VEKTOR di R2 dan R3

• Skalar besaran

• Vektor besaran dan arah

mempunyai titik awal (pangkal) dan

titik akhir (ujung).

contoh : . B

A . Dinotasikan : atauAB v

.penjumlahan vektor bersifat komutatif:

a

a

b

b + a b

a b b a

Vektor dengan panjang nol disebut vektor nol (zero vector), ditulis 0

• .

v

v

( ) ( ) 0v v v v

Definisi : Jika v dan w adalah dua buah vektor, maka selisih dua buah vektor dinyatakan : v – w = v + (-w)

• .

ww

v( )v w

Vektor dalam sistem koordinat

• Vektor v dengan titik awal (0,0) dan titik akhir (v1,v2) , ditulis v = (v1,v2)

X

Y

v1

v2 (v1,v2)

(0,0)

v

.

Q (w1,w2)

O(0,0)

P(v1,v2)

v

w

1 2 1 2

1 1 2 2

( , ), ( , )

( , )

v OP v v w OQ w w

PQ v w w v w v

x

y

• .

x

(v1,v2)

(k v1, k v2)

y

(0,0)

v

Definisi:

Jika v bukan vektor nol dan skalar k > 0 , maka k v didefinisikan sebagai vektor yang punya panjang |k| kali panjang vektor v .

bila k < 0, maka k v adalah vektor yang panjang |k| kali panjang vektor v dengan arah berlawanan dengan vektor v.

bila k = 0 atau v = 0 k v = 0

R3

• Terdapat 3 buah sumbu yaitu x,y dan z

• Setiap vektor v dengan titik awal (0,0,0) dan titik akhir (v1,v2,v3) ditulis v = (v1,v2,v3).

• k skalar , k v = (k v1,k v2,k v3)

• Vektor dengan titik awal P(p1,p2,p3) dan titik akhir Q(q1,q2,q3), ditulis :

1 1 2 2 3 3( , , )PQ q p q p q p

Translasi Sumbu

. Y’ X’ = x - k , Y’ = y - l

O(0,0) X

Y

O’(k,l) X’

P (x,y) or (x’,y’)

3.2 Norm dan aritmatika vektor Sifat-sifat aritmatika vektor:

jika u , v , w vektor vektor pada R2 atau R3 , k dan l skalar, maka :

a. u + v = v + u b. ( u + v ) + w = u + ( v + w)

c. u + 0 = 0 + u = u d. u + ( - u ) = 0

e. k ( l u ) = ( k l ) u f. k ( u + v ) = k u + k v

g. ( k + l ) u = k u + l u

h. 1 u = u

Norm atau panjang vektor u

• . 2

1 2

2 2

1 2

3

1 2 3

2 2 2

1 2 3

u R u = (u ,u )

panjang u dinotasikan u .

u u u

jika u R u = (u ,u ,u )

u u u u

Vektor satuan adalah vektor dengan norm = 1

Jika P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,y3) adalah dua titik di R3, maka jarak kedua titik adalah :

1 2 2 1 1 2 2 1

2 2 2

1 2 2 1 1 2 2 1

P P ( , , )

P P

x x y y z z

x x y y z z

k u k u

3.3 Hasil kali titik dan proyeksi

Definisi:

Jika u dan v adalah vektor vektor pada ruang berdimensi2 atau 3 dan adalah sudut antara

u dan v, maka hasilkali titik (dot product) atau hasilkali dalam Euclidean (Euclidean inner product) uv didefinisikan oleh :

u v= u v cos ; 0 dan v 0

= 0 ; 0 0

jika u

u atau v

Bentuk komponen Hasilkali Titik . 1 2 3 1 2 3

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

2 2 2

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

u ( , , ) dan v= ( , , )

hukum cosinus :

2 cos

1 cos

2

;

Jika ,

OP u u u OQ v v v

PQ u v u v

u v u v v u

u u u u v v v v

v u v u v u v u

u v u v u v u v

u v 2

1 1 2 2

R

u v u v u v

. adalah sudut antara vektor u dan v :

cos

lancip 0

tumpul 0

10

2

u v

u v

u v

u v

u v

Sifat – sifat hasilkali titik

• . Jika u , v , w Є R2 atau R3 dan k skalar.

a. u . v = v . U

b. u . ( v + w ) = u . v + u . w

c. k ( u . v ) = ( k u ) . v = u . ( k v)

d. v . v > 0 jika v 0 , dan v . v = 0 jika v = 0