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UTILIZAÇÃO DE SEQUÊNCIA INVESTIGATIVA NO

ENSINO-APRENDIZAGEM DE TAXAS DE VARIAÇÃO

Guimarais, Yara Patrícia B. de Q. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, Brasil

[email protected] Miranda, Dimas F. de

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, Brasil [email protected] Laudares, João Bosco.

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, Brasil [email protected]

RESUMO

Com olhos voltados para a Educação Matemática, particularmente quanto ao uso

das Novas Tecnologias no Ensino Superior, esta pesquisa pretendeu observar se a

utilização de atividades investigativas poderia contribuir para o ensino-

aprendizagem do conceito de Derivada, partindo do estudo das Taxas de Variação

média, visando aliar a automatização com o entendimento e a compreensão deste

conteúdo. Iniciada em junho de 2009, foi elaborada uma sequência didática, com

caráter investigativo, sendo que a pesquisa foi organizada conforme a teoria da

Engenharia Didática. Foram utilizados os programas gratuitos VCN, para

exploração numérica, e o Geogebra, para visualização dinâmica gráfica. Autores

como Barroso, Finney e Stewart foram suportes para estudos do conteúdo. Os

sujeitos foram alunos dos cursos de Engenharia de Produção e Engenharia

Mecânica com ênfase em Mecatrônica, ambos da Pontifícia Universidade Católica

de Minas Gerais – PUC Minas, em Belo Horizonte/MG. A partir dos objetivos

estabelecidos, conforme as teorias que sustentaram a pesquisa, as observações,

análises e resultados alcançados foram registrados.

Palavras-chave: atividades investigativas, cálculo na engenharia, derivada, educação matemática, taxas de variação.

V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 2 28 a 31 de outubro de 2012, Petrópolis, Rio de janeiro, Brasil

ABSTRACT

With eyes focused on the Mathematical Education, particularly regarding the use

of New Technologies in Higher Education, this research aims observe if the

application of investigative activity could help the teaching-learning idea of

Derivative, based on a study of Average Variation Rates, aiming

to ally automation with the understanding and comprehension of this content.

Started in June, 2009, was developed a didactic sequence, with investigative

nature and the research was organized according to the theory of didactic

engineering. Were used some free software, VNC for numeric exploration and

Geogebra for dynamic graphic viewing. Authors like Barroso, Finney and

Stewart were the support to studies of the content. The subjects were students of

Production Engineering and Mechanical Engineering with emphasis in

Mechatronics, both from the Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais -

PUC Minas, in MG, Belo Horizonte. From the established objectives, according

to the theories that supported the research, observations, the analysis and achieved

results were recorded.

Keywords: investigative activities, reckoning in engineering, derivative, mathematical education, variation rates.

1 Introdução

O ensino-aprendizagem de Derivada é motivo de temor para vários alunos que,

geralmente, sentem dificuldades em compreender o seu conceito. Isso pode ser comprovado

pelo grande número de alunos reprovados em Cálculo Diferencial e Integral em cursos na área

de Ciências Exatas, como confirmam professores da área e várias pesquisas publicadas sobre

o assunto. Uma vez que esse é um conteúdo de extrema importância em várias disciplinas

específicas das engenharias, faz-se necessária, a cada dia, a busca por novas alternativas

didáticas que possam auxiliar a aprendizagem daqueles alunos que têm mais dificuldades com

o assunto. Muitos alunos precisam, na verdade, é de disciplina de estudo, mas vários outros

necessitam de uma metodologia diferenciada para alcançarem o aprendizado.

A disciplina Cálculo Numérico, nos cursos de engenharia, trata, numericamente, tópicos

do Cálculo Diferencial e Integral. Na realização de certos tratamentos numéricos, pressupõe-

se que os estudantes tenham, pelo menos, noção do significado de Limite, Derivada e Integral.


Nos períodos subsequentes, nas disciplinas técnicas, espera-se que os alunos apliquem, com

entendimento e de forma adequada, os métodos numéricos. Mas, ao longo do curso, diante da

constatação de que os alunos não adquiriram os conhecimentos nem as habilidades

operacionais e conceituais necessárias para lidar com estes assuntos, os professores sentem-se

muito desconfortáveis. Isto é, hoje, um fato comum em quase todas as escolas de engenharia.

Muitas vezes, a introdução do estudo de Derivada acontece de forma que o aluno não

vivencia a construção do seu conceito. Assim, há tempos que professores pesquisadores da

área vêm pesquisando alternativas didáticas para minimizar este problema e é exatamente esta

a proposta deste estudo: pesquisar formas de trabalhar o conceito de Derivada, partindo do

estudo das Taxas de Variação média, de modo a contribuir para aliar automatização,

entendimento e compreensão desse conteúdo.

O aprendizado de Cálculo, em geral, deve enfocar os registros de representação:

geométrico, numérico, algébrico e verbal (ou descritivo), conforme STEWART (2009). Isto

foi o que esta pesquisa buscou: explorar o conteúdo Taxas de Variação, sob o ponto de vista

numérico (com o uso do programa VCN), geométrico e algébrico (utilizando o software

Geogebra) e, por fim, o verbal, através do estímulo à discussão em sala e à fala dos alunos.

Os conteúdos matemáticos, anteriormente mencionados, foram tratados na disciplina de

Cálculo Numérico, na forma de uma sequência didática de atividades investigativas, em que

os alunos foram estimulados a descobrir significados, construir ideias e conceitos. Nessas

atividades, uma ferramenta importante foi o computador. BORBA (2001, p. 34) afirma que

“as novas mídias, como os computadores com softwares gráficos e as calculadoras gráficas,

permitem que o aluno experimente bastante, de modo semelhante ao que faz em aulas

experimentais de biologia ou de física”.

Para realizar os experimentos, as questões deveriam ser resolvidas com uso dos

softwares VCN e Geogebra. Esses programas são gratuitos, sendo que o Geogebra

(www.geogebra.org), que é um programa de geometria dinâmica que envolve recursos da

Álgebra, Geometria e Cálculo, foi desenvolvido por Markus Hohenwarter, da Florida Atlantic

University. O VCN – Virtual Cálculo Numérico, que pode ser encontrado no endereço

www.matematica.pucminas.br, é um programa voltado para o Cálculo Numérico, que foi

desenvolvido por um grupo de professores do Departamento de Matemática e Estatística da

PUC Minas.

O computador trouxe economia de tempo para a execução do trabalho, fazendo com que

os personagens aqui envolvidos atuassem de forma decisiva voltados para o aprendizado do

conteúdo. Desejou-se aqui elaborar um modelo didático voltado para docentes e discentes da


área de Ciências Exatas, que necessitem trabalhar com o conteúdo Derivadas – Taxas de

Variação.

O problema de pesquisa para esta atividade foi: quais contribuições podem ser

observadas no processo ensino/aprendizagem do conceito de Derivada, partindo do estudo das

Taxas de Variação média, quando o conteúdo é abordado através de atividades investigativas

que utilizam a construção numérica proposta pelo software VCN e a visualização gráfica

dinâmica do Geogebra?

Com isso, pretendeu-se alcançar os seguintes objetivos específicos com os alunos

participantes:

Descobrir a relação entre a posição de uma reta e seus coeficientes angular e

linear.

Relacionar o significado de taxa instantânea com derivada.

Compreender que a derivada é o valor de Convergência da Taxa de Variação

média.

Utilizar uma metodologia diferenciada na introdução do conteúdo Derivada.

Utilizar o computador como uma ferramenta de auxílio didático.

Promover a melhora da autoconfiança e o desenvolvimento do diálogo entre os

alunos.

2 Sequência didática investigativa confeccionada a partir da engenharia didática

Na organização geral da pesquisa, optou-se pela aplicação das etapas propostas pela

Engenharia Didática:

Análise preliminar: momento em que algumas dificuldades e demandas dos alunos

foram levantadas.

Concepção e análise a priori: estudo e análise de experiências e orientações teóricas

Intervenção: decisão pela confecção e aplicação de uma Sequência de Atividades.

Análise a posteriori: momento da análise e validação.

Com relação a este estudo, as etapas que compõem a Engenharia Didática podem ser

assim reescritas:


a) como análise prévia, a situação do ensino de Derivada e Taxas de Variação foi levantada,

particularmente em turmas de Engenharia. Para isso, foram importantes a leitura de textos

publicados que enfocaram o tema; existem várias pesquisas publicadas sobre o ensino-

aprendizagem de Cálculo, e em um dos textos lidos (LACHINI, 2001), constatou-se que o

aluno é um ser passivo nas aulas de Cálculo, esperando sempre receber de forma pronta o

conteúdo para então, reescrevê-lo nas provas e, assim, receber um certificado ao fim do curso.

Lachini (2001) ainda constatou que 94% dos alunos de Cálculo não cumprem todas as tarefas

extraclasses, ou seja, em muitos casos, de um lado tem-se a figura de alguns professores que

se consideram como responsáveis únicos pelo aprendizado do aluno, mas talvez com a

resistência em buscar nova metodologia de ensino e do outro, tem-se o personagem “aluno”

que, muitas vezes, não assume a responsabilidade por seu próprio aprendizado. Neste sentido,

a observação dos alunos por parte dos pesquisadores também contribuiu para que fossem

detectadas as prováveis dificuldades durante o processo ensino-aprendizagem, especialmente

com a noção de aproximação na passagem da matemática básica para a matemática superior,

em situações em que os alunos faziam perguntas e resolviam exercícios em sala.

b) no que diz respeito à Análise a priori de experiências e concepções, foram observadas

algumas pesquisas já publicadas que tratavam de sequências didáticas e/ou atividades

investigativas de Cálculo. Também foram analisadas as experiências vivenciadas nas próprias

turmas com relação a outros conteúdos estudados, com atenção voltada para os

conhecimentos prévios necessários ao aprendizado do conteúdo aqui enfocado. Com base nas

observações feitas, optou-se pela utilização de um software de caráter mais algébrico

(Geogebra) e outro que apresentasse resultados mais numéricos (VCN).

c) Intervenção ou aplicação: esse foi o momento da confecção das atividades, com algumas

correções iniciais, e da aplicação dessas atividades nas turmas que estudariam o tema. Nessa

etapa, os pesquisadores registraram as observações feitas, bem como as falas e o

comportamento dos alunos. Nas questões que compunham as atividades, pretendeu-se

alcançar os seguintes objetivos de modo que os alunos adquirissem as competências:


Quadro 1: Objetivos e competências a serem alcançados nesta atividade.

Objetivos Competências

Reconhecer os coeficientes angular e linear

de uma equação da reta.

Descobrir a relação entre a posição de uma

reta e seus coeficientes angular e linear.

Relacionar o significado de taxa instantânea

com derivada.

* Perceber que o coeficiente angular de uma

reta tangente a uma curva y = f(x) é a taxa

instantânea de f quando x → a, sendo a a

abscissa de tangência.

* Compreender que a derivada é uma taxa

instantânea de variação.

Relacionar a derivada com a convergência da

Taxa de Variação.

Compreender que a derivada é o valor de

convergência da Taxa de Variação.

d) Análise a posteriori: nesta etapa, as falas, o comportamento e as atividades aplicadas

foram confrontadas e analisadas. Os resultados da etapa serão apresentados no subtítulo

Principais Resultados deste texto.

Foram admitidos como suportes teóricos para os temas envolvidos: Taxas de Variação e

Derivadas, com referências em BARROSO (1987), FINNEY (2002) e STEWART (2009); a

Engenharia Didática segundo PAIS (2001); Sequências Didáticas com base em ZABALA

(2007); e Atividades Investigativas de acordo com PONTE (2006). Após a busca por

sustentação teórica, a etapa seguinte foi de elaboração da sequência de atividades, seguida

pela aplicação aos sujeitos envolvidos.

Muitos alunos sentem dificuldades quando chegam no Ensino Superior, no momento

em que acontece a passagem da matemática básica (estática) para a matemática superior

(dinâmica); desse modo, essa etapa pode gerar problemas futuros no entendimento de outros

assuntos que envolvam essa idéia. Assim, tem-se aqui a intenção de oferecer uma alternativa

que possa servir como auxílio para esse momento de transição, uma vez que a sequência

didática investigativa proporcionou aos alunos pesquisados a construção do conhecimento por

meio da experimentação, generalização, abstração e formação de significados (LINS &

GIMENEZ, 2001).

Uma sequência didática é “um conjunto de atividades ordenadas, estruturadas e

articuladas para a realização de certos objetivos educacionais, que têm um princípio e um fim

conhecidos tanto pelo professor como pelos alunos” (ZABALA, 2007). A investigação


matemática é o momento de “descobrir relações entre objetos matemáticos conhecidos ou

desconhecidos, procurando identificar as respectivas propriedades” (PONTE, 2006). Para

atender às orientações dos estudos de PONTE (2006) e ZABALA (2007), a sequência

didática, com caráter investigativo, foi elaborada conforme as etapas:

exploração e formulação de questões: apresentação de uma situação problemática

para a turma.

formação de conjecturas: estimulo à exposição dos próprios pontos de vista.

testes e reformulação: momento em que os alunos poderão colocar em prática o que

foi firmado nas etapas anteriores.

justificação e avaliação: momento das explicações e avaliação de resultados..

3 Organização da atividade

Como a primeira etapa da investigação matemática é a exploração e formulação de

questões, estas foram elaboradas objetivando-se que os alunos alcançassem competências,

conforme os objetivos estabelecidos.

A Atividade 2, escolhida para ser apresentada neste artigo, faz parte de uma Seqüência

Didática composta por 4 (quatro) Atividades Investigativas: Estudo dos Limites, Estudo de

Taxas de Variação Média, Integração Numérica e Resolução de Equações Algébricas e

Transcendentes. No segundo semestre de 2009, foi aplicada para 20 alunos do curso de

Engenharia de Produção e no segundo semestre de 2011 para 19 alunos do curso de

Engenharia Mecânica com ênfase em Mecatrônica da PUC Minas, em laboratórios com 20

computadores. O tempo para resolução das questões foi de aproximadamente 200 (duzentos)

minutos para os dois grupos e as turmas tinham carga horária prevista em Plano de Ensino

para prática de laboratório, o que facilitou muito a execução da proposta. Nas duas ocasiões, a

pesquisadora lecionava a disciplina Cálculo Numérico nas turmas citadas.

A Atividade 2 é a seguir transcrita para conhecimento do leitor.


Atividade 2

1) Compreensão da ideia de tangentes a uma curva, e da importância dos coeficientes

angular e linear, usando o Geogebra.

Vamos considerar a função xxxf 4)( 2 , definida em seu domínio real.

a) Faça a representação gráfica da função f.

b) Agora, clique na ferramenta “novo ponto” e insira o ponto P(1, 3). Depois busque a

ferramenta “tangentes” e clique no ponto e na função, para inserir a reta tangente.

c) Observe a equação da reta na parte algébrica da tela. Escreva a equação dessa reta.

d) Quais são os coeficientes angular e linear dessa equação? Essa reta é crescente ou

decrescente?

e) Qual a relação que pode ser observada entre o coeficiente linear da função e o gráfico da

reta?

f) Qual é o limite dessa função quando x 1? Examine no gráfico e dê explicações.

g) Clique na ferramenta “mover” e, em seguida, no ponto P. Mova o ponto pelo gráfico da

função e observe as mudanças na equação da reta tangente. Fixe a reta em outro ponto

qualquer que esteja à direita do vértice, por exemplo, (3, 3) e escreva a equação desta reta.

h) Quais são o coeficiente angular e o linear da equação dessa nova reta? Ela é crescente ou

decrescente?

i) Agora, encontre uma equação da reta tangente à parábola de xxxf 4)( 2 no ponto

(2, 4). Qual é a equação dessa reta tangente? Justifique a razão de não podermos afirmar que

ela é crescente ou decrescente.

j) Vamos então formalizar essa ideia: qual a relação entre o coeficiente angular da reta

tangente e a posição dela no plano cartesiano?

Obs.: Caso tenha alguma dúvida se a reta é mesmo tangente à curva, então você pode usar os

recursos de “ampliar” ou “reduzir” do Geogebra para verificar melhor que a reta apenas

“toca” a curva no ponto.

2) Construção da ideia de derivada, usando o Geogebra

k) Observe a operação que é feita a seguir, considerando a função xxxf 4)( 2 :

31

311

341

)1()( 2

x

xxx

xxx

xfxf . Neste caso, foi feita a substituição, a

fatoração e a simplificação da expressão 1

)1()(

xfxf .


l) Orientação: a expressão ax

afxf )()( , que é o mesmo que

12

12

xxyy

, é simbolizada por

xy

e

é chamada de taxa média de variação de y em relação a x, no intervalo. Podemos considerar

que x = x2, x1 = a, f(x) = y2 e

f(a) = y1 para escrever assim: xy

=

12

12

xxyy

=

axafxf

)()( .

m) Considerando a expressão 31

)1()(

x

xfxf , qual é o limite da função 3 xy , quando x

tende a 1, ou seja, quanto vale )3(lim1

xx

?

n) Agora, na tela do Geogebra, deixe só a parábola xxy 42 e insira novamente o ponto

P(1, 3). Busque a ferramenta “tangentes”, clique na parábola e no ponto P(1, 3). Observe o

resultado!! Qual é a equação da reta tangente à curva neste ponto?

o) E qual é o coeficiente angular dessa reta? Compare com o resultado encontrado no item

(m) acima.

p) Orientação: a reta tangente a uma curva f em um ponto P(a, f(a)) é a reta que passa por P

e que tem a inclinação ax

afxfmax

)()(lim . Com esta mesma expressão será obtida, para

qualquer função, a taxa instantânea de variação (ou coeficiente angular da reta tangente) em

um de seus pontos. A taxa instantânea é também chamada de velocidade instantânea, ou

variação no ponto dado, etc.

q) Com a ferramenta “mover” da 1ª caixa do menu do Geogebra, mova o ponto P(1, 3) até

cada um dos pontos abaixo. Para cada ponto, você deverá anotar qual é o coeficiente angular

da reta tangente nesse ponto:

i. (3, 3) =

ii. (2, 4) =

iii. (4, 0) =

r) Você deverá agora acompanhar as operações e calcular, usando lápis e papel, os limites

seguintes, que dizem respeito a cada caso do item (q) anterior:

)(lim4

04lim4

)4()(lim.

)2(lim2

44lim2

)2()(lim.

)1(lim3

34lim3

)3()(lim.

4

2

44

2

2

22

3

2

33

xx

xxx

fxfiii

xx

xxx

fxfii

xx

xxx

fxfi

xxx

xxx

xxx

s) Compare e comente os resultados obtidos nas questões (q) e (r) acima?


t) Como você verificou o coeficiente angular da reta tangente, ou taxa de variação

instantânea, em um ponto ax , desta curva, é igual ao limite da expressão ax

afxf )()( ,

quando x se aproxima de a.

3) Construção do conceito de derivada por meio de taxa de variação, usando o VCN.

(Atividade adaptada de Miranda, 1987, p. 132). Seja a função quadrática 2)( xxfy e o

ponto 40 x . Tomando valores, num intervalo (vizinhança), iniciado um pouco à direita e

terminado um pouco à esquerda do número 4 (quatro), vamos pesquisar o que é a

DERIVADA da função no ponto, por meio da construção de tabelas.

a) No VCN, vá em “Utilitários – Tabelar uma Função”. Como o desejo é trabalhar com pontos

próximos a 4 (à direita e à esquerda), então vamos tabelar 2xy , num intervalo inicial [4,1;

4], com passo h = x = – 0,01.

b) Observe a tabela da função. Para qual valor a variável x tende, ou se aproxima? E para qual

valor y tende?

c) Atenção! A função foi tabelada apenas com valores à direita de 4. A mesma análise pode

ser feita para valores à esquerda, por exemplo, [3,9; 4].

d) Considerando agora 4 xx e 16 yy , sendo x e y cada um dos pontos da tabela e

observando os dados obtidos com o VCN, preencha a Tabela A (abaixo), com alguns valores

já sugeridos para x:

Tabela A

x 0,1 0,01 0,001 0

y

xy

_____

e) Então, quando x 0, para qual valor xy

tende, se aproxima?

f) Logo, a taxa de variação instantânea da função 2xy , no ponto x = 4, é igual a ______. É

importante destacar que em outro ponto, o valor da taxa, em geral, será diferente!

g) Atenção! Diz-se que taxa de variação instantânea é a DERIVADA: xyxf

x

0

lim)(' , ela

mede a rapidez (velocidade) com que crescem (ou decrescem) os valores de y na função.

h) Se considerarmos outros pontos desta função, como x = 5, ou 6, ou 7, teremos: ,10)5(' f


14)7(',12)6(' ff , e assim sucessivamente (verifique, usando o quadro do item (d)).

i) Agora, mostre, usando papel, lápis e a expressão do item (g) acima, que a função

DERIVADA de 2xy é xy 2' , para todo x de seu domínio.

A discussão entre os alunos aconteceu durante todo o momento, o que permitiu que eles

eliminassem dúvidas e/ou confirmassem resultados. As respostas eram discutidas e/ou

confirmadas com os pesquisadores, que ao final sistematizaram o assunto.

4 Principais resultados

As informações registradas durante o processo de execução da proposta didática foram

analisadas compondo o momento final da Engenharia Didática, ou seja, a etapa da Análise a

posteriori.

De fato, a experimentação automatizada no computador foi o ponto forte deste modelo

didático, pois os estudantes faziam experiências com as funções prontas e dinâmicas do

Geogebra, com os recursos de tabelamento de funções do VCN, adquirindo equações,

visualizando formas gráficas e padrões de tendências, com a facilidade de alteração de

parâmetros e modelos.

A experimentação automatizada no computador foi o ponto forte deste modelo didático,

pois os estudantes faziam experiências com as funções prontas e dinâmicas do Geogebra, com

os recursos de tabelamento de funções do VCN, adquirindo equações, visualizando formas

gráficas e padrões de tendências, com a facilidade de alteração de parâmetros e modelos.

As atividades foram aplicadas para as duas turmas mencionadas, ou seja, para um 3º

período do curso de Engenharia de Produção e para o 4º período da Engenharia Mecânica

(ênfase em Mecatrônica), no momento em que era estudado o assunto Derivação Numérica.

Os diversos registros ou espectros de representação (geométrico, numérico, algébrico e

verbal ou descritivo) estavam sempre sendo explorados, como se vê num protocolo de um

aluno, ao trabalhar um item da Atividade 2, mostrado na Figura 1:


Figura 1: parte da Atividade 2, resolvida por um aluno.

Para um importante item da Atividade 2, que constrói o cálculo da derivada, a partir da

tendência da taxa de variação, a Figura 2 mostra um protocolo de um aluno que ilustra (pela

direita) o fato de que quando x 0, então xy

tende a 8.

Figura 2: parte da Atividade 2, resolvida por um aluno.

A Figura 3 mostra outro protocolo com a experimentação vivenciada pelos alunos de

mais um item da Atividade 2, ao realizar, no Geogebra, movimentos com a reta tangente para

explorar valores dos coeficientes angulares das retas tangentes à curva f em pontos específicos

e as várias posições assumidas por elas.


Figura 3: parábola da função xxxf 4)( 2 e retas tangentes a essa curva em alguns pontos,

obtidas por um aluno.

A forma dinâmica com que os alunos puderam estudar a função com essas retas

permitiu um grande número de testes em pouco tempo: bastava movimentar o ponto de

tangência com o mouse para obter nova equação da reta.

As Figuras 4 e 5 mostram as experimentações para outro item importante da Atividade

2, com o uso do programa VCN, ao estudar a convergência dos valores de y, tomando-se uma

seqüência de valores de x próximos a 4, à direita e à esquerda.

Figura 4: tabelamento da função 2)( xxfy , no intervalo 4;9,3 , passo 0,01 obtido por um

aluno.


Figura 5: tabelamento da função 2)( xxfy , no intervalo 4;1,4 , passo - 0,01, obtido por

um aluno.

As observações permitem afirmar que:

Os alunos se sentiram mais autoconfiantes para perguntar e dar respostas, o que

despertou um maior interesse em aprender, realizando “a compreensão de conceitos, o

pensar de modo sistematizado e com mobilidade” LACHINI (2001).

O computador, de fato, atuou como importante ferramenta auxiliar da experimentação,

como preconizou BORBA (2001).

As falas de alguns alunos sugerem como positiva a experiência:

“Aprender Matemática assim é bem mais interessante!” (aluno A)

“Esta é a terceira vez que faço essa disciplina e só agora fui entender esse ‘negócio’

dos Limites Laterais!”(aluno B)

“Que legal!” “Mas isso é muito bacana... dá pra enxergar direitinho!” (aluno C)


5 Considerações finais

De acordo com a análise dos resultados de todas as Atividades, realizadas durante um

semestre letivo, este modelo didático contribuiu para o desenvolvimento da autoconfiança dos

sujeitos envolvidos, tornando menos expressivas as limitações de aprendizado de cada

estudante, uma vez que os levou a investigar, criar e construir vários conceitos matemáticos, à

semelhança do realizado com Derivada. Através das transformações realizadas com os

softwares VCN e Geogebra, por meio da observação numérica e gráfica, pôde ser observado

que o exercício do raciocínio lógico-dedutivo realizou-se no momento em que aconteciam as

generalizações, seguidas das abstrações e, enfim, a produção de significados (LINS &

GIMENEZ, 2001).

Os protocolos de alunos também registraram as falas do que os incomodava ou de

conclusões precipitadas: “Eu achei um pouco cansativa, porque era muita coisa pra ler”,

confessou um aluno incomodado. Outro concluiu: “Se tem o computador que faz tudo, por

que temos que fazer conta? Basta saber como que os cálculos acontecem e entender a

resolução, sem precisar de aulas teóricas”.

Ao confrontar as informações registradas na Análise a priori e na Análise a posteriori,

foi possível constatar que os objetivos específicos foram alcançados em sua maior parte. Para

os alunos que não compreenderam a ideia pretendida, outras alternativas didáticas foram

necessárias, como uma discussão mais ampliada do tema, com a resolução de um maior

número de questões em sala de aula. De qualquer modo, o ensino-aprendizagem do conteúdo

proposto por meio das atividades investigativas se mostrou viável para a turma em questão,

uma vez que, em geral, os estudantes gostaram das experiências vivenciadas e conseguiram

aliar o que foi realizado no computador com outras situações apresentadas em exercícios

propostos e avaliações.

Referências

BARROSO, Leônidas Conceição. [et al]. Cálculo numérico com aplicações. 2 ed. São

Paulo: Harbra, 1987. 367 p.

BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação

Matemática. 2 ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2001. 98 p.

FINNEY, Ross L. Cálculo de George B Thomas Jr. Volume 1. 10 ed. São Paulo: Pearson


Addison Wesley, 2002. 660 p.

LACHINI, Jonas. Subsídios para explicar o fracasso dos alunos em Cálculo. In:

LACHINI, Jonas; LAUDARES, João Bosco. (Orgs.). Educação Matemática: a prática

educativa sob o olhar de professores de Cálculo. Belo Horizonte: FUMARC, 2001. 190 p.

LACHINI, Jonas; LAUDARES, João Bosco. (Orgs.). Educação Matemática: a prática

educativa sob o olhar de professores de Cálculo. Belo Horizonte: FUMARC, 2001. 190 p.

LINS, Rômulo Campos; GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas da aritmética e álgebra para o

século XXI. Campinas: Papirus, 2001. 176 p.

MIRANDA, Dimas Felipe de; LAUDARES, João Bosco; ALMEIDA, Trajano Coutinho de.

Matemática aplicada às Ciências Gerenciais. Belo Horizonte: Editora FUMARC/PUCMG,

1987.

PAIS, Luis Carlos. Didática da matemática: uma análise da influência francesa. Belo

Horizonte: Autêntica, 2001. 126 p.

PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações

matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2006. 151 p.

STEWART, James. Cálculo. Volume 1. 6 ed. São Paulo: Thomson Pioneira, 2009. 631 p.

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