Vectores, equilibrio

5/10/2018 Vectores, equilibrio

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A

Ac

A

PROBLEMA RESUEL TO 2.1

Las dos fuerzas P y Q actuan sobre el perno A. Deterrninese su resultante

Solucion grafica. Dibujese a eseala un paralelogramo eon lados igualesa P y Q. El modulo y la direccion de la resultante se miden y se encuentraque son

R = 98N ~35 .....Tarnbien puede usarse la regla del triangulo. Las fuerzas P y Q se dibu-

jan uniendo extremo y origen y otra vez se obtienen el modulo y la direccionde la resul tante par rnedicion directa.

R = 98N a = 350 R = 98N ~35 .....Solucion trjgonometriea. Usese otra vez la regia del triangulo; los dos

lad os y el angulo de la resultante se conocen. Aplicando la ley de los eosenos.R2 = p2 + Q2 _ 2PQcosBR2 = (40 N)2 + (60 N)2 - 2(40 N)(60 N) cos 1550R = 97.73N

Ahora, aplicando la ley de los sen o s podernos escribirsen A sen A

60N (I)en 155097.73 N

Resolviendo la ecuacion (l) para el seno de A, tenemos

sen k = (60 N) sen 15 5097.73 NUsando calculadora, obtenernos primero el cociente, luego su arco seno

y el resultado esA = 15.04 a = 20 + A = 35.04

Usando tres cifras signifieativas para eseribir eI resultado (vease seccion 1.6):R = 97.7 N ~35.0 .....

Soluci6n trigonometrica allernativa. Construyase el triangulo rectan-gulo BCD y calculese

CD = (60 N) sen 25 0 = 25.36 NBD = (60 N) cos 25 = 54.38 N

Y usando entonees el triangulo A CD, obtenemos

tg A = 25.36N94.38NR = 25.36

sen A

A = 15.04R = 97.73 N

Otra vez, a = 20 + A = 35.04 c R = 97.7 N ~35.0 .....


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s oo o u .

.50001h

PROBLEMA RESUELTO 2.2Una barcaza es arrastrada por dos remolcadores. Si la resultante de las fuerzasejercidas por los remolcadores es una fuerza de 5 ( )()() Ib dirigida a 10 largo deleje de la barcaza, determinense: a) la tension en cada una de las cuerdas, sa-biendo que 0 =45, b) el valor de 0 tal que la tension en la cuerda 2 seaminima.

a) Tension para IX = 45". Solucion grafica. Ernpleese la ley del para-lelograrno; la diagonal (resultante) se sabe que es igual a 5 ()()() Ib y que estadirigida hacia la derecha; los lados se dibujan paralelos a las cuerdas. Si el di-bu j o se hace a esc ala pueden medi rse

:3700Ib 2600lb .....

Solucion trigonometrica, Puede usarse la regia del triangulo. Observe-se que el triangulo mostrado represent a la mitad del paralelogramo mostradoarriba. Empleando la ley de los cosenos, escribirnos

Con calculadora, prirnero calculamos y alrnacenarnos el valor del ultimocociente. Multiplicando este valor sucesivarnente par sen 45 y sen 30, obte-nernos TI = .3660 Ib 1~= 2 .5\;1 01 b .....

h) Valor de (Y para T2 minima. Para determinar el valor de 0 tal que latensi6n en la cuerda 2 sea minima usarnos otra vez la regia del triangulo, En el es-quema mosrrado, la linea 1-1 es la direcci6n conocida de T,. Las lineas 2-2 in-dican varias direcciones posibles de T2 Observese que el minima valor de T2ocurre cuando T, y T2 son perpendiculares. EI valor minima de T2 es

T2 = = (5000 lb) sen 30 = = 2500 lbLos val ores correspondientes de T, y 0 son

T1 = (5000 lb) cos 30 = = 4330lbe x = = 90 - 30


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Fig. P2.3 Y P2.4

F b

hFig. P2.6 Y P2.7

Problemast2.1 Y2.2 Determinese en forma grafica el modulo, direc-cion y sentido de la resultante de las dos fuerzas mostradas en las fi-guras, usando a) la ley del paralelogramo y b) la regia del triangulo,

80 0 Ib

600 N.OOON

500lb

Fig. P2.1 Fig_P2.2.

2.3 Los dos miembros estructurales Bye estan remachados aun soporte A. Sabiendo que ambos miembros estan en tension y queP = 10 kN Y Q = 15 kN, determinense graficamente el moduloy direccion de la fuerza resultante ejercida sobre el soporte.

2.4 Los dos miembros estructurales Bye estan remachados alsoporte A. Si se sabe que ambos miembros estan en tension y queP = 6 kips y Q =4 kips, determinense graficamente el moduloy direccion de la fuerza resultante ejercida sobre el soporte.

2.5 Resuelvaseel problema 2.3, suponiendo que P = 15 kN yQ = 12 kN.

2.6 La fuerza F de modulo 300 lb debe descomponerse ensus componentes a 10 largo de las lineas a-a y b-b. Determinese portrigonometria el Angulo 0:, si la componente de F a 10 largo de la li-nea a-a debe ser de 240 lb.

2.7 La fuerza F de modulo 240 N debe descomponerse ensus componentes a 10 largo de la linea a-a y b-b. Determinese en for-ma trigonometrica el Angulo 0:, si se sabe que la componente de Fa 10 largo de la linea b-b es igual a 190 N.

t Las respuestas a los problemas pares vienen al final del libro.


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2.8 Dos fuerzas acnian sobre una carretilla que se mueve a 10largo de una viga horizontal como se muestra aqui. Sabiendo que ex =25, a) determinese por trigonometria el modulo de la fuerza P demanera que la fuerza resultante que se ejerce sobre la carretilla seavertical. b) Leual es el modulo correspondiente de la resultante?

Fig. P2.8 Y P2.13

2.9 Un autornovil averiado es arrastrado por dos cuerdascomo se muestra. La tension en AB es de 500 Ib y el angulo ex es de25. Si se sabe que la result ante de las dos fuerzas apJicadas en A estadirigida a 10 largo del eje del autornovil, determinese por trigonome-tria: a) la tension en la cuerda AC y b) el modulo de la resultantede las dos fuerzas apJicadas en A.

2.10 Resuelvase el problema 2.9 suponiendo que la tension enla cuerda AB es 4 kN y que ex = 20.

2.11 Resuelvase el problema 2.8 suponiendo que ex 35.

2.12 Un automovil averiado es arrastrado por medio dedos cuerdas como se muestra en la figura adjunta. Si se sabe que latension en la cuerda AB es 750 lb, determinense por trigonometriala tension en la cuerda AC y el valor de ex tal que la fuerza resultanteejercida sobre A sea una fuerza de 1200 Ib dirigida a 10 largo del ejedel autornovil.

2.13 Dos fuerzas actuan sobre una carretilla que se mueve a 10largo de una viga horizontal como se muestra. Determinense por tri-gonometria el modulo y direccion de la fuerza P de manera que laresultante sea una fuerza vertical de 2500 N.

2.14 Resuelvase el problema 2.2 por trigonometria.

2.15 Determinense por trigonometria el modulo y direccionde la resultante de las dos fuerzas mostradas.

2.16 Si la result ante de las dos fuerzas que se ejercen sobre lacarretilla del problema 2.8 debe ser vertical, determinense: a) el valorde C I. para el cual el modulo de P es minimo y b) el modulo corres-pondiente a P.

23Problemas

Fig. P2.9 Y P2.12

:l(X)Ih,5'11z o o Ih

Fig. P2.15


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yF, ~ HON

-}~

tRy = (J4.3N)j R, = = (199.1 N)i

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PROBLEMA RESUEL TO 2.3Cuatro fuerzas actuan sobre un perno A como se muestra en la figura.Determinese la resultante de las fuerzas sobre el perno.

Soluciim. Las componentes x y y de cada fuerza se determinan portrigonornetria como se muestra en la figura y se escriben en la tabla. Deacuerdo con laconvenci6n adoptada en la seccion 2.7, un nurnero escalar querepresenta la componente de una fuerza e5posit ivo si la componente tiene elmismo sentido que el correspondiente eje de coordenadas. Entonces, las corn-ponentes x que actuan a la derecha y las componentes y que actuan hacia arri-ba se representan por nurneros positivos.

Fuerza Modulo, N Componente x N Componente y NFl 150 +129.9 +75.0F2 80 -27.4 +75.2F3 110 0 -110.0F4 100 +96.6 -25.9

R, = +199.1 R = +14.3y

En estas condiciones la resultante R de las cuatro fuerzas esR = (199.1 N)I + (14.3 N)j ......

El modulo y direcci6n de la resultante ya puede determinarse. Deltriangulo mostrado en la Iigura, tenemos

R 14.3 Ntg a = ..1= - -- .,-Rz 199.1 NR = 14.3 N = 199.6 Nsen

a = 4.10R HJ9.6 N Li" 4.1 c . . . . . .

Can calculadora, el ultimo calculo puede facili tarse si el valor de R sealmacena en la memoria al introducirse, de manera que pueda ser Ilam~dopara dividirse entre sen 01. (Vease tambien la nota al pie de la pagina 26.)


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Problemas

y800 x

120IIIFig. P2.17 Fig. P2.18

2.17 al 2.20 Determinense las componentes x y y de cada unade las fuerzas mostradas.2.21 EI cable AC ejerce sobre la viga AB una fuerza P que sedirige a 10 largo de la linea AC. Sabiendo que P debe tener una com-ponente vertical de 350 Ib, determinense a) el modulo de la fuerza

P y b) su componente horizontal.

Fig. P2.21

2.22 EI cilindro hidraulico BD ejerce sobre la barra ABCuna fuerza P dirigida a 10 largo de la linea BD. Si se sabe que P debetener una componente perpendicular al miembro ABC de 750 N, de-terminense a) el modulo de la fuerza P y b) su componente paralelaa ABC.

29

y

Fig. P2.19

Fig. P2.20

A

Fig. P2.22


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Estdtica de porttcuros

12'

45kN

2A III

B

Fig. P2.31

Fig. P2.32 Y

, . .2.23 La barra BC ejerce sobre el pasador en C una fuerzade 485 N dirigida a 10 largo de la linea Be. Determinense las com-ponentes horizontal y vertical de esa fuerza.

I

6 ftFig. P2.24ig. P2.23

2.24 La tension en el tirante de alambre del poste de telefonoes de 555 lb. Determinense las componentes horizontal y vertical dela fuerza ejercida sobre el ancla en C.2.25 Usando las componentes x y y resuelvase el problema 2.1.2.26 Usando las componentes x y y resuelvase el problema 2.2.2.27 Determinese la resultante de las tres fuerzas del problema2.182.28 Determinese la resultante de las tres fuerzas del problema2.172.29 Determinese la resultante de las dos fuerzas del problema2.19.2.30 Determinese la resultante de las dos fuerzas del problema2.20.2.31 Dos cables con tensiones conocidas estan atados a la pun-ta de una torre AB. Si se usa un tercer cable AC como tirante dealambre determinese la tension enAC, sabiendo que la resultante de lasdos fuerzas ejercidas en A por los tres cables debe ser vertical.2.32 Una carretilla esta sujeta a las tres fuerzas que se mues-

tran. Si se sabe que IX = 40, determinense: a) el modulo de lafuerza P para la cual la resultante de las tres fuerzas es vertical y b)el modulo de la resultante.2.33 Una carretilla esta sujeta a las tres fuerzas que aqui semuestran. Sabiendo que P = 250 lb, dererminense: a) el valor delangulo Ci para el cual la resultante de las tres fuerzas es vertical y b)el modulo correspondiente de la resultante.


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,3500 lb

lw= (30 kg)(9,Hl m/s')= 294 N?

a- \F -)294 N

////1

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PROBLEMA RESUEL TO 2.4En la operacion de descarga de un barco, un auromovil de 3 500 Ib es soporta-do por un cable, Se ata una cuerda al cable en A y se tira para cerurar al auto-movil sobre la posicion deseada. EI angulo entre el cable y la vertical cs de 2, mieruras que el angulo entre la cuerda y la horizontal es de 30. Leual es latension en la cuerda?

Solucion. Se escoge el punto A como solido libre y se dibuja el diagra-rna com pie to de solido libre. TAB es la tension en el cable AD y TAC es latension en la cuerda.

Condicion de equutbrio. Como solo actuan tres fuerzas sobre el solidolibre, dibujamos un triangulo de fuerzas para expresar que esie sc encuentraen equilibrio. Usando la ley de los senos escribimos

3500lbsen 580sell 1200

58Con catculadora, empezamos por calcular y guardar el valor del ultimo

cocienie. Muliiplicarnos este valor sucesivarnente por sen 120 y sen 2, y ob-renernos

TAB = 3570lb ]~c = 1441b .....PROBLEMA RESUEL TO 2.5Determinense eI modulo, direccion y sentido de la fuerza F mas pequefia quemantendra en equilibrio al paquete que se muestra al margen. Norese que laIuerza ejercida por los rodillos sobre el paquete es perpendicular al planoinclinado,

Solucion. Escogemos el paquete como solido fibre, suponiendo quepodernos tratar lo como particula.Condicion de equilihrio. Puesro que solo actuau tres fuerzas sobre elsolido Iibre, dibujamos un triangulo de fuerzas para expresar que esta enequilibrio. La linea /-/ represerua la direccion conocida de P. Para obtener elvalor minima de la fuerza F escogernos la direccion de F perpendicular a la deP. De la gcornetria del triangulo obrenido, encontramos que

F = (294 N) sen 1.50 = 76.1 N IX = 150F = 76.1 N : 2 : : " , 1 .5 .....


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"B ~ 40Ib

TAE = 60Ib

P-- xD'-(60lb~

FD '= 19.66IbTAC'=42Q9Ib

f3 =20.56" T'E ~ 60Ib0< = 60.26

TAB ~ 40lb

PROBLEMA RESUEL TO 2.6

Como parte del diseno de un nuevo velero, se desea determinar Ja fuerza dearrastre que puede esperarse a cierta veJocidad. Para hacerJo, se coloca unmodeJo del casco propuesto en un canal de prueba y se usan tres cables paramantener su proa en el eje del centro del canal. Las lecturas de los dinamo-metros indican que para una velocidad dada la tension es de 40 lb en eJcableAB y de 60 Ib en eJ cable AE. Deterrninense la fuerza de arrastre ejercidasobre el casco y la tension en el cable AC.

Soluci6n. En primer lugar se determinan los angulos a y {3 que definenlas direcciones de los cables AB y AC. Escribimos

7fttg a = 4 ft = 1.75a = 60.26

tg f 3 = 1.5fft =0.3754 tf 3 = 20.56

Escogiendo el casco como solido libre, trazamos el diagrama del solido libreque incluye las fuerzas ejercidas por los tres cables sobre elcasco, asi como lafuerza de arrastre ejercida por el flujo.

Condicion de equilibrio, Expresamos que el casco esta en equil ibrio,escribiendo la resultante de todas las fuerzas como nula.

(I)Como aparecen mas de tres fuerzas, obtendremos sus componentes x y y:

TAB = -(40 Ib) sen 6O.26j + (4 0 Ib) cos 6O.2Wj= -(34.731b)i + (19.841b)jTA G = TAG sen20.56j + TAGcos 20.56j= 0.3512TAGi + 0.9363TA c iTAE = -(60 Ib)jFD = FD iSustituyendo las expresiones obtenidas en la ecuacion (1) y sacando como

factor comun los vectores unitarios iy j, tenemos(-34.731b + 0.3512TAG + FD)i + (19.841b + 0.9363TAG - 60 Ib)j = 0Esta ecuacion se cumplira si, y solo si, los coeficientes deiy j son iguales a cero.Asi se obtienen las siguientes dos ecuaciones de equilibrio, que expresan, respecti-vamente, que la suma de las componentes x y la suma de las componentes y delas fuerzas dadas debe ser cero.(~F : t = 0:)( ~ F y = 0:)

-34.731b + 0.3512TAG + FD = 019.841b + 0.9363TAG - 60 Ib = 0 (2)(3)

De la ecuacion (3) encontramosTAC = +42.9Jb ~y sustituyendo este valor en la ecuacion (2), se obtiene

F D = +19.661b .....AI trazar el diagrama de solido Iibre supusimos que habia un sentido paracada fuerza desconocida. EI signo positivo en la respuesta indica que el senti-do supuesto era el correcto. Puede dibujarse el poligono de fuerzas completoy comprobarse asi los resultados.

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36 ProblemasA 2.35 al 2.38 Dos cables se amarran juntos en C y se cargancomo se muestra en la figura. Determinense las tensiones en AC yen BC.

Fig. P2.35

A!eB 1 .4 m

) -c

-------

I660N r B3m 48 inI

A J_ JBI . . . - - - 2.25 mFig. P2.36 Fig. P2.37 Fig. P2.38

2.39 Dos cables se amarran en C y se cargan como se muestra.Si se sabe que P = 500 N y e x = 60, determinense las tensiones enAC yen BC.

pFig. P2.39

)c....__ 6k:-.l

Fig. P2.40

2.40 Dos cables unidos en el punto C se cargan como se indicaen el esquema. Sabiendo que e x = 30, determinense las tensiones enAC yen BC.


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2.41 Dos fuerzas de magnitud TA = 8 kips Y TB = 15 kips seaplican como se muestra sobre una conexion soldada. Si se sa be quela conexion esta en equilibrio, determinense los modulos de lasfuerzas Tc y TD

T,

Fig. P2.41 Y P2.422.42 Dos fuerzas de modulo TA = 6 kips y Tc = 9 kips se

aplican como se muestra sobre una conexi on soldada. Si se sabe quela conexion esta en equilibrio, determinense los modulos de lasfuerzas TB y Tv .

2.43 Dos cables estan unidos en el punte A y soportados comose indica. Sabiendo que P = 640 N. deterrnfnese la tension en cadacable.

2.44 Dos cables estan unidos en el punto A y soportados comose indica. Determinese el intervalo de valores de P para el cual amboscables permanecen tirantes.

2.45 Para los cables del problema 2.40, encuentrese el valor deexpara el cual la tension es 10 mas pequefia posible a) en el cable BCy b) en ambos cables sirnultaneamente. Determinese en cada paso latension de los cables.

2.46 Para los cables del problema 2.39, se sabe que la maximatension permitida en el cable AC es de 600 N y de 750 N en el cableBC. Determinense a) la fuerza maxima P que puede aplicarse en Cy b) el valor correspondiente de e x .

2.47 EI collarin A de 60 Ib puede resbalar sobre una barra ver-ticalsin friccion y esta conectado, como se indica, a un contrapesoC de 65 lb. Determinese el valor de h para el cual el sistema esta enequilibrio,

2.48 Un cajon movible y su contenido pesan 700 lb. Determi-nese la cadena de sosten mas corta A CB que puede usarse para le-vantar el cajon si la tension en la cadena no debe exceder de 1250 lb.

Fig. P2.4B ~48in.- ~

37Problemas

960NFig. P2.43 Y P2.44

>---15 in.----I

A

Fig. P2.47


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38

A

p

Fig. P2.51

2.5 f t

rftIFig. P2.52

(a )Fig. P2.49

(h)

II

T T T T

(e ) (d ) (e)

2.49 Un embalaje de madera de 250 kg es sostenido por variosaparejos de poleas y cuerdas como se muestra. Determinese paracada configuracion la tension en la cuerda. (La tension en la cuerdaes la misma a cada lado de una polea simple. Esto puede comprobar-se por los metodos del capitulo 4.)

2.50 Resuelvase las partes b y d del problema 2.49 suponiendoque el extrema libre de la cuerda esta atado al embalaje.

2.51 Se aplica una fuerza P a una pequefia rueda que gira so-bre el cableACB. Sabiendo que la tension en ambas partes del cablees de 600 N, determinense el modulo y direccion de P.

2.52 Una caja de 450 lb debe sostenerse por el arreglo indica-do. Determinense el modulo y la direccion de la fuerza F que debeejercerse sobre el extrema libre de la cuerda para lograr el equilibrio.

*2.53 La deslizadera A puede resbalar libremente sobre labarra horizontal sin friccion, El resorte unido a la deslizadera tieneuna constante de 10 lb/in y no se deforma cuando la deslizaderapasa directamente abajo del soporte B. Determinese el modulo dela fuerza P necesaria para mantener el equilibrio cuando a) c =18 in.,b) c = 32 in. y c) c = 45 in.

Fig. P2.53p

.~~~-sr:SO NFig. P2.54


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80m

z

z

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PROBLEMA RESUEl TO 2.7EI alambre de una terre esta anclado en A por medio de un perno. La tensionen ~I alambre es de 2 500 N. Determinense a) las cornponentes F", F. y F: dela fuerza que actua sobre el perno y b) los angulos los 8x' 8. y 8_que definen la di-reccion de la fuerza. . -

a. Componente de la fuerza.sobre el perno pasa por A y B, y la fuerza esta dirigida de A hacia B. Lascornponentes del vector A B . que tiene la misma direcci6n que la fuerza, son

dy=+80mLa distancia total de A a B es

AB = d = V c r ; + d; + e 1 ; = 94.3 mRepresentando por i, j, k los veciores unitarios a 10 largo de los ejes coorde-nados, tenemos

A B = -(40 m)i + (H O m)j + (30 mlklruroduciendo el vector unitario A = AB/AB. escribirnos

F = FA = F A B = 2500 N A BAB 94..1 mSustituyendo la expresion encontrada para A B . obrenernos

F = 25()O N [-(40 m)i + (HO mlj + (:30 m)k]H4.:1 IIIF = -(1060 N)i + (2120N)j + (795 N)k

Por consiguiente, las componentes de F sont, = -1060N i'~ = +2120 N F, = +795 N .....

h. Direccion de la Iuerza, Usando las ecuaciones (2.25). escribimosF - ](l(iO:-':cos (J = _ _ : _ - - - -'r F :2 .500: ' \ Feosfi = _ _ J f _" F +2120 N

Fcos fi =--"-.: F +79.5~: 2 .5001 \Calculando suces ivarnerue cada cociente y su arco coseno, obtenemos

O J = ns.i- o = 32.0y(NOla. EI resuhado iambien pudo haberse deterrninado usando las compo-nentes y el modulo del vector AD en lugar de las de la fuerza F),


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PROBLEMA RESUEL TO 2.8Una seccion de una pared de horrnigon en masa se sostiene temporalmentepor los cables mostrados. Sabiendo que la tension es de 840 Ib en elcable ABy I 200 Ib en el cable AC, determinese el modulo y direccion de la resultantede las fuerzas ejercidas por los cables AB y AC sobre la estaca A.

Solucilm. La fuerza ejercida por cada cable sobre la estaca A se des-cornpondra en sus componentes x, y y z. Primero deterrninarernos las compo-nentes y el modulo de los vectores AB y E, midiendolosdesde A hacia laseccion de la pared. Representando por i,j y k a los vectores unitarios a 10largo de los ejes coordenados, escribimos

A Ir = -(16 ft)i + (8 ft)j + (II ft)kX C = -(16 ft)i + (8 ft)j - (16 ft)k AB = 21 ftAC = 24 ft

Representando por lAB al vector unitario a 10 largo de la linea AB, tenemosA I r 8401b--+

TAB = TAB"'AB = TAB AB = 2lftABC AI sustituir la expresi6n encontrada para A B , obtenemos

y ~ T,c=(1200Ib);\AC TAB = 840lb [-(16 ft)i + (8 ft)j + (11 ft)k]

~ -/l~ TAB = ~~:~Olb)i + (320Ib)j + (440Ib)k .81 ft I ~. ;\AB ~6ft/ Representando con lAc al vector unitario a 10 largo de AC, obtenemos enL . . . . . . . . . : T (840 Ib);\ 7 la semejante~ i ft X C 1200Ib--16ft x TAC = -Z:4C"'AC = TACAC = T4ftAC

TAC = -(800Ib)i + (400 Ib)j - (800 Ib)kLa resultante R de las fuerzas ejercidas por los dos cables esR = TAB + TAC = -(1440Ib)i + (720 Ib)j - (360 Ib)kEI modulo y direccion de la resultante se determinan por:R = V R ; + R ; + R ; = V ( -1440)2 + (720)2 + (-360)2R = 16501b .......De las ecuaciones (2.33) obtenemosRr -14401bcos 0 =- =--,----.,.,--r R 16.501b

R +7201bcos 0 = ~ = ---::-c=-=-:-:--" R 1650 IbR -.'3601bcos 0 = __!. = ----z R 16501b

Calculando en forma sucesiva cada cocierne y su arco coseno, obrenernos(! = 6 4 / . 1 0#


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46y

900 :'-i

e,so

25

Fig. P2.S5 Y P2.56

1j

Fig. P2.59 Y P2.60

roblemas2.55 Determinense a) las componentes x, Y y z de la fuerza de

7S0 N y b) los angulos e x . e y y e z que la fuerza forma con los ejescoordenados.2.56 Determinense a) las componentes x, Y y z de la fuerza de900 N y b) los angulos e x . e y y e z que la fuerza forma con los ejescoordenados.2.57 Un canon apunta a un blanco A localizado a 20 al nor-oeste. Sabiendo que el tubo del canon forma un angulo de 3S o con lahorizontal y que la maxima fuerza de retroceso es de 800 N, deterrni-nense a) las componentes x, Y y z de la fuerza y b) los valores de losangulos e x , e y y e z que definen la direcci6n de la fuerza de retroceso.(Supongase que los ejes x, Y y Z estan dirigidos al este, hacia arribay hacia el sur, respectivamente.)2.58 Resuelvase el problema 2.S7 suponiendo que el punto Ase localiza 2S o al noroeste y que e1 tubo del canon forma un angulode 30 con la horizontal.2.59 EI angulo entre el resorte AB y el poste DA es de 30. Sise sabe que la tension en el resorte es de S O Ib, determinense a) lascomponentes x, Y Y Z de la fuerza que se ejerce sobre la placa circularen By b) los angulos e x , e y y e z que definen la direcci6n de la fuerzaen B .

x

2.60 EI angulo entre el resorte AC y eI poste DA es de 30. Sise sabe que la tensi6n en el resorte es de 40 lb, determinense a) lascomponentes x, Y Y z de la fuerza que se ejerce sobre la placa circularen C y b) los angulos e x , e y y e z que definen la direcci6n de la fuerzaejercida en C.2.61 Determinense el modulo y direccion de la fuerza F

(240 N)i - (270 N)j + (680 N)k.2.62 Determinense el modulo y direccion de la fuerza F(690 lb)i + (300 Ib)j - (S80 Ib)k.2.63 Una fuerza actiia en el origen de un sistema coordenado

en una direcci6n definida por l o s angulos e x = 70 y e z = 130. Sise sabe que la componente Y de la fuerza es +400 lb determinensea) las otras componentes y el modulo de la fuerza, b) el valorde O y .

2.64 Una fuerza actua en el origen en una direccion definidapor los angulos e y = 65 y e z = 40. Sabiendo que la componentex de la fuerza es de -750 N, determinense a) las otr as componentesy el modulo de la fuerza y b ) el valor de O x '


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2.65 Dos cables BG y BH estan atados al marco A CD comosemuestra. Si se conoce que la tensi6n en el cable BG es 540 N, de-terminense las componentes de la fuerza que ejerce el cable BG sobreel marco en B.

yO.56m

pFig. P2.65 Y P2.66

2.66 Dos cables BG y BH estan atados al marco ACD comosemuestra. Sabiendo que la tensi6n en el cable BH es 750 N, deter-minense las componentes de la fuerza que ejerce el cable BH sobreelmarco en B.

2.67 Si se sabe que la tensi6n en el cable AB es de 285 lb, de-terminense las componentes de la fuerza ejercida sobre la placa enB.

2.68 Sabiendo que la tensi6n en el cable AC es de 426 lb, de-terminense las componentes de la fuerza ejercida sobre la placa en C.

2.69 Si se conoce que la tensi6n es de 285 lb en el cable AB yde 426 lb en el cable AC, determinense el modulo y direccion dela resultante de las fuerzas ejercidas en A por los dos cables.

2.70 Con referencia al marco del problema 2.65 y sabiendoquela tensi6n es de 540N en el cable BG y de 750 N en el cable BH,determinense el modulo y direccion de la resultante de las fuerzasque ejercen los cables sobre e1 marco en B.

cy P2.69

250N

2.71 Determinese la resultante de las dos fuerzas mostradas. Fig. P2.71

47


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48, ' . . . . W M VEstatico de porticulos

y

Fig. P2.72

2.72 EI angulo entre cada uno de los resortes AB y AC y elposte DA es de 30. Si se sabe que la tensi6n es 50 Ib en el resorte ABy 40 Ib en el resorte AC, determinense a) el modulo y direccion dela result ante de las fuerzas que ejercen los resortes sobre el poste enA y b) el punto donde la resultante interseca la placa.

y

720mm/'

pFig. P2.73

2.73 La varilla OA lleva una carga P y esta sostenida por doscables como se indica. Si se conoce que la tensi6n en el cable AB esde 732 N y que la resultante de la carga P y de las fuerzas ejercidas enA por los cables debe estar dirigida a 10 largo de OA, determinesela tensi6n en el cable AC.

2.74 Para la varilla y la carga del problema 2.73, determineseeI modulo de la carga P.

2.15. Equilibrio de una particula en el espacio. De acuer-do con la definicion dada en la seccion 2.9, una particula A esta enequilibrio si la resultante de todas las fuerzas que actuan sobre A esnula. Las componentes Rx, R; y R, de la resultante estan dadas porlas relaciones (2.31); expresando que las componentes de la resultan-te son cero, escribirnos

IFz =0 (2.34)Las ecuaciones (2.34) representan las condiciones necesarias y su fi-cientes para el equilibrio de una particula en el espacio. Estas puedenusarse para resolver problemas que tratan con el equilibrio de unaparticula en los que intervienen no mas de tres incognitas.

Para resolver tales problemas trazamos un diagrama de solidolibre, que muestre la particula en equilibrio y lodqs las fuerzas queactuan sobre ella. Debemos escribir las ecuaciones de equilibrio(2.34) y resolverlas para las tres incognitas. En los tipos de problemasmas comunes, esas incognitas representaran 1) las tres componentesde una sola fuerza 0 2) el modulo de tres fuerzas cada una con di-recci6n conocida.


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PROBLEMA RESUEL TO 2.9Un cilindro de 200 kg se sostiene por medio de dos cables AB y AC, que seamarran en la parte mas alta de una pared vertical. Una fuerza horizontal Pperpendicular a la pared 10sostiene en la posicion mostrada. Determinese elmodulo de Pyla tension en cada cable.

Solucion. Seescoge al punto A como cuerpo libre; este punto esta suje-to a cuatro fuerzas, tres de las cuales son de modulo desconocido,Introduciendo los vectores unitarios i,j y k, descomponemos cada fuer-za en sus componentes rectangulares.

P = = PiW = = -mgj = = -(200kg)(9.81 mN)j = = -(1962N)j

En el caso de TAB y TAG ' es necesario determinar primero las component esy2 ill los modulos de los oectores AB y AC. Representando con lAB e l vector1-_-------'- x unitario a 10 largo de AB, escribimos

k A B = = -(1.2 m)i + (10 m)j + (8 m)k AB = = 12.86m"-.4B = = 12~ m = = -O.0933i + O.778j + O.622k

T4B = = T.4B>"AB = = -O.0933TABi + O.778TAB j + O.622TABk (2 )Representando con >"ACelvector unitario a 10largo de A C, escribimos en for-ma semejanteA C = = -(1.2 m)i + (10 m)j - (10 m)k AC = = 14.19 m

"-AC = = 14~ m = = -O.0846i + O.705j - O.705kTAG = = TAC>"AC = = -O.0846TACi + O.705TAc i - O.7051~Gk (3)

La condicinn de euuilibrio, Puesto QueA esta en equilibrio, debemostener: : : : : F = = 0 : TAB + T4G + P + W = = 0

o sustituyendo de (1), (2)Y(3)para las fuerzas y sacando factor comun i, j y k,( - O.0933T4B - O .0846TAC + P)i

+ (O .7 78 T{B + O.705TAC - 1962 N)j + (O .6 22T AB - O .7 05TAC )k = = 0Haciendo los coeficientes de i, j y k iguales acero, escribimos las tresecuaciones escalares que expresan Que la suma de las componentes x, y y z delas fuerzas son, respectivamente, iguales a cero.

( : : : : : 1 ' : . = = 0:) -O .0933T .4B - O .0 8461~G + P = = 0( : : : : : 1 ' ; / = = 0:) +O.778T.1B + O.705TAG - 1962 N = = 0( - : : : : ' 1 ' ~ = = 0 :) +O.622T4B - O .705TAC = = 0

Resolviendo estas ecuaciones, obtenemosP = = 235 N T{B = = 1401 N 1\(" = = 1236 N


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50 If

Fig. P2.7Sy P2.76

If

z

Fig. P2.80, P2.81 Y

Problemas2.75 Una caja esta sostenida por tres cables como se muestraen la figura. Determinese el peso W de la caja, si se sabe que latensi6n en el cable AD es de 924 lb.2.76 Una caja se sostiene por tres cables como se indica en lafigura. Determinese el peso W de la caja sabiendo que la tensi6n enelcable AB es de 1378 lb.2.77 Un recipiente esta sostenido por tres cables que se atan altecho como se muestra. Determinese el peso W del recipiente, si seconoce que la tensi6n en el cable AB es 6.0 kW.

Fig. P2.77, P2.78, Y P2.79

2.78 Un recipiente esta sostenido por tres cables que se atan altecho como se muestra. Determinese el peso W del recipiente sabien-do que la tensi6n en el cable AD es 4.3 kN.

2.79 Un recipiente de peso W = 9.32 kN esta sostenido portres cables que estan atados al techo como se muestra. Determinesela tensi6n en cada cable.

2.80 Se conectan tres cables en A. donde las fuerzas P y Q es-tan aplicadas como se indica. Determinese la tension en cada cablecuando P = 28 kN y Q = O.2.81 Se conectan tres cables en A. donde las fuerzas P y Q es-tan aplicadas como se observa. Determinese la tensi6n en cada cablecuando P = 0 y Q = 36.4 kN.2.82 Tres cables estan conectados en A. donde las fuerzas P yQ se aplican como se muestra. Si se sabe que Q = 36.4 kN y quela tension en el cable AB es cero, determinense a) el modulo y elsentido de P y b) la tensi6n en los cables AB y AC.


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2.83 Una placa triangular se sostiene por medio de tres alam-brescomo se muestra. Determinese la tensi6n en cada alambre sa-biendo que a = 6 in.2.84 Resuelvase el problema 2.83 suponiendo que a 8 in.

in

Fig. P2.83 Fig. P2.852.85 Al tratar de moverse a traves de una superficie resbalosapor el hielo, un hombre de 175 Ib usa las dos cuerdas AB y AC. Sisesabe que la fuerza ejercida por el hombre sobre la superficie con-gelada es perpendicular a la superficie, determinese la tensi6n encada cuerda.2.86 Resuelvase el problema 2.85 suponiendo que un amigoayuda al hombre en A tirando de el con una fuerza P = -(451b)k.2.87 Un recipiente de peso W = 360 N se sostiene por dos ca-blesAB y AC amarrados a un aro A. Si se conoce que Q = 0, deter-minense a) el modulo de la fuerza P que debe aplicarse al aro para

mantener el recipiente en la posici6n indicada y b) los valores corres-pondientes de la tensi6n en los cables AB y AC.2.88 Resuelvase el problema 2.87 sabiendo que Q = (60 Njk,2.89 Un recipiente esta sostenido por un solo cable que pasaa traves de un aro A sin rozamiento y que esta amarrado en los puntosfijos B y C. Para mantener el recipiente en la posici6n mostrada seaplican al aro dos fuerzas P = Pi YQ = Qk. Sabiendo que el pesodel recipiente es W = 660 N, determinense los modulos de P y Q.(Sugerencia. La tensi6n debe ser la misma en las porciones AB y ACdel cable.)2.90 Determinese el peso W del recipiente del problema 2.89,si se sabe que P = 478 N.2.91 El cable BAC pasa a traves de un aro sin rozamiento A yestaunido a los soportes fijos B y C,mientras que los cables AD y AEestan amarrados al aro y unidos, respectivamente, a los soportes D

y E. Sabiendo que una carga vertical P de 200 lb se aplica al aro A,determinese la tensi6n en cada uno de los tres cables.2.92 Si se conoce que la tensi6n en el cable AE del problema2.91es de 75 Ib, determinense a) el modulo de la carga P y b) latensi6n en los cables BAC y AD.

51Problemas

y

If 22Umm

Fig. P2.87 Y P2.89

!Il7.5 in.

- - . rFig. P2.91


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Q)1J' "uE(1)-col..a . .

c.:- ---- - 8--c,f'!- .... __ t r _ . _ " " 1 ' _ . . ' "

OlOlND..: : . . >::; 00~ "!ND..

= = O l'" 8 u : : :!ND..O lu : : :

- -2' 5

.r.

~"'~~.~~ . . .~I--'t--t-i--I1


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r2.100 Un recipiente se sostiene por tres cables como se mues-tra. Determinese el peso W del recipiente, si se sabe que la tensionenel cable AB es 500 N.

Fig. P2.100

2101 En el problema 2.100 determinense los angulos O x , O y Y8, para la fuerza ejercida en D por el cable AD.

2.102 Sabiendo que P = 300 N, determinese la tension en loscablesAC y Be.

2.103 Determinese el intervalo de valores de P para. el cualambos cables parmenecen tensos.

2.104 Las direcciones de las fuerzas de 60 lb pueden variarperoel angulo entre las fuerzas es siempre 450Determinese el valorde e x para el cual la resultante de las fuerzas que actuan en A estadirigida verticalmente hacia arriba.

c '. C iS Determinese la resultante de las tres fuerzas que acnianen A cuando a ) e x = 0 y b) e x = 25.

2106 Una fuerza de 1200 N acnia en el origen en una direc-ciondefinida por los angulos O x = 65 y O y = 40. Tambien se sabequela componente z de la fuerza es positiva. Determinense el valorde (J, y las componentes de la fuerza,

0 0~ Tres alambres se conectan en el punto D que se encuen-tra 18in por abajo del soporte tubular ABC en forma de T. Determi-nesela tension en cada alambre cuando un cilindro de 180 lb se sus-pende del punto D en la forma indicada.

57

A

Fig. P2.102 Y P2.103

(il n 2(XI Ii>

Fig. P2.104 Y P2.105

B

A.

Fig. P2.107

I18 in.J


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58Est6tica de particulas

F"

Fig. P2.C1

h

Fig. P2.C3

'/

/flF" >: A'l ' !I "O~""------I--+---7L,

/- --,-,L/-''~--",,-----/Fig. P2.C4

Los siguientes problemas estan diseiiados para ser resueltos concomputadora.2.C1 Escribase un programa computacional que se pueda uti-lizar para determinar el modulo y direccion de la resultante de nfuerzas que acnien en un punto fijo A. Utilicese este programa pararesolver a) problema resuelto 2.3 y b) problema 2.28.

F

Fig. P2.C2

2.C2 Se sostiene una caja de 750 lb pOT medio del conjunto decuerda y polea mostrado. Escribase un programa de ordenador quese pueda utilizar para determinar, en un valor dado de { 3 , el moduloy direccion de la fuerza F que se debera ejercer sobre el extremolibre de la cuerda. Utilfcese este program a para calcular F y a paravalores de (J de 0 a 30 en intervalos de 5.

2.C3 Un cilindro de peso W = 650 N se sostiene por medio dedos cables AC y BC, cada uno de 4.6 m de largo, los cuales estanamarrados a la parte superior de postes verticales. Una fuerza hori-zontal P, perpendicular al plano que contiene a los postes, mantieneel cilindro en la posicion mostrada. Escribase un program a de orde-nador y usese para calcular la elevacion h , el modulo de Pylatension en cada cable para valores de a de 0 a 2.8 m en interval osde 0.4 m.2.C4 Escribase un programa de ordenador que se pueda usarpara calcular el modulo y angulos direccionales de la resultante den fuerzas que se apliquen en el origen y actuen a 10 largo de las lineasDAn. Utilicese este programa para los datos que se proporcionanen seguida para determinar el modulo y direccion de a) F 1 + F z,b) F, + Fz + F3, c) Fl + Fz + F3 + F4

F",lb XII' in. Y ", in. z", in.Ft 100 20 10 9F2 150 2 0 5 15 -10F; J 200 -9 -3 I SF4 S O 6 14 -20


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Respuestas a losProblemas de Numero Par

CAPITuLO 22.2 1391N d47.8.2.4 8.03 kips 7'3.8.2.6 76.1.2.8 (a ) 3660 N. (b) 3730N.2.10 (a ) 5.85kN. (b ) 8.96kN.2.12 T A.C = 666Ib; a = = 34.3.2.16 (a) 90. (b ) 1545N.2.18 (350N) +317 N, +147.9 N; (800N) +274 N,

+752 N; (600 N) -300 N, +520 N.2.20 (145Ib) + 100Ib, + lO5lb; (200lb) + 1921b,

-56 lb.2.22 (a) 2190N. (b ) 2060N.2.24 -180Ib, +525 lb.2.28 2531b 7'86.6.2.30 2961b d9.5.2.32 (a ) 177.9 lb. (b ) 4lOlb.2.34 (a ) 26.8. (b ) 539N.2.36 T A.C = = 586 N; T BC = = 2190N.2.38 T A.C = = 28601b; T BC = = 1460lb.2.40 T A.C = 5.22 kN; T BC = = 3.45 kN.2.42 TB = = 16.73 kips; TD = = 14.00kips.2.44 287 N :s P :s 1600N.2.46 (a) 784N. (b) 71.0~.2.48 50 in.2.50 (b) 817N.(d) 613 N.2.52 166.01b d53.4 or 407 Ib ~53.4.2.54 27.4 < a < 222.6.2.56 (a ) -130.1 N, +816 N, +357 N.

(b ) 98.3, 25.0, 66.6.2.58 (a) +628 N, -400 N, +293 N.

(b ) 38.3, 120.0, 68.5.2.60 (a ) + 16.38lb. +34.6lb, -11.47 lb.

(b ) 65.8,30.0, 106.7.2.62 F = = 9501b; 8" , = = 43.4, 8 y = = 71.6, 8z = = 127.6.2.64 (a ) F y = = +654 N, r, = = +1186 N; F = = 1549N.(b) 119.0.2.66 ....250N, +500 N, -500 N.

2.88 -270Ib, +180Ib, -276 lb.2.70 R = = ll71 N; 8 x = 89.5, 8y = = 36.2, 8z = = i26.2.2.72 (a ) R = = 82.2lb; 8" , = = 87.1, 8 y = = 161.5,8z = = 71.7. (b) x = = 1.269in.; z = = 7.95 in.2.74 548N.2.78 3375 lb.2.78 9:71 kN.2.80 TA.B = TA.e = = 13.50kN; TAD = = 20.0kN.2.82 (a ) -(25.2 kN)i. (b ) TA.B = = 2.25 kN;

TA.C = 16.65kN.2.84 T A.D = = 14.42Ib; T BD = = T CD = = 13.27 lb.2.86 T A.B = 81.3Ib; T A.C = = 22.2 lb.2.88 (a ) 135N. (b ) TA.B = 156N; TAC = = 261N.2.90 1372N.2.92 (a ) 305lb. (b ) T A.D = = 40.s lb, T BAC = = lI7.0 lb.2.94 (a ) 550 N. (b ) 100N.2.98 (a ) W = = tPYl + (d/h)2. (b ) 75.6 mm.2.98 168.3lb 713S.2.100 12lON.2.102 TAC = 134.6N; TBe = = llO.4 N.2.104 41.9.2.106 61.0; +507 N, +919 N, +582 N.2.C2 f 3 = = 10: F = = 258lb, a = = 69.7,

or F = 727 lb, a = = -69.7.2.C3 a = = 0.8 m: h = = 2.25m, P = = 189.1N, T = = 544 N;a = = 2 m: h = = 2.95m, P = = 634 N, T = = 729N.

2.C4 (b) R = 205lb; 8" , =59.8, 8y = = 66.8,8z = = 39.7.CAPITuLO 3

3.2 lI5.7Ibin. J . .3.4 P = = 400 N; a = = 22.6.3.6 (a ) 41.7 Nm~. (b) 147.4N d45.3.8 140.0Nm~.3.10 270 lb. ft J . .3 14 M _ P (X 1 Y 2 - X 2 Y l ) k

0 - [( x 2 - x1 )2 + ( Y 2 - Yl)2j1/2 '465

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Vectores, equilibrio