Valószínuségszámítás˝ és statisztikavargal4.elte.hu/ValStatEA_Info2015.pdf · Valószínuségszámítás˝ prog.mat.-os jegyzet Denkinger: Valószínuségszámítás˝ közgazdászoknak

Valószínuségszámítás és statisztikaProgramtervezo informatikus szak

esti képzés

Varga László

Valószínuségelméleti és Statisztika TanszékMatematikai Intézet

Természettudományi KarEötvös Loránd Tudományegyetem

Honlap: www.cs.elte.hu/~vargal4

E-mail: [email protected]

2015. december 3.

Varga László (ELTE) Valószínuségszámítás és statisztika 2015. december 3. 1 / 45

www.cs.elte.hu/~vargal4

[email protected]

Tudnivalók a tantárgyról

Kötelezo irodalom: az eloadásokon elhangzottakAjánlott irodalom:

Csiszár Villo honlapján elérheto két jegyzet: Valószínuségszámítás(http://www.cs.elte.hu/~villo/esti/valszam.pdf) ,Statisztika (http://www.cs.elte.hu/~villo/esti/stat.pdf) kimondottan az estis prog.inf. szakosoknak készültekBaróti, Bognárné, ...: Valószínuségszámítás prog.mat.-os jegyzetDenkinger: Valószínuségszámítás közgazdászoknak készült könyvBaron: Probability and statistics for computer scientists informatikushallgatóknak készült angol nyelvu könyv

Vizsga:Írásbeli, 120 perces, 100 pont a maximumSzámológépen kívül semmit se lehet használni (papírt is adok)

Osztályozás:

1 0 - 29,992 30 - 49,993 50 - 64,994 65 - 79,995 80 - 100

Lesz feladatmegoldás is.Varga László (ELTE) Valószínuségszámítás és statisztika 2015. december 3. 2 / 45

http://www.cs.elte.hu/~villo/esti/valszam.pdf

http://www.cs.elte.hu/~villo/esti/stat.pdf


Kötelezo irodalom: az eloadásokon elhangzottakAjánlott irodalom:

Csiszár Villo honlapján elérheto két jegyzet: Valószínuségszámítás(http://www.cs.elte.hu/~villo/esti/valszam.pdf) ,Statisztika (http://www.cs.elte.hu/~villo/esti/stat.pdf) kimondottan az estis prog.inf. szakosoknak készültekBaróti, Bognárné, ...: Valószínuségszámítás prog.mat.-os jegyzetDenkinger: Valószínuségszámítás közgazdászoknak készült könyvBaron: Probability and statistics for computer scientists informatikushallgatóknak készült angol nyelvu könyv

Vizsga:Írásbeli, 120 perces, 100 pont a maximumSzámológépen kívül semmit se lehet használni (papírt is adok)

Osztályozás:

1 0 - 29,992 30 - 49,993 50 - 64,994 65 - 79,995 80 - 100

Lesz feladatmegoldás is.Varga László (ELTE) Valószínuségszámítás és statisztika 2015. december 3. 2 / 45

http://www.cs.elte.hu/~villo/esti/valszam.pdf

http://www.cs.elte.hu/~villo/esti/stat.pdf


A tananyag az ido függvényében exponenciálisan nehezedik.A tananyag teljes mértékben egymásra épül ⇒ ha valakilemarad, utána szinte egy mukkot se fog érteniA félév menete (terv):

1-8. eloadás: valószínuségszámítás (∼60%)9-13. eloadás: statisztika (∼40%)


A valószínuségszámítás

Matematikai tudományKezdete: 1654 De Méré lovag – kockajáték 100 évvel késobbPascal oldja megAxiomatikus felépítés: 1933, A.N. KolmogorovA 20. században számos új terület fejlodött belole: matematikaistatisztika (Fisher), játékelmélet (Neumann János),információelmélet (Shannon), sztochasztikus folyamatok, véletlengráfok elméleteMagyar vonatkozások: Jordán Károly, Pólya György, Rényi Alfréd


Feladatok

E1.) Egy szabályos kockával egyszer dobunk.a.) Mik lesznek a kísérletet leíró eseménytér pontjai?b.) Határozzuk meg az elemi események valószínuségét!c.) Mennyi a valószínusége, hogy páros számot dobunk?d.) 100-szor feldobtuk a kockát, a kapott eredményeket

(gyakoriságokat) a következo táblázat tartalmazza:1 2 3 4 5 6 Összesen15 18 17 19 15 16 100

Határozd meg annak a relatív gyakoriságát, hogy páros számotdobtunk!

e.) Szimulációval becsüljük meg annak a valószínuségét, hogy párosszámot kaptunk!


Feladatok

0 2000 4000 6000 8000 10000

0.0

0.2

0.4

0.6

A szimuláció eredménye

Független kísérletek száma

Rel

atív

gya

koris

ág

E2.) Legyen A,B,C három esemény. Írjuk fel formálisan annak azeseménynek a valószínuségét, hogy közülüka.) pontosan kb.) legfeljebb k esemény következik be (k = 1,2,3).


Feladatok

E3.) [Középszintu matematika érettségi, 2015.] Két különbözo színuszabályos dobókockával egyszerre dobunk. Adja meg annak a

valószínuségét, hogy a dobott számok szorzata prímszám lesz!

Egy "remek" megoldás élo adásban:


Feladatok

E4.) Mintavétel: Adott N különbözo termék, amik között van Mselejtes. Veszünk n elemu mintáta.) visszatevés nélkül;b.) visszatevéssel.Mennyi a valószínusége, hogy az n termékbol pontosan k selejtestsikerült kiválasztanunk, amennyiben számít a kihúzás sorrendje?


Feladatok

E5.) Névjegy probléma.Tegyük fel, hogy n ember véletlenszeruen összekeveri a névjegyét(esernyojét)! Számoljuk ki annak a valószínuségét, hogy senki sem asajátját kapja! Hova tart ez a valószínuség n→∞ esetén?


Feladatok

E6.) Monty Hall probléma.3 ajtó közül kell a játékosnak választania. Egy mögött nyeremény(autó) van, a másik ketto mögött kecske. Eloször kiválasztunk egy ajtótmagunknak, de nem nyitjuk ki, majd a musorvezeto kinyit egy másik,kecskés ajtót. Ezek után dönthetünk: kitartunk az eredeti választásunkmellett, vagy a harmadik, még bezárt ajtót választjuk inkább. Mi a jobbstratégia a ketto közül?


Feladatok

E7.) Egy tesztes vizsgánál minden kérdésre 5 válaszlehetoség közülkell a helyeset kiválasztani. A vizsgázó 0,6 valószínuséggel tudja azegyes kérdésekre a helyes választ, ekkor biztosan helyes választ fogbejelölni. Ha nem tudja a választ, akkor tippel. Ha a vizsgázó egykérdésre helyes választ adott, akkor mi a valószínusége, hogy ténylegtudta is a helyes választ?

E8.) Mutass példát olyan (Ω,A,P) valószínuségi mezore és ezekbenolyan A,B,C eseményekre, amelyekrea.) A,B és C páronként függetlenek, azonban nem teljesen

függetlenek;b.) P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C) teljesül, azonban az A,B,C

események nem teljesen függetlenek!


Feladatok

E9.) Állapítsuk meg X eloszlását a következo esetekben:a.) X : hány hallgatót kell végigkérdezni, mire az elso bak jegyut

megtalálom;b.) X : lottóhúzásnál (5-ös lottó) a 4-gyel oszthatók száma;c.) Léggömbökre lövöldözünk, az egyes léggömböket 0,1

valószínuséggel találom el. X : lövések száma, míg a 3. léggömbötki nem lövöm;

d.) X : október 1-jén a csillaghullások száma;e.) Egy üzemben eloállított termékek 5%-a III. osztályú. X : 20

terméket kiválasztva, a III. osztályúak száma.


Feladatok

E10.) Három befektetési lehetoség közül választhatunk:bankszámla, fix éves 3,3%-os kamattal;egy 5 éve futó befektetési alap, ami a korábbi tapasztalatok alapján50% eséllyel 3%-os hozamot, vagy 50% eséllyel 5%-os éveshozamot nyújt;egy részvény, a több éves tozsdei adatok alapján azt látjuk, hogy50% eséllyel 10%-ot veszít értékébol, vagy 50% eséllyel 20%-ot noa részvény értéke egy év alatt.

Melyik befektetést tartod a legjobbnak?


Feladatok

E11.) Határozzuk meg az alábbi nevezetes diszkrét eloszlások várhatóértékét és szórását:a.) indikátor;b.) binomiális;c.) geometriai;d.) Poisson.

E12.) Egy szabályos érmét kétszer feldobunk. Legyen X értéke 1, haaz elso dobás fej, és 0, ha az elso dobás írás. Legyen Y értéke 1, ha amásodik dobás fej, és 0, ha a második dobás írás. Mutassuk meg,hogy U = X + Y és V = |X −Y | korrelálatlanok, de nem függetlenek!


Feladatok

E13.) Eloszlásfüggvény a következo függvény?

F (x) =

0 x ≤ 0[x ]2 0 < x ≤ 2

1 2 < xahol [x ]: x egészrésze

E14.) Eloszlásfüggvény a következo függvény? Ha igen, vansuruségfüggvénye?

F (x) =

1− 9

x2 ha x > 30 ha x ≤ 3

Határozzuk meg a következo értékeket:P(X = 4) P(2 < X < 4) P(X > 4) EX EX 5


Feladatok

E15.) Határozzuk meg az alábbi nevezetes abszolút folytonoseloszlások várható értékét és szórását:a.) egyenletes;b.) exponenciális;c.) standard normális.

E16.) Mely c-re lesz kétdimenziós suruségfüggvény az alábbi?

fX ,Y (x , y) =

c(x + y) ha (x , y) ∈ (0,2)2

0 különbenAdjuk meg a peremsuruségfüggvényeket és a következo értékeket:P(X < 1,Y < 1) EX DY R(X ,Y )


E17.) Egy vállalatnál dolgozó alkalmazottak fizetése (e Ft-ban)a.) E(100,400);b.) 100+Bin

(400, 3

8

);

c.) Exp( 1

250

)eloszlást követ.

Becsüljük meg a centrális határérték-tétellel annak a valószínuségét,hogy az alkalmazottak átlagfizetése nagyobb 300 ezer Ft-nál, ha avállalatnál n = 10,20,50,100,200 ember dolgozik! Vessük ezt össze atényleges valószínuségekkel!

E18.) Nagyon sokszor dobálva egy szabályos kockával, hova tart (ésmilyen értelemben) a dobások átlagos értéke?


E19.) Adott egy X valószínuségi változó. Célunk a p = P(X ∈ A)valószínuség becslése. Ennek érdekében az X -et generáló véletlenkísérletet N alkalommal egymástól függetlenül megismételjük, így

adódó természetes becslés: p = 1N

N∑i=1

I(Xi ∈ A).

a.) Határozzuk meg a becslés várható értékét és szórását!b.) Mennyire pontos a becslés? Becsüljük a P(|p − p| < ε)

valószínuséget a Csebisev-egyenlotlenséggel és a centrálishatáreloszlás-tétellel, ha ε > 0 kicsi valós szám!

c.) Legyen α > 0 kicsi valós szám. Hányszor hajtsuk végre akísérletet, hogy P(|p − p| < ε) ≥ 1− α teljesüljön?


E20.) Legalább hány embert kell megkérdezni egyközvélemény-kutatásnál, ha egy 10%-os párt támogatottságát (azeltérést a várható támogatottságtól) legalább 95%-os valószínuséggel0,01-nél kisebb eltéréssel szeretnénk megbecsülni?a.) Számoljunk a Csebisev-egyenlotlenséggel!b.) Számoljunk a centrális határeloszlás-tétellel!c.) Szimulációval nézzük meg, hogy hány embert kell megkérdezni

különbözo támogatottságú pártok esetén!

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

010

000

3000

050

000

Párt támogatottsága

Meg

kérd

ezen

do e

mbe

rek

szám

a

CsebisevCHT


A statisztika fogalma és ágai

Statisztika: a valóság tömör, számszeru jellemzésére szolgálótudományos módszertan, illetve gyakorlati tevékenység.Ágai:

Leíró statisztika: magában foglalja az információk összegyujtését,összegzését, tömör, számszeru jellemzését szolgáló módszereketMatematikai statisztika: matematikai tudomány, a valószínuségiváltozókkal jellemezheto jelenségek leíró adatainak feldolgozásáról,értelmezésérol és felhasználásáról szóló tudományos módszertan


Leíró statisztikai alapfogalmak I.

Statisztikai egység: a statisztikai vizsgálat tárgyát képezo egyedStatisztikai sokaság: a megfigyelés tárgyát képezo egyedekösszessége, halmaza. Röviden: sokaság. Példák: a magyartársadalom, a Ferrari tulajdonosok.Statisztikai ismérv: a sokaság egyedeit jellemzo tulajdonság.Röviden: ismérv.Ismérvváltozatok: az ismérvek lehetséges kimenetelei.Például ha az ismérv a hallgatók neme, akkor az ismérvváltozatok:fiú (→ 1), lány (→ 0).


Leíró statisztikai alapfogalmak II.

Az ismérvek típusai I. minoségi ismérv: az egyedek számszeruen nem mérheto tulajdonsága mennyiségi ismérv: az egyedek számszeruen mérheto tulajdonsága. Két

fajtájukat különböztetjük meg: diszkrét: véges vagy megszámlálhatóan sok értéket vehet fel folytonos: egy adott intervallumon belül kontinuum számosságú értéket felvehet

idobeli ismérv: az egységek idobeli elhelyezésére szolgáló rendezoelvek területi ismérv: az egységek térbeli elhelyezésére szolgáló rendezoelvekAz ismérvek típusai II. közös ismérvek: tulajdonságok, amik szerint a sok. egyedei egyformák megkülönbözteto ismérv: azok a tulajdonságok, amik szerint a sokaság

egyedei különböznek egymástól

Legyen a sokaság: szobában lévo hallgatók. Példák ismérvekre:minoségi: szemszín, nem közös: orrok számadiszkrét mennyiségi: testvérek száma megkülönbözteto: testsúlyfolytonos mennyiségi: testmagasságidobeli: születési idoterületi: születési hely


Leíró statisztikai alapfogalmak III.

Mérési skálák (mérési szintek):Névleges (nominális): a számok csak ún. kódszámok, amik asokaság egyedeinek azonosítására szolgálnak. Ezek közöttmatematikai relációkat és muveleteket nincs értelme végezni. Pl. ahallgatók neme.Sorrendi (ordinális): a sokaság egyedeinek valamely tulajdonságalapján sorba való rendezése. Az egyedek tulajdonsága közöttikülönbséget nem lehet mérni. Pl. a hallgatók jegyei egy tárgyból.Intervallumskála: a skálaértékek különbségei is valós információtadnak a sokaság egyedeirol. A skálán a nullpont meghatározásaönkényes. Ilyen skálákhoz mértékegység is tartozik. Pl.homérséklet.Arányskála: a skálának van valódi nullpontja is. Mindenmatematikai muvelet elvégezheto ezekkel a számokkal. Pl. ahallgatók magassága.


Leíró statisztikai alapfogalmak IV.

Statisztikai sor: a sokaság egyes jellemzoinek felsorolása.Az ismérvek fajtája szerint beszélhetünk minoségi, mennyiségi, idobeliés területi sorokról.A statisztikai sorok további csoportosítása:

Csoportosító sor: a sokaság egy megkülönbözteto ismérv szerintiosztályozásának eredménye; az adatok összegezhetok (van’Összesen’ sor)Összehasonlító sor: a sokaság egy részének a sokaságot egymegkülönbözteto ismérv szerinti osztályozásának eredménye; azadatok nem összegezhetokLeíró sor: különbözo fajta, gyakran eltéro mértékegységustatisztikai adatokat tartalmaz

Például ha egy statisztikai sor tartalmazza az osztályteremben ahallgatókat nemek szerint, akkor ez a sor minoségi csoportosító sor.


Leíró statisztikai alapfogalmak V.

Statisztikai tábla: a statisztikai sorok összefüggo rendszere.A statisztikai táblák fajtái:

Egyszeru tábla: nem tartalmaz csoportosítást, nincs benneösszegzo sorCsoportosító tábla: egyetlen csoportosító sort tartalmazKombinációs vagy kontingenciatábla: legalább két csoportosító sorttartalmaz


Leíró statisztikai alapfogalmak VI.

Statisztikai adat: valamely sokaság elemeinek száma vagy asokaság valamilyen másféle számszeru jellemzoje, mérési eredmény.A statisztikai adatok fajtái:

Alapadatok: közvetlenül a sokaságból származnak (méréssel,megszámlálással)Leszármaztatott adatok: alapadatokból muveletek eredményekéntadódnak (pl. átlagolással, osztással)

A statisztikai adatok nem mindig pontosak – a mért és a ténylegesadat eltérhet egymástól, például kerekítési okokból.


Leíró statisztikai alapfogalmak VII.

A statisztikai elemzések egyik lefontosabb eszközei a viszonyszámok(néha: indikátorok). A viszonyszám két statisztikai adat hányadosa.Jelölések:

V = AB ,

ahol V : viszonyszám; A: a viszonyítás tárgya; B: a viszonyítás alapja.A viszonyszámok fajtái:

Megoszlási: a sokaság egy részének a sokaság egészéhez valóviszonyításaKoordinációs: a sokaság egy részénak a sokaság egy másikrészéhez való viszonyításaDinamikus: két idopont vagy idoszak adatának hányadosaIntenzitási: különbözo fajta adatok viszonyítása egymáshoz;gyakran a mértékegységük is eltéro.


E21.) Egy vállalatnak 10 telephelye van. Három telephely dolgozóinakmegoszlása életkor szerint:

Életkor (év) 2. telephely 8. telephely 9. telephely18–30 20 20 3031–40 20 30 2041–50 20 30 5050–62 20 20 10Összesen 80 100 110

Milyen típusú a tábla és milyen típusú sorokat tartalmaz? Határozdmeg a táblázatbeli csoportosítás alapját képzo ismérvek típusát ésazok mérési skáláját!

E22.) Az alábbi mondatokban milyen viszonyszámok rejtoznek? Azokmilyen típusúak? Add meg kiszámításuk pontos képletét!a.) Egy 25 fos csoportban a lányok részaránya 40%.b.) Idén 180, a tavalyihoz képest 10%-kal kevesebb hallgató vette fel a

Diszkrét matematika tantárgyat.c.) Marika összesen 2000 km-es nyaralása alatt autója

átlagfogyasztása 8 l/100 km volt.d.) Az ELTE-n 4000 diák van, az egy tanárra jutó diákok száma 20.


A statisztikai elemzés lépései

1.) Tervezésa.) Mit vizsgálunkb.) Hogyan gyujtjük az adatokatc.) Elozetes sejtések, hipotézisek megfogalmazása

2.) Terepmunka – adatgyujtés3.) Adatbevitel, kódolás (ha szükséges)4.) Adatok validálása (biztosan rossz értékek kiszurése, mint például

életkornál a 9999)5.) Adatelemzés, adatellenorzés: leíró statisztikákkal, grafikonok

készítése6.) Hibás adatok kijavítása vagy kihagyása7.) Adatelemzés, statisztikai következtetések levonása – a

matematikai statisztika módszereivel8.) Az eredmények értelmezése, visszacsatolás


Fontos leíró statisztikai ábrák I.

Interkvartilis terjedelem: IQR = Q3 −Q1

Boxplot ábra (Box&Whiskers diagram) – ez fekvo, de lehet álló is

ahol a betuk a következo értékeket jelentik:A = maxx∗

1 ,Q1 − 1,5 · IQRB = Q1C = MeD = Q3E = minx∗

n ,Q3 + 1,5 · IQRF : kieso érték (outlier) azokat az adatpontokat tüntetjük fel, amikA-n vagy E-n kívülre esnek


Fontos leíró statisztikai ábrák II.

Hisztogram – Ha a mennyiségi ismérv folytonos vagy sok ismérvértékvan, akkor alkalmas módon osztályokat képezünk, majd minden egyesadatot pontosan egy osztályhoz rendeljük. A hisztogram az osztályokgyakoriságait ábrázolja.A számítás lépései (hüvelykujjsza-bályként használható):

az osztályok száma:k = mink : 2k > nha azonos hosszúságú (h)osztályközöket akarunklétrehozni, akkor h =

x∗n −x∗

1k

az i . osztályba esésgyakorisága: fi Lemerülési ido (óra)

Gya

koris

ágok

12 14 16 18 20 22

01

23

45


E23.) Azonos felhasználási körülmények között megmérték 15 azonostípusú mobiltelefon akkumulátorának lemerülési idejét teljesfeltöltöttségrol: (óra)18 16 15 20 12 16 -15 2314 11 17 15 200 19 18 20

a.) Nézd át nagy vonalakban az adatokat, reálisak-e! Próbáld megkijavítani az esetleges adathibákat!

b.) Ábrázold a tapasztalati eloszlásfüggvényt! Számítsd ki ésértelmezd a 16 helyen!

c.) Elemezd a lemerülési idot az alapstatisztikák: az átlag, a korrigálttapasztalati szórás, szórási együttható és boxplot ábra (kvartilisek)segítségével! Értelmezd is az eredményeket!

d.) Készíts alkalmas sávszélességu hisztogramot!


Megoldás (értelmezések)a.) Adatjavítás: -15 és 200, a helyes értékek vélhetoen 15 és 20b.) Az akkumulátorok 3/8-ad része 16 óránál hamarabb merült le.c.) Az akkumulátorok átlagosan 16,8 óra alatt merültek le. Az egyes

akkumulátorok lemerülési ideje az átlagos lemerülési idotolátlagosan 3,19 órával, azaz 18,96%-kal tért el. Az akkumulátoroknegyede (25%-a) legfeljebb 15 óra alatt lemerült, mígháromnegyede legalább 15 órán keresztül ébren volt. Azakkumulátorok fele (50%-a) legfeljebb 16,5 óra alatt lemerült, mígháromnegyede legalább 16 és fél órán keresztül ébren volt. Azakkumulátorok háromnegyede (75%-a) legfeljebb 19,75 óra alattlemerült, míg háromnegyede legalább 19,75 órán keresztül ébrenvolt.


E24.) LeBron James a 2013/14-es szezonban 100 szabaddobásából75-öt dobott be. Célunk ezen információ alapján annak a becslése,hogy James egy mérkozése alatt egy szabaddobást milyenvalószínuséggel dob be.a.) Adjuk meg a mintateret és a paraméterteret!b.) Adjunk torzítatlan becslést az ismeretlen paraméterre!c.) Határozzuk meg az ismeretlen paraméter maximum likelihood

becslését, majd tegyük torzítatlanná!d.) Határozzuk meg az ismeretlen paraméter momentum-becslését!

E25.) Minden nap a Mester utca megállónál szállok fel a 4-es/6-osvillamosok valamelyikére. E hét munkanapjain az alábbi várakozásiidoket mértem (perc):1,2 2 1,5 3 2,1

A várakozási idorol tegyük fel, hogy exponenciális eloszlású.a.) Adjuk meg a mintateret és a paraméterteret!b.) Határozzuk meg az ismeretlen paraméter maximum likelihood

becslését!c.) Határozzuk meg az ismeretlen paraméter momentum-becslését!


E26.) Legyen X1, . . . ,Xn független, azonos abszolút folytonoseloszlású valószínuségi változók sorozata. Adjuk meg X ∗

1 és X ∗n

eloszlás- és suruségfüggvényét!

E27.) Egy véletlen szám generátorral 20 véletlen számot állítunk eloegy ismeretlen (a,b) intervallumból. A kapott véletlen számoksorrendbe téve és (egyszeruség kedvéért) egészre kerekítve:10 11 12 13 13 14 17 19 21 2223 24 25 27 31 31 32 35 36 38

a.) Adjuk meg a mintateret és a paraméterteret!b.) Határozzuk meg az ismeretlen paraméterek maximum likelihood

becslését!c.) Tegyük torzítatlanná az ML-becsléseket!d.) Határozzuk meg a paraméterek momentum-becslését!


Q-Q plot

Illeszkedésvizsgálat "szemmel"Az illesztett eloszlás kvantiliseit vetjükössze a tapasztalati kvantilisekkel,azaz a következo pontokat ábrázoljuk:(

F−1(

kn+1

), x∗

k

)k = 1, . . . ,n

aholF : az illesztett eloszláseloszlásfüggvényex∗

k a k. rendezett mintaelem

Be szokták húzni a 45 fokos egyenestés minél jobban rásimulnak a pontokaz egyenesre, annál jobbnak tekinthetoaz illeszkedés.Nem helyettesíti a statisztikai próbákat

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−1

12

3

Theoretical Quantiles

Sam

ple

Qua

ntile

s

−3 −2 −1 0 1 2 30

12

34

5

Theoretical Quantiles

Sam

ple

Qua

ntile

s


Hipotézisvizsgálat menete I.

1.) Elsofajú hiba (α) valószínuségének lefixálása, ami jellemzoen 1%és 10% közötti, tipikusan 5%Megbízhatóság=1-α, általában %-osan írjuk

2.) Nullhipotézis (H0) felírása – sokévi, megszokott, elvárt értékeknekmegfelelo paramétertartomány

3.) Alternatív hipotézis (H1) felírása – a minta alapján bennünketérdeklo kérdésnek megfelelo paramétertartomány

4.) A probléma megoldására alkalmas próba vagy próbák kiválasztása– feltételek ellenorzése

5.) Próbastatisztika kiszámítása6.) Kritikus érték kiszámítása, kritikus tartomány (Xk ) megállapítása7.) Döntés:

x ∈ Xk eros döntés, H1-et elfogadjuk, H0-t elvetjük/elutasítjukx ∈ Xe gyenge döntés, H1-et elutasítjuk, H0-t nem tudjukelutasítani


Hipotézisvizsgálat menete II.

1.) Elsofajú hiba (α) valószínuségének lefixálása2.) Nullhipotézis (H0) felírása3.) Alternatív hipotézis (H1) felírása4.) A probléma megoldására alkalmas próba vagy próbák kiválasztása5.) Számítógéppel dolgozva, az elozo fólián lévo 5.)-6.)-7.) helyett

dönthetünk az ún. p-érték alapján is:p-érték < α ⇔ x ∈ Xk ⇔ H1-et elfogadjuk

p-érték: azon elsofajú hiba valószínuség, amire a kritikus értékmegegyezik a próbastatisztikával


E28.) Egyre több problémát okoz, hogy hackerek megszerzik valakijelszavát, és így titkos információk kerülnek ki. Informatikuskollégánknak az jut az eszébe, hogy ne csak a leütött karakterekhelyességét ellenorizzük, hanem azt is, hogy az egyes karaktereketmilyen gyorsan üti le a jelszó valódi tulajdonosa.A vállalat igazgatója 10 karakteres jelszóval rendelkezik, a begépeléssorán az egyes karakterek leütése közti idok az alábbiak (mp):0,14 0,2 0,21 0,23 0,18 0,4 0,31 0,24 0,29

Tegyük fel, hogy a leütési idoközök normális eloszlást követnek.a.) Vizsgáljuk meg Q-Q plot segítségével, hogy a minta normális

eloszlásúnak tekintheto-e!b.) Adjunk 95%-os megbízhatóságú konfidenciaintervallumot a leütési

idoközök várható értékére és szórására!c.) Vizsgáljuk meg azt a hipotézist, hogy a leütési idoközök várható

értéke meghaladja-e a 0,2 mp-et (és a 0,18 mp-et?)!d.) A rendszerbe éjjel 2-kor lépnek be az igazgató jelszavával, a

következo leütési idoközöket regisztráltuk (mp):0,2 0,23 0,25 0,2 0,28 0,44 0,35 0,3 0,49

Döntsünk arról a hipotézisrol, hogy vajon feltörték-e a jelszót!Varga László (ELTE) Valószínuségszámítás és statisztika 2015. december 3. 39 / 45

E29.) Valaki azt állítja, hogy a klíma változik, és ezt azzal vélibizonyítottnak, hogy az elmúlt 10 évben 2-szer is volt jégeso december2-án, pedig korábban az egyes évekre a jégeso valószínusége ahivatalos adatok alapján csupán p = 0,1 volt. Írjuk fel a hipotéziseket,a próbát és állapítsuk meg az elsofajú hiba valószínuségét, valamintaz erofüggvényt a p = 0,2 pontban!

E30.) Egy gyártó megfigyelte, hogy 100, általa eloállított SSDmerevlemezen 5 év használat után hány hibás szektort talál az ezekfelkutatására készített szoftver:

Hibás szektorok száma 0 1 2 3 4 5 7 ÖsszesenGyakoriságok 45 35 12 5 1 1 1 100

Vizsgáljuk meg, hogy a szektorhibák száma Poisson-eloszlást követ-e!


E31.) Egy webtervezo azt gyanítja, hogy az általa létrehozottinternetes vásárlás honlapján a vásárlások mértéke összefügg azzal,hogy milyen nap van a héten. Ennek a sejtésnek az ellenorzésére egyhéten kereszül adatokat gyujt – összesen 3758 látogatót számlált meg:

Vásárlás H K Sz Cs P Sz V Össz.Nem vásárolt 399 261 284 263 393 531 502 26331 vásárlás 119 72 97 51 143 145 150 777Több vásárlás 39 50 20 15 41 97 86 348Összesen 557 383 401 329 577 773 738 3758

Alkalmas statisztika próbával döntsünk arról, hogy helyes-e awebtervezo sejtése!


E32.) Regresszió



Néhány híres idézet a statisztikáról:Winston Churchill (Goebbels?): "Csak annak a statisztikánakhiszek, amit én magam hamisítottam."Mark Twain (Disraeli?): "Van kis hazugság, van nagy hazugság ésvannak a statisztikák."Joszif Sztálin: "Egyetlen ember halála tragédia, milliók halála csakegy statisztika."Alphonse Allais (francia író volt): "Statisztikusok kimutatták, hogy aháborúk alatt érzékelhetoen megno a halálozás a katonaságnál."Ben Bernanke (az USA központi bankjának elnöke volt 2006 és2014 között): "Az aggregált statisztikák lényeges információkatrejthetnek el.""Statistics are used much like a drunk uses a lamppost: for support,not illumination."












Konzultációs és vizsgaidopontok

Megnevezés Nap Idopont HelypótZH dec. 14.,hétfo 16:00 0-8051. vizsga dec. 21., hétfo 16:00 0-803konzultáció/megtekintés jan. 6., szerda 16:00 3-3092. vizsga jan. 7., csütörtök 16:00 0-803konzultáció/megtekintés jan. 20., szerda 16:00 3-3093. vizsga jan. 21., csütörtök 16:00 0-803konzultáció/megtekintés jan. 27., szerda 16:00 3-3094. vizsga: UV jan. 28., csütörtök 16:00 0-803megtekintés jan. 29., péntek 16:00 3-309


Documents

Valószínuségszámítás˝ és statisztikavargal4.elte.hu/ValStatEA_Info2015.pdf · Valószínuségszámítás˝ prog.mat.-os jegyzet Denkinger: Valószínuségszámítás˝ közgazdászoknak