Utforskende aktivitet med trekanter

Utforskende aktivitet med trekanterI denne aktiviteten skal vi se på hvordan vi kan bruke et dynamisk geometriprogram som for eksempel GeoGebra (http://www.geogebra.org ) til å utforske geometriske sammenhenger.

Tegn en vilkårlig trekant ABC. Bruk mangekant-funksjonen (ikke bruk en regulær/likesidet trekant!) i GeoGebra til å gjøre det.

(a) Konstruer midtnormalen på alle sidene i trekanten. Hva observerer du? Merk av skjæringspunktet mellom midtnormalene. Tegn en sirkel med sentrum i skjæringspunktet og radius lik avstanden ut til et av hjørnene i trekanten. Hva observerer du? Kan du tenke deg hvorfor denne sirkelen kalles omsirkelen til trekanten? Prøv og finn ut hva slags kriterium som gjør om skjæringspunktet ligger utenfor eller inni trekanten.

(b) Fortsett med samme trekant. Konstruer alle vinkelhalveringslinjene. Marker hvor halveringslinjene møtes. Er dette samme punkt som i sted? Strekk i trekanten og kontroller! Fell ned en normal fra skjæringspunktet og til en av kantene i trekanten. Merk av dette fotpunktet. Tegn en sirkel med sentrum i skjæringspunktet og radius ut/ned til fotpunktet. Hva observerer du? Hva tror du denne sirkelen kalles?

(c) Konstruer medianen til hver av sidene, det vil si linjestykket som går fra midtpunktet på en side i trekanten til det motstående hjørne i trekanten. Finn skjæringspunktet mellom de tre medianene. Er dette det samme som et av skjæringspunktene i a eller b? Dette punktet kalles også gravitasjonssentrum. Hva tror du grunnen til det kan være?

(d) Konstruer høydene nedfelt fra hvert av de tre hjørnene (bruk normal, ikke midtnormal!). Merk skjæringspunktet. Er dette det samme som i a, b eller c?

(e) Konstruer en likesidet trekant på hver av de tre kantene i din opprinnelige trekant. Forbind hvert av hjørnene i din opprinnelige trekant, med det motstående hjørne på motstående likesidet trekant! Sagt på en annen måte: Forbind et hjørne i ABC med det punktet som ligger lengst unna det! Gjør dette for alle tre punktene. Igjen får du et skjæringspunkt. Merk dette skjæringspunktet. Er dette det samme som i a, b eller c?

(f) Tegn omsirkelen til hver av de tre likesidete trekantene. Hva observerer du?(g) Tre av de fem punktene du nå har funnet, ligger på samme linja, den såkalte Eulers

linje. Hvilke tre punkter er det? Hvor mange muligheter har du for å tegne ei linje gjennom tre punkt av fem mulige?

(h) Hva vil du kalle midtpunktet i en trekant? Er det noen av punktene som faller sammen i bestemte typer trekanter?

(i) Rydd opp litt i din konstruksjon, slik at du har din opprinnelige trekant og de tre likesidete trekantene igjen. Finn medianen i hver av de tre likesidete trekantene.

Utforskende aktivitet med trekanter

Forbind disse tre punktene. Hva slags figur får du da? (Dette er illustrasjon av det såkalte Napoleons teorem)

Til fortsettelsen av utforskningen kan det lønne seg å starte med et nytt dokument

(j) Start igjen med en vilkårlig trekant ABC og konstruer tre likesidete trekanter, en på hver side av ABC. Lag en utregningsfunksjon som regner ut summen av to av arealene til de likesidete trekantene. Prøv nå å endre på ABC slik at summen av arealene av de to minste likesidete trekantene blir likt arealet av den største likesidete trekanten. Hva slags form må ABC ha for at dette skal stemme? Hvilken setning minner dette om?

(k) Gjenta eksperimentet i (i) med halvsirkler på sidene til ABC i stedet for likesidete trekanter. Hvordan kan dette brukes til å løse det evig tilbakevendende problemet med ”hva er størst av to middels og en stor pizza”?1

(l) Formuler en setning om det du har funnet ut i (j)-(k).

1 Svein Arne tipser om denne metoden: På hver sidekant: bruk funksjonen "Halvsirkel mellom to punkter" til å få opp halvsirkelen. Dette er imidlertid bare den endimensjonale buen, så du får bare lengden og ikke arealet automatisk.Bruk deretter "Sirkelsektor gjennom tre punkter" der to av punktene er hjørner i trekanten og det tredje er et punkt på halvsirkelen du først lagde. Dermed får du arealet.