VECTORES EN ELVECTORES EN EL

PLANOPLANO

VECTORES EN ELVECTORES EN EL

PLANOPLANO

¿Cuánto vale una camisa? ¿Qué grosor tiene un cristal? ¿Cuál es la altura de un niño? ¿Qué capacidad tiene una jarra?

Todas estas preguntas tienen por respuesta un número y una unidad de medida.

Magnitudes escalares y Magnitudes escalares y vectorialesvectoriales

Sin embargo, si hablamos del viento no basta con una cantidad que exprese su intensidad, necesitamos su dirección y su sentido.

Estamos ante dos tipos de magnitudes:• Las magnitudes escalares, para cuya determinación se

necesita un número que exprese su medida.• Las magnitudes vectoriales, como la velocidad de un móvil,

el viento, la fuerza, la gravedad,…, que necesitan determinar su intensidad, dirección y sentido.

• VECTOR FIJO

• VECTORES EQUIPOLENTES

• COMPONENTES DE UN VECTOR

• VECTOR LIBRE

• SUMA DE VECTORES LIBRES

• PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

VECTORES EN EL PLANO

• Llamaremos vector fijo de origen A y extremo B, al segmento orientado

que va de A a B. Lo indicaremos con

• Llamaremos vector fijo de origen A y extremo B, al segmento orientado

que va de A a B. Lo indicaremos con

Vectores en el planoVectores en el plano

AB

A

Bπ

• Llamaremos módulo del vector a la longitud del segmento AB.

• Su dirección será la de la recta determinada por los puntos A y B.

• Su sentido es el que va de A a B.

• Diremos que dos vectores son equipolentes (equivalentes) si tienen el mismo módulo dirección y sentido

• Diremos que dos vectores son equipolentes (equivalentes) si tienen el mismo módulo dirección y sentido

Llamamos COMPONENTES de un vector al par de números reales

)v,(vv 21

Componentes de un vectorComponentes de un vector

)ab,a(b)v,(vAB 221121

Dado el vector fijo , hallamos sus componentes restando las coordenadas del origen a las del extremo

AB

A =(a1,a2).

B =(b1,b2).

v1 =(b1 - a1)

v2 =(b2 – a2)

A =(-2,2)

B =(3,-1)

Si A =(-2,2) y B =(3,-1), las componentes del vector serán:

(5,-3)2)(-2),-1(3AB

Módulo de un vectorMódulo de un vector

22

21 vvv

Dado el vector con origen en A(a1,a2) y extremo en B (b1,b2), su módulo es la longitud del segmento AB (o del BA):

Bb2

b1

A

a1

a2 b1- a1

b2- a2

Basta aplicar el Teorema de Pitágoras:

Por ejemplo, el módulo siendo A(-3,8) y B(3,5):

Y en general para cualquier vector )v,(vv 21

• Si dos vectores fijos son equipolentes, al unir sus orígenes y sus extremos se forma un paralelogramo

CDAB

Vectores libresVectores libres

B

A

• Fijado un vector AB y un punto C, existe un vector equipolente a AB con origen en C

C

D

Se lee: “El vector AB es equipolente al CD

Llamaremos vector libre al conjunto de vectores equipolentes (equivalentes) a uno dado

Llamaremos vector libre al conjunto de vectores equipolentes (equivalentes) a uno dado

Se lee: “ el vector libre u está formado por todos los vectores equipolentes a AB

B

A

C

D

Vectores libres del planoVectores libres del plano

w

uv

El vector libre u es el conjunto de vectores equipolentes (equivalentes) a uno dado.

Análogamente v, w,…

El vector libre u es el conjunto de vectores equipolentes (equivalentes) a uno dado.

Análogamente v, w,…

Todos los vectores equipolentes a uno dado tienen las mismas componentes.

NOTA: Indicaremos los vectores en negrita o con una flecha sobre la letra(s) correspondientes

Vector de posición de un Vector de posición de un puntopunto

De todos los vectores equipolentes a uno dado (representantes del mismo vector libre)

el más fácil de representar es aquel que tiene origen en el origen de coordenadas, punto O(0,0)

Ejemplos

Las componentes del vector coinciden con las coordenadas del punto que es su extremo.

,43u

2-,5v

u

v

Suma de vectores Suma de vectores libreslibres

u

v

uu

vv ww

La suma de dos vectores libres es otro vector. Decimos que la suma de vectores libres es una operación interna:

22 VvuVv,u

Podemos emplear también la ley del paralelogramo:

- Fijado O, construimos un vector OA representante de u y OC de v. Siendo éstos dos lados consecutivos de un paralelogramo, lo completamos y el vector OB será el vector suma

O A

B

O A

BC

Para sumar dos vectores:

- Fijado un punto O del plano, construimos un vector OA que sea representante de u ; después AB equivalente al vector v . El vector OB se llama vector suma

GEOGEBRA

Propiedades de la suma Propiedades de la suma de vectoresde vectores

u0uVuV0 22 wvuwvuVwvu 2,,

uvvuVv,u 2

GEOGEBRA

La suma de dos vectores libres es operación interna:

22 VvuVv,u

Existe elemento neutro:

La suma de vectores tiene las siguientes propiedadesLa suma de vectores tiene las siguientes propiedades

Es asociativa:

Es conmutativa:

Existe elemento opuesto: 0uuVuVu 22

0,00 Es el vector nulo. Su representación es

cualquier punto del plano

21 u,uu El vector opuesto de u tiene la misma

dirección y módulo que u pero sentido contrario

u u

Propiedades conmutativa y Propiedades conmutativa y asociativa de la sumaasociativa de la suma

GEOGEBRA

u

v

u

u

v

v

vu

w

v

u

uvvu

vu

w)wv(u

w)vu(

wv

wvuwvu

Propiedad asociativa:

Propiedad conmutativa:

uv

SumaSuma y y restaresta de de vectoresvectores

u v Podemos emplear también la ley del paralelogramo:

-El vector OB (diagonal del paralelogramo) es el vector suma u+v, y

-El vector CA (la otra diagonal) es el vector resta u – v (vector que va del extremo de v al extremo de u, en este orden)

-NOTA: El vector v-u es el opuesto u-v (vector que va del extremo de u al extremo de v, en este orden)

v

vuvu

vvu vu

vu

La diferencia entre los vectores u y v es igual a la suma de u con el opuesto de v

u u

O

vu B

Av

u

Cv vu

v

AuO

Suma de vectoresSuma de vectoresen función de sus en función de sus

componentescomponentesSean

Si los vectores son:u

w

wu

(2,2)ww

u

wuPara sumarlos gráficamente construimos el paralelogramo

O simplemente encadenamos los vectores

Resta de vectoresResta de vectoresen función de sus en función de sus

componentescomponentesSean

Si los vectores son:

u

w

wu

(2,2)w

wu

w-),-w(-ww 21Com

o

La resta es la suma del opuesto:

w

u

wu

22 VuRVu

El producto de un vector u por un escalar λ es otro vector que tiene la misma dirección que u, igual sentido u opuesto según sea λ positivo o negativo, y cuyo módulo es el producto del módulo de u por el

valor absoluto de λ

Producto de un vector Producto de un vector por un escalarpor un escalar

u3

u2

u2

3

u El producto de un vector por un escalar es otro vector.

uu

0siu.sentopuesto

0siusentidousentido

udirecciónudirección

u

u2

5

Opuesto de u

Para multiplicar un vector por un número real, se multiplica el número real por cada componente del vector

Producto de un vector por un Producto de un vector por un escalarescalar

22 VuλRλVu

Sea

Ejemplo

u

uSi

VECTOR OPUESTO

Siu2

Combinación Combinación lineal de lineal de vectoresvectores

Cualquier vector w se puede poner como combinación lineal de dos vectores u, v no nulos y no paralelos.

Existen dos números λ y µ, tales que w= λ u + µ v

Cualquier vector w se puede poner como combinación lineal de dos vectores u, v no nulos y no paralelos.

Existen dos números λ y µ, tales que w= λ u + µ v

u v

u

vu

v

Dados dos vectores u, v y dos números λ y µ, el vector λ u + µ v se dice que es una combinación lineal de u y v

Dados dos vectores u, v y dos números λ y µ, el vector λ u + µ v se dice que es una combinación lineal de u y v

u

v w

GEOGEBRA

Combinación lineal de Combinación lineal de vectoresvectores

Sean los vectoresDefinimos un tercer vector w como combinación lineal de u y v:

Ejemplo:

u

v

u2

w

Combinación lineal de Combinación lineal de vectoresvectores

Otro ejemplo:

Con los mismos vectores

u

v

u2 w

v-

Pero con distintos coeficientes

Vectores linealmente Vectores linealmente

dependientesdependientes Si dos vectores son linealmente dependientes, sus componentes son proporcionales.

Si dos vectores son linealmente dependientes, sus componentes son proporcionales.

v Sean v=(v1 ,v2) y w=( w1 , w2) dos vectores en el plano

son linealmente independientesson linealmente independientesSiSi

Teoría y ejercicios:http://personales.unican.es/gonzaleof/#

http://platea.pntic.mec.es/anunezca/UnidDidVectores/Index/index.htm

Maneja vectores:http://www.xtec.es/~jbartrol/vectores/index.html

Hoja de problemas con soluciones:

http://www.educa.aragob.es/iesitaza/DAPARTAM/matemat/06geometriaplano.pdf