Varijabilni filtri Adaptivni filtritelekomunikacije.etf.bg.ac.rs/lab54/os2/cas_04_14.pdf · se sekcijom prvog reda Q(z) ... • Simon Haykin, Adaptive Filter Theory, Prentice Hall,

Obrada signala 2

Varijabilni filtri

Adaptivni filtri

1

Varijabilni filtri

• Pod varijabilnim (podesivim) filtrima, u opštem

slučaju, podrazumevaju se filtri kojima se

kontrolisano menjaju neki od karakterističnih

parametara (granična frekvencija propusnog

opsega, slabljenje u nepropusnom opsegu).

• U anglosaksonskoj literaturi se za ove filtre

koriste pojmovi variable filter ili tunable filter.

Varijabilni filtri

• Jedna klasa varijabilnih filtara podrazumeva da

se kontrolisano menja granična frekvencija dok

se zadržavaju ostale osobine polaznog filtra,

odnosno slabljenje u nepropusnom opsegu i

dozvoljena varijacija karakteristike u propusnom

opsegu.

• Jednostavan algoritam promene granične (3 dB)

frekvencije.

Struktrura

A0(z)

A1(z)

IN

GLP

GHP

1/2

2)()()( 10 zAzAzGLP

2)()()( 10 zAzAzGHP

21

,4,221

21

011

1N

l ll

ll

zz

zzzA

21

,5,321

21

1

1

1

1

111

1

1

N

l ll

ll

zz

zz

z

zzA

Batervortovi ili

EMQF (eliptički

filtri minimalnih

Q faktora) –

jednako β za sve

sekcije drugog

reda

dB3cos

Struktrura

21

,4,221

21

011

1N

l ll

ll

zz

zzzA

21

,5,321

21

1

1

1

1

111

1

1

N

l ll

ll

zz

zz

z

zzA

dB3cos

a)

b)

c)

z-1

x[n] y[n]

-1

z-1

z-1

-1

x[n] y[n]

z-1

-1

x[n] y[n]Ansari – Liu sekcije

prvog reda (pogodne

za all-pass sekcije)

Struktrura

21

,4,221

21

011

1N

l ll

ll

zz

zzzA

21

,5,321

21

1

1

1

1

111

1

1

N

l ll

ll

zz

zz

z

zzA

dB3cos

Ansari – Liu sekcije

drugog reda (pogodne

za all-pass sekcije)

z-1

-1

x[n] y[n]

z-1

-

Princip promene granične/presečne

frekvencije1

• Polazeći od half-band filtra, promenom granične

frekvencije, omogućava se da se dobije nov filtar/filtarski

par, sa drugom graničnom frekvencijom, koji je sačuvao

sve osobine polaznog half-band filtarskog para.

• Polazni filtarski par jer half-band filtarski par. Filtarski par

se preslikava u nov filtarski par transformacijom [Con-

1970],

1

1

1

gz

gzzQ

z-2

-lHB

x[n] y[n]


frekvencije1

0 0.5 1 1.5 2-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

/

arg

(Q(e

j ))

/

g=-0.9

g=-0.6

g=-0.3

g=0

g=0.3

g=0.6

g=0.9

1

1

1

gz

gzzQ

Svaki element za

kašnjenje zameni

se sekcijom prvog

reda Q(z)


frekvencije2

-1 -0.5 0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

g

arg

(Q(e

j 3

dB))

/

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.99

-0.98

-0.97

-0.96

-0.95

-0.94

-0.93

-0.92

-0.91

-0.9

/

arg(Q

(ej

))/

Nelinearna promena

širine prelazne zone

3dB u funkciji parametra g

Algoritam za promenu granične

frekvencije

• Na osnovu zadate frekvencije ω3dB odredi se vrednost parametra α:

• Na osnovu dobijene vrednosti parametra αodređuje se parametar α1:

• Za svaku sekciju drugog reda određuje se nova vrednost parametra β:

dB3cos

2

1 111

.2/)1(,,3,2 ,12

1

2

1 NlHB

l

HB

ll

Algoritam za promenu granične

frekvencije

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

/

Sla

blj

en

je [

dB

]Klasa III

0=/10

tacnoLP

tacnoHP

procenaLP

procenaHP

Adaptivni filtri

• Adaptivni filtri i njihova primena

• Algoritmi adaptacije

• Primeri

Preporučena literatura

• Simon Haykin, Adaptive Filter Theory, Prentice Hall, 2002

• John Proakis, Digital Communications, 4th edition, McGraw Hill, 2001

• Alexander D. Poularikas and Zayed M. Ramadan, Adaptive Filtering Primer with MATLAB, CRC Press, 2006

• Proakis et al., Algorithms for Statistical Signal Processing, Prentice Hall, 2002

Filtriranje

• U “klasičnoj” obradi signala, važnu grupu

čine LTI sistemi (linearni, vremenski

invarijantni)

– L

– TI

.

,

22

11

nxny

nxny

nbynaynbxnax 2121

.

,

00 nnynnx

nynx

Filtriranje

• Adaptivni filtri nisu TI a, s obzirom da

koeficijenti filtra na neki način zavise od

ulaznog signala, nisu ni linearni

• Kod adaptivnih filtara se pod linearnim

podrazumevaju ona rešenja gde se izlaz

dobija kao linearna kombinacija odbiraka

dostupnih na ulazu

Filtriranje

• Iako se izlaz dobija kao linearna

kombinacija dostupnih odbiraka, filtriranje

se, u odnosu na operaciju koja se sprovodi

može posmatrati kao:

– filtriranje

– usrednjavanje

– predikcija

Cilj

• Podrazumeva se da su poznate statističke osobine “korisnog” signala i šuma

• Najčešće se zahteva da se minimizira uticaj šuma prema nekom kriterijumu

• Jedan mogući pristup je da se minimizira greška koja se računa kao razlika odziva filtra i nekog željenog signala (Wiener-ov filtar, Kalmanov filtar)

• Rešenje može da se realizuije i kao analogno i kao digitalno

Adaptivni filtri

• Podrazumeva se da su poznate statističke

osobine “korisnog” signala i šuma i samo u

tom slučaju se (recimo Wiener-ovim filtrom)

može dobiti optimalno rešenje

• U praktičnim situacijama statistički parametri

signala ili nisu potpuno poznati ili se menjaju

u vremenu

• Tada se koriste filtri čiji se koeficijenti menjaju

pod kontrolom nekog adaptivnog algoritma

Adaptivni filtar

• Filtar čiji koeficijenti se menjaju tokom obradesignala tako da se adaptivnim filtrom ostvari željeni rezultat obrade

• Adaptivni filtri mogu biti FIR (Finite ImpulseResponse) filtri i IIR (Infinite Impulse Response) filtri

• FIR filtri su jednostavniji za ovu namenu, zbog problema stabilnosti kod IIR filtara

• Podešavanje vrednosti koeficijenata vrši se ili posle svakog odbirka ili posle bloka odbiraka

• Postoje različiti algoritmi za podešavanje koeficijenata adaptivnog filtra

Identifikacija sistema

• Adaptivnim filtrom se modeluje nepoznati sistem

• Isti signal se dovodi na ulaz nepoznatog sistema i adaptivnog filtra

• Adaptivnim algoritmom se koeficijenti filtra podešavaju tako da se minimizira razlika između odziva nepoznatog sistema i odziva adaptivnog filtra

• Signal greške:

• Cilj:

nyndne

Nepoznati

sistem

Model

sistema

Adaptivni

algoritam

x(n)

d(n)

y(n)

e(n)

ndny

Identifikacija inverzne

karakteristike sistema• Izlaz nepoznatog sistema se veže kaskadno sa

adaptivnim filtrom

• Cilj je da kaskadna veza nepoznatog sistema i adaptivnog filtra ima približno ravan frekvencijski odziv (ekvalizacija kanala)

Nepoznati

sistem

Adaptivni

filtar

Adaptivni

algoritam

s(n)

x(n)

e(n)

y(n)

Kašnjenje

Poništavanje šuma

• s(k) – signal

• n(k) - šum koji treba potisnuti (nekorelisan sa signalom)

• x(k) – referentni signal, korelisan sa šumom

Adaptivni

filtar

Adaptivni

algoritam

x(k)

d(k)

e(k)

y(k)

s(k)+n(k)

Line Enhancer (potiskivanje

širokopojasne smetnje)• s(k) – uskopojasni signal

• n(k) - šum koji treba potisnuti

• y(k) – procena signala s(k)

Adaptivni

filtar

Adaptivni

algoritam

d(k)

e(k)

y(k)

s(k)+n(k)

Kašnjenje

z - M

Potiskivanje tonske smetnje

• s(k) –signal

• n(k) – tonska smetnja koju treba potisnuti

• e(k) – procena signala s(k)

Adaptivni

filtar

Adaptivni

algoritam

d(k)

e(k)

y(k)

s(k)+n(k)

Kašnjenje

z - M

Ista šema na

dva izlaza

daje različite

signale

Poništavanje akustičkog eha

• koristan signal (signal sa kraja B)

• druga dva člana su eho signal od bližeg i daljeg kraja koji treba potisnuti i

• w(t) je adativan beli šum

Adaptivni

FIR filtar

Ulaz

rA(t)

Filtar

(predajnik)

Filtar

(prijemnik)

Hibrid

OdabiranjeOdluka

Algoritam

adaptacije

a(n)

b(n)

eha procena - ˆ1

0

M

k

AA knakhs

twdtsAdtsAtsAtr AABA 23121

Aktivna kontrola buke

Adaptivan

sistemx(t) y(t)

e(t)

Dodatno kašnjenje od

referentnog do kontrolnog

mikrofona

Adaptivni algoritmi – opšte osobine

• Brzina konvergencije

• Rezidualna greška

• Praćenje

• Robustnost

• Složenost

• Struktura

• Otpornost na numeričke greške

Algoritmi za adaptivne filtre

• LMS (Least Mean Squares )

• RMS (Recursive Least Squares)

• i mnogi drugi

LMS

• Najjednostavniji adaptivni algoritam

• Relativno sporo konvergira

• Bazira se na teoriji Wiener-vog filtra

Wiener-ov filtar

• Minimizira se srednja kvadratna greška

estimacije signala

kT

N

i

kdikxihkdkykdke XH

1

0

Winer-ov

filtarx(n)

y(n)

e(n)

d(n)

1

1

Nkx

kx

kx

k

X

1

1

0

Nh

h

h

k

H

Wiener-ov filtar

• Kriterijumska funkcija J je srednja

kvadratna greška estimacije (MSE)

• Cilj je da se odredi vektor H za koje je J

ima minimalnu vrednost

RHHHP

HXXHHX

TT

T

kk

TT

k

keEJ

kdkdke

2

2

22

22

Wiener-ov filtar

• R autokorelaciona matrica signala na

ulazu filtra dimenzija NxN

• P korelacija (vektor) željenog signala i

signala na ulazu u filtar

Wiener-ov filtar

• J ima jedinstveni minimum, koji može da

se odredi tako što se gradijent izjednači s

nulomJ(H)

J(H(0))

J( (1))

J(H(2))

H

0h

1hopth1

opth0

PRH

RHPH

1

22

opt

d

dJ

Wiener-

Hopf ova

relacija

Wiener-ov filtar

• Izraz za Hopt iako jednostavan po formi,

zahteva:

– Poznavanje autokorelacione i korelacione

matrice

– Inverziju matrice

Gradijentni algoritam

• Polazi se od bilo koje tačke na paraboli

• Računa se gradijent u toj tački

• Pomeraj po paraboli za mali priraštaj u

pravcu gradijenta (a suprotnog smera)

• Određuje se nova vrednost gradijenta

• Postupak se ponavalja sve dok se

vrednost sračunatog gradijenta ne približi

nuli sa zadatom tačnošću

kkk 2

11 HH


• Iterativnim postupkom se određuju

koeficijenti, pa nije potrebno računati

inverziju matrice R

Tkkk

kkk

kkk

0000,1

22

2

11

HRHPHH

HRP

HH


• I dalje je potrebno poznavanje matrica R i

P

• FIR filtri su uvek stabilni, ali sam

gradijentni algoritam može postati

nestabilan, tj. može da divergira

• Uslov stabilnosti:

02

NPsr

LMS algoritam

• Ako se matrice R i P zamene

odgovarajućim procenjenim vrednostima

dobija se LMS algoritam

• Procene

nnnnE

ndnndnE

TTxxRxxR

xPxP

ˆ

,ˆ

LMS algoritam

kekkkkdk

kkkkdkkk

T

T

xHxx

HxxxHRP

22

22ˆ2ˆ2ˆ

kekkkkk xHHH ˆ2

11

1,0,1 Nlkelkxkhkh ll

LMS algoritam

• Veoma jednostavan za implementaciju

• Problem spora konvergencija

• Problem izbora parametra μ

• Iz analize gradijentnog algoritma sledi

• A praktične vrednosti su bar za red

veličine manje od toga

optsrNP

1

RLS algoritam

• Recursive Least Squares

• Brže konvergira od LMS algoritma po cenu

veće složenosti

• Minimizira se funkcija greške

• Težinski faktor n-i 0<1, zaboravljanje u

algoritmu

J n e in i

i

n

2

1

RLS algoritam

• 1/(1-) naziva se memorija algoritma, i ona

se bira tako da bude jednaka vremenu u

kome je ulazni signal približno stacionaran

RLS algoritam

• gde je:

• H(n) – vektor-vrsta koeficijenata filtra

• X(n) – vektor-kolona segmenta ulaznog signala

• d(n) – željeni signal u trenutku n

nnenn

nnndne

nnnnn

nnn

nnn

T

T

T

kHХ

XH

PXkPP

XPX

XPk

1

1

11

11

1

11

1

1

n i in i T

i

n

x x1

nn 1P

Primer 1 - adaptivna ekvalizacija

kanala pomoću „trening“ sekvence

• „Trening“ sekvenca je slučajan niz {xn}, takav da je xn=+/-

1, pri čemu slučajna promenljiva xn ima srednju vrednost

0 i varijansu 1 (Bernoulli-jeva sekvenca). U sistemu

postoji aditivni beli šum v(n) srednje vrednosti 0 i

varijanse

• Impulsni odziv kanala može da se aproksimira kao (W je

parametar kojim se kontroliše distorzija koju unosi

kanal):

001.02 v

3,2,10

3,2,1,22

cos12

1

n

nnWhn



LMS

e(br_za_h)=xn(br_za_h-D)-h(br_za_h-1,1:M)*u(br_za_h:-1:br_za_h-M+1);

h(br_za_h,1:M)=h(br_za_h-1,1:M)+mi*e(br_za_h)*u(br_za_h:-1:br_za_h-M+1)';

RLS

e(br_za_h)=xn(br_za_h-D)-h(br_za_h-1,1:M)*u(br_za_h:-1:br_za_h-M+1);

k=(1/lambda)*P*u(br_za_h:-1:br_za_h-M+1)/(1+1/lambda*u(br_za_h:-...

1:br_za_h-M+1)'*P*u(br_za_h:-1:br_za_h-M+1));

h(br_za_h,1:M)=h(br_za_h-1,1:M)+k'*e(br_za_h);

P=1/lambda*P-1/lambda*k*u(br_za_h:-1:br_za_h-M+1)'*P;



0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100010

-3

10-2

10-1

100

101

Mean-s

quare

err

or

LMS

RLS



0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100010

-3

10-2

10-1

100

Mean-s

quare

err

or

LMS

RLS



0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2h(n

)

LMS - plavo, RLS - zeleno



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-6

-4

-2

0

2

4

6

|H(e

j )|

LMS

RLS

kanal

Primer 2 – adaptivno

potiskivanje eha• Poništavanje refleksije s bližeg i daljeg

kraja

Adaptivni

FIR filtar

Ulaz

rA(t)

Filtar

(predajnik)

Filtar

(prijemnik)

Hibrid

OdabiranjeOdluka

Algoritam

adaptacije

a(n)

b(n)

eha procena - ˆ1

0

M

k

AA knakhs


potiskivanje eha

Adaptivni

FIR filtar

Ulaz

rA(t)

Filtar

(predajnik)

Filtar

(prijemnik)

Hibrid

OdabiranjeOdluka

Algoritam

adaptacije

a(n)

b(n)

eha procena - ˆ1

0

M

k

AA knakhs

Bez

ekvalizacije


potiskivanje eha

Adaptivni

FIR filtar

Ulaz

rA(t)

Filtar

(predajnik)

Filtar

(prijemnik)

Hibrid

OdabiranjeOdluka

Algoritam

adaptacije

a(n)

b(n)

eha procena - ˆ1

0

M

k

AA knakhs

Uključena

ekvalizacija,

malo μ


potiskivanje eha

Adaptivni

FIR filtar

Ulaz

rA(t)

Filtar

(predajnik)

Filtar

(prijemnik)

Hibrid

OdabiranjeOdluka

Algoritam

adaptacije

a(n)

b(n)

eha procena - ˆ1

0

M

k

AA knakhs

Uključena

ekvalizacija,

veliko μ


potiskivanje eha

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

h(n

)

veliko μ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

h(n

)

malo μ


potiskivanje eha

0 10 20 30 40 50 60 70 80-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 10 20 30 40 50 60 70 80-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

malo μ

veliko μ

Primer 3 – Line Enhancement

Adaptivni

filtar

Adaptivni

algoritam

d(k)

e(k)

y(k)

s(k)+n(k)

Kašnjenje

z - M


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104

-200

0

200

400

600

800

1000

1200autokorelacija suma


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08


0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

f [Hz]

|H(e

jw)|


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-40

-20

0

20

40

60

80

f [Hz]

X(f

)

ulaz

izlaz

Primer 4 – Potiskivanje

tonske smetnje

Adaptivni

filtar

Adaptivni

algoritam

d(k)

e(k)

y(k)

s(k)+n(k)

Kašnjenje

z - M


tonske smetnje

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104

-200

0

200

400

600

800

1000

1200autokorelacija suma

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08


tonske smetnje

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

f [Hz]

|H(e

jw)|


tonske smetnje

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

f [Hz]

|H(e

jw)|

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

f [Hz]

X(f

)

ulaz

izlaz

greska

Primer 5 - Aktivna kontrola

buke

Adaptivan

sistemx(t) y(t)

e(t)

Dodatno kašnjenje od

referentnog do kontrolnog

mikrofona

Greška

Ulaz

Izlaz Kašnjenje 128

odbiraka

0.0160 s

FILTAR

Greška

Ulaz

Izlaz

Problem!!!

Preveliko μ

Documents

Varijabilni filtri Adaptivni filtritelekomunikacije.etf.bg.ac.rs/lab54/os2/cas_04_14.pdf · se sekcijom prvog reda Q(z) ... • Simon Haykin, Adaptive Filter Theory, Prentice Hall,