Uvod Statisticke Metode Istrazivanja

7/23/2019 Uvod Statisticke Metode Istrazivanja

1/166

UVOD U STATISTIKEMETODE ISTRAIVANJA

SNEANA KIRIN

Statistiki nain miljenja jednog e dana za svakodnevni ivot graanapostati jednako neophodan kao znanje itanja i pisanja

Herbert George Wells(1866-1946)

Istorija i filozofija prirodnih nauka i tehnologije


2/166

POJAM I PREDMET

IZUAVANJA

Re statistika potie od latinske rei status-stanje

Predmet prouavanja su masovne, a nepojedinane pojave.

Na razvoj statistike su znaajno uticali razvojteorije verovatnoe, a u dananje vreme

raunari i softveri za statistiku.


3/166

ZATO PROUAVATISTATISTIKU? U dananjem informacionom dobu svet je pun

podataka.

Postalo je pravilo da moramo usvajati i vrednovati

znatne koliine podataka (na ije dobijanje se troeogromne koliine novca) ako elimo dobiti kvalitetanuvid u tekui razvoj dogaaja.

Podacima se mora dati smisao.

Poslovne odluke se donose u okruenju u komedonosioci odluka nisu sigurni u ponaanje bitnihfaktora u budunosti.


4/166

ETAPE U PROCESUSTATISTIKOGZAKLJUIVANJA

Izbor obeleja -iskustvenogkaraktera

Odreivanje uzorka

Sistematinosreivanje dobijenihvrednosti iz uzorka

Obrada podataka

Tumaenje rezultata


5/166

PODELA STATISTIKE: DESKRIPTIVNA I

INFERENCIJALNA STATISTIKADESKRIPTIVNA STATISTIKA:

Bavi se opisivanjem prikupljenih podataka dobijenih prilikom ispitivanja

ili merenja.

Sreivanje i saimanje podataka kako bi bili to pregledniji.

(npr. Grafiki prikaz, aritmetika sredina, standardna devijacija)

INFERENCIJALNA STATISTIKA:

Slui analizi uzoraka i pronalaenju pravilnosti ili razlika unutar ili meuuzorcima.

Omoguuje stvaranje zakljuaka (npr. da li se smeju generalizovatizakljuci iz konkretnog uzorka na celu populaciju).

(npr. hipoteza, otkrivanje veza meu promenljivim, modeliranje odnosa ilislinih postupaka poput analize varijanse, faktorske analize... )


6/166

PODELA STATISTIKE

VRSTE STATISTIKE

DESKRIPTIVNA

grafiki prikazi

analiza relativnim brojevima

srednje vrednosti

mere disperzije

mere asimetrije i zaobljenosti

meuzavisnost pojava

analiza vremenskih serija

INFERENCIJALNA

procena karakteristika

testiranje hipoteza


7/166

UZORKOVANJE

Teme

Promenlive(kvalitativne;kvantitativne:diskretne,

kontinualne)

Skale za merenje(nominalne, ordinalne,

intervalne i ratio)

Jaina istraivanja

Proces uzorkovanja

Tipovi uzorkovanja

Grekeuzorkovanja

Razliite populacije iz grupe ljudi

Odnos populacije i uzorka


8/166

Populaciju (statistiki skup) ine jedinice (stvari, osobe, poduzea,proizvodi i sl.) ija su svojstva predmet istraivanja statistikommetodom

POPULACIJA-STATISTIKI SKUP

STATISTIKISKUP

KONAAN

PREBROJIV NEPREBROJIV

BESKONAAN REALAN HIPOTETIAN


9/166

Podatakje statistiki izmereni kvalitativni ili kvantitativniatribut po kom su statistike jedinice u skupu sline, a ujedno semeusobno razlikuju.

Takav atribut (svojstvo) nazivamo statistikim obelejem.Varijable (promenljive)U statistici se varijabla definie sa karakteristikama: Variablaje atribut koji opisuje osobu, mesto, stvar ili ideju.

Vrednost variable moe varirati od jednog subjekta do drugog.

Definisanje statistikog skupa

Pojmovno Prostorno Vremenski


10/166

SKALE MERENJA

MERNE

SKALE

Nominalna Ordinarna Intervalna Ratio Vremenska


11/166

KVALITATIVNE I KVANTITATIVNE

VARIABLE

Variable moemoklasifikovati:

kvalitativne (kategorijske) ili

kvantitativne (numerike).

Kvalitativne promenljive uzimaju vrednosti koje predstavljaju imena ilioznake. Na primer, boja lopte (npr. crvena, zelena, plava) ili rasa pasa (npr.

doga, ovar, terijer) predstavljaju primere kvalitativnih ili kategorijskihvariabli.

Kvantitativne variable su numerike. One predstavljaju merljivu koliinu.Na primer, kada govorimo o naseljenosti grada, mi govorimo o broju ljudi ugradu - merljiv atribut grada.

U algebarskim jednainama, kvantitativne variable su prezentovane

simbolima (na pr. x, y, ili z).

Varijable

Kvantitativne

kontinuirane

diskretne

Kvalitativne

SKALE MERENJA


12/16612

Nominalna skala merenja jedino zadovolavasvojstvoidentifikacije.

Vrednostidodelenepromenlivepredstavlaju opisnukategoriju, ali nema nikakve numerike vrednosti u vezi sa

veliinom.

Primeri: polje primerpromenlivekoja se meri na nominalnojskali. Pojedinci mogu biti klasifikovani kao "muko" ili"ensko", ali nijedna vrednost nepredstavlavieili manje "rod"

od drugog. Religija i politikapripadnost su takodje primerivarijabli koje se obinomere na nominalnoj skali.

SKALE MERENJA:

NOMINALNA SKALA MERENJA


13/16613

Ordinalna skalaima dva svojstva: identitet i veliinu. Svakavrednost u rednoj skali ima jedinstveno znaenjei ima ureena

odnos prema svakoj drugoj vrednosti.

Primer redne skale je rezultat trke Formule 1 gde dobijamo

identitet i redno mesto uesnikau trci. U ovoj skali se zna ko jeispred koga (ali ne i za koliko, 100m ili 2 kilometra).

ORDINALNA (REDNA) SKALA

MERENJA


14/16614

I ntervalna skala merenja ima svojstva: identitet, veliina i jednaki

intervali.

Primer intervalne skale je Celzijusova skala za merenje temperature.

Skala se sastoji od jednakih temperaturnih jedinica, tako da je razlika

izmeu40 i 50 stepeni Celzijusa jednaka razlici izmeu50 i 60stepeni Celzijusa.

Sa intervalnom skalom se ne zna samo da li su razliitevrednosti veeili manje, vese i takoezna i koliko su one veeili manje. Na

primer, pretpostavimo da je u ponedeljak bilo 15 stepeni Celzijusa, a u

utorak 25 stepeni. Zna se, ne samo da je u utorak bilo toplije, zna se da

je bilo 10 stepeni toplije. Pored toga, nula nepredstavlaapsolutnu najniuvrednost. Umesto

toga, to je takana skali sa brojevima iznad i ispod nje (na primer, -10stepeni Celzijusa).

INTERVALNA SKALA MERENJA


15/16615

Ratio skala nosi ime po injenici da je merenje procena odnosaizmeuveliinekontinuirane koliineijedinineveliineiste vrste(Michell, 1997, 1999). Skala odnosa poseduje smislenu

(jedinstvenu i ne-proizvolnu) nultu vrednost.

Ratio skala zadovolavasve etirisvojstva merenja: identitet,veliinu, jednake intervale i apsolutna nula.

Primer Ratio skale je teinaobjekta. Svaka vrednost na skaliteineima jedinstveno znaenje, teinese mogu redno prikazati,

jedinineteinena skali su jednake, a tu je apsolutna nula. Apsolutna nula je svojstvo skale teinejer predmeti u mirovanju

mogu biti ubesteinskomstanju, ali oni ne mogu imati negativanteinu.

RATIO SKALA(SKALA MERENJE RAZMERE)


16/16616

SKALE MERENJA

Nominalna

Identitet (deskriptivnakategorija)

Ordinalna

Identitet i jaina

Intervalna

Identitet, jaina i jednakiintervali

Ratio skalaIdentitet, jaina, jednaki intervalii apsolutna nula


17/16617

Jednodimenzioni podaci. Kada se sprovede studija koja posmatra

samo jednupromenlivu, kaese da se radi sa univariatnimpodacima.

Primer: sprovodi se anketa za procenuprosenepotronjegorivarazliitih automobila. Poto se radi samo o jednojpromenlivoj(zapremini), smatra se da se radi sa univariatnim podacima.

Dvodimenzioni podaci. Kada se sprovodi studija koja istraujeodnos izmeudve varijable, radi se sa bivariatnim podacima.

Na primer, pretpostavimo da se sprovodi studija sa ciljem da seodredi odnos izmeuteinevozila ipotronjegoriva. Potose radisa dvepromenlive( teinai zapremina), kaese da se radi sa

bivarijatnim podacima.

JEDNODIMENZIONI I

DVODIMENZIONI PODACI


18/16618

UZORKOVANJE

Teorija uzorkovanjaprouavaodnos izmeuneke populacije iuzorka izvuenogiz nje.

Takve informacije se zatim

koriste za procenu parametarakao tosu srednja vrednost

populacije i varijansa.

Populacija

Uzorak

Uzorkovanje Zakljuivanje


19/16619

Uspenastatistikapraksa se zasniva na fokusiranoj

definiciji problema. U uzorkovanju, to podrazumevadefinisanje populacije iz koje se uzorak uzima.

Populacija se moedefinisati kao skup svih ludiiliartikala sa karakteristikom koja se elirazumeti. Zato

tou praksi veoma retko ima dovolnovremena ilinovca da se prikupe informacije iz svih ili svega upopulaciji, cilpostajepronalaenjereprezentativnoguzorka (ili podskup) od te populacije.

Uzorkovanje se, kao deo statistikeprakse, baviizborom podskupa pojedinaca iz populacije da se dobijeneko znanje o celoj populaciji, a posebno za potrebeizrade prognoze na osnovu statistikogzakluivanja.

DEFINICIJA PROBLEMA

OKVIR UZORKA


20/16620

Obinose okvir uzorka postavlja tako da se moeidentifikovati svaki element i ukluiti u uzorak.

Najjednostavniji tip okvira je spisak elemenata

populacije (poelnoje cele populacije) saodgovarajuimkontakt informacijama.

OKVIR UZORKA


21/16621

Merljivo svojstvo populacije, kao srednja vrednost ili

standardna devijacija se zovu parametri populacije, ali

merljive karakteristike uzorkase zovu statistike.

Srednja vrednost populacije se oznaava sa; a srednja vrednostuzorka sa .

Formula za standardnu devijaciju populacije je razliita od

formule za standardnu devijaciju uzorka.

POPULACIJA I UZORAK


22/16622

Probabilistiko uzorkovanje Uzorkovanje metodom sluajnog izbora

Sistematino uzorkovanje

Stratificirano uzorkovanje Probabilistiko uzorkovanje proporcionalno veliini

Uzorkovanje klastera

TIPOVI UZORKOVANJA


23/16623

Probabilistiko uzorkovanjeje takvo uzimanje uzorka prikome svaka jedinica u populaciji ima ansu(veu od nule) da

bude uzeta u uzorak i ta verovatnoa moe da se tano odredi.

Ovaj nain uzorkovanja je bilo koji metod koji koristi neki oblik

sluajnogizbora. Da bi imali sluajadnmetod selekcije, potrebno je da se podesi

proces ili postupak tsko da se osigura da razliitejedinicepopulacije imaju jednake verovatnoe da budu izabrane.

Ljudi su dugopokuavalida generiurazne oblike sluajnogizbora, kao tosu branje imena iz eira, ilibirajuinajkrauslamku. Ovih dana se koriste kompjuteri kao mehanizam zagenerisanje sluajnihbrojeva i kao osnov za metodu sluajnogizbora.

PROBABILISTIKO UZORKOVANJE


24/16624

Kada svaki element u populaciji ima istu verovatnouselekcije, kae se da je u pitanju"dizajn sa jednakomverovatnoomselekcije(sve izabrane jedinice imaju istu teinu).

Verovatnoauzorkovanja obuhvata: princip sluajnoguzorka,

sistematinouzorkovanja, stratifikovano uzorkovanje,uzorkovanje sa verovatnoomproporcionalnoj veliiniuzimanja uzorka, i klaster uzorkovanje.

Ovi razliitinainiprimene verovatnoeuzorkovanja imaju dve

zajednikestvari:

Svaki element ima poznatu verovatnou(veuod 0) i

Ukluujesluajniizbor u nekom trenutku.

PROBABILITISTIKOUZORKOVANJE


25/166

25

Uzorkovanje metodom sluajnog izbora je metoduzorkovanja koji ima sledea svojstva:

Populacija se sastoji od Nobjekata.

Uzorak se sastoji od nobjekata.

Svi mogui uzorci od nobjekata su jednako verovatni.Glavna prednost prostog uzorkovanja na sluajan nain je dagarantuje da je izabran uzorak reprezentativan za populaciju. To

obezbeuje validnost statistikog zakljuivanja.

UZORKOVANJE METODOM

SLUAJNOG IZBORA


26/166

26

Princip sluajnoguzorka moebiti ranjiv na grekeuzorkovanja,

jer sluajnostselekcije moedovesti do toga da neki uzorak neodraavasastav populacije.

Na primer, jednostavan sluajniuzorak od deset ludiiz nekezemleeu proseku imati pet mukaracai pet ena, ali je

verovatno da dosta pojedinanihuzoraka imaju vei/manji brojmukaraca/enaod 5. U ciljuprevazilaenjaovog problemakoriste se sistematsko uzorkovanje i stratifikacija.

Princip sluajnoguzorka takoemoebiti glomazan i naporan

kada se radi uzorkovanje od neobinovelike populacije.

U nekim sluajevima, istraivaisu zainteresovani zaistraivakihpitanja specifinaza podgrupe populacije.

UZORKOVANJE METODOM SLUAJNOGIZBORA - NEDOSTACI

SISTEMATINO UZORKOVANJE


27/166

27

Sistematino uzorkovanje se sprovodi tako to se elementi

populacije biraju u odreenim intervalima po utvrenoj emi. Sistematino uzorkovanje ukljuuje sluajan poetaki nastavlja

izborom svakog sledeeg k-togelementa. Ovde je, broj jedinica uuzorku, k=(veliinapopulacije/veliina uzorka). Vano je da

poetna taka nije prva na listi, ve se sluajno bira. Jednostavanprimer je biranje svakog10-tog imena u telefonskom imeniku .

Sve dok je poetna taka sluajna , stematino uzorkovanje je tipprobabiliti uzorkovanja.

SISTEMATINO UZORKOVANJE

UZORKOVANJE STRATIFIKACIJOM
http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_samplinghttp://en.wikipedia.org/wiki/Probability_samplinghttp://en.wikipedia.org/wiki/Probability_sampling


28/166

28

Kada stanovnitva obuhvata razliite kategorije, one

se mogu organizovati po tim kategorijama u odvojene"slojeve".

Svaki sloj je tada odabran kao samostalna sub-populacija, od kojih pojedini elementi mogu biti

nasumino odabrani. Postoji nekoliko potencijalnihprednosti slojevitog uzorkovanja.

Uzorkovanje proporcionalno veliini

Uzorkovanje ija je verovatnoa proporcionalnaveliini se izvodi tako da je verovatnoa izbora svakogelementa proporcionalna njegovoj veliini.

UZORKOVANJE STRATIFIKACIJOM

KLASTER UZORKOVANJE


29/166

29

Ponekad je po ceni efektivnije grupisati elemente u groupe

(klastere') po geografskom principu ili periodu vremena.(Skoro svi uzorci su u nekom smislu klasterisani' u vremenumada se to retko uzima u obzir u toku analize)

KLASTER UZORKOVANJE

Grad

Blok 1 Blok 2 Blok 3

Zgrada 1 Zgrada 2

Populacija

Nivo klastera

Elementarni nivo
http://en.wikipedia.org/wiki/Sampling_framehttp://en.wikipedia.org/wiki/Sampling_framehttp://en.wikipedia.org/wiki/Sampling_framehttp://en.wikipedia.org/wiki/Sampling_frame


30/166

DESKRIPTIVNA

STATISTIKA


31/166

31

Vana primena deskriptivne statistike je da sumirasakupljene podatke na jasan i razumljiv nain.

Deskriptivna statistika se primenjuje da opie osnovnasvojstvapodataka koji se analiziraju.

Zajedno sa jednostavnim grafikim prikazom/analizom, onadaje i osnovnu kvantitativnu analizu podataka.

Pojam deskriptivne statistike


32/166

MERA CENTRALNE

TENDENCIJE

Fundamentalni zadatak u velikom broju statistikih analiza jeodreivanje lokacije i varijabilnosti skupa podataka.

SREDNJA VREDNOST


33/166

SREDNJA VREDNOSTGlavna deskriptivna (opisna) kvantitativna vrednost izvedena iz

podataka uzorka je sredina, koja predstavlja aritmetiki prosek

podataka uzorka. Ona se koristi kao najpouzdanija pojedinanamera vrednosti tipinog lana uzorka.

Sredina populacije,

Sredina uzorka= gde

o Xje suma svih obeleja populacije.o Nje broj obeleja populacije.o xje suma obeleja uzorkai nje broj obeleja u

uzorku.

Kada statistiari govore o sredini populacije koriste grkoslovo . Kada govore o sredini uzorka koriste oznaku

.

MEDIJANA


34/166

MEDIJANA

Ako uzorak sadri nekoliko vrednosti koje su toliko velike ilitoliko male da imaju iskrivljujui efekat na vrednost sredine, onse moe predstaviti tanije korienjem medijane vrednostikoja sve vrednosti uzorka deli na dve jednake polovine.

Postupak odreivanja mediane posmatrana obeleja seporeaju od najmanje do najvee vrednosti . Za neparan brojopservacija, mediana je srednja vrednost. Za paran broj

opservacija mediana je sredina dve srednje vrednosti:

NEPARAN BROJ OPAANJA :

MEDIANA=(N+ 1)/2

PARAN BROJ OPAANJA:

MEDIANA= [(N/2) + ((N/2) +1)]/2


35/166

MOD

Mod je vrednost koja se najee pojavljuje u skupupodataka.


36/166

PRIMER 1

Pretpostavimo da imamo uzorak od 5-oro dece imerimo njihovu visinu. Izmerene visine su:

100 cm, 100 cm, 130 cm, 140 cm i 150 cm.

Vrednost mediane je130 cm; jer imamo 5posmatranja, a 130 cm je srednja visina;

Srednja visina= (100 + 100 + 130 + 140 + 150)/5 =

620/5 = 124 cmMod=100 cm (dva puta)

Sredina nasuprot mediani


37/166

Sredina nasuprot mediani

Svaka od njih ima prednosti i nedostatke:

Medijana moe biti bolji pokazatelj tipinevrednosti u sluaju kada imamo ekstremne

izuzetke.

Meutim, kada imamo veliki uzorak koji neukljuuje izuzetke,srednja vrednost pokazuje

bolju meru centralne tendencije.


38/166

PRIMER 2

Ilustracija: Pretpostavimo da posmatramo

uzorak od 10 porodica i zanima nas tipiniprihod porodice. Devet porodica imaju prihod

izmeu 50.000 and 100.000 din; ali deseta imameseni prihod od 1.000.000 din. Desetaporodica je ekstremna vrednost (izuzetak). Ako

mi procenjujemo prihod tipinog domainstvaonda e srednja vrednost znatno premaivatiprihod tipinog domainstva, a medijana nee.


39/166

MERENJE DISPERZIJE

Koliine najee koriene za merenje rasipanja(disperzije) vrednosti oko njihove sredine su varijansa 2i njen kvadratni koren, standardna devijacija .

Varijansa se izraunava odreivanjem sredine, njenimoduzimanjem od svake vrednosti u uzorku (to dajeodstupanje-devijaciju uzoraka), a potom nalaenjem

proseka kvadrata ovih odstupanja.

VARIJANSA


40/166

VARIJANSA

U populaciji , variansaje srednje kvadratno odstupanje od sredine

populacije definisana formulom :

gde je 2variansa populacije, je srednja vrednost populacije, Xije

i-ti element populacije i N je broj elemenata populacije.

Varijansa uzorka se definie neto drugaijom formulom :

gde je s varijansa uzorka, je sredina uzorka, je i-ti element izuzorka i nje broj elemenata u uzorku. Formula za varijansu uzorka

moe da se posmatra kao nepristrasna procena varijanse pop ulacije.

2= ( Xi- )2/ N

s2= ( xi- )

2/ ( n - 1 )

STANDARDNA DEVIJACIJA


41/166


Standardna devijacija populacijeje kvadratni koren izvarianse:

()

gde je standardna devijacija populacije, 2je varijansa

populacije, je srednja vrednost populacije,

je i-ti

elemenat populacije i N je broj elemenata u populaciji.

Standardna devijacija uzorkaje:

( )

1

gde jes- standardna devijacija,s2je variansa uzorka, je

sredina uzorka, je i-ti element uzorka i nje brojelemenata u uzorku.


42/166

SREDNJA VREDNOST I


Sredina i standardna devijacija uzorka koriste se kao

procene odgovarajuih karakteristika celokupnegrupe iz koje je uzorak izvuen.

GRAFIKI PRIKAZ KUMULATIVNE


43/166

GRAFIKI PRIKAZ KUMULATIVNEFREKVENCIJE

Grafikiprikaz kumulativne frekvencijejenainda sese prikau kumulativne informacije grafiki. On

prikazuje broj, procenat ili proporciju elemenataposmatranog skupa koja je manja ili jednaka nekoj

vrednosti.

Primer: U skupu podataka kumulativna frekvencijaza vrednostx je ukupan broj zbirova koji su manji ili

jednaki x. Slika na sledeem slajdu ilustruje razlikuizmeu frekvencije i kumulativne frekvencije. Obagrafa pokazuju zbirove testa za 300 studenata.

PRIMER 3


44/166

PRIMER 3

Visine kolona levog grafa, pokazuju frekvenciju - brojstudenata u svakoj grupi po rezultatu u testiranju. Npr.,oko 30 studenata je dobilo izmeu51 i 60 poena natestu.

Visine kolona desnog grafa pokazuju kumulativnufrekvencijubroj studenata do svakog zbira poena kojise posmatra. On pokazuje da je 30 studenata dobilo natestu do 50 poena; 60 studenata je dobilo rezultat do 60

poena; 120 studenata je dobilo rezultat do 70poena itd.


45/166

APSOLUTNA NASUPROT RELATIVNOJ

FREKVENCIJI

Frekvencija se moemeriti apsolutnim ili

relativnim brojevima

(proporcija-gornji

graf ili procenat-

donji graf).


46/166

DISKRETNA PROMENLJIVA-

VARIJANSA

Za diskretnu varijablu Xvarijansa je data izrazom:

k

iii xpxXE 1

222

)()()(

k

iii xpx1

222

)(


47/166

KONTINUALNE PROMENLJIVE

Ovde graf prikazujekumulativni graf kontinualne

promenljive na X osi

Odredjivanje mediane:

Posmatra se linija koja ide odY ose za 50%. Ta linija seekrivu nad X osom (vrednostzbira testa) za vrednost 73. Toznai da je polovina studenata

dobila rezultat testa do 73poena i polovina najmanje 73poena.

Prema tome, mediana je 73.

DESCRIPTIVNE STATISTIKE ANALIZE


48/166

DESCRIPTIVNE STATISTIKEANALIZEDescriptivne statistikeanalize predstavljaju skup metoda koji sekoriste za prikaz i opis osnovnih karakteristika statistikog skupa.

Odreivanje osnovnih statistikih indikatora ukljuuje:

1. Grupisanje i sortiranje podataka.2. Prikaz statistika.

3. Odreivanje osnovnihindikatora statistikihserija.

Grupisanje podataka se vri prema vrednosti ili modalitetu koji seistrauje.

Prikazivanje statistikihserija moe biti uraeno na dva naina: tabelarno. grafiki.

SIMETRIJA I SPLJOTENOST


49/166

SIMETRIJA I SPLJOTENOST(SKEWNESS AND KURTOSIS)

Skewnessje mera simetrije ili, preciznije, nedostataksimetrije. Distribucija skupa podataka je simetrina ako izgledaisto levo i desno od centralne vrednosti.

Kurtosisje mera da li su podaci otrije ili spljotenije

rasporeeni u odnosu nanormalnu distribuciju.To znai da skup podataka kod koga je kurtosis veliki imaznaajanpikblizu srednje vrednosti, naglo opadajui i ima dugerepove.

Skup podataka sa malim kurtosisom ima ravan vrh blizu sredine.(Uniformna distribucija je ekstreman sluaj).

SKEWNESS


50/166

SKEWNESS

Za skup podataka Y1. Y2. .... YN, formula for

skewness je:

( )=

(1)

gde je srednja vrednost, sje the standardna devijacija iNje brojelemenata. Skewness za normalnu distribucijuje nula i svaki simetrian skup

podataka ima skewness blizu nule.

Negativne vrednosti za skewness ukazuju podatke koji su

iskrivljeni nalevo, a pozitivne vrednosti za skewness ukazuje dasu podaci iskrivljenina desno.

Iskrivljenost na levo znai da je levi rep dui u odnosu na desni.Slino,iskrivljenost na desno znai da je desni reprelativno dui u

odnosu na levi.
http://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3661.htmhttp://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3661.htmhttp://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3661.htmhttp://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3661.htmhttp://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3661.htmhttp://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3661.htm


51/166

KURTOSIS

( )=(1)

Gde je

srednja vrednost, s je standardna devijacija iNje

broj podataka. Kurtosis za standardnu normalnu distribuciju

je 3. Iz tog razloga, neki analitiari koriste sledeudefiniciju za kurtosis :

()

() -3
http://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3661.htmhttp://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3661.htmhttp://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3661.htmhttp://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3661.htmhttp://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3661.htmhttp://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3661.htmhttp://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3661.htmhttp://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3661.htmhttp://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3661.htm


52/166

KURTOSIS

Ta definicija se koristi sa ciljem da oznai dastandardna normalna distribucija ima kurtosis

nula.

U tom sluajupozitivan kurtosis ukazujedistribuciju sa pikom, anegativan kurtosisukazuje da se radi o ravnijoj distribuciji.


53/166

PRIMERI ZA SKEWNESS I KURTOSIS:


54/166

SKEWNESS


55/166

Primer 4-tabela

Broj ispita (X) Broj studenata (fi)

0-2 10

3-5 20

6-8 15

9-11 12

posmatrano svojstvo Frekvencija (fi),

X- kvalitativna strana kvantitativna strana tabel


56/166

TIPOVI GRAFOVA:

Grafovi se obino delena: Skater (Scatter) Stubiasti (Bar)

Linijski (Line diagram)Pita- graf (Pie chart)


57/166

SKATER GRAF

Number of exams

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

Number of students

Number of students

B dij


58/166

Bar dijagram

0

5

10

15

20

25

0-2 3-5 6-8 9-11

Broj studenata (fi)

Number of students (fi)

U Excelu


59/166

59

U Excelu

Broj ispita Broj studenata

1 10

4 207 15

10 12

umber of exam Number of students

Mean 5,5 Mean 14,25Standard Error 1,936491673 Standard Error 2,174664725

Median 5,5 Median 13,5

Mode #N/A Mode #N/A

Standard Devi 3,872983346 Standard Devia 4,34932945

Sample Varian 15 Sample Varianc 18,91666667

Kurtosis -1,2 Kurtosis -0,036561936

Skewness 0 Skewness 0,829536957

Range 9 Range 10

Minimum 1 Minimum 10Maximum 10 Maximum 20

Sum 22 Sum 57

Count 4 Count 4

PRIMER5


60/166

PRIMER5

MesecBroj turista (uhiljadama)

Januar 20

Februar 18

Mart 21

April 35

Maj 40

Jun 95

Jul 75

Avgust 78Septembar 41

Octobar 45

Novembar 34

Decembar 18

Broj turista(u hiljadama)

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December


61/166

LINIJSKI DIJAGRAM

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Broj turista (u hiljadama)

Number of tourists (in thousands)

POLARNI DIJAGRAM (TIP LINIJSKOGDIJAGRAMA)


62/166

DIJAGRAMA)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December

Series1

PITA GRAF


63/166

PITA GRAF


64/166

PRIMER: SREDNJA VREDNOST (EXCEL)

MesecBroj turista(u hiljadama)

Januar 20

Februar 18

Mart 21

April 35

Maj 40

Jun 95

Jul 75

Avgust 78

Septembar 41

Oktobar 45

Novembar 34

Decembar 18

Sum 520

The mean 43,33333333

The mean 43,33333333

Srednja vrednost= (xi)/n

=520/12= 43.3

Srednja vrednost =

Average(b2:b12)=43.3

Minimum=min(b2:b12)=18

Maximum=max(b2:b12)=92

Range=Maximum-minimum=77


65/166

65

Histogram in Excel:


66/166

66

Output


67/166

PRIMER: MEDIANA

MonthsNumber of tourists(in thousands)

December 18

February 18

January 20

March 21

November 34

April 35

May 40

September 41

October 45

July 75August 78

June 95

Sortira vrednosti

prema veliini

Mediana=

(f6+f7)/2=(35*40)/2

=37.5


68/166

VARIANSA I STANDARDNA DEVIJACIJA

Mesec

Broj turista

(u hiljadama)

(Xi-Xaverage)**2

Januar 20 544,4444444

Februar 18 641,7777778

Mart 21 498,7777778

April 35 69,44444444

Maj 40 11,11111111

Jun 95 2669,444444Jul 75 1002,777778

Avgust 78 1201,777778

Septembar 41 5,444444444

Oktobar 45 2,777777778

Novembar 34 87,11111111

Decembar 18 641,7777778Sum 520 7376,666667

The mean 43,33333333

The mean 43,33333333

Variance 670,6060606

StDev 25,89606265

Variance=

Sum(Xi-Xsr)**2/(n-1)

Or

Excel function

Var(x1:x12)=

670.606

StDev=SQRT(Varian

ce)

or

Excel function:

STDEV(x1:x12)=25.89606265

EXCEL REZULTATI ZA PRIMER 5


69/166

EXCEL REZULTATI ZA PRIMER 5:

DATA ANALYSIS. DESCRIPTIVE STATISTIC

Months

Number of tourists

(in thousands)

January 20

February 18

March 21

April 35May 40

June 95

July 75

August 78

September 41October 45

November 34

December 18

Number of tourists (in thousands)

Mean 43.33333333

Standard Error 7.47554937

Median 37.5

Mode 18

Standard Deviation 25.89606265

Sample Variance 670.6060606

Kurtosis -0.193982443

Skewness 0.964520362

Range 77

Minimum 18Maximum 95

Sum 520

Count 12

Confidence Level(95,0%) 16.45357323


70/166

SKEWNESS AND KURTOSIS (IN EXCEL)

Skewness = SKEW(B2:B13)= 0.964520362

Pozitivna vrednost za skewness ukazuje da su podaci zakrivljeni

udesno.

Kurtosis = Kurt(B2:B13)= -0.193982443

Prema drugoj definiciji (normalna distribucija ima=0 negativni

kurtosis ukazuje zaravljenu" distribuciju.)

Standard error = StdDev/Sqrt(12)= 25.89606264678/ 3.46410161

= 7.4755493700355

Raspodele verovatnoe


71/166

71

Raspodela kontinuirane

verovatnoe

Binomna

Hipergeometrijska

Poisson-ova

Raspodeleverovatnoe

Raspodela diskretne

verovatnoe

Normalna

Uniformna

Eksponencijalna

Raspodele verovatnoe


72/166

DISKRETNE SLUAJNE PROMENLJIVESluajne promenljive (promenljiva koja poprima numerike vrednostiodreene ishodima sluajnog eksperimenta)

Teme:

Oekivana vrednost diskretne sluajne promenljive Varijansa

Binomna distribucija

Poasonova distribucija

Kovarijansa i korelacija

NORMALNA RASPODELA


73/166

Normalna gustina raspodele verovatnoe:

2)(

21

2

1)(

x

exf

NORMALNA RASPODELA

Normalna raspodela je

potpuno odreena sa: -srednja vrednost

-standardna devijacija

Nain zadavanja:

N(, 2)

OSOBINE NORMALNE RASPODELE


74/166


zvonastog oblika simetrina

unimodalna

asimptotska

srednja vrednost, medijana i

mod su jednaki

Raspodelu definiu srednjavrednost, , i standardna devijacija,.

Srednja vrednost definie centar, astandardna devijacija irinu.



75/166


Standardna devijacija je rastojanjeod srednje vrednosti do take gdekriva menja oblik od konkavne nadole u konkavnu na gore

IZGLED NORMALNIH RASPODELA


76/166

IZGLED NORMALNIH RASPODELA

Promenom parametara i , dobijaju se razliite normalne raspodele

PRIMERI PODATAKA SA


77/166

PRIMERI PODATAKA SA

NORMALNOM RASPODELOM

oekivani ivotni vek ljudi u populaciji

visina

teina

visina plata broj pacijenata na koji propisani lek deluje

podaci iz proizvodnje

IQ

dr.

GRAFIK NORMALNE RASPODELE


78/166

GRAFIK NORMALNE RASPODELE

STANDARDIZOVANO ODSTUPANJE(Z SCORE)


79/166

(Z-SCORE)

z-scoreje razlika izmeu posmatrane vrednosti i

srednje vrednosti podeljena sa standardnomdevijacijom

To je odstupanje posmatrane vrednosti od srednjevrednosti izraeno u broju standardnih devijacija

Na primer: ako je z = 2, vrednost X je udaljena 2standardne devijacije od srednje vrednosti.Ako je -3,0 > z-score > 3,0

vrednost z-score se smatra ekstremnom

STANDARDIZOVANO


80/166

ODSTUPANJE , Z-SCORE

Primer: Prosean unos proteina 77 g/dan, standardna devijacija, Sd =8 g, N = 500

Gde se nalazi osoba koja unosi 93 g/dan ?

28

16

8

7793z

Osoba koja unosi 93 g/dan ima vrednost koja je za 2 Sd vea odprosenog unosa proteina

Negativan z-score znai da je vrednost manja od srednjevrednosti

STANDARDIZOVANA NORMALNA

RASPODELA


81/166

RASPODELA

standardizovana normalna kriva je simetrinaoko nulenajveideopovrineispod krive leiizmedju -3z i 3zpovrinaispod standardne normalne krive je 1

krajevi krive se asimptotskipribliavajux-osi

standardizovana

normalna kriva

z-score je normalno distribuiran sa srednjom vrednou

0 i standardnom devijacijom 1

standardizovana normalna raspodela

= 0

= 1 0 1

PRIMER


82/166

PRIMER

Ako je varijabla x normalno distribuirana sa srednjomvrednou = 5i standardnom devijacijom = 2,

z vrednost za x = 6,2je

Ovo znai da se vrednost x = 6,2 nalazi 0,6 standardnih

devijacija (0,6 inkrementa od 2 jedinice) iznad srednjevrednosti

6,02

52,6xz

PRIMER


83/166

6,02

52,6x

z

Normalna raspodela Standardizovananormalna raspodela

6,2 x 0,6

= 2 z= 1

= 5 z= 0

z

PRIMER


84/166

25,12

55,7xz25,12

55,2xz

Normalna raspodelaStandardizovana

normalna raspodela

x z

= 2 z= 1

= 5 z= 0

2,5 7,5 -1,25 1,25

NALAENJE VEROVATNOE


85/166

NALAENJE VEROVATNOE

Verovatnoa jepovrina ispod krive!

c d x

f(x)

?P c X d

VEROVATNOA KAOPOVRINA ISPOD KRIVE


86/166

POVRINA ISPOD KRIVE

Ukupna povrina ispod krive je1,0

Raspodela je simetrina

f(x)

x

0,50,5

1,0)xP(

0,5)xP( 0,5)xP(

TABELA STANDARDIZOVANE NORMALNE RASPODELE


87/166

TABELA STANDARDIZOVANE NORMALNE RASPODELE

Tablica standardizovane normalne raspodele dajeverovatnou, odnosno povrinu za vrednosti manje odeljene vrednosti z (od - do z)

primer:

P(z < 2,00) = 0,9772 0.9772

z0 2,00

TABELA STANDARDNE NORMALNE

RASPODELE


88/166

RASPODELE

Verovatnoa/povrinazavrednosti manje z manje odeljene vrednosti z

0,9772

2.0P(z < 2,00) = 0,9772

U redovima su vrednosti

z do prvog decimalnog

mesta

U kolonama su vrednosti z na

drugom decimalnom mestu

2,0

.

.

.

Z 0,00 0,01 0,02

0,0

0,1

VANE POVRINE ISPOD KRIVE


89/166


Povrina izmeu -1z i +1z = 0,6826 = 68,3%Verovatnoa da se varijabla x nae u granicama jednestandardne devijacije ili -1z i +1z je 68,3%

P = 0,6826 = 68,3%



90/166


U rasponu je

68,3%povrine ispod krive, odnosno

68,3% svih vrednosti

f(x)

x +1-1

68,26%



91/166

Povrina izmeu -2z i +2z =

0,9544 = 95,4%

Verovatnoa da se varijabla xnae u granicama -2z i +2z :P = 0,9544 = 95,4%

Povrina izmeu -3z i +3z =

0,9974 = 99,7%

Verovatnoa da se varijabla xnae u granicama -3z i +3z :P = 0,9974 = 99,7%



92/166

x

2 2

95.44%

+2-2x

3 3

99.73%

-3 +3

U rasponu 2 je

95,4%povrine ispodkrive


U rasponu 3 je

99,7%povrine ispodkrive



93/166

DISTRIBUCIJE UZORAKA

Za odnos standardne devijacije osnovnog skupa i standardnedevijacije distribucije uzoraka vai izraz:

Navedena relacija o odnosu standardne devijacije distribucijeuzoraka i standardne devijacije osnovnog skupa vai zabeskonane osnovne skupove i za konane skupove sponavljanjem.

Izraz za standardnu greku procene aritmetike sredine zakonane skupove je:

nx

1

N

nN

nx

TEORIJA MALIH UZORAKA


94/166

TEORIJA MALIH UZORAKA

esto se koristi injenica da se uzorci veliineN>30,nazivaju velikim, a distribucija velikog broja statistika je

aproksimativno normalna i pribliavanje normalnojdistribuciji je bolje kako N raste.

Za uzorke veliineN


95/166

U verovatnoi i statistici, Studentova t-raspodela (ili jednostavno t-distribucija) sa (n-1) stepeni slobode , t(n-1), je neprekidna raspodelaverovatnoa koja nastaje kada se procenjuje srednja vrednostnormalno distribuirane populacije u situacijama gde je uzorak mali istandardna devijacija populacije, , je nepoznata.

Ako = s, t = Z, T distribucija postaje normalna raspodela. Kao Nraste, Studentova distribucija se pribliava normalnoj raspodeli.

Studentova raspodela se moe izvesti transformacijom Studentovez-raspodele koristei i zatim definisanjem

t-raspodelaje simetrina i u obliku zvona, kao normalnadistribucija, ali ima vee repove, to znai da je vie sklona da

proizvodi vrednosti koje padaju daleko od svog proseka. To je inikorisnim za razumevanje statistikog ponaanje pojedinih vrstaodnosa sluajnih veliina, u kojima su varijacije u imeniocu vee imoe se desiti da se pojave ekstremne vrednosti u sluajevima kadaimenilac pada blizu nule.

PRIMENA STUDENTOVE RASPODELESt d t d l i l i i k k i ih t ti tikih


96/166

Studentova raspodela igra vanu ulogu u nizu iroko korienih statistikihanaliza:

za procenu statistike znaajnosti razlike izmeu srednjih vrednosti dvauzorka,

za konstrukcija intervala pouzdanosti za testiranje razliku izmeusrednjih vrednosti dve populacije, i u analizama linearne regresije.

PROCENA PARAMETARA


97/166

PROCENA PARAMETARA

OSNOVNOG SKUPA

Procenjivanje nepoznatih parametara osnovnog skupa zasniva se napodacima koji predstavljaju sluajan uzorak i na izraunavanjuodgovarajue statistike uzorka.

Parametri se mogu proceniti brojem i intervalom.

Izraunata vrednost statistike uzorkaje procena parametra brojem, aprocena intervalom se sastoji u odreivanju granica raspona varijacijeukojem se prema nekom kriteriju oekuje da e biti vrijednost nepoznatog

parametra.

PROCENA PARAMETARA


98/166

PROCENA PARAMETARA

OSNOVNOG SKUPA

Interval procene aritmetike sredine se odreuje kaointerval vrednosti oko aritmetike sredine uzorka.

irina ovog intervala zavisi od pouzdanosti procene ioblika sampling distribucije aritmetikih sredinauzoraka.

Sampling-distribucija aritmetikih sredina uzorakaodreene veliine ima normalan oblik (Centralnagranina teorema).

12121 xx zxzxP

PROCENA PARAMETARA

OSNOVNOG SKUPA


99/166

OSNOVNOG SKUPA

Standardna grekaprocene aritmetike sredine je funkcijaveliine uzorka. Za poznatu vrednost standardne devijacijeosnovnog skupa, ona iznosi .

U praksi uglavnom nije poznata standardna devijacija

osnovnog skupa, ve se ona procenjuje pomou standardnedevijacije uzorka.

Izraz za nepristrasnu procenu varijanse je:

nx

1

1

2

2

n

xxS

n

i

i

PROCENA PARAMETARA OSNOVNOG SKUPA


100/166

PROCENA PARAMETARA OSNOVNOG SKUPA

Procenjena vrednost standardne greke je

Standardizovana vrednost tima oblik tzv. Studentove ili T-

distribucije sa (n-1) stepena slobode.

Za velike uzorke sampling distribucija se moe aproksimiratinormalnom distribucijom

nSSx xS

xt

)1()( 2121 xx SzxSzxP

)1()( )1;2()1;2( xnxn StxStxP

SREDNJE VREDNOSTI


101/166

UZORAKA I POPULACIJE

Ako posmatramo sve mogue uzorke veliine n iz populacije od Njedinica i ako za svaki uzorak izraunamo srednju vrednostiposmatramo distribuciju tako dobijenih srednjih vrednosti.

+ + .

=

Moe se pokazati da je aritmetika sredina te distribucije (sredinauzoraa) jednaka aritmetikoj sredini osnovnog skupa

=

CENTRALNA GRANINA TEOREMA


102/166

CENTRALNA GRANINA TEOREMA

Neka je X1, X2, , Xn sluajan uzorak uzet izproizvoljne distribucije sa srednjom vrednouivarijansom 2

Ako nide u beskonanost, distribucija uzoraka oblika

konvergira ka N(0,1) distribuciji.

KONCEPCIJA TESTIRANJA HIPOTEZA


103/166

Nulta i alternativna hipoteza

Testiranje sredine normalne distribucije u sluaju poznate varijansepopulacije

Interpretacija vrednosti verovatnoe ili p-vrednosti

Testiranje sredine normalne distribucije u sluaju nepoznate varijanse

Testiranje hipoteza proporcijskog udela u

populaciji (veliki uzorak)

Primeri

NULTA I ALTERNATIVNA HIPOTEZA


104/166

Kod svakog problema koji se razmatra, obinose mogu pojednostavlenoformulisati dve suprotstavlenetvrdnje (hipoteze):

Nulta hipoteza, oznaujese sa H0, i

Alternativna hipoteza, oznaenasa H1.

Ove dve konkurentske tvrdnje( hipoteze) se meutimne tretiraju ravnopravno,vese: posebna panja posveujenultoj hipotezi.

Uobiajena je situacija: Eksperiment se sprovodi u pokuajuda se opovrgne ili

odbaci odreenunultu hipotezu tako da se njoj daje prioritet u smislu da se onane moe odbaciti ukoliko dokazi protiv nje nisu dovolnojaki.

Na primer,

H0: nema razlike u ukusu izmeunormalnog i Diet Coca Cole

H1: postoji razlika.

Ako je jedna od dva tvrdnje "jednostavnija" njoj se obinodaje prioritet, tako dase "komplikovanija" teorija ne usvaja ukoliko nema dovolnodokaza protiv

jednostavnije.

Na primer, "jednostavnija" je tvrdnja da nema razlike u ukusu izmeuobineidijet Coca Cole i tvrdnje da postoji razlika.

VRSTE HIPOTEZA


105/166

Moemo rei da postoje 2 vrste hipoteza:

1.Hipoteze koje se odnose na raspodele obeleja nazivaju se neparametarskehipoteze

paramerarske hipotezeodnose na karakteristine parametre populacijekao tosu oekivanavrednost i varijansa.

Primer:

Ako naprimer bacamo kocku 1000 puta i ako se 6 pojavi 185 puta ,parametarska hipoteza bi bila da je

neparametarska hipoteza bi bila da se verovatnoepojave odreenogbroja

rasporeujupo binomnoj raspodeli

1

6p

, ,

1, 1000, 185,

6

1 n kk

n k p

p n k

nP p p

k

PARAMETARSKE I NEPARAMETARSKE


106/166

HIPOTEZE

Primer parametarske hipoteze:

H0: oekivanavrednost visine deset godina starih deakau srpskojpopulaciji nije drugaija od oekivanevrednosti visine deset godinastarih devojica.

H1: postoji razlika u oekivanoj vrednosti visine deset godina starihdeakai devojica u srpskoj populaciji.

Primer neparametarske hipoteze:

H0: Visina deset godina starih deakaje normalno distribuirana usrpskoj populacijii.

H1:Visina deset godina starih deakanije normalno distribuirana usrpskoj populacijii.

ISHOD TESTIRANJA HIPOTEZA


107/166

Ho, polazna-nulta i H1, suprotna-alternativna.

Hipoteza moeda bude pogrenai tana.

Zato se postavljene hipoteze podvrgavaju se statistikom proveravanju, testiranju,verifikaciji, pomou koga se donose odluke, da li sa odreenom verovatnoom,hipoteze se prihvataju ili odbacuju.

Savremenu teoriju verifikacije dali su Nejman i Pirson (1928,1933 )

Ishod testiranja hipoteza moe biti:1. "Odbaci H0 u korist H1(kao posledicu eksperimenta na uzorku i prihvatamo

H1) ili

2. Ne odbaci H0 (jer nema dokaza protiv nje).

Primer:

Ako je proizvodja lansirao na trite nov proizvod, on mora da dokae da jenjegov proizvod bolji od postojeih.

Polazna hipoteza Ho je da je novi proizvod najbolj i, i da bi dokazao tu hipotezu, onmora da obori suprotnu, alternativnu H1, da su stari proizvodi bolj i od novog.

POSTUPAK TESTIRANJA HIPOTEZA


108/166

Postupak testiranja hipoteza o vrednosti nekog parametra

osnovnog skupa sprovodi se prema precizno definisanojproceduri. Koraci u tom postupku su:

1. formulacija statistike hipoteze;2. izbor statistike testa i odreivanje njenog oblika

distribucije;

3. odreivanje nivoa znaajnosti testa;4. definisanje pravila na osnovu kog se odluuje o

prihvaanju ili odbacivanju hipoteze;5. izbor sluajnog uzorka odreene veliine i izraunavanje

statistike testa;

6. donoenje odluke o prihvaanju ili odbacivanjuhipoteze.



109/166

Nulta i alternativna hipoteza predstavljaju dve precizne,

meusobno iskljuive tvrdnje o vrednosti nekog parametraosnovnog skupa.

dvosmerni test

jednosmerni, test na gornju granicu

jednosmerni, test na donju granicu

00 : H 01 : H

00 : H 01 : H

00 : H 01 : H



110/166

Statistika testa ili test-statistika je kriterijum na osnovu kog sesprovodi testiranje.

Kod testiranja pretpostavki o vrednosti parametara osnovnogskupa, statistika testa je nepristrasna procena parametra ili neka

transformacija te procene. Statistika testa je sluajna varijabla koja poprima odreeni oblik

distribucije verovatnoe.

Za primer varijable aritmetike sredine uzorka vai pravilo onormalnom obliku distribucije ~ N*,

2

0 , x

* Centralna granina teorema

TESTIRANJE HIPOTEZA


111/166

TESTIRANJE HIPOTEZA

Njena standardizovana vrednost

za velike uzorke ima oblik jedinine normalne distribucije Z ~ N(0,1), aza male uzorke standardizovana varijabla

ima oblik T-distribucije za (n-1) stepeni slobode.

x

XZ

0

x

XT

0

TESTIRANJE HIPOTEZA


112/166

(1 - )

/2/2

Z ~ N(0,1)

-z 0 +z

Podruje odbacivanja Podruje prihvaanja Podruje odbacivanja

Dvosmerni test


113/166

TESTIRANJE HIPOTEZA

-z 0

Podru e odbacivan a Podru e rihvaan a

1 -

Z ~ N(0 , 1)

0 z

Podruje prihvaanja Podruje odbacivanja

1 -

Z ~ N(0 , 1)

Jednosmerni test na donju granicu Jednosmerni test na gornju granicu

TESTIRANJE HIPOTEZA


114/166

TESTIRANJE HIPOTEZA

Sledei korak kod testiranja hipoteze je izbor sluajnoguzorka odgovarajue veliine.

Za uzorakse vre potrebni obrauni i izraunavavrednost statistike testa.

Koristei uzorak, izraunava se standardna greka, brojstepeni slobode, test statistika, i P-vrednost povezana satest statistikom.

Donoenje odluke :

Ako je statistika testa iz podruja prihvaanja nultehipoteze, nulta hipoteza se prihvata kao mogua, aalternativna hipoteza se odbacuje.

U protivnom, kada je vrednost statistike testa iz podrujaodbacivanja hipoteze, prihvatie se alternativna hipoteza.

P-VREDNOST


115/166

V NOS

Pretpostavimo da sprovedemo eksperiment u kojem su izmerene

srednje vrednosti u dva uzorka koje su razliite. Kako se moe bitisiguran o pretpostavljenoj srednjoj vrednosti populacije?

Postoje dve mogunosti:

Populacija ima razliitu srednju vrednost. Populacije ima isti srednju vrijednost, a dobijena razlika je poslediva

sluajnog uzorkovanja. P vrednost je verovatnoau rasponu od nula do 1

U praksi se dobijena P-vrednost iz uzorka poredi sa stvarnimnivoom znaajnostinaegtesta (0,05, 0,01) i, ako je manja,dobijena razlika je znaajna. (ako je naa p-vrednost "p


116/166

SREDINI OSNOVNOG SKUPA

Testiranje hipoteze o pretpostavljenoj vrednosti aritmetike sredineosnovnog skupa sprovodi se na osnovu sluajnog uzorka veliine njedinica.

Statistika testa je aritmetika sredina uzoraka koja predstavlja sluajnuvarijablu.

Varijabla aritmetikih sredina uzoraka, odnosno njenastandardizovana vrednost, moe imati oblik normalne distribucije iliT-distribucije.

U zavisnosti od oblika distribucije, testiranje hipoteza o aritmetikojsredini osnovnog skupa sprovodi se pomou z-testaili t-testa.

Postupak testiranja hipoteze poinjepostavljanjem nulte i alternativne

hipoteze.

TESTIRANJE HIPOTEZA O ARITMETIKOJ


117/166


Postavka hipoteze za dvosmerni test

Postavka hipoteze za jednosmerni test na gornju granicu

Postavka hipoteze za jednosmerni test na donju granicu

00 : H 01 : H

00 : H 01 : H

00 : H 01 : H

TESTIRANJE HIPOTEZA O ARITMETIKOJ


118/166


Test stati sti ka je varijabla aritmetikih sredina uzoraka koja imanormalnu distribuciju~ (,), ili standardizovana varijablasredina uzoraka,

koja imajedinini normalni oblik distribucije,

Z ~ N(0.1).

Pravilo odluivanjao prihvaanju ili odbacivanju nulte hipoteze sepostavlja u zavisnosti od oblika hipoteze i nivoa znaajnosti testa .

TESTIRANJE HIPOTEZA O ARITMETIKOJSREDINI OSNOVNOG SKUPA


119/166


Pravila odluivanja kada je podruje prihvaanja nulte hipoteze datou mernim jedinicama obeleja su:

Kod dvostranog testa nulta hipoteza se prihvata, na nivou znaajnosti, ako je aritmetika sredina uzorka iz intervala (c1,c2), gde je

Kod jednostranog testa na gornju granicu nulta hipoteza se prihvaa kadaje aritmetika sredina uzorka iz intervala (-,c2), gde je

Kod jednostranog testa na donju granicu nulta hipoteza se prihvaa kadaje aritmetika sredina uzorka iz intervala (c1, +,), gde je

xSzc 2/101 xSzc 2/102

xSzc 102

xSzc 101

PRAVILA ODLUIVANJA O TESTIRANJU HIPOTEZA OARITMETIKOJ SREDINI OSNOVNOG SKUPA


120/166

ARITMETIKOJ SREDINI OSNOVNOG SKUPA

Pravila odluivanja o prihvaanju ili odbacivanju nulte hipoteze kadaje podruje prihvaanja dato u standardizovanim jedinicama su:

Kod dvostranog testa nulta hipoteza se prihvaa, na nivouznaajnosti , kada je empirijska z-vrednost po apsolutnojvrednosti manja od tabline zvrednosti za vrednost funkcije

distribucije

Nulta hipoteza kod jednostranih testova na gornju granicu seprihvaa kada je

Nulta hipoteza kod jednostranih testova na donju granicu seprihvaa kada je

2/1 zz

1zz

1zz



121/166

Sa unapred zadatom verovatnoom( na primer 0,95) se moe odrediti kritini

interval, npr. (-k, +k) i proveriti da li izraunata vrednost pripada tomintervalu.

U sluaju da pripada se zakljuuje da odstupanja imaju sluajankarakter inema razloga za odbacivanjem nulte hipoteze

Za verovatnou od 0,95, prag znaajnosti je0,05 , a to znai da postoji 5%rizikada se napravi greka tj. daposmatrana vrednosti ne pripadaizraunatom intervalu i da nulta hipotezanije tana.(To znaida su ostupanjaod poetnehipoteze znaajna.)

BITNO:

Treba odrediti kritinuvrednost k.

(Kako odrediti k? Gde povuigranicu izmeusluajnihi znaajnihodstupanja??)

TESTIRANJE CENTRALNE TENDENCIJE-

DVOSTRANI TEST


122/166

DVOSTRANI TEST

Ukoliko je dobijamo oblast prihvatanja nulte hipoteze, interval ,k k

0H

2

kk

o

kriticna oblast

oblast odbacivanja H

kriticna

oblast

1 2

tan ooblast prihva ja H

0 0 1 0: :H H

P X k

TESTIRANJE CENTRALNE


123/166

TENDENCIJE- JEDNOSTRANI TEST

Jednostrani i test:

ko

kriticna oblast


1


k

o

kriticna oblast


1


P X k

P X k

GREKE TESTIRANJA HIPOTEZA


124/166

Greke prvog tipa, grekenastaju kada nultu hipotezuodbacimo, a tana je i prihvatimo alternativnu hipotezu.

Greke drugog tipa, greke nastaje kada nultu hipotezu neobacimo, a pogrena je.

GREKE TESTIRANJA HIPOTEZA


125/166

Odluka

Odbaciti H0 Ne odbaciti H0

Istina

H0

GrekaI vrste, testiranjem

H0 se odbacuje uz

verovatnou

Prava odluka, testiranjem

H0 se prihvata uz

verovatnou (1)

H1

Dobra odluka, testiranjem

H0 se odbacuje uz

verovatnou (1)

(ova verovatnoa se zove''jaina testa'' ili ''motesta'')

GrekaII vrste, ,

testiranjem H0 se prihvata

TESTIRANJE HIPOTEZE H0(=0)ako je poznato


126/166

ako jepoznato U sluaju testiranja nulte hipoteze H0protiv alternativne

hipoteze H1, ako sluajna promenljiva ima normalnuraspodelu, a disperzija je poznata, vai

Ako sluajna promenljiva nema normalnu raspodelu,uvodimo statistiku

koja ima normalnu standardnu, N(0,1) raspodelu, gde je

- aritmetika sredina dobijena na osnovu uzorka,0- predpostavnjena vrednost sredine populacije, - standardno odstupanje populacije inje obim uzorka.

0XZ

n

P X z

TESTIRANJE HIPOTEZA: SREDNJE VREDNOSTI

Testovi mogu bitidvosmernikada testiramo hipotezu da jed j d j d k k j lj j d i


127/166

srednja vrednost jednaka nekoj pretpostavljenoj vrednosti,H0(= nasuprot hipoteze H1(

Kritina oblastprihvatanja nulte hipoteze je na osnovu zadatogpraga znaajnosti:

Oblast prihvatanja

[-z, z]

a oblast odbacivanja ,

, ,z z

0 0 0k X k

P

n n n

P z Z z

PRAG ZNAAJNOSTI-DVOSTRANI TEST


128/166

Za verovatnou , prag znaajnosti, se obino uzimajuvrednosti 0,01 i 0,05, a za izraunavanje se koristetablice normalne raspodele.

0H2

z 0kriticna oblast za H

oblast odbacivanja

kriticna

oblast

1 2

z

PRAG ZNAAJNOSTI-JEDNOSTRANI TEST


129/166

JEDNOSTRANI TEST


1

0

tan

XZ

n

oblast neprihva jaP Z z

z

0kriticna oblast za H

0

tan

XZ

n

oblast neprihva jaP Z z

taoblast neprihva anja

P Z z

PRIMER:


130/166

Za doziranje nekog leka se zna se da ima

normalnu raspodelu N(,9). Uzet je uzorakod n= 10 pacijenata i na osnovu dobijenih

podataka dobijena je srednja vrednost dozeod 24,3gr.

Sa pragom znaajnosti od 5% testiratihipotezu za matematiko oekivanje doze od24gr nasuprot altetnativnog matematikogoekivanja doze od 26gr.

PRIMER-REENJE


131/166

0 1

: ,9 , 24,3

3; 10; 0,05

24 ; 26

X N X

n

H H

0H 0,05

1,64z 0kriticna oblast za H

0,95

3,16

N(, 2

):

Oblast prihvatanja:

< 1

z=z0.95=1,64

24,324310 0,316

0,316


132/166

Iz populacije sa obelejem X za koje se zna da je odstupanje 300, ne zna se

raspodela, uzet je uzorak oblika 99856 i na osnovu njega je dobijena srednjavrednost 24,3. Sa nivoom znaajnosti od 5% testirati hipotezu

H0(=24

prema alternativnim hipotezama

1. H1(>24

2. H1(


133/166

0 1

: ,300 , 24,3

9; 99856; 0,05

24 ; 24

X N X

n

H H

0H 0,05


0,95

24,3X

0 24H 1 24H

0

Oblast prihvatanja:

< 1 z=z0.95=1,64

Kritina vrednost k:2430099856

z0.95 1,6425 ,26

Zakljuak: Ne odbacujemo H0

0 24H 1 24H Reenje za 1- preko kritine vrednosti, Z:


134/166

0 1

: ,300 , 24,3

9; 99856; 0,05

24 ; 24

X N X

n

H H

0

0,95

24,3 241,56300

99856

1,64

1,56 1,64

X

n

z z

0H 0,05


0,95

1,56Z

0 1


0 24H 1 24H Reenje za 2:


135/166

0 1

: ,300 , 24,3

9; 99856; 0,05

24 ; 24

X N X

n

H H

0

0,05

24,3 24 1,56300

99856

1,64

1,64 1,56

X

n

z z

0

0H0,05

1,64z

0kriticna oblast za H

0,95

1,56Z


0 24H 1 24H

Reenje za 3:


136/166

hipotezu Ho ne odbacujemo.

0 1

: ,300 , 24,3

9; 99856; 0,05

24 ; 24

X N X

n

H H

0

0,95

ta

0,95

1,96

24,5 240,52 1,96;1,96

300

99856

XZ

n

oblast prihva anja

P Z z

z z

0 1

0H2


oblast odbacivanja

kriticna

oblast

1 2

z

TESTIRANJE HIPOTEZE H0(= 0)AKO SLUAJNA PROMENLJIVAIMA NORMALNU RASPODELU, A DISPERZIJA JE NEPOZNATA


137/166

Postupak je sliansluajukod normalne raspodele, samo se sada korististatistika

gde je S standardno odstupanje uzorka, a sluajna promenljiva X imastudentovu t(n-1) raspodelu.

Dvostrana kritina oblast za nultu hipotezu bila bi , a dobija sena osnovu veze

gde se t izraunava iz tablica za studentovu raspodelu.

0X

Ts

n

T t

P T t

PRIMER:


138/166

Maina proizvodi kuglice prenika debljine 0,5cm.Da bi proverili da likuglice imaju prenik propisane debljine uzima se uzorak od 10 kuglica.Ako je aritmetika sredina uzorka 0,53cm i uzorako standardnoodstupanje 0,03cm, testirati hipotezu da maina proizvodi kuglicepropisanog prenika sa pragom znaajnosti 0,05.

Reenje:

H0: =0,5

H1: 0,5

0,95

0 1 1

: 1 9 2,26

0,03, 10, 0,53

0,5 ; 0,53 0,5

X t n t

s n X

H H H

0/

< /2 ili0/

> /2

REENJEpreko

odredjivanja kritine oblasti:


139/166

odredjivanja kritine oblasti:

Zakljuak:

Kako je 0,53 >0,52 odbacujemo nultu hipotezu.

k=0,52,

prihvatljiv interval je

(-0,52


140/166

odredjivanja t- vrednosti:

Oblast prihvatanja hipoteze Ho

Nultu hipotezu odbacujemo.

0

0,95

0,51 1

0,03

10

0,50, 95, 9 2, 26

0,03

10

2, 26; 2, 26

0, 53 0, 5 3,16 2, 26; 2, 260,03

10

X kP k T k P

s

n

kP T t

REENJEpreko

odredjivanja t vrednosti:


141/166

odredjivanja t -vrednosti:

hipotezu odbacujemo.

0

0,95

0

0,51

0,03

109 1, 833

1,833

3,16

X kP T k P

s

n

t

t

X

s

n

0 10,5 ; 0,5H H

PRIMER


142/166

PRIMER

Prosean broj greaka u radu jedne maine je 8. Posle intervencije na maini mogueje da doe do poveanja broja greaka.

Zadatak: Utvrditi da li je dolo do poveanja broja greaka.

REENJE:

Da bi se to utvrdilo izvreno je 100 merenja i dobijeni su sledei rezultati:

Broj

greaka0-10 10-20 20-30 30-40 >40

Brojmerenja

60 20 10 5 5

REENJE:


143/166

Na osnovu zadate tablice izrauna se

Hipoteza Ho se odbacuje

2

1

0.99

12,5 128,7 11,35

100; 0,01;

8 899 2,36

12,5 83,94 2,36

11,35

100

o

X s s

t raspodela

n

H Ht

T

Izraunavanje t-vrednosti za 99stepeni slobode za =9,01 za

jednostranu gornju granicu:

t-vrednost (desni deo)= 2,36

PRIMER:


144/166

U uzorku od 3000 bacanja noviadobijeno je 1578 grbova. Verovatnoadobijanjagrba je 0,5 i taj podatak uzimamo kao nultu hipotezu, a podatak da ese dobiti viegrbova uzima se kao alternativna hipoteza. Testirati nultu hipotezu sa pragom

znaajnostiod 0,01.

Sluajnapromenljiva X predstavlja broj dobijenih grbova, sa binomnom raspodelom,koja se aproksimira normalnom raspodelm.

Iz uslova zadatka dobijamo da je

0 10,5 , 0,5H p H p

0,5; 3000; 1500; 750; 0,01p n np npq

REENJE:


145/166

Potrebno je odrediti kritinu vrednostk za nultu hipotezu, i ona u ovomprimeru treba da bude vea od 1500, to odgovara verovatnoi od 0,5grbova. Tada ako je broj izraunatih grbova vei od k,odbacujemo hipotezu,inae je prihvatamo.

Ako bi koristili jednostrani test u naem primeru kritina oblast bila bi

Kako je dobijena vrednost 1578>1564, izraunatavrednost pripada kritinojoblasti i odbacujemo nultu hipotezu .

1 0,01 0,99

1500 15000,99 0,99

750 750

15002,32 1564

750

P X k P X k P X k

X X k kP

npq

kk

0

H

1500

I

1564k 1578

99% 1%

REENJE (II NAIN):


146/166

REENJE (II NAIN):

Ovaj primer mogao se reitii na drugi nain, samo izraunavanjempragaznaajnosti. Takva izraunavanjaimaju odreeneprednosti jer sekvantitativno moeodrediti koliko nulta hipoteza protivreihipotezi .

Sada u izraunavanjuemokoristiti dvostrani test i za razliku odpredhodnog izraunavanjaodrediti oblast prihvatanja nulte hipoteze.

T=(1564-1500)/sqrt(750)=2,84, t-vrednost za dvostrani test sa pragom

znaajnosti 0,01= 2,62.

2,84>2,62 to znai da odbacujemo nultu hipotezu.

0H

1500

I

1564k 1578

99% 1%

REGRESIONAANALIZA


147/166

REGRESIONA ANALIZA

Regresiona analiza se koristi da proceni vezu

UVOD


148/166

148

Regresiona analiza se koristi da proceni vezu

izmeu nezavisne i zavisnevarijable (promenljive).

Nakon analize, regresiona statistika moe da sekoristi da predvidi zavisnu variablu kada je

nezavisna variabla poznata.

Regresija prevazilazi korelacionu analizu

dodavanjem predikcije.

Ljudi koriste regresiju na intuitivnom nivou svaki dan:

REGRESIJA NA INTUITIVNOM NIVOU


149/166

149

j g j

U poslu,dobro obuen ovek se smatra finansijskiuspenijim.

Majka zna da vie eera u hrani njenog deteta rezultiraveim nivoom energije.

Lakoa buenja ujutru zavisi od toga koliko kasno smosino legli da spavamo.

Kvantitativna regresija dodaje preciznost razvojem

matematikeformule koja moe biti koritena za

predvianje.

Istraiva u medicini moe koristiti teinu

PRIMER


150/166

150

Istraiva u medicini moe koristiti teinu(nezavisna promenljiva) da predvidi najbolju dozu

za nov lek (zavisna promenljiva).

Korisnost regresione analize je odreivanje formulekoja najbolje odraava vezu izmeu dve

promenljive.

Onda se moe koristiti tako dobijenaformula da sepredvide vrednosti zavisne promenljive kada je

jedino nezavisna promenljiva poznata.

Doktor moeprepisati odgovarajuudozu baziranuna teini pacijenta.

Regresiona linija (poznata kao linija najmanjih kvadrata) je

REGRESIONA LINIJA


151/166

151

g j (p j j j ) j

crte oekivane vrednosti zavisne variable za sve vrednosti

nezavisne variable.

Tehniki, to je linija koja "minimizira kvadratna odstupanja".Regresiona linija je ona koja najbolje uklapa (fituje) podatke

na scaterplotu.

LINEARNA REGRESIJA- MODEL

VEZE


152/166

152

Linearna regresija pokuava da modelira vezu izmeu dvevariableprovlaenjemlinearne jednaine kroz posmatranepodatke. Jednavariabla se smatra nezavisnom, a druga zavisnom.

Na primer, modelar moe eleti da uspostavi vezu teina i visina uenika

koristei linearni regresioni model. Pre pokuaja da provuelinearnufunkciju (model) kroz posmatrane podatke prvo mora utvrditi da li

uopte postoji uzajamna povezanost posmatranih variabli.

VEZE

VEZA IZMEU DVE VARIABLE


153/166

153

Scatterplot moe biti od koristi u odreivanju jaine veze izmeu dvevariable.

Ako se pokae da nema povezanosti izmeu nezavisne i zavisnepromenljive (t.j., scatterplot ne pokazuje ni rastui ni opadajui trend),onda primena linearnog regresionog modela nee biti mogua.

VEZA IZMEU DVE VARIABLE-PRIMER

Scatterplot
http://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/scatter.htmhttp://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/scatter.htmhttp://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/scatter.htmhttp://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/scatter.htmhttp://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/scatter.htmhttp://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/scatter.htmhttp://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/scatter.htmhttp://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/scatter.htmhttp://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/scatter.htmhttp://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/scatter.htmhttp://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/scatter.htmhttp://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/scatter.htm


154/166

Visina Teina

175 70

190 87

189 95

179 80

172 69

186 84

168 65

177 75

180 80

Koristei regresionu jednainu, zavisna variabla moebiti predviena prekoi i bl

LINEARNA REGRESIJA


155/166

155

nezavisne variable.

Nagib regresione linije (b) je definisan kao porast zavisne promenjivepodeljen sa porastom nezavisne promenljive x.

(a)je taka gde regresiona linija see y osu.

Nagib u odnosu na x osu i presek sa y osom su inkorporirani u regresionu

jednainu.

Presek sa y osom se obino naziva konstanta, a nagib koeficijent. Potoregresioni model obino nijeperfektan prediktor, moramo odrediti i izraz zagreku jednaine.

Regresiona analiza neke populacije je korisna za teorijska razmatranja, ali u praksipostoji model za procenu koji se dobija iz raspoloivih podataka. Pretpostavimo da

REGRESIONA JEDNAINA


156/166

156

p j p j j p p pimamo n parova pomatranja (x1, y1) (x2, y2), ... (xn, yn). elimo odrediti pravuliniju

+koja e se najbolje uklopiti u date vrednosti.Da bismo to uradili moramo odrediti koeficijente a i b tako da suma kvadrata razlikastvarnih i procenjenih vrednosti bude minomalna:

( )

U regresionojjednaini, y je uvek zavisna variabla i x je uvek nezavisna variable. Data sutri ekvivalentna naina da se matematikiopielinearni regresioni model.

y = intercept + (slope * x) + error

y = constant + (coefficient *x) + error

y = a + bx + e

Regresionajednaina je y = a + bx +

REGRESIONA JEDNAINA


157/166

157

g j j y

Postoji nekoliko naina da se izrauna nagib b:

()() () (,)

ili praktino

Intercept where

x i y su variable.b = nagib regresione linijea = presek regresione linije i y ose.

N,N = broj elemenata

= ()()

(

()

)

xbya

xNx

yxNxyb

xbay

22

ODSTUPANJA


158/166

158

SST-totalna suma kvadrata odstupanja y od srednje vrednosti y

SSR

-Suma kvadrata odstupanja srednje vrednosti za y i regresionevrednosti za y

SSESuma kvadrata greke

SST=SSR + SSE

KOEFICIJENT UKLAPANJA REGRESIONELINIJE


159/166

159

Procentualna varijacija y je rezultat varijacije x.

Koeficijenat uklapanja je

Objanjive razlike

Totalne razlike

0


160/166

160

PRIMER 1

Odrediti linearnu regresiju


161/166

161

Odrediti linearnu regresiju

X Y60 3.1

61 3.6

62 3.8

63 4

65 4.1

Da bismo odredili regresionu jednainu, moramo nai nagib, intercept i uvrstiti ih u regresionu

jednainu..

Korak 1: Izraunati broj podataka.

REENJE=

(

)(

)

( ())

Korak 3:NaiX, Y, XY, X .

X = 311


162/166

162

N = 5

Korak 2: NaiXY, X2Pogledaj tabelu

b=0,19

a=-8,098

Y=-8,098+0,19X

X Value Y Value X*X X*Y

60 3,1 3600 186

61 3,6 3721 219,662 3,8 3844 235,6

63 4 3969 252

65 4,1 4225 266,5

311 18,6 19359 1159,7

Intercept(a) = (Y -b(X)) / N

X = 311

Y = 18.6

XY = 1159.7X

2= 19359

Korak 4: Zameniti vrednosti u datu formulu za nagib.

Nagib(b) = (NXY - (X)(Y)) / (NX2- (X)2)

= ((5)*(1159.7)-(311)*(18.6))/((5)*(19359)-(311)2)

= (5798.5 - 5784.6)/(96795 - 96721)

= 13.9/74

= 0.19

Korak5: Sada zameniti vrednosti u formulu zaintercept a.

Intercept(a) = (Y -b(X)) / N= (18.6 - 0.19(311))/5

= (18.6 - 59.09)/5

= -40.49/5= -8.098

Korak 6: Na kraju zameniti dobijene vrednosti u formulu regresione linije:

Regression Equation (y) = a + bx = -8.098 + 0.19x.


163/166

163


164/166

164


165/166

165


166/166

HVALA NA PANJI!

Documents

Uvod Statisticke Metode Istrazivanja