-
Aleksandar Ristivojeviæ
Uticaj topologijeneuronske mre�e nasinhronizaciju neurona
Cilj rada je da se utvrdi uticaj topologije neu-ronske mre�e na
sinhronizaciju neurona. Topo-logija usmerene mre�e generisana je
koristeæivarijaciju Watts-Strogatz (WS) modela sa inhi-bitornim
neuronima. Korišæen je leaky integrateand fire model neurona. Da bi
se prouèio uticajjaèine sinaptièke povezanosti i drugih para-metara
WS modela na sinhronizaciju neuronakorišæene su simulacije.
Utvrðeno je da je porastsinhronizacije najveæi dok neuronska mre�a
imakarakteristike small world mre�a. Ovi rezultatimogu biti osnova
za dalja istra�ivanja sinhro-nizacije koja bi koristila slo�enije
modeleneurona.
UvodSlo�ene sisteme u realnom svetu mo�emo na
neki naèin modelovati uvoðenjem kompleksnihmre�a. Teorija
kompleksnih mre�a se u toku pre-thodnih dvadeset godina razvila u
uzbudljivopolje matematièkih nauka, sa raznovrsnim pri-menama u
skoro svim društvenim i prirodnimnaukama.
Watts i Strogatz su 1998. predstavili jedno-stavan model mre�ne
strukture koji postajetemelj moderne teorije kompleksnih
mre�a.Watts-Strogatz model (WS model) se po svojojtopologiji nalazi
izmeðu pravilne rešetke i sluèaj-nog grafa i pripada small world
modelima.
Karakteristiku poznatu pod pojmom smallworld je prvi primetio
socijalni psiholog StanleyMilgram (1967), izvodeæi eksperiment
izraèu-navanja du�ine proseènog puta u društvenimmre�ama izmeðu
ljudi u SAD. Small world net-
works se odlikuju relativno malim brojem veza,ali odliènom
povezanošæu. Istra�ivanja su poka-zala da small world networks
dobro modelujuveliki broj fenomena, od društvenih i akadem-skih
mre�a do neuronskih.
Sinhronizacija u neuronskim mre�ama imaposeban znaèaj. Smatra se
da sinhronizacija neu-ronskih aktivnosti ima kljuènu ulogu u obradi
in-formacija i procesu uèenja. Bolje razumevanjesinhronizovanog
ponašanja neurona u mozgu jekljuè ka boljem razumevanju mnogih
mo�danihprocesa. Smatra se da su neke bolesti (Parkinso-nova bolest
(Hammond et al. 2007) i epilepsija(Jiruska et al. 2012)) povezane
sa takozvanomhipersinhronizacijom neurona i ovakva istra�i-vanja
mogu imati i medicinske primene.
Cilj rada je da se utvrdi zavisnost izmeðu to-pologije neuronske
mre�e i sinhronizacije neu-rona. Neuronske mre�e su modelovane
smallworld mre�om i sastoje se od dve vrste neurona,ekscitatornih i
inhibitornih, i jednosmernih si-napsi izmeðu njih. Neuroni su
modelovani mo-delom leaky integrate and fire, a simulacije
sukorišæene da se prouèi kako jaèina sinaptièkepovezanosti i drugi
parametri WS modela utièuna sinhronizaciju.
Metod
Model neuronske mre�e
Watts i Strogatz su polazeæi od standardnerešetke pokazali da se
dodavanjem malog brojasluèajnih veza drastièno smanjuje
najkraæerastojanje izmeðu èvorova mre�e. Small worldmre�u formiramo
na sledeæi naèin. Uzmemorešetku od N èvorova u obliku prstena i
spojimosvaki èvor sa susednih q èvorova i tako dobijamomre�u sa
Nq/2 grana. Od svih neurona, nasu-
130 • PETNIÈKE SVESKE 76 DEO I
Aleksandar Ristivojeviæ (1999), Beograd,Krunska 33, uèenik 4.
razreda Matematièkegimnazije u Beogradu
MENTOR: Luka Ribar, University ofCambridge
-
mièno odabranih 20% su postavljeni da buduinhibitorni. S obzirom
da je potrebna usmerenamre�a, smer veze u pravilnoj rešetki se
odreðujenasumièno. Tada se ide kroz svaku granu redom isa
verovatnoæom p (verovatnoæa premre�avanja)ona se premre�ava, tj.
jedan njen kraj se otkaèi izakaèi za drugi nasumièni neuron. Takoðe
seuvode posebne verovatnoæe da se prilikom po-novnog kaèenja
premre�ene grane inhibitornineuron zakaèi za ekscitatorni
(chance_ie) i ob-ratno, ekscitorni za inhibitorni (chance_ei).
Ovedve verovatnoæe su uvedene jer postoje razlike uuèestanosti
pojavljivanja sinapsi u zavisnosti odtipa neurona izmeðu kojih se
uspostavljaju (npr.veze od inhibitornog neurona ka inhibitornom
suvrlo retke) (Fink 2016).
Proces premre�avanja omoguæava ubaci-vanje small world modela
izmeðu modela pra-vilne rešetke i modela nasumiènog grafa (slika1).
Kada je p = 0 imamo pravilnu rešetku, a kadaje p = 1 dobijamo
sluèajni graf.
Topološke karakteristike mre�e
Topološke karakteristike mre�e koje su kori-šæene u ovom radu su
karakteristièna du�ina putai koeficijent klasterovanja.
Karakteristièna du�ina puta predstavlja sred-nju vrednost du�ina
puteva izmeðu svaka dvapara èvorova u mre�i.
Koeficijent klasterovanja se najpre definišeza jedan èvor, a
koeficijent za ceo graf je srednjavrednost koeficijenata svih
èvorova. Za jedanèvor definišemo koeficijent klasterovanja Ci
kaoudeo susednih èvorova, koji su meðusobno po-
vezani. U WS modelu mre�e koeficijent klaste-rovanja je mera
koliko je jedan èvor lokalnopovezan sa drugim èvorovima, pri èemu
za èvo-rove sa stepenom 0 ili 1, stavljamo da je Ci = 0.Koeficijent
klasterovanja za celu mre�u je:
Cn
Ci� �1 .
Karakteristièna du�ina puta i koeficijent klas-terovanja mogu se
izraèunati pomoæu alata BrainConnectivity Toolbox (koji se nalazi
na internetadresi https://sites.google.com/site/bctnet/).
Modelovanje neurona
Neuron je predstavljen modelom leaky inte-grate and fire (Fink
2016), tj. kao kondenzatorkoji je vezan u kolo sa otpornikom i
jednosmer-nim naponskim izvorom. Sinapsa se modelujeredno vezanim
promenljivim otpornikom (gsyn) isinaptièkom baterijom (Vsyn), koji
su paralelnovezani sa kondenzatorom. Kada susedni neuronopali,
provodnost promenljivog otpornika raste ipoveæava se intenzitet
sinaptièke struje u kolu.Na sve ovo je paralelno vezan i strujni
izvor kojitokom simulacije stalno puni kondenzator da bise
nastavilo opaljivanje. Ovaj model je prikazanna slici 2.
Kada membranski potencijal dostigne kri-tiènu vrednost Vtresh,
on se resetuje na Vrest i ostajena toj vrednosti u toku vremenskog
perioda trefrac.
Jednaèina koja opisuje promenu membran-skog potencijala V se
naziva jednaèina mem-brane i glasi:
ZBORNIK RADOVA 2017 FIZIKA • 131
Slika 1. Watts-Strogatz model za razlièiteverovatnoæe
premre�avanja (prema: Sydney 2009)
Figure 1. Watts-Strogatz model for different
rewiringprobabilities (according to: Sydney 2009)
Slika 2. Leaky integrate and fire model neurona(Fink 2016)
Figure 2. Leaky integrate and fire neuron model(Fink 2016)
-
CV
tg V V I t I
dd L rest syn ext
� � � � �[ ] ( ) ,
gde je Isyn struja kroz granu sa sinaptièkom bate-rijom:
I t g t V t Vsyn syn syn( ) ( )[ ( ) ]� � � .
Kod neurona koji u trenutku tij prima j-ti im-puls i-tog
neurona, dolazi do porasta provodnostipromenljivog otpornika
sij(t). Neka su �r i �d vre-mena porasta i opadanja provodnosti.
Tada va�i:
S t gt t t t
ij
ij ij( ) exp exp� ���
���
�� � �
��
���
��
�
� � �d r
�
�� .
Za raèunanje vrednosti promenljivog otpor-nika gsyn korišæen je
vektor gout koji sadr�i izlaznuprovodnost svakog neurona uzazvanu
njegovimranijim opaljivanjem:
g t s ti ijj
out, ( ) ( )� � .Aktivnosti koje su se desile 5�d vremena
pre
datog trenutka se zanemaruju.Sinaptièka struja koju prima neuron
i je:
I t g t V t Vi i isyn syn syn, ,( ) ( )[ ( ) ]� � � .
Zatim je definisana je matrica B(t):
B t A V V tij ij i( ) [ ( )]� �syn .
Sve sinaptièke struje su izraèunate formu-lom:
�
�
I t t g tsyn out( ) ( ) ( )� B ,
gde je Isyn kolona vektor koji sadr�i sinaptièkestruje koje
prima odgovarajuæi neuron.
Merenje sinhronizacije
U savršeno sinhronizovanoj mre�i, srednjavrednost membranskog
potencijala je jednakabilo kom pojedinaènom naponu, sa
velikomfluktuacijom u vremenu, koja se zapa�a pri sva-kom skoku.
Ako se sinhronizacija u mre�i sma-njuje, fluktuacije vrednosti
membranskogpotencijala pojedinaènih neurona se poništavajukada
raèunamo njihov prosek, pa se fluktuacija uvremenu srednje
vrednosti membranskog poten-cijala smanjuje.
Zbog toga je za merenje sinhronizacije koriš-æena srednja
vrednost varijanse proseènog mem-branskog potencijala u mre�i
neurona. Formulaza ovu meru sinhronizacije � je:
��
�
22
2
1
1�
��V
Vi
N
N i
,
gde srednju vrednost u vremenu oznaèava:
� ��V V t V t2 22
� �[ ( )] ( ) .
Simulacija aktivnosti neurona umre�i
Kôd u programskom jeziku Python koji si-mulira aktivnost mre�e
preuzet je iz dodatka radaFinka (2016). Varirana su sledeæa èetiri
para-metra:
– PROB – verovatnoæa premre�avanja,– chance_ie – verovatnoæa da
se prilikom
ponovnog kaèenja premre�ene grane inhi-bitorni neuron zakaèi za
ekscitatorni,
– chance_ei – verovatnoæa da se prilikomponovnog kaèenja
premre�ene grane eks-citatorni pneuron zakaèi za inhibitorni,
– jaèina sinatièke povezanosti – g.Simulacija je puštana za sve
trojke vrednosti
prva tri parametara od 0.1 do 0.9. Za svaku trojkuparametara
mre�a je generisana, aktivnost simu-lirana i sinhronizacija
izmerena 50 puta. Za re-zultat pri datoj trojci parametara su uzete
srednjevrednosti dobijenih mera sinhronizacije i topolo-ških
karakteristika. Èitav postupak je ponovljenza jedanaest vrednosti
jaèine sinaptièkepovezanosti od 1.0 mSv zakljuèno sa 3.0 mSv.
Tabela 1. Vrednosti parametara leaky integrateand fire
modela
Parametar Vrednost
C 0.526 nFgL 26.3 nSVrest -70.0 mVVsyn 0.0mVVthresh -52.0
mVtrefrac 2.0 ms�r 0.5 ms�
d2.0 ms
Poèetne vrednosti membranskog potecijalaneurona se odreðuju
nasumièno od -55 do-80 mV, a vrednost stalne struje Iext nasumièno
uintervalu od 490 pA do 510 pA. Vremenski ko-
132 • PETNIÈKE SVESKE 76 DEO I
-
rak u simulaciji je 0.05 ms, a du�ina trajanja si-mulacije je
500 ms. Ostali parametri modela sudati u tabeli 1.
Rezultati
Zavisnost topoloških parametaramore�e od parametara WS
modela
Na slici 3 data je zavisnost srednje vrednostikoeficijenta
klasterovanja i karakteristiène du�i-ne puta od verovatnoæe
premre�avanja. Srednjavrednost se uzima od svih èetvorki parametara
sadatom verovatnoæom premre�avanja.
Greške po y osi predstavljaju trostruku stan-dardnu devijaciju
(u intervalu [μ – 3�, μ + 3�]ulazi 99.7% vrednosti, μ – srednja
vrednost)karakteristiène du�ine i koeficijenta klastero-vanja za
datu vrednost verovatnoæe premre�a-vanja.
Zavisnost sinhronizacije odparametara mre�e
Na slici 4 prikazani su vrednosti sinhroniza-cije u zavisnosti
od chance_ie i chance_ei, privrednostima verovatnoæa premre�avanja
0.1–0.9za g = 2.0 mSv. Na slici 5 je prikazana zavisnostsrednje
vrednosti sinhronizacije od verovatnoæe
ZBORNIK RADOVA 2017 FIZIKA • 133
Slika 3. Zavisnostkarakteristiène du�ine puta(puna linija) i
koeficijentaklasterovanja (isprekidanalinija) od
verovatnoæepremre�avanja
Figure 3. Plot ofcharacteristic path length(solid line) and
clusteringcoefficient (dashed) vsrewiring probability
Slika 4 (dole i naredna strana). Zavisnost sinhronizacije od
parametara mre�e za PROB = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4,0.5, 0.6, 0.7, 0.8 i
0.9
Figure 4 (below and next page). Influence of network parameters
on synchronization for PROB = 0.1, 0.2, 0.3,0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8
and 0.9
-
134 • PETNIÈKE SVESKE 76 DEO I
-
premre�avanja (PROB) za razlièite vrednostijaèine sinaptièke
povezanosti. Vrednosti sinhro-nizacije predstavljaju srednju
vrednost sinhro-nizacija dobijenih za sve èetvorke parametara
sa
datom verovatnoæom premre�avanja i jaèinomsinaptièke
povezanosti.
Eror-barovima je oznaèena standardna de-vijacija, i u intervalu
[μ – #, μ + #], (μ – srednjavrednost, #– standardna devijacija)
nalazi se oko68% vrednosti.
Rezultati pokazuju da sinhronizacija raste saporastom
verovatnoæe premre�avanja, odnosnojaèine sinaptièke
povezanosti.
Na slici 6 prikazana je zavisnost porasta sin-hronizacije od
verovatnoæe premre�avanja(PROB). Pod porastom sinhronizacije
podrazu-mevana je razlika u sinhronizaciji za susednevrednosti
verovatnoæe premre�avanja.
Zakljuèci
Iz dobijenih rezultata izvedeni su sledeæi zak-ljuèci:
1. Sa poveæavanjem verovatnoæe premre�a-vanja, koeficijent
klasterovanja opada i isto sedešava sa karakteristiènom du�inom
puta. Naj-veæi pad je primeæen u oblasti sa
verovatnoæamapremre�avanja od 0.1 do 0.3, što odgovara smallworld
modelu mre�e.
ZBORNIK RADOVA 2017 FIZIKA • 135
Slika 5. Zavisnost proseène sinhronizacije od verovatnoæe
premre�avanja za razlièite jaèine sinaptièkepovezanosti
Figure 5. Plot of average synchronization vs rewiring
probability for different strengths of synaptic coupling
Slika 6. Zavisnost promene sinhronizacije odverovatnoæe
premre�avanja
Figure 6. Plot of change of synchronization vsrewiring
probability
-
136 • PETNIÈKE SVESKE 76 DEO I
2. Standardna devijacija koeficijenta klaste-rovanja i
karakteristiène du�ine puta za fiksnuvrednost verovatnoæe
premre�avanja je gotovozanemarljiva u odnosu na vrednost datih
topo-loških karakteristika. Na osnovu toga se zaklju-èuje da
razlièite vrednosti chance_ei i chance_ieskoro da ne utièu na
karakteristiènu du�inu puta ikoeficijent klasterovanja.
3. Za jaèinu sinaptièke povezanosti g
3.0 mSv najveæa promena srednje vrednosti sin-hronizacije
nastaje kada se verovatnoæa pre-mre�avanja menja od 0.1 na 0.2, i
iznosi 16%. Zaverovatnoæe izmeðu 0.1 i 0.3, promena sinhroni-zacije
je 30%. To je oblast u kojoj su topološkekarakteristike najbli�e
small world mre�i. Ukup-na promena sinhronizacije od verovatnoæe
pre-mre�avanja 0.1 do 0.9 iznosi 71%.
4. Za fiksnu vrednost verovatnoæe premre�a-vanja, razlièite
vrednosti verovatnoæe da se pri-likom ponovnog kaèenja premre�ene
graneinhibitorni neuron zakaèi za ekscitatorni i da seekscitatorni
zakaèi za inhibitorni ne utièu dras-tièno na sinhronizaciju
neurona. Najverovatnijirazlog za ove rezultate je èinjenica da u
mre�iima 20% inhibitornih, pa zato samo 20% vezamo�e biti
inhibitorno, što znaèi da ove verovat-noæe ne mogu mnogo uticati na
sinhronizaciju.
5. Primeæuje se da je za razliku od rezultata uradu Finka (2016)
sinhronizacija dosta ni�a. Ra-zlozi za to su postojanje
inhibitornih neurona,kao i korišæenje jednosmernog modela
neuron-ske mre�e (što poveæava put izmeðu èvorova).
6. Poreðenjem grafika na slikama 6 i 3 prime-æeno je da najveæa
promena sinhronizacije odgo-vara najveæem padu u karakteristiènoj
du�ini puta(kada mre�a postaje small world). Ovo potvrðujeda small
world fenomen utièe na porast sinhroni-zacije. Sa grafika se takoðe
vidi da porasti u sin-hronizaciji opadaju sa poveæanjem
verovatnoæepremre�avanja i da su najveæi u small world do-menu
verovatnoæe premre�avanja.
Dobijeni rezultati mogu biti osnova za daljaistra�ivanja
sinhronizacije u neuronskim mre-�ama. Mogao bi se koristiti
slo�eniji modelneurona, poput Hodgkin-Huxley modela (Fink
2016; Hodgkin i Huxley 1952), koji sa veæomtaènošæu opisuje
ponašanje neurona.
Posebno zanimljiv problem koji bi trebalo is-pitati je
nastajanje gama oscilacija unutar localfield potential (LFP). Gama
oscilacije imajufrekvenciju 40-80 Hz, i one se mogu
modelovatioscilacijama u srednjoj vrednosti sinaptièkihstruja.
Potrebno je ispitati kako svi do sada ana-lizirani parametri utièu
na njihovo nastajanje.
LiteraturaFink C. G. 2016. Simulating synchronization inneuronal
networks. American Journal of Physics, 84:467.
Hammond C., Bergman H., Brown P. 2007.Pathological
synchronization in Parkinson’s disease:Networks, models and
treatments. Trends inNeurosciences, 30: 357.
Hodgkin A. L., Huxley A. F. 1952. A quantitativedescription of
membrane current and its applicationto conduction and excitation in
nerve. The Journal ofPhysiology, 117 (4): 500.
https://sites.google.com/site/bctnet/
Jiruska P., de Curtis M., Jefferys J. G. R., SchevonC. A.,
Schiff S. J., Schindler K. 2012.Synchronization and
desynchronization in epilepsy:controversies and hypotheses. The
Journal ofPhysiology, 591 (4): 787.
Koch C. 1999. Biophysics ofComputation-Information processing in
singleneurons. Oxford University press
Milgram S. 1967. The Small World Problem.Psychology Today, 2:
60.
Sydney A. 2009. Characteristics of robust complexnetworks.
Master teza. Department of Electrical andComputer Engineering
College of Engineering,Kansas state university, Manhattan,
Kansas
Strogarz S. H., Watts D. J. 1998. Collectivedynamics of
‘small-world’ networks. Nature, 393:440.
-
Aleksandar Ristivojeviæ
Influence of the Topology ofNeuronal Networks on
theSynchronization of Neurons
The goal of this paper is to determine the in-fluence of the
topology of neuronal network onthe synchronization of neurons. The
topology ofa directed network was generated using a varia-tion of
the Watts-Strogatz model that also addedinhibitory neurons. Neurons
were modeled witha leaky integrate and fire model. Simulationswere
used to study how synaptic coupling stren-gth and other parameters
of the Watts-Strogatzmodel affect the synchronization of neurons.
Itwas determined that the greatest increase in syn-chronization
occurs when the neuronal networkhas the characteristic of “small
world” networks.The results of this research provide a solid
basefor future study of synchronization using morecomplex neuron
models.
ZBORNIK RADOVA 2017 FIZIKA • 137
