Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Ivana Friscic

VALOVI

Diplomski rad

Osijek, 2013.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Ivana Friscic

VALOVI

Diplomski rad

MENTOR: doc. dr. sc. Z. Glumac

Osijek, 2013.

Sadrzaj

Uvod 4

1 Opcenito o valovima 5

1.1 Mehanicki valovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Svojstva vala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Brzina sirenja transverzalnog vala . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Brzina sirenja longitudinalonog vala u cvrstom tijelu . . . . 7

1.1.4 Brzina sirenja longitudinalonog vala u tekucini i plinu . . . . 8

1.1.5 Jednadzba progresivnog vala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Valna jednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Superpozicija valova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Refleksija valova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Stojni val . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Matematika realnih morskih valova 20

2.1 Disperzija valova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1 Valovi u plitkoj vodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2 Valovi u dubokoj vodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.3 Grupna brzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2

2.1.4 Valne fronte (engl. wakes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Nelinearni valovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1 Solitoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.2 Solitonske jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Sazetak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Bibliografija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Zivotopis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3

Uvod

Valovi su jedna od najrasirenijih pojava u prirodi. Ponekad je valna priroda pojave

ocita kao u slucaju gibanja valova na povrsini vode. Katkada je priroda valne pojave

manje ocita, kao primjerice u slucaju zvuka ili svjetlosti.

Val je poremecaj sto se nekim sredstvom siri odredenom brzinom u stalnim vremenskim

razmacima. Osim mehanickih valova, pri kojima su poremecene koordinate pojedinih

dijelova sredstava, postoje i elektromagnetski valovi, u kojima se vremenski mijenjaju

elektricno i magnetsko polje. Mehanicki valovi sire se kroz elasticna sredstva, a elek-

tromagnetski se valovi mogu siriti i u vakuumu.

U ovom cu diplomskom radu razmatrati mehanicke valove i njihove pojave u prirodi. U

prvom poglavlju diplomskog rada ukratko su opisani mehanicki valovi, valna jednadzba,

superpozicija valova, refleksija valova i stojni valovi. Drugo poglavlje, matematika

realnih morskih valova, obuhvaca teme: disperzija valova u plitkoj i dubokoj vodi,

nelinearne valove, solitoni i solitonske jednadzbe.

4

1 Opcenito o valovima

1.1 Mehanicki valovi

Val je poremecaj koji se odredenom brzinom siri prostorom, a izazvan je titrajima

nekog titrajnog sustava. Valovi koji se sire kroz elasticna sredstva jesu mehanicki va-

lovi. Valove mozemo podijeliti na transverzalne (valovi na uzetu, napetoj zici i sl.) i

longitudinalne valove (val na opruzi, zvucni valovi i sl.). Transverzalni val nastaje ako

cestice koje prenose energiju titraju okomito na smjer sirenja, dok kod longitudinalnog

vala cestice titraju oko ravnoteznog polozaja na pravcu kojim se siri val. Razlikujemo

progresivne i stojne valove. Progresivni valovi sire se u odredenom smjeru pri cemu se

energija prenosi s cestice na cesticu. Kod stojnih valova neke cestice titraju dok druge

stalno miruju (energija se siri prostorom). Posto se slika vala u vremenu ne mijenja,

nego je stacionarna, ove valove nazivamo stacionarnim ili stojnim valovima. Valovi

takoder mogu biti : linearni, povrsinski i prostorni. Primjer linearnog vala je val na

zici, primjer povrsinskog vala je val na vodi, dok su zvucni valovi primjer prostornog

vala.

1.1.1 Svojstva vala

Kada cestica pocne titrati u izvoru vala tada ona uzrokuje pomak susjedne cestice, ali s

odredenim kasnjenjem (pomak u fazi.) Druga cestica pomice trecu, treca cetvrtu itd.,

pa se poremecaj prenosi kroz sredstvo. Dok cestica u izvoru vala napravi jedan titraj,

val se kroz sredstvo prosiri za jednu valnu duljinu.

5

Slika 1: Sirenje vala kroz sredstvo gdje je s(x,t) pomak (elongacija), λ valna duljina i

v je brzina vala [4]

Buduci da se za vrijeme jednog titraja T val prosiri za jednu valnu duljinu λ, biti ce:

λ = vT, T =1

f⇒ λ =

v

f, (1)

v = λf. (2)

Brzina sirenja vala v jednaka je produktu valne duljine λ i frekvencije f . Brzina vala

ovisi i o osobinama sredstava kroz koje se val siri (elasticnost i gustoca vala). Pri

prijelazu vala iz jednog sredstva u drugo brzina vala se mijenja, a time i valna duljina,

dok je frekvencija nepromijenjena (ovisi o izvoru). Uzmimo da u izvoru vala cestica

pocne titrati u trenutku t = 0. Nakon vremena ∆t val ce se prosiriti do tocke na

udaljenosti x, tj. x = v∆t. Razlika u fazi titranja cestice u izvoru i u tocki x, biti ce

∆ϕ = kx, (3)

∆ϕ = 2π za x = λ, (4)

2π = kλ⇒ k =2π

λ. (5)

Dobivena velicina k naziva se valni broj, pa razliku u fazi pisemo

∆ϕ = ω∆t =2π

λx. (6)

Ako je cestica dalje od izvora onda ce ona kasnije zatitrati, tj. kasniti u fazi u odnosu

na cesticu u izvoru vala. Geometrijsko mjesto tocaka do kojih dopre titranje cestica u

odredenom trenutku zove se valna fronta. Pravci po kojima se titraji sire od cestice do

cestice nazivaju se valnim zrakama i one su okomite na valnu frontu.

1.1.2 Brzina sirenja transverzalnog vala

Sirenje transverzalnog poremecaja razmotriti cemo na elasticnom uzetu linearne gustoce

µ (masa po jedinici duljine), koje je zategnuto silom F . Ako u trenutku t = 0 lije-

vom kraju uzeta damo mali transverzalni pomak brzinom u, taj ce se poremecaj siriti

uzetom i za vrijeme t doci do tocke T prevalivsi put x. Za to se vrijeme lijevi kraj

uzeta pomakne za ut.

6

Slika 2: Sirenje transverzalnog vala

y = ut, x = vt, µ =m

l, (7)

FT = Fsin∆ϑ. (8)

Za male kutove mozemo koristiti aproksimaciju

sin∆ϑ ≈ tg∆ϑ (9)

pa ce transverzalna komponenta sile biti

FT = Fsin∆ϑ ≈ Ftg∆ϑ = Fy

x, (10)

FT = Fut

vt= F

u

v(11)

Buduci da je impuls sile jednak promjeni kolicine gibanja, pri cemu treba imati u vidu

da je uze na pocetku mirovalo, biti ce:

FT t = mu, m = µx = µvt, (12)

Fu

vt = µvtu⇒ v =

√F

µ(13)

gdje je F sila napetosti zice, a µ = ml

je linijska gustoca zice (m-masa zice, l-duljina

zice). Brzina sirenja transverzalnog vala kroz napeto uze ili zicu ovisi samo o napetosti

uzeta i linijskoj gustoci.

1.1.3 Brzina sirenja longitudinalnog vala u cvrstom tijelu

Longitudinalni poremecaj u cvrstom tijelu izazvati cemo djelovanjem vanjske sile. Neka

je cvrsto tijelo od elasticnog materijala gustoce ρ, izvedeno u obliku stapa duljine l i

poprecnog presjeka S

7

Slika 3: Sirenje longitudinalnog vala

Longitudinalnu deformaciju opisati cemo Hooekovim zakonom

F = ES∆l

l, (14)

gdje je F -tlacna sila koja izaziva deformaciju stapa, dok jeE-Youngov modul elasticnosti.

Poremecaj se u obliku udarnog vala siri brzinom v i dode do kraja stapa za neko vrijeme

t, pri cemu se stap pomakne za ∆l, brzinom u, dakle, biti ce:

l = vt, ∆l = ut. (15)

Uvrstavanjem navedenih izraza u prethodnu jednadzbu dobivamo:

F = ESut

vt= ES

u

v. (16)

Pomnozimo li silu s vremenom dobivamo impuls sile koji je jednak promjeni kolicine

gibanja u longitudinalnom smjeru, odnosno

Ft = ESu

vt (17)

Buduci da je stap u pocetku mirovao, njegova promjena kolicine gibanja je

mu = V ρu = Slρu = Svtρu. (18)

Posto je impuls sile jednak promjeni kolicine gibanja, imamo:

Ft = mu⇒ ESu

vt = Svtρu⇒ E

ρ= v2, (19)

tada ce brzina sirenja longitudinalnog poremecaja kroz cvrsto tijelo biti

v =

√E

ρ(20)

8

1.1.4 Brzina sirenja longitudinalnog vala u tekucini i plinu

Provedeno razmatranje, na slican nacin, moze se primijeniti i na fluide (tekucine i

plinove). Uzmimo da se fluid gustoce ρ nalazi u cijevi presjeka S pod tlakom p. Na

fluid djelujemo vanjskom silom preko klipa koji se pomakne brzinom u i proizvede

kompresiju fluida. Proizveden poremecaj ispred klipa se siri kroz cijev brzinom v.

Pomakom klipa brzinom u za neko vrijeme t klip ce prijeci put ut, dok ce se nastali

poremecaj prosiriti na udaljenost vt. Na ovaj nacin, prvotni obujam fluida V smanjiti

ce se za iznos V = Svt, odnosno ∆V = Sut. Kompresijom fluida porasti ce tlak plina,

pa se ova elasticna deformacija moze prikazati na slican nacin kao i kod cvrstih tijela,

odnosno

∆p = − 1

K

∆V

V=

1

K

u

v, (21)

gdje je K koeficijent stlacivosti fluida.

Longitudinalni impuls sile biti ce jednak promjeni kolicine gibanja promatranog dijela

fluida, tj.

∆pSt = mu, mu = V ρu = Svtρu, (22)

∆pSt = Svtρu⇒ ∆p = vρu, (23)

1

K

u

v= vρu⇒ v =

√1

Kρ. (24)

Slika 4: Sirenje longitudinalnog vala u fluidu

Dobiveni izraz za brzinu sirenja longitudinalnog poremecaja (vala) kroz fluid mozemo

pisati u obliku

v =

√B

ρ, (25)

9

pri cemu je B = 1K

volumni modul elasticnosti.

Ako se longitudinalni val siri kroz plinove, tada koristimo adijabatsku relaciju za tlak

i obujam plina pV κ = konst., gdje je κ adijabatski koeficijent, cije su vrijednosti:

κ = 1.67 (jednoatomski plinovi), κ = 1.40 (dvoatomski plinovi), κ = 1.33 (viseatomski

plinovi).

Proces je adijabatski jer je izmjena topline mnogo sporija od sirenja poremecaja. Kod

plinova imamo slicnu relaciju za elasticnu deformaciju

Ka = − 1

V

dV

dp, (26)

gdje je Ka adijabatski koeficijent stalacivosti. Buduci da za adijabatske procese vrijedi

relacija pV κ = konst., dobivamo

dpV κ + pκV κ−1dV = 0/ : V κ ⇒ dV

dp= − V

pκ, (27)

pa je

Ka = − 1

V

V

pκ=

1

pκ, B =

1

Ka

, (28)

v =

√B

ρ⇒ v =

√pκ

ρ(29)

Koristenjem plinske jednadzbe

pV =m

MRT ⇒ p

ρ=RT

M(30)

dobivamo brzinu vala u ovisnosti o vrsti plina i temperaturi

v =

√κRT

M, (31)

gdje je: R = 8, 314J/molK (opca plinska konstanta)

M -molarna masa plina

T -apsolutna temperatura

1.1.5 Jednadzba progresivnog vala

Promatranje progresivnog vala zapoceti cemo s pretpostavkom da u izvoru vala jedna

od cestica sredstva zapocne titrati. Buduci da su cestice elasticno povezane, titranje

ce se prenositi kroz sredstvo u vidu vala. Za jednodimenzijski opis valnog gibanja uzeti

cemo da je ishodiste koordinatnog sustava (x = 0) u izvoru vala. Ako cestica u izvoru

vala titra harmonicki po zakonu

s(x = 0, t) = Asinωt, (32)

10

tada ce i ostale cestice titrati istom frekvencijom, ali s odredenim kasnjenjem. Na

udaljenost x od izvora val dolazi nakon nekog vremena

t′ =x

v, (33)

gdje je v brzina sirenja vala. cestica na udaljenosti x od izvora titrati ce istom frekven-

cijom, ali s razlikom u fazi prema cestici u izvoru, pa ce njezina elongacija biti:

s(x, t) = Asinω(t− t′) = Asinω(t− x

v), (34)

gdje je A amplituda, a ω(t− xv) faza vala.

Razmotrimo, kako se konstantna faza giba prostorom, pa imamo :

ω(t− x

v) = konst.⇒ x = vt+ konst. (35)

Vidimo da se konstantna faza giba brzinom v, stoga se ta brzina naziva faznom brzinom.

Prema tome val se siri svojom faznom brzinom. Buduci da je

ω =2π

Ti λ = Tv (36)

izraz za elongaciju cestice pisemo

s(x, t) = Asin2π

(t

T− x

Tv

)= Asin2π

(t

T− x

λ

)(37)

Uvodenjem valnog broja k = 2πλ

, valna funkcija poprima oblik

s(x, t) = Asin(ωt− kx) (38)

Ako je titranje cestice u izvoru vala dano s pocetnom fazom, tj.

s(x = 0, t) = Asin(ωt+ ϕ0), (39)

tada ce jednadzba vala glasiti

s(x, t) = Asin(ωt− kx+ ϕ0). (40)

Dobivena jednadzba predstavlja val koji se siri u smjeru osi x. Za val u trodimenzijskom

prostoru jednadzba ce biti:

s(~r, t) = Asin(~k·~r − ωt+ ϕ0), (41)

gdje je valni vektor ~k = kx~i+ ky~j + kz~k, dok je ~r = x~i+ y~j + z~k.

Najopcenitiji zapis vala moze se prikazati pomocu eksponencijalne funkcije, tj.

s(~r, t) = Aei(~k·~r−ωt+ϕ0). (42)

Posto je eiα = cosα ± isinα, tada imaginarni dio eksponencijalne funkcije odgovara

valnom zapisu

s(~r, t) = Asin(~k·~r − ωt+ ϕ0). (43)

Eksponencijalni zapis vala prikladan je zbog jednostavnijeg racunanja s eksponencijal-

nim funkcijama nego s trigonometrijskim.

11

1.2 Valna jednadzba

Opis valnog gibanja mozemo dobiti, na matematicki precizniji nacin, rjesavanjem di-

ferencijalne valne jednadzbe. Za primjer cemo uzeti sirenje transverzalnog vala po za-

tegnutoj zici. Promatrati cemo dio zice duljine dl, cija je linijska gustoca µ, kada je

zica zategnuta silom F.

Slika 5: Sirenje transverzalnog vala po zategnutoj zici

Kada se kroz zicu siri transverzalni val, javlja se rezultirajuca sila u transverzalnom

smjeru

dFs = Fsinα− Fsin(α− dα), (44)

zbog koje djelic zice dl transverzalno titra. Za male amplitude imati cemo i male kutove

te se mogu koristiti aproksimacije:

sinα ≈ α, sin(α− dα) ≈ α− dα, (45)

α ≈ tgα =∂s

∂x, dα ≈ ∂2s

∂2xdx, (46)

pa ce biti

dFs = Fsinα− Fsin(α− dα) = Fdα = F∂2s

∂2xdx. (47)

Primjenom drugog Newtonovog aksioma na djelic mase dm = µdx, koji ima ubrzanje

a =∂2s

∂t2(48)

djelovati ce sila

dFs = µdx∂2s

∂t2(49)

Izjednacavanjem dobivenih jednadzbi, imamo

F∂2s

∂x2dx = µdx

∂2s

∂t2, (50)

odnosno∂2s

∂x2− µ

F

∂2s

∂t2= 0. (51)

12

Buduci da je v =√

Fµ

dobivamo parcijalnu diferencijalnu jednadzbu transverzalnog

vala na zategnutoj zici, koja glasi

∂2s

∂x2− 1

v2∂2s

∂t2= 0. (52)

Opce rjesenje ove jednadzbe je oblika

s(x, t) = f(t± x

v), (53)

gdje je

f(t± x

v), (54)

proizvoljna funkcija koja se moze dvaput derivirati. Posebno rjesenje ove jednadzbe je

sinusoidni val koji nastaje kada izvor vala harmonicki titra, ciju smo valnu funkciju vec

dobili

s(x, t) = Asin(ωt− kx). (55)

Dobivena valna jednadzba∂2s

∂x2− 1

v2∂2s

∂t2= 0, (56)

vrijedi i za longitudinalne valove u cvrstom sredstvu. Uvrstavanjem brzine

v =

√E

ρ, (57)

jednadzba poprima oblik∂2s

∂x2− ρ

E

∂2s

∂t2= 0, (58)

gdje je ρ gustoca, a E-Youngov model elasticnosti. Ako Youngov model elasticnosti

E zamijenimo s volumnim modulom elasticnosti B, dobivamo valnu jednadzbu za

tekucine, tj.∂2s

∂x2− ρ

B

∂2s

∂t2= 0, (59)

jer je brzina longitudinalnih valova u tekucinama prikazana izrazom

v =

√B

ρ. (60)

Valnu jednadzbu za plinove dobivamo na isti nacin, uvrstavanjem brzine

v =

√κp

ρ, (61)

pa ce biti∂2s

∂x2− ρ

κp

∂2s

∂t2= 0, (62)

pri cemu je p tlak plina, ρ gustoca plina, dok je κ adijabatski koeficijent stlacivosti.

13

1.3 Superpozicija valova

Stignu li dva ili vise vala u istu tocku prostora, rezultirajuce titranje u toj tocki vek-

torski je zbroj pojedinih titraja. To je princip superpozicije ili nacelo pridodavanja.

Opcenito vrijedi:

sinα + sinβ = 2sin(α + β

2

)cos(α− β

2

)(63)

Dakle, zbrajanjem dvaju valova ili vise valova dobivamo novi val. Zbrajanjem va-

lova koji se nadu u istoj tocki prostora u isto vrijeme nastaje interferencija. Prilikom

zbrajanja valova istih amplituda, frekvencije i brzina, novi rezultirajuci val ima oblik:

s1 = Asin(ωt− kx) (64)

s2 = Asin(ωt− kx+ ϕ) (65)

s = s1 + s2 = A [sin(ωt− kx) + sin(ωt− kx+ ϕ)] (66)

s = 2Asin(ωt− kx+ϕ

2)cos

ϕ

2(67)

Rezultirajuci val ima istu frekvenciju i brzinu, ali mu je amplituda 2Acosϕ2.

Ako je ϕ = 0, 2π, 4π, . . . , cosϕ2

= 1, amplituda ce biti iznosa 2A. Tada su valovi s1

i s2 u fazi, nastaje konstruktivna interferencija. Ako je ϕ = π, 3π, 5π, . . . , cosπ2

= 0,

amplituda je jednaka nuli, nastaje destruktivna interferencija (slika 6).

Slika 6: Konstruktivna i destruktivna interferencija

Amplituda rezultirajuceg vala ovisi o razlici u fazi (ili razlici u hodu) izmedu valova

koji se zbrajaju. Razlika u fazi

∆ϕ = k(r2 − r1) = k∆r (68)

14

srazmjerna je s udaljenoscu r, konstanta srazmjernosti je valni broj k = 2πλ

.

Fazna razlika moze se izraziti i preko vremenskog intervala t:

∆r = v∆t (69)

∆ϕ =2π

λv∆t =

2π

λf∆t (70)

∆r = ω∆t (71)

Ako se val siri sredstvom indeksa loma n(n 6= 1):

∆ϕ = ω∆t (72)

∆ϕ = ω∆r

v(73)

za v = cn⇒ ∆ϕ = ω

cn∆r.

Razlika u fazi za dva razlicita vala koji putuju brzinama v1 i v2 u razlicitim sredstvima

indeksa loma n1 i n2 ima oblik:

∆ϕ = −ω(t− r2

v2

)+ ω

(t− r1

v1

), (74)

∆ϕ = ω

(r2v2− r1v1

), (75)

∆ϕ = k2r2 − k1r1, (76)

gdje su k1 i k2 pripadne vrijednosti valnih brojeva u sredstvu 1 odnosno 2, a r1 i r2

su udaljenosti koje val 1 odnosno val 2 prevali do promatrane tocke u prostoru gdje se

gleda njihova interferencija odnosno rezultirajuci val.

Slika 7: Fazna razlika

15

Uvrstavanjem v1 = cn1

i v2 = cn2

u (1.75) razlika u fazi poprima oblik

∆ϕ = ω(r2n2

c− r1

n1

c

), (77)

∆ϕ =ω

c(r2n2 − r1n1) , (78)

∆ϕ = k (r2n2 − r1n1) . (79)

Ako se oba vala sire u istom sredstvu onda vrijedi v1 = v2 i gornji izraz poprima oblik:

∆ϕ = k(r2 − r1).

1.4 Refleksija valova

Refleksija valova javlja se kod prijelaza vala iz jednog u drugo sredstvo. Kada val upada

na granicu izmedu dva sredstva, jedan se dio energije vala reflektira, a ostatak prelazi

u drugo sredstvo (transmisija).

Kada val prelazi iz rjedeg sredstva u gusce, tada reflektirani val ima pomak u fazi za

π u odnosu na upadni val.

Slika 8: Refleksija valova iz rjedeg u gusce sredstvo [5]

Ako se refleksija vala dogada na rjedem sredstvu tada reflektirani val nema pomaka u

fazi.

Slika 9: Refleksija valova iz gusceg u rjede sredstvo [5]

16

Posebno, pri refleksiji od cvrste zapreke (uze koje je na jednom kraju pricvrsceno)

nema transmitiranog vala. Razmatramo sirenje valova u jednodimenzijskom sredstvu

(spoj dva uzeta razlicte debljine). Jednadzbe upadnog vala su(x, t), reflektiranog vala

sr(x, t) i transmitiranog vala st(x, t) prikazane su:

su(x, t) = Ausinω(t− x

v1

), (80)

sr(x, t) = Arsinω(t+

x

v1

), (81)

st(x, t) = Atsinω(t− x

v2

), (82)

gdje je v1 brzina vala u prvom sredstvu, a v2 brzina vala u drugom sredstvu. Reflek-

tirani val ima pozitivan predznak ispred brzine zbog njegovog kretanja u suprotnom

smjeru od upadnog i transmitiranog vala.

Slika 10: Reflektirani i transmitirani val [2]

Ako ishodiste koordinatnog sustava postavimo na mjesto gdje se gustoca mijenja (x =

0), tada moraju biti zadovoljena dva sljedeca rubna uvjeta:

1) su + sr = st iz cega slijedi: Au + Ar = At

2) ∂∂x

(su + sr) = ∂st∂x

iz cega slijedi Au

v1− Ar

v1= At

v2

Iz prvog rubnog uvjeta proizlazi da se na mjestu promjene gustoce val dijeli na reflek-

tirani i transmitirani, dok drugi uvjet zahtijeva da u granicnoj tocki nagibi oba uzeta

moraju biti jednaki. Kombiniranjem jednadzbi

Au + Ar = At, (83)

Auv1− Arv1

=Atv2

(84)

17

dobivamo amplitude reflektiranog i transmitiranog vala izrazene preko amplitude upad-

nog vala

Ar =v2 − v1v1 + v2

Au, (85)

At =2v2

v1 + v2Au. (86)

Amplituda reflektiranog vala ima suprotan predznak amplitudi upadnog vala, dok je

amplituda transmitiranog vala istog predznaka kao i amplituda upadnog vala.

U posebnom slucaju: a) kada je kraj zice ucvrscen (µ2 =∞, v2 = 0 tj. nema transmi-

tiranog vala st = 0⇒ At = 0, pa je Au + Ar = 0) b) pri refleksiji na slobodnom kraju

(µ2 = 0, v2 =∞, Au = Ar)

1.5 Stojni val

Stojni val nastaje interferencijom dvaju valova jednake amplitude i frekvencije koji na

istom pravcu putuju jedan nasuprot drugome.

Stojni val se moze dobiti tako da se progresivni val reflektira na jednom kraju zice,

vrati natrag i zbroji s upadnim valom. Razmatramo upadni val koji se krece s desne

strane prema lijevoj strani u negativnom smjeru osi x:

su = Asin(ωt+ kx) (87)

sr = Asin(ωt− kx+ π) = −Asin(ωt− kx) (88)

ss = su + sr = 2Asinkxcosωt (89)

Stojni val nije progresivan val, tj. on se ne siri u prostoru pa tako i ne prenosi energiju,

vec je lokaliziran u prostoru.

Stojni val ima cvorove, mjesta na kojima je elongacija jednaka nuli (ss = 0, tj. sink ·xC = 0) i trbuhe, mjesta na zici koja najjace titraju (sink·xT = ±1).

U slucaju napete zice duljine L, pricvrscene na oba kraja, stojni val ce imati cvorove

na krajevima zice (gdje je ucvrscena), tj. x = 0 i x = L. Primjenom rubnog uvjeta

dobivamo:

sinkL = 0

kL = nπ

kn = nπL

2πλn· L = nπ, L = nλn

2

odnosno

λn =2L

n(90)

Frekvencije stojnog vala kojima titra napeta zica, odredene su izrazom:

18

fn = vλn

,

fn =n

2L· v (91)

gdje je v fazna brzina vala, a n prirodni broj n = 0, 1, 2, 3.... Najniza frekvencija je za

n = 0 i naziva se osnovnom frekvencijom. Zica moze titrati i drugim frekvencijama,

tzv. visim harmonicima (za n = 1, 2, 3....). Buduci da je f = vλ

iz gornje relacije se

mogu izvuci i pripadne valne duljine stojnih valova.

19

2 Matematika realnih morskihvalova

Realni morski valovi su prirodni procesi periodickog osciliranja neke granicne plohe

u moru, udruzene s osciliranjem vodnih cestica pod djelovanjem razlicitih sila. S ob-

zirom na djelovanje razlicitih sila na morsku povsinu, valove mozemo podijeliti na

valove koji nastaju plovidbom broda, valovi koji nastaju usljed djelovanja vjetra, va-

lovi nastali zbog potresa ili pomicanja zemljinih slojeva, valovi nastali zbog gibanja

meteoroloskih sustava, itd. Jednostavno matematicko rjesenje za sve vrste nabrojenih

valova ne postoji. Glavni problem u proucavanju realnih valova zadaju nam nelinear-

nosti i disperzije.Zbog kompleksnosti problema, u ovom cemo diplomskom radu model

realnog vala, uz neke restrikcije, svesti na model idealnog vala.

Idealan val je veoma restriktivan model realnog vala. Fizicki model je restriktivan

u toliko sto je dvodimenzijski (siri se samo u jednom pravcu pa se treca dimenzija

moze zanemariti), monokromatski (na nekoj dubini ima stalan profil) , jednostavan

(opisan jednom ili vise ciklickih funkcija) i konstantne visine. Matematicki model je

jos restriktivniji od fizickog jer sadrzi jos i restrikcije vezane za idealan fluid i ideali-

zirane rubne uvjete. Neke od tih restrikcija su: homogenost, nestlacivost, konstantna

gustoca, zanemariva povrsinska napetost, konstantan i jednolican pritisak na povrsinu

mora, neviskoznost, horizontalnost dna, mala amplituda i nepromijenjiva forma vala u

prostoru i vremenu.

Osnovna podjela idealnih povrsinskih valova je podjela na valove u dubokoj vodi i va-

love u plitkoj vodi. Svaki opis povrsinskih valova sadrzi opis valnog paketa i opis gibanja

vodnih cestica. Nepravilni realni valovi su kompleksan fenomen i tezak za (strogi) ma-

tematicki opis - radi nelinearnosti, disperzije i slucajne prirode valova - koji tek danas

dobiva specificnu matematicku formulaciju baziranu na valnim energetskim spektrima

mora. Nasuprot tome, ranije ustanovljena valna mehanika deterministickom metodom

uspijeva opisati profil vala i gibanje cestica idealnog vala koji je jednostavan, mono-

kromatski i dvodimenzijski, a valovanje se odvija pod nekim uvjetima. Takav opis

prikazuje se u ovom diplomskom radu.

20

2.1 Disperzija valova

Disperzija valova se najcesce vidi na povrsini vode. Iako se cesto koristi u razredu

prilikom ilustracije valnog gibanja, ti valovi nisu jednostavni kao sto se to cini.

U ovom dijelu proucavati cemo ucinke disperzije te kako ti ucinci djeluju na brzinu

sirenja vala i frekvenciju valova u plitkoj vodi i valova u dubokoj vodi. Vidjeti cemo

da disperzija ima duboke ucinke na ponasanje vala u cjelini.

2.1.1 Valovi u plitkoj vodi

Slika 11: Valovi na slobodnoj povrsini gdje je h(x, t) dubina vode na koordinati x u

trenutku t, ρ0 gustoca fluida i P0 tlak [4]

Za opisivanje valova na vodi dovoljne su dvije koordinate, horizontalna x i vertikalna

y.

Kretanje tekucine opisano je poljem vektora brzine

v(x, y, t) = u(x, y, t)ex + v(x, y, t)ex (92)

Pretpostavimo li da je gustoca fluida ρ0 konstantna, tada jednadzba kontinuiteta

∂ρ0∂t

+∇(ρ0v) = 0 (93)

postaje

∇·v = 0. (94)

Ako pretpostavimo da kretanje fluida nije rotacijsko,

∇× v = 0 (95)

polje brzine mozemo izraziti preko potencijala brzine φ(x, y, t) :

v = ∇φ. (96)

21

Jednadzba (94) postaje

∇·v = ∇·∇φ = ∇2φ = 0, (97)

gdje je

∇2φ = 0 (98)

Laplaceova jednadzba kontinuiteta.

Kako bi opisali kretanje fluida potrebno je uzeti u obzir rubne uvjete. Pretposta-

vimo da je tekucina odozdo omedena cvrstim dnom. Postavimo li ishodiste vertikalne

koordinate na cvrsto dno, gdje je y = 0, dobiti cemo prvi rubni uvjet

∂φ

∂y= 0. (99)

Povrsina vode opisana je funkcijom h(x, t) koja je s y-koordinatom povezana relacijom

y = h(x, t).

Odavde na povrsini tekucine dobivamo

dy

dt=∂h

∂t+∂h

∂x

dx

dt(100)

Kako je, po definiciji, vektor brzine (92) i potencijal brzine (96)

dx

dt= u =

∂φ

∂x(101)

dy

dt= v =

∂φ

∂y(102)

iz (100) dobivamo drugi rubni uvjet

∂φ

∂y=∂h

∂t+∂h

∂x

∂φ

∂x(103)

∂h

∂t− ∂φ

∂y+∂h

∂x

∂φ

∂x= 0, (104)

na slobodnoj povrsini y = h.

Iz jednadzbe gibanja slijedi treci rubni uvjet

d(ρ0v)

dt= −∇P0 − gρ0ey, (105)

gdje je P0 tlak i g gravitacijsko ubrzanje. Pretpostavimo da je na povrsini P0 = 0, a

ρ0 konstantna, na povrsini tekucine imamo

dv

dt=∂v

∂t+∂v

∂x

dx

dt+∂v

∂y

dy

dt(106)

dv

dt=∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y(107)

22

dv

dt=∂v

∂t+ (v· ∇)v = −gey (108)

∂v

∂t+ (v· ∇)v = −gey (109)

Koristeci identitet 12v(v2) = v×(∇×v)+(v· ∇)v, gdje je rotacijski clan v×(∇×v) = 0

(zbog (95)) dobivamo1

2∇(v2) = (v· ∇)v (110)

1

2∇(v2) = −∂v

∂t− gey (111)

∂v

∂t+

1

2∇(v2) + gey = 0 (112)

Uvrstimo v = ∇φ u (112) dobiti cemo

∇(∂φ

∂t+

1

2(∇φ)2 + gy

)= 0 (113)

Integriranjem dobijemo treci rubni uvjet

∂φ

∂t+

1

2(∇φ)2 + gy = 0 (114)

Sustav Laplaceove jednadzbe i triju rubnih uvjeta

∇2φ = 0, 0 ≤ y ≤ h (115)

∂φ

∂y= 0, na y = 0 (116)

∂h

∂t− ∂φ

∂y+∂h

∂x

∂φ

∂x= 0, na y = 0 (117)

∂φ

∂t+

1

2(∇φ)2 + gy = 0, na y = 0 (118)

predstavlja Eulerove jednadzbe za valove u nestlacivom, neviskoznom fluidu sa tokom

koji nije rotacijski.

Fizicko tumacenje ovih jednadzbi: Prvi rubni uvjet govori nam da je vertikalna brzina

jednaka nuli, odnosno da je dno nepropusno i da vodne cestice ne probijaju dno. Treci,

oblik Bernoullijeve jednadzbe, govori da je povrsinski tlak P0 na slobodnoj povrsini na

svakom mjestu i u svako vrijeme jednak nuli. Preostali granicni uvjet nam ukazuje da

cestice ne probijaju fizicku povrsinu mora.

Analogno rjesenju Laplaceove jednadzbe,

φ(x, y) = asin(kx)sh(ky),

mozemo napisati jednadzbu vala kao rjesenje koje zadovoljava granicni uvjet na y = 0

φ(x, y, t) = ach(ky)cos(kx− ωt). (119)

23

Zahtjevan je dio napisati jednadzbu vala koja zadovoljava preostala dva rubna uvjeta.

Tu se javljaju poteskoce vezane za nelinearnost valova koje cemo zaobici tako da se

ogranicmo na male amplitude valova za koje rubni uvjeti moraju biti linearni. Ukida-

njem svih uvjeta koji sadrze umnozak dvaju ili vise velicina imamo

∂φ

∂t+ gh = 0, (120)

∂h

∂t− ∂φ

∂y= 0. (121)

Kako bi te jednadzbe bile linearne, treba primijeniti uvjet y = h0 gdje je povrsina

tekucine u ravnotezi. Uvodenje tog uvjeta odgovara nam kako bi uklonili h.

Deriviranjem jednadzbe (120) imamo

∂2φ

∂t2+ g

∂h

∂t= 0. (122)

Uvrstimo li (121) u (122) dobili smo

∂2φ

∂t2+ g

∂φ

∂y= 0. (123)

Ako u jednadzbi (123) primijenimo uvjet y = h0 i uvrstimo (119) dobijemo jednadzbu

disperzije

∂

∂t

(∂(ach(kh0)cos(kx− ωt))

∂t

)= −g∂(ach(kh0)cos(kx− ωt))

∂h0(124)

∂(aωch(kh0)sin(kx− ωt))∂t

= −gaksh(kh0)cos(kx− ωt) (125)

−aω2ch(kh0)cos(kx− ωt) = −gaksh(kh0)cos(kx− ωt) (126)

ω2ch(kh0) = gksh(kh0) (127)

ω2 = gksh(kh0)

ch(kh0)(128)

ω2 = gkth(kh0) (129)

Dva ogranicavajuca slucaja su:

i)Valovi u plitkoj vodi: gdje je kh0 � 1, tada je th(kh0) ≈ kh0, sto dovodi do izraza

ω2 = gk · kh0 =⇒ ω = k√gh0 (130)

ii)Valovi u dubokoj vodi: gdje je kh0 � 1, tada je th(kh0) ≈ 1, sto dovodi do

ω2 = gk =⇒ ω =√gk (131)

24

2.1.2 Valovi u dubokoj vodi

Skup jednadzba koje opisuju valove u dubokoj vodi su Laplaceova jednadzba za po-

tencijal i Bernoulijeva jednadzba:

∆φ = 0 (132)(∂φ

∂y+

1

g

∂2φ

∂t2

)y≈0

= 0 (133)

Postoji velik broj rjesenja koja zadovoljavaju ove jednadzbe, kao u ostalom i razlicitih

vrsta valova.

Trazimo rjesenje tipa ravnog vala:

φ(x, y, t) = f(y) cos(kx− ωt)︸ ︷︷ ︸ravni val

, (134)

koje ima dobro definiranu valnu duljinu i frekvenciju titranja.

Uvrstavanjem u Laplaceovu jednadzbu za potencijal:

∆φ = cos(kx− ωt)

[− k2f(y) +

∂2f(y)

∂y2

]= 0 (135)

slijedi da je:

f(y) = aeky + be−ky. (136)

Tekucina se nalazi u podrucju y<0, a funkcija f(y) u tom podrucju treba biti konacna.

Osim toga potrebno je zadovoljiti i rubni uvjet na dnu. Oba uvjeta su zadovoljena (za

beskonacno duboku tekucinu) ako se pretpostavi da je b = 0⇒ f(y) = aeky.

Uvrstavanjem rjesenja za potencijal u rubni uvjet za povrsinu:(∂φ

∂y+

1

g

∂2φ

∂t2

)y≈0

= cos(kx− ωt)f(y)∣∣∣y≈0

[k − ω2

g

]︸ ︷︷ ︸

=0

= 0 (137)

dobiva se disperzijska relacija koja povezuje valnu duljinu (tj. valni broj) i frekvenciju.

k − ω2

g= 0 (138)

ω2

g= k (139)

ω2 = kg (140)

ω =√kg (141)

25

Za duboku vodu, potencijal brzine postaje

φ(x, y, t) = aek(y−h0)cos(kx− ωt). (142)

Vidimo da poremecaj nastao zbog povrsinskih valova nestaje eksponencijalno i postaje

veoma mali sa samo nekoliko valnih duljina ispod povrsine.

Imajuci na umu da je brzina tekucine ~v = ∇φ, za pracenje kretanja pojedinih cestica

fluida koristimo sljedece jednadzbe

vx =dφ

dx= −akek(y−h0)sin(kx− ωt) (143)

vy =dφ

dy= akek(y−h0)cos(kx− ωt), (144)

vx =dx

dt(145)

vy =dy

dt. (146)

Izjednacimo parove jednadzba (143),(145) i (144),(146) dobiti cemo sustav nelinearnih

diferencijalnih jednadzba koje moramo rijesiti

dx

dt= −akek(y−h0)sin(kx− ωt), (147)

dy

dt= akek(y−h0)cos(kx− ωt). (148)

Za male amplitude gibanja cestica na povrsini, pri cemu je x = x0, y = h0, rjesenja

ovih jednadzba su orbite povrsinskih cestica prikazane

x(t) = x0 −ak

ωcos(kx0 − ωt), (149)

y(t) = y0 −ak

ωsin(kx0 − ωt). (150)

Slika 12: Povrsinski valovi u dubokoj vodi [4]

26

Ako se val siri duz osi x, cestica kruzi po kruznici u smjeru kazaljke na satu. Od valnog

dola do valnog brijega cestice se krecu u smjeru sirenja vala, a od brijega do dola vala

cestice se krecu u suprotnom smjeru. Slika prikazuje karakteristicnu asimetriju valnog

profila. Kada ucinak dna postane znacajan, kruzne se orbite deformiraju u elipse.

U plitkoj vodi valovi se prvenstveno gibaju duz osi x dok je gibanje u smjeru y osi

zanemarivo.

Slika 13: Trajektorija valova u dubokoj vodi - kruznica [14]

Slika 14: Trajektorija valova u plitkoj vodi - elipsa [14]

2.1.3 Grupna brzina

Najvazniji ucinci disperzije valova su:

- grupna brzina je brzina kojom val putuje,

- grupna brzina se razlikuje od fazne brzine,

- grupna brzina djeluje na brzinu pojedinog vrha vala.

Grupna brzina je takoder brzina kojom se energija povezuje s valnim gibanjem. Pret-

postavimo da imamo valove s jednadzbom disperzije ω = ω(k). Na val pocetnog profila

ϕ(x) koji se krece udesno mozemo primijeniti Fourierovu analizu kako bi dobili

ϕ(x) =

∫ ∞−∞

dk

2πA(k)eikx. (151)

27

Slika 15: Kretanje valnog paketa [4]

Kasnije ce se ovo razviti u

ϕ(x, t) =

∫ ∞−∞

dk

2πA(k)eikx−iω(k)t. (152)

Pretpostavimo daA(k) nije nula samo za uski pojas valnih brojeva oko k0 i da ograniceni

na ovom uskom rasponu mozemo napisati gotovo cijelu jednadzbu disperzije

ω(k) ≈ ω0 + U(k − k0) (153)

tako da

ϕ(x, t) =

∫ ∞−∞

dk

2πA(k)eik(x−Ut)−i(ω0−Uk0)t. (154)

Usporedujuci to s Fourierovim izrazom za pocetni valni profil, nalazimo da

ϕ(x, t) = e−i(ω0−Uk0)tϕ(x− Ut). (155)

Pulsevi stoga putuju brzinom

U ≡ ∂ω

∂k, (156)

koju nazivamo grupna brzina.

S druge strane, pojedine fronte vala gibaju se faznom brzinom ω(k)/k. Kako bi is-

trazili daljnji razvoj pulsa, pocetni puls mora sadrzavati siroki spektar frekvencija. Za

procjenu ponasanja pocetnog pulsa koristimo

ϕ(x, t) =

∫ ∞−∞

dk

2πA(k)eitψ(k). (157)

gdje je

ψ(k) = kx

t− ω(k). (158)

Pogledajmo sada ponasanje ovog integrala kada t postaje velik, pri cemu omjer x/t

ostaje nepromijenjen. Buduci da je t vrlo velik, bilo koja varijacija ψ(k) uciniti ce

integrale oscilirajucom funkcijom od k. Integriranjem cemo dobiti vrlo male vrijednosti

od k, zbog ponistavanja susjednih intervala suprotnih faza. Glavni doprinos doci ce iz

okolice stacionarnih faznih tocaka, tj. iz mjesta gdje je

0 =dψ

dk=x

t− ∂ω

∂k. (159)

28

To znaci da na mjestima u prostoru gdje je x/t = U , mozemo dobiti samo doprinose

iz Fourierove komponente koji zadovoljavaju

U =∂ω

∂k. (160)

Pocetni valni paket ce se stoga siriti brzinom

vgrupa =∂ω

∂k. (161)

To je isti izraz za grupnu brzinu koju smo dobili za mali broj valova, dok valne fronte

putuju brzinom

vfaza =ω

k. (162)

Primjer : Valovi na vodi

Jednadzba disperzije za valove u dubokoj vodi je ω =√gk, a fazna brzina je

vfaza =

√g

k(163)

dok je grupna brzina

vgrupa =1

2

√g

k=

1

2vfaza. (164)

Razliku izmedu grupne i fazne brzine mozemo demonstrirati bacanjem kamena u ba-

zen. Pojedine valne fronte prestizu kruzni valni paket i nestaju na rubu, dok ce nove

fronte nastati straga i krenuti prema naprijed. Ovaj rezultat se moze prosiriti na tro-

dimenzijski s grupnom brzinom

vigrupa =∂ω

∂ki(165)

Primjer: de Broglieevi valovi. Rjesenje vremenski ovisne Schrodingerove jednadzbe

i∂ψ

∂t= − 1

2m∇2ψ (166)

je

ψ = eik·r−iωt, (167)

sa jednadzbom disperzije

ω(k) =1

2mk2. (168)

Grupna brzina kod de Broglieevih valova dana je izrazom

vgrupa =1

mk, (169)

koja je klasicna brzina cestica.

29

2.1.4 Valne fronte (engl. wakes)

Valovi mogu nastati na razlicite nacine. Neki valovi nastaju zbog objekata koji se

krece konstantnom brzinom kroz medij, a neki pak nastaju zbog stacionarnog objekta

uronjenog u protok. Dobivene valne fronte prenose energiju pri cemu se stvara val. Val-

nim frontama se primjerice bave u proucavanju proboja zvucnog zida, Cerenkovljevim

zracenjima, Landauovom kriteriju za superfluidnost i Landauovom prigusenju oscila-

cije plazme. Ovdje cemo razmotriti nekoliko jednostavnih valova na vodi analogno

tim ucincima. Zajednicki princip za sve valne fronte je da rezultirajuci val ne ovisi o

vremenu kada se promatra s objekta koji je izvor vala. Primjer: Prepreka u protoku.

Razmotrimo panj potopljen u brzom potoku.

Slika 16: Prepreka u protoku [4]

Prepreka remeti protok vode i stvara niz valova. Ako panj lezi poprijeko potoka,

problem je jednodimenzijski i lako se analizira. Bitna stvar je da se udaljenost valnih

fronti nastalih zbog panja ne mijenja sa samim vremenom, a time i valna duljina

ostaje nepromjenjiva. Jedini uvjet je da se fazna brzina vala podudara sa srednjom

brzinom protoka. Grupna brzina ovdje nema ulogu, medutim ako je grupna brzina

valova manja od fazne brzine, energija se pohranjuje u valnom nizu, poremecaj ce biti

odnesen nizvodno, a valna fronta ce ostati iza prepreke. Ako je grupna brzina veca od

fazne brzine, a to je kod primjera s vrlo malim valnim duljinama valova na vodi gdje

je povrsinska napetost vaznija od gravitacije, energija ce se siriti suprotno protoku pri

cemu se uzvodno od prepreke stvara zubor potoka.

Primjer: Valovi nastali djelovanjem broda

Mnogo slozeniji problem nastaje na uzorku valova koji je ostavio brod na dubokoj vodi.

Oblik uzorka odreduje se pomocu grupne brzine za duboke vode, koja iznosi polovinu

fazne brzine.

30

Slika 17:Orijentacija Slika 18:Valne fronteklina [4] Kelvinovog klina [4]

Da bi uzorak vala bio neovisan o vremenu, valovi emitirani u smjeru AC moraju imati

faznu brzinu takvu da njihove fronte putuju iz A u C dok se brod krece od tocke A do

tocke B. Ako emitirana energija valova putuje faznom brzinom, fronta vala emitiranog

od pramca broda u smjeru AC lezati ce duz pramca BC. Kut kod tocke C mora

biti pravi kut jer je smjer sirenja okomit na valne fronte. Euklidov teorem o kutu u

polukrugu nam govori da je veci krug mjesto svih mogucih tocaka C (za sve smjerove

emisije vala). Zbog toga sto energija valova putuje brzinom od pola fazne brzine, valovi

koji idu u smjeru AC zapravo imaju znacajnu amplitudu samo na manjem krugu, koji

ima polumjer pola polumjera veceg kruga. Valna fronta se stoga nalazi na i unutar

Kelvinova klina cija se granica nalazi na kutu θ u odnosu na put broda. Ovaj kut se

odreduje iz omjera OD/OB = 1/3 pa je

θ = sin−1(1/3) = 19, 5 (170)

Taj kut i sirina valne fronte su neovisni o brzini broda. Valovi na rubu klina su najvise

istaknuti i oni ce imati valne fronte okomite na liniju AD. Slika 17 prikazuje orijentaciju

Kelvinova klina, a slika 18 predvideni izgled valnih fronta Kelvinova klina. Predvidanja

mozemo usporediti s valovima na slikama 19 i 20.

Slika 19: Velike valne fronte [8]

31

Slika 20: Male valne fronte [9]

2.2 Nelinearni valovi

Nelinearne pojave u fizici su jos uvijek slabo istrazene, a u nastavi fizike slabo zas-

tupljene. Linearni pristup proucavanja valova i linearna superpozicija u velikoj mjeri

olaksavaju analizu i opis valova, no uvijek treba imati na umu da takav pristup pred-

stavlja tek prvi clan u razvoju beskonacnog reda.

Linearna superpozicija u nelineranim sustavima je vrlo slozena pojava. Pronalazenje

rjesenja sume dva nelinerana vala daleko je slozenije od pukog zbrajanja. Kod neline-

arne superpozicije nalazenje rjesenja bila bi neka kombinacija dvaju polaznih rjesenja,

pri cemu treba naglasiti da takvo matematicki kombinirano rjesenje moze biti fizicki

neprihvatljivo i fizicki prihvatljivo rjesenje.

Nelinearnom superpozicijom dva regularna (fizicki prihvatljiva) rjesenja dobije se ne-

regularno (fizicki neprihvatljivo) rjesenje, i obratno, da se kombinacijom jednog regu-

larnog i jednog neregularnog rjesenja dobije regularno rjesenje.

2.2.1 Solitoni

Izraz soliton je izveden iz engleske rijeci solitary wave (u prijevodu: usamljeni val).

U sirem smislu, solitoni su valovi ograniceni u prostoru (lokalizirani) i krecu se ne

mijenjajuci svoj oblik. U uzem smislu, solitoni su rjesenja odredenih nelinearnih dife-

rencijalnih jednadzba (solitonskih jednadzba) uz odgovarajuce rubne uvjete (koji osi-

guravaju lokaliziranost).

Primjer solitona (u sirem smislu rijeci) je valni paket – rjesenje linearne d’Alembertove

32

jednadzbe u nedisperzijskom sredstvu. Poznata je pojava da disperzija utjece na valni

paket tako da se njegov oblik mijenja, tj. da se s vremenom siri, a njegova lokalizacija

gubi.

Medutim, u nekim sustavima ucinci disperzije i nelinearnosti mogu se nadoknaditi

medusobno i dovesti do stvaranja solitona, odnosno stabilnog osamljenog vala koji

se siri na velike udaljenosti bez mijenjanja oblika, cak i nakon interakcije s drugim

solitonima.

Dva tipa solitonskih valova prikazani su na slici 21.

Slika 21: Dva tipa solitonskih valova [5]

Lokalizirani valovi mogu se tumaciti pomocu prvog tipa prikazanog na slici, a kako

drugi tip deriviranjem prelazi u prvi, lokalizirane valove mozemo tumaciti i pomocu

drugog tipa.

Solitonski val je prvi uocio skotski inzenjer John Scott Russel 1834. godine.

Slika 22: John Scott Russell [7]

33

Dogadaj je opisao sljedecim rijecima:

Proucavao sam kretanje broda kojeg je par konja brzo vukao duz uskog

kanala, kada se brod iznenada zaustavio – ali ne i masa vode u kanalu koju

je on pokrenuo; ona se akumulirala oko pramca broda u stanju zestoke

pobudenosti, zatim, naglo ostavivsi brod iza sebe, krenula naprijed velikom

brzinom, uzimajuci oblik velikog osamljenog uzdignuca, zaobljene, glatke

i dobro definirane gomile vode, koja je nastavila svoj put duz kanala bez

vidljive promjene oblika i smanjenje brzine. Slijedio sam je na konju, i

pretekao je, dok se kretala brzinom od nekih osam ili devet milja na sat,

zadrzavajuci pocetni oblik duzine trideset stopa i visine dvije stope. Pos-

tepeno se smanjila, i nakon pracenja jedne ili dvije milje, izgubio sam je

u zavojima kanala. To je bio, u mjesecu kolovozu 1834. godine, moj prvi

susret sa tim jedinstvenim i lijepim fenomenom kojeg sam nazvao Transla-

cijski val.

Tim otkricem Russell postaje utemeljitelj teorije solitona.

2.2.2 Solitonske jednadzbe

Postoji veliki broj valnih jednadzba cija rjesenja opisuju solitone. U ovom dijelu nave-

den je pregled najpoznatijih solitonskih jednadzba i njihova rjesenja. Zbog komplek-

snosti problema, detaljno je izvedeno samo solitonsko rjesenje Korteweg-de Vriesove

jednadzbe, za najjednostavnije slucajeve.

Korteweg-de Vriesova (KdV) jednadzba

Korteweg-de Vriesova (KdV) jednadzba jedna je od najpoznatijih i najistrazenijih ne-

linearnih, disperzijskih jednadzba, nastala kao model valova u plitkoj vodi.

KdV jednadzba u svom najjednostavnijem obliku glasi:

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+∂3u

∂x3= 0. (171)

Nelinearnost ove jednadzbe lezi u srednjem clanu (u∂u∂x

), koji predstavlja umnozak valne

funkcije i prostorne derivacije valne funkcije.

Nelinearnost uzrokuje poznatu pojavu lomljenja valova, gdje se vrh vala suzava i pred-

nja strana vala postaje sve strmija pa gravitacija povuce vrh prema dolje.

34

Disperzija se u KdV jednadzbi ocituje u posljednjem clanu jednadzbe, trecoj prostornoj

derivaciji, tako da, siri valni paket pri cemu on gubi oblik i lokalozaciju.

Ova dva ucinka, nelinearnost i disperzija, se kod KdV jednadzbe medusobno nadoknaduju,

tako da rjesenje KdV jednadzbe nema lomljenje vala, dok valni paket neograniceno

zadrzava svoj oblik.

Rjesenje KdV jednadzbe pronalazimo direktnom integracijom.

Najprije podimo od predpostavke da trazimo rjesenje u boliku putujuceg vala. Prema

tome, ovisnost valne funkcije o prostoru i vremenu mora biti oblika u(x, t) = u(x− ct),gdje je c brzina prostiranja vala duz osi x. U izvodu cemo konstante birati upravo tako

da valna funkcija i sve njene derivacije teze ka nuli u beskonacnosti.

Oznacavajuci fazu valne funkcije sa ξ = x− ct, kako je

∂u

∂x=du

dξ,

∂u

∂t= −cdu

dξ, (172)

sveli smo parcijalnu KdV jednadzbu na obicnu diferencijalnu jednadzbu po varijabli ξ:

(u− c)dudξ

+d3u

dξ3= 0. (173)

udu

dξ− cdu

dξ= −d

3u

dξ3. (174)

d3u

dξ3= c

du

dξ− udu

dξ. (175)

Integriranjem (175) dobivamod2u

dξ2= cu− u2

2. (176)

Kako bi osigurali lokaliziranost uzeli smo da d2udξ2→ 0 uz u→ 0 za velike ξ.

Mnozenjem jednadzbe (176) sa dudξ

d2u

dξ2· dudξ

= cudu

dξ− u2

2· dudξ

(177)

i ponovnim integriranjem dolazimo do jednadzbe(du

dξ

)2

= cu2 − u3

3, (178)

gdje smo opet, zbog lokaliziranosti uzeli da dudξ→ 0 za velike ξ.

Korjenovanjem i jos jednim integriranjem jednadzbe (178) dobivamo solitonsko rjesenje:

du

dξ=

√cu2 − u3

3, (179)

35

u(ξ) =3c

ch2(√c · ξ

2)

(180)

Uvrstavanjem ξ = x− ct dobivamo osnovni oblik solitonskog rjesenja

u(x− ct) =3c

ch2(√

c2

(x− ct)) (181)

odnosno

u(x, t) = 3c sech2(√

c

2(x− ct)

)(182)

Tri su karakteristicne velicine u rjesenju (182), amplituda (3c), sirina ( 2√c) i brzina (c)

koje su medusobno povezane i pokazuju sljedeca svojstva:

- amplituda vala raste s brzinom,

- sirina vala se smanjuje s brzinom,

- amplituda se smanjuje s kvadratom sirine vala.

Treba napomenuti da je za razliku od linearnih valnih jednadzbi, gdje je amplituda

valne funkcije zadana pocetnim uvjetima, zbog nelinearnosti amplituda odredena sa-

mom jednadzbom.

To je opcenito svojstvo nelinearnih jednadzba.

Rjesenje (182) za c = 1, graficki je prikazano na slici 23., dok je trodimenzijski prikaz

solitona prikazan na slici 24.

Slika 23: Solitonsko rjesenje KdV jednadzbe (c=1) [13]

36

Slika 24: Trodimenzijski prikaz solitonskog rjesenja KdV jednadzbe [13]

Sinus-Gordonova (SG)jednadzba

Sinus-Gordon (SG) jednadzba glasi:

∂2u

∂x2− ∂2u

∂t2= sinu (183)

Rjesenje je soliton

u±(x− ct) = 4tan−1(e± x−ct√

1−c2

), (184)

gdje se rjesenje s pozitivnim eksponentom moze smatrati solitonsko, dok bi se ono sa

negativnim eksponentom moglo nazvati antisolitonsko rjesenje. Ova rjesenja su graficki

prikazana na slikama 25. i 26.

37

Slika 25: Solitonsko rjesenje sinus-Gordonove jednadzbe [13]

Slika 26: Antisolitonsko rjesenje sinus-Gordonove jednadzbe [13]

Slika 27: Sinus-Gordon soliton [4]

Nelinearna Schrodingerova jednadzba (NLS)

Nelinearna Schodingerova jednadzba s privlacnim medudjelovanjem oblika

i∂ψ

∂t= − 1

2m

∂2ψ

∂x2− λ|ψ|2ψ, (185)

38

gdje je λ > 0.

Rjesenje je soliton

ψ = eikx−iωt√

c

mλsech√c(x− ct), (186)

gdje je

k = mc, ω =1

2mc2 − c

2m. (187)

U tom slucaju, brzina je neovisna o amplitudi. Nelinearna Schrodingerova jednadzba

opisuje mnoge sustave, ukljucujuci i dinamiku tornada, gdje se solitoni manifestiraju

u obliku tankih krivudavih lijevaka.

39

Sazetak

Valovi su jedna od najrasirenijih pojava u prirodi. Val je poremecaj koji se odredenom

brzinom siri u prostoru, a izazvan je titrajima nekog titrajnog sustava. Osim me-

hanickih valova, pri kojima su poremecene koordinate pojedinih dijelova sredstava,

postoje i elektromagnetski valovi, kod kojih se mijenja elektricno i magnetsko polje.

Mehanicki valovi se mogu siriti samo kroz neku tvar, medij, dok se elektromagnetski

valovi mogu siriti i kroz vakuum.

U ovom diplomskom radu poblize su opisani realni morski valovi u plitkoj i dubokoj

vodi, valovi nastali plovidbom broda te valovi na prepreci.Glavni problem u proucavanju

realnih valova zadaju nelinearnosti i disperzije. Najvazniji ucinci disperzije kod valova

realnog fluida su: grupna brzina postaje brzina vala, grupna brzina razlikuje se od

fazne brzine i grupna brzina djeluje na brzinu pojedinog vrha vala.

Osim disprezije i nelinearnosti, ovaj diplomski rad opisuje razlicite primjere nastajanja

valova i solitone. Soliton je stabilan osamljeni val koji se siri na velike udaljenosti bez

mijenjanja oblika. Poznata je pojava da kod realnih valova disperzija utjece na valni

paket tako da se njegov oblik mijenja, tj. da se s vremenom siri, a njegova lokaliza-

cija gubi. Medutim, kod solitona se u odredenim uvjetima disperzije i nelinearnosti

medusobno nadoknaduju, tako da nastali val neograniceno zadrzava svoj oblik.

40

Summary

Waves are one of the most common phenomenon in nature. Wave is disorder that is

spread with a certain speed in the area, and was caused by vibrations of an oscillating

system. In addition to mehanical waves, whose coordinates are disrupted in some

parts of the medium, there are electromagnetic waves, which change the electric and

magnetic field. Mechanical waves can be spread only through matter, medium, and

electromagnetic waves can be spread through the vacuum.

This work describes in detail the real waves in shallow and deep water, the waves

created by boat and waves in the barrier. The main problem in the study of real waves

are nonlinearity and dispersion. The most important effects of dispersion in real waves

are: group velocity becomes the speed of the wave, group velocity is different from the

phase velocity and the group velocity effect on the speed of each wave crest.

Except dispersion and nonlinearity, this work describe various examples of the occur-

rence of waves and solitons. Soliton is stable, single wave which spreads over large

distances without changing shape. It is a known phenomenon that the real wave dis-

persion affects the wave package so that its shape changes ie with time expands and

loses its localization. However, under certain conditions, dispersion and nonlinearity, at

solitons are mutually compensated, thus brought is wave retains its shape indefinitely.

41

Bibliografija

[1] Z. Faj, PREGLED POVIJESTI FIZIKE, Osijek, 1999.

[2] V.Henc-Bartolic, P. Kulisic, VALOVI I OPTIKA, Skolska knjiga, Zagreb, 1991.

[3] M. Paic, GIBANJE, SILE, VALOVI, Skolska knjiga, 1997.

[4] M. Stone, MATHEMATHICS FOR PHYSICS I, Pimander-Casaubon, Alexandria,

Florence, London, 2001.

[5] Lamb, G.L.Jr., Elements of Soliton Theory, John Wiley and Son, 1980.

[6] http://marjan.fesb.hr/suri/ktf/predavanja/predavanje− 09− V alovi.pdf (ru-

jan 2013.)

[7] http://fiz.petnica.rs (rujan 2013.)

[8] http://www.ma.hw.ac.uk/chris/scottrussell.html (rujan 2013.)

[9] http://visualintel.net (rujan 2013.)

[10] http://fotoklubmg.hr (rujan 2013.)

[11] http://bojand.org/seminarski/solitoni/sadrzaj.html (rujan 2013.)

[12] http://en.wikipedia.org/wiki/Soliton (rujan 2013.)

[13] Herriot-Watt University, Edinburg - Department of Mathematics, Solitons Home

Page, http://www.ma.hw.ac.uk/solitons (prosinac 2003.)

[14] http://www.grad.unzig.hr/download/repository/idealnivalovi.pdf (rujan 2013.)

42

Zivotopis

Ivana Friscic, rodena 28.03.1983. godine u Cakovcu, Republika Hrvatska. Osnovnoskolsko

obrazovanje zavrsila sam u Osnovnoj skoli Donja Dubrava, a srednjoskolsko u Gimna-

ziji Cakovec, smjer prirodoslovno - matematicki. Nakon srednje skole upisala sam

dodiplomski studij na Odjelu matematike u Osijeku, smjer matematika - fizika.

43