti čvor ulazi,odnosno izlazi j-ta grana, inače je 0.

• Ova reprezentacija je veoma neekonomična i ređe se koristi.

b

2e 1e5e

1 2 3 4 5

1 1 1 0 0

1 0 0 0 0

0 0 1 1 0

0 0 0 1 1

e e e e e

a

b

c

d

• Matrice incidencije mogu da se koristite i kod grafova sa petljama.• Primer:

Grafu sa petljama sa slike, odgovara sledeća matrica incidencije.

• Matrica incidencije za neorijentisane grafove se definiše tako što ako je i-ti čvorsusedan ili incidentan sa j-tom granom pišemo 1, inače je 0.

• Kod digrafova na preseku i-te vrste i j-te kolone stoji -1 ili 1 ako u i-ti čvor ulazi,odnosno izlazi j-ta grana, inače je 0.

• Ova reprezentacija je veoma neekonomična i ređe se koristi.

a

c

d2e 1e

3e4e

5e

1 2 3 4 5

1 1 1 0 0

1 0 0 0 0

0 0 1 1 0

0 0 0 1 1

e e e e e

a

b

c

d

MATRICA SUSEDSTVA

• Neka je G=(V,E) graf . Matrica A čije su vrste obeležene čvorovima grafa, a koloneistim tim čvorovima u istom poretku, se zove matrica susedstva.

• Element aij , jednak je 1 ako postoji grana od i-tog čvora do j-tog čvora , a jednak nuliu protivnom.

• Matrica susedstva je kvadratna matrica simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu.• Primer:• Grafu sa slike odgovara sledeća matrica susedstva ( oznake vrsta i kolona se ne

moraju pisati)

Primer:Usmerenom grafu sa slike odgovara matrica susedstva

• Neka je G=(V,E) graf . Matrica A čije su vrste obeležene čvorovima grafa, a koloneistim tim čvorovima u istom poretku, se zove matrica susedstva.

• Element aij , jednak je 1 ako postoji grana od i-tog čvora do j-tog čvora , a jednak nuliu protivnom.

• Matrica susedstva je kvadratna matrica simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu.• Primer:• Grafu sa slike odgovara sledeća matrica susedstva ( oznake vrsta i kolona se ne

moraju pisati)b

a

c

d2e

1e

3e4e

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 0 1

1 0 1 0

a b c d

a

b

c

d

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 0 1

1 0 1 0

• Primer:• Usmerenom grafu sa slike odgovara matrica susedstva

• Matrica susedstva je najčešća matrična interpretacija grafova.• Ova reprezentacija zahteva ( n je broj čvorova ) memoriskih jedinica u računaru i

veoma je nepraktična za grafove sa malim brojem grana što je u praksi čest slučaj.Sa druge strane ona može da se koristi i za grafove, i multigrafove ( digfraove ).

• Tada , na poziciju preseka i-te vrste i j-te kolone treba staviti broj grana koje spajaju i-ti čvor sa j-tim čvorom.

• U slučaju da je graf neorijentisan skoro 50% memoriskih jedinica možemo uštedetiako se pamte samo elementi ispod ili iznad glavne dijagonale, zato što je matricasimetrična.

• Tada se usporava brizna rada jer je potrebno izvršiti testiranja koja se nameću.

ba0 1 1

1 1 1

0 0 0

a b c

a

b

c

• Primer:• Usmerenom grafu sa slike odgovara matrica susedstva

• Matrica susedstva je najčešća matrična interpretacija grafova.• Ova reprezentacija zahteva ( n je broj čvorova ) memoriskih jedinica u računaru i

veoma je nepraktična za grafove sa malim brojem grana što je u praksi čest slučaj.Sa druge strane ona može da se koristi i za grafove, i multigrafove ( digfraove ).

• Tada , na poziciju preseka i-te vrste i j-te kolone treba staviti broj grana koje spajaju i-ti čvor sa j-tim čvorom.

• U slučaju da je graf neorijentisan skoro 50% memoriskih jedinica možemo uštedetiako se pamte samo elementi ispod ili iznad glavne dijagonale, zato što je matricasimetrična.

• Tada se usporava brizna rada jer je potrebno izvršiti testiranja koja se nameću.

c

0 1 1

1 1 1

0 0 0

a b c

a

b

c

PITANJA ZA PONAVLJANJE

• Šta je graf?• Šta je stepen čvora?• Šta je regularan graf?• Šta je kompletan graf?• Šta je bipartitivni graf?• Šta je kontura?• Koji grafovi su izomorfni?• Šta je Ojlerov put?• Šta je Ojlerov graf?• Kako glasi potreban i dovoljan uslov da bi graf bio Ojlerov?• Šta je Hamilzonov graf?• Kako glasi teorema o broju grana i strepenu čvorova?• Šta je lista susedstva?• Šta su matrice susedstva i incidencije?

• Šta je graf?• Šta je stepen čvora?• Šta je regularan graf?• Šta je kompletan graf?• Šta je bipartitivni graf?• Šta je kontura?• Koji grafovi su izomorfni?• Šta je Ojlerov put?• Šta je Ojlerov graf?• Kako glasi potreban i dovoljan uslov da bi graf bio Ojlerov?• Šta je Hamilzonov graf?• Kako glasi teorema o broju grana i strepenu čvorova?• Šta je lista susedstva?• Šta su matrice susedstva i incidencije?

STABLO

• Stabla ili drveta predstavljaju najjednostavniju, ali i najvažniju klasu grafova.• Na primer, porodična stabla su je jedna vrsta stabla. Organizaciona struktura firme su

takođe vrsta stabala i td.• Postoji više ekvivalentnih definicija stabla. Navešćemo neke od njih.

• Stablo ili drvo je povezan graf koji ne sadrži cikluse ili konture.

• Stablo je povezan graf sa v čvorova i e=v-1 grana.• Stablo je minimalno povezan graf.

• Stabla ili drveta predstavljaju najjednostavniju, ali i najvažniju klasu grafova.• Na primer, porodična stabla su je jedna vrsta stabla. Organizaciona struktura firme su

takođe vrsta stabala i td.• Postoji više ekvivalentnih definicija stabla. Navešćemo neke od njih.

• Stablo ili drvo je povezan graf koji ne sadrži cikluse ili konture.

• Stablo je povezan graf sa v čvorova i e=v-1 grana.• Stablo je minimalno povezan graf.

• Primer:Graf na sledećoj slici nije stablo jer sadrži konturu- ciklus.

• Stablo sadrži bar dva čvora stepena 1.• Za svaki par čvorova (u,v) postoji tačno jedan put koji ih povezuje.• Udaljavanjem bilo koje grane iz stabla dobija se nepovezan graf.• Ako se u stablo uključi proizvoljna grana, dobija se graf koji može da ima ima tačno

jednu konturu.• Svaki neorijentisan multigraf bez petlji sadrži kao delimični graf u obliku stabla.• Stablo je bipartitivni graf.

• Šuma je graf kome su komponente stabla.

• Stablo sadrži bar dva čvora stepena 1.• Za svaki par čvorova (u,v) postoji tačno jedan put koji ih povezuje.• Udaljavanjem bilo koje grane iz stabla dobija se nepovezan graf.• Ako se u stablo uključi proizvoljna grana, dobija se graf koji može da ima ima tačno

jednu konturu.• Svaki neorijentisan multigraf bez petlji sadrži kao delimični graf u obliku stabla.• Stablo je bipartitivni graf.

• Šuma je graf kome su komponente stabla.

KORENO STABLO

• Stablo u kome je jedan čvor posebno označen naziva se koreno stablo.• Čvor na vrhu stabla naziva se korenom.

• Svaki čvor korenog stabla povezan je jedinstvenim putem za koren stabla. Broj granau ovom putu predstavlja nivo tog čvora. Koren stabla ima nivo 0, a najveći nivo imajuod korena najudaljeniji čvorovi.

a

• Stablo u kome je jedan čvor posebno označen naziva se koreno stablo.• Čvor na vrhu stabla naziva se korenom.

• Svaki čvor korenog stabla povezan je jedinstvenim putem za koren stabla. Broj granau ovom putu predstavlja nivo tog čvora. Koren stabla ima nivo 0, a najveći nivo imajuod korena najudaljeniji čvorovi.

0nivo

1nivo

2nivo

• Korensko stablo može da bude i orijentisano. Grane se orijentišu od čvorova manjihnivoa, ka čvorovima viših nivoa. Ulazni stepen korena je 0, dok je ulazni stepenostalih čvorova u korenskom stablu jednak 1.

• Čvorovi do kojih vode grane koje polaze iz čvora x, nazivaju se sinovi čvora x, a samčvor x je njihov otac. Svi predhodni čvorovi u odnosu na x nazivaju se predci, anaredni njihovi potomci.

• Čvor bez dece naziva se list. Listovi su završni čvorovi.• Listovi su čvorovi stepena 1.• Ostali čvorovi se nazivaju unutrašnjim čvorovima.• Visina stabla je dužina najdužeg mogućeg puta od korena do lista.

• Korensko stablo može da bude i orijentisano. Grane se orijentišu od čvorova manjihnivoa, ka čvorovima viših nivoa. Ulazni stepen korena je 0, dok je ulazni stepenostalih čvorova u korenskom stablu jednak 1.

• Čvorovi do kojih vode grane koje polaze iz čvora x, nazivaju se sinovi čvora x, a samčvor x je njihov otac. Svi predhodni čvorovi u odnosu na x nazivaju se predci, anaredni njihovi potomci.

• Čvor bez dece naziva se list. Listovi su završni čvorovi.• Listovi su čvorovi stepena 1.• Ostali čvorovi se nazivaju unutrašnjim čvorovima.• Visina stabla je dužina najdužeg mogućeg puta od korena do lista.

BINARNA STABLA

• Ako je najveći izlazni stepen, bilo kog čvora stabla, jednak m, tada se to stablo nazivam- arnim stablom.

• U posebnom slučaju, ako je m=2, dobijamo binarno stablo.• U binarnom stablu svaki otac ima najviše 2 sina i svako dete se posmatra kao levo ili

desno dete.• Ako su u binarnom stablu završni čvorovi svi istog nivoa, binarno stablo se naziva

potpuno.

• Binarna stabla predstavljaju jedan od važnijih pojmova računarskih nauka.• Binarno stablo je u informatici struktura namenjena čuvanju podataka. Čvor stabla

je jedna memorijska ćelija stabla.

• Ako je najveći izlazni stepen, bilo kog čvora stabla, jednak m, tada se to stablo nazivam- arnim stablom.

• U posebnom slučaju, ako je m=2, dobijamo binarno stablo.• U binarnom stablu svaki otac ima najviše 2 sina i svako dete se posmatra kao levo ili

desno dete.• Ako su u binarnom stablu završni čvorovi svi istog nivoa, binarno stablo se naziva

potpuno.

• Binarna stabla predstavljaju jedan od važnijih pojmova računarskih nauka.• Binarno stablo je u informatici struktura namenjena čuvanju podataka. Čvor stabla

je jedna memorijska ćelija stabla.

• Na nivou k postoji tačno čvorova• Ako potpuno binarno stablo ima pored nivoa 0 još k nivoa, tada je broj čvorova v u

stablu jednak

• Broj završnih čvorova ( listova ) je

• Visina k stabla je

2k• Na nivou k postoji tačno čvorova• Ako potpuno binarno stablo ima pored nivoa 0 još k nivoa, tada je broj čvorova v u

stablu jednak

• Broj završnih čvorova ( listova ) je

• Visina k stabla je

2k

2 11 2 2 2 2 1k kv

2k

2log 1 1k v

RAZAPINJUĆA STABLA

• Stablo koje se dobija iz grafa G uklanjanjem određenog broja grana iz grafa, a da grafostane povezan, sa istim brojem čvorova zove se razapinjuće stablo ili razapetastabla.

• Svaki povezan graf ima razapeto stablo.

• Ako iz datog grafa želimo da dobijemo razapeto stablo, problem je u suštinijednostavan , ali obično se prave razapeta stabla koja ispunjavaju neke uslove, napr.min ili max.

Primer:• Grafu sa slike, odgovara sledeće min razapeto stablo.

• Za dobijanje razaperih stabala postoje razni algoritmi, ali najpoznatiji su Primov iKruskalov algoritam.

• Ako iz datog grafa želimo da dobijemo razapeto stablo, problem je u suštinijednostavan , ali obično se prave razapeta stabla koja ispunjavaju neke uslove, napr.min ili max.

Primer:• Grafu sa slike, odgovara sledeće min razapeto stablo.

• Za dobijanje razaperih stabala postoje razni algoritmi, ali najpoznatiji su Primov iKruskalov algoritam.

A

C

E D

B24

1

3

32 2

2A 2

22

1

E

B

C

PRIMENE GRAFOVA

Primene grafova:• Nalaženje dobrog puta (najbržeg, najjeftinijeg)• Ispitivanje izvršavanja procesa nekog programa (utvrđivanje koja stanja su

nepotrebana)• Određivanje maksimalnog protoka u mreži ( nafrovodi, saobraćajnice i sl.)

• U praksi često je potrebno definisati, a kasnije pretraživati ( obilaziti ) grafove.• Binarna stabla predstavljaju dobar način za definisanje, uređivanje i pretragu

podataka.• Pomoću njih se svaki podatak može lako pronaći, utvrditi šta nedostaje, dodati ili

izbaciti nepotreban podatak.• Praktično, mora da se definše neko uređenje podataka (ključ), numeričko ili

alfabetsko po kome se raspoređuju elementi po grafu.

• Jedna od načina počinje od korena stabla.• Leva deca su manja ili jednaka od roditelja, i čvor sa najmanjom vrednošću je

najlevlji. Desna deca su veća ili jednaka od roditelja i čvor sa najvećom vrednošću jenajdešniji.

Jedan od algoritama glasio bi :• Definisati ključ,• ukoliko je ključ veći od oca, idi na desno dete i ponovi ispitivanje,• ukoliko je ključ manji od oca, idi na levo dete, i ponovi ispitivanje,

• U praksi često je potrebno definisati, a kasnije pretraživati ( obilaziti ) grafove.• Binarna stabla predstavljaju dobar način za definisanje, uređivanje i pretragu

podataka.• Pomoću njih se svaki podatak može lako pronaći, utvrditi šta nedostaje, dodati ili

izbaciti nepotreban podatak.• Praktično, mora da se definše neko uređenje podataka (ključ), numeričko ili

alfabetsko po kome se raspoređuju elementi po grafu.

• Jedna od načina počinje od korena stabla.• Leva deca su manja ili jednaka od roditelja, i čvor sa najmanjom vrednošću je

najlevlji. Desna deca su veća ili jednaka od roditelja i čvor sa najvećom vrednošću jenajdešniji.

Jedan od algoritama glasio bi :• Definisati ključ,• ukoliko je ključ veći od oca, idi na desno dete i ponovi ispitivanje,• ukoliko je ključ manji od oca, idi na levo dete, i ponovi ispitivanje,

Primer.• Formirati sledeće binarno stablo pretrage.

Poređajmo sledeća imena po abecedi uzimajući redom imena: Petar, Đorđe, Sima,Helena, Stoja, Rista, Dunja, Martin, Vasa i Laza. Uzeti Petra za koren stabla.Napomena: abeceda- a,b,c,č,ć,d,đž,đ,e,f,g,h,i,j,k,l,lj,m,n,nj,o,p,r,s,š,t,u,v,z,ž

• Poćićemo od imena Petra koje ćemo postaviti za koren stabla. Pošto se ime Đorđenalazi u nizu posle njega (Đ<P), a abecedno je ispred imena Petar, on će postatinjegovo levo dete.

• Sledeće ime je Sima, koje se nalazi iza imena Petar (S>P), pa će zato postatinjegovo desno dete.

Primer.• Formirati sledeće binarno stablo pretrage.

Poređajmo sledeća imena po abecedi uzimajući redom imena: Petar, Đorđe, Sima,Helena, Stoja, Rista, Dunja, Martin, Vasa i Laza. Uzeti Petra za koren stabla.Napomena: abeceda- a,b,c,č,ć,d,đž,đ,e,f,g,h,i,j,k,l,lj,m,n,nj,o,p,r,s,š,t,u,v,z,ž

• Poćićemo od imena Petra koje ćemo postaviti za koren stabla. Pošto se ime Đorđenalazi u nizu posle njega (Đ<P), a abecedno je ispred imena Petar, on će postatinjegovo levo dete.

• Sledeće ime je Sima, koje se nalazi iza imena Petar (S>P), pa će zato postatinjegovo desno dete.

P etar

Đorđe

P etar

ĐorđeSima

• Sledeće ime Helena. Abecedno je ispred imena Petar (H<P) i spuštamo se do levogdeteta, Đorđe, a kako je abecedno iza imena Đorđe (H>Đ), to je njegovo desno dete.

• Ako bi ovako nastavili, sledeće ime je Stoja, ona je Petrovo desno dete (P<S), a izaSime, pa je Simino desno dete

P etar

ĐorđeSima

Helena

• Sledeće ime Helena. Abecedno je ispred imena Petar (H<P) i spuštamo se do levogdeteta, Đorđe, a kako je abecedno iza imena Đorđe (H>Đ), to je njegovo desno dete.

• Ako bi ovako nastavili, sledeće ime je Stoja, ona je Petrovo desno dete (P<S), a izaSime, pa je Simino desno dete

Helena

Petar

Sima

Stoja

Đorđe

Helena

• Sledeće ime Rista. Abecedno je iza imena Petar (R>P) i spuštamo se do desnogdeteta Sime a kao je R abecedno ispred S (R<S), Rista postaje Simino levo dete.

• Ako bi ovako nastavili do kraja dobili bismo stablo

P etar

ĐorđeStoja

Helena

Sima

Rista

• Sledeće ime Rista. Abecedno je iza imena Petar (R>P) i spuštamo se do desnogdeteta Sime a kao je R abecedno ispred S (R<S), Rista postaje Simino levo dete.

• Ako bi ovako nastavili do kraja dobili bismo stablo

Helena Rista

Petar

Sima

Stoja

LazaRista

Đorđe

Martin

Helena

Dunja

Vasa

Primer.• Poređajmo sledeće brojeve koristeći algoriram za formiranje binarnog stabla

2,5,3,1,14,11,4.• Poćićemo od broja 2 i postavićemo ga za koren stabla. Pošto je broj 5 veći od

njega, on postaje njegovo desno dete.

• Sledeće broj je 3, veći je od 2, pa idemo do 5, a manji od 5, pa postaje njegovo levodete.

2

Primer.• Poređajmo sledeće brojeve koristeći algoriram za formiranje binarnog stabla

2,5,3,1,14,11,4.• Poćićemo od broja 2 i postavićemo ga za koren stabla. Pošto je broj 5 veći od

njega, on postaje njegovo desno dete.

• Sledeće broj je 3, veći je od 2, pa idemo do 5, a manji od 5, pa postaje njegovo levodete.

5

2

35

• Sledeći broj je 1. On je manji od 2 i postaje njegovo levo dete.

• Ako bi ovako nastavili dobijamo graf

2

1 5

3

• Sledeći broj je 1. On je manji od 2 i postaje njegovo levo dete.

• Ako bi ovako nastavili dobijamo graf

2

5

14

1

3

4 11

PITANJA ZA PONAVLJANJE

1. Šta je stablo?2. Osobine stabla3. Koren stabla4. Nivoi stabla5. Šta je razapinjuće stablo?6. Šta je binarno stablo?7. Binarna stabla pretrage

1. Šta je stablo?2. Osobine stabla3. Koren stabla4. Nivoi stabla5. Šta je razapinjuće stablo?6. Šta je binarno stablo?7. Binarna stabla pretrage

GRAFOVSKI ALGORITMI

OPTIMIZACIONI ALGORITMI

• Optimizacioni problemi koriste težinske grafove.• Optimizacioni zadatak se svodi na zahtev da se od polaznog grafa dođe do

razapinjućeg stabla čija je težina najmanja.• U praksi ovakvih problema ima mnogo.• Postoje mnogi algoritmi za njihovo rešavanje, kao što su naprimer:1. Kruskalov,2. Primov,3. Dijkastrin i mnogi drugi.

• Optimizacioni problemi koriste težinske grafove.• Optimizacioni zadatak se svodi na zahtev da se od polaznog grafa dođe do

razapinjućeg stabla čija je težina najmanja.• U praksi ovakvih problema ima mnogo.• Postoje mnogi algoritmi za njihovo rešavanje, kao što su naprimer:1. Kruskalov,2. Primov,3. Dijkastrin i mnogi drugi.

PRIMOV ALGORITAM

• Tokom svoje kаrijere u Bell Labs, Robert Prim je zаjedno sа kolegomDŽozefom Kruskаlom rаzvio dvа rаzličitа аlgoritmа (vidi pohlepni аlgoritаm)zа pronаlаženje minimаlnog razapetog stаblа u težinskom grаfu,

• To je bio glаvni kаmen spoticаnjа u dizаjnu rаčunаrskih mrežа.• Primov аlgoritаm je prvobitno pronаšаo mаtemаtičаrBojteh Jаrnik 1930.

godine• Nezаvisno od njegа gа je Prim otkrio 1957. godine.• Edsher Dаjkstrа gа je ponovo pronаšаo kаsnije, 1959. godine.• Zbog togа se ponekаd nаzivа DJP аlgoritаm ili Jаrnikov аlgoritаm.

• Tokom svoje kаrijere u Bell Labs, Robert Prim je zаjedno sа kolegomDŽozefom Kruskаlom rаzvio dvа rаzličitа аlgoritmа (vidi pohlepni аlgoritаm)zа pronаlаženje minimаlnog razapetog stаblа u težinskom grаfu,

• To je bio glаvni kаmen spoticаnjа u dizаjnu rаčunаrskih mrežа.• Primov аlgoritаm je prvobitno pronаšаo mаtemаtičаrBojteh Jаrnik 1930.

godine• Nezаvisno od njegа gа je Prim otkrio 1957. godine.• Edsher Dаjkstrа gа je ponovo pronаšаo kаsnije, 1959. godine.• Zbog togа se ponekаd nаzivа DJP аlgoritаm ili Jаrnikov аlgoritаm.

• Primov algoritam je algoritam u teoriji grafova koja nalazi minimalnorazapinjuće stablo za povezani težinski graf.

• To znači da nalazi podskup grana koje formiraju stablo koje uključuje svečvorove, takav da je ukupna težina stabla minimalna.

• U početku je stablo prazno pa ga počinjemo graditi definisanjemproizvoljnog vrha koristeći skup čvorova početnog grafa.

• Postupak nastavljamo dodavanjem grana u stablo koji ima osobinu dapovezuje jedan čvor koji se već nalazi u stablu i jedan koji se se u njemu nenalazi, pazeći pri tome da je težina te grane bude minimalna.

• Na kraju definisani algoritam od dobijenog grafa daje traženo minimalnorazapinjajuće stablo.

• Algoritam postepeno povećava veličinu stabla počevši od jednog čvora, dokne poveže sve čvorove.

• Primov algoritam je algoritam u teoriji grafova koja nalazi minimalnorazapinjuće stablo za povezani težinski graf.

• To znači da nalazi podskup grana koje formiraju stablo koje uključuje svečvorove, takav da je ukupna težina stabla minimalna.

• U početku je stablo prazno pa ga počinjemo graditi definisanjemproizvoljnog vrha koristeći skup čvorova početnog grafa.

• Postupak nastavljamo dodavanjem grana u stablo koji ima osobinu dapovezuje jedan čvor koji se već nalazi u stablu i jedan koji se se u njemu nenalazi, pazeći pri tome da je težina te grane bude minimalna.

• Na kraju definisani algoritam od dobijenog grafa daje traženo minimalnorazapinjajuće stablo.

• Algoritam postepeno povećava veličinu stabla počevši od jednog čvora, dokne poveže sve čvorove.

Algoritam se može prikazati sledećim opisom:

• Izabere se proizvoljni čvor iz G i stavi se u stablo T.• Izabere se grana najmanje težine iz skupa grana koje sadrže predhodni

čvor i obrazuje se stablo.• Dok je broj čvorova stabla < broja čvorova grafa, ponavljati postupak.• Izaberi čvor koji ne pripada stablu, a susedan je nekom čvoru iz stabla, a pri

tome je težina ivice koja ih spaja minimalna.• Stavi taj čvor zajedno s njemu pripadajućim granom u stablo.• Postupak ponavljati sve dok svaki čvor grafa G ne bude u stablu.

Algoritam se može prikazati sledećim opisom:

• Izabere se proizvoljni čvor iz G i stavi se u stablo T.• Izabere se grana najmanje težine iz skupa grana koje sadrže predhodni

čvor i obrazuje se stablo.• Dok je broj čvorova stabla < broja čvorova grafa, ponavljati postupak.• Izaberi čvor koji ne pripada stablu, a susedan je nekom čvoru iz stabla, a pri

tome je težina ivice koja ih spaja minimalna.• Stavi taj čvor zajedno s njemu pripadajućim granom u stablo.• Postupak ponavljati sve dok svaki čvor grafa G ne bude u stablu.

ALGORIRAM:

• Ulaz: Povezan težinski graf G(V, E)• Inicijalizacija: V' = {x}, gde je x proizvoljan čvor iz V, E'= {}• ponavljanje dok ne postane V'=V:

– Izaberi granu (u, v) iz E sa minimalnom težinom, takvu da je u iz V' a vnije iz V' (ako ima više grana iste težine, izabrati proizvoljnu)

– Dodaj v u V', i (u, v) u E'• Izlaz: G(V', E') je minimalno razapinjuće stablo

ALGORIRAM:

• Ulaz: Povezan težinski graf G(V, E)• Inicijalizacija: V' = {x}, gde je x proizvoljan čvor iz V, E'= {}• ponavljanje dok ne postane V'=V:

– Izaberi granu (u, v) iz E sa minimalnom težinom, takvu da je u iz V' a vnije iz V' (ako ima više grana iste težine, izabrati proizvoljnu)

– Dodaj v u V', i (u, v) u E'• Izlaz: G(V', E') je minimalno razapinjuće stablo

• Primer:• Od datog težinskog grafa sa slike, formirati minimalno razapinjuće stablo

koristeći Primov algoritam.

• Biramo jedan čvor proizvoljno za početnu tačku, odnosno koren stabla.• Neka je to čvor a.• Iz čvora a možemo da stignemo u čvor b sa udaljenišću 2, zatim u čvor d sa

udaljenošću 3 i u čvor e sa udaljenošću 1. Kako je čvor e na najmanjojudaljenosti od a, pridodaćemo ga stablu kao i njegovu granu (a,e).

2

c

ba

3

421

4

• Primer:• Od datog težinskog grafa sa slike, formirati minimalno razapinjuće stablo

koristeći Primov algoritam.

• Biramo jedan čvor proizvoljno za početnu tačku, odnosno koren stabla.• Neka je to čvor a.• Iz čvora a možemo da stignemo u čvor b sa udaljenišću 2, zatim u čvor d sa

udaljenošću 3 i u čvor e sa udaljenošću 1. Kako je čvor e na najmanjojudaljenosti od a, pridodaćemo ga stablu kao i njegovu granu (a,e).

e d

c42

3

• Sada posmatramo oba čvora novog stabla a i e. Njihove udaljenosti dočvorova grafa su: iz a do b dužina 2, iz a u d dužina 3, iz čvora e u bdužina 4, iz e u dužina 3. Najmanja dužina je 2 iz a u b, tako da čvor b igranu (a,b) pridodajemo stablu.

2

e d

c

ba

3

42

2

3

14

• Sada posmatramo oba čvora novog stabla a i e. Njihove udaljenosti dočvorova grafa su: iz a do b dužina 2, iz a u d dužina 3, iz čvora e u bdužina 4, iz e u dužina 3. Najmanja dužina je 2 iz a u b, tako da čvor b igranu (a,b) pridodajemo stablu.

2

e d

c

ba

3

42

2

3

14

• Proces se nastavlja. Sada posmatramo čvorove b i e. Najmanja udaljenostje iz b u d dužine 2, tako da stablu pridodajemo čvor d i granu (bd).

2

e d

c

ba

3

42

2

3

14

• Proces se nastavlja. Sada posmatramo čvorove b i e. Najmanja udaljenostje iz b u d dužine 2, tako da stablu pridodajemo čvor d i granu (bd).

2

e d

c

ba

3

42

2

3

14

• I konačno, iz b u c možemo granom dužine 4, a iz d u c granom dužine 2,pa dodajemo čvor c i kraću granu (d,c).

2

e d

c

ba

3

42

2

3

14

• I konačno, iz b u c možemo granom dužine 4, a iz d u c granom dužine 2,pa dodajemo čvor c i kraću granu (d,c).

2

e d

c

ba

3

42

2

3

14

• Zraženo minimalno razapeto stablo bi izgledalo :

eb

a

d

c

b

PrimerPrimovogalgoritma

KRUSKALOV ALGORITAM

• Kruskalov algoritam je još jedan od algoritama koji određuju stablominimalne dužine.

• Algoritam:

1. Početi sa grafom koga sačinjavaju samo čvorovi grafa G, tj. iz originalnoggrafa ukloniti sve grane.

2. Sortirati sve grane L grafa G u neopadajući niz prema njihovim dužinama.3. Dodavati grane inicijalnom grafu po sortiranom redosledu vodeći računa o

tome da se ne formira kontura.4. Ponavljati korak 3 sve dok broj dodatih grana ne bude n - 1.

• Kruskalov algoritam je još jedan od algoritama koji određuju stablominimalne dužine.

• Algoritam:

1. Početi sa grafom koga sačinjavaju samo čvorovi grafa G, tj. iz originalnoggrafa ukloniti sve grane.

2. Sortirati sve grane L grafa G u neopadajući niz prema njihovim dužinama.3. Dodavati grane inicijalnom grafu po sortiranom redosledu vodeći računa o

tome da se ne formira kontura.4. Ponavljati korak 3 sve dok broj dodatih grana ne bude n - 1.

Primer:: Od datog težinskog grafa sa slike, formirati minimalno razapinjućestablo

e

b

c

a g

f

6

54

7

83

ih

3

1

3

2

26

11

d

grane dužina sortirana grane dužina(a,b) 8 (e,h) 1

Popisaćemo sve grane grafa i njihove dužine isortirati ih u neopadajući niz:

(a,b) 8 (e,h) 1(a,c) 11 (c,e) 2(b,c) 3 (f,h) 2(b,d) 3 (b,c) 3(c,e) 2 (b,d) 3(c,f) 6 (h,i) 3(d,g) 5 (d,e) 4(e,h) 1 (d,g) 5(f,h) 2 (g,h) 6(h,i) 3 (c,f) 6(g,i) 7 (g,i) 7(g,h) 6 (a,b) 8(d,e) 4 (a,c) 11

• Ne koristiti grane koje bi stvorile konture. To su grane (a,c), (d,e), (g,h), (g,i) i (c,f).

b

a g58

3

3

d

e

c

g

f

ih

3

1

3

2

2

• Drugi način1. Uočiti bilo koju konturu grafa.2. Iz uočene konture isključiti granu sa najvećom dužinom.– Ponavljati korake 1 i 2 sve dok ne ostane n - 1 grana, tj. dok ne bude

više kontura.

• Počećemo od zadatog grafa i uočiti npr. konturu (a, b, c, a). Od grana kojesačinjavaju ovu konturu biramo onu sa najvećom dužinom i brišemo je. To je grana(a, c). Sve uočene konture i izbrisane grane su date u sledećoj tabeli:

• Kontura Grana koja se briše• (a, b, c, a) (a, c)• (b, c, e, d, b) (d, e)• (b, c, e, h, g, d, b) (g, h)• (b, c, e, h, i, g, d, b) (i, g)• (c, e, h, f, c) (c, f)• Nakon ovog postupka dobili smo graf

e

b

c

a g

f

6

54

7

83

ih

3

1

3

2

26

11

d

• Počećemo od zadatog grafa i uočiti npr. konturu (a, b, c, a). Od grana kojesačinjavaju ovu konturu biramo onu sa najvećom dužinom i brišemo je. To je grana(a, c). Sve uočene konture i izbrisane grane su date u sledećoj tabeli:

• Kontura Grana koja se briše• (a, b, c, a) (a, c)• (b, c, e, d, b) (d, e)• (b, c, e, h, g, d, b) (g, h)• (b, c, e, h, i, g, d, b) (i, g)• (c, e, h, f, c) (c, f)• Nakon ovog postupka dobili smo graf

e

b

c

a g58

3

1

3

211

d

c

f

ih

3

2

26

DIJKASTRIN ALGORITAM

• Dijkstrin algoritam, koji je dobio ime po holandskom informatičaru Edsheru Dejkstri(1930-2002), i služi za nalaženje najkraćeg puta u grafu. Koristi se i za orijentisane ineorijentisane grafove sa nenegativnim težinama.

• Na primer, ako čvorove predstavimo kao gradove, a vrednosti grana kao rastojanjaizmeđu onih gradova koji su direktno povezani, Dijkstrin algoritam nalazi najkraći putizmeđu dva grada, ili najbrži put, ili najjeftiniji put.

• Spada u takozvane pohlepne algoritme , kod kojih se pamti trenutna vrednost puta dkao najkraćeg puta, od polaznog čvora do nekod drugog na putu.

• Dijkstrin algoritam, koji je dobio ime po holandskom informatičaru Edsheru Dejkstri(1930-2002), i služi za nalaženje najkraćeg puta u grafu. Koristi se i za orijentisane ineorijentisane grafove sa nenegativnim težinama.

• Na primer, ako čvorove predstavimo kao gradove, a vrednosti grana kao rastojanjaizmeđu onih gradova koji su direktno povezani, Dijkstrin algoritam nalazi najkraći putizmeđu dva grada, ili najbrži put, ili najjeftiniji put.

• Spada u takozvane pohlepne algoritme , kod kojih se pamti trenutna vrednost puta dkao najkraćeg puta, od polaznog čvora do nekod drugog na putu.

1. U startu svi čvorovi imaju koordinatePrva koordinata predstavlja dužinu puta, a druga predhodni čvor.

2. Početi od i promeniti ga u i ovaj čvor učiniti stalnim.Svi ostali čvorovi u ovom trenutku su privremeni.

3. Kada čvor postane stalan, za svaki čvor susedan sa ,dodati razdaljinu m između i . Ako je ova vrednost manja od tekućerazdaljine dodeljene čvoru , zameniti tu razdaljinu ovim zbirom i drugukoordinatu iz uređenog para zameniti sa čvorom

1 ,0v 1 0,0v

,01. U startu svi čvorovi imaju koordinatePrva koordinata predstavlja dužinu puta, a druga predhodni čvor.

2. Početi od i promeniti ga u i ovaj čvor učiniti stalnim.Svi ostali čvorovi u ovom trenutku su privremeni.

3. Kada čvor postane stalan, za svaki čvor susedan sa ,dodati razdaljinu m između i . Ako je ova vrednost manja od tekućerazdaljine dodeljene čvoru , zameniti tu razdaljinu ovim zbirom i drugukoordinatu iz uređenog para zameniti sa čvorom

1 ,0v 1 0,0v

,k rv m v

jvkv jv kv

jvkv

3.Odrediti minimalnu razdaljinu dodeljenu privremenimčvorovima. Odgovarajući čvor zameniti stalnim.

4. Ako nije stalan čvor vratiti se na korak 2.5. Ako jeste stalan čvor razdaljina dodeljenaje najkraće rastojanje od i6 Obrnutim obilaskom odvih čvorova dobija se najkraćiput.

nv

nv nv

3.Odrediti minimalnu razdaljinu dodeljenu privremenimčvorovima. Odgovarajući čvor zameniti stalnim.

4. Ako nije stalan čvor vratiti se na korak 2.5. Ako jeste stalan čvor razdaljina dodeljenaje najkraće rastojanje od i6 Obrnutim obilaskom odvih čvorova dobija se najkraćiput.

nvnv nv

1v nv

• Primer:Dat je težinski graf na slici. Naći najkraći put od A do F.

• Krenućemo od A ka ostalim čvorovima.• Svaki čvor ima dve koordinate, prva označava dužinu najkraćeg puta do tog

čvora u tom trenutku, a druga označava predhodni čvor na najkraćem putu.Dok se put ne pronađe prva komponenta je , a druga je 0.

,0D

,0A ,0C

,0F

,0E

,0B ,0D

• Ako je A prvi čvor na putu, on postaje stalni čvor sa koordinatama (0,0).

• Pošto su čvorovi B i C susedni sa A, vrednost ( 5,A ) dodelimo uređenomparu čvora B,vrednost ( 6,A ) dodelimo uređenom paru čvora C.Uzimamo manju od dodeljnih vrednosti, a to je 5 i B( 5,A ) postaje stalančvor.

• Ako je A prvi čvor na putu, on postaje stalni čvor sa koordinatama (0,0).

• Pošto su čvorovi B i C susedni sa A, vrednost ( 5,A ) dodelimo uređenomparu čvora B,vrednost ( 6,A ) dodelimo uređenom paru čvora C.Uzimamo manju od dodeljnih vrednosti, a to je 5 i B( 5,A ) postaje stalančvor.

,0F

,0E

,0D

• Vraćajući se na predhodni korak, razmatramo privremene čvorove C, D, E,F susedne sa B.

• U svakom slučaju dodajmo razdaljinu AB razdaljini do posmatranihčvorova.

• Za C imamo 5+3=8, za D imamo 5+7=12, za E imamo 5+2=7 i za F imamo5+10=15. Pošto nova razdaljina ka C nije manja od one koja je većdodeljena ovom čvoru, ne menjamo vrednost C( 6,A ). Nove vrednosti začvorove D,E,F su manje i one se dobijaju prolaskom kroz B i postaju noveD( 12,B ), E( 7,B ),F( 15,B )

• Vraćajući se na predhodni korak, razmatramo privremene čvorove C, D, E,F susedne sa B.

• U svakom slučaju dodajmo razdaljinu AB razdaljini do posmatranihčvorova.

• Za C imamo 5+3=8, za D imamo 5+7=12, za E imamo 5+2=7 i za F imamo5+10=15. Pošto nova razdaljina ka C nije manja od one koja je većdodeljena ovom čvoru, ne menjamo vrednost C( 6,A ). Nove vrednosti začvorove D,E,F su manje i one se dobijaju prolaskom kroz B i postaju noveD( 12,B ), E( 7,B ),F( 15,B )

5

72

10

4

2

7

3

6

B(5,A)

A(0,0)C(6,A)

E(7,B)

F(15,B)

D(12,B)

C(8,B)

,0F

,0E

,0D

• Uzimamo najmanju od razdaljina dodeljenih privremenim čvorovima, a to je6 i C( 6,A ) postaje stalan čvor.

• Sada koristimo novi stalni čvor C. Korak 2 ne daje nove promene, akorakom 3 čvor E ( 7,B ) postaje novi stalni čvor.

5

72

10

4

2

7

3

6

B(5,A)

A(0,0)C(6,A)

E(7,B)

F(15,B)

D(12,B)

E(13,C)

5

72

10

4

2

7

3

6

B(5,A)

A(0,0)C(6,A)

E(7,B)

F(15,B)

D(12,B)

E(13,C)

• Nastavljajući imamo od F( 15,B ) do F( 11,E ) i F postaje stalan čvor.

• Kada smo stigli do čvora F završili smo algoritam idobijamo da je najkraće rastojanje od A do F 11.Najkraći put je dakle put ABEF.

• Nastavljajući imamo od F( 15,B ) do F( 11,E ) i F postaje stalan čvor.

• Kada smo stigli do čvora F završili smo algoritam idobijamo da je najkraće rastojanje od A do F 11.Najkraći put je dakle put ABEF.

• Korakom 2 dobijamo promenu od F( 15,B ) do F( 11,E ) iF postaje stalan čvor.

• Kada smo stigli do čvora F završili smo algoritam idobijamo da je najkraće rastojanje od A do F 11.Najkraći put je dakle put ABEF.

• Korakom 2 dobijamo promenu od F( 15,B ) do F( 11,E ) iF postaje stalan čvor.

• Kada smo stigli do čvora F završili smo algoritam idobijamo da je najkraće rastojanje od A do F 11.Najkraći put je dakle put ABEF.