Variabili Aleatorie statistica

Modelli di Variabili Aleatorie Probabilità Mattia Natali

1

Modelli di Variabili Aleatorie µ Variabili aleatorie di Bernoulli:

Ø X è di Bernoulli di parametro p ∈ 0,1( ) se P X = 1( ) = p e P X = 0( ) = 1− p . Ø Proprietà:

§ E X( ) := 1·pX 1( ) + 0·pX 0( ) = p .

§ Var X( ) = E X 2( ) − E X( )2 ma siccome X = X 2 à

Var X( ) = E X( ) − E X( )2 = p − p2 = p 1− p( ) . Ø Notazione: X è di Bernoulli di parametro p ⇔ X Be p( ) . Ø Prove di Bernoulli:

§ esperimenti casuali, indipendenti, binari (ossia che hanno solo due possibili esiti che chiamo successo e fallimento). p = P successo( ) .

§ Faccio n prove di Bernoulli con probabilità di successo p ∈ 0,1( ) . § Sia X numero di successi in queste n prove. pX k( ) = P X = k( ) .

§ X = X1 + X2 + ...+ Xn à Xk =1 se k-esima prova è successo0 se è fallimento

⎧⎨⎩

.

§ E X( ) = E X1 + ...+ Xn( ) = E X1( ) + ...+ E Xn( ) = np . § Var X( ) = Var X1 + ...+ Xn( ) = Var X1( )

p 1− p( )+ ...+Var Xn( ) = np 1− p( ) .

§ P X = k( ) = nk

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟pk 1− p( )n− k .

• X è binomiale di parametri n, p , X Bi n, p( )( ) se

P X = k( ) =nk

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟pk 1− p( )n− k , k ∈ 0,1,...,n{ }

0 altrimenti

⎧

⎨⎪

⎩⎪

.

• Ricordiamo che il coefficiente binomiale si calcola nk

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟:= n!k! n − k( )! .

§ X Bi n, p( ), Y Bi m, p( ) indipendenti: • X Bi n, p( )⇔ X = X1 + ...+ Xn , Xk Be p( ) indipendenti. • Y Bi m, p( )⇔ Y = Y1 + ...+Ym , Yk Be p( ) indipendenti. • X +Y = X1 + ...+ Xn +Y1 + ...+Ym = somma di n + m . Be p( ) indipendenti ⇒

X +Y Bi n + mi , p( ) . Ø Utilizzo: quando X può assumere solo i valori 0,1 (successo o fallimento).

µ Densità di Poisson: Ø Ci sono in media λ impurità per unità di lunghezza = Ik =

1n.

Ø X = numero di impurità sul segmento. E X( ) = λ , Xk = numero di impurità in Ik Be p( ) .


2

Ø X = X1 + ...+ Xn , E X( ) = E X1( ) + ...+ E Xn( ) = np . X Bi n, λ

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

Ø P X = k( ) = nk

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

λn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k

1− λn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟n− k

=n!

k! n − k( )!λ k

nk1− λ

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟n

con n→+∞=e−λ

1− λn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−k

1

=

=n n −1( )... n − k +1( )

nk→1

1− λn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−k

→1

λ k

k!1− λ

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟n

→λ k

k!e−λ .

Ø Definizione: X è una variabile aleatoria di Poisson di parametro λ > 0 se

P X = k( ) =λ k

k!e−λ , k ∈ 0,1,2,...{ }

0 altrimenti

⎧⎨⎪

⎩⎪.

Ø Legge del filo: § La variabile aleatoria di Poisson può essere utilizzata come approssimazione di una binomiale

di parametri n, p( ) quando

n 1 prove di Bernoullip1 probabilità di successo

⎧⎨⎩

.

§ Poisson λ( ) ≅ Bi n, λn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= Bi n, p( ) ≅ Poisson np( ) .

Ø Proprietà: § X Po(λ)⇒ E X( ) = Var X( ) = λ .

§ X Po λ( ),Y Po µ( )⇒ X +Y Po λ + µ( ) . Ø Utilizzo: è un’ottima approssimazione di una binomiale di parametri n, p( ) , quando n è molto

grande e p molto piccolo ponendo λ = np . In altri termini, il totale dei “successi” in un gran numero n di ripetizioni indipendenti di un esperimento che ha una piccola probabilità di riuscita p, è una variabile aleatoria con distribuzione approssimativamente di Poisson, con media λ = np .

µ Variabile aleatoria Geometrica: Ø Successione di prove di Bernoulli con p = P successo( ) e X = numero di prove necessarie per

vedere il primo successo. § P X = k( ) con k ∈ 1,2,...{ } .

• P X = 1( ) = P I prova = "successo"( ) = p .

• P X = 2( ) = P I prova = "insuccesso"II prova = "succeso"

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= p 1− p( ) .

• P X = k( ) = p 1− p( )k−1 perché prima del successo della k -‐esima prova ci sono stati

k −1 insuccessi.

Ø Definizione: X Geom p( ) se P X = k( ) = p 1− p( )k−1 k ∈ 1,2,...{ }0 altrimenti

⎧⎨⎪

⎩⎪.

Ø 1 = P X = k( )k∑ = p 1− p( )k−1

k=1

+∞

∑ , sia q := 1− p⇔ p = 1− q con 0 < q < 1 à qk−1k=1

+∞

∑ =1

1− q

à qk=0

+∞

∑ =1

1− q.


3

Ø mX t( ) = E etX⎡⎣ ⎤⎦ = etk 1− p( )k−1 pi=1

+∞

∑ = et k−1( ) 1− p( )k pk=0

+∞

∑ = pet et 1− p( )⎡⎣ ⎤⎦q

k

k=1

+∞

∑ = et 1− p( ) < 1

⇔ t < − ln 1− p( )

Ø pet et 1− p( )⎡⎣ ⎤⎦q

k

k=1

+∞

∑ = pet p1− et 1− p( ) =

pe− t − 1− p( ) . Perché è una serie geometrica.

Ø mX 0( ) = 1 .

Ø ′mX t( ) = p e− t( )e− t − 1− p( )⎡⎣ ⎤⎦

2 = mX t( ) e− t

e− t − 1− p( ) = mX t( ) 11− et 1− p( ) .

§ ′mX 0( ) = 1p= E X( ) .

Ø ′′mX t( ) = ′mX t( ) 1− et 1− p( )⎡⎣ ⎤⎦ − −et 1− p( )⎡⎣ ⎤⎦1− et 1− p( )⎡⎣ ⎤⎦

2 .

§ ′′mX 0( ) =1pp +1− p

p2=2 − pp2

= E X 2( ) .

§ Var X( ) = E X 2( ) − E X( )2 = 2 − pp2

−1p2

=1− pp2

=1p2

−1p.

Ø X Geom p( ) , P X > k( ) = P le prime k prove sono insuccessi( ) = 1− p( )... 1− p( )k volte

= 1− p( )k

⇒ P X ≤ k( ) = 1− 1− p( )k . Ø Proprietà di assenza di memoria:

§ P X > k + h | X > h( ) = P X > k( ) . § Dimostrazione:

• P X > k + h | X > h( ) = P X > k + h& X > h( )P X > h( ) =

P X > k + h( )P X > h( ) =

1− p( )k+h1− p( )h

=

= 1− p( )k = P X > k( ) . § P a < X ≤ b | X > h( ) = P a − h < X ≤ b − h( ) .

Ø Utilizzo: è utile quando vogliamo sapere la probabilità che la k -‐esima ripetizione sia il primo successo.

µ Variabile aleatoria ipergeometrica: Ø Definizione: una variabile aleatoria X si dice ipergeometrica di parametri N ,M e n se ha massa

di probabilità P X = i( ) =

Ni

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Mn − i

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

N + Mn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

con i = 0,1,...,n .

Ø Utilizzo: possiamo capirlo tramite un esempio. Una scatola contiene N batterie accettabili e M difettose. Si estraggono senza rimessa e in maniera casuale n batterie. Denotiamo con X il numero di batterie accettabili contenute nel campione estratto.


4

µ Variabili aleatoria uniforme: Ø Se noi prendessimo un segmento lungo 1 e un intervallo che va da a a b ivi contenuto, se x è

scelto casuale significa che la probabilità che x ∈ a,b[ ] dipende soltanto dalla lunghezza del segmento e non dalla sua posizione.

Ø L’insieme U è uniforme in 0,1[ ] se la sua densità è fU u( ) := 1 u ∈ 0,1[ ]0 altrimenti

⎧⎨⎪

⎩⎪.

§ P U ∈ u,u + du[ ]( ) = du con u ∈ 0,1[ ] . § P a <U ≤ b( ) = b − a . § 0 < a < b < 1 P a + h <U ≤ b + h( ) = b − a con 0 < a + h < b + h < 1 .

Ø Definizione generale: una variabile aleatoria continua si dice uniforme sull’intervallo α,β[ ] , se ha

funzione di densità data da f x( ) =1

β −αse α ≤ x ≤ β

0 altrimenti

⎧

⎨⎪

⎩⎪

.

Ø U U 0,1[ ] . I passi successivi quindi sono riferiti ad un intervallo ampio 1 .

§ E U( ) = uf u( )du−∞

+∞

∫ = udu0

1

∫ =u2

2 0,1

=12.

§ E U 2( ) = u2 f u( )du−∞

+∞

∫ = u2 du0

1

∫ =u3

3 0,1

=13⇒Var U( ) = 1

3−14=4 − 312

=112

.

§ U U 0,1[ ] , FU u( ) = fU x( )dx−∞

+∞

∫ =0x1

x < 00 ≤ x < 1x ≥ 1

⎧

⎨⎪

⎩⎪

.

Ø b − a( )U + a = X con b > a . § U = 1 à b − a( )1+ a = b . § U = 0 à b − a( )0 + a = a .

Ø X ~U a,b[ ] , X = b − a( )U + a , U ~U 0,1[ ] . Ø E X( ) = E b − a( )U + a⎡⎣ ⎤⎦ = b − a( )E U( ) + a = b − a

2+ a = a + b

2.

Ø Var X( ) = Var b − a( )U + a⎡⎣ ⎤⎦ = b − a( )2Var U( ) = b − a( )212

.

Ø FX x( ) = P X ≤ x( ) = P b − a( ),U + a ≤ x( ) = P U ≤x − ab − a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= FU

x − ab − a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

Ø ′FX x( ) = ddxFU

x − ab − a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= ′FU

x − ab − a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

b − a= fU

x − ab − a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

b − a.

Ø fX x( ) =1

b − a0

0 < x − ab − a

< 1

altrimenti

⎧

⎨⎪

⎩⎪

.

§ 0 < x − ab − a

< 1⇔ 0 < x − a < b − a⇔ a < x < b .


5

Ø FX x( ) = FUx − ab − a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

0x − ab − a1

x < a

0 < x − ab − a

< 1⇔ a < x < b

x ≥ b

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

.

Ø Utilizzo: quando la variabile aleatoria ha le stesse probabilità di cadere vicino a un qualunque punto dell’intervallo.

µ Variabili aleatorie normali o gaussiane:

Ø Definizione: z è normale standard se la sua densità fZ z( ) := 12π

e−z2

2 .

§ fZ z( )dz = 1⇔ 2π = e−z2

2 dz−∞

+∞

∫−∞

+∞

∫ .

§ 12π

e−s2

2 ds−∞

z

∫ := Φ z( ) := P Z ≤ z( ) .

§ Φ −z( ) = 1− Φ z( ) .

Ø mZ t( ) = E etZ⎡⎣ ⎤⎦ = etZ 12π

e−z2

2 dz−∞

+∞

∫ =12π

e−12z2 −2tz+ t2( )+ t

2

2 dz−∞

+∞

∫ =12π

et2

2 e−z− t( )22 dz

−∞

+∞

∫

sostituisco u = z − t , du = dz à m z( ) = et2

2 12π

e−u2

2 du−∞

+∞

∫=1

= et2

2 .

§ mZ 0( ) = 1 .

§ ′mZ t( ) = tet2

2 = tmZ t( ) . • ′mZ 0( ) = 0 .

§ ′′mZ t( ) = mZ t( ) + t ′mZ t( ) . • ′′mZ 0( ) = mZ 0( ) + 0 = 1⇒ E Z( ) = 0 , E Z 2( ) = 1 = Var Z( ) .

Ø Definizione: X variabile aleatoria con E X( ) = 0 , Var X( ) = 1⇒ X è standard.

Ø Definizione: X variabile aleatoria è normale se: X = aZ + b , a > 0 , b ∈ , Z è normale standard. Se Z è normale standard ⇔ −Z è normale standard.

Ø Def: X è normale con media µ e varianza σ 2 X ~ N µ,σ 2( )( ) se X = σZ + µ , Z normale

standard Z ~ N 0,1( ) . Ø X ~ N µ,σ 2( ) , Y = αX + β ∈N ,( ) con a ≠ 0 .

§ Dimostrazione: X ~ N µ,σ 2( )⇔ X = σZ + µ , Z ~ N 0,1( )⇒Y = αX + β = α σZ + µ( ) + β = ασ( )Z +αµ + β .

§ E Y( ) = E αX + β( ) = αE X( ) + β = αµ + β .

§ Var Y( ) = Var αX + β( ) = α 2Var X( ) . Ø X ~ N µ,σ 2( ) , calcoliamo la funzione di ripartizione e densità.


6

§ Con X = σZ + µ , FX x( ) = P X ≤ x( ) = P σZ + µ ≤ x( ) = P Z ≤x − µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= Φ

x − µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ à

FX = Φx − µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

§ P a < X < b( ) = FX b( ) − FX a( ) per le variabili aleatorie continue.

P a < X < b( ) = Φb − µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− Φ

a − µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

§ fX x( ) = ′FX x( ) = ddx

Φx − µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= ′Φ

x − µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1σ

= fZx − µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1σ

=12π

e−12

x−µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ 1σ

=

=12πσ 2

e−x−µ( )2

2σ 2⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ .

Ø X ~ N µ,σ 2( ) , X − µσ

~ N 0,1( ) .

§ E X − µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=E X( ) − µ

σ= 0 , Var X − µ

σ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= V −

1σX −

µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=1σ 2 Var X( ) = 1 .

Ø Teorema: X1,X2 ,...,Xn normali indipendenti ⇒ X1 + ...+ Xn è normale.

§ Dimostrazione: X ~ N µ,σ 2( ) . mX t( ) = E etX( ) ma siccome è normale sappiamo che ∃ X = σZ + µ , Z ~ N 0,1( ) .

mX t( ) = E et σZ +µ( )⎡⎣ ⎤⎦ = E e tσ( )Zetµ⎡⎣ ⎤⎦ = etµE e tσ( )

′tz⎡

⎣⎢⎤⎦⎥= etµmZ tσ( ) = etµe

tσ( )22 = e

t2σ 2

2+ tµ

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ à

mX = et2σ 2

2+ tµ

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ .

• mX1 + ...+Xn= mX1

t( )...mXnt( ) = exp t 2σ 2

1

2+ tµ1

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭...exp t 2σ 2

n

2+ tµn

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

exp t 2σ 2k

2+ tµk

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k=1

n

∑⎧⎨⎩⎪

⎫⎬⎭⎪= exp t 2

2σ 2

kk=1

n

∑′σ( )2

+ t µkk=1

n

∑µ '

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪= exp t 2

2′σ( )2 + t ′µ

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

⇒ X1 + ...+ Xn ~ N µkk=1

n

∑ , σ 2k

k=1

n

∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.

Ø Utilizzo: questo tipo di variabile aleatoria è molto importante e utilizzata grazie al teorema del limite centrale che tratterremo più avanti.

µ Esponenziali: Ø Def: X è esponenziale di parametro λ > 0 X ~ € λ( )( ) se fX x( ) = λe−λx x > 0

0 altrimenti⎧⎨⎩

.

Ø FX x( ) = fX s( )ds−∞

x

∫ =0 x < 0

λe−λs ds0

x

∫ = −e−λs⎡⎣ ⎤⎦x

0= 1− e−λx x ≥ 0

⎧⎨⎪

⎩⎪.


7

Ø Funzione generatrice dei momenti:

mX t( ) = E etX( ) = etx fX x( )dx

−∞

+∞

∫ = etxλe−λx ds0

+∞

∫ = λ e− λ− t( )λ '

x dx0

+∞

∫ con λ > t à

=λ

λ − t( ) λ − t( )e− λ− t( )x dx0

+∞

∫=1

.

§ mX t( ) = λλ − t

.

§ m 'X t( ) = −λ −1( )λ − t( )2

=λ

λ − t( )2 à ′mX 0( ) = 1

λ= E X( ) .

§ ′′mX t( ) = −λ λ − t( ) −1( )λ − t( )4

=2λ

λ − t( )3 à ′′mX 0( ) = 2λ

λ 3=2λ2

= E X 2( ) .

§ Var X( ) = 2λ2

−1λ2

=1λ2

.

Ø Assenza di memoria: § X ~ € λ( )⇒ P X > t + s | X > t( ) = P X > s( ) .

§ Dimostrazione: P X > t + s | X > t( ) = P X > t + s& X > t( )P X > t( ) =

P X > t + s( )P X > t( ) =

=1− FX t + s( )1− FX t( ) =

e−λ t+ s( )

e−λt= e−λs = P X > s( ) , ricorda che

P X > z( ) = e−λx ⇒ FX x( ) = 1− e−λx .

Ø cX ~ € λc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

µ Variabili aleatorie di tipo Γ :

Ø Definizione: X è Γ α,λ( ) se fX X( ) =λα

Γ α( ) xα −1e−λx x > 0

0 altrimenti

⎧

⎨⎪

⎩⎪

.

Ø Nota: Γ α( ) serve a far sì che la densità faccia uno in −∞,+∞( ) :

fX x( )dx−∞

+∞

∫ = 1 = λα

Γ α( ) xα −1e−λx dx0

+∞

∫ ⇒ Γ α( ) = λα xα −1e−λx dx0

+∞

∫ facciamo il cambiamento

di variabili y = λx , dy = λdx à λα yλ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟α−1

e− y dyλ0

+∞

∫ =λα

λα yα −1e− y dy0

+∞

∫ = Γ α( ) .

Ø Γ α( ) := xα −1e− x dx0

+∞

∫ .

Ø Gamma di Eulero: Γ 1( ) = e− x dx0

+∞

∫ = 1 .

§ Osservazione: Γ 1,λ( ) = € λ( ) . § Per mezzo dell’integrazione per parti:

Γ α( ) = yα −1e− y dy0

+∞

∫ = −e− yyα −1 +∞

0+ α −1( )y α −1( )−1e− y dy =

0

+∞

∫= a −1( ) y α −1( )−1e− y dy

0

+∞

∫ = α −1( )Γ α −1( ) à Γ α( ) = α −1( )Γ α −1( ) . § Γ n( ) = n −1( )Γ n −1( ) = n −1( ) n − 2( )Γ n − 2( )....Γ 1( ) = n −1( )! .


8

Ø X ~ Γ a,λ( ) . Funzione generatrice dei momenti:

§

E etX( ) = λα

Γ α( ) xα −1e−λxetx dx0

+∞

∫ =λα

Γ α( ) xα −1e− λ− t( )x dx0

+∞

∫ =λα

λ − t( )αλ − t( )αΓ α( ) xα −1e− λ− t( ) dx

0

+∞

∫=1

=

=λα

λ − t( )α.

§ mX t( ) = λλ − t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟α

.

• ′mX t( ) = α λλ − t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟α −1 −λ −1( )

λ − t( )2⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

αλα

λ − t( )α +1 à ′mX 0( ) = αλ.

• ′′mX t( ) = −αλα α +1( ) λ − t( )α 1( )

λ − t( )2α +2 à ′′mX 0( ) = α α +1( )λ2

.

§ E X( ) = αλ;

§ E X 2( ) = α α +1( )λ2

;

§ Var X( ) = α α +1( )λ2

−α 2

λ2=

αλ2

.

Ø Proprietà: X ~ Γ α,λ( ),Y ~ Γ β,λ( ) indipendenti ⇒ X +Y ~ Γ α + β,λ( ) .

§ Dimostrazione: mX+Y t( ) = mX t( )mY t( ) = λλ − t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟α λ

λ − t⎛⎝⎜

⎞⎠⎟β

=λ

λ − t⎛⎝⎜

⎞⎠⎟α +β

⇒ X +Y ~ Γ α + β,λ( ) . § Utilità:

• Capire X,Y ~ € λ( ) indipendenti.

♦ X ~ € λ( ) = Γ 1,λ( )Y ~ € λ( ) = Γ 1,λ( ) à X +Y ~ Γ 2,λ( ) .

♦ In generale: X1,...,Xn ~ € λ( ) à X1 + X2 + ...+ Xn ~ Γ n,λ( ) .

µ Distribuzioni Chi-‐quadro: Ø Z1

2 + ...+ Zn2 ~ Γ n

2, 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= χ 2 n( ) chi-‐quadro con n gradi di libertà.

§ X ~ χ 2 n( )⇔ X ~ Γ n2, 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

§ E X[ ] =n212

= n .

§ Var X( ) =n212

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 = 2n .


9

§ X ~ χ 2 n( ) , fX x( ) =1

2n2

1

Γ n2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟xn2−1e−x2 x > 0

0 altrimenti

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

.

§ X ~ χ 2 n( ),Y ~ χ 2 m( ) indipendenti à

X +Y = X12 + ...+ Xn

2 +Y 21 + ...+Ym

2 ⇒ X +Y ~ χ 2 n + m( ) . Ø Se X è una chi-‐quadro con n gradi di libertà e α è un reale compreso tra 0 e 1 , si definisce la

quantità χ 2α ,n tramite l’equazione seguente: P X ≥ χ 2

α ,n( ) = α .

µ Distribuzioni t: Ø Se Z e Cn sono variabili aleatorie indipendenti, la prima normale standard e la seconda chi-‐

quadro con n gradi di libertà, allora la variabile aleatoria Tn definita come Tn :=ZCn n

si dice

avere distribuzione t con n gradi di libertà à Tn ~ tn . Tale variabile aleatorie viene definita spesso t di Student.

§ fT t( ) =Γ n +1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Γ n2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ nπ 1+ t

2

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

n+12

con t a n gradi di libertà.

§ E Tn[ ] = 0 con n ≥ 2 . § Var Tn( ) = n

n − 2 con n ≥ 3 .

Ø Se Tn ~ tα ,n con α ∈ 0,1( ) à P Tn ≥ tα ,n( ) = α .

§ T è simmetrica à P Tn ≥ −tα ,n( ) = 1−α .

µ Teoremi e Teorie: Ø Teoria dell’affidabilità:

§ T = istante di rottura. T > t ⇔ all’istante t il sistema funziona. § P T > t( ) = 1− FT t( ) = funzione di sopravvivenza.

§ Def: intensità di rischio o tasso di guasto. λT t( ) := fT t( )1− FT t( ) .

§ P T ∈(t,t + dt] |T > t( ) = P T ∈(t,t + dt]&T > t( )

P T > t( ) =P T ∈(t,t + dt]( )

1− FT t( ) fT t( )dt1− FT t( ) = λT t( )dt

§ T > 0 λT t( )⇒ fT t( ) è nota.

§ λT t( ) := fT t( )1− FT t( ) = −

ddtln 1− FT t( )( ) integrando il tutto à

λT s( )ds0

t

∫ = −ddsln 1− FT s( )( )ds

0

t

∫ = − ln 1− FT t( )( ) − ln 1− FT 0( )( )⎡⎣ ⎤⎦ ,


10

λT s( )ds

0

t

∫ = ln 1− FT 0( )( )=0

− ln 1− FT t( )( ) ⇒1− FT t( ) = e− λT s( )ds0

t

∫ .

FT t( ) = 1− exp − λT s( )ds0

t

∫{ } . Ricorda che: fT t( ) = −ddt1− FT t( )( ) .

§ λT t( ) = λ ⇔ T ~ € λ( ) à FT t( ) = 1− exp − λ ds0

t

∫{ } = 1− e−λt . § λT ⇒ P T > t + s |T > s( ) ≤ P T < t( ) , ( significa non decrescente).

• P T > t + s |T > s( ) = P T > t + s&T > s( )P T > s( ) =

P T > t + s( )P T > s( ) =

1− FT t + s( )1− FT s( ) =

=exp − λT u( )du

0

t+ s

∫{ }exp − λT u( )du

0

s

∫{ } = exp − λT u( )du0

t+ s

∫ − λT u( )du0

s

∫( ){ } = exp − λT u( )dus

t+ s

∫( ){ }

• P T > t( ) = 1− FT t( ) = exp − λT u( )du0

t

∫{ } . • Facendo i grafici vediamo che P T > t + s |T > s( ) ≤ P T < t( ) effettivamente è vera.

§ T è Weibull ⇔ λT t( ) = αβt β−1 . Ø Teorema del limite centrale:

§ X1,X2 ,... variabili aleatorie indipendenti, tutte con la stessa formula di ripartizione,

E X1( ) = E X2( ) = ... = µ , Var X1( ) = Var X2( ) = ... = σ 2 .

§ 1n

Xkk=1

n

∑ = Xn media campionaria.

• E Xn( ) = µ .

• Var Xn( ) = σ 2

n.

• P Xn − µ > ε( ) →n→∞

0 (legge dei grandi numeri).

• Var Xn − µ( ) = Var Xn( ) = σ 2

n. Xn µ ± k Var Xn( ) = µ ±

σn.

§ Xn − µ σ

n.

§ Teorema limite centrale: X1,X2 ,.. variabili aleatorie indipendenti con la stessa formula di

ripartizione E X1( ) = E X2( ) = ... = µ , Var X1( ) = Var X2( ) = ... = σ 2 ⇒Xn − µσ

n .

limn→+∞

P Xn − µσ

n ≤ z⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= Φ z( ) = 1

2πe−u2

2 du−∞

z

∫ .

§

Zn =Xn − µσn1

n ≈ N 0,1( ) . Xn =Znσn

+ µ , Xn ≈ N µ,σ2

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.


11

§ nXn = n1n

Xkk=1

n

∑ = Xkk=1

n

∑ à

n Znσn

+ µ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= σ nZn

≈N 0,1( ) + nµ à E Xk

k=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟= nµ ,

Var Xkk=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟= nσ 2 .

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Variabili Aleatorie statistica