Uvod u vjerojatnost i statistiku - Odjel za matematiku · Uvjetna vjerojatnost i nezavisnost dogadajaZadaciFormula potpune vjerojatnostiBayesova formulaZadaci Uvod u vjerojatnost

Uvjetna vjerojatnost i nezavisnost dogadaja Zadaci Formula potpune vjerojatnosti Bayesova formula Zadaci

Uvod u vjerojatnost i statistiku

asistenti: Ivona Puljic i Nenad Suvak

Vjezbe 5.

asistenti: Ivona Puljic i Nenad Suvak Uvod u vjerojatnost i statistiku


1 Uvjetna vjerojatnost i nezavisnost dogadaja

2 Zadaci

3 Formula potpune vjerojatnosti

4 Bayesova formula

5 Zadaci



Monty Hall problem - ”Koze i auto” I

Pretpostavite da igrate igru u kojoj birate izmedu trojih vrata(oznacimo ih vrata Br. 1, vrata Br. 2 i vrata Br. 3). Iza jednihvrata je auto, a iza preostalih dvojih vrata nalaze se koze. Akoizaberete prva vrata, voditelj igre, koji zna iza kojih vrata se nalaziauto, otvorit ce ili druga ili treca vrata - primjerice treca vrata izakojih on zna da se nalazi koza. Nakon toga ce vas pitati: ”Zelite lipromjeniti vas izbor, tj. izabrati druga po redu vrata?”. Hocete lipromjeniti izbor? Zasto?



Monty Hall problem - ”Koze i auto” II

(a) Pocetni izbor (b) Potez voditelja



Monty Hall problem - ”Koze i auto” III

(c) Vjerojatnosti bez sudjelo-vanja voditelja

(d) Vjerojatnosti sa sudjelovan-jem voditelja



Osnovni pojmovi

Vjerojatnosni prostor (Ω,P(Ω),P) je precizno definiranmatematicki model slucajnog pokusa u cijim okvirima svakomdogadaju A ⊆ Ω pridruzujemo njegovu vjerojatnost.

Ako pretpostavimo da se tijekom provodenja slucajnog pokusarealizirao neki dogadaj B, tada ta informacija moze uzrokovatipromjenu vjerojatnosti ostalih dogadaja vezanih uz taj pokus.

Ako se radi o promjeni vjerojatnosti dogadaja vjerojatnosniprostor (Ω,P(Ω),P) postaje neadekvatan model nasegslucajnog pokusa te zato pokusu pridruzujemo novimatematicki model.



Primjer 1.

Promotrimo slucajan pokus koji se sastoji od bacanja pravilnoizradene igrace kockice. Odredimo:

a) vjerojatnost da je rezultat bacanja kockice neparan broj,

b) vjerojatnost da je rezultat bacanja kockice prost broj,

c) vjerojatnost da je rezultat bacanja kockice neparan broj ako jepoznato da je rezultat prost broj.



Rjesenje: prostor elementarnih dogadaja je skup

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

a) A = rezultat bacanja kockice je neparan broj = 1, 3, 5.Prema klasicnoj definiciji vjerojatnosti slijedi:

P(A) =k(A)

k(Ω)=

3

6=

1

2.

b) B = rezultat bacanja kockice je prost broj = 2, 3, 5.Prema klasicnoj definiciji vjerojatnosti slijedi:

P(B) =k(B)

k(Ω)=

3

6=

1

2.



c) Pretpostavimo da je rezultat bacanja kockice prost broj, tj. dase realizirao jedan od elemenata skupa B. Ova informacijamijenja nas stupanj uvjerenja da je rezultat bacanja kockiceneparan broj, tj. da se realizirao dogadaj A. Prije oveinformacije znali smo da se pri bacanju kockice moze realiziratibilo koji element skupa Ω. Ova dodatna informacija ukazujena cinjenicu da se moze realizirati samo neki element skupa B(tj. da rezultat pokusa moze biti samo prost neparan broj), paskup B preuzima ulogu prostora elementarnih dogadaja.Prema tome, ako znamo da se pri bacanju kockice realiziraoprost broj, dogadaj A ce se dogoditi samo ako se pri bacanjurealizira ili broj 3 ili broj 5. Dakle, dogadaj C je sljedeci:

C = 3, 5 = A ∩ B.



Primjenom klasicne definicije vjerojatnosti sa skupom B kaoprostorom elementarnih dogadaja slijedi:

P(C ) =k(A ∩ B)

k(B)=

k(A ∩ B)

k(Ω)

k(B)

k(Ω)

=P(A ∩ B)

P(B)= P(A|B).

U nasem slucaju je

P(A|B) =k(A ∩ B)

k(B)=

2

3.



Napomena 1.

Vjerojatnost P(A|B) nazivamo vjerojatnost dogadaja A uz uvjet dase dogodio dogadaj B.

Definicija 1.

[Uvjetna vjerojatnost] Neka je dan vjerojatnosni prostor(Ω,F ,P) i dogadaj B ∈ F koji ima pozitivnu vjerojatnost, tj.P(B) > 0. Funkcija P(· | B) definirana na F izrazom

P(A | B) =P(A ∩ B)

P(B), A ∈ F , (1)

je uvjetna vjerojatnost uz uvjet da se dogodio dogadaj A.



Napomena 2.

[Nezavisnost dogadaja] Ako su A i B moguci ishodi nekogslucajnog pokusa smatramo ih nezavisnima ako vjerojatnostrealizacije dogadaja A ne ovisi o realizaciji dogadaja B, tj. akovrijedi

P(A|B) = P(A),

i obrnuto, tj. P(B|A) = P(B).

Definicija 2.

[Nezavisnost dogadaja] Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosniprostor. Kazemo da su dogadaji A,B ∈ F nezavisni ako vrijedi:

P(A ∩ B) = P(A) · P(B).



Zadatak 1.

Slucajan pokus sastoji se od bacanja pravilno izradenog novcica triputa za redom. Zelimo naci vjerojatnost dogadaja A uz danidogadaj B kada su A i B sljedeci dogadaji:

A - glava je pala vise puta nego pismo,

B - prvo je palo pismo.

Rjesenje: P(A|B) =1

4.



Zadatak 2.

Iz kutije u kojoj se nalazi m crvenih i n zelenih kuglica na slucajannacin izvuceno je k kuglica. Uz pretpostavku da su sve izvucenekuglice iste boje, kolika je vjerojatnost da su sve zelene?

Rjesenje: P(A|B) =

(nk

)(mk

)+(nk

).



Zadatak 3.

Slucajan pokus sastoji se od slucajnog odabira obitelji koja imadvoje djece (uz pretpostavku da su vjerojatnosti rodenja kcerke isina jednake (sto priblizno odgovara stvarnoj situaciji), te daznamo redoslijed radanja djece u obitelji). Treba provjeriti jesu lisljedeci dogadaji nezavisni:

A = u obitelji je barem jedna kcerka,B = u obitelji su jedna kcerka i jedan sin.

Rjesenje: A i B nisu nezavisni dogadaji.



Formula potpune vjerojatnosti

Formulu potpune vjerojatnosti primjenjujemo kada se dogadaj Amoze realizirati samo zajedno s jednim od dogadaja H1,H2, . . .,koji su medusobno disjunkni i u uniji cine citav prostorelementarnih dogadaja Ω.

Definicija 3.

Konacna ili prebrojiva familija dogadaja (Hi , i ∈ I ), I ⊆ N, uvjerojatnostnom prostoru (Ω,F ,P) je potpun sustav dogadajaako vrijedi:

1 Hi 6= ∅ za sve i ∈ I ,

2 Hi ∩ Hj = ∅ za sve i 6= j , i , j ∈ I ,

3⋃i∈N

Hi = Ω.



Napomena 3.

Potpun sustav dogadaja cini jednu particiju skupa elementarnihdogadaja Ω. U slucaju particije skupa Ω na n skupova, potpunsustav dogadaja je konacna familija (Hi , i ∈ I ),I = 1, . . . , n ⊂ N.

Napomena 4.

Elemente potpunog sustava dogadaja zovemo hipotezama. Vrloje vazno imati na umu da se hipoteze medusobno iskljucuju(disjunktne su) i da se u svakom izvodenju slucajnog pokusa tocnojedna od njih mora dogoditi.



Teorem 1.

Formula potpune vjerojatnosti Neka je (Ω,F ,P)vjerojatnosni prostor i (Hi , i ∈ I ), I ⊆ N, potpun sustav dogadajana njemu. Tada za proizvoljan dogadaj A ∈ F vrijedi

P(A) =∑i∈I

P(A | Hi )P(Hi ). (2)



Zadatak 4.

Cilj se gada iz tri topa. Topovi pogadaju cilj nezavisno jedan oddrugoga s vjerojatnoscu 0.4. Ako tocno jedan top pogodi ciljunistava ga s vjerojatnoscu 0.3, ako ga pogode tocno dva topaunistavaju ga s vjerojatnoscu 0.7, a ako ga pogode sva tri topaunistavaju ga s vjerojatnoscu 0.9. Nadite vjerojatnost unistenjacilja.

Rjesenje: P(A) = 0.3888.



Zadatak 5.

Imamo dvije kutije. U prvoj se nalazi a bijelih i b crnih kuglica, a udrugoj c bijelih i d crnih kuglica. Iz prve kutije na slucajan nacinbiramo k kuglica, a iz druge m kuglica. Ovih (k + m) kuglicaizmijesamo i stavimo u trecu kutiju.

a) Iz trece kutije na slucajan nacin izvucemo tocno jednu kuglicu.Kolika je vjerojatnost da ona bude bijele boje?

b) Iz trece kutije na slucajan nacin izvucemo tocno tri kuglice.Kolika je vjerojatnost da je barem jedna kuglica bijele boje?

Rjesenje: a) P(A) = 1k+m

(aka+b + cm

c+d

); b) Pomocu FPV

odrediti vjerojatnost suprotnog dogadaja.



Zadatak 6.

Na usmenom ispitu iz Uvoda u vjerojatnost i statistiku ponudenoje 10 pitanja od kojih je student naucio njih n, 0 ≤ n ≤ 10.Student ce poloziti ispit ako bude tocno odgovorio na dva slucajnoodabrana pitanja ili ako tocno odgovori na jedno od njih i na trece,dodatno postavljeno pitanje. Na koliko pitanja student treba znatitocno odgovoriti da bi s vjerojatnoscu vecom od 0.8 polozio ispit?

Rjesenje: Student treba znati tocno odgovoriti na bar

sedam pitanja.



Zadatak 7.

Koristeci uvjetnu vjerojatnost i formulu potpune vjerojatnostinapravite matematicku formulaciju Monty-Hall problema. Rijesiteproblem i opravdajte intuiciju s pocetka vjezbi.

Rjesenje: Igrac bi trebao promijeniti pocetni izbor.



Bayesova formula I

Pretpostavimo da nam je zadan potpun sustav dogadaja(Hi , i ∈ I ), I ⊆ N, te da su nam poznate vjerojatnosti svihhipoteza Hi , i ∈ I .

Nadalje pretpostavimo da je pokus izveden i da se realiziraodogadaj A.

Uvjetne vjerojatnosti dogadaja A uz svaku od hipoteza Hi ,dakle vjerojatnosti P(A|Hi ), i ∈ I , takoder su nam poznate.

Sada je prirodno postaviti pitanje o iznosu vjerojatnostihipoteza Hi , i ∈ I , nakon izvodenja pokusa, tj. uz poznatucinjenicu da se realizirao dogadaj A. Dakle, zanimaju nasuvjetne vjerojatnosti P(Hi |A), i ∈ I .



Bayesova formula II

Teorem 2.

Bayesova1 formula: Neka je (Hi , i ∈ I ), I ⊆ N, potpunsustav dogadaja na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F ,P) i neka jeA ∈ F dogadaj s pozitivnom vjerojatnosti, tj. P(A) > 0. Tada zasvaki i ∈ I vrijedi:

P(Hi | A) =P(Hi )P(A | Hi )

P(A). (3)

1Thomas Bayes (1702. - 1761.), britanski matematicar.asistenti: Ivona Puljic i Nenad Suvak Uvod u vjerojatnost i statistiku


Zadaci

Zadatak 8.

Ptica slijece u slucajno izabrano gnijezdo od ukupno tri gnijezdakoja su joj na raspolaganju. Svako gnijezdo sadrzi dva jaja i to: uprvom gnijezdu su oba jaja zdrava, u drugom je jedno zdravo ijedan mucak, a u trecem su oba jaja mucka. Nadite vjerojatnostda ptica sjedi na mucku. Ako je sjela na mucak, kolika jevjerojatnost da sjedi u drugom gnijezdu?

Rjesenje: P(H2|A) =1

3.



Zadatak 9.

Neki izvor emitira poruke koje se sastoje od znakova 0 i 1.Vjerojatnost emitiranja znaka 1 je 0.6, a vjerojatnost emitiranjaznaka 0 je 0.4. Na izlazu iz komunikacijskog kanala 10% znakovase pogresno interpretira. Ako je primljena poruka 101, kolika jevjerojatnost da je ona i poslana?

Rjesenje: P(D) = 0.743.



Zadatak 10.

Iz kutije u kojoj se nalazi n kuglica na slucajan nacin izvlacimojednu kuglicu. Kolika je vjerojatnost da ce ta kuglica biti bijela,ako su sve pretpostavke o prethodnom broju kuglica u kutijijednako vjerojatne? Nakon sto je izvucena bijela kuglica, kolika jevjerojatnost da su sve kuglice u kutiji bijele?

Rjesenje: P(Hn|A) = 2n+1.



Zadatak 11.

Neka su A i B dvije pravilno izradene igrace kocke. Kocka A ima 2plave i 4 zute strane, a kocka B ima 5 plavih i 1 zutu stranu. Bacase nepravilno izraden novcic kod kojeg se glava realizira svjerojatnoscu 1

3 , a pismo s vjerojatnoscu 23 . Ako se pojavi glava,

baca se kocka A, a ako se pojavi pismo baca se kocka B.

a) Izracunajte vjerojatnost da se pri bacanju kocke pojavi plavaboja.

b) Slucajan pokus ponavljamo n puta nezavisno (prvo bacamonovcic, a zatim odgovarajucu kocku). Ako se u n bacanjaplava boja pojavila n puta, izracunajte vjerojatnost da jekocka A bacena bar jednom.

Rjesenje: a) P(A) = 23, b) P(B|An) = 1−

(56

)n.


Documents

Uvod u vjerojatnost i statistiku - Odjel za matematiku · Uvjetna vjerojatnost i nezavisnost dogadajaZadaciFormula potpune vjerojatnostiBayesova formulaZadaci Uvod u vjerojatnost