Ao de Ondas junto Costa

Valentini, E. 1

Profa Enise ValentiniD.Sc. Engenharia Costeirarea de Engenharia Costeira & OceanogrficaDepartamento de Recursos Hdricos e Meio Ambiente DRHIMAEscola Politcnica - UFRJenise@ufrj.br

Leitura Recomendada

Longuet-Higgins, M. S. (1964) - Radiation Stresses in Water Waves: a Physical Discussion with Applications Deep-Sea Research, vol 11, pp 529-562.

Longuet-Higgins, M. S. (1970) - Longshore Current Generated by Obliquely Incident Sea Waves, part I & part II - Journal of Geophysical

Valentini, E. 2

Obliquely Incident Sea Waves, part I & part II - Journal of Geophysical Research, vol 75, n. 33, pp 6779-6801, nov/1970.

Perfis de Onda Linear e de Segunda Ordem

Valentini, E. 3

( )( ) ( ) ( )

2

3

coshcos 2 cosh 2 cos 2

4 sinhkhka

a khkh

= + +

Termo de 1a ordem

Termo de 2a ordem

Valentini, E. 4

( ) ( ) ( ) ( )tkxkhgkatkxkh

zhkagktxu

z

++

=

=

222

0

costanhcoscosh

cosh,,

Ento,

Se:

Valentini, E. 5

A onda assimtrica, o campo de velocidades orbitais tambm assimtrico.O fluido se move mais rapidamente quando na crista da onda do que na cava.

Gera um movimento residual no sentido da propagao da onda.

( ) ( )u xT

u x t dta k CT

, , , = =1

2

2 2

0

A velocidade mdia :

A velocidade mdia dos movimentos horizontais da partcula na superfcie livre :

Diferente de zero

Diferente de zeroDiferente de zero

Valentini, E. 6

Diferente de zero Positiva

Isto significa que h um fluxo no sentido de propagao da onda, e conseqentemente: Fluxo de massa Fluxo de quantidade de movimento.

Com isso o fluxo de massa resulta em:

CEkgaTagk

Tadtdzu

TM

T

h

=

=

==

2

0 21

21&

Valentini, E. 7

Esse resultado devido s oscilaes da superfcie Esse resultado devido s oscilaes da superfcie livre em torno do nvel mdio !livre em torno do nvel mdio !

Fluxo de Quantidade de Movimento

O fluxo de quantidade de movimento atravs de uma superfcie de controle vertical, do fundo (z = -h) at a

00

FMSe

Valentini, E. 8

superfcie de controle vertical, do fundo (z = -h) at a superfcie livre (z = ), por unidade de largura de crista e promediado no perodo da onda, :

( ) ( )F u u= =

u dST

u dz dtSC h

T11

0

Ou

1 1 120

20

0

2

00Tu dz dt

Tu dz dt

Tu dz dt

h

T

h

T T

= + =

[ ]Tk011

gCMEn

==F

Valentini, E. 9

( )[ ]

( )dttkxagkaT

dzzhhTkh

kag

T

T

h

+++=

0

32

02

cos1

12cosh22sinh2

11

= 0

Se h um fluxo de Se h um fluxo de quantidade de movimento quantidade de movimento na direo de propagao na direo de propagao da onda, haver uma da onda, haver uma FORA para equilibrFORA para equilibr--lo. lo.

Anlise da Fora ResultanteSistema de Referncia

Trata-se de uma fora na direo de propagao da onda que pode ser definida atravs das componentes horizontais nas direes do raio da ondaraio da onda e da crista da ondacrista da onda.

A direo de propagao da onda vista pela costa como um ngulo de ataquengulo de ataque . Assim, tem-se o seguinte esquema de referncia:

Crista da onda

Valentini, E. 10

Linha de Costa

Raio da ondaParalela LC

Normal LC

ngulo de Ataque

Anlise da Fora Resultante: Natureza dos Esforos

Devido s tenses na superfcie livre (Fs ) Devido presso (Fp )

Na direo de propagao da onda existem os seguintes esforos:

Valentini, E. 11

Devido presso (Fp ) Devido s tenses no fundo (Ff )

gSFp CMFFF &=++Efeitos meteorolgicos na Efeitos meteorolgicos na SL desprezados.SL desprezados.

Anlise da Fora Resultante: Natureza dos Esforos

Devido s tenses na superfcie livre (Fs ) Devido presso (Fp ) Devido s tenses no fundo (Ff )

Depende do escamentoe, como se trata de um esforo

tangencial, funo deAmbos dependem Ambos dependem

Valentini, E. 12

( )20 ufdzzgFFFh

DHp +=+=

Presso esttica

Presso dinmica

Depende do escamentoe, como se trata de um esforo

normal, funo de ui ui

tangencial, funo de ui ujAmbos dependem Ambos dependem do produto das do produto das componentes de componentes de velocidadevelocidade

Tenso de Radiao (2D)

( ) ( ) ijT

h

T

h

T

hjiij dtdzzT

dtdzzpT

dtdzuuT

S

+=

0 0 0

111

Fluxo Qt. Movimento Presso Total

LonguetLonguet--Higgins definiu a tenso de radiao na seguinte forma:Higgins definiu a tenso de radiao na seguinte forma:

Valentini, E. 13

iji ji j=

=

10

Fluxo Qt. Movimento Presso Total Presso Esttica

cc

rr

yyyx

xyxx

SS

SSSS

00

==S

No plano principal s No plano principal s h tenso normalh tenso normal

Graficamente,

c: Crista da Onda = normal direo de propagao

r : Raio da Onda = direo y : Paralela LC

Valentini, E. 14

Linha de Costa

r : Raio da Onda = direo propagao da onda

x : Normal LC

ngulo de Ataque

Ou seja,

c: Crista da onda = normal direo de propagao

y : Paralela LC

SScc

rr

SS0

0=S

Valentini, E. 15

Linha de Costa

r : Raio da onda = direo propagao da onda

x : Normal LC

ngulo de Ataque

yyyx

xyxx

SSSS

=S

Representao espacial dos componentes da tenso de radiao

Tenses Normais no plano secundrio

Tenses Tangenciais

y

Sxx

Sxyr

c

Valentini, E. 16

Tenses Normais do plano principal

Tenses Tangenciais no plano secundrio

x Syy

Syx

ngulo de Ataque

Sxy

Scc

r

Linha de Costa

Componentes da Tenso de Radiao

No plano principal:

=

212nESrr

No plano secundrio:

( )

+=

211cos2 nESxx

Tenses Normais

Valentini, E. 17

=

21

nEScc

0== crrc SS

( )

+=

211sin2 nES yy

cossinnESS yxxy ==

Tenses Normais

Tenses Tangenciais

Efeitos junto costa dos componentes normais da tenso de radiao:

No plano principal:

=

212nESrr

=

21

nEScc

No plano secundrio:

( )

+=

211cos2nESxx

( ) += 11sin2nES

Valentini, E. 18

=

2nEScc ( )

+=

211sin2nES yy

Tenso NormalTenso Normal

Rebaixamento do NM Rebaixamento do NM wave setdownwave setdownSobreSobre--elevao do NM elevao do NM wave setupwave setup

Variaes do NMRM por Ao de Ondas

A propagao das ondas em guas intermedirias em direo s guas rasas provoca alteraes na posio do NMM como uma compensao variao do fluxo de quantidade de movimento.

Esses efeitos esto relacionados s aes da tenso de radiao na direo normal LC, portanto Sxx ou Sxx.

( ) += 12

Valentini, E. 19

( )

+=

211cos2

''nES xx

E (energia da onda)(ngulo de ataque)n (coeficiente de

transmisso de energia)

Variam com a propagao da onda Variam com a propagao da onda nas proximidades da arrebentao.nas proximidades da arrebentao.

Portanto uma fora se desenvolve no Portanto uma fora se desenvolve no sentido de equilibrar o sistema.sentido de equilibrar o sistema.

y, c

x, r

SxxSxx + Sxx

dx

( )

+=

211cos 2nES xx

E, n e variam com h (x).

Variao de Sxx ao longo do perfil de praia

=

212nESrr

Valentini, E. 20

dx

h (x)SxxSxx + Sxx

x, r

RI 0Se xxS

Fora resultanteFluxo de Quant. Movimento

dIdx

dx Rx=

Seja I o fluxo de quantidade de movimento.Sua variao na direo de propagao da onda ser equilibrada por uma fora Rx resultante da variao do peso da coluna dgua.

( )dIdxddx

S g hxx= + +

12

2 ( )R g h dh dx= +

Valentini, E. 21

( )dx dx S g hxx= + + 2 ( )R g h dx dxx = +

( ) + =1

g hdSdx

ddx

xx

Se houver uma variao no componente Se houver uma variao no componente SSxxxx da da tenso de radiao, haver uma variao no NM.tenso de radiao, haver uma variao no NM.

Determinao da Equao do NM

A equao do nvel mdio determinada pela mdia das posies da superfcie livre.A posio da superfcie livre determinada atravs da aplicao da condio de contorno dinmica na superfcie livre, ou seja, mediante a equao de Bernoulli.A posio da superfcie livre desconhecida, mas pode ser

Valentini, E. 22

A posio da superfcie livre desconhecida, mas pode ser aproximada atravs da srie de Taylor em torno do ponto z = 0.A forma geral da srie de Taylor

( ) ( ) +

+

+=== 0

2

22

0

..

!21..

,0,..,,..zz

z

BEqz

BEqtxBEqtxBEq

Tomado a mdia temporal no perodo da onda,

( )tCzt

gzx

=

+

+

2

22

2

Retendo os termos at a segunda ordem.Tomado a mdia temporal no perodo da onda.

Equao do Nvel Mdio

Valentini, E. 23

( )tCzt

g =

+2

( ) ( )gtC

khka

tx +=2sinh2

,

2

Explicita-se o nvel mdio:= 0 p/ guas profundas

Rebaixamento do NM Wave Setdown

Existem vrias solues para a funo C(t). Em guas profundas, como a onda simtrica, C(t) e NM valem zero. medida que a onda se aproxima de guas rasas as no-linearidades

vo se tornando mais fortes e o valor do NM torna-se diferente de zero.

Valentini, E. 24

vo se tornando mais fortes e o valor do NM torna-se diferente de zero.

No incio, devido diminuio da altura da onda, seu valor torna-se negativo representando um rebaixamento do nvel mdio ( wave setdown ).

Rebaixamento do NM Wave Setdown

( ) ( ) 2/+= hxaPrximo arrebentao a amplitude da onda pode ser dada por:

onde = Hb/hb o coeficiente de arrebentao.

Valentini, E. 25

b b

Com isso a posio do nvel mdio :

164

2b

b

Hh

a ==

Para o caso de arrebentao progressiva, o ndice de arrebentao igual a 0,78 e o rebaixamento do NM antes da arrebentao da ordem de 5% da altura da onda.

Sobre-elevao do NM Wave Setup

Dentro da zona de arrebentao, i no domnio: 0 < x < xb, a equao geral do NM assume a seguinte soluo:

( ) + =1

g hdSdx

ddx

xx

1

Valentini, E. 26

S E nxx =

2

12

( ) ( ) 2/+= hxa78,0==

b

bh

H

ddx

dhdx

1

38

38

2 2

+

=

cteh ++

=

831

83

2

2

Substituindo:

??

cteh ++

=

831

83

2

2

( ) ( )[ ]xhhx bb +

+=8

318

32

2

Esta soluo determina que a posio do nvel mdio depende da altura da

Sempre > 0 !Sempre > 0 !

Valentini, E. 27

Esta soluo determina que a posio do nvel mdio depende da altura da onda (ou profundidade), e aumenta quanto mais se aproxima da costa.

Para a posio x =0, a altura da onda e a profundidade so igualmente nulas, e a sobre-elevao do nvel do mar junto costa (wave setup) da ordem de 19% da altura da onda incidente na arrebentao.

Resultados Experimentais de Rebaixamento e Sobre-elevao

Valentini, E. 28

Sobre-elevao do NM

Komar, 1976Komar, 1976

Representao espacial dos componentes da tenso de radiao

Tenses Normais no plano secundrio

Tenses Tangenciais

y

Sxx

Sxyr

c

Valentini, E. 29

Tenses Normais do plano principal

Tenses Tangenciais no plano secundrio

x Syy

Syx

ngulo de Ataque

Sxy

Scc

r

Linha de Costa

Componentes da Tenso de Radiao

No plano principal:

=

212nESrr

No plano secundrio:

( )

+=

211cos2 nESxx

Tenses Normais

Valentini, E. 30

=

21

nEScc

0== crrc SS

( )

+=

211sin2 nES yy

cossinnESS yxxy ==

Tenses Normais

Tenses Tangenciais

Anlise dos componentes tangenciais da tenso de radiao junto costa

No plano principal os componentes da tenso tangencial so dados por:

0== crrc SS

Valentini, E. 31

crrc

No plano plano principal no h tenso tangencial !No plano plano principal no h tenso tangencial !Quando que isso acontece ?Quando que isso acontece ?

>>> Quando o ataque de ondas for frontal !>>> Quando o ataque de ondas for frontal ! ou seja, quando ou seja, quando = 0= 0

Anlise dos componentes tangenciais da tenso de radiao junto costa

No plano secundrio os componentes da tenso tangencial so dados por:

Valentini, E. 32

== cossinnESS yxxy

Ou seja, existe o componente tangencial da tenso de Ou seja, existe o componente tangencial da tenso de radiao sempre que houver ataque oblquo de ondas.radiao sempre que houver ataque oblquo de ondas.

Refletindo

Quando deduzimos a tenso de radiao pudemos verificar que este um esforo oriundo de uma no-linearidade que a onda apresenta quando se aproxima de guas rasas.

Ou seja, essa no-linearidade se manifesta na forma de uma assimetria da onda que resulta num fluxo de quantidade de movimento na direo de propagao,

Valentini, E. 33

fazendo surgir outros esforos no sentido de equilibrar o sistema.

Portanto em todo o domnio onde a teoria linear for vlida, no haver manifestao da tenso de radiao.

Mas, na regio prxima costa, onde a teoria linear perde sua eficincia, os efeitos da tenso de radiao se manifestam.

Em guas Profundas

A onda no sente o fundo. A Teoria Linear vlida.

1

Valentini, E. 34

.cossin21

cteES oooxyo ==

0=

x

SoxyPortanto no h variao Portanto no h variao

da tenso de radiao !da tenso de radiao !

Em guas Intermedirias

Para profundidades menores que a metade do comprimento de onda (h < L / 2) inicia-se o processo de refrao alterando a forma e a velocidade de propagao da onda.

Pela Lei de Snell tem-se:

cte.sinsin

=

=

o

Valentini, E. 35

cte.sinsin

=

=

o

o

CC

oooobCbC

=

cossincossin

bCnEbCnE oooo =O fluxo de energia entre as

ortogonais constante.

cte.cossincossin == nEnE oooo

S

= Sxy

Ou seja,

Significa que o fluxo de energia se mantm durante a propagao da onda em direo costa.

Portanto no h variao Portanto no h variao

Valentini, E. 36

0=

x

Sxy

Isso razovel para a regio onde a onda Isso razovel para a regio onde a onda refratada, porm fora da zona de arrebentao.refratada, porm fora da zona de arrebentao.

Portanto no h variao Portanto no h variao da tenso de radiao !da tenso de radiao !

So vlidas as seguintes relaes:n = 1

C ghb b= = =H hb b cte.

m h x= E gHb b=

18

2

= pequeno.

Dentro da Zona de Arrebentao

Valentini, E. 37

hb

bbbxy gHS = cossin81 2A tenso longitudinal :

Repare que tanto Repare que tanto HHbb como como bb variam na ZA !variam na ZA !

Dentro da zona de arrebentao, toda a Dentro da zona de arrebentao, toda a energia da onda dissipada no prprio energia da onda dissipada no prprio processo de arrebentao, portanto o processo de arrebentao, portanto o

Valentini, E. 38

processo de arrebentao, portanto o processo de arrebentao, portanto o componente componente SSxyxy da tenso de radiao da tenso de radiao varia nessa regio. varia nessa regio.

{321

321 1sin

22

2

cossin

81

2

=

=

= b

C

b

bbb

b

bxy

o

o

Chgh

hHgS

Desenvolvendo, chega-se a:

Lei de SnellLei de SnellCoeficiente de arrebentaoCoeficiente de arrebentao

ngulo de ataque ngulo de ataque pequenopequeno

Valentini, E. 39

{0sin

165 2/32

=

=

o

o

m

bb

xy

Cg

x

hhgx

S

Existe uma variao da tenso longitudinal.Existe uma variao da tenso longitudinal.Portanto haver uma fora!Portanto haver uma fora!

Lei de SnellLei de Snell

Na Zona de Arrebentao a variao do componente longitudinal da tenso de radiao :

Isto significa que o fluxo de energia varia dentro da zona de arrebentao.

A cada perodo de onda (T ou ), a onda fornece um impulso na direo

o

o

bb

xy

Cgh

mhgx

S=

sin165 2

Valentini, E. 40

A cada perodo de onda (T ou ), a onda fornece um impulso na direo paralela linha de costa.

Essa contribuio chamada de Impulso da OndaImpulso da Onda (wave thrust).

esse impulso o responsvel pela gerao de uma corrente na direo paralela linha de costa, chamada de corrente longitudinalcorrente longitudinal ( ou longshore current).

Corrente Longitudinal

Na Zona de Arrebentao e na direo paralela praia atuam os seguintes esforos:

y: tenso motriza: tenso perdida por atrito

Valentini, E. 41

t: tenso turbulenta

y a t + = 0A equao de equilbrio :

y a t + = 0

Tenso motriz: funo do impulso da onda

Tenso Motriz

Valentini, E. 42

=

=

=

.)(0

sin165 2

arrebdezonadafora

Chg

mhg

x

S oo

bb

xyy

y a t + = 0

vuc =Tenso de atrito: definida pelo modelo de Prandtl

Tenso de Atrito

Valentini, E. 43

vuca =c = coef. atrito = f / 8f = coef. Darcy-Weisbach

{u uH g

hHh

ghh

ghm x= = = ==

2 22

11

2

pi pi

pi

pi

cos

Velocidade da correnteVelocidade da corrente

Componente horizontal da velocidade orbitalComponente horizontal da velocidade orbital

y a t + = 0Tenso turbulenta: definida pelo modelo de viscosidade turbulenta e (eddy viscosity).

Tenso Turbulenta

Valentini, E. 44

Velocidade da correnteVelocidade da corrente

Coef. Difuso TurbulentaCoef. Difuso Turbulenta

t ex hv

x=

e N x gh=

Desprezando (por enquanto) a tenso turbulenta, a equao de equilbrio fica dada por:

0= aySubstituindo as expresses das tenses de atrito e motriz, vem:

5 fhg

Velocidade da corrente no ponto de arrebentao

Valentini, E. 45

08

sin165 2

=

pi

44344214444 34444 21ay

vhgfC

hgmhg o

o

b

b

o

o

Cfmhg

Cfmhgv pi=pi= sin

8165sin

8165

Donde se explicita a velocidade da corrente:

ou seja

b

b

Cfmhgv pi= sin

8165

Repare que esta expresso independente de x.Isto significa que com ela impossvel descrever o perfil da velocidade ao longo da zona de arrebentao !

Valentini, E. 46

Usando a Lei de Snell e as funes vlidas na arrebentao, tem-se:

v ghm

fb b b=516

8

pi sinVelocidade da Velocidade da corrente no ponto corrente no ponto de arrebentao.de arrebentao.

516 8

020

0 pi

g h mgh

Cf

gh vx

hv

x

y a t

esin1 24444 34444 1 244 344 1 244 344

+

=

Tomando a equao de equilbrio completa

y a t + = 0

Rearranjando os termos:Rearranjando os termos:

Valentini, E. 47

0

8sin

165

2/52/32/1

2/12/12/12/32/522/3

=

+pi

x

vxmgN

x

vxmgfxC

mgo

o

Rearranjando os termos:Rearranjando os termos:

Chamando

0

8sin

165

2/52/32/1

2/12/12/12/32/522/3

=

+pi

x

vxmgN

x

vxmgfxC

mg

p

qr

o

o

4434421

44 344 214444 34444 21

Valentini, E. 48

p

px

xv

xq x v

r x dentro da Z Afora da Z A

5 2 1 23 2

0/ /

/. .

. .

=

TemTem--se:se:

X = x / xb e V = v / vbonde

xb a distncia do ponto de arrebentao

vb a velocidade no ponto de arrebentao.

Transformando as variveis para a forma adimensional

Valentini, E. 49

pX

XVX

v q X V vr x X dentro da Z A

fora da Z Ab bb

5 2 1 23 2

0/ /

/. .

. .

=

ChegaChega--se a:se a:

Ppq

m Nf= =

pi

= 1= 1Rearranjando os termos

PX

XVX

X Vr x

q vX dentro da Z A

fora da Z A

b

b

5 2 1 23 2

0/ /

/. .

. .

=

Valentini, E. 50

Pq f= = 8

Chamado de Parmetro de MisturaParmetro de Mistura pois depende do talude da praia e dos coeficientes de difuso turbulenta, de atrito e de arrebentao.

PX

XVX

X VX dentro da Z A

fora da Z A

5 2 1 23 2

0/ /

/. .

. .

=

==

==

1/10/0

XpVXpVCondies de ContornoCondies de Contorno

Equao Geral da Velocidade Longitudinal

Valentini, E. 51

== 1/1 XpV

Repare que com esta formulao possvel Repare que com esta formulao possvel descrever o perfil da velocidade da corrente descrever o perfil da velocidade da corrente longitudinal ao longo da zona de arrebentao.longitudinal ao longo da zona de arrebentao.

Perfil de Velocidade da Corrente Litornea

Valentini, E. 53

LonguetLonguet--Higgins, 1970Higgins, 1970

Outros Modelos para a Estimativa daVelocidade da Corrente Litornea

AutorAutor (*)(*) Tipo de SoluoTipo de Soluo

Eagleson, 1965 Emprica

Castanho, 1966 Mtodo das Caractersticas

Longuet-Higgins, 1970 Tenso e Radiao

Valentini, E. 54

Longuet-Higgins, 1970 Tenso e Radiao

Bijker, 1971 Hidrulica FluvialBakker, 1971 Hidrulica Fluvial

Komar, 1972 Balano da Quant. Movimento

(*) apud Valentini, E. (1980)