Samo jedan zadatak Branka Antunović-Piton

Sveučilište Jurja Dobrile u Puli

Fakultet za odgojne i obrazovne znanosti

Van Hilova teorija u matematičkom obrazovanju

Sveučilište u Zadru,

Odjel za izobrazbu učitelja i odgojitelja

HUNI, Hrvatska udruga nastavnika istraživača

Zadar, 25. - 26. travnja 2019.

• U radu se razmatra didaktička uloga matematičkog zadatka tj. snaga i bogatstvo samo jednog zadatka. Kao polazište za promišljanje razmatra se jedan zadatak s državne mature vezan uz geometrijske sadržaje ( trokut, kutovi, kružnica).

• Prvi cilj je pokazati kolika je uloga i značaj ovakvih

zadataka u razvoju i njegovanju matematičkih procesa, ali i u povezivanju, primjeni i otkrivanju veza među matematičkim objektima/konceptima.

• Drugi cilj je ukazati na potrebu oblikovanja i

primjene ovakvih zadataka na svim razinama obrazovanja.

• Promišljamo li kroz Bloomovu taksonomiju i /ili kroz Van Hielove razine pružaju se nove perspektive “samo jednog zadatka“ . Zadatak učenicima postaje izazov, a proces učenja i poučavanja dinamičan, u skladu s karakteristikama suvremene nastave. S druge strane osiguravamo minimalne i nužne uvjete da učenici prijeđu na slijedeću Van Hielovu razinu

Samo jedan zadatak

Samo jedan zadatak = ljepota jednog zadatka

• Iskustvo

• Vizualno mišljenje

• Očekivani odgovori

Možemo li kroz jedan matematički zadatak povezati niz matematičkih sadržaja ?

Da.

Navedite primjer .

Zašto to činimo ?

oRevidirana Bloomova taksonomija oOsobnost učenika i stilovi učenja oplaniranje nastavnog sata (ishodi učenja, aktivnosti učenika)

o Jer je manje-više! o … i ne samo Bloom…Van Hiel

o pitanja, razgovor, diskusija, produbljivanje sadržaja, kreativnost, drugi pristupi rješavanju problema, …svi mogu!

RA

Z

INE

CILJEVI (ISHODI) UČENJA - Značenje razine

I.

DOSJETITI SE (Znanje) Dosjetiti se, prepoznati ili reproducirati informaciju, ideju i princip u približno onakvom

obliku u kojem su naučeni.

II.

SHVATITI (Razumijevanje) Uočiti i povezati glavne ideje. Prevesti, razumjeti, objasniti ili interpretirati naučeni sadržaj.

Opisati tijek događaja ili procesa. Izvesti logičan zaključak iz dostupnih informacija.

Zaključiti o uzroku i predvidjeti posljedice.

III.

PRIMIJENITI (Primjena) Rješavati probleme primjenom naučenog u kontekstu učenja ili u novoj situaciji na rutinski ili

na nov način. Koristiti apstrakcije. Odabrati i primijeniti podatke i principe za rješavanje

problema ili zadatka u drugom području uz minimum vođenja.

IV.

ANALIZIRATI (Analiza) Razlikovati važne od nevažnih dijelova prezentiranog materijala. Raščlanjivati informacije

kako bi se utvrdili dijelovi cjeline, njihovi međusobni odnosi, organizacijski principi, uzroci i

posljedice, izveli dokazi i zaključci i podržale generalizacije.Uočiti obrazac. Prepoznati

skriveno značenje. Razlikovati činjenice i zaključke.

V.

PROSUĐIVATI (Evaluacija) Usporediti i pronaći sličnosti i razlike među idejama. Procijeniti valjanost ideja i/ili kvalitete

uratka na temelju poznatih kriterija. Otkriti nekonzistentnost unutar procesa ili produkta.

Otkriti prikladnost postupka s obzirom na zadatak ili problem. Dokazati vrijednost. Izabrati

mogućnost i argumentirano obrazložiti.

VI.

STVARATI (Sinteza) Kreativno ili divergentno koristiti postojeće znanje za stvaranje nove cjeline (kombinirati

poznate dijelove u novu cjelinu). Stvarati nove ideje i rješenja. Izvoditi generalizacije na

temelju dobivenih podataka. Povezati znanje iz različitih područja. Uočavati nove obrasce.

RA

ZI

NE

CILJEVI (ishodi) UČENJA

Značenje razine

KLJUČNI GLAGOLI

Opisuju aktivnost koju treba vježbati i mjeriti na svakoj razini.

I. DOSJETITI SE

(Znanje)

prepoznati, pokazati, pronaći, označiti, povezati, dopuniti, smjestiti, poredati, imenovati,

navesti, nabrojati, reći tko, kada, gdje, zašto, koliko, definirati, citirati, ponoviti, opisati

II. SHVATITI

(Razumijevanje)

izraziti, ispričati/napisati svojim riječima, izvijestiti, opisati, sažeti, proširiti,

preoblikovati, pretvoriti, prevesti, izraziti formulom, rastumačiti, objasniti, raspraviti,

obrazložiti, dokazati, dati primjer, procijeniti, izračunati, predvidjeti, razvrstati, smjestiti

, izdvojiti, istaknuti, (aktivno) sudjelovati

III. PRIMIJENITI

(Primjena)

demonstrirati, dramatizirati, pokazati (postupak), dokazati, provesti (pokus), izvršiti,

upotrijebiti, primijeniti, koristiti , prikazati (grafički), izvesti (formulu), prikazati u

kratkim crtama, prilagoditi, promijeniti, dovršiti, otkriti, riješiti (problem), predložiti

(rješenje), isplanirati, izabrati, napraviti, izračunati, procijeniti, napisati, razvrstati,

svrstati , sastaviti

IV. ANALIZIRATI

(Analiza)

rastaviti, raščlaniti, razdijeliti, pronaći, izdvojiti, istaknuti, prepoznati neizrečene

pretpostavke, opravdati, protumačiti, objasniti, usporediti, razlikovati, suprotstaviti,

komentirati, kritizirati, saopćiti, izvijestiti, raspraviti, razvrstati, svrstati, grupirati,

rasporediti, poredati, organizirati, urediti, oblikovati, grafički prikazati, napraviti pokus,

ispitati, istražiti, provjeriti, preispitati, procijeniti, proračunati, odrediti važnost

podataka, prekontrolirati, dovesti u vezu, pretpostaviti, razlikovati uzrok i posljedicu,

odgovoriti ”što ako?”, zaključiti

V. PROSUĐIVATI

(Evaluacija)

provjeriti, prosuditi (primjerenost zaključka), procijeniti, ocijeniti, izmjeriti, odrediti

vrijednost, utvrditi, odmjeriti, vrednovati, usporediti, razlikovati, kritizirati, raspraviti,

diskutirati, preispitati, dokazati, uvjeriti, obraniti stav, opravdati, poduprijeti, zastupati

mišljenje, istražiti, odlučiti, izabrati mogućnost, odabrati, preporučiti, otkloniti, poredati

(s obzirom na važnost), rangirati, stupnjevati, pretpostaviti, predvidjeti, zaključiti, reći

zašto, izvesti

VI. STVARATI (Sinteza)

zamisliti, dizajnirati, razviti, stvoriti, izmisliti, smisliti, izumiti, konstruirati, kreirati,

proizvesti, izazvati, formulirati (hipotezu), predvidjeti, prognozirati, prirediti, pripremiti,

propisati, napraviti plan, skicirati, predložiti, objediniti, kombinirati, skupiti, sastaviti,

sklopiti, spojiti, povezati, složiti, skladati, komponirati, sabrati, organizirati, preurediti,

promijeniti, presložiti, preraditi, poboljšati, kompletirati, kompilirati, voditi, upravljati,

napisati, podnijeti, iznijeti, predočiti, postaviti (teoriju), poopćiti

• u svakom razrednom odjelu ima velikih razlika u osobnosti među pojedinim učenicima

• u poučavanju važan individualni pristup svakom učeniku da

bi se njegovi potencijali potpuno razvili

• izazov - pronaći učinkovite načine i metode poučavanja

učenika različitih sposobnosti i interesa.

A novi kurikulum!

DIMENZIJA

ZNANJA

DIMENZIJA KOGNITIVNIH PROCESA

dosjetiti se shvatiti primijeniti analizirati prosuđivati stvarati

Činjenično

Konceptualno

Proceduralno

Meta-kognitivno

DIMENZIJA ZNANJA DIMENZIJE KOGNITIVNIH PROCESA

PAMTITI RAZUMJETI PRIMIJENITI ANALIZIRATI VRJEDNOVATI KREIRATI

ČINJENIČNO ZNANJE

osnovni elementi koje učenici moraju znati da

bi bili upoznati s disciplinom i mogli rješavati

probleme (poznavanje terminologije, posebnih

detalja i elemenata)

nabrojiti, navesti,

popisati,

prepoznati

razlikovati,

izračunati,

navesti primjer,

sabrati, sažeti

primijeniti,

izračunati,

klasificirati,

odrediti, razvrstati,

svrstati

analizirati,

usporediti, raščlaniti,

urediti,

odrediti slijed

poredati,

procijeniti niz,

kategoriju

objediniti,

povezati,

razvrstati

KONCEPTUALNO ZNANJE

povezanost osnovnih elemenata u

funkcionalnim strukturama (poznavanje

klasifikacija i kategorija, načela i generalizacija,

teorija, modela i struktura)

opisati,

prepoznati,

označiti

interpretirati,

objasniti,

prevoditi,

tumačiti,

razjasniti

izvesti

eksperiment,

pokus,

upotrijebiti,

pokazati

pojasniti,

protumačiti,

rezimirati,

zaključiti,

razlikovati,

prepoznati, povezati,

odabrati,

procijeniti,

argumentirati,

vrjednovati,

usporediti

konstruirati,

planirati,

osmisliti,

postaviti

hipoteze,

izraditi nacrt,

smišljati

PROCEDURALNO ZNANJE

koristiti se istraživanjima, vještinama,

tehnikama i metodama

(poznavanje posebnih vještina i algoritama,

posebnih tehnika i metoda, kriterija za

određivanje kada se koristiti određenim

postupcima)

prikazati u

kratkim crtama,

iznijeti, sastaviti

tablicu

izvesti

zaključak,

predvidjeti,

provjeriti

izračunati, otkriti,

upotrijebiti,

preoblikovati,

pokazati,

upravljati, riješiti,

procijeniti

kombinirati,

sastaviti,

kategorizirati,

preoblikovati,

razlikovati

prosuditi,

povezati,

zaključiti

reorganizirati,

razviti,

sastaviti,

kreirati,

slagati,

proizvoditi

METAKOGNITIVNO ZNANJE

spoznaja, svjesnost i razumijevanje vlastitih

kognitivnih procesa

(znanje o tome kako učiti, koja se razina

kognitivnih procesa očekuje u zadatku,

svjesnost o razini vlastitog znanja)

odgovarajuća,

prikladna,

primjerena

upotreba termina

izvesti, provesti,

riješiti

sastaviti sintezu provesti, ostvariti djelovati,

primijeniti

aktualizirati,

ostvariti

Geometrijski sadržaji…dobar trening

• Geometrijski zadatci – Važnost geometrije

– Vizualizacija,vizualno mišljenje -> apstraktno mišljenje

– OŠ->SŠ

– Geometrija + aritmetika (NOK)

– Veza sa svakodnevnim životom, matematičko modeliranje

– IKT, dinamička geometrija

– komunikacija

Prvi “samo” zadatak

Prvi “samo” zadatak • …nastavljamo savijanje papira • što sve mogu u 5., u 6. u 7. i 8. razredu

Analiza evaluacija (prosuđivanje)

sinteza(stvaranje) • Što mogu učenici s posebnim potrebama, a što nadareni

• Konkretni podaci, mjerenje, kalkulator, boje • Varijanta -škare – preslažemo 4 jednakostranična trokuta

Zadan je trokut ABC.

Mjera kuta u vrhu A je 46 , a kuta u vrhu C je 60 .

Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu

u točkama C i D .

Kolika je mjera kuta CBD ?

a) 104 b) 120 c)134 d)150

“samo” zadatak

DM, 2012.

Drugi “samo”zadatak a) “doživljaj “ slike

- Geometrijski objekti

- Svojstva

- Veze među objektima

- Uspoređivanje…

- Nastavni listić (mjerenje)

30

Drugi “samo” zadatak – b) slika i tekst

Simetrala kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D. Kolika je mjera kuta CBD ?

a) 104 b) 120 c) 134 d) 150

Drugi “samo” zadatak – c) slika i tekst

Ako je ICBDI= δ=150 tada … Ako je ICBDI= δ=134 tada … Ako je ICBDI= δ=120 tada …

a) 104

Drugi “samo” zadatak - d) konstrukcija

1. Konstrukcija trokuta 2. Konstrukcija

simetrale dužine 3. Konstrukcija

opisane kružnice trokutu

4. Konstrukcija simetrale kuta

5. tetive kružnice

Korak po korak do tražene slike

6. Izračunavanje /mjerenje veličine kuta CBA

7.Izračunavanje/mjerenje veličine kuta ABD

8. Izračunavanje veličine traženog kuta CBD

9. Označavanje kutova, orijentirani kut

Učenici pronalaze svoje putove rješavanja problema …

- vršni kutovi - sličnost trokuta - vanjski kutovi trokuta

… a zadatak skriva i tetivni četverokut

Obodni kutovi nad kružnim lukom BC δ= 180- (46 +30)

Obodni kutovi nad kružnim lukom AD ε =30 β= 180- (46 +60) δ= β+ε

(5.razred) predmetna nastava OŠ

Nacrtajte ∆ ABC ako je IABI=… , IAI=43 i IACI=…

a) Izmjerite veličine unutarnjih kutova ∆ ABC u vrhu B i u vrhu C

b) Konstruirajte simetrale stranica ∆ ABC

c) Opišite trokutu ABC kružnicu d) Nacrtajte tetivu 𝐶𝐷 duljine … e) Mjerenjem odredite veličine

kutova ∡CBA, ∡BDC, ∡ CBD f) USPOREDITE…A što ako…? pitanja…pitanja…

Srednja škola – novi kurikulum

Podrška… NCVVO Međunarodna istraživanja TIMSS, PISA

• PRIRUČNIK ZA UNAPREĐIVANJE NASTAVE

MATEMATIKE S PRIMJERIMA ZADATAKA IZ MEĐUNARODNOGA ISTRAŽIVANJA TIMSS 2015.

Važno je istaknuti da su uspješni i u područjima koja se sustavno ne poučavaju u razrednoj nastavi, a uključena su u istraživanje TIMSS te se postavlja pitanje je li obrazovni sustav Republike

Hrvatske usklađen s obrazovnim mogućnostima učenika.

PISA 2015

Drugi“samo” zadatak – matematičko modeliranje

Na rubu obzora mladi astronom i planinar Sanjin (točka S) , promatra 4 planinska vrha A, D, B i C, kao na slici.

Popevši se na vrh A, pomoću astronomskih grablji izmjerio je da se iz točke A, dužina 𝐵𝐶 vidi pod kutom od 46°.

Popeo se i na vrh C. Izmjerio je da se iz vrha C , dužina 𝐴𝐵 vidi se pod kutom od 60°, a dužina 𝐵𝐷 pod kutom od 30°.

Sanjin više nije provodio mjerenja nego je primijenio znanja iz matematike i odredio pod kojim kutom se iz točke B vidi dužina 𝐶𝐷.

30

Objasnite kako je Sanjin odredio pod kojim kutom se iz točke B vidi dužina 𝐶𝐷.

• Astronomske grablje - izrađuju se od dvije letvice (dulja 58

cm i kraća 50 cm) koje se pričvrste

jedna na drugu u obliku slova T

- Pomoću konca pričvršćenog za kraj dulje letvice, na kraćoj se nacrta zakrivljena crta koja je zapravo dio kružnice čiji je opseg 360 cm, tako da jednom centimetru (udaljenosti na luku kružnice) odgovara 1˚ (kutne udaljenosti). Olovkom se na zakrivljenoj crti označe točke na svakih 1cm i na te točke se zakucaju čavlići. Zatim se pričvrsti vizir, na kojem je probušena rupica, na kraj dulje letvice.

Drugi“samo” zadatak – matematičko modeliranje

Za OŠ More gradi se polivalentna dvorana kružnog oblika.

Promotri sliku.

Kružni isječak nad tetivom AC bit će gledalište.

Arhitekt za uređenje unutarnjeg prostora Matko Brodarić odlučio se za poseban način rasvjete.

U točkama A, B, C, D postavit će se reflektori različite širina svjetlosnog snopa .

(Svjetlosni snop predstavlja kut svjetlosnog snopa reflektorske žarulje)

U točki A postavit će se reflektor širine snopa 46° tako da krakovi kuta svjetlosnog snopa prolaze točkama B i C .

U točki C postavit će se reflektor širine snopa 60 °, tako da krakovi kuta svjetlosnog snopa prolaze točkama A i B uz uvjet da su kutovi ∡ACD i ∡ DCB sukladni.

Koliki snop svjetlosti će imati reflektor u točki B tako da krakovi kuta svjetlosnog snopa prolaze točkama C i D ?

DIMENZIJA ZNANJA DIMENZIJE KOGNITIVNIH PROCESA

PAMTITI RAZUMJETI PRIMIJENITI ANALIZIRATI VRJEDNOVATI KREIRATI

ČINJENIČNO ZNANJE

osnovni elementi koje učenici moraju znati da

bi bili upoznati s disciplinom i mogli rješavati

probleme (poznavanje terminologije, posebnih

detalja i elemenata)

nabrojiti,

navesti, popisati,

prepoznati

razlikovati,

izračunati,

navesti primjer,

sabrati, sažeti

primijeniti,

izračunati,

klasificirati,

odrediti,

razvrstati, svrstati

analizirati,

usporediti, raščlaniti,

urediti,

odrediti slijed

poredati,

procijeniti niz,

kategoriju

objediniti,

povezati,

razvrstati

KONCEPTUALNO ZNANJE

povezanost osnovnih elemenata u

funkcionalnim strukturama (poznavanje

klasifikacija i kategorija, načela i

generalizacija, teorija, modela i struktura)

opisati,

prepoznati,

označiti

interpretirati,

objasniti,

prevoditi,

tumačiti,

razjasniti

upotrijebiti,

pokazati

pojasniti,

protumačiti,

rezimirati,

zaključiti,

razlikovati,

prepoznati, povezati,

odabrati,

procijeniti,

argumentirati,

vrjednovati,

usporediti

konstruirati,

planirati,

osmisliti,

postaviti

hipoteze,

izraditi nacrt,

smišljati

PROCEDURALNO ZNANJE

koristiti se istraživanjima, vještinama,

tehnikama i metodama

(poznavanje posebnih vještina i algoritama,

posebnih tehnika i metoda, kriterija za

određivanje kada se koristiti određenim

postupcima)

prikazati u

kratkim crtama,

iznijeti, sastaviti

tablicu

izvesti

zaključak,

predvidjeti,

provjeriti

izračunati, otkriti,

upotrijebiti,

preoblikovati,

pokazati,

upravljati, riješiti,

procijeniti

kombinirati,

sastaviti,

kategorizirati,

preoblikovati,

razlikovati

prosuditi,

povezati,

zaključiti

reorganizirati,

razviti,

sastaviti,

kreirati,

slagati,

proizvoditi

METAKOGNITIVNO ZNANJE

spoznaja, svjesnost i razumijevanje vlastitih

kognitivnih procesa

(znanje o tome kako učiti, koja se razina

kognitivnih procesa očekuje u zadatku,

svjesnost o razini vlastitog znanja)

odgovarajuća,

prikladna,

primjerena

upotreba termina

izvesti,

provesti, riješiti

sastaviti sintezu provesti, ostvariti djelovati,

primijeniti

aktualizirati,

ostvariti

1. Vizualizacija/prepoznavanje rade s fizičkim modelima

slažu oblike, mjere, prebrojavaju

crtaju na papiru i u raznim mrežama

prepoznaju / identificiraju određene likove unutar grupe

2. Analiza Mjere radi prepoznavanja svojstava određenih likova i radi

uspostavljanja veza među njima

Opisuju klase likova, nabrajanjem njihovih svojstava.

Uspoređuju likove prema uočenim svojstvima te ih postupno klasificiraju

Istražuju i empirijski izvode pravila i stvaraju generalizacije

3. Neformalna dedukcija Proučavajući svojstva stvaraju inkluzivne odnose među likovima

Svoja objašnjenja temelje na argumentima, služeći se raznim vizualnim prikazima

BLOOM- CILJEVI (ISHODI) UČENJA

I. DOSJETITI SE (Znanje)

II. SHVATITI (Razumijevanje)

III. PRIMIJENITI (Primjena)

IV. ANALIZIRATI (Analiza)

V. PROSUĐIVATI (Evaluacija)

VI. STVARATI (Sinteza)

.

Van Hiell

I. VIZUALIZACIJA, prepoznavanje

II. ANALIZA, opisivanje

III. NEFORMALNA DEDUKCIJA

“samo” jedan zadatak

Van Hiell

1 vizualizacija /prepoznavanje 2 analiza /opisivanje

3 neformalna dedukcija

Bloom

• Analiza • evaluacija (prosuđivanje)

• sinteza(stvaranje)

A što govore rezultati… ”samo jednog zadatka”

Zadatak 9. na ljetnom roku državne mature iz Matematike na višoj razini 2012. godine rješavalo je 10929 pristupnika koji su trebali odabrati jedan od četiri ponuđena odgovora. Njih 215 nije dalo nikakav odgovor a ostali su se odlučili ovako: • Odgovor A. odabralo je 39 % pristupnika (točan

odgovor) • Odgovor B. odabralo je 27 % pristupnika • Odgovor C. odabralo je 26 % pristupnika • Odgovor D. odabralo je 6 % pristupnika.

• Psihometrijske karakteristike ovog zadatka su vrlo

loše, tj. rezultat na ovom zadatku u vrlo je niskoj korelaciji s rezultatom na cijelom ispitu. Ili jednostavnije rečeno – vrlo veliki postotak pristupnika (uključujući i one s najboljim rezultatom na cijelom ispitu) rješavalo je ovaj zadatak pogađanjem.

Prokomentirajte rezultate Što možemo iz svega toga isčitati?

…trajna Znanja… ili …

Primijeniti strategiju preživjeti i samo proći ispit iz matematike .

Uz “samo jedan zadatak” :

aktivira se, analizira i primjenjuje veća količina stečenog znanja; znanja se produbljuju i proširuju novim znanjima razvijaju se i njeguju matematički procesi povećava se aktivnost učenika i njihov interes za matematiku.

Od geometrije… uzorci…algebre i funkcija

Od geometrije… uzorci…algebre i funkcija

Kvadratni brojevi 1+3+5+…+(2n-1)= ?

1

1+3

1+3+5

1+3+5+7

Geometrijska interpretacija https://www.geogebra.org/m/xjzZrGvY

Funkcije… Van Hiel Korištenje geometrijskih uzoraka za bolje razumijevanje

funkcijskih odnosa

1+3+5+…+(2n-1)= n2

f(1)=1 f(2)=4 f(3) =9

…

Algebraic reasoning takes various forms, including functional thinking in which students explore generalizing patterns to

describe functional relationships, (Blanton and Kaput 2005).

• Any math task can be opened up…180, Baler

Hvala na pažnji ! bpiton@unipu.hr

Literatura: • NCVVO, DM 2012, ljetni ispitni rok; Zadelj, Z. • MZO https://narodne-novine.nn.hr/clanci/sluzbeni/2019_01_7_146.html • Baranović,N.:https://www.academia.edu/32216192/O_razvoju_geometrijskog_mi%C5

%A1ljenja_u_nastavi_matematike_prema_van_Hiele-ovoj_teoriji

• Kurnik, Z. (2010): Posebne metode rješavanja matematičkih problema,Element, Zagreb

• Čižmešija, A.; Svedrec R.; Radović, N.; Soucie, T. (2010): Geometrijsko mišljenje i prostorni zor, Zbornik radova četvrtog kongresa nastavnika matematike, ŠK, Zagreb.

• Jo Boaler (2016): Mathematical mindset, Jossey-Bass, CA • Susan N., Frier and Kimberly A. MarkworthA (2009),Framework for Analyzing

Geometric Pattern Tasks, http://mjmorneau.pbworks.com/f/Framework+for+Analyzing+Geometric+Article.pdf