Variabile aleatoare continue 1 - math.etti.tuiasi.romath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare continue_I.pdf · Caracteristici numerice ale v. a. continue

Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate

Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue

Inegalitatea lui Cebasev

Variabile aleatoare continue

Variabile aleatoare continue 1




Variabile aleatoare continue

1 Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitate

2 Variabile aleatoare continue; densitate de probabilitate

3 Functii de variabile aleatoare

4 Caracteristici numerice ale v. a. continue

5 Inegalitatea lui Cebasev





Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitate





Fie (E ,K,P) un camp infinit de probabilitate.K ⊆ P(E) este o σ-algebra de parti ale lui E(i) pentru orice A ∈ K avem A ∈ K;(ii) pentru orice An ∈ K, n ∈ N avem⋃

n∈NAn ∈ K.

P : K → [0,1 ] este o probabilitate:(i) P(E) = 1;(ii) pentru orice sir de multimi (An)n ∈ K, cu An ∩ Am = ∅,pentru orice n 6= m avem

P

(⋃n∈N

An

)=∑n∈N

P(An).





Definitia unei variabile aleatoare ıntr-un camp infinit

Definitia 1.1O functie

X : E → R

se numeste variabila aleatoare daca

{X ≤ x} = {e ∈ E | X (e) ≤ x} ∈ K, ∀x ∈ R. (1.1)





Daca X este o variabila aleatoare atunci au loc:

{X < x} ∈ K, {X > x} ∈ K, {X ≥ x} ∈ K

{x1 < X < x2} ∈ K, {x1 ≤ X < x2} ∈ K,

{x1 < X ≤ x2} ∈ K, {x1 ≤ X ≤ x2} ∈ K.

Aceasta ınseamna ca putem calcula probabilitatile oricarorevenimente de forma precedenta.





Definitia variabilelor independente

Definitia 1.2Variabilele aleatoare X si Y se numesc variabile aleatoareindependente, daca pentru orice D1,D2 multimi reale deschiseare loc:

P({X−1(D1)} ∩ {Y−1(D2)}

)= P{X−1(D1)} · P{Y−1(D2)}.

X−1(D1) = {e ∈ E | X (e) ∈ D1}

Y−1(D2) = {e ∈ E | Y (e) ∈ D2}





Functie de repartitie

Definitia 1.3Fie X o v. a. Se numeste functie de repartitie a lui X functiarealaF : R→ [0,1 ],

F (x) = P {X ≤ x} = P({e ∈ E | X (e) ≤ x})

pentru orice x ∈ R.

Functia de repartitie F asociaza oricarui numar real xprobabilitatea ca valorile lui X sa fie mai mici sau cel mult egalecu x .





Teorema. Fie X o v. a. cu functia de repartitie F : R→ [0,1 ].Atunci:1. daca x1 ≤ x2, atunci F (x1) ≤ F (x2), ∀x1, x2 ∈ R;({X ≤ x1} ⊂ {X ≤ x2} si se aplica monotonia functiei deprobabilitate, A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B))

2. F (x + 0) = F (x), ∀x ∈ R, (F este continua la dreapta);

3. limx→−∞

F (x) = 0;

( limx→−∞

F (x) = limx→−∞

P{X ≤ x} = P(∅) = 0.)

4. limx→+∞

F (x) = 1.

( limx→+∞

F (x) = limx→+∞

P{X ≤ x} = P(E) = 1.)







3. limx→−∞

F (x) = 0;

( limx→−∞


P{X ≤ x} = P(∅) = 0.)

4. limx→+∞

F (x) = 1.

( limx→+∞

F (x) = limx→+∞

P{X ≤ x} = P(E) = 1.)







3. limx→−∞

F (x) = 0;

( limx→−∞


P{X ≤ x} = P(∅) = 0.)

4. limx→+∞

F (x) = 1.

( limx→+∞

F (x) = limx→+∞

P{X ≤ x} = P(E) = 1.)







3. limx→−∞

F (x) = 0;

( limx→−∞


P{X ≤ x} = P(∅) = 0.)

4. limx→+∞

F (x) = 1.

( limx→+∞

F (x) = limx→+∞

P{X ≤ x} = P(E) = 1.)







3. limx→−∞

F (x) = 0;

( limx→−∞


P{X ≤ x} = P(∅) = 0.)

4. limx→+∞

F (x) = 1.

( limx→+∞

F (x) = limx→+∞

P{X ≤ x} = P(E) = 1.)





Fie F : R→ [0,1 ] functia de repartitie a unei variabilealeatoare X . Atunci pentru orice numere reale a < b avem:P {X ≤ a} = F (a) = F (a + 0),P {X < a} = F (a− 0),P {X ≥ a} = 1− F (a− 0),P {X > a} = 1− F (a),P {a < X ≤ b} = F (b)− F (a),P {a < X < b} = F (b − 0)− F (a),P {a ≤ X < b} = F (b − 0)− F (a− 0),P {a ≤ X ≤ b} = F (b)− F (a− 0).





Operatii cu v.a.

Daca X este o variabila aleatoare si λ ∈ R atunci urmatoareleoperatii definesc variabile aleatoare:

X + λ, λX , |X |, X r , r ∈ N,1X.

Daca X si Y sunt variabile aleatoare, atunci

X + Y , X − Y , XY ,XY, max(X ,Y ), min(X ,Y )

sunt de asemenea variabile aleatoare.





Operatii cu v.a.

Daca X este o variabila aleatoare si λ ∈ R atunci urmatoareleoperatii definesc variabile aleatoare:

X + λ, λX , |X |, X r , r ∈ N,1X.

Daca X si Y sunt variabile aleatoare, atunci

X + Y , X − Y , XY ,XY, max(X ,Y ), min(X ,Y )

sunt de asemenea variabile aleatoare.





Exemplul 1.1

Fie X o v.a., F (x) =

0 pentru x ≤ 0x2

2pentru 0 < x < 1

1 pentru x ≥ 1.

Sa se calculeze P{X ≤ 12} si P{X 2 ≥ 1}.

P{

X ≤ 12

}= F (

12) =

18,

P{

X 2 ≥ 1}= 1− P

{X 2 < 1

}= 1− P {−1 < X < 1}

= 1− F (1− 0) + F (−1) = 1− 12+ 0 =

12.





Exemplul 1.1

Fie X o v.a., F (x) =

0 pentru x ≤ 0x2

2pentru 0 < x < 1

1 pentru x ≥ 1.

Sa se calculeze P{X ≤ 12} si P{X 2 ≥ 1}.

P{

X ≤ 12

}= F (

12) =

18,

P{

X 2 ≥ 1}= 1− P

{X 2 < 1

}= 1− P {−1 < X < 1}

= 1− F (1− 0) + F (−1) = 1− 12+ 0 =

12.





Variabile aleatoare continue; densitate de probabilitate





Densitate de probabilitate

Definitia 2.1

Spunem ca variabila aleatoare X este de tip continuu daca• functia de repartitie F : R→ [0,1 ] este continua• exista o functie f : R→ R cu o multime cel mult numarabilade puncte de discontinuitate de prima speta astfel ıncat

F (x) =∫ x

−∞f (t)dt (2.1)

pentru orice x ∈ R.Functia f se numeste densitatea de probabilitate a v. a. X .





Proprietati:

• F ′(x) = f (x) (2.2)

ın toate punctele de continuitate ale lui f . In sens distributionalrelatia (2.2) are loc ıntotdeauna.

• f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ R. (2.3)

(f = F ′ si F este crescatoare)

•∫ +∞

−∞f (x)dx = 1. (2.4)

(∫ +∞−∞ f (x)dx = lim

a→+∞

∫ a−∞f (x)dx = lim

a→+∞F (a) = 1.)

Geometric: (2.4)⇔ aria subgraficului functiei densitate deprobabilitate este unitara.





Proprietati:

• F ′(x) = f (x) (2.2)


• f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ R. (2.3)


•∫ +∞

−∞f (x)dx = 1. (2.4)

(∫ +∞−∞ f (x)dx = lim

a→+∞


a→+∞F (a) = 1.)






Proprietati:

• F ′(x) = f (x) (2.2)


• f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ R. (2.3)


•∫ +∞

−∞f (x)dx = 1. (2.4)

(∫ +∞−∞ f (x)dx = lim

a→+∞


a→+∞F (a) = 1.)






Repartitia exponentiala

Important Conditiile esentiale ce trebuie verificate ca o functiesa fie densitate de probabilitate sunt (2.3) si (2.4).

Exemplul 2.1

Sa se determine parametrul a ∈ R astfel ıncat functia f : R→ R+

f (x) =

a · e−λx , daca x ≥ 0

0, daca x < 0

sa reprezinte, pentru orice λ > 0, o densitate de probabilitate a unei v.a. X . Sa se determine functia de repartitie.V.a. X este repartizata exponential





a = λ;

F (x) ={

0, daca x < 01− e−λx , daca x ≥ 0.





Repartitia uniforma

Exemplul 2.2

Spunem ca variabila aleatoare X este repartizata uniform peintervalul [a,b ], a < b, daca ea are densitatea de probabilitatef : R→ R+,

f (x) =

1

b − a, daca x ∈ [a,b ]

0, ın caz contrar.

Sa se verifice ca f are proprietatile densitatii de probabilitate si sa sedetermine functia de repartitie.





F (x) =

0, daca x < a

x − ab − a

, daca x ∈ [a,b ]

1, daca x > b.





Pentru o v.a. arbitrara au loc

P{x1 < X ≤ x2} = F (x2)− F (x1) (2.5)

P{X = x} = F (x)− F (x − 0). (2.6)

Daca X este v. a. continua atunci:

P{x1 ≤ X < x2} = P{x1 ≤ X ≤ x2} = P{x1 < X < x2}

= F (x2)− F (x1) =

∫ x2

x1

f (x)dx . (2.7)





Functii de variabile aleatoare





Functii de variabile aleatoare

Fie X o v. a. continua cu functia de repartitie FX .Fie h : R→ R o functie monotona, derivabila cu h′(x) 6= 0,pentru orice x ∈ R.V. a. Y = h(X ) are functia de repartitie complet determinata.

Fie x = h−1(y) solutia unica a ecuatiei y = h(x).

Daca h este strict crescatoare, atunci avem:

FY (y) = P {Y ≤ y} = P{

X ≤ h−1(y)}= FX

(h−1(y)

).

Daca h este strict descrescatoare, atunci:

FY (y) = P {Y ≤ y} = P{

X ≥ h−1(y)}= 1− FX

(h−1(y)

).





Teorema 3.1Fie h : R→ R este o functie monotona, derivabila cu h′(x) 6= 0,pentru orice x ∈ R. Fie x = h−1(y) unica solutie a ecuatieih(x) = y. Atunci densitatea de probabilitate a variabileialeatoare Y = h(X ) este:

fY (y) = fX (h−1(y))∣∣∣∣(h−1(y)

)′∣∣∣∣ .





Exemplul 3.1Fie X variabila aleatoare distribuita uniform pe intervalul [0,1 ]. Careeste densitatea de probabilitate a variabilei Y = 3X?

fX (x) ={

1, daca x ∈ [0,1 ]0, ın caz contrar.

Y = h(X ) = 3X , unde h(x) = 3x , h′(x) = 3 > 0.

FY (x) = P {Y ≤ x} = P {3X ≤ x} = P{

X ≤ x3

}= FX

(x3

).

Prin derivare ın raport cu x

fY (x) = F ′Y (x) =(

FX

(x3

))′= fX (

x3) · 1

3.

Deci v.a. Y este distribuita uniform pe intervalul [0,3 ].





Caracteristici numerice ale v. a. continue

Ca si ın cazul variabilei discrete putem defini caracteristicelenumerice ale unei variabile continue. Fie X o variabilaaleatoare continua cu densitatea de probabilitate f : R→ R+.Toate definitiile urmatoare au sens atata vreme cat integraleleimproprii care apar sunt convergente.





Media unei v. a. continue

Media variabilei aleatoare continue X este:

m = M[X ] =

∫ +∞

−∞xf (x)dx . (4.1)

Daca X si Y sunt variabile aleatoare atunci:

M[X + Y ] = M[X ] + M[Y ], (4.2)

iar, daca X ,Y sunt independente, atunci are loc si proprietatea:

M[X · Y ] = M[X ] ·M[Y ]. (4.3)





Momente de ordin r

Momentul initial de ordin r al variabilei X este:

mr = M[X r ] =

∫ +∞

−∞x r f (x)dx . (4.4)

Momentul centrat de ordin r al variabilei X este:

µr = M[(X −M[X ])r ] =

∫ +∞

−∞(x −mX )

r f (x)dx . (4.5)





Dispersia unei v. a. continue

Dispersia variabilei X este momentul centrat de ordinul 2

σ2 = D2[X ] = µ2 =

∫ +∞

−∞(x −mX )

2f (x)dx . (4.6)

Ca si ın cazul discret, are loc

D2[X ] = M[X 2]− (mX )2 . (4.7)

Daca X si Y sunt variabile independente, atunci are locproprietatea:

D2[X ± Y ] = D2[X ] + D2[Y ]. (4.8)





Abaterea medie patratica este

σ = D[X ] =√

D2[X ]. (4.9)

Covarianta variabilelor X si Y este definita prin:

Cov [X ,Y ] = M[(X −mX ) · (Y −mY )]M[X ·Y ]−mX ·mY (4.10)

Au locCov [X ,Y ] = M[X · Y ]−mX ·mY ; (4.11)

D2[X + Y ] = D2[X ] + D2[Y ] + 2Cov [X ,Y ]. (4.12)





Daca X este o variabila aleatoare si Y = g(X ) este o variabilaobtinuta printr-o transformare cu ajutorul functiei g : R→ R,continua si bijectiva, atunci media transformarii Y = g(X )este

M[Y ] =

∫ +∞

−∞g(x) · f (x)dx . (4.13)





Functia caracteristica

Functia caracteristica a v. a. continue X este ϕ : R→ Cdefinita prin:

ϕ(t) = M[ejtX ] =

∫ +∞

−∞ejtx · f (x)dx , j2 = −1. (4.14)

Functia caracteristica ϕ este transformata Fourier a densitatiide probabilitate f (care este functie absolut integrabila).

Din formula de inversiune a transformatei Fourier deducem sirelatia:

f (x) =1

2π

∫ +∞

−∞e−jtx · ϕ(t)dt (4.15)





Momentele initiale se obtin cu ajutorul functiei caracteristice,dupa formula:

M[X r ] =ϕ(r)(0)

j r. (4.16)

Daca variabilele X si Y sunt independente, atunci

ϕX+Y = ϕX · ϕY . (4.17)











Teorema 5.1Daca variabila aleatoare X este de tip continuu cu media m sidispersia σ2, atunci pentru orice ε > 0 are loc

P{|X −m| < ε} ≥ 1− σ2

ε2 (5.1)

Inegalitatea (5.1) este echivalenta cu inegalitatea:

P{|X −m| ≥ ε} < σ2

ε2 . (5.2)





Demonstratie. Dispersia este data de

σ2 =

∫ ∞−∞

(x −m)2f (x)dx =∫ m−ε

−∞(x−m)2f (x)dx+

∫ m+ε

m−ε(x−m)2f (x)dx+

∫ +∞

m+ε(x−m)2f (x)dx .

Pentru x ∈ (−∞,m − ε) ∪ (m + ε,+∞) avem (x −m)2 ≥ ε2 sidispersia poate fi minorata prin

σ2 ≥ ε2(∫ m−ε

−∞f (x)dx +

∫ ∞m+ε

f (x)dx)

= ε2(

1−∫ m+ε

m−εf (x)dx

),

deoarece∫ ∞−∞

f (x)dx = 1. Atunci

σ2 ≥ ε2(1− P{m− ε < X < m + ε}) ≥ ε2(1− P{|X −m| < ε}),care este echivalenta cu relatia (5.1).Variabile aleatoare continue 1




Exemplul 5.1Timpul mediu de raspuns al unui calculator este de 15 secunde pentruo anumita operatie, cu abaterea medie patratica de 3 secunde.Estimati probabilitatea ca timpul de raspuns sa se abata cu mai putinde 5 secunde fata de medie.

Vom folosi inegalitatea lui Cebasev cu ε = 5. Avem

P({|X − 15| < 5}) ≥ 1− 925

= 0,64.


Documents

Variabile aleatoare continue 1 - math.etti.tuiasi.romath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Slides_Variabile aleatoare continue_I.pdf · Caracteristici numerice ale v. a. continue