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© Metodologia della ricerca in psicologia clinica - Dott. Luca Filipponi
1
Per conoscere la posizione che un valore occupa all’interno di una distribuzione di frequenza si utilizzano
Ü QUARTILI Ü DECILI Ü CENTILI
VENGONO DETTI QUANTILI
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VENGONO DETTI QUANTILI
E’ perciò NECESSARIO che la variabile sia misurata almeno
su una scala ordinale
Questi indicatori richiedono che sia possibile operare su una
distribuzione ordinata di frequenza
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QUARTILI
à 1° quartile Q1 (o inferiore): valore al di sotto del quale cade il 25% dei casi
Valori in corrispondenza dei quali la distribuzione viene suddivisa in quattro parti uguali. I quartili sono tre:
Valori in corrispondenza dei quali la distribuzione viene suddivisa in quattro parti uguali. I quartili sono tre:
QUARTILI
à 2° quartile Q2 (o mediano): valore al di sotto del quale cade il 50% dei casi
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Valori in corrispondenza dei quali la distribuzione viene suddivisa in quattro parti uguali. I quartili sono tre:
QUARTILI
à 3° quartile Q3 (o superiore): valore al di sotto del quale cade il 75% dei casi
QUARTILI
Q3
75%
Q2
50%
Q1
25%
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Come si calcolano:
QUARTILI
1. Si ordinano in senso crescente le modalità o i valori della variabile
2. Si calcolano le frequenze cumulate
Come si calcolano:
QUARTILI
3. Si calcola la posizione del quartile con le apposite formule
4. Si cerca nella distribuzione il valore corrispondente alla posizione trovata
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Formule per il calcolo della posizione:
QUARTILI
Per il 1° quartile: 1
41NposQ1 ⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
Per il 2° quartile
241NposQ2 ⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
Per il 3° quartile: 341NposQ3 ⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
Formule per il calcolo della posizione:
QUARTILI
Per il 2° quartile:
241NposQ2 ⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
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Formule per il calcolo della posizione:
QUARTILI
Per il 3° quartile:
341NposQ3 ⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
NOTA BENE Il secondo quartile Q2
corrisponde alla Mediana
La Mediana è un indice di tendenza centrale e di
posizione
QUARTILI
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ESEMPIO 15 soggetti hanno espresso il loro grado di adesione (da 1 a 7 punti)
alla seguente affermazione:
QUARTILI
“Meglio cento anni da pecora che un giorno da leone”
I risultati sono: 1 5 4 6 7 2 5 6 3 1 2 4 4 7 7
“Meglio cento anni da pecora che un giorno da leone”
I risultati sono: 1 5 4 6 7 2 5 6 3 1 2 4 4 7 7
Trovare il 1°, 2° e 3° quartile
QUARTILI
ESEMPIO
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Punteggi f fcum 1 2 2 2 2 4
3 1 5 4 3 8 5 2 10 6 2 12 7 3 15
QUARTILI
QUARTILI
414115posQ1 =⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
141NposQ1 ⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
Ricordiamo la formula
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QUARTILI
Pos Q1 Q1
Punteggi f fcum 1 2 2 2 2 4
3 1 5 4 3 8 5 2 10 6 2 12 7 3 15
Il primo quartile, che occupa la 4° posizione nella distribuzione, è
QUARTILI
Q1 = 2
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11
QUARTILI
824115posQ2 =⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
1234115posQ3 =⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
Si procede in modo analogo per gli altri due Quartili
QUARTILI
Pos Q2 Q2
Pos Q3 Q3
Punteggi f fcum 1 2 2 2 2 4
3 1 5 4 3 8 5 2 10 6 2 12 7 3 15
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Il secondo quartile, che occupa la 8° posizione nella distribuzione, è
QUARTILI
Q2 = 4
Il terzo quartile, che occupa la 12° posizione nella distribuzione, è
QUARTILI
Q3 = 6
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• Valori in corrispondenza dei quali la distribuzione viene suddivisa in dieci parti uguali. I decili sono nove:
1° decile: valore ad di sotto del quale cade il 10% dei casi
DECILI
2° decile: valore al di sotto del quale cade il 20% dei casi
9° decile: valore al di sotto del quale cade il 90% dei casi
SI PROCEDE COME PER I QUARTILI Formule per il calcolo della posizione:
DECILI
Per il 1°decile: 1101NposD1 ⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
Per il 2°decile: 2101NposD2 ⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
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SI PROCEDE COME PER I QUARTILI Formule per il calcolo della posizione:
……
DECILI
Per il 9°decile: 9101NposD9 ⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
DECILI
11 bambini di 36 mesi hanno ottenuto ad un test sul linguaggio
la seguente serie di punteggi: 25 43 34 58 25 48 38 38 54 48 58
Trovare il 3° e l’ 8° decile
ESEMPIO
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DECILI
Punteggi f fcum 25 2 2 34 1 3 38 2 5 43 1 6 48 2 8 54 1 9 58 2 11
DECILI
3.6310111posD3 =⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
Calcoliamo la posizione del terzo decile
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DECILI
• Il terzo decile sta tra la 3° e la 4° posizione (posD3= 3.6) quindi è un valore compreso tra 34 e 38.
DECILI
• Come si procede: • si moltiplica la differenza tra i
due valori 34 e 38 per la quantità che eccede dalla 3° posizione:
• 3.6 è 0.6 (38-34) x 0.6 = 4 x 0.6 = 2.4
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DECILI
• Sommo questa quantità al valore corrispondente alla terza posizione: 34 + 2.4 = 36.4 ç terzo decile
DECILI
9.6810111posD8 =⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
Calcoliamo la posizione
dell’ottavo decile
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DECILI
Punteggi f fcum 25 2 2 34 1 3 38 2 5 43 1 6 48 2 8 54 1 9 58 2 11
DECILI
• L’ottavo decile sta tra la 9° e la 10° posizione (posD8= 9.6) quindi è un valore compreso tra 54 e 58
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DECILI
• Moltiplico la differenza tra i due valori per la quantità che eccede dalla 9° posizione: 9.6 è 0.6 (58-54) x 0.6 = 4 x 0.6 = 2.4
DECILI
• Sommo questa quantità al valore corrispondente alla nona posizione: 54 + 2.4 = 56.4 ç ottavo decile
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CENTILI • Valori in corrispondenza dei
quali la distribuzione viene suddivisa in cento parti uguali. I centili sono novantanove:
15° centile: valore al di sotto del quale cade il 15% dei casi
45° centile: valore al di sotto del quale cade il 45% dei casi
99° centile: valore al di sotto del quale cade il 99% dei casi
CENTILI
Per il 14° centile:
COME PER I QUARTILI E I DECILI Formule per il calcolo della posizione:
141001NposC14 ⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
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CENTILI
Per il 79° centile:
COME PER I QUARTILI E I DECILI Formule per il calcolo della posizione:
791001NposC79 ⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
CENTILI
11 bambini di 36 mesi hanno ottenuto ad un test sul
linguaggio la seguente serie di punteggi:
25 43 34 58 25 48 38 38 54 48 58 Trovare il 30° centile
ESEMPIO
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CENTILI
Punteggi f fcum 25 2 2 34 1 3 38 2 5 43 1 6 48 2 8 54 1 9 58 2 11
CENTILI
6.303100111posC30 =⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
031001NposC30 ⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
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CENTILI
• Il trentesimo centile sta tra la 3° e la 4° posizione (posC30 =3.6) quindi è un valore compreso tra 34 e 38.
CENTILI
• Si procede così: si moltiplica la differenza tra i due valori 34 e 38 per la quantità che eccede dalla 3° posizione: 3.6 è 0.6 (38-34) x 0.6 = 2.4
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CENTILI
• Sommo questa quantità al valore corrispondente alla prima posizione: 34 + 2.4 = 36.4 ç trentesimo centile
CENTILI
• Il valore ottenuto è uguale al valore del terzo decile!
C30= D3
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CENTILI
Infatti al di sotto del 30° centile
così come al di sotto del 3° decile
cade il 30% dei valori
della variabile
Formula generale
!
Xli +PosQuantile" flicum( )
fiai( )
CONCLUSIONI
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Xli è il limite reale inferiore
della classe che contiene il
Quantile
Formula generale CONCLUSIONI
flicum è la frequenza cumulata della classe precedente a quella che contiene il
Quantile
Formula generale CONCLUSIONI
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ai è l‘ampiezza
della classe che contiene il
Quantile
Formula generale CONCLUSIONI
fi è la frequenza
della classe che contiene il
Quantile
Formula generale CONCLUSIONI
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I voti di 82 studenti all’esame di
“La misura in psicologia” sono distribuiti così:
ESEMPIO CONCLUSIONI
Classi
18-20
21-22
23-24
25-26
27-30
f
15
18
20
16
13
82
CONCLUSIONI
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Vogliamo conoscere il valore
mediano di tale distribuzione
Dobbiamo perciò calcolare
il valore del secondo quartile
Q2
CONCLUSIONI
Calcoliamo innanzitutto
la posizione della mediana
412x482PosQ2 ==
CONCLUSIONI
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30
Classi
18-20
21-22
23-24
25-26
27-30
f
15
18
20
16
13
82
fcum
15
33
53
69
82
41
CONCLUSIONI
( ) ( )ii
licumli af
fePosQuantilX −+
Formula generale CONCLUSIONI
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31
15
18
20
16
13
82
Classi
18-20
21-22
23-24
25-26
27-30
f
fcum
15
33
53
69
82
a 3
2
2
2
4
Limiti reali
22.5-24.5
CONCLUSIONI
Applichiamo la formula
( ) 3.2322033415.22 =−+
3.23MeQ2 ==
CONCLUSIONI
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Spiegazione tramite istogramma
Costruiamo l’istogramma
della distribuzione
CONCLUSIONI
Classi
18-20
21-22
23-24
25-26
27-30
f
15
18
20
16
13
82
fcum
15
33
53
69
82
a 3
2
2
2
4
h 5
9
10
8
3.25
Limiti reali
22.5-24.5
17.5-20.5
20.5-22.5
24.5-26.5
26.5-30.5
CONCLUSIONI
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33
Spiegazione tramite istogramma
15 18 16
13
h
17.5 22.5 30.5
20
CONCLUSIONI
Spiegazione tramite istogramma
Calcolare le frequenze cumulate
equivale a sommare le aree
degli istogrammi
CONCLUSIONI
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Spiegazione tramite istogramma
La posizione che abbiamo
trovato (41) equivale perciò
ad un’area
CONCLUSIONI
Spiegazione tramite istogramma
Per trovare il valore del secondo
Quartile dobbiamo calcolare
a che valore corrisponde
in ascissa l’area = 41
CONCLUSIONI
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Spiegazione tramite istogramma
Sommiamo le aree dei primi due
Istogrammi: 15 + 18 = 33
CONCLUSIONI
Per ottenere 41 manca un
“pezzo” dell’area del terzo
istogramma: 41 – 33 = 8
Spiegazione tramite istogramma
Quest’area si trova utilizzando
la formula di calcolo dell’area
del rettangolo: base x altezza
CONCLUSIONI
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36
Spiegazione tramite istogramma
Nel nostro caso
conosciamo l’area (8)
CONCLUSIONI
conosciamo l’altezza (10)
Troviamo facilmente la base
8/10 =0.8
Spiegazione tramite istogramma
Il quartile cercato sarà allora:
Q2 = 22.5 + 0.8 = 23.3
CONCLUSIONI
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Spiegazione tramite istogramma
15 18 16
13
h
23.3
17.5 22.5 30.5
8 8
CONCLUSIONI