Upload
lamtuyen
View
232
Download
11
Embed Size (px)
Citation preview
SZENT ISTVÁN EGYETEM
Gépészmérnöki Kar
Orova Lászlóné dr.
Informatika alapjai Tantárgyhoz
Kidolgozott Excel feladatok
Gödöllı, 2008.
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
2
Bevezetı
Ez a feladatgyőjtemény összefoglalja az Informatika alapjai tantárgy keretében oktatott, Excellel kapcsolatos fıbb témaköröket, ismertnek tekintve az alapvetı táblázatkezelıi mőveleteket, mint pl. formázás, képletek bevitele, beépített függvények beszúrása. Az Excel további alkalmazási területeivel az Informatika tárgy foglalkozik.
A példatár szerkezete: témakörönként rövid elméleti összefoglaló, kidolgozott példa, majd gyakorlásra ajánlott feladatok, melyek megoldása a példatár végén megtalálható.
Jelen példatár Dr. Molnár Sándor Informatika alapjai tárgy keretében tartott elıadásaira épül. A példatár használatát megkönnyíti Molnár Sándor, Csikós Miklósné, Lágymányosi Attila: Informatika alapjai jegyzetének ismerete.
Ez a feladatgyőjtemény kézirat, lehetséges, hogy még tartalmaz hibákat. Minden egyes,
elıször jelzett hibáért pontjutalmat ad a szerzı.
Tartalomjegyzék
1. FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS .................................................................................. 3
2. MÁTRIXMŐVELETEK......................................................................................... 8
3. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK .................................................................... 12
4. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSA.......................................... 15
5. LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ALAPJAI ............................................................ 18
6. FELADATOK EREDMÉNYE............................................................................. 23
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
3
1. FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS
Az Excel a függvényt megadó matematikai összefüggés alapján nem tudja közvetlenül a függvény görbéjét lerajzolni, de síkbeli (térbeli) pontokat adott koordinátákkal meg tud jeleníteni. A függvényábrázolás fıbb lépései:
A függvény néhány pontjának meghatározása: pontok koordinátáit tartalmazó táblázat.
A pontok ábrázolása diagramvarázsló segítségével Pont (xy), vagy a Felület típusú diagrammal, attól függıen, hogy a függvény egy-, vagy kétváltozós.
Függvényábrázolás Descartes-féle koordinátarendszerben
Kidolgozott feladat
Ábrázolja az 2sinln2)( xxxf += függvényt az [1;5] intervallumon 0.2-es lépésközzel! (Trigonometrikus függvény radiánt használ az Excelben.)
Kidolgozás
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
4
Függvényábrázolás polárkoordináta rendszerben
A polárkoordináta rendszerben megadott függvényt elıször át kell írni Descartes-féle koordináta rendszerbe, majd azt az elızıekhez hasonlóan lehet ábrázolni:
Kidolgozott példa
Ábrázolja az ϕ=r függvényt a [0;2ϕ ] intervallumon!
Kidolgozás
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
5
Kétváltozós függvény ábrázolása
Kidolgozott feladat:
Ábrázolja f(x,y)=x2+y2 függvényt a [-2;2] intervallumon!
Kidolgozás
Felület típusú diagram alkalmazásával:
Egyenlet megoldása grafikusan
Feladat: f(x)=g(x) meghatározása
Egy diagramon ábrázolva f(x) és g(x) függvényeket a görbék metszéspontjának leolvasásával az egyenlet közelítı megoldása meghatározható.
Kidolgozott példa
3sinx=2x, x=? a [-4;4] intervallumon.
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
6
Kidolgozás
Az egyenlet megoldása x≅ ±1,4
1. Egyenlet megoldása Célérték-kereséssel Egyenlet megoldására az Excel beépített lehetısége a Célérték-keresés.
Fıbb lépések
• Az egyenlet konstansra rendezése
• Az egyenlet ismeretlent tartalmazó oldalának cellába vitele Excel képletként, kezdeti érték felvételével
• Eszközök menü Célérték-keresés
Csak a kezdeti értékhez legközelebbi gyököt találja meg, a többit más kezdeti értékhez tartozó Célérték-kereséssel lehet meghatározni. Érdemes ezért elıször grafikusan meghatározni a gyökök számát és körülbelüli értékét.
Kidolgozott példa
Oldja meg 5,1sinln2 2 =+ xx egyenletet az [1;5] intervallumon,
• Az egyenlet bal oldalának ábrázolása a megadott intervallumon → gyökök száma: 3,
• a gyökök közelítı helye 3,11 ≅x ; 6,12 ≅x ; 6,23 ≅x ld. a 3. oldalon a görbét.
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
7
• A három különbözı gyökre külön-külön Célérték-keresés:
◦ Célcella: képletet tartalmazó cella (egyenlet bal oldala)
◦ Célérték: milyen értéke legyen a képletnek (egyenlet jobb oldala). Mindig egy valós szám!
◦ Módosuló cella: ahol a változó van. (Az x értékét tartalmazó cella, amire a képletben hivatkozunk.)
Eredmény a módosuló cellában olvasható le: A28= 1,287
A másik két kezdeti értékre is lefuttatva a Célérték-keresést:
x2= 1,59216997, x3= 2,44725069
Feladatok 1.1 Ábrázolja az 2)( 1 += −xexf függvény görbéjét a [0;5] intervallumon!
1.2 Ábrázolja az )cos()( xxexg −= függvényt a [0;15] intervallumon 0,5-es lépésközzel!
1.3 Ábrázolja az 1sin
1)3cos()(
4
2
++
+=
xx
xxh függvény görbéjét a [-5;5] intervallumon!
1.4 Ábrázolja az ϕϕ sin3)( =r függvény görbéjét a [0;2π ] intervallumon!
1.5 Ábrázolja az 2)2/sin()( ϕϕ =r függvény görbéjét a [0;2π ] intervallumon
1.6 Ábrázolja yxyxf cossin),( += függvényt a [-2;2] intervallumon!
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
8
2. MÁTRIXMŐVELETEK
Összeadás, kivonás Mátrixok összeadása, kivonása: megfelelı elemek összege (különbsége), csak azonos mérető mátrixokkal végezhetı mőveletek.
Kidolgozott példa
?=+ BA , ha
−
−
=
103
410
312
A
−=
150
213
301
B
Fıbb lépések
• A kiindulási mátrixok Excel táblázatba, tömbbe írása, a mátrix minden egyes eleme külön cellába kerül.
• Az eredmény mátrix helyének kijelölése: B5:D7 tömb.
• Szerkesztılécen a képlet beírása: a két tömb összege (a tömbök megfelelı celláinak összege)
• Az eredménynek több cellában kell megjelennie (többértékő függvényt alkalmaztunk), ezért nem Enter-rel, hanem Ctrl + Shift + Enter együttes lenyomásával zárjuk a szerkesztést. (Érdemes az Enter-t utoljára lenyomni, miközben a másik két billentyőt benyomva tartjuk.) Az eredmény:
Mátrix szorzása konstanssal Kidolgozott példa:
Határozza meg AcB = mátrixot, ha 5=c !
A megoldás menete az összevonáshoz hasonló:
• A kiindulási adatok bevitele.
• Az eredmény mátrix helyének kijelölése: B5:D7 tömb.
• Szerkesztılécen a képlet beírása: =G2*B1:D3
• Ctrl + Shift + Enter
Az eredmény:
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
9
Mátrixok szorzása Két mátrix összeszorozható, ha méretükre igaz: az elsı mátrix oszlopainak száma megegyezik a második mátrix sorainak számával. Az eredménymátrix sorainak száma az elsı mátrix sorainak számával, az oszlopainak száma a második mátrix oszlopainak számával egyenlı.
A fentiekbıl következik, hogy a tényezık sorrendje csak speciális esetben cserélhetı fel.
Mátrixszorzás lépései Excelben:
• A mátrixok táblázatra vitele.
• Eredménymátrix tömbjének kijelölése.
• Beépített függvény használata =mszorzat(tömb1;tömb2)
• Ctrl + Shift + Enter
Kidolgozott példa
?=AB , ha
−
−
=
110
011
001
121
201
A
−11
20
31
B
Lépések:
• A mátrixok táblázatba vitele után:
• Eredménymátrix tömbjének kijelölése,
• =mszorzat(B2:D6;G3:H5),
• Ctrl + Shift + Enter
•
Eredmény:
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
10
Mátrix transzponálása A mátrix transzponálása a megfelelı sorok és oszlopok felcserélése.
Kidolgozott példa
Állítsa elı az A mátrix transzponáltját!
−
−
=
110
011
001
121
201
A
Megoldás menete a mátrixok táblázatba vitele után:
• Eredménymátrix tömbjének kijelölése,
• =transzponálás(B1:D5)
• Ctrl + Shift + Enter
Mátrix determinánsa Az A négyzetes mátrix determinánsa: Adet , egy valós szám.
Ha 0det ≠A , akkor az A mátrix sorai, oszlopai lineárisan függetlenek, azaz egyik sor
(oszlop) sem állítható elı a többi sor(ok) (oszlop(ok)) valamelyikeinek lineáris kombinációjaként. (Pl. másik két sor összegeként, különbségeként, az egyik oszlop 3-szorosaként, stb…).
Ha 0det =A , akkor éppen ellenkezıleg, az A mátrix sorai, oszlopai lineárisan összefüggık.
(Pl. egyik sor elıállítható másik két sor különbségének 5-szöröseként, stb…)
Kidolgozott példa
?det =A , ha
−
−
=
035
370
121
A
Megoldás menete a mátrix táblázatba vitele után:
• Eredmény cellájának kijelölése,
• =mdeterm(tömb),
• Enter, mivel az eredményt egyetlen cellában kell kiíratni.
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
11
Mátrix inverze Az A mátrix inverze az a mátrix, mellyel bármely oldalról megszorozva az eredmény egységmátrix:
EAAAA == −− ** 11
Fontos tudnivalók
• Csak négyzetes mátrixnak van inverze, ha a determináns nem nulla.
• Az inverz mátrix az eredeti mátrixszal azonos mérető.
• Az egységmátrix mindig négyzetes, fıátlóban egyeseket, másutt nullákat tartalmaz. (Jelen esetben mérete a mátrix méretével azonos.)
Kidolgozott példa:
?1 =−A , ha
−
−
=
035
370
121
A
Megoldás menete A mátrix táblázatba vitele után:
• Eredménymátrix tömbjének kijelölése,
• =inverz.mátrix(tömb),
• Ctrl + Shift + Enter
Eredmény:
Feladatok: 2.1 Adottak a következı mátrixok:
−=
41
38
10
A
=
102
027
351
B
=
212
420
002
C
=
012
462D
Végezze el az alábbiak közül az elvégezhetı mőveleteket Excel segítségével!
a) DA∗ b) CB ∗ c) TDA +
d) BA + e) )det()( 1BCB ∗+−
f) 1−∗CD
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
12
3. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK A síkbeli lineáris transzformációk (eltolás, tükrözés, nagyítás, forgatás) megvalósíthatók egy-egy alkalmasan megválasztott transzformációs mátrix és a síkbeli alakzat jellemzı pontjaiból alkotott mátrix szorzataként.
Az eltolás mátrixa miatt szükséges a z=1-es síkban levı síkidomokat transzformálni.
Kidolgozott példa
Forgassa el az ABC háromszöget 30 fokkal, ábrázolja az eredeti és a transzformált alakzatot ugyanabban a koordináta-rendszerben, ha A(2,1), B(6,3), C(4,7).
A háromszöget akkor tudjuk ábrázoltatni, ha feltüntetjük az összekötendı pontokat, ezért az A pont koordinátái kétszer szerepelnek a mátrixban. Az Excel szögfüggvényei radiánt használnak a szögek mértékegységeként.
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
13
Kidolgozás
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
14
Az eredeti és az elforgatott háromszög:
Forgatás 30 fokkal
2, 1
6, 3
4, 7
2, 1
1,232050808,
1,866025404
3,696152423,
5,598076211
-0,035898385,
8,062177826
1,232050808,
1,866025404
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
Adatsor1
Adatsor3
Feladatok 3.1 Forgassa el az ABCD négyszöget az A csúcsa körül, ha A(1;2;1), B(3;1;1), C(6;4;1), D(5;7;1)!
3.2 Tükrözze az ABC háromszöget az AB oldal egyenesére, ha A(-2;3;1), B(3;3;1), C(1;5;1)
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
15
4. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSA Lineáris egyenletrendszer általános alakja
nmnmnn
mm
mm
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=++
=++
=++
...
.
.
...
...
2211
22222121
11212111
Feladat: adott aij és bi i=1, 2, …n, j=1, 2, ….m esetén xj meghatározása b≠0 esetén.
Lineáris egyenletrendszer megoldása az együtthatómátrix inverzének segítségével A fenti egyenletrendszer átírható a mátrixszorzás szabályainak megfelelıen az alakban:
Ax=b, ahol
=
nmnn
m
m
aaa
aaa
aaa
A
...
:
...
...
21
22221
11211
az együtthatómátrix
=
mx
x
x :1
az ismeretlenek
oszlopvektora,
=
nb
b
b :1
az egyenletrendszer jobb oldalából képzett oszlopvektor.
Az inhomogén egyenletrendszer ( 0≠b ) megoldható az alábbi alakban, ha az egyenletek
lineárisan függetlenek egymástól, azaz, ha 0det ≠A :
x=A-1*b
A lineáris egyenletrendszer megoldásához szükséges mőveletek:
• 0det ≠A érvényességének megvizsgálása
• A-1 meghatározása
• a szükséges mátrixszorzás elvégzése (sorrend fontos!)
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
16
Kidolgozott példa
Oldja meg az alábbi egyenletrendszert:
835
737
12
21
32
321
=−
−=+
−=−+
xx
xx
xxx
A már megismert mőveletekkel az Excelben a megoldás:
Egyenletrendszer megoldására az Excel beépített lehetısége a SOLVER.
Lineáris egyenletrendszer megoldása Solver segítségével
Az elıbbi feladat megoldása Eszlözök /Solver segítségével:
(Ha a menüben a SOLVER nem jelenik meg, rá kell keresni a Solver.xla-ra, majd el kell indítani, vagy Eszközök/Bıvíménykezelı menüpontban be kell jelölni a Solvert. A Solver alkalmas szélsıéték-feladatok megoldására, lineáris és nemlineáris egyenletrendszerek megoldására, lineáris programozási feladat megoldására ld. késıbb.)
Szükséges lépések:
• Az egyenletrendszert alkotó egyenletek konstansra rendezése.
• Az ismeretlenek számára egy-egy cella kijelölése, célszerően egy tömbben, kezdeti értékek megadásával. Pl.: 1.
• Az egyes egyenletek ismeretlen tartalmazó oldalának egy-egy cellába vitele képlet formájában.
• Solver párbeszédablak kitöltése:
◦ Célcella: egyik egyenlet bal oldala,
◦ Célérték: az elıbbi egyenlet jobb oldala (konstans!!!),
◦ Módosuló cella: Ismeretlenek tömbje,
◦ Korlátozó feltételek: a többi egyenlet.
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
17
Kidolgozás
Megoldás gomb megnyomása után a Solver eredményeket az eredeti táblázatban kérve az egyenletrendszer megoldása a B5:D5 tömbben jelenik meg. (1; -1; 0)
Feladatok
4.1 Oldja meg az alábbi egyenletrendszereket az ismertetett módszerekkel:
a)
86
42
4
322
=+++
=+++
=++−
=++
dcba
dcba
dcb
cba
b)
34
232
32
=+
=++
=+−
zy
zyx
yx
c)
143
55
123
=++
−=+
−=+
wvu
wu
vu
(B2:D2;B$5:D$5)
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
18
5. LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ALAPJAI Probléma: korlátozó feltételek mellett, valamely cél szempontjából optimum elérése, azaz
x vektor meghatározása - adott feltételek esetén (lineáris egyenlıtlenség rendszer)
- valamilyen cél teljesülésével. (Maximum, minimum, egy bizonyos érték elérése, mely az ismeretlen lineáris függvénye)
Matematikai modell: x=?, ha
0≥x
BxA ≤⋅
max→⋅ xcT
Részletesen:
0≥ix , i=1...n
11212111 *...** bxaxaxa nn ≤+++
.
.
.
mnmnmm bxaxaxa ≤+++ *...** 2211
és
max*.....** 2211 →+++ nn xcxcxc
További feladattípusok:
Módosított normál feladat: a feltételrendszerben az egyenlıtlenség mellett = reláció is szerepel.
Általános maximum, ill. minimumfeladat: a feltételrendszerben = ≤ ≥ = < > relációk szerepelhetnek., s a célfüggvénynek a maximum- ill. a minimum-helye a kérdés.
Alkalmazás: termelési, keverési, darabolási, szállítási, hozzárendelési feladatok.
Megjegyzés az LP feladatok megoldhatóságáról:
– az LP feladatnak nincs megengedett megoldása ( a feltételrendszer megoldáshalmaza üreshalmaz), akkor az eredeti feladatnak sincs megoldása, – az LP feladatnak van ugyan megengedett megoldása, de nincs optimális megoldása, – az LP feladatnak van optimális megoldása
- egyetlen optimális megoldás van - végtelen sok optimális megoldás van
22222121 *...** bxaxaxa nn ≤+++ feltételrendszer
célfüggvény
normál feladat
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
19
Kidolgozott példák
1. Oldja meg a következı LP feladatot grafikus úton!
x≥0; y≥0; 2x+3y≤20; 4x+y≤15
2x+y max
Kidolgozás
Két ismeretlen lévén a feltételek és a célfüggvény is ábrázolható a Descartes-féle koordináta rendszerben. Azonos átalakításokat alkalmazva az ábrázolandó a
feltételrendszer:
x≥0; y≥0; y≤(20-2x)/3; y≤15-4x
és a célfüggvény:
y=C-2*x,
s keressük a feltételrendszert kielégítı legnagyobb C értéket. (Az adott meredekségő egyenest önmagával párhuzamosan „felfelé” tolva, míg a feltételrendszer megoldáshalmazán van (ld. ábra).
E kétváltozós feladat lehet például az alábbi termelési feladat matematikai modellje:
Kétféle terméket gyártunk: I. és II. az A és B nyersanyagok felhasználásával. Egy egységnyi I. termékhez 2 egység A és 4 egység B nyersanyag szükséges, egy egységnyi II. termékhez pedig rendre 3, ill. 1 egység. Hány egységet állítsunk elı az I. és a II. termékekbıl, hogy a maximális legyen a bevétel, ha a nyersanyagkészletek (20, ill. 15 egység) nem léphetık túl és az I. ill. II. termék egységára 2 ill. 1? (A piac felvevıképessége korlátlan.)
Nyersanyag\Termék I II Nyersanyag készlete A 2 3 20 B 4 1 15 Eladási egységár 2 1
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
20
2. Egy gyárban négyféle terméket gyártanak (A, B, C, D). Minden eladott darab után a várható haszon termékenként 1000, 300, 600, 350 Ft. Egy darab termék elıállításához szükséges gépidı és a megmunkáló gépek kapacitása az alábbi táblázatban van összefoglalva.
Határozza meg, hogy az egyes termékekbıl hány darabot állítsanak elı, ha a maximális haszonra törekszenek, de a gépek kapacitását nem léphetik túl.
Megmunkáló gépek Termékek Gépek
A B C D kapacitása
[óra/db] [óra/db] [óra/db] [óra/db] [óra]
eszterga 1 0 2 1 280
maró 2 1 0 0 140
köszörő 0 1 1 1 120
Kidolgozás
Matematikai modell
Ismeretlenek: A különbözı termékekbıl gyártandó darabszám: xA, xB, xC, xD [db].
Feltételek:
- csak 0, vagy ettıl nagyobb darabszám állítható elı:
xA, xB, xC, xD ≥0
- a darabszám egész érték lehet csak: xA, xB, xC, xD: egész
- az eszterga, maró, köszörő kapacitások nem léphetık túl:
120
1402
2802
≤++
≤+
≤++
DCB
BA
DCA
xxx
xx
xxx
[óra]
Cél: A maximális bevétel:
max3506003001000 →+++ DCBA xxxx [Ft]
A feladat megoldásához szükséges lépések az Excelben:
1. Alapadatok beírása; egy-egy cella biztosítása az ismeretleneknek, az egyenlıtlenségek bal oldalának és a célfüggvénynek (Excel képletek, melyek hivatkozik az ismeretlen cellájára!).
2. Solverparaméterek megadása, Solver futtatása.
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
21
1. lépés:
2. lépés:
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
22
Az A termékbıl tehát 70, a B-bıl 0, a C-bıl 90 és a D termékbıl 30 db elıállítása esetén érhetı el a maximális haszon (134500Ft) az adott feltételek mellett.
Feladatok 5.1
Oldja meg a grafikusan megoldott feladatot (az elsı Kidolgozott feladat) Solver segítségével!
5.2
Oldja meg az alábbi LP feladatot:
x≥0; y≥0; z≥0
10x+12y+34z≤30
21x+10y+13z≤20
23y+41z≤60
10x+23y+62z max
h(x)
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-6 -4 -2 0 2 4 6
f(x)
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4 5 6
g(x)
0
20
40
60
80
100
120
0 5 10 15 20
6. FELADATOK EREDMÉNYE
1.1 Ábrázolja az 2)( 1 += −xexf függvény görbéjét a [0,5] intervallumon!
1.2 Ábrázolja az )cos()( xxexg −= függvényt a [0;15] intervallumon 0,5-es lépésközzel!
1.3 Ábrázolja az 1sin
1)3cos()(
4
2
++
+=
xx
xxh függvényt a [-5;5] intervallumon!
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
24
r=3sin(fi)
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
1.4 Ábrázolja az ϕϕ sin3)( =r függvény görbéjét a [0;2π ] intervallumon!
1.5 Ábrázolja az 2)2/sin()( ϕϕ =r függvény görbéjét a [0;2π ] intervallumon
r=sin(fi/2)^2
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
-1,5 -1 -0,5 0 0,5
1.6 Ábrázolja xxyxf cossin),( += függvényt a [-2;2] intervallumon!
1 5 9
13
17
21
S1
S11
S21
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
f(x,y)=sin x+cos x
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
25
2.1
3.1 Forgassa el az ABCD négyszöget az A csúcsa körül, ha A(1;2;1), B(3;1;1), C(6;4;1), D(5;7;1)!
A forgatás mátrixa O körül forgat, így a feladat csak több lépésben oldható meg:
Az alakzat eltolása úgy, hogy az A csúcsa az origóba kerüljön, majd a transzformált alakzat elforgatása, s végül az elforgatott alakzat visszatolása, hogy az A csúcs az eredeti helyére kerüljön.
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
26
3.2 Tükrözze az ABC háromszöget az AB oldal egyenesére, ha A(-2,3,1), B(3,3,1), C(1,5,1)
Tükrözés mátrixai koordináta-tengelyre tükröznek, ezért több transzformációs lépésben oldható meg a feladat.
4.1
a)
86
42
4
322
=+++
=+++
=++−
=++
dcba
dcba
dcb
cba
b)
34
232
32
=+
=++
=+−
zy
zyx
yx
c)
143
55
123
=++
−=+
−=+
wvu
wu
vu
a) a=1 b=0 c=1 d=1
b) Nincs egyértelmő megoldás, mert az együtthatómátrix determinánsa nulla.
c) u= -1 v=1 w=0
5.1 Oldja meg a következı LP feladatot:
x≥0; y≥0; 2x+3y≤20; 4x+y≤15; 2x+y max
Excel – kidolgozott feladatok SZIE GÉK Informatika Tanszék
27
1. lépés
2. lépés
Eredmény:
A célfüggvény optimális értéke tehát: 10 (E14), x=2,5; y=5 (B16:C16).
5.2 Oldja meg az alábbi LP feladatot:
x≥0; y≥0; z≥0
10x+12y+34z≤30
21x+10y+13z≤20
23y+41z≤60
10x+23y+62z max
Eredmény: célfüggvény max. értéke: 56,467; x=0; y=1,576; z=0,326;