CORSO DI PROGETTAZIONE DI SISTEMI COSTRUTTIVI

Prof. Michele M. Lepore

VERIFICA DELL’ARCOVERIFICA DELLA CURVA DELLE PRESSIONI

CON IL METODO MÈRY

Archi e volte

Archi e volte

Archi e volte

Statica degli archi

Spessore dell’imposta

analitico

63b oppure e ≤ b

46/75

Intervento Incremento della componente verticale

P1 R

P2

S

6e > b

Dissesti di un arco a) arco ribassato,stabile,ma che potrebbe

manifestare lesioni in corrispondenza in prossimità della chiave (rischio di ulteriore abbassamento)

b) arco a tutto sesto, si ripete lo schema precedente, ma evidenziando la possibilità di ulteriori cernierizzazioni alle imposte.(rischio di sfiancamento della parte centrale a  causa dell’esplosione delle reni).

c) arco  ogivale  che  rappresenta  l’arco  con  il  meccanismo di collasso più pericoloso:cedimento delle arcate, conseguenteinnalzamento della chiave e sfiancamentodelle reni.

Dissesti

10/75

L’arco Aspetti base del comportamento strutturale

Come si costruisce un arco

Stabilità ottenuta per compressione

delle masse garantiscono il corretto flusso delle forze nelle sezioni resistenti

Verifica di resistenza Le sollecitazioni nelle sezioni devono essere minori delle resistenze dei materiali 12/75

Il materiale pietra Proprietà principali: Scarsa resistenza a trazione Fragile

Verifica dell’equilibrio GEOMETRIA e DISTRIBUZIONE

Equilibrio e resistenza

La sezione rettangolare è tutta compressa se il centro di pressione cade all’interno del terzo medio

Equilibrio e resistenzaNel caso di due corpi appoggiati l’unosull’altro con vincolo di semplice contatto non può sussistere equilibrio se il risultante cade fuori dalla sezione.

Gli studi sull’arcoGli studi condotti sull’arco nel corso del XIX secolo riguardavano prevalentemente la forma da conferire all’arco per garantire la centratura dello sforzo normale in corrispondenza delle facce a contatto tra un concio e l’altro

Mèry mostrò che il problema della determinazione del regime statico di un arco poteva essere risolto utilizzando un poligono di equilibrio a passaggio obbligato per due punti: il terzo medio inferiore nella sezione di imposta e il terzo medio superiore nella sezione in chiave, con retta d’azione orizzontale (per arco simmetrico e simmetricamente caricato e vincolato)

In questo modo noti i carichi esterni, era possibileottenere l’andamento della curva delle pressioni.

Metodo di Mèry

La verifica dell’arco consiste nell’accertare che nelle sue sezioni non siano presenti forze di trazione

Per un arco con sezione trasversalerettangolare, bisogna verificare che la curva delle pressioni sia contenuta all’interno della fascia delimitata dal terzo medio di tutte le sezioni trasversali (nocciolo centrale d’inerzia).

Qa

P1

P2

P3

P4

P5

hh

1

Q

sezione in chiave

max

solido estradossale

poligono funicolare di H

retta d'azione di R

superficie estradossale

max

min = 0

superficie intradossale

nocciolo centr. d'inerzia

curva delle pressioni

poligono delle forze Pi - R =

P1+P2+P3+P4+P5

Q

S''

H1

S''

!

retta d'azione della risultante R

R

Q

sezione resistente

!

!

riduzione delle altezze dei solidi in funzione del rapporto tra i due

pesi specifici (solido portato/solido resistente)

("1/"0)h'= h

METODO GRAFICO DI NAVIER -MERY(1928)

VERIFICA DI STABILITA' DI UN ARCO SIMMETRICO E SIMMETRICAMENTE

CARICATO

risultante del peso dell'arco e della muratura sovrastante

P2

P3

P4

P5

P1

S

S

H (arbitrario)

R

K

Metodo di Mèry Si determinano i carichi agenti sull’arco, considerando le parti di sovrastruttura che competono ad ogni singolo concio ed applicando la forza nel baricentro della regione relativa.

P 1P 2P 3P 4

P 5P 6

6

Il metodo di Mery (4/8)

Su ciascun concio si proietta la quota parte di competenza del carico gravante sull’arco; in particolare si ritiene che le strisce così ottenute non siano collaboranti, così da porsi in condizioni di maggiore sicurezza. Di ciascun concio e di ciascuna striscia di competenza si determina il peso proprio e si individua il baricentro, cioè il punto di applicazione del peso proprio. Per semplicità il concio viene considerato di forma trapezia, rettificando i lati curvi e approssimandoli così a due lati rettilinei paralleli. Per la determinazione del baricentro si può procedere con un metodo grafico, riportando la misura del segmento di estradosso sulla retta individuata dall’intradosso, determinando così il punto R; di seguito si prolunga la retta individuata dall’estradosso, in direzione opposta rispetto al punto R, della quantità pari al segmento di intradosso: ciò permette di individuare la posizione del punto S. A questo punto, se si traccia il segmento TU che congiunge i punti medi dei lati approssimanti estradosso e intradosso si ha che il baricentro G del concio risulta localizzato all’intersezione della congiungente RS con TU.

Determinazione per via grafica del baricentro di un concio. (immagine tratta da Olivito, op. cit.)

Statica per l’edilizia storica - A. Cazzani , F. Stochino – Lezione 9

Metodo di Mèry

Metodo di Mèry Essendo l’arco simmetrico e simmetricamente caricato e vincolato, si può limitare lo studio a metà di esso, applicando nella sezione di chiave la forza trasmessa dalla restante parte.

P 6

P 5

P 4

P 3P 2 P 1 H

Metodo di Mèry Tale forza ha retta d’azione orizzontale (ortogonale alla sezione cui è applicata) e si considera applicata al terzo medio superiore della sezione stessa.

P 6

P 5

P 4

P 3P 2

P 1 H

Metodo di Mèry

Costruzione del poligono delle successive risultanti a partire da un valore noto della spinta in chiave Q.

Allo scopo, se si calcola in base a condizioni di equilibrio del semiarco la spinta in chiave, Q, (pensata applicata al limite del terzo medio superiore e ipotizzata perfettamente orizzontale per ragioni di simmetria) basta prolungare la retta d’azione della spinta stessa fino a incontrare la forza P1 (che tiene conto di tutte le forze applicate al primo concio).

Si costruisce il triangolo delle forze riportando i segmenti o 1m 1 e m 1n 1 proporzionali a Q e a P1 e si ottiene così il primo lato della curva; lo si prolunga fino a incontrare P2 e si ripete poi la costruzione fino ad esaurire i pesi Pi.

Si noti che sulla verticale passante per il baricentro del riempimento si assumerà collocata la forza

concentrata che rappresenta la porzione di sovraccarico di competenza del concio.

Noti tutti i pesi si determina la risultante delle forze agenti su ciascuna porzione (peso del concio, peso del riempimento ed eventuale sovraccarico) e la relativa retta di applicazione.

Ricondotta dunque ogni porzione a una sola forza, della quale è nota la retta d’azione, si può passare alla costruzione della curva delle pressioni applicando in modo reiterato la regola del parallelogramma a tutte le forze che via si incontrano, costruendo così il poligono delle successive risultanti.

Metodo di Mèry

Costruzione delle curva delle pressioni quando non è noto il valore della spinta in chiave, Q.

Per equilibrio le tre forze devono incontrarsi in un unico punto, G; in tal modo si determinano le rette d’azione q e s di Q e S, che possono quindi essere calcolate mediante scomposizione di R.La scomposizione di R consente di determinare il polo H1; il poligono funicolare individuato da questo è unico (soddisfa tre condizioni) ed è la curva delle pressioni.

Se non è noto il valore della spinta in chiave la curva delle pressioni può essere determinata come segue: si costruisce il poligono delle forze a partire da un polo H qualsiasi (arbitrario) ; sia R la risultante dei pesi che competono a ciascun concio, rappresentata, per esempio, dalla forza 5-0; scelto il poligono delle forze si costruisce agevolmente il poligono funicolare e si individua così la posizione della risultante dei pesi, R.

Si impone quindi l’equilibrio dell’arco nel rispetto delle ipotesi di Mery: R deve essere equilibrata da 2 forze, una delle quali è la spinta orizzontale in chiave, Q (passante per il limite superiore del terzo medio); l’altra è la spinta alle reni, S, che passa per il limite inferiore del terzo medio.

Metodo di Mèry

Curve delle pressioni di un arco corrispondenti ai valori minimo e massimo della spinta.

Il poligono funicolare così ottenuto rappresenta la curva delle pressioni, che descrive a livello locale e globale l’equilibrio dell’arco.

Proprietà fondamentali delle curva delle pressioni (c.d.p.):

1. La c.d.p. è determinata se sono noti tre punti per i quali debba passare: ciò è conseguenza del fatto che il poligono funicolare passante per tre punti è unico.

2. Se in un arco, due c.d.p. passano per uno stesso punto, allora tutti gli altri punti comuni si trovano sull’orizzontale passante per il primo punto comune.

3. Due punti posti a quota diversa determinano una sola c.d.p. 4. Aumentando o diminuendo l’intensità della spinta in chiave la c.d.p. si alza o si abbassa.

5. Cambiando il punto di applicazione della spinta (a parità del valore di questa) la c.d.p. si sposta parallelamente a se stessa.

6. Fra tutte le possibili c.d.p. in un arco, ve ne sono due, notevoli, che corrispondono alla minima e alla massima spinta.

Metodo di Mèry Costruito il poligono funicolare dei carichi esterni relativa a metà arco, il problema si risolve utilizzando un poligono di equilibrio a passaggio obbligato per due punti: il terzo medio inferiore nella sezione di imposta e il terzo medio superiore nella sezione in chiave.

H

4

P 6

P 5

P 3P 2 P 1

R

O

P 1

P 2

P 3

R P 4

P 5

P 6

Poligono delle forzePoligono funicolare

K

P 4

Metodo di Mèry Per l’equilibrio il poligono dei vettori deve risultare chiuso e le rette d’azione devono concorrere in un medesimo punto (K) La retta d’azione della reazione d’imposta deve passare per K e per il terzo medio inferiore della sezione stessa.

S

P 6

P 5

P 6

P 1

P 2

P 3

P 4S

HP 5

K P 4

P 3P 2 P 1 H

curva delle pressioniQ

23/75

Metodo di Mèry Si può costruire la curva delle pressioni, utilizzando il poligono funicolare costruito sul polo Q Il poligono funicolare costruito utilizzando il polo Q rappresenta il poligono delle successive risultanti, cioè la curva delle pressioni.

S

P 6

P 5

P 6

P 1

P 2

P 3

P 4

S

HP 5P 4

P 3P 2 P 1 H

curva delle pressioniQ

Metodo di Mèry

4

6 • ARCHI

Copyright © 2012 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [5929]Questo file è una estensione online del corso Zavanella, Leti, Veggetti, Progettazione, costruzioni e impianti

• Peso Pi portato dal singolo concioL’intensità si ottiene sommando alla parte competente del carico distribuito g il peso della striscia di muro sovrastante il concio stesso. Misurate le altezze hi di muro relative alle estremità di ogni concio, ad ognuna di esse compete il carico lineare pi = hi $ li $ cm che, sommato al carico uniforme del solaio, determina il diagramma di carico che agisce sul semiarco. Sul concio 1, per esempio, si ha:

all’ascissa 0: p0 = 0,50 $ 0,45 $ 18 + 10 = 14,05 kN / mall’ascissa 1: p1 = 0,60 $ 0,45 $ 18 + 10 = 14,86 kN / m

Il peso di muro portato dal concio 1 vale quindi:

14,05 14,0,91 13,15P

2

86kN1 =

+=

La sua retta d’azione può essere determinata ricorrendo alla ricerca grafica del baricentro del trapezio (!FIGURA 6b), anche se la modesta differenza tra le basi può giustificare il suo posizionamento sulla mezzeria della striscia di carico. In modo del tutto analogo si calcolano e si posizionano i pesi P2, P3, P4, P5 compe-tenti ai conci 2, 3, 4, 5.

• Risultante R dei carichiIl peso P1, composto con il peso proprio G, determina il peso R1 competente al concio 1. Si ha:

R1 = 13,15 + 3,57 = 16,72 kN

La retta d’azione r1 si può individuare per via grafica (!FIGURA 6c). In modo del tutto analogo si calcolano e si posizionano i carichi R2, R3, R4, R5 competenti ai conci 2, 3, 4, 5. L’intensità della risultante dei carichi vale:

R = R1 + R2 + R3 + R4 + R5 = 91,31 kN

La sua retta d’azione r è individuata dal poligono funicolare F, che ha per lati le parallele alle proiettanti tracciate dal polo O e connette le rette d’azione r1, r2, r3, r4, r5 delle risultanti parziali (!FIGURA 6d).

PIANTA

PROSPETTO

400

672

arco

solaio in legno

arco

45 45

45

SEZIONE

51

50

51

775

solaio in legno

30° 30°

194

672

775

FIGURA 5 Archi a tutto sesto in muratura.

6

Determinazione della risultante dei carichi

Metodo di Mèry

Andamento della sollecitazione

6

6 • ARCHI

Copyright © 2012 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [5929]Questo file è una estensione online del corso Zavanella, Leti, Veggetti, Progettazione, costruzioni e impianti

• Determinazione delle reazioni di chiave Rc e di rene RrMandando l’orizzontale rc dal terzo medio superiore, si individua l’intersezione tra questa e la retta r; per questo punto e per il terzo medio inferiore della sezio-ne di rene passa la retta rr, su cui giace la reazione Rr. Scomponendo la risultante R nelle due direzioni così individuate, restano de-terminati i due vettori Rc e Rr in modulo, direzione e verso. Si ha:

Rc , 57,5 kN

Rr , 108 kN

• Andamento della sollecitazioneProiettando i vertici del poligono delle forze dal polo Ol si ottiene il poligono delle successive risultanti dell’arco: la proiettante I / rc è la somma delle forze che precedono la retta d’azione r1 delle forze che agiscono sul concio 1 (la sola Rc); la proiettante II è la somma delle forze che precedono la retta d’azione r2 delle forze che agiscono sul concio 2 (Rc e R1), e così via. Le successive proiet-tanti rappresentano dunque, in modulo, direzione e verso, le sollecitazioni che competono ai conci, mentre il poligono funicolare Fl rappresenta la spezzata del-le rette d’azione delle successive risultanti, che ne definisce l’andamento sull’ar-co. Se questo fosse suddiviso in un numero infinito di conci, la spezzata sarebbe una curva continua, detta curva delle pressioni. Fatta eccezione per la sezione di chiave, nella sezione generica dell’arco la sollecitazione è inclinata, producendo taglio e sforzo normale eccentrico; il centro di pressione si mantiene interno al terzo medio, o ne esce di poco.

Se la curva delle pressioni si mantiene compresa nella striscia dei terzi medi, il centro di pressione è in ogni sezione interno al nocciolo centrale d’inerzia. Tutte le sezioni dell’arco sono soggette, oltre che a modesti sforzi di taglio, a sola compressione.

Il funzionamento dell’arco è dunque profondamente diverso da quello della tra-ve. Nella trave la sezione generica è inflessa (M + V) e deve quindi essere co-struita con materiali resistenti anche a trazione e a taglio; nell’arco, tutte le se-zioni sono prevalentemente compresse e gli elementi resistenti, opportunamente disposti, possono sostenersi per reciproco contrasto.

• Verifica di resistenza

Constatato che la curva delle pressioni si mantiene compresa entro la stri-scia dei terzi medi, o ne esce di poco, nell’arco di spessore costante basta eseguire la verifica di resistenza alle tensioni normali nella sezione di rene, che risulta la più sollecitata.

Attribuendo allo sforzo normale N, considerato agente sul terzo medio inferiore, l’intero valore Rr, si ha:

2 0,94bt

N2

450 510

108 000N / mm2$

$v = = =

Tale valore è compatibile con la resistenza di una muratura nuova e anche di una muratura vecchia in mattoni pieni, purché consolidata (v. volume 3). Proprio perché le sezioni più sollecitate sono prossime alle reni, dove la sol-lecitazione è maggiore e la curva delle pressioni tende a uscire dalla striscia dei terzi medi, si realizzavano archi di spessore variabile, crescente dalla chiave alle reni (!FIGURA 7).

Metodo di Mèry

4modulo D I ponti

U. A

lasi

a -

M. P

ugno

, CCoorr

ssoo dd

ii CCooss

ttrruuzz

iioonnii

5 ©

SEI

, 201

1

Unità 3 I ponti in muratura

0 0,10 0,096 0,40 0,268 0,25 0,188 0,552

1 0,10 0,096 0,43 0,288 0,25 0,188 0,572

2 0,13 0,125 0,53 0,355 0,25 0,188 0,668

3 0,22 0,211 0,62 0,415 0,25 0,188 0,814

4 0,40 0,384 0,72 0,482 0,25 0,188 1,054

5 0,65 0,624 0,82 0,550 0,25 0,188 1,362

6 0,98 0,941 0,90 0,603 0,25 0,188 1,732

Tabella 1

Giunto hi,p = S hi

Rinfianco e cappa Riempimento Pavimentazionee massicciata

c = ª 0,96 c = ª 0,67 c = ª 0,75

hr hi hr hi hr hi

18,00

24,00

16,00

24,00

23,00

24,00

c

Il calcolo dei pesi delle varie strisce, applicando il coefficiente parziale di sicurezza γM = 1,5, èriportato in tabella 2.

Carico variabile per trafficoViene considerato lo schema di carico 5 con intensità q= 5 kN/m2 gravante sulla superficie pedo-nabile per la larghezza di 1,00 m, corrispondente all’altezza ideale:

hi,var = = ≈ 0,208 m

I pesi del sovraccarico, omogeneizzato al materiale della volta, relativi a ogni striscia, applicandoil coefficiente di sicurezza γQ = 1,35, sono riportati in tabella 3.Le altezze ideali totali hi,tot = hi,p + hi,var di tabella 4 vengono riportate sulle corrispondenti vertica-li a partire dall’estradosso della volta [fig. c] e la spezzata congiungente le loro estremità definisceil diagramma del carico omogeneizzato che grava sulla volta.I pesi dei conci e delle relative strisce sovrastanti sono riportati in tabella 5.

5,0024,00

qγc

Metodo di Mèry

6modulo D I ponti

U. A

lasi

a -

M. P

ugno

, CCoorr

ssoo dd

ii CCooss

ttrruuzz

iioonnii

5 ©

SEI

, 201

1

Unità 3 I ponti in muratura

Calcolo delle spinte in chiave H e all’imposta S

I vettori che rappresentano i pesi Gi delle strisce e Gc dei conci vengono applicati nei relativi bari-centri [fig. c] e quindi graficamente vengono determinati i baricentri g di ogni figura formata dalconcio e striscia sovrastante, per i quali passa la linea di azione dei relativi pesi P, con le intensi-tà riportate in tabella 5.Con il poligono funicolare a!, b!, c!, ..., g! ottenuto proiettando i vettori che rappresentano i pesiP dal polo C1 [fig. e] si ottiene la posizione della risultante totale R = Σ P dei pesi del semiarco con-siderato [fig. d].La risultante R dei pesi si scarica in parte sull’altro semiarco attraverso la sezione in chiave tra-mite la spinta H, la cui linea di azione, essendo l’arco simmetrico e simmetricamente caricato,è perpendicolare alla sezione in chiave e passa per l’estremo superiore del nocciolo, e in partesulla spalla attraverso la sezione di imposta tramite la spinta S, con linea di azione passante perl’estremo inferiore del nocciolo di tale sezione e, per l’equilibrio, per il punto O di intersezio-ne della H con la R.Le intensità delle due spinte H ed S vengono determinate scomponendo la retta delle forze,con intensità uguale alla R, secondo due componenti parallele alle rette di azione della H edella S che, lette sul grafico nella scala forze assunta, presentano i valori:

H ≈180 kN S≈271 kN

d

e

6modulo D I ponti

U. A

lasi

a -

M. P

ugno

, CCoorr

ssoo dd

ii CCooss

ttrruuzz

iioonnii

5 ©

SEI

, 201

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Unità 3 I ponti in muratura

Calcolo delle spinte in chiave H e all’imposta S

I vettori che rappresentano i pesi Gi delle strisce e Gc dei conci vengono applicati nei relativi bari-centri [fig. c] e quindi graficamente vengono determinati i baricentri g di ogni figura formata dalconcio e striscia sovrastante, per i quali passa la linea di azione dei relativi pesi P, con le intensi-tà riportate in tabella 5.Con il poligono funicolare a!, b!, c!, ..., g! ottenuto proiettando i vettori che rappresentano i pesiP dal polo C1 [fig. e] si ottiene la posizione della risultante totale R = Σ P dei pesi del semiarco con-siderato [fig. d].La risultante R dei pesi si scarica in parte sull’altro semiarco attraverso la sezione in chiave tra-mite la spinta H, la cui linea di azione, essendo l’arco simmetrico e simmetricamente caricato,è perpendicolare alla sezione in chiave e passa per l’estremo superiore del nocciolo, e in partesulla spalla attraverso la sezione di imposta tramite la spinta S, con linea di azione passante perl’estremo inferiore del nocciolo di tale sezione e, per l’equilibrio, per il punto O di intersezio-ne della H con la R.Le intensità delle due spinte H ed S vengono determinate scomponendo la retta delle forze,con intensità uguale alla R, secondo due componenti parallele alle rette di azione della H edella S che, lette sul grafico nella scala forze assunta, presentano i valori:

H ≈180 kN S≈271 kN

d

e

Metodo di Mèry

Il riempimento fa avvicinare la curva delle pressioni alla linea media dell'arco, quindi ha un effetto stabilizzante

Fine