Embed Size (px)
Citation preview
VEKTORI U PROSTORU
A
B
BAAB ,
VEZANI VEKTORI
Uređeni par tačaka A i B je orijentisana duž ili vezani vektor čija je A početna tačka, a B završna tačka. BAAB ,
BA,
A
B
VEZANI VEKTORI
Prava p koja prolazi kroz tačke A i B je nosač vezanog vektora . BAAB ,
p
BAAB ,
A
B
VEZANI VEKTORI
BAAB ,
C
D
Vezani vektori i su istog pravca ako imaju paralelne nosače.
DCCD ,
BAAB ,
BAAB ,
VEZANI VEKTORI
A
B
C
D
A
B C
D
Vektori istog pravca mogu biti istog ili suprotnog smera. Vektori i su istog smera ako su tačke B i D sa iste strane prave AC, a suprotnog smera ako su tačke B i D sa raznih strana prave AC.
DCCD ,
A
B
BAAB ,
VEZANI VEKTORI
Intezitet vektora je rastojanje izmedju tačaka A i B, odnosno dužina duži AB.
BAAB ,
p
AB
A
B
a
ABa
BAAB ,
SLOBODNI VEKTORI
C
D E
F
Skup svih vezanih vektora istog pravca, smera i inteziteta je slobodni vektor . Slobodni vektor se zadaje jednim proizvoljnim predstavnikom . Svaka dva predstavnika se translatornim kretanjem mogu dovesti do poklapanja.
aABa
a
A
B
a
ABa
SLOBODNI VEKTORI
C
D E
F
Pravac, smer i intezitet slobodnog vektora je pravac, smer i intezitet bilo kog njegovog predstavnika. Vektor inteziteta nula je nula vektor. Vektor inteziteta jedan je jedinični vektor.
NADOVEZANI VEKTORI
Vektori takvi da se pocetna tačka narednog poklapa sa završnom tačkom prethodnog nazivaju se nadovezanim vektorima.
C
a
b
A B
D
c
SABIRANJE VEKTORA – PRAVILO TROUGLA
Zbir dva nadovezana vektora i je vektor čija je početna tačka, početna tačka prvog, a završna tačka je završna tačka drugog vektora. Zbir dva slobodna vektora i je slobodni vektor čiji je predstavnik vektor koji predstavlja zbir dva nadovezana predstavnika vektora i .
a
b
ba
A B
C
AB BC BCABAC
ACba
ABa BCb
BCABAC
a b
SABIRANJE VEKTORA – PRAVILO PARALELOGRAMA
a
bba
A B
C
b
a
Zbir dva vektora sa zajedničkom početnom tačkom je vektor koji predstavlja orjentisanu dijagonalu paralelograma konstruisanog nad tim vektorima, sa početnom tačkom koja se poklapa sa početnom tačkom tih vektora.
MNOŽENJE VEKTORA SKALAROM
A
B
a
a
0a
0Vektor pomnožen skalarom je vektor Istog pravca sa vektorom , inteziteta , Istog smera sa vektorom za a Suprotnog smera u odnosu na vektor za .
a a
a a
a 0a 0
MNOŽENJE VEKTORA SKALAROM
A
B
a
Vektor inteziteta 0 je nula vektor . Vektor pomnožen skalarom je suprotan vektor . Zbir vektora i njemu suprotnog vektora je nula vektor:
a 1
aA
B
a
00
a 0 aa
RAZLIKA VEKTORA
a
ba
A B
C
b
a
b
baba
Razlika dva vektora i je zbir prvog vektora i vektora suprotnog drugom vektoru:
ba a b
baba
b
KOLINEARNOST VEKTORA
A
B
a
a
0
Dva ne nula vektora su kolinearni ako imaju isti pravac. Dva vektora i su kolinearni ako i samo ako je za neko , . 0, R ab
a
b
Dva nenula vektora su kolinarni ako se translatornim kretanjem mogu dovesti u položaj da pripadaju istoj pravoj.
KOMPLANARNOST VEKTORA
Tri ne nula vektora su komplanarni ako se translatornim kretanjem mogu dovesti u položaj da pripadaju istoj ravni. Tri vektora , i su komplanarni ako i samo ako postoje , od kojih je bar jedan različit od nule, takvi da je . Kaže se da je vektor linearna kombinacija vektora i ili da je vektor razložen na komponente kolinearne sa i .
R,a
b
a
c
A B
C
b
D
cbac
c a
ba
bc
NEKOMPLANARNI VEKTORI
A
O
B
C
D
E F
a b
c d
Vektori koji nisu komplanarni su nekomplanarni vektori. Nijedan od tri nekomplanarna vektora ne može se izraziti kao linearna kombinacija preostala dva vektora. Svaki četvrti vektor u prostoru je linerna kombinacija tri nekomplanarna vektora Odnosno svaki četvrti vektor se može razložiti na komponente kolinearne sa tim vektorima. Ovo razlaganje je jedinstveno.
cbad
KOORDINATNI SISTEM
A
O
B
C
D
E F
a b
c d
Nekoplanarni vektori čine bazu, a skalari su koordinate vektora u toj bazi. Uredjena trojka nekomplanarnih vektora sa zajedničkom početnom tačkom O čine trijedar. Trijedar odredjuje koordinatni sistem. Zajednička početna tačka je koordinatni početak, a koordinatne ose su odredjene pravcem i smerom vektora trijedra.
cba ,, ,,
d
cbad
),,( d
ORJENTACIJA KOORDINATNOG SISTEMA
Levi trijedar Levi koordinatni sistem
Desni trijedar Desni koordinatni sistem
a b
c
ab
c
Orjentacija zavisi od redosleda vektora. Ako dva vektora u svom redosledu zamene mesta, orjentacija trijedra i koordinatnpg sistema se menja.
),,( cba
DEKARTOV PRAVOUGLI KOORDINATNI SISTEM
Levi trijedar Levi koordinatni sistem
Desni trijedar Desni koordinatni sistem
Tri uzajamno ortogonalna jedinična vektora su nekomplanarni i čine ortonormiranu bazu. Trijedar koji čine tri uzajamno ortogonalna jedinična vektora odredjuju Dekartov pravougli koordinatni sistem. Zavisno od orjentacije trijedra, koordinatni sistem je levi ili desni.
i
j
k
O x
y
z
i
j
k
O x
y
z
i j
k
O x
y
z
Desni trijedar
DEKARTOV PRAVOUGLI KOORDINATNI SISTEM
ij
k i
j
k
Desni trijedar Desni koordinatni sistem
Levi trijedar Levi koordinatni sistem
O O x
y
z x
y
z
kajaiaOEODOCOEOBOAa zyx
i
j
k
O x
y
z
C
A
E
D B
a
xa
ya
za
KOORDINATE VEKTORA
KOORDINATE VEKTORA
i
j
k
O x
y
z
C
A
E F
D B
Svaki vektor u prostoru se može razložiti na komponente kolinearne sa vektorima t.j. svaki vektor u prostoru se može predstaviti kao linearna kombinacija uzajamno ortogonalnih jediničnih vektora baze , , : .
i
j
k
i
j
k
kajaiaa zyx
a
KOORDINATE VEKTORA
i
j
k
O x
y
z
C
D
E F
A B
),,( zyxzyx aaaakajaiaa
zyx aaa ,, su koordinate vektora a
a
KOORDINATE VEKTORA
),,( zyxzyx aaaakajaiaa
Koordinate vektora ne zavise od njegovog položaja u prostoru odnosno koordinate slobodnog vektora su koordinate proizvoljnog njegovog predstavnika.
i
j
k
O
y
z
C
D
E F
A B
a
xa
ya
za
i
j
k a
xa
ya
za
KOORDINATE VEKTORA
zyx aaaa ,, zyx bbbb ,,
zzyyxx babababa
i
j
k
Razlaganje vektora na komponente kolinearne sa vektorima baze
je jednoznačno.
Vektori su medjusobno jednaki ako i samo ako su im jednake koordinate.
zyxzyx aaakajaiaa ,,
2222zyx aaaa
INTEZITET VEKTORA
2222 OEOBOAa
2222 OEODOCa
222zyx aaaa
Intezitet vektora:
i
j
k
O x
y
z
C
D
E F
A B
a
xa
ya
za
PRIMER
Intezitet vektora:
)4,0,3( a
)1,2,2( a 525403 222 aje
39122 222 aje
)4,4,4( a 3443444 2222 aje
zyxzyx aaakajaiaa ,,
2222zyx aaaa
aaxcos a
aycos
aazcos
1coscoscos 222
i
j
k
O x
y
z
C
A
E
D B
a
xa
ya
za
gde su redom uglovi sa koordinatnim osama
,,
zyx ,,
KOSINUSI UGLOVA KOJE VEKTOR GRADI SA KOORDINATNIM OSAMA
i
j
k
O x
y
z
C
A
E
D B
a
xa
ya
za
Data je kocka osnovne ivice sa jednim temenom u koordinatnom početku O i sa ivicama koje polaze iz tog temena i leze na pozitivnim delovima koordinatnih osa. OA je dijagonala te kocke. Odrediti uglove koje vektor gradi sa koordinatnim osama.
1a
OA
33
31cos
aax
kjiOAa
)1,1,1(OAa
3111 2222a 3a
33
31cos
aay
33
31cos
aaz
PRIMER
i
j
k
O x
y
z
C
A
E
D B
a
xa
ya
za
Data je kocka osnovne ivice sa jednim temenom u koordinatnom početku O i sa ivicama koje polaze iz tog temena koje leze na pozitivnim delovima koordinatnih osa. OB je dijagonala donje osnove te kocke. Odrediti uglove koje vektor gradi sa koordinatnim osama.
1a
OB
22
21cos
bbx
jiOBb
)0,1,1( OBb
2011 2222
b
2b
22
21cos
b
by
02
0cos bbz
0454
0454
0902
PRIMER
Odrediti kosinuse uglove koje vektor gradi sa koordinatnim osama.
)1,2,2( a
39122 222 a
PRIMER
32cos
aax
32cos
aay
31cos
aaz
Odrediti uglove koje vektor gradi sa koordinatnim osama. )2,0,2(a
2222202 2222 a
PRIMER
22
21
222cos
aax
022
0cos aay
22
21
222cos
aaz
0454
0902
0454
ALGEBARSKE OPERACIJE NAD VEKTORIMA ZADATIM POMOĆU KOORDINATA
kajaiaa zyx
zyx aaaa ,, zyx bbbb ,,
zzyyxxzyxzyx babababbbaaaba ,,,,,,
kbjbibb zyx
kbjbibkajaiaba zyxzyx
kbajbaibaba zzyyxx
)()()(
),,( zzyyxx babababa
PRIMER
)0,2,1(a )1,3,1( b
)1,1,0(10,32,11 bac
Zbir dva vektora
i je vektor
ba
)4,2,3( a )1,3,1(b
)5,1,2(14,32,13 bac
Zbir dva vektora
i je vektor
ba
ALGEBARSKE OPERACIJE NAD VEKTORIMA ZADATIM POMOĆU KOORDINATA
zyx aaaa ,,
zyx aaaaa ,,)1(
zzyyxxzyxzyx abababaaabbbab ,,,,,,
zzyyxxzyxzyx babababbbaaaba ,,,,,,
zyx aaaaa
1,1,11
PRIMER
)5,2,1(aZa dati vektor vektor
10,4,252,22),1(22 a
15,6,353,23),1(33 a
Suprotan vektor
)5,2,1()5,2),1(( a
PRIMER
)0,2,1(a )1,3,1( b
)1,5,2()1(0,32,11 bac
Razilka dva vektora
i je vektor
ba
)0,2,1(a )1,3,1( b
)1,5,2(01,23),1(1 abc
Razilka dva vektora
i je vektor
ab
PRIMER
)12,8,4(aZa dati vektor vektor
)3,2,1(4
12,48,
44
4
a
PRIMER
)2,3,1(a )1,3,2( b
cba 23
)3,3,1( cZa date vektore
izračunati
)1,6,0()3,3,1()2,6,4()6,9,3(23 cba
)3,3,0()1,3,2()4,6,2()1,3,2()2,3,1(22 ba
ba
2 i
)3,3,1()1,3,2(2)2,3,1(323 cba
)2,3,1(a )1,3,2( b
Za date vektore
)3,3,0()1,3,2()4,6,2()1,3,2()2,3,1(22 ba
18323302 22222
ba
2332182 2 ba
odredititi uglove koje vektor gradi sa koordinatnim osama . ba
2
023
0cos 22
21
233cos
0902
0454
0454
22
21
233cos
i
PRIMER
ORT VEKTORA
zyx aaaa ,,
aa
aa
aa
aaaort zyx
,,
Za dati vektor , je jedinični vektor istog pravca i smera. a aort
Za dati vektor
ORT VEKTORA
zyx aaaa ,,
)cos,cos,(cos,,
aa
aa
aa
aaaort zyx
Za dati vektor
gde su uglovi koje vektor gradi sa koordinatnim osama. ,, a
)2,3,1(a )1,3,2( b
)3,3,0()1,3,2()4,6,2()1,3,2()2,3,1(22 ba
23323302 2222 ba
22,
22,0
233,
233,
230
23)3,3,0(
22)2(
bababaort
0cos 22cos
22cos
Za date vektore i
Odrediti . )2( baort
PRIMER
)0,4,3(aZa dati vektor
odrediti vektor inteziteta 10 istog pravca i smera sa datim vektorom vektor inteziteta 15 istog pravca i suprotnog smera u odnosu na dati vektor
a
cb
a
)(10 aortb )(15 aortc
ZADATAK
0,
54,
53
5)0,4,3(
04)3()0,4,3(
222aort
0,8,6)(10 aortb 0,12,9)(15 aortc
KOLINEARNOST VEKTORA ZADATIH POMOĆU KOORDINATA
A
B
a
a
0
Dva ne nula vektora su kolinearni ako imaju isti pravac. Dva vektora i su kolinearni ako i samo ako je za neko , . 0, R ab
a
b
zyx bbbb ,,
zyx aaaa ,,
zyxzyx aaabbb ,,,, ab
z
z
y
y
x
x
ab
ab
ab
Uslov kolinearnosti dva vektora
PRIMER
)3,2,1( a )6,4,2( b
Vektori
Su kolinearni zato što je
23
624
12
)3,2,1( a )3,4,2( b
Vektori
nisu kolinearni zato što je
33
24
12
Odrediti vrednosti parametre i tako da su vektori
kolinearni.
)2,3,(a i ),6,4( b
4,223
64
PRIMER
)1,1,1(a )0,2,0(b
Dati su vektori
Odrediti vrednost parametra tako da su vektori
bap 5
i baq
3 kolinearni.
15
ZADATAK
,10, p 3,1,3q
3110
3
110
3
103 103
302
