Variables de Holgura y

Superfluas

Son variables que se agregan a la restricción para que la relación de la restricción sea de igualdad (representa el valor que le hace falta al lado izquierdo para ser igual al lado derecho). Ambos tipos de variables tienen que cumplir con la restricción de no negatividad

Variable de Holgura

Es una inecuación y se puede convertir en una ecuación sumando una

nueva variable al lado izquierdo de la inecuación.

Ejemplo:

6 x1+4 x2 ≤ 24

Y colocando la nueva variable quedaría de la siguiente forma.

6 x1+4 x2 + h =24

Variables Superfluas Cuando la restricción es de la forma:

Es una inecuación y se puede convertir en una ecuación restando una nueva variable no negativa al lado izquierdo de la ecuación:

Ejemplo:

2x1+3 x2 ≥24

y restando la nueva variable

6x1+2 x2 – h =24

Forma Tipica

Si todas las restricciones son ecuaciones y además si se

conoce una solución factible, es decir de la forma.

Optimizar (Max o Min)

Z = c1 x2 + c2 x2 + c3 +x3 +…..+ cn xn

Sujeto a: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 +…..+ a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 +…..+ a2n xn = b2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 +…..+ a3n xn = b3

am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 +…..+ amn xn = bm

con

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0; ….≥; xn ≥ 0;

Forma matricial

Optimizar (Max o Min)

Z = CX

Sujeto a : AX = B

con: X ≥ 0

Costo de Penalización

Se refiere al costo que aparece como consecuencia de la

no disponibilidad a tiempo de un determinado

material que impacta la continuidad operacional, es decir,

el costo de tener una instalación industrial paralizada por

falta de material, que es la suma de la producción no

realizada.

Se debe agregar una variable artificial en las restricciones

“inecuaciones ”que no contenga una variable de holgura.

Las variables artificiales cambian la naturaleza de las

restricciones y se aplican se la siguiente forma.

a) Para un programa de minimización con coeficientes

positivos muy grandes (+M)

b) Para un programa de maximización con coeficientes

negativos muy grandes (-M)

M se considera un numero positivo muy grande y

representa el costo de penalización en que se ha

incurrido.

Sujeto a

a) 3x1 + 7x2 + 3 x3 ≤ 15

b) 5x1 + 3x2 + 6 x3 ≥ 10

c) 9x1 + 5x2 + 4x3 = 17

Con todas las variables no negativas

a) En esta inecuacion Se suma una variable de holgura x4 al lado izquierdo de la primera

restriccion 3x1 + 7x2 + 3 x3 + x4 ≤ 15

b) En esta inecuacion se resta una x5 al lado izquierdo de sugunda restriccion

5x1 + 3x2 + 6 x3 – x5 ≥ 10

c) Como es una ecuacion queda por momento igual

El nuevo modelo queda asi

Z = 2x1 + x2 + 4x3+ 0x4 – 0x5

sujeto a a) 3x1 + 7x2 + 3 x3 + x4 = 15

b) 5x1 + 3x2 + 6 x3 - x5= 10

c) 9x1 + 5x2 + 4x3 = 17

Minimizar

Z = 2x1 + x2 + 4x3

Entonces ahora a las restricciones segunda y tercera se le agregan las variables

artificiales x6 y x7 ya que estas no poseen una variable holgura

Minimizar

Z = 2x1 + x2 + 4x3+ 0x4 – 0x5+ Mx6+Mx7

sugeto a :

3x1 + 7x2 + 3 x3 + x4 = 15

5x1 + 3x2 + 6 x3 - x5 +x 6 =10

9x1 + 5x2 + 4x3 + x7 = 17

x1 = 0; x2 = 0; x3 = 0; x4 = 15; x5 = 0; x1 = 0; x6 = 10; x7 = 17;

Ejemplo: Manufactura de bocinas para televisores.

Una compañía que fabrica televisores produce sus propias bocinas para usarlas en la fabricación de

los televisores. Hay una demanda de 8000 televisores por mes y se necesita 1 bocina por televisor.

• Las bocinas se producen en lotes.

• Las bocinas se colocan en inventario hasta que se necesitan para ensamblarlas.

• La compañía está interesada en determinar cuándo y cuántas bocinas producir.

1. Cada vez que se produce un lote, se incurre en un costo de preparación de $12000.

2. El costo unitario de producción de una sola bocina (excluyendo el costo de preparación) es de

$10 y es independiente del tamaño del lote fabricado.

3. El costo de mantenimiento de una bocina en

almacén es de $0.3 por mes

El costo de mantenimiento por cada bocina es de $0.3 por mes

H = Costo de mantenimiento=

El costo de mantenimiento promedio en $/tiempo de los inventarios se halla simplemente

multiplicando el costo de mantenimiento de cada bocina en un mes, por el inventario promedio

que mantiene la fábrica.

Inventario promedio

El inventario promedio depende del lote de bocinas que se fabrican. Suponga que se fabrica un lote de

40000 bocinas.

= = Inventario Promedio = 20000 bocinas

Costo de mantenimiento promedio mes ($/mes) =

Costo de m/to * Inv.promedio = * 20000 bocinas =

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

1 2 3 4 5 T(mes)

Inventario promedio

Similarmente se puede proceder a hallar el costo de mantenimiento promedio para diferentes niveles

de lote producción de bocinas.

También cabe recordar que el costo de preparación de un lote de producción de bocinas es de

$12000. Si se hace un lote de 40000 unidades quiere decir que a los 5 meses deberá volver a

fabricarse un lote, debido a que la demanda es 8000 bocinas/mes.

El costo de administración de inventarios en el caso de fabricar un lote de 40000 bocinas sería

Costo de administracion = +

Este procedimiento se realiza para diferentes lotes de producción y se mira cual de todos arroja el

costo de administración más pequeño.

En este caso el costo de preparación sería$2400/mes

(es decir $12000 / 5 meses )

Cantidad a

pedir (bocinas)

T entre pedido

(mes)

Inventario

promedio

(bocinas)

Costo

conservación

($/mes)

Costo

preparación

($/mes)

Costo

pertinente

admon ($/mes)

8000 1 4000 1200 12000 13200

16000 2 8000 2400 6000 8400

24000 3 12000 3600 4000 7600

32000 4 16000 4800 3000 7800

40000 5 20000 6000 2400 8400

48000 6 24000 7200 2000 9200

64000 8 32000 9600 1500 11100

80000 10 40000 12000 1200 31200