1

Valós számok

Def. Egy (T; +, ; ) rendezett test felső határ tulajdonságú, ha minden nem üres felülről korlátos részhalmazának létezik T - ben felső határa (legkisebb felső korlátja).

Def. Egy algebrai struktúra rendezett test, ha test és rendezett integritási tartomány.

2

izomorfizmus

Azt jelenti, hogy lényegében 1 db felső határ tulajdonságú test van!

Def. Egy (vagy a) felső határ tulajdonságú testet a valós számok testének nevezünk (nevezzük), jelben .

3.3.6.

3.3.11.

3

Néhány függvény:

abszolút érték: | x | = x, ha x

0

–x, ha x < 0

előjel: sgn(x) = 0, ha x = 0

x / | x |, kül.

alsó egész rész: x = Z legnagyobb eleme, amely nem nagyobb, mint x .

felső egész rész: x = Z legkisebb eleme, amely nem kisebb, mint x .

x = 0 x = x = 0,Észrevételek:

Ha x > 0: arkhi. tul.ból és N jólrendezettségéből n N+, ahol n a legkisebb olyan természetes szám, amely n x n = x , ekkor

ha x = n N+ x = n, különben x = n – 1.

ha x < 0 x = – – x = n, különben x = – – x .

4Bővített valós számok

Rendezés kiterjesztése:

– ∞ < x < +∞ teljesüljön minden x valósra.

Bármely részhalmaznak van szuprémuma és infinuma.

sup = – ∞, inf = + ∞ .

Összeadás x valósra (nem mindenütt értelmezett):

x + (–∞) = (–∞) + x = –∞, ha x < +∞, és

x + (+∞) = (+∞) + x = +∞, ha x > –∞.

Ellentett képzés:– (+∞) = –∞, és – (–∞) = +∞.

5Természetes számok

x valós számra legyen x+ := x + 1.

Def. Az halmaz jelentse a valós számok mindazon N részhalmaza-inak metszetét, amelyek rendelkeznek a következő tulajdonságokkal:

0 N, és

ha n N, akkor n+ N.

Peano – axiómák

6

rendelkezik az (1), (2) tulajdonsággal

S.

(1), (2) következik a definícióból.

Lemma

A természetes számok halmaza rendelkezik a Peano – axiómákban felsorolt tulajdonságokkal.

Biz.

(5), a matematikai indukció elve, azért áll fenn, mert S halmaz

(4) abból következik, hogy a valós számtestben

az additív művelet reguláris.

7Legyen

S = { n : n+ > 0}.

Ekkor 0 S, továbbá

ha n S, akkor

(n+)+ > 0 + 1 > 0

n+ S.

Hasonlóan n szerinti indukcióval látható be, hogy

n, m esetén n + m, nm

továbbá, ha n ≥ m, akkorn – m

8

Végtelen sorozatok

2 és ,: axaxRRf

Mi lesz a g ?

22)3( ,2)2( ,2)1( ,: gggRNg

1)())(()1( naangngfng

-n értelmezett függvények

2.1.4.

9

2.1.5.

2.1.6.

2.1.7.

10

Def. (összeadás)

m N : sm : N N függvény, amelyre

sm(0) = m n N : sm(n+) = (sm(n))+ .

sm(n) m és n szám összege.

Észrevételek:

m+ = (sm(0))+ = sm(0+) = sm(1) = m+1 ,

m = (sm(0)) = m+0 .

11

Def. (szorzás)

mN : pm : N N függvény, amelyre

pm(0) = 0 nN : pm(n+) = pm(n)+m .

pm(n) az m és n szám szorzata.

jelölés : mn vagy mn

Észrevételek:

11 = p1(1) = p1(0+) = p1(0)+1 = 0+1 = 1 .

Def. ( rendezése) n m k : n + k = m .

12

Tetszőleges részbenrendezett halmaz jólrendezett, ha bármely nemüres részhalmazának van legkisebb eleme.

,2

51 ,

2

51Pheidias

,...3,2,1 ,5

1 nF

nnn

,12 ,12

1

34 ,21 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1 ,0 9876543210 FFFFFFFFFF

552

51

2

51

5

11010

10

F

Fibonacci számok

13

Biz. Egzisztencia: kn k k : kn > m, pl. k = m+

14

legyen k a legkisebb ilyen term. szám, ekkor

k 0 qN : k = q+ qn m def rN : m = qn + r

tfh r n m qn+n = kn > m r < n .

Unicitás: tfh q’, r’ : m = q’n + r’ és r’ < n

q’ > q m =

q’ < q hasonlóan látható

2.3.39.

15

Biz. tfh 0 < m’ < m esetén beláttuk

maradékos osztás q-val : ! m’, r N : m = m’q + r, és r < q .

m’ = 0 n = 0 és a0 = r ,

m’ 0 m’ < m indukciós feltevés

maradékos osztás egyértelműsége

2.3.41.

Egész számok

Racionális számok

Irracionális számok

Def. Egy (T; +, ; ) rendezett test arkhimédészi tulajdonságú, ha x, y T: x > 0 esetén n N: nx y . Ekkor T arkhimédészien rendezett.

16

Lemma

T felső határ tulajdonságú rendezett test

T arkhimédészi tulajdonságú.

Biz(indirekt) tfh nem y felső korlátja A = {nx | n N}-nak.

Legyen z = supA z – x < z nem felső korlát

n : nx > z – x (n + 1)x > z

17

3.3.4.

Tétel(2 nem racionális)

Nincs Q-ban olyan szám, amelynek négyzete 2 .

Biz(indirekt) Tfh van: x

x = m / n , m, n N+ és az m minimális

2 = x2 = m2 / n2 m2 = 2n2

Tehát m páros m = 2k, k N+

4k2 = 2n2 2k2 = n2

Tehát n is páros: n = 2j , j N+

m / n = 2k / 2j = k /j m nem minimális

18

Def. Komplex számoknak nevezzük a valós számpárok

halmazát a következő műveletekkel:

Komplex számok

(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d ) ,

(a, b) (c, d) = (ac – bd, ad + bc ) .

a, b, c, d :

19

20

Észrevétel:

(C, +) Abel-csoport :

egységelem: (0,0)

(a, b) additív inverze: –(a, b) = (–a, –b)

(C*, ) Abel-csoport :

egységelem: (1,0)

(a, b) multiplikatív inverze: (a, b) –1 = (a / (a2 + b2), –b / (a2 + b2))

Kétoldali disztributivitás teljesül

21

Alakok:

algebrai z = x + yi

trigonometrikus

z = r(cos(t) + isin(t))

Euler-féle : z = reiφ

(immaginárius egység: i = (0, 1), ahol i2 = –1)

Re(z) = Im(z) =

konjugáltargumentum

abszolút érték (hossz)

22

A komplex számok halmaza nem rendezhető, mert rendezett integri-tási tartományban negatív szám négyzete pozitív kellene legyen!

Észrevételek

(1) z = z -

(2) (z + n) = z + n

-

- -

(3) (z n) = z n ____

- -

(4) z + z = 2Re(z)

(5) z z = 2iIm(z)-

(6) z z = |z|2-

-

(7) z 0 : z 1 = z / |z|2-

(9) |z| = |z| -

(8) |0| = 0, z 0 : |z| > 0

(10) |zw| = |z| |w|

(11) |Re(z)| |z|, |Im(z)| |z|(12) |z + w| |z| + |w|, ||z| |w|| |z w|

23

Legyen sgn(0) = 0, 0 z : sgn(z) = z / |z|

sgn(z) = sgn(z) és |sgn(z)| = 1, ha z 0 .

z 0 ! t : t és t + 2k : sgn(z) = cost + isint, ahol k Z

trigonometrikus alak z = |z|(cost + isint)

z argumentuma arg(z) = t , – < t , z = 0-ra t mindegy

z = |z|(cost + isint) z = |z|(cost – isint) = |z|(cos(– t) + isin(– t))

Moivre – azonosságok 24

w 0 esetén:

n Z és z 0

25

Gyökvonás komplex számból: zn = w, z = ?

w = 0 z = 0, különben ha t = arg(w)

n – edik egységgyökök n = 1 esetén

n – edik primitív egységgyökök: hatványaikkal előállítják a többit

pl. 0 biztos nem az, 1 biztosan az

26

zn = w esetén zk-k előállnak a következő alakban:

n > 1 esetén:

3.4.14.

27

Kvaterniók

(H, +) Abel-csoport :

egységelem: (0,0) (z, w) additív inverze: –(z, w) = (–z, –w)

(H*, ) csoport :

egységelem: (1,0) (z, w) multiplikatív inverze:

28

Legyen j = (0, 1), k = (0, i), ekkor egyértelműen írható fel:

p = a + bi + cj + dk

valós felcserélhető kvaternióval, komplex nem, pl

ij = k, ji = –k, jk = i, kj = –i, ki = –j, ik = j

H csak ferdetest