Vajda István - Óbudai Egyetem · 2012. 9. 24. · Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások˝ 2012. szeptember 24. 2 / 8. Halmazok Halmazok A halmazalapfogalom, tehát

Analízis eloadások

Vajda István

Neumann János Informatika KarÓbudai Egyetem

2012. szeptember 24.

Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 24. 1 / 8

Halmazok

Halmazok

A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk.

Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetuvel jelöljük

Egy H halmazt akkor tekintünk adottnak, ha bármely pontosanmeghatározott dologról el tudjuk dönteni, hogy eleme-e H-nak.

Definíció: A H1 és H2 halmazok egyenlok, ha ugyanazok az elemeik.

Jelölés: H1 = H2

Definíció: Ha a H1 halmaz minden eleme a H2 halmaznak is eleme, akkora H1 halmazt H2 részhalmazának nevezzük.

Jelölés: H1 ⊆ H2


Halmazok

Halmazok





Jelölés: H1 = H2




Halmazok

Halmazok





Jelölés: H1 = H2




Halmazok

Halmazok





Jelölés: H1 = H2




Halmazok

Halmazok





Jelölés: H1 = H2




Halmazok

Halmazok

Definíció: A H1 halmaz valódi részhalmaza a H2 halmaznak, ha H1 ⊆ H2

és H1 , H2

Jelölés: H1 ⊂ H2

Definíció: Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs üres halmaznaknevezzük.

Jelölés: ∅ vagy { }

Megjegyzések:

Csak egy üres halmaz van.

Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza.

Definíció: A H halmazt végesnek nevezzük, ha véges sok eleme van.Ellenkezo esetben végtelen halmazról beszélünk.


Halmazok

Halmazok


és H1 , H2




Megjegyzések:





Halmazok

Halmazok


és H1 , H2




Megjegyzések:





Halmazok

Halmazok


és H1 , H2




Megjegyzések:





Halmazok

Halmazok

Egy halmazt megadhatunk

elemeinek felsorolásávalpl. {Budapest,Róma,Párizs}

az elemeit jellemzo tulajdonságok leírásávalpl. {n | n ∈ N, n > 3}

Néhány gyakran eloforduló számhalmaz jelölésére külön szimbólumotvezettek be.Pl.: N, Z, Q, R

A halmazokat gyakran zárt síkgörbeáltal határolt síkidomokkal szemléltetjük(Venn-diagram):


Halmazok

Halmazok







Halmazok

Halmazok







Halmazok

Halmazok







Halmazok

Halmazmuveletek

Definíció: Az A és B halmazok egyesítésén (unióján) azt a halmazt értjük,amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek az A és Bhalmazok legalább egyikének elemei.

Jelölés: A ∪ B


Halmazok

Halmazmuveletek


Jelölés: A ∪ B

A B


Halmazok

Halmazmuveletek


Jelölés: A ∪ B

A ∪ B


Halmazok

Halmazmuveletek

Definíció: Az A és B halmazok közös részén (metszetén) azt a halmaztértjük, amelyet azok és csak azok az elemek alkotnak, amelyek A -nak isés B-nek is elemei.

Jelölés: A ∩ B


Halmazok

Halmazmuveletek


Jelölés: A ∩ B

A B


Halmazok

Halmazmuveletek


Jelölés: A ∩ B

A ∩ B


Halmazok

Halmazmuveletek

Definíció: Az A és B halmazok különbségén (differenciáján) azt a halmaztértjük, amely azokat és csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyekA -nak elemei, de B-nek nem elemei.

Jelölés: A \ B


Halmazok

Halmazmuveletek


Jelölés: A \ B

A B


Halmazok

Halmazmuveletek


Jelölés: A \ B

A \ B


Halmazok

Halmazmuveletek

Definíció: Az A és B Descartes szorzatán az

A × B ={(a, b) | a ∈ A , b ∈ B

}halmazt értjük, azaz a Descartes szorzat azokat és csak azokat arendezett párokat tartalmazza, amelyek elso eleme eleme A -nak, másodikeleme pedig eleme B-nek.

Példa: Ha A = {a, b} és B = {1, 2, 3}, akkor

A × B ={(a, 1) , (a, 2) , (a, 3) , (b , 1) , (b , 2) , (b , 3)

}


Halmazok

Halmazmuveletek

Definíció: Az A és B Descartes szorzatán az

A × B ={(a, b) | a ∈ A , b ∈ B

}halmazt értjük, azaz a Descartes szorzat azokat és csak azokat arendezett párokat tartalmazza, amelyek elso eleme eleme A -nak, másodikeleme pedig eleme B-nek.

Példa: Ha A = {a, b} és B = {1, 2, 3}, akkor

A × B ={(a, 1) , (a, 2) , (a, 3) , (b , 1) , (b , 2) , (b , 3)

}


Valós számok

Valós számok

A valós számok halmazán értelmezett két muvelet, az összeadás és aszorzás, a következo tulajdonságokkal:

Az összeadásKommutatív

∀a, b ∈ R : a + b = b + a

Asszociatív

∀a, b , c ∈ R : (a + b) + c = a + (b + c)

A szorzásKommutatív

∀a, b ∈ R : ab = ba

Asszociatív∀a, b , c ∈ R : (ab) c = a (bc)


Valós számok

Valós számok



∀a, b ∈ R : a + b = b + a

Asszociatív

∀a, b , c ∈ R : (a + b) + c = a + (b + c)


∀a, b ∈ R : ab = ba



Valós számok

Valós számok



∀a, b ∈ R : a + b = b + a

Asszociatív

∀a, b , c ∈ R : (a + b) + c = a + (b + c)


∀a, b ∈ R : ab = ba



Valós számok

Valós számok



∀a, b ∈ R : a + b = b + a

Asszociatív

∀a, b , c ∈ R : (a + b) + c = a + (b + c)


∀a, b ∈ R : ab = ba



Valós számok

Valós számok



∀a, b ∈ R : a + b = b + a

Asszociatív

∀a, b , c ∈ R : (a + b) + c = a + (b + c)


∀a, b ∈ R : ab = ba



Valós számok

Valós számok

A valós számok halmazának van

zéruseleme, azaz olyan 0 ∈ R szám, hogy

∀a ∈ R : a + 0 = a

egységeleme, azaz olyan 1 ∈ R szám, hogy

∀a ∈ R : a · 1 = aA valós számok halmazában

∀a ∈ R esetén ∃a∗ ∈ R szám, hogy a + a∗ = 0, azaz minden valósszámnak létezik ellentettje.Jelölés: −a

∀a ∈ R \ {0} esetén ∃a∗∗ ∈ R szám, hogy a · a∗∗ = 1, azaz mindennullától különbözo valós számnak létezik reciproka.

Jelölés:1a


Valós számok

Valós számok



∀a ∈ R : a + 0 = a





Jelölés:1a


Valós számok

Valós számok



∀a ∈ R : a + 0 = a





Jelölés:1a


Valós számok

Valós számok



∀a ∈ R : a + 0 = a





Jelölés:1a


Valós számok

Valós számok

A valós számok halmazában értelmezheto a < szigorú rendezési reláció,amelyre teljesülnek a következo tulajdonságok:

∀a, b ∈ R esetén az a < b, a = b, b < a relációk közül pontosan egyteljesül. (Trichotomia)

∀a, b , c ∈ R esetén, ha a < b és b < c teljesül, akkor a < c is igaz.(Tranzitív tulajdonság)

∀a, b , c ∈ R esetén, ha a < b, akkor a + c < b + c is teljesül.

∀a, b , c ∈ R esetén, ha a < b és 0 < c, akkor ac < bc is teljesül.


Valós számok

Valós számok







Valós számok

Valós számok







Valós számok

Valós számok







Valós számok

Valós számok







Valós számok

Valós számok

Archimedesi axióma:

∀a ∈ R esetén ∃n ∈ N, amelyre a < n

Következmények:

∀ε > 0 valós számhoz ∃n ∈ N, amelyre1n< ε.

Tetszoleges K és ε pozitív valós számokhoz létezik olyan n ∈ N,amelyre nε > K .


Valós számok

Valós számok



Következmények:




Valós számok

Valós számok



Következmények:




Valós számok

Valós számok

Definíció: Egy A ⊆ R számhalmazt felülrol korlátosnak nevezünk, ha∃K ∈ R, hogy ∀a ∈ A esetén a ≤ K .Megjegyzések:

A K számot az A halmaz felso korlátjának nevezzük.

Ha K felso korlátja A -nak, akkor minden K -nál nagyobb valós szám isfelso korlátja A -nak.(Ha A -nak létezik felso korlátja, akkor végtelen sok felso korlátja islétezik.)

Definíció: Ha az L szám felso korlátja az A ⊆ R halmaznak és ∀L ′ < Lesetén ∃a ∈ A , amelyre L ′ < a, akkor L -t az A halmaz legkisebb felsokorlátjának (felso határának, szupremumának) nevezzük.Jelölés: sup A


Valós számok

Valós számok






Valós számok

Valós számok






Valós számok

Valós számok






Valós számok

Valós számok

Definíció: Egy A ⊆ R számhalmazt alulról korlátosnak nevezünk, ha∃k ∈ R, hogy ∀a ∈ A esetén a ≥ k .Megjegyzések:

A k számot az A halmaz alsó korlátjának nevezzük.

Ha k alsó korlátja A -nak, akkor minden k -nál kisebb valós szám isfelso korlátja A -nak.(Ha A -nak létezik alsó korlátja, akkor végtelen sok alsó korlátja islétezik.)

Definíció: Ha az l szám alsó korlátja az A ⊆ R halmaznak és ∀l′ > l esetén∃a ∈ A , amelyre l′ > a, akkor l-t az A halmaz legnagyobb alsó korlátjának(alsó határának, infimumának) nevezzük.Jelölés: inf A


Valós számok

Valós számok






Valós számok

Valós számok






Valós számok

Valós számok






Valós számok

Valós számok

Definíció: Az A ⊆ R halmazt korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülrolis korlátos.

Teljességi axióma:

Ha az A ⊂ R halmaz felülrol korlátos, akkor létezik legkisebb felso korlátja,ha alulról korlátos, akkor létezik legnagyobb alsó korlátja.


Valós számok

Valós számok

Definíció: Az A ⊆ R halmazt korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülrolis korlátos.

Teljességi axióma:

Ha az A ⊂ R halmaz felülrol korlátos, akkor létezik legkisebb felso korlátja,ha alulról korlátos, akkor létezik legnagyobb alsó korlátja.


Nevezetes egyenlotlenségek

Bernoulli-egyenlotlenség

Tétel: Ha a ≥ −1 valós szám és n ∈ N, akkor

(1 + a)n≥ 1 + na

Bizonyítás: (Teljes indukcióval:) par n = 0 esetén igaz (Mindkét oldal

egyenlo 1-gyel)

Ha n = k esetén igaz, akkor n = k + 1 esetén is igaz:

(1 + a)k+1 = (1 + a)k (1 + a) ≥ (1 + ka) (1 + a) =

= 1 + ka + a + ka2 ≥ 1 + (k + 1) a





(1 + a)n≥ 1 + na


egyenlo 1-gyel)


(1 + a)k+1 = (1 + a)k (1 + a) ≥ (1 + ka) (1 + a) =

= 1 + ka + a + ka2 ≥ 1 + (k + 1) a





(1 + a)n≥ 1 + na


egyenlo 1-gyel)


(1 + a)k+1 = (1 + a)k (1 + a) ≥ (1 + ka) (1 + a) =

= 1 + ka + a + ka2 ≥ 1 + (k + 1) a



Az általánosított Bernoulli-egyenlotlenség

Tétel: Ha ak ≥ −1 valós szám minden k ∈ {1, 2, . . . , n}, n ∈ N esetén, ésa1, a2, . . . , an azonos elojeluek, akkor

n∏k=1

(1 + ak ) ≥ 1 +n∑

k=1

ak


egyenlo 1-gyel)


n+1∏k=1

(1 + ak ) =

n∏k=1

(1 + ak )

(1 + an+1) ≥

1 +n∑

k=1

ak

(1 + an+1) =

1 +n∑

k=1

ak + an+1 +

n∑k=1

ak

an+1 ≥ 1 +n+1∑k=1

ak





n∏k=1

(1 + ak ) ≥ 1 +n∑

k=1

ak


egyenlo 1-gyel)


n+1∏k=1

(1 + ak ) =

n∏k=1

(1 + ak )

(1 + an+1) ≥

1 +n∑

k=1

ak

(1 + an+1) =

1 +n∑

k=1

ak + an+1 +

n∑k=1

ak

an+1 ≥ 1 +n+1∑k=1

ak





n∏k=1

(1 + ak ) ≥ 1 +n∑

k=1

ak


egyenlo 1-gyel)


n+1∏k=1

(1 + ak ) =

n∏k=1

(1 + ak )

(1 + an+1) ≥

1 +n∑

k=1

ak

(1 + an+1) =

1 +n∑

k=1

ak + an+1 +

n∑k=1

ak

an+1 ≥ 1 +n+1∑k=1

ak



A számtani és a mértani közép közötti egyenlotlenség

Tétel: Ha a1, a2, . . . , an pozitív valós számok, akkor

a1 + a2 + . . .+ an

n≥

n√a1a2 · . . . · an

és a két oldal csak akkor egyenlo, ha a1 = a2 = . . . = an.



A mértani és a harmonikus közép közötti egyenlotlenség

Tétel: Ha a1, a2, . . . , an pozitív valós számok, akkor

n√a1a2 · . . . · an ≥n

1a1

+ 1a2

+ . . .+ 1an

és a két oldal csak akkor egyenlo, ha a1 = a2 = . . . = an.


Relációk, függvények


Definíció: Legyen R ⊆ A × B. Ekkor az R halmazt az (A ,B) halmazpáronértelmezett kétváltozós (bináris) relációnak nevezzük.

Jelölés: (A ,B;R), illetve (ha nem okoz félreértést) röviden R.

Példa: Ha A = {a, b} és B = {1, 2, 3}, akkorR =

{(a, 2) , (a, 3) , (b , 1) , (b , 2)

}bináris reláció az (A ,B) halmazpáron.

Ha (a, b) ∈ R ⊆ A × B, akkor a és b relációban van egymással. Ha(a, b) < R ⊆ A × B, akkor a és b nincs relációban egymással.

Jelölés: aRb, illetve aR/b.







{(a, 2) , (a, 3) , (b , 1) , (b , 2)










{(a, 2) , (a, 3) , (b , 1) , (b , 2)










{(a, 2) , (a, 3) , (b , 1) , (b , 2)










{(a, 2) , (a, 3) , (b , 1) , (b , 2)







Definíció: Tekintsük az (A ,B;R) relációt. Az A halmazt a reláció indulási,a B halmazt a reláció érkezési halmazának nevezzük.

Definíció: Tekintsük az (A ,B;S) relációt. A DS = {a | a ∈ A ,∃b ∈ B : aSb}halmazt a reláció értelmezési tartományának, azRS = {b | b ∈ B ,∃a ∈ A : aSb} halmazt a reláció értékkészleténeknevezzük.

Definíció: Az (A ,B;R) bináris relációt parciális leképezésnek (parciálisfüggvénynek) nevezzük, ha bármely a ∈ A -hoz legfeljebb egy olyan b ∈ Blétezik, amelyre aRb.

Definíció: Az (A ,B;R) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármelya ∈ A -hoz pontosan egy olyan b ∈ B létezik, amelyre aRb.

Megjegyzés: Tehát a függvények indulási halmaza és értelmezésitartománya megegyezik.


































Documents

Vajda István - Óbudai Egyetem · 2012. 9. 24. · Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások˝ 2012. szeptember 24. 2 / 8. Halmazok Halmazok A halmazalapfogalom, tehát