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5/23/2018 Vectores ESPOL
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12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 1
Representacin Grficade un Vector
direccin: obviomagnitud: longitud
La localizacin es irrelevante
Estos sonidnticos
5/23/2018 Vectores ESPOL
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Representacin de un vector enCoordenadas Rectangulares
Cualquier vector A que se encuentre en el planox-yes posible representarlo por medio de suscomponentes rectangulares Axy Ay
A
Ax
Ay
Ax
= A cos
Ay = A sen
2 2
x yA A A A
1tan tan
y y
x x
A A
A A
x yA A A
2 2 2
x yA A A! !4
3
7
x
y
x y
CuidadoA
A
A A A
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 2
5/23/2018 Vectores ESPOL
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Representacin de un vector enCoordenadas Polares
Algunas veces es ms conveniente representar un punto en el planopor sus coordenadas polares, (r, ) donde res la distancia desde elorigen hasta el punto de coordenadas (x,y) y es el ngulo entre r yun eje fijo, medido contrario a las manecillas del reloj.
r
(x,y)
x
y
o
tany
x
2 2r x y
1
tan
y
x
12/02/2009 FLORENCIO PINELA - ESPOL 3
5/23/2018 Vectores ESPOL
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La direccin de un vector en 2-D
x
y
-
Sea = 130
Sen 130 = 0,766
Cos 130 = -0,643
= - 230
Sen(-230 )= 0,766
Cos(-230 )=-0,643 Positivo en sentido antihorario
Negativo en sentido horario
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 4
5/23/2018 Vectores ESPOL
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Ejemplo: Encuentre el vector en coordenadas polaressi sus coordenadas en el plano x-y son (-2, -5)
-2
-5
Cuidado cuando usetan = y/x !
' 1 5
tan 68,22
o
Lnea de accin delvector!
180 68,2o or
2 2( 2) ( 5) 29r: 29; 248,2or
12/02/2009 FLORENCIO PINELA - ESPOL 5
5/23/2018 Vectores ESPOL
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El Mtodo Grfico para la Suma de Vectores
Los vectores se unenextremo con origen,
conservando sumagnitud y direccin.
El vector resultanteparte del origen delprimero al extremo
del ltimo
A
B
A+B
C
A+B+C
D
RR = A + B +C + D
R A B C D
Florencio Pinela
12/02/20096FLORENCIO PINELA - ESPOL
http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/Vectors/Add3Vectors.htmlhttp://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/Vectors/Add3Vectors.html5/23/2018 Vectores ESPOL
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LA SUMA DE VECTORES ES CONMUTATIVA(ejemplo de cinco vectores)
12/02/20097FLORENCIO PINELA - ESPOL
5/23/2018 Vectores ESPOL
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EL VECTOR NEGATIVOLA MAGNITUD O MODULO DE UN VECTOR ES
SIEMPRE UNA CANTIDAD POSITIVA.
Un vector es negativo cuandoapunta en direccin contraria a unodefinido como positivo.
A -A B -B C
-C
Cuando un vector NO est referido a unsistema de coordenadas.
12/02/20098FLORENCIO PINELA - ESPOL
5/23/2018 Vectores ESPOL
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RESTA DE VECTORES
RESTARLE UN VECTOR A OTRO VECTOR ESEQUIVALENTE A SUMARLE SU VECTOR NEGATIVO
A B = A + (- B)
A B
A-B A-B
Polgono
Del extremo de B alextremo de A
Unamos los vectores por su origen
12/02/20099FLORENCIO PINELA - ESPOL
5/23/2018 Vectores ESPOL
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Pregunta de concepto
Para los vectores a, b y c, indicados en la
figura. Cul de las siguientes alternativas escorrecta?
3)c b a
1)a c b
2)a b c
4) Todas son correctas
a
b
c
12/02/200910FLORENCIO PINELA - ESPOL
5/23/2018 Vectores ESPOL
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LA LEY DEL COSENO
Sean los vectores a y b
a
b
a
b
Sea el menor ngulo formado entre los vectoresunidos por su origen
Sea el ngulo formado entre los vectores unidosextremo con origen
12/02/200911FLORENCIO PINELA - ESPOL
5/23/2018 Vectores ESPOL
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Sea P el vector resultante de la diferenciaentre los vector ay b, y sea R la resultante
de la suma entre ay b.
a
bP
R
R2 = a2 + b2 + 2ab Cos
P2 = a2 + b2 - 2ab CosRecuerde que la magnitud del vector a b es iguala la magnitud del vector b a
P = a - bR = a + b
12/02/200912FLORENCIO PINELA - ESPOL
5/23/2018 Vectores ESPOL
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Vectores Unitarios:
Un Vector Unitario es un vector
que tiene magnitud 1 y no tieneunidades
Es usado para especificar unadireccin
Un vector unitario uapunta en ladireccin de U
A menudo denotado con unsombrero: u =
Ejemplos tiles son los vectoresunitarios cartesianos [ i, j, k]
apuntando en las direcciones
de los ejesx, yy z
U
x
y
z
i
j
k
5/23/2018 Vectores ESPOL
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LOS VECTORES UNITARIOS i, j y k
U
uU
Un vector unitario es la relacin entre el vectory su magnitud
x
y
z
i
j
k
x y zA A A A
x y zA A i A j A k
12/02/200914FLORENCIO PINELA - ESPOL
5/23/2018 Vectores ESPOL
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Suma de Vectores usandocomponentes:
Considere C= A + B.
(a) C = (Axi+ Ayj) + (Bxi + Byj) = (Ax+ Bx)i+ (Ay+ By)j
(b) C = (Cxi+ Cyj)
Comparando las componentes de (a) y (b):
Cx= Ax+ Bx
Cy= Ay+ By
C
BxA
ByB
Ax
Ay
5/23/2018 Vectores ESPOL
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A = Ax i + Ayj + Az k
Cualquier vector puede ser expresado entrmino de vectores unitarios.
Se pueden sumar, restar y multiplicar
Sean los vectores A= 2i 4j + 6k y B= 4i + 2j 3k
A B
A B
2A B
12/02/200916FLORENCIO PINELA - ESPOL
5/23/2018 Vectores ESPOL
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A
B
C
Exprese los vectores de la figura en funcin de vectores unitarios
12/02/2009 FLORENCIO PINELA - ESPOL 17
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A
B
C
Para los vectores de la figura realice la siguiente operacin:
A + B 2C
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL
18
5/23/2018 Vectores ESPOL
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Las componentes ortogonales del vector Aen tres dimensiones (3D).
x
y
z
Axi
A
Ayj
Azk
x y zA A i A j A k
2 2 2
x y zA A A A
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 19
5/23/2018 Vectores ESPOL
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Exprese el vector indicado en la figura enfuncin de sus componentes rectangulares
i, j k.
10
4
8
x
y
z
10 i
- 8 j
4 k
A
Cul sera la magnituddel vector A?
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 20
5/23/2018 Vectores ESPOL
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Determine la magnitud de los vectores A, B y C
5
6
8
A B
C
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 21
5/23/2018 Vectores ESPOL
22/62
ax
z
b
6
4
5
y
UTILIZANDO LA LEY DEL COSENO DETERMINE ELVALOR DEL NGULO FORMADO ENTRE LOS
VECTORES a Y b DE LA FIGURA
12/02/2009 22FLORENCIO PINELA - ESPOL
5/23/2018 Vectores ESPOL
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Para el paraleleppedo de la figura, determine el nguloformado entre los vectores ay b.
a) 45,0
b) 48,2
c) 50,2
d) 53,8
e) 55,2
a x
z
b
6
4
5
y
12/02/2009 23FLORENCIO PINELA - ESPOL
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LA LEY DEL SENO
a
b
c
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 24
Sen Sen Sen
a b c
a b c
Sen Sen Sen
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Utilice la ley del seno para determinar los valoresde las tensiones de cada una de las cuerdas.
20
40
100 N
T1T2
T3
12/02/2009 FLORENCIO PINELA - ESPOL 25
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20
40
100 N
T1
T2
T3
70
40
70
3 22
40100
70 40 70
o
o o o
T T senT N
sen sen sen
3 1 100T T N
T1
T2
T3=100 N
3 1
70 70o o
T T
sen sen
12/02/2009 FLORENCIO PINELA - ESPOL 26
5/23/2018 Vectores ESPOL
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El Mtodo Analtico para
la Suma de Vectores
El mtodo geomtrico de suma de vectores NO es elprocedimiento recomendado en situaciones donde se requiere altaprecisin o en problemas tridimensionales.
En esta seccin se describe un mtodo para sumar vectores quehacen uso de las proyecciones de un vectora lo largo de los ejes deun sistema de coordenadas rectangular.
A estas proyecciones se las llama componentes del vector.Cualquier vector se puede describir completamente por suscomponentes.
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 27
5/23/2018 Vectores ESPOL
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SUMA DE VECTORES: COMPONENTES ORTOGONALES
AB
C
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 28
5/23/2018 Vectores ESPOL
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A
Ax
Ay
Bx
By
Cx
Cy
R
B C
Rx
Ry
x x x xR A B C
y y y yR A B C
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Ry
Rx
R
Rx = Ax + Bx + Cx (suma vectorial)
Ry = Ay + By + Cy (suma vectorial)
Magnitud del vector R
2 2
x yR R R
Lnea de accin delvector R
1tan y
x
R
R
DETERMINACIN DE LA MAGNITUD Y DIRECCINDEL VECTOR R
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5/23/2018 Vectores ESPOL
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Determine el vector que al sumarse a losvectores ay b den una resultante nula.
a) i 10j + 3kb) 2i 5j + 6kc) 5j + 6k
d) 10j 3ke) 10j + 3k
5
37
ab
x
y
z
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 31
5/23/2018 Vectores ESPOL
32/62
A
Ax
Ay
Az
xACosA
yACosA
zACosA
VECTOR EN 3-D Y LOS COSENOS DIRECTORES
x
y
z
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 32
5/23/2018 Vectores ESPOL
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NOTAS IMPORTANTES SOBRE LADIRECCIN DE UN VECTOR
Si el vector se encuentra en el plano (2-D), ladireccin del vector ser indicada a travs del valor
del ngulo que forma el vector con el eje positivo delas x.
Si el vector se encuentra en el espacio (3-D), la
direccin del vector ser indicada por los ngulosque forma el vector con cada una de las direccionespositivas de los ejes de coordenadas.
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 33
5/23/2018 Vectores ESPOL
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RELACIN ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES
A
ACos x
A
ACos
y
A
ACos z
2222
zyx AAAA
2222222 CosACosACosAA
)( 22222 CosCosCosAA
1222 CosCosCos
2222 )()()( ACosACosACosA
Con esta expresin, si conocemos dos de lostres ngulos podemos hallar el tercero.
Teorema dePitgoras en
3-D
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 34
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10
4
8
x
y
z
10 i
- 8 j
4 k
ACul es la direccindel vector A?
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 35
5/23/2018 Vectores ESPOL
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El vector mostrado en la figura tiene unamagnitud de 20 unidades. El ngulo queforma el vector con el eje yes:
a) 30,0
b) 60,0
c) 72,5
d) 41,1
e) 35,2
8
6
y
z
x
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 36
5/23/2018 Vectores ESPOL
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Para los vectores del grfico determine elngulo formado entre los vectores ay b
a) 55b) 62
c) 72d) 82e) 90
5
37
ab
x
y
z
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 37
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EL PRODUCTO ESCALAR DE VECTORESSean A y B dos vectores y sea el menor ngulo formado
entre los vectores unidos por su origen
A
B
A B = A B Cos
De acuerdo a la definicin, A B es un nmeroque puede ser positivo, negativo o cero, tododepende del valor del ngulo entre losvectores.
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 38
5/23/2018 Vectores ESPOL
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A
B = 0
A
B < 0
A B > 0
A
B
B
A
A
B
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 39
5/23/2018 Vectores ESPOL
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A
B BA A
B
Dados los vectores A y B. En cul de los siguientes casosel valor de AB tiene el mayor valor
1
2 3
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 40
5/23/2018 Vectores ESPOL
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EL PRODUCTO ESCALAR EN COORDENADAS CARTESIANAS
SEAN LOS VECTORES: A = Ax i + Ayj + Az k y B = Bx i + Byj + Bz k
A B = (Ax i + Ayj + Az k) (Bx i + Byj + Bz k)
A B = (Ax i) (Bx i + Byj + Bz k) + Ayj (Bx i + Byj + Bz k) + Az k (Bx i + Byj + Bz k)
El producto escalar entre vectores respectivamenteperpendiculares es igual a cero
A B = Ax i (Bx i) + Ayj (Byj) + Az k (Bz k)
A B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 41
5/23/2018 Vectores ESPOL
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A = Ax i + Ayj + Az k y B = Bx i + Byj + Bz k
A B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
TENGA CUIDADO CON LOS SIGNOS DE LASCOMPONENTES DE LOS VECTORES!
A
B = B
AEL PRODUCTO ESCALAR ES
CONMUTATIVO
A B = Suma de los productos de sus respectivas componentes
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 42
5/23/2018 Vectores ESPOL
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INTERPRETACIN GEOMTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR
A
B Acos es la proyeccin del vector Asobre el vector B, esto es AB
El rea del rectngulo que tienepor lados A Cos y B, es AB Cos
AB Cos es por definicin el resultado demultiplicar escalarmente dos vectores demagnitudes A y B que forman un ngulo .
A B =ABB = BAA = AB Cos = Ax Bx + Ay By + Az Bz
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 43
5/23/2018 Vectores ESPOL
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Dado el siguiente grfico:
P
QS
Entonces: SP = SQ
a) Verdad
b) Falso
c) Faltan los ngulos de los vectores
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 44
5/23/2018 Vectores ESPOL
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Para que los vectores: a = 6 i 3j + 6 ky b = i 2j + 3 k sean ortogonales,
debe tomar el valor de
a) 4b) 4c) 6d) 6e) 8
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 45
5/23/2018 Vectores ESPOL
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Sean lo vectores: a = 5i - 2j + 3k yb = 2i + 5j + 6k. La proyeccin delvector a sobre el vector b es.
a) 4.6b) 3.2c) 2.8d) 2.2
e) 1.2
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 46
5/23/2018 Vectores ESPOL
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A
B
C
Para los vectores de la figura evale la siguiente
operacin 2A B12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 47
5/23/2018 Vectores ESPOL
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Conociendo que |A| = 10 u y |B| = 1 5 u ,el ngulo formado entre los vectores
Ay B esa) 90,0
b) 86,4c) 80,4d) 76,4e) 70,4
x
y
z
5a
b
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 48
EL PRODUCTO CRUZ DE VECTORES
5/23/2018 Vectores ESPOL
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EL PRODUCTO CRUZ DE VECTORESSean A y B dos vectores y sea el menorngulo formado entrelos vectores unidos por su origen.
A
B
Se define el producto A x B como otro vector, llamemos C aeste vector. Por definicin C es un vector perpendicular alplano formado por los vectores Ay By su direccin est de
acuerdo a la regla de la mano derecha, la magnitud delvector C es por definicin:
C C AB Sen
C A x B
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 49
L l d l d h l
5/23/2018 Vectores ESPOL
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La regla de la mano derecha y ladireccin del vector C
Cruce el vector A con elvector B barriendo elmenor ngulo. El pulgar
extendido le da ladireccin del vector C
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 50
5/23/2018 Vectores ESPOL
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A
B
C
B
A
-C
A x B = C
B x A = - C
A x B = - B x A
El producto vectorialno es conmutativo!!!
DIRECCIN DEL VECTOR C
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 51
INTERPRETACIN GEOMTRICA DEL
5/23/2018 Vectores ESPOL
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INTERPRETACIN GEOMTRICA DELPRODUCTO VECTORIAL
A
B
A Sen
C = AB Sen => rea del paralelogramo formadopor los vectores A y B
A x B = C = AB sen
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 52
P l i t t C A B
5/23/2018 Vectores ESPOL
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Para la operacin entre vectores C = AxBindique si cada enunciado es correcto o no
1. (A x B) x C = 0 V F
2. C (A x B) = C2 V F
3. La proyeccin del vector A sobre V Fel vector C es cero
4. La proyeccin del vector C sobre V F
el vector B es diferente de cero5. La magnitud del vector C V F
corresponde al rea del paralelogramo formado de A y B
12/02/200953
5/23/2018 Vectores ESPOL
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EL PRODUCTO VECTORIAL EN COORDENADAS CARTESIANAS
SEAN LOS VECTORES: A = Ax i + Ayj + Az k y B = Bx i + Byj + Bz k
A x B = (Ax i + Ayj + Az k) x (Bx i + Byj + Bz k)
A x B = (Ax i) x (Bx i + Byj + Bz k) + (Ayj) x (Bx i + Byj + Bz k) + (Az k) x (Bx i + Byj + Bz k)
El producto cruz de vectores que tienen la misma direccin vale cero!!
A x B = (Ax i) x (Byj + Bz k) + Ayj x (Bx i + Bz k) + Az k x (Bx i + Byj)
A x B = AxBy i xj + AxBz i x k + AyBxj x i + AyBzj x k + AzBx k x i + AzBy k xj
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 54
5/23/2018 Vectores ESPOL
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A x B = AxBy i xj + AxBz i x k + AyBxj x i + AyBzj x k + AzBx k x i + AzBy k xj
i
jk
i xj = k
j x k = i
k x i =j
i x k = -j
j x i = -k
A x B = AxBy k + AxBz (-j) + AyBx (-k) + AyBz i + AzBxj + AzBy (-i)
A x B = (AyBz AzBy)i + (AzBx AxBz)j + (AxBy AyBx)k
i
j
k -j
-k
Agrupemos los trminos i, j y k
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 55
5/23/2018 Vectores ESPOL
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A x B = (AyBz AzBy)i + (AzBx AxBz)j + (AxBy AyBx)k
A x B =
i j k
Ax Ay Az
Bx By Bz
=Ay AzBy Bz i -
Ax AzBx Bz j + Bx By
Ax Ayk
( )( ( ) )
yx z
x z z xy z z y
C
x y y x
CC
A B A BA B A BC kA B A B ji
12/02/2009 56FLORENCIO PINELA - ESPOL
5/23/2018 Vectores ESPOL
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Sean los vectores A = 3 i j + 2 k y B = -2 i 2j 4 k, elvector unitarioperpendicular al plano formado por los
vectores A y B es
kjib192
8
192
8
192
8)
kjia128
8
128
80)
kjie
384
8
384
8
384
8)
kjic186
8
186
11
186
1)
kjie384
8
384
16
384
8)
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 57
5/23/2018 Vectores ESPOL
58/62
Cul de las siguientes alternativas representa unvector perpendicular al plano sombreado de lafigura?.
a) 24i + 20j + 30kb) 5i + 6j + 8k
c) 12i 10j + 15kd) 12i 10j 15ke) 24i + 20j+ 15k 4
5
6
x
y
z
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 58
DETERMINE EL VALOR DEL REA DEL PLANO
5/23/2018 Vectores ESPOL
59/62
DETERMINE EL VALOR DEL REA DEL PLANOSOMBREADO DE LA FIGURA
4
5
6
x
y
z
A
B
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 59
Dos vectores A y B vienen expresados por:
5/23/2018 Vectores ESPOL
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Dos vectores A y B vienen expresados por:A = 3i + 4j + k ; B = 4i - 5j + 8k. Es verdad que AyB:
a) Son paralelos y apuntan en la misma direccin.b) Son paralelos y apuntan en direcciones contrarias.c) Forman un ngulo de 45 entre s.
d) Son perpendiculares.e) Todas las alternativas anteriores son falsas.
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 60
5/23/2018 Vectores ESPOL
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Sean las rectas AB y AC las que se cruzan en el punto A decoordenadas (4,-5,6), y los puntos B y C de coordenadas(2,3,5) y (5,4,2) respectivamente. Cul de las siguientesalternativas representara un vector perpendicular al planoformado por las rectas?.
a) 23 i 9j 26 kb) 9 i 14j + 8 kc) 9 i 23j + 26 kd) 23 i 9j + 26 ke) 9 i + 14j 8 k
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 61
Sean las rectas AB y AC las que se cruzan en el punto A de
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Sean las rectas AB y AC las que se cruzan en el punto A decoordenadas (4,-5,6), y los puntos B y C de coordenadas (2,3,5) y(5,4,2) respectivamente. Determine un vector que sea
perpendicular al plano formado por las rectas?.
A
B
C