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1
UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA
EXTENSION SOLOLA
FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓN
ALGEBRA LINEAL
INGENIERO WILMER ORLANDO XERON HERRERA
“VECTORES EN EL ESPACIO”
SOLOLÁ 12 DE SEPTIEMBRE DE 2014
2
INDICE
INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................. 3
VECTORES EN EL ESPACIO ....................................................................................................... 3
PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES .................................................................................. 6
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO EN R3 ........................................................................ 10
CONCLUSIÓN ................................................................................................................................ 15
RESUMEN ....................................................................................................................................... 16
BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................. 18
3
INTRODUCCIÓN
El objetivo principales de este trabajo es aprender cuales son las formas de expresar
un vector en el espacio, y aprender acerca de las características de los vectores en
el espacio. En el entorno en que vivimos podemos construir un sistema de
coordenadas rectangulares utilizando tres ejes mutuamente ortogonales, el punto
en el que estos ejes se cortan es llamado origen.
En algebra este tema trata sobre números, matrices, vectores, aplicaciones y de
operaciones entre los elementos de dichos conjuntos, en esta investigación se verá
la estructura de un espacio vectorial que es la propia de los vectores y que es
aplicable en las matrices a los polinomios y a las funciones que permite identificar
las matrices como vectores y resolver múltiples problemas geométricos
En física, los vectores sirven para representar magnitudes vectoriales como fuerzas,
velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de dos componentes
en el plano, de tres componentes en el espacio.
VECTORES EN EL ESPACIO Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z,
perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y.
Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).
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Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos
planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el
primer octante las tres coordenadas son positivas.
Vector en el espacio
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un
punto y su extremo en el otro.
Componentes de un vector en el espacio
Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o
componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las
coordenadas del origen.
Ejemplo:
Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de
vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).
5
Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector
nulo tiene módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes
Ejemplo:
Dados los vectores y , hallar los módulos de y ·
Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos
Distancia entre dos puntos
6
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos
dichos puntos.
Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).
Vector unitario
Un vector unitario tiene de módulo la unidad.
La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma
dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por
su módulo.
PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES
A diferencia del producto punto, el producto cruz sólo se encuentra definido
en R3 de la siguiente forma:
Definición:
Producto Cruz o Vectorial.
Sean u = a1i + b1j + c1k y v = a2i + b2j + c2k. Entonces el producto cruz (producto
vectorial) de u y v, denotado por u x v, es un nuevo vector definido por
u x v= (b1c2 – c1b2)i + (c1a2 – a1c2)j + (a1b2 – b1a2)k
Observe que el resultado del producto cruz es un vector, mientras que el resultado
del producto escalar es un escalar.
Ejemplo:
Sean u = i – j + 2k y v = 2i + 3j – 4k. Calcule w = u x v.
Solución:
7
Utilizando la definición anterior:
w = [(-1)(-4) – (2)(3)]i + [(2)(2) – (1)(-4)]j + [(1)(3) - (-1)(2)]k = -2i + 8j +5k
Teorema 4
Sean u = a1i + b1j + c1k y v = a2i + b2j + c2k. Entonces:
Demostración:
Ejemplo:
Calcule u x v y v x u, donde u = 3i – 2j + 4k y v = i + 2j -3k.
Solución:
¿Qué particularidad se observa en los dos vectores obtenidos?
8
Teorema 5
Sean u, v y w tres vectores en R3 y sea α un escalar, entonces:
u x 0 = 0 x u = 0
u x v = -(v x u) Propiedad anticonmutativa para el producto vectorial.
(αu) x v = α(u x v)
u x (v + w) = (u x v) + (u x w) Propiedad distributiva para el producto vectorial.
(u x v) · w = u · (v x w) Esto se llama triple producto escalar de u, v y w.
u · (u x v) = v · (u x v) = 0 u x v es ortogonal a u y a v.
Si ni u ni v son el vector cero, entonces u y v son paralelos si y sólo si u x v= 0.
Fig. 7 El producto cruz de u y v (u x v) es ortogonal tanto a u como a v.
El punto 6 del teorema anterior establece que
El producto cruz u x v es ortogonal tanto a u como a v.
Teorema 6
Si es el ángulo entre u y v entonces
|u x v| = |u| |v| sen
Demostración:
Usando la definición de magnitud de un vector, se tiene:
|u x v|2 =(u2v3 – u3v2)2 + (u3v1 – u1v3)2 + (u1v2 – u2v1)2
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Al desarrollar los cuadrados, se puede escribir:
Existe una interpretación geométrica del teorema anterior. Los vectores u y v están
dibujados en la figura 8, y se puede pensar que son los lados adyacentes de un
paralelogramo. Entonces de la geometría elemental, se observa que
Fig. 8 El área del paralelogramo que tiene lados adyacentes u y v es:
|u| |v| sen = | u x v |
Ejemplo 3.
Determine el área del paralelogramo con vértices en los puntos P = (2, 2, -1), Q =
(3, 0, 5) y
R = (-2, 0, 7).
Solución:
Los vectores que forman los lados del paralelogramo son y . Entonces el
área del paralelogramo es:
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Área = | x | = (i – 2j + 6k) x (-5i + 2k)
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO EN R3
Considere dos puntos P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2) que pasan sobre una recta
L. Un vector paralelo a L es aquel con representación . Entonces
v = (x2 – x1)i + (y2 – y1)j + (z2 – z1)k
Resulta ser un vector paralelo a la recta L. Ahora sea el punto R = (x, y, z) otro punto
sobre la misma recta L. Entonces es paralelo a , que a su vez es paralelo a v.
Por lo tanto,
= tv
para algún número real t. Ahora, observando la figura se tiene que para cualquiera
de los tres casos posibles,
= +
Fig. 9 En los tres casos OR = OP + PR
Al combinar las dos últimas expresiones, se tiene que:
= + tv
Esta expresión se conoce como ecuación vectorial de la recta L. Si R está sobre L,
entonces esta ecuación se satisface para algún número real t. De manera contraria,
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si dicha ecuación se cumple, entonces invirtiendo los pasos, se observa que es
paralelo a v, lo que significa que R está sobre L.
Si se desarrollan las componentes de la ecuación vectorial de la recta, se obtiene:
xi + yj + zk = x1i + y1j + z1k + t(x2 – x1)i+ t(y2 – y1)j+ t(z2 – z1)k
o también:
Este grupo de ecuaciones se conocen como ecuaciones paramétricas de una recta.
Si del anterior grupo de ecuaciones despejamos t y definimos a =x2– x1, b
= y2 – y1 y c = z2 –z1, se encuentra que si abc ≠ 0, entonces,
las cuales se denominan ecuaciones simétricas de una recta. Aquí a, b y c son
números directores del vector v y por supuesto estas ecuaciones son válidas si a,
b, y c son diferentes de cero.
Ejemplo 1.
Hallar las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de la recta L que pasa
por los puntos P = (1, –1, 2) y Q = (–2, 1, 3).
Solución:
En primer término, se determina el vector v que pasa por los puntos P y Q
v = (–2 –1)i + [1 –(–1)]j + (3 – 2)k = –3i +2j + k
Ahora, si R = (x, y, z) se encuentra sobre la recta, se obtiene
= xi +yj + zk = + tv = i – j + 2k + t(–3i + 2j + k)
xi +yj + zk= (1 – 3t)i + (–1 + 2t)j + (2 + t)k
Ecuaciones paramétricas: x = 1 – 3t y = –1 + 2t z = 2 + t
Como a = –3, b = 2 y c = 1, las ecuaciones simétricas son:
12
Ejemplo 2.
Determinar las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por los puntos P = (2,
3, –1) y
Q = (–2, 3, 4).
Solución:
Aquí tenemos que:
v = (–2 –2)i + (3 – 3)j +(4 + 1)k
v = –4i + 5k
Por lo que:
xi +yj + zk= 2i +3j – k + t(-4i + 5k) = 2i + 3j – k – 4ti + 5tk
xi +yj + zk= (2– 4t)i + 4j + (–1 + 5t)k
x = 2 – 4t
y = 3
z = –1 + 5t
o de otra forma, ya que a = –4, b = 0 y c = 5
La ecuación y = 3 representa la ecuación de un plano paralelo al plano xz.
Planos en R3.
Sea P0(x0, y0, z0) el punto de un plano. Sea (a, b c) un vector perpendicular al
plano, llamado vector normal al plano. Véase la figura. Estas dos cantidades, un
punto en el plano y un vector normal al plano, definen al plano. Únicamente existe
un plano a través de un punto dado y con una normal dada. A continuación se
deduce la ecuación de dicho plano que pasa a través de un punto P0(x0, y0, z0) y
una normal (a, b, c).
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Fig. 10 El vector n es ortogonal a todos los vectores en el plano
Sea P(x, y, z) un punto arbitrario en el plano. Se tiene
= (x, y, z) – (x0, y0, z0)
= (x – x0, y – y0, z –z0)
El vector se encuentra en el plano, por lo que los vectores (a, b c) y son
ortogonales y debido a esto su producto punto es cero. Esta observación conduce
a una ecuación del plano.
(a, b, c) · = 0
(a, b, c) · (x – x0, y – y0, z – z0) = 0
a((x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0
A esta ecuación se le conoce como la forma punto-normal de la ecuación del plano.
Reescribiendo la ecuación se tiene:
ax – ax0 + by – by0 + cz – cz0 = 0
ax + by +cz – ax0 – by0 – cz0 = 0
Los tres últimos términos son constantes y agrupándolos en una sola constante
llamada d, se tiene:
ax+ by + cz + d = 0
Esta forma es conocida como ecuación cartesiana de un plano.
Ejemplo 1.
Encuentre la forma punto-normal y la forma general de la ecuación del plano que
pasa a través del punto (1, 2, 3) y que tiene como normal a (-1, 4, 6).
Solución:
Sea (x0, y0, z0) = (1, 2, 3) y (a, b, c) = (-1, 4, 6).
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La forma punto normal es:
-1(x – 1) + 4(y – 2) + 6(z – 3) = 0
Multiplicando y simplificando:
-x + 1 + 4y – 8 + 6z – 18 = 0
La forma general es:
-x + 4y + 6z -25 = 0
Ejemplo 2.
Determine la ecuación del plano que pasa por los puntos P1(2, -1, 1), P2(-1, 1, 3) y
P3(2, 0, 3).
Solución:
Los vectores y están en el plano. Por lo que el producto cruz
de x será normal al plano. De esta forma:
= (–1, 1, 3) – (2, –1, 1) = (–3, 2, 2)
= (2, 0, 3) – ( 2, –1, 1) = (0, 1, 2)
Por lo tanto:
Sea (x0, y0, z0) = (2, –1, 1) y (a, b, c) = (2, 6, –3).
La forma punto normal es
2(x – 2) + 6(y + 1) – 3(z – 1) = 0
2x – 4 + 6y + 6 – 3z + 3 =0
La ecuación del plano es
2x + 6y – 3z + 5 = 0
Observe que cada uno de los puntos dados (2,–1, 1), (–1, 1, 3) y (2, 0, –3) satisface
esta ecuación.
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CONCLUSIÓN
Un espacio vectorial es unas de las ideas básicas del algebra lineal y aparecen en
muchas aplicaciones de matemáticas, ciencias e ingenierías. Estas estructuras
algebraicas dan sentido a los conceptos de linealidad y superposición.
El concepto de espacio vectorial real podemos decir que es un conjunto de objetos
que se le denomina vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y
multiplicación por un escalar, para que sea un espacio vectorial debe cumplir ciertas
propiedades o axiomas. Por ende todo esto nos lleva a mencionar los subespacio
que más que nada un subespacio H de un espacio vectorial V es subconjunto de V
que es en sí un espacio vectorial.
Dado el hecho que he analizado la mayor parte de vectores espaciales, he podido
completar aún más mis conocimientos sobre vectores, dado que ahora no solo
podemos realizar ejercicios acerca de vector en un plano, sino que ya podemos
realizar otro tipo de ejercicios como lo son los vectores en el espacio.
16
RESUMEN
17
18
BIBLIOGRAFIA
ESCRITA
Computarizado Digital http://www.vitutor.com/analitica/vectores/vectores_espacio.html http://algebralineal.host22.com/Vectores/Vectores2.html http://www.aulafacil.com/matematicas-vectores/curso/Lecc-1.htm http://www.buenastareas.com/ensayos/Ensayo-De-Algebra-Lineal/6733885.html?_p=37