Upload
phungmien
View
229
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
1 BOumlLUumlM
VEKTOumlRLER
2
TanımMatematik istatistik mekanikhellip gibi ccedileşitlibilim dallarında uzunluk alan hacim yoğunlukkuumltle elektriksel yuumlkhellip gibi buumlyuumlkluumlkler cebirselkurallara goumlre ifade edilirler
Bu tuumlr ccedilokluklara
ldquoSkalerrdquo
buumlyuumlkluumlkler denir
3
Tanım hareket hız kuvvethellip
gibi hem youmlnuuml hem
doğrultusu hem de buumlyuumlkluumlğuuml
olan ccedilokluklara ldquoVektoumlrel
Buumlyuumlkluumlklerrdquo denir
4
Vektoumlrel Buumlyuumlkluumlğuumln Matematiksel Tanımı
bull Youmlnluuml doğru parccedilalarına
vektoumlr denir
bull A Başlangıccedil noktası
bull B Bitim noktasıdır
A
B
ABu
bull yada u ile goumlsterilir
u
GENEL TANIMLARTanım Başlangıccedil ve bitim noktaları ccedilakışık olan vektoumlre
SIFIR vektoumlruuml denir
AA ya da 0
Sıfır vektoumlruuml sonsuz sayıda doğrultu ve youmlne sahiptir
Tanım Sabit bir başlangıccedil noktasına sahip olan vektoumlre
KONUMYER vektoumlruuml denir
Tanım Başlangıccedil noktası sabit bir doğru uumlzerinde değişen
vektoumlre KAYAN vektoumlr denir
Tanım Eğer başlangıccedil noktası uumlzerinde hiccedilbir kısıt yoksa
SERBEST vektoumlr denir
6
GENEL TANIMLAR
u
u -u
vTanım u ile v gibi iki vektoumlruumln youmlnleri aynı ve
buumlyuumlkluumlkleri eşit ise EŞİT vektoumlrlerdir
u=v
Tanım u ile youmlnuuml zıt fakat buumlyuumlkluumlğuuml eşit olan
vektoumlr
-u
ile goumlsterilir
VEKTOumlREL İŞLEMLER ToplamaTanım u ve v gibi ili vektoumlruumln toplamı v
vektoumlruumlnuumln başlangıccedil noktasını u vektoumlruumlnuumln bitim
noktasına yerleştirdikten sonra u vektoumlruumlnuumln
başlangıccedil noktasını v vektoumlruumlnuumln bitim noktasına
birleştiren vektoumlrduumlr
1 2u uu 1 2v vv ise
1 1 2 2u v u v u v
Vektoumlrlerin toplamı yine bir vektoumlrduumlr v
u
w
VEKTOumlREL İŞLEMLER Toplama
u+v toplam vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin oluşturduğu
Paralelkenarın koumlşegenlerinden birine eşittir
Paralelkenar Youmlntemi
VEKTOumlREL İŞLEMLER n Adet
Vektoumlruumln Toplanması
v1
v2
v3 v4
vnV
Tanım Vektoumlrler sırası ile birinin başlangıccedil noktası
diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir
ve ilk vektoumlruumln başlangıccedil noktasını son vektoumlruumln
bitim noktası ile birleştiren vektoumlr TOPLAM ya da
BİLEŞKE vektoumlr olarak adlandırılır
1 2 n v v v v
11 21 1 1 2 n n n nnv v v v v v v
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln
Bir Skaler İle Ccedilarpımı
u ku
Tanım Bir u vektoumlruuml ve k bir skaler olmak uumlzere ku
ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k
katı olan bir vektoumlrduumlr
Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr
-ku u
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln
Bir Skaler İle Ccedilarpımı
Eğer k ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı
doğrultuda fakat zıt youmlndedir
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u
vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir
u+(-u)=0
Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı
vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde
edilen vektoumlrduumlr
u+(-v)=u-v=w
1 1 n nu v u v w uv
u+v
-vw
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin Farkı
w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın
diğer koumlşegenidir
Paralelkenar Youmlntemi
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın
tanımladığı vektoumlruumln elemanları
AB OB OA
AB OB OA
1 2 1 2 AB b b a a
1 1 2 2AB b a b a
AB B A
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her
K noktası iccedilin
KB KA AB
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının
karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır
2 2 2
1 2 nu u u u
Uzunluk skaler bir değerdir
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMU Geometrisi
Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln
uzunluğunun karesi
2 2 22r OA OC CA
2 22
OB BC CA
2 2 2x y z
Uzunluk
2 2 2r x y z
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
Nu u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
1 2 nu u uu
2 2 2
1 2 nu u u u
ise
1 2 nN
uu u
uu u u
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve
P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki
mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
100i 010j 001k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
2
TanımMatematik istatistik mekanikhellip gibi ccedileşitlibilim dallarında uzunluk alan hacim yoğunlukkuumltle elektriksel yuumlkhellip gibi buumlyuumlkluumlkler cebirselkurallara goumlre ifade edilirler
Bu tuumlr ccedilokluklara
ldquoSkalerrdquo
buumlyuumlkluumlkler denir
3
Tanım hareket hız kuvvethellip
gibi hem youmlnuuml hem
doğrultusu hem de buumlyuumlkluumlğuuml
olan ccedilokluklara ldquoVektoumlrel
Buumlyuumlkluumlklerrdquo denir
4
Vektoumlrel Buumlyuumlkluumlğuumln Matematiksel Tanımı
bull Youmlnluuml doğru parccedilalarına
vektoumlr denir
bull A Başlangıccedil noktası
bull B Bitim noktasıdır
A
B
ABu
bull yada u ile goumlsterilir
u
GENEL TANIMLARTanım Başlangıccedil ve bitim noktaları ccedilakışık olan vektoumlre
SIFIR vektoumlruuml denir
AA ya da 0
Sıfır vektoumlruuml sonsuz sayıda doğrultu ve youmlne sahiptir
Tanım Sabit bir başlangıccedil noktasına sahip olan vektoumlre
KONUMYER vektoumlruuml denir
Tanım Başlangıccedil noktası sabit bir doğru uumlzerinde değişen
vektoumlre KAYAN vektoumlr denir
Tanım Eğer başlangıccedil noktası uumlzerinde hiccedilbir kısıt yoksa
SERBEST vektoumlr denir
6
GENEL TANIMLAR
u
u -u
vTanım u ile v gibi iki vektoumlruumln youmlnleri aynı ve
buumlyuumlkluumlkleri eşit ise EŞİT vektoumlrlerdir
u=v
Tanım u ile youmlnuuml zıt fakat buumlyuumlkluumlğuuml eşit olan
vektoumlr
-u
ile goumlsterilir
VEKTOumlREL İŞLEMLER ToplamaTanım u ve v gibi ili vektoumlruumln toplamı v
vektoumlruumlnuumln başlangıccedil noktasını u vektoumlruumlnuumln bitim
noktasına yerleştirdikten sonra u vektoumlruumlnuumln
başlangıccedil noktasını v vektoumlruumlnuumln bitim noktasına
birleştiren vektoumlrduumlr
1 2u uu 1 2v vv ise
1 1 2 2u v u v u v
Vektoumlrlerin toplamı yine bir vektoumlrduumlr v
u
w
VEKTOumlREL İŞLEMLER Toplama
u+v toplam vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin oluşturduğu
Paralelkenarın koumlşegenlerinden birine eşittir
Paralelkenar Youmlntemi
VEKTOumlREL İŞLEMLER n Adet
Vektoumlruumln Toplanması
v1
v2
v3 v4
vnV
Tanım Vektoumlrler sırası ile birinin başlangıccedil noktası
diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir
ve ilk vektoumlruumln başlangıccedil noktasını son vektoumlruumln
bitim noktası ile birleştiren vektoumlr TOPLAM ya da
BİLEŞKE vektoumlr olarak adlandırılır
1 2 n v v v v
11 21 1 1 2 n n n nnv v v v v v v
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln
Bir Skaler İle Ccedilarpımı
u ku
Tanım Bir u vektoumlruuml ve k bir skaler olmak uumlzere ku
ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k
katı olan bir vektoumlrduumlr
Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr
-ku u
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln
Bir Skaler İle Ccedilarpımı
Eğer k ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı
doğrultuda fakat zıt youmlndedir
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u
vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir
u+(-u)=0
Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı
vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde
edilen vektoumlrduumlr
u+(-v)=u-v=w
1 1 n nu v u v w uv
u+v
-vw
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin Farkı
w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın
diğer koumlşegenidir
Paralelkenar Youmlntemi
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın
tanımladığı vektoumlruumln elemanları
AB OB OA
AB OB OA
1 2 1 2 AB b b a a
1 1 2 2AB b a b a
AB B A
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her
K noktası iccedilin
KB KA AB
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının
karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır
2 2 2
1 2 nu u u u
Uzunluk skaler bir değerdir
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMU Geometrisi
Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln
uzunluğunun karesi
2 2 22r OA OC CA
2 22
OB BC CA
2 2 2x y z
Uzunluk
2 2 2r x y z
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
Nu u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
1 2 nu u uu
2 2 2
1 2 nu u u u
ise
1 2 nN
uu u
uu u u
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve
P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki
mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
100i 010j 001k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
3
Tanım hareket hız kuvvethellip
gibi hem youmlnuuml hem
doğrultusu hem de buumlyuumlkluumlğuuml
olan ccedilokluklara ldquoVektoumlrel
Buumlyuumlkluumlklerrdquo denir
4
Vektoumlrel Buumlyuumlkluumlğuumln Matematiksel Tanımı
bull Youmlnluuml doğru parccedilalarına
vektoumlr denir
bull A Başlangıccedil noktası
bull B Bitim noktasıdır
A
B
ABu
bull yada u ile goumlsterilir
u
GENEL TANIMLARTanım Başlangıccedil ve bitim noktaları ccedilakışık olan vektoumlre
SIFIR vektoumlruuml denir
AA ya da 0
Sıfır vektoumlruuml sonsuz sayıda doğrultu ve youmlne sahiptir
Tanım Sabit bir başlangıccedil noktasına sahip olan vektoumlre
KONUMYER vektoumlruuml denir
Tanım Başlangıccedil noktası sabit bir doğru uumlzerinde değişen
vektoumlre KAYAN vektoumlr denir
Tanım Eğer başlangıccedil noktası uumlzerinde hiccedilbir kısıt yoksa
SERBEST vektoumlr denir
6
GENEL TANIMLAR
u
u -u
vTanım u ile v gibi iki vektoumlruumln youmlnleri aynı ve
buumlyuumlkluumlkleri eşit ise EŞİT vektoumlrlerdir
u=v
Tanım u ile youmlnuuml zıt fakat buumlyuumlkluumlğuuml eşit olan
vektoumlr
-u
ile goumlsterilir
VEKTOumlREL İŞLEMLER ToplamaTanım u ve v gibi ili vektoumlruumln toplamı v
vektoumlruumlnuumln başlangıccedil noktasını u vektoumlruumlnuumln bitim
noktasına yerleştirdikten sonra u vektoumlruumlnuumln
başlangıccedil noktasını v vektoumlruumlnuumln bitim noktasına
birleştiren vektoumlrduumlr
1 2u uu 1 2v vv ise
1 1 2 2u v u v u v
Vektoumlrlerin toplamı yine bir vektoumlrduumlr v
u
w
VEKTOumlREL İŞLEMLER Toplama
u+v toplam vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin oluşturduğu
Paralelkenarın koumlşegenlerinden birine eşittir
Paralelkenar Youmlntemi
VEKTOumlREL İŞLEMLER n Adet
Vektoumlruumln Toplanması
v1
v2
v3 v4
vnV
Tanım Vektoumlrler sırası ile birinin başlangıccedil noktası
diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir
ve ilk vektoumlruumln başlangıccedil noktasını son vektoumlruumln
bitim noktası ile birleştiren vektoumlr TOPLAM ya da
BİLEŞKE vektoumlr olarak adlandırılır
1 2 n v v v v
11 21 1 1 2 n n n nnv v v v v v v
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln
Bir Skaler İle Ccedilarpımı
u ku
Tanım Bir u vektoumlruuml ve k bir skaler olmak uumlzere ku
ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k
katı olan bir vektoumlrduumlr
Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr
-ku u
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln
Bir Skaler İle Ccedilarpımı
Eğer k ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı
doğrultuda fakat zıt youmlndedir
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u
vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir
u+(-u)=0
Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı
vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde
edilen vektoumlrduumlr
u+(-v)=u-v=w
1 1 n nu v u v w uv
u+v
-vw
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin Farkı
w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın
diğer koumlşegenidir
Paralelkenar Youmlntemi
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın
tanımladığı vektoumlruumln elemanları
AB OB OA
AB OB OA
1 2 1 2 AB b b a a
1 1 2 2AB b a b a
AB B A
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her
K noktası iccedilin
KB KA AB
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının
karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır
2 2 2
1 2 nu u u u
Uzunluk skaler bir değerdir
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMU Geometrisi
Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln
uzunluğunun karesi
2 2 22r OA OC CA
2 22
OB BC CA
2 2 2x y z
Uzunluk
2 2 2r x y z
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
Nu u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
1 2 nu u uu
2 2 2
1 2 nu u u u
ise
1 2 nN
uu u
uu u u
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve
P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki
mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
100i 010j 001k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
4
Vektoumlrel Buumlyuumlkluumlğuumln Matematiksel Tanımı
bull Youmlnluuml doğru parccedilalarına
vektoumlr denir
bull A Başlangıccedil noktası
bull B Bitim noktasıdır
A
B
ABu
bull yada u ile goumlsterilir
u
GENEL TANIMLARTanım Başlangıccedil ve bitim noktaları ccedilakışık olan vektoumlre
SIFIR vektoumlruuml denir
AA ya da 0
Sıfır vektoumlruuml sonsuz sayıda doğrultu ve youmlne sahiptir
Tanım Sabit bir başlangıccedil noktasına sahip olan vektoumlre
KONUMYER vektoumlruuml denir
Tanım Başlangıccedil noktası sabit bir doğru uumlzerinde değişen
vektoumlre KAYAN vektoumlr denir
Tanım Eğer başlangıccedil noktası uumlzerinde hiccedilbir kısıt yoksa
SERBEST vektoumlr denir
6
GENEL TANIMLAR
u
u -u
vTanım u ile v gibi iki vektoumlruumln youmlnleri aynı ve
buumlyuumlkluumlkleri eşit ise EŞİT vektoumlrlerdir
u=v
Tanım u ile youmlnuuml zıt fakat buumlyuumlkluumlğuuml eşit olan
vektoumlr
-u
ile goumlsterilir
VEKTOumlREL İŞLEMLER ToplamaTanım u ve v gibi ili vektoumlruumln toplamı v
vektoumlruumlnuumln başlangıccedil noktasını u vektoumlruumlnuumln bitim
noktasına yerleştirdikten sonra u vektoumlruumlnuumln
başlangıccedil noktasını v vektoumlruumlnuumln bitim noktasına
birleştiren vektoumlrduumlr
1 2u uu 1 2v vv ise
1 1 2 2u v u v u v
Vektoumlrlerin toplamı yine bir vektoumlrduumlr v
u
w
VEKTOumlREL İŞLEMLER Toplama
u+v toplam vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin oluşturduğu
Paralelkenarın koumlşegenlerinden birine eşittir
Paralelkenar Youmlntemi
VEKTOumlREL İŞLEMLER n Adet
Vektoumlruumln Toplanması
v1
v2
v3 v4
vnV
Tanım Vektoumlrler sırası ile birinin başlangıccedil noktası
diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir
ve ilk vektoumlruumln başlangıccedil noktasını son vektoumlruumln
bitim noktası ile birleştiren vektoumlr TOPLAM ya da
BİLEŞKE vektoumlr olarak adlandırılır
1 2 n v v v v
11 21 1 1 2 n n n nnv v v v v v v
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln
Bir Skaler İle Ccedilarpımı
u ku
Tanım Bir u vektoumlruuml ve k bir skaler olmak uumlzere ku
ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k
katı olan bir vektoumlrduumlr
Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr
-ku u
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln
Bir Skaler İle Ccedilarpımı
Eğer k ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı
doğrultuda fakat zıt youmlndedir
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u
vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir
u+(-u)=0
Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı
vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde
edilen vektoumlrduumlr
u+(-v)=u-v=w
1 1 n nu v u v w uv
u+v
-vw
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin Farkı
w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın
diğer koumlşegenidir
Paralelkenar Youmlntemi
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın
tanımladığı vektoumlruumln elemanları
AB OB OA
AB OB OA
1 2 1 2 AB b b a a
1 1 2 2AB b a b a
AB B A
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her
K noktası iccedilin
KB KA AB
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının
karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır
2 2 2
1 2 nu u u u
Uzunluk skaler bir değerdir
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMU Geometrisi
Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln
uzunluğunun karesi
2 2 22r OA OC CA
2 22
OB BC CA
2 2 2x y z
Uzunluk
2 2 2r x y z
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
Nu u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
1 2 nu u uu
2 2 2
1 2 nu u u u
ise
1 2 nN
uu u
uu u u
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve
P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki
mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
100i 010j 001k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
GENEL TANIMLARTanım Başlangıccedil ve bitim noktaları ccedilakışık olan vektoumlre
SIFIR vektoumlruuml denir
AA ya da 0
Sıfır vektoumlruuml sonsuz sayıda doğrultu ve youmlne sahiptir
Tanım Sabit bir başlangıccedil noktasına sahip olan vektoumlre
KONUMYER vektoumlruuml denir
Tanım Başlangıccedil noktası sabit bir doğru uumlzerinde değişen
vektoumlre KAYAN vektoumlr denir
Tanım Eğer başlangıccedil noktası uumlzerinde hiccedilbir kısıt yoksa
SERBEST vektoumlr denir
6
GENEL TANIMLAR
u
u -u
vTanım u ile v gibi iki vektoumlruumln youmlnleri aynı ve
buumlyuumlkluumlkleri eşit ise EŞİT vektoumlrlerdir
u=v
Tanım u ile youmlnuuml zıt fakat buumlyuumlkluumlğuuml eşit olan
vektoumlr
-u
ile goumlsterilir
VEKTOumlREL İŞLEMLER ToplamaTanım u ve v gibi ili vektoumlruumln toplamı v
vektoumlruumlnuumln başlangıccedil noktasını u vektoumlruumlnuumln bitim
noktasına yerleştirdikten sonra u vektoumlruumlnuumln
başlangıccedil noktasını v vektoumlruumlnuumln bitim noktasına
birleştiren vektoumlrduumlr
1 2u uu 1 2v vv ise
1 1 2 2u v u v u v
Vektoumlrlerin toplamı yine bir vektoumlrduumlr v
u
w
VEKTOumlREL İŞLEMLER Toplama
u+v toplam vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin oluşturduğu
Paralelkenarın koumlşegenlerinden birine eşittir
Paralelkenar Youmlntemi
VEKTOumlREL İŞLEMLER n Adet
Vektoumlruumln Toplanması
v1
v2
v3 v4
vnV
Tanım Vektoumlrler sırası ile birinin başlangıccedil noktası
diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir
ve ilk vektoumlruumln başlangıccedil noktasını son vektoumlruumln
bitim noktası ile birleştiren vektoumlr TOPLAM ya da
BİLEŞKE vektoumlr olarak adlandırılır
1 2 n v v v v
11 21 1 1 2 n n n nnv v v v v v v
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln
Bir Skaler İle Ccedilarpımı
u ku
Tanım Bir u vektoumlruuml ve k bir skaler olmak uumlzere ku
ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k
katı olan bir vektoumlrduumlr
Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr
-ku u
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln
Bir Skaler İle Ccedilarpımı
Eğer k ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı
doğrultuda fakat zıt youmlndedir
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u
vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir
u+(-u)=0
Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı
vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde
edilen vektoumlrduumlr
u+(-v)=u-v=w
1 1 n nu v u v w uv
u+v
-vw
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin Farkı
w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın
diğer koumlşegenidir
Paralelkenar Youmlntemi
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın
tanımladığı vektoumlruumln elemanları
AB OB OA
AB OB OA
1 2 1 2 AB b b a a
1 1 2 2AB b a b a
AB B A
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her
K noktası iccedilin
KB KA AB
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının
karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır
2 2 2
1 2 nu u u u
Uzunluk skaler bir değerdir
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMU Geometrisi
Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln
uzunluğunun karesi
2 2 22r OA OC CA
2 22
OB BC CA
2 2 2x y z
Uzunluk
2 2 2r x y z
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
Nu u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
1 2 nu u uu
2 2 2
1 2 nu u u u
ise
1 2 nN
uu u
uu u u
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve
P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki
mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
100i 010j 001k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
6
GENEL TANIMLAR
u
u -u
vTanım u ile v gibi iki vektoumlruumln youmlnleri aynı ve
buumlyuumlkluumlkleri eşit ise EŞİT vektoumlrlerdir
u=v
Tanım u ile youmlnuuml zıt fakat buumlyuumlkluumlğuuml eşit olan
vektoumlr
-u
ile goumlsterilir
VEKTOumlREL İŞLEMLER ToplamaTanım u ve v gibi ili vektoumlruumln toplamı v
vektoumlruumlnuumln başlangıccedil noktasını u vektoumlruumlnuumln bitim
noktasına yerleştirdikten sonra u vektoumlruumlnuumln
başlangıccedil noktasını v vektoumlruumlnuumln bitim noktasına
birleştiren vektoumlrduumlr
1 2u uu 1 2v vv ise
1 1 2 2u v u v u v
Vektoumlrlerin toplamı yine bir vektoumlrduumlr v
u
w
VEKTOumlREL İŞLEMLER Toplama
u+v toplam vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin oluşturduğu
Paralelkenarın koumlşegenlerinden birine eşittir
Paralelkenar Youmlntemi
VEKTOumlREL İŞLEMLER n Adet
Vektoumlruumln Toplanması
v1
v2
v3 v4
vnV
Tanım Vektoumlrler sırası ile birinin başlangıccedil noktası
diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir
ve ilk vektoumlruumln başlangıccedil noktasını son vektoumlruumln
bitim noktası ile birleştiren vektoumlr TOPLAM ya da
BİLEŞKE vektoumlr olarak adlandırılır
1 2 n v v v v
11 21 1 1 2 n n n nnv v v v v v v
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln
Bir Skaler İle Ccedilarpımı
u ku
Tanım Bir u vektoumlruuml ve k bir skaler olmak uumlzere ku
ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k
katı olan bir vektoumlrduumlr
Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr
-ku u
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln
Bir Skaler İle Ccedilarpımı
Eğer k ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı
doğrultuda fakat zıt youmlndedir
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u
vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir
u+(-u)=0
Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı
vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde
edilen vektoumlrduumlr
u+(-v)=u-v=w
1 1 n nu v u v w uv
u+v
-vw
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin Farkı
w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın
diğer koumlşegenidir
Paralelkenar Youmlntemi
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın
tanımladığı vektoumlruumln elemanları
AB OB OA
AB OB OA
1 2 1 2 AB b b a a
1 1 2 2AB b a b a
AB B A
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her
K noktası iccedilin
KB KA AB
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının
karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır
2 2 2
1 2 nu u u u
Uzunluk skaler bir değerdir
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMU Geometrisi
Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln
uzunluğunun karesi
2 2 22r OA OC CA
2 22
OB BC CA
2 2 2x y z
Uzunluk
2 2 2r x y z
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
Nu u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
1 2 nu u uu
2 2 2
1 2 nu u u u
ise
1 2 nN
uu u
uu u u
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve
P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki
mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
100i 010j 001k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
VEKTOumlREL İŞLEMLER ToplamaTanım u ve v gibi ili vektoumlruumln toplamı v
vektoumlruumlnuumln başlangıccedil noktasını u vektoumlruumlnuumln bitim
noktasına yerleştirdikten sonra u vektoumlruumlnuumln
başlangıccedil noktasını v vektoumlruumlnuumln bitim noktasına
birleştiren vektoumlrduumlr
1 2u uu 1 2v vv ise
1 1 2 2u v u v u v
Vektoumlrlerin toplamı yine bir vektoumlrduumlr v
u
w
VEKTOumlREL İŞLEMLER Toplama
u+v toplam vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin oluşturduğu
Paralelkenarın koumlşegenlerinden birine eşittir
Paralelkenar Youmlntemi
VEKTOumlREL İŞLEMLER n Adet
Vektoumlruumln Toplanması
v1
v2
v3 v4
vnV
Tanım Vektoumlrler sırası ile birinin başlangıccedil noktası
diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir
ve ilk vektoumlruumln başlangıccedil noktasını son vektoumlruumln
bitim noktası ile birleştiren vektoumlr TOPLAM ya da
BİLEŞKE vektoumlr olarak adlandırılır
1 2 n v v v v
11 21 1 1 2 n n n nnv v v v v v v
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln
Bir Skaler İle Ccedilarpımı
u ku
Tanım Bir u vektoumlruuml ve k bir skaler olmak uumlzere ku
ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k
katı olan bir vektoumlrduumlr
Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr
-ku u
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln
Bir Skaler İle Ccedilarpımı
Eğer k ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı
doğrultuda fakat zıt youmlndedir
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u
vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir
u+(-u)=0
Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı
vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde
edilen vektoumlrduumlr
u+(-v)=u-v=w
1 1 n nu v u v w uv
u+v
-vw
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin Farkı
w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın
diğer koumlşegenidir
Paralelkenar Youmlntemi
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın
tanımladığı vektoumlruumln elemanları
AB OB OA
AB OB OA
1 2 1 2 AB b b a a
1 1 2 2AB b a b a
AB B A
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her
K noktası iccedilin
KB KA AB
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının
karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır
2 2 2
1 2 nu u u u
Uzunluk skaler bir değerdir
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMU Geometrisi
Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln
uzunluğunun karesi
2 2 22r OA OC CA
2 22
OB BC CA
2 2 2x y z
Uzunluk
2 2 2r x y z
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
Nu u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
1 2 nu u uu
2 2 2
1 2 nu u u u
ise
1 2 nN
uu u
uu u u
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve
P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki
mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
100i 010j 001k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
VEKTOumlREL İŞLEMLER Toplama
u+v toplam vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin oluşturduğu
Paralelkenarın koumlşegenlerinden birine eşittir
Paralelkenar Youmlntemi
VEKTOumlREL İŞLEMLER n Adet
Vektoumlruumln Toplanması
v1
v2
v3 v4
vnV
Tanım Vektoumlrler sırası ile birinin başlangıccedil noktası
diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir
ve ilk vektoumlruumln başlangıccedil noktasını son vektoumlruumln
bitim noktası ile birleştiren vektoumlr TOPLAM ya da
BİLEŞKE vektoumlr olarak adlandırılır
1 2 n v v v v
11 21 1 1 2 n n n nnv v v v v v v
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln
Bir Skaler İle Ccedilarpımı
u ku
Tanım Bir u vektoumlruuml ve k bir skaler olmak uumlzere ku
ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k
katı olan bir vektoumlrduumlr
Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr
-ku u
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln
Bir Skaler İle Ccedilarpımı
Eğer k ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı
doğrultuda fakat zıt youmlndedir
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u
vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir
u+(-u)=0
Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı
vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde
edilen vektoumlrduumlr
u+(-v)=u-v=w
1 1 n nu v u v w uv
u+v
-vw
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin Farkı
w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın
diğer koumlşegenidir
Paralelkenar Youmlntemi
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın
tanımladığı vektoumlruumln elemanları
AB OB OA
AB OB OA
1 2 1 2 AB b b a a
1 1 2 2AB b a b a
AB B A
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her
K noktası iccedilin
KB KA AB
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının
karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır
2 2 2
1 2 nu u u u
Uzunluk skaler bir değerdir
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMU Geometrisi
Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln
uzunluğunun karesi
2 2 22r OA OC CA
2 22
OB BC CA
2 2 2x y z
Uzunluk
2 2 2r x y z
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
Nu u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
1 2 nu u uu
2 2 2
1 2 nu u u u
ise
1 2 nN
uu u
uu u u
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve
P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki
mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
100i 010j 001k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
VEKTOumlREL İŞLEMLER n Adet
Vektoumlruumln Toplanması
v1
v2
v3 v4
vnV
Tanım Vektoumlrler sırası ile birinin başlangıccedil noktası
diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir
ve ilk vektoumlruumln başlangıccedil noktasını son vektoumlruumln
bitim noktası ile birleştiren vektoumlr TOPLAM ya da
BİLEŞKE vektoumlr olarak adlandırılır
1 2 n v v v v
11 21 1 1 2 n n n nnv v v v v v v
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln
Bir Skaler İle Ccedilarpımı
u ku
Tanım Bir u vektoumlruuml ve k bir skaler olmak uumlzere ku
ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k
katı olan bir vektoumlrduumlr
Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr
-ku u
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln
Bir Skaler İle Ccedilarpımı
Eğer k ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı
doğrultuda fakat zıt youmlndedir
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u
vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir
u+(-u)=0
Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı
vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde
edilen vektoumlrduumlr
u+(-v)=u-v=w
1 1 n nu v u v w uv
u+v
-vw
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin Farkı
w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın
diğer koumlşegenidir
Paralelkenar Youmlntemi
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın
tanımladığı vektoumlruumln elemanları
AB OB OA
AB OB OA
1 2 1 2 AB b b a a
1 1 2 2AB b a b a
AB B A
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her
K noktası iccedilin
KB KA AB
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının
karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır
2 2 2
1 2 nu u u u
Uzunluk skaler bir değerdir
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMU Geometrisi
Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln
uzunluğunun karesi
2 2 22r OA OC CA
2 22
OB BC CA
2 2 2x y z
Uzunluk
2 2 2r x y z
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
Nu u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
1 2 nu u uu
2 2 2
1 2 nu u u u
ise
1 2 nN
uu u
uu u u
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve
P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki
mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
100i 010j 001k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln
Bir Skaler İle Ccedilarpımı
u ku
Tanım Bir u vektoumlruuml ve k bir skaler olmak uumlzere ku
ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k
katı olan bir vektoumlrduumlr
Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr
-ku u
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln
Bir Skaler İle Ccedilarpımı
Eğer k ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı
doğrultuda fakat zıt youmlndedir
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u
vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir
u+(-u)=0
Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı
vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde
edilen vektoumlrduumlr
u+(-v)=u-v=w
1 1 n nu v u v w uv
u+v
-vw
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin Farkı
w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın
diğer koumlşegenidir
Paralelkenar Youmlntemi
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın
tanımladığı vektoumlruumln elemanları
AB OB OA
AB OB OA
1 2 1 2 AB b b a a
1 1 2 2AB b a b a
AB B A
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her
K noktası iccedilin
KB KA AB
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının
karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır
2 2 2
1 2 nu u u u
Uzunluk skaler bir değerdir
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMU Geometrisi
Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln
uzunluğunun karesi
2 2 22r OA OC CA
2 22
OB BC CA
2 2 2x y z
Uzunluk
2 2 2r x y z
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
Nu u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
1 2 nu u uu
2 2 2
1 2 nu u u u
ise
1 2 nN
uu u
uu u u
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve
P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki
mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
100i 010j 001k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
-ku u
VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln
Bir Skaler İle Ccedilarpımı
Eğer k ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı
doğrultuda fakat zıt youmlndedir
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u
vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir
u+(-u)=0
Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı
vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde
edilen vektoumlrduumlr
u+(-v)=u-v=w
1 1 n nu v u v w uv
u+v
-vw
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin Farkı
w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın
diğer koumlşegenidir
Paralelkenar Youmlntemi
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın
tanımladığı vektoumlruumln elemanları
AB OB OA
AB OB OA
1 2 1 2 AB b b a a
1 1 2 2AB b a b a
AB B A
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her
K noktası iccedilin
KB KA AB
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının
karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır
2 2 2
1 2 nu u u u
Uzunluk skaler bir değerdir
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMU Geometrisi
Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln
uzunluğunun karesi
2 2 22r OA OC CA
2 22
OB BC CA
2 2 2x y z
Uzunluk
2 2 2r x y z
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
Nu u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
1 2 nu u uu
2 2 2
1 2 nu u u u
ise
1 2 nN
uu u
uu u u
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve
P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki
mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
100i 010j 001k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin FarkıTanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u
vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir
u+(-u)=0
Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı
vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde
edilen vektoumlrduumlr
u+(-v)=u-v=w
1 1 n nu v u v w uv
u+v
-vw
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin Farkı
w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın
diğer koumlşegenidir
Paralelkenar Youmlntemi
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın
tanımladığı vektoumlruumln elemanları
AB OB OA
AB OB OA
1 2 1 2 AB b b a a
1 1 2 2AB b a b a
AB B A
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her
K noktası iccedilin
KB KA AB
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının
karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır
2 2 2
1 2 nu u u u
Uzunluk skaler bir değerdir
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMU Geometrisi
Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln
uzunluğunun karesi
2 2 22r OA OC CA
2 22
OB BC CA
2 2 2x y z
Uzunluk
2 2 2r x y z
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
Nu u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
1 2 nu u uu
2 2 2
1 2 nu u u u
ise
1 2 nN
uu u
uu u u
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve
P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki
mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
100i 010j 001k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
VEKTOumlREL İŞLEMLER
Vektoumlrlerin Farkı
w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın
diğer koumlşegenidir
Paralelkenar Youmlntemi
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın
tanımladığı vektoumlruumln elemanları
AB OB OA
AB OB OA
1 2 1 2 AB b b a a
1 1 2 2AB b a b a
AB B A
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her
K noktası iccedilin
KB KA AB
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının
karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır
2 2 2
1 2 nu u u u
Uzunluk skaler bir değerdir
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMU Geometrisi
Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln
uzunluğunun karesi
2 2 22r OA OC CA
2 22
OB BC CA
2 2 2x y z
Uzunluk
2 2 2r x y z
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
Nu u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
1 2 nu u uu
2 2 2
1 2 nu u u u
ise
1 2 nN
uu u
uu u u
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve
P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki
mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
100i 010j 001k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın
tanımladığı vektoumlruumln elemanları
AB OB OA
AB OB OA
1 2 1 2 AB b b a a
1 1 2 2AB b a b a
AB B A
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her
K noktası iccedilin
KB KA AB
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının
karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır
2 2 2
1 2 nu u u u
Uzunluk skaler bir değerdir
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMU Geometrisi
Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln
uzunluğunun karesi
2 2 22r OA OC CA
2 22
OB BC CA
2 2 2x y z
Uzunluk
2 2 2r x y z
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
Nu u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
1 2 nu u uu
2 2 2
1 2 nu u u u
ise
1 2 nN
uu u
uu u u
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve
P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki
mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
100i 010j 001k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr
Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2)
B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her
K noktası iccedilin
KB KA AB
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının
karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır
2 2 2
1 2 nu u u u
Uzunluk skaler bir değerdir
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMU Geometrisi
Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln
uzunluğunun karesi
2 2 22r OA OC CA
2 22
OB BC CA
2 2 2x y z
Uzunluk
2 2 2r x y z
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
Nu u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
1 2 nu u uu
2 2 2
1 2 nu u u u
ise
1 2 nN
uu u
uu u u
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve
P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki
mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
100i 010j 001k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMUTanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının
karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır
2 2 2
1 2 nu u u u
Uzunluk skaler bir değerdir
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMU Geometrisi
Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln
uzunluğunun karesi
2 2 22r OA OC CA
2 22
OB BC CA
2 2 2x y z
Uzunluk
2 2 2r x y z
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
Nu u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
1 2 nu u uu
2 2 2
1 2 nu u u u
ise
1 2 nN
uu u
uu u u
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve
P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki
mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
100i 010j 001k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU
NORMU Geometrisi
Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln
uzunluğunun karesi
2 2 22r OA OC CA
2 22
OB BC CA
2 2 2x y z
Uzunluk
2 2 2r x y z
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
Nu u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
1 2 nu u uu
2 2 2
1 2 nu u u u
ise
1 2 nN
uu u
uu u u
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve
P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki
mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
100i 010j 001k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan
vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml
N u
uu
İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim
vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir
Nu u u
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
1 2 nu u uu
2 2 2
1 2 nu u u u
ise
1 2 nN
uu u
uu u u
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve
P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki
mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
100i 010j 001k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir
birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm
bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler
1 2 nu u uu
2 2 2
1 2 nu u u u
ise
1 2 nN
uu u
uu u u
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve
P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki
mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
100i 010j 001k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve
P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki
mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln
1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z P P
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z P P
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
100i 010j 001k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
100i 010j 001k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O
(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına
birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM
vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler
100i 010j 001k
Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri
e1 e2hellipen
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektoumlruumlne A
noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
OA OB BC CA r
OB OD OE
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 3 u u uu
vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir
1 2 3u u u u i j k
Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir 1 2 nu u uu
konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir
1 1 2 2 n nu u u u e e e
Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİTeorem 1 2 3 1 2 3 u u u u u u u i j k
1 2 3 1 2 3 v v v v v v v i j k ve k olmak uumlzere
1 1 2 2 3 3u v u v u v u v i j k
1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku u i j k
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
28
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
İki Boyut
Ox
y
ij
P
M(xy) M x y
OM OP PM
OP x i
PM y j
OM x y i j
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
29
i j
z
y
x
O
k
OM xi y j z k
OM x y z
M(xyz)
Şekil5
VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
Uumlccedil Boyut
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
Vektoumlrlerin Ccedilarpımı
1 Skaler Ccedilarpım
2 Vektoumlrel Ccedilarpım
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
Skaler Ccedilarpım
Tanım u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı
uv ile goumlsterilir
uv u v Cos 0
vektoumlrler arasındaki accedilıdır
Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr
Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım
olarak da adlandırılır
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB
OC OB
OC OB
OCCos
OA
OC OA Cos
uv OB OA Cos
uv u v Cos
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise =2 olup skaler
ccedilarpım
uv u v Cos
0
2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise =0 olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise = olup skaler ccedilarpım
uv u v Cos
u v
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik
2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk
3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı
1ii jj kk ve 0ij ik jk
Skaler ccedilarpım sonucu
1 1 2 2 3 3uv u v u v u v
Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin
1 1 2 2 n nuv u v u v u v
1
n
r r
r
u v
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı
uvCos
u v
1 1 2 2 n nu v u v u vCos
u v
u
v
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr
1 2 nu u u u 1 2 nv v v v
Birbirine Ortogonal (dik) ise
1 1 2 2 0n nuv u v u v u v
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
38
Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
)() 22 uuuuub
wuvuwvuc
)()
)()()() vmuvumvumd
(m skaler)
11) uuue
0) vuvuf
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
Vektoumlrel Ccedilarpım
u
v
vu
Tanım Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı
u v ya da u v
ile goumlsterilir
w u v e u v Sin
Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr
Doğrultusu u ve v vektoumlrlerinin
oluşturduğu duumlzleme diktir
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı
u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar
Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği
gibi
sinu paralelkenarın yuumlksekliği
v paralelkenarı taban uzunluğunu
verir
A taban yuumlkseklik
sin v u
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil
u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen
w u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel
Permuumltasyon
0i i i j k i k j
j i k 0j j j k i
k i j k j i 0k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln
1 2 3 u u u u 1 2 3 v v v v
Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi
1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v k
1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k
2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k
3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi
Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v k
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v
Not Determinant konusu ile ilişkilidir
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
Vektoumlrel Ccedilarpım
Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise
1 0 u u v
u v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir
2 0 v u v
u v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir
3 22 2 2
u v u v u v
Lagrange oumlzdeşliği
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi
222
11121
zyx
zyx
kji
vv
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u v ve w vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı
u v w uw v uv w
Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr
u v w ccedilarpım vektoumlruuml
v ve w vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel
v w ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
48
Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleri
wvu
sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere
uvvua
)
wuvuwvub
)()
)()()() vmuvumvumc
(m skaler)
0) paraleldirvileuvud
e) u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri
(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) u ve v vektoumlrleri uumlzerine
kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
Karışık CcedilarpımTanım u v ve w aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr
olmak uumlzere
u v w u v w Cos
ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir
Karışık ccedilarpım v w vektoumlruuml ile u vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı
olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı
u v w v w u Cos
İlk bileşen v w OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos paralelyuumlzuumln yuumlksekliği
Karışık Ccedilarpım u v ve w vektoumlrleri uumlzerine kurulan
paralelyuumlzuumln hacmine eşittir
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
52
Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi
333
222
111
)(
zyx
zyx
zyx
wvu
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml
bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm
bull Skaler İzduumlşuumlm
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e olsun
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml
izd OA OB
OB OB e
OB OA Cos e
OA vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skaler izduumlşuumlmuuml
OB OA Cos ya da
OB OAe
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ
56
BİRİNCİ
BOumlLUumlM
BİTTİİİİİİİ